Exoplaneten auf elliptischen Bahnen - Friedrich-Schiller

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DIDAKTIK
JENA
Exoplaneten auf elliptischen Bahnen
Stefan Völker1
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AG Physik- und Astronomiedidaktik der Friedrich-Schiller-Universität Jena
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JENA
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Wie schwer darf ein Exoplanet sein? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Die Suche nach Exoplaneten mit der Radialgeschwindigkeitsmethode . . . . . . .
3
3
3
2 Grundlagen
2.1 Die Radialgeschwindigkeitskurve vr (t) [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bestimmung der Planetenmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Bestimmung der Bahnelemente aus der Radialgeschwindigkeitskurve vr (t) . . . .
5
5
7
8
3 Aufgaben
11
A Anhang
A.1 Bahn-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Radialgeschwindigkeitskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . .
dr
dθ
A.3 Herleitung der Terme
und r ·
. . . . . . . . . . . . .
dt
dt
A.4 Extremwertdiskussion der Radialgeschwindigkeitskurve . .
A.5 Kleine Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6 Abhängigkeit der Radialgeschwindigkeitskurve von ω und e
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
13
13
14
.
.
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17
19
20
20
2
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1 Einleitung
1.1 Wie schwer darf ein Exoplanet sein?
Die Internationale Astronomische Union (IAU) hat während ihrer Generalversammlung im Jahr
2006 für unser Sonnensystem einen Planeten definiert als Körper, welcher die Sonne umkreist,
eine ausreichende Masse besitzt, um sich im hydrostatischen Gleichgewicht (nahezu runde Form)
zu befinden und seine Bahn von anderen Körpern befreit hat; oder im originalen Wortlaut: A
”
“planet” is a celestial body that (a) is in orbit around the Sun, (b) has sufficient mass for its
self-gravity to overcome rigid body forces so that it assumes a hydrostatic equilibrium (nearly
round) shape, and (c) has cleared the neighbourhood around its orbit“ [2]. Leider besitzt die
IAU bisher noch keine eindeutige Definition für Exoplaneten und jene für die Planeten unseres
Sonnensystems ist nur bedingt übertragbar. Man kann die Forderung nach dem Umkreisen der
Sonne relativ einfach ersetzen durch die Formulierung, ein Körper der einen Stern umkreist1 .
Aber wie sieht es mit den beiden anderen Forderungen aus? Aufgrund der Genauigkeit der
heutigen Detektionsmethoden ist es bisher nicht möglich kleine Körper in der Bahn eines Exoplaneten festzustellen, so dass die Forderung nach dem Freiräumen der Bahn nicht überprüft
werden kann. Die Forderung des hydrostatischen Gleichgewichts ist gleichbedeutend mit einer
Mindestmasse für Planeten. Da aber alle Detektionsmethoden für Exoplaneten mit großer Masse empfindlicher sind, ist auch diese Forderung hinfällig, da man bisher nicht in der Lage ist
Objekte unterhalb der Massengrenze zu detektieren. Ganz im Gegenteil muss eine obere, anstatt
einer unteren Massengrenze festlegen um die Exoplaneten von den substellaren Begleitern, den
Braunen Zwergen abzugrenzen. Braune Zwerge haben Massen im Bereich von 13 bis 75 Jupitermassen, wobei diese Grenzen nicht exakt festgelegt sind. In Braunen Zwergen kann kein stabiles
Wasserstoffbrennen stattfinden, lediglich Deuteriumbrennen (2 H + 1 H → 3 He + γ) ist für einen
kurzen Zeitraum möglich.
Nachfolgenden werden Exoplaneten definiert, als Körper, die einen Stern umkreisen und deren
Masse zu gering ist (MExoplanet ≤ MGrenz = 25 MJup ) um in ihrem Inneren Kernfusion zünden
zu können. Es sei hier jedoch noch einmal darauf verwiesen, dass mehrere Definitionen für
Exoplaneten existieren und insbesondere die obere Grenzmasse nach wie vor heftig diskutiert
wird.
1.2 Die Suche nach Exoplaneten mit der
Radialgeschwindigkeitsmethode
Die Radialgeschwindigkeit vr eines Sterns lässt sich über die Verschiebung seiner Spektrallinien,
aufgrund des Doppler-Effekts, im Sternspektrum messen. Bewegt sich der Stern auf den Beobachter zu, werden seine Spektrallinien hin zu kürzeren Wellenlängen verschoben. Man nennt
dies Blau-Verschiebung. Analog spricht man von Rot-Verschiebung, wenn die Linien zu längeren
Wellenlängen hin verschoben werden. Der Stern bewegt sich dann vom Beobachter weg.
Umkreist ein Exoplanet einen Stern, bewegen sich beide auf Keplerschen Bahnen um den gemeinsamen Schwerpunkt. Da der Stern um ein Vielfaches schwerer ist als der Planet, ist die große
Halbachse des Sterns auch um ein Vielfaches kleiner als die des Planeten. Für das Verhältnis
1
Es existieren auch einige sogenannte free-floating planets“, also frei fliegende Planeten ohne Zentralstern.
”
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der Halbachsen gilt der Schwerpunktsatz
mP
aS
=
.
aP
mS
(1)
Dennoch vollführt der Sterne in radialer Richtung eine wenn auch kleine, aber periodische Bewegung auf den Beobachter zu und wieder von ihm weg. Diese durch den Exoplaneten hervorgerufene Bewegung können Astronomen durch sehr genaue Messung der Linienverschiebung ∆λ
im Sternspektrum sichtbar machen. Es gilt hier der Zusammenhang
∆λ
vr
= ,
λ
c
(2)
mit der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit c. Abbildung 1 stellt links die Bewegungen des Exoplaneten und des Sterns um ihren gemeinsamen Schwerpunkt dar. Auf der rechten Seite der Abbildung
ist die Bewegung des Sterns vergrößert dargestellt. Weiterhin sind in Abbildung 1 vier verschiedene Zeitpunkte, sowie die Beobachtungsrichtung (schwarzer Pfeil) zu sehen. Ausgehend vom
Zeitpunkt t1 über t2 , bis hin zu t3 bewegt sich der Stern auf den Beobachter zu, seine Linien
sind blau-verschoben. Die maximale Blau-Verschiebung wird zum Zeitpunkt t2 erreicht, da dort
der Geschwindigkeitsvektor genau in radiale Richtung zeigt. Zu den Zeitpunkten t1 und t3 ist
die Radialgeschwindigkeit und damit die Linienverschiebung gleich null. Der Stern bewegt sich
dann senkrecht zur Sichtlinie. Beginnend bei t3 über t4 , bis zurück zu t1 bewegt sich der Stern
vom Beobachter weg, seine Linien werden demnach rot-verschoben.
t2
t4
t1
t3
t3
t1
t2
t4
Abbildung 1: Orbitbewegung
Hervorgerufen durch die periodische Umlaufbewegung des Planeten um seinen Mutterstern,
vollführt auch der Stern eine periodische Bewegung. Dies spiegelt sich letztendlich in der Radialgeschwindigkeitskurve wieder. Eine Radialgeschwindigkeitskurve entsteht, wenn man die Radialgeschwindigkeit des Sterns zu verschiedenen Zeitpunkten misst und in einem vr (t)-Diagramm
darstellt. Die Form dieser Kurve hängt von den Bahnelementen des Exoplaneten, dessen Masse
und der Sternmasse ab. Für elliptische Bahnen ist eine Vielzahl von Kurvenformen möglich. Bei
kreisförmigen Bahnen hingegen, ist die Radialgeschwindigkeitskurve immer durch eine SinusFunktion beschreibbar.
Entscheidend für die Messung der Radialgeschwindigkeit ist zuletzt die Inklination oder Bahnneigung i (vgl. Abbildung 2). Ist diese z.B. gerade 0◦ , hat die Bewegung des Sterns keinen Anteil
in radialer Richtung, es ist kein Signal messbar. Im anderen Extremfall i = 90◦ wird das Signal
hingegen maximal. Leider ist die Inklination allein aus der Radialgeschwindigkeitsmessung nicht
bestimmbar, was zu erheblichen Einschränkungen bei der Exoplanetensuche führt. Insbesondere
bei der Abgrenzung zu den Braunen Zwergen.
Nachfolgend wird erläutert, wie die Radialgeschwindigkeitskurve vr (t) mit den Bahn- und Planetenparametern zusammenhängt und wie man diese rückwärts, aus der Kurve bestimmen kann.
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2 Grundlagen
2.1 Die Radialgeschwindigkeitskurve vr (t) [3]
Um die räumliche Anschauung der Bahngeometrie zu erleichtern und so die Herleitung verständlicher
zu gestalten, schneiden Sie bitte die beiden Teile des Bahn-Modells (siehe Abbildung 5) aus und
stecken Sie diese entlang der Schnittlinien ineinander.
z-Achse
Bahnebene
Exoplanet
Periastron
r
θ
Exoplanet
r'
r'
ω
Himmelsebene
xy-Ebene
z
i
Bahnebene
Beobachtungsrichtung
Apastron
Erde
Abbildung 2: Bahngeometrie - links: Blick auf die Bahnebene; rechts: seitlicher Blick auf das
Modell, bzw. die Himmels- und Bahnebene
Betrachtet man in Abbildung 2 oder im selbstgebauten Modell die Bahnebene, kann man für
den Abstand des Exoplaneten von der Knotenlinie r0 den Zusammenhang
r0 = r · sin (θ + ω)
(3)
ablesen. Betrachtet man dann das Modell von der Seite oder in Abbildung 2 die rechte Seite,
stellt man fest, dass sich der Abstand z des Exoplaneten von der Himmelsebene schreiben lässt
als
z = r0 · sin i .
(4)
Setzt man Gleichung (3) in Gleichung (4) ein, ergibt sich für den Abstand z des Exoplaneten
von der Himmelsebene
z = r · sin (θ + ω) · sin i .
(5)
Darin ist sowohl der Abstand des Exoplaneten zum Stern r, als auch der Winkel θ zeitabhängig.
Man kann Gleichung (5) somit auch als
z(t) = r(t) · sin (θ(t) + ω) · sin i
(6)
schreiben. Der Abstand z(t) ist nicht direkt messbar, aber man kann die zeitliche Änderung dz
dt
mit Hilfe des Doppler-Effekts messen. Bei der Ableitung von Gleichung (6) nach der Zeit muss
man sowohl die Produkt-, als auch die Kettenregel anwenden (siehe Anhang A.5). Man erhält
dz
dr
dθ
=
· sin (θ + ω) · sin i + r ·
· cos (θ + ω) · sin i .
dt
dt
dt
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(7)
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dθ
Unbekannt sind in dieser Gleichung bisher noch die Terme dr
dt und r · dt . Beide erhält man aus
wenigen Grundgleichungen der Himmelsmechanik. Für interessierte Schüler ist eine sehr detaillierte Herleitung in Anhang A.3 enthalten. An dieser Stelle werden jedoch nur die Ergebnisse
dr
e · a · µ · sin θ
= √
dt
1 − e2
(8)
und
r·
dθ
a · µ · (1 + e · cos θ)
√
.
=
dt
1 − e2
(9)
angeben. Setzt man die beiden Terme aus den Gleichungen (8) und (9) in Gleichung (7) ein und
vereinfacht mit Hilfe der Additionstheoreme der Sinus- und Kosinusfunktion (vgl. Anhang A.5),
bleibt letztlich für die zeitliche Änderung von z
dz
a · µ · sin i
· [e · cos ω + cos(ω + θ)] .
= √
dt
1 − e2
(10)
Der konstante Vorfaktor ist die Amplitude der Radialgeschwindigkeitsvariation K. Gemeinsam
mit der Definition µ = 2π
P folgt
2π · a · sin i
√
.
(11)
K=
P · 1 − e2
In einem letzten Schritt wird berücksichtigt, dass sich das gesamte System aus Stern und Exoplanet gemeinsam von der Erde weg, bzw. auf die Erde zu bewegen kann. Dieser Beitrag zur
Radialgeschwindigkeit, die Radialgeschwindigkeit des Schwerpunktes wird mit γ bezeichnet. Für
die Radialgeschwindigkeitskurve vr (t) folgt dann
vr (t) = γ +
dz
= γ + K · [e · cos ω + cos(ω + θ(t))] .
dt
(12)
Die Zeitabhängigkeit der wahren Anomalie θ = θ(t) kann nicht explizit angegeben werden. Sie
wird durch Lösen der transzendenten Kepler-Gleichung gewonnen. Für die Bestimmung der
Bahnparameter ist dies allerdings nicht nötig.
Mit Hilfe der Radialgeschwindigkeitsmethode kann man einen Exoplaneten nicht direkt messen.
In Wirklichkeit misst man nur die Bewegung des Sterns, welche dieser aufgrund des ihn umkreisenden Exoplaneten ausführt. Die Bewegung des Sterns muss spiegelbildlich der des Planeten
sein, damit der Schwerpunkt des System erhalten bleibt (vgl. Abbildung 3). Aus der gemessenen
Radialgeschwindigkeitskurve erhält man zunächst die Bahnparameter des Sterns. Aus diesen
kann dann auf die Bahnelemente des Planetenkandidaten geschlossen werden.
Knotenlinie
Periastron
Stern
ωs
ωP
Periastron
Planet
Abbildung 3: Bahnelemente der Stern- und Planetenbahn
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2.2 Bestimmung der Planetenmasse
Zur Bestimmung der Planetenmasse aus den Bahnelementen benötigt man zwei bekannte Gesetze: den Schwerpunktsatz
mS · aS = mP · aP
(13)
bzw. umgestellt
aP =
mS
· aS
mP
(14)
und das 3. Keplersche Gesetz
(aS + aP ) 3 G · (mS + mP )
=
.
P2
4π 2
(15)
Weiterhin werden die Näherungen
aS + aP ≈ aP
(16)
mS + mP ≈ mS
(17)
und
verwendet. Aus dem 3. Keplerschen Gesetz wird damit
a3P
G · mS
=
2
P
4π 2
(18)
und nach Einsetzen von Gleichung (14)
mS
aS ·
mP
3
=
G · mS · P 2
.
4π 2
(19)
Da man aS nicht direkt messen kann, sondern nur das Produkt aS · sin i, multipliziert man
Gleichung (19) mit sin3 i und erhält
mS 3
G · mS · P 2
aS ·
· sin3 i =
· sin3 i .
mP
4π 2
(20)
Durch Umstellen nach (mP · sin i)3 folgt
(mp · sin i)3 =
(aS · sin i)3 · m2S · 4π 2
.
G · P2
(21)
Mit Hilfe von Gleichung (11) kann man den Term (aS · sin i)3 ersetzen und erhält so letztlich
1/3
p
P · m2S
2
mP · sin i = K · 1 − e ·
,
2π · G
mit der unteren Grenzmasse des Exoplaneten mP · sin i.
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(22)
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2.3 Bestimmung der Bahnelemente aus der
Radialgeschwindigkeitskurve vr (t)
Bei der Suche nach Exoplaneten sind folgende Bahnelemente von Bedeutung:
a, e, i, ω, t0
Nicht von direkter Bedeutung ist die Länge der Kontenlinie Ω.
2.3.1 Auswertung der Radialgeschwindigkeitskurve
1. Bestimmung der Amplitude K. Hierzu liest man die doppelte Amplitude 2 · K aus der
Radialgeschwindigkeitskurve ab.
2. Bestimmung der γ-Geschwindigkeit. Auf der Planetenbahn um den Stern gibt es zwei ausgezeichnete Punkte in denen sich der Exoplanet (und damit auch der Stern) senkrecht
zur Beobachtungsrichtung bewegt. Die Radialgeschwindigkeitsvariation ist dann null und
man misst nur noch die γ-Geschwindigkeit. Diese beiden Bahnpunkt liegen 180° (gemessen um den Mittelpunkt der Ellipse) bzw. einen halben Bahnumfang auseinander. Aus
diesem Grund teilt die γ-Linie die Radialgeschwindigkeitskurve in zwei Hälften die den
gleichen Flächeninhalt besitzen (der Flächeninhalt entspricht dem zurückgelegten Weg des
Sterns in z-Richtung). Die Lage der γ-Linie (parallel zur Zeit-Achse) wird zunächst durch
Augenmaß festgelegt (Bleistift) und dann durch das Auszählen der Koordinatenkästchen
optimiert. Die γ-Linie wird solange verschoben, bis beide Flächen gleich sind (A1 = A2 ,
vgl. Abbildung 4).
vr(t)
γ-Linie
A1
A2
t
Abbildung 4: Beispiel γ-Linie
3. Einzeichnen der Mediallinie. Die Mediallinie ist die Nulllinie der Radialgeschwindigkeitsvariation, d.h. die maximal und die minimal gemessene Radialgeschwindigkeit weichen um
den gleichen Betrag von ihr ab.
4. Bestimmen und Einzeichnen der Radialgeschwindigkeit im aufsteigenden und im absteigenden Knoten. Die Radialgeschwindigkeit des Sterns ist maximal, wenn dieser auf seiner Bahn den aufsteigenden Knoten passiert und minimal im absteigenden Knoten (eine
ausführliche Herleitung befindet sich im Anhang A.4). Man markiere die beiden Knoten
in der Radialgeschwindigkeitskurve.
5. Bestimmung der Radialgeschwindigkeit im Apastron vA und Periastron vP der Bahn. Der
zeitliche Abstand von Apastron- und Periastrondurchgang ist genau eine halbe Periode
oder 0,5 Phase. Die Bahngeschwindigkeit ist im Periastron maximal und im Apastron
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minimal. Sie stimmen jedoch nicht zwangsläufig mit der maximal bzw. minimal gemessen Radialgeschwindigkeit überein. Dies ist nur für ω = 0◦ der Fall. Im Allgemeinen ist
die Bestimmung von vA und vP etwas komplizierter. Hierfür nutzt man aus, dass beide
Geschwindigkeiten um den gleichen Betrag (aber in unterschiedlicher Richtung) von der
mittleren Geschwindigkeit abweichen. Diese ist gekennzeichnet durch die Mediallinie. Man
bestimme somit zwei Punkte auf der Radialgeschwindigkeitskurve, die von der Mediallinien aus gemessen, den gleichen Abstand haben und gleichzeitig den zeitlichen Abstand
einer halben Periode besitzen.
Hinweise zur praktischen Durchführung:
• Die Kopie der Radialgeschwindigkeitskurve auf der Folie wird so auf die originale Radialgeschwindigkeitskurve gelegt, dass beide deckungsgleich sind.
• Die Folie wird so umgedreht, dass die vr -Achsen des Originales und der Folie in entgegengesetzte Richtungen zeigen und die Mediallinien sich überdecken.
• Die Folie wird entlang der Mediallinien verschoben, bis der Phasennullpunkt der Folie
identisch ist mit Phase = 0,5 des Originals. Die Schnittpunkte der beiden Kurven werden
auf der Folie markiert.
• Die Folie wird erneut verschoben bis die Phase = 0,5 der Folie identisch ist mit dem
Phasennullpunkt des Originals. Die Schnittpunkte der beiden Kurven werden auf der Folie
markiert.
• Von den vier entstandenen Schnittpunkten besitzen jeweils zwei Paare den Abstand einer
halben Periode bzw. Phase. Überlegen Sie sich mit Hilfe des Modells welches Paar das
Apastron und Periastron der Bahn markieren. Überlegen Sie hierfür in welcher Reihenfolge
die Punkte Apastron, Periastron sowie Auf- und Absteigender Knoten vom Exoplaneten
auf seiner Bahn durchlaufen werden.
2.3.2 Auswertung der Messung
1. Zur Bestimmung der Exzentrizität werden zwei Spezialfälle von Gleichung (12) betrachtet:
θ = 0◦ und θ = 180◦ .
Im Periastron folgt aus θ = 0◦
cos ω =
vP − γ
K · (1 + e)
(23)
cos ω =
vA − γ
.
K · (e − 1)
(24)
und im Apastron aus θ = 180◦
Durch Gleichsetzen der Gleichungen (23) und (24) ergibt sich für die Exzentrizität
1+β
β−1
(25)
vp − γ
.
vA − γ
(26)
e=
mit
β=
2. Zur Bestimmung der Lage des Periastrons ω setzt man die Exzentrizität in Gleichung (23)
oder (24) ein.
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3. Die Große Halbachse der Bahn kann nicht bestimmt werden. Aus der Radialgeschwindigkeitsmessung erhält man nur das Produkt aS · sin i. Aus
K=
folgt
2π aS · sin i
·√
P
1 − e2
√
K · P · 1 − e2
aS · sin i =
.
2π
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3 Aufgaben
Der Stern HD 17156 ist vom Spektraltyp G0. Er ist ca. 250 Lichtjahre von der Erde entfernt und
besitzt eine scheinbare Helligkeit von 8, 2m . Somit ist er nicht mehr mit bloßem Auge, jedoch
bereits mit einem Feldstecher oder kleinem Teleskop sichtbar. Er befindet sich im Sternbild
Kassiopeia und seine Koordinaten lauten α = 2h 49m 45s und δ = 74◦ 450 1200 . HD 17156 hat einen
Radius von 1, 47 R und eine Masse von 1, 2 M . Seine Effektivtemperatur beträgt Teff = 6079 K
und seine Leuchtkraft L = 2, 6 L .
In der Radialgeschwindigkeitskurve von HD 17156 wurde eine Variation der Radialgeschwindigkeit mit einer Periode von P = 21, 2 Tagen entdeckt. Nachfolgend soll diese Radialgeschwindigkeitskurve analysiert und auf weitere Hinweise nach extrasolaren Planeten untersucht werden. Sie wurde an zwei der im Moment größten Teleskope der Welt aufgenommen. Am KeckObservatorium wurden 24 Beobachtungen im Zeitraum Januar 2006 bis Februar 2007 durchgeführt und am Subaru-Teleskop fanden an neun aufeinanderfolgenden Nächten vom 08. bis
16. Dezember 2006 Radialgeschwindigkeitsmessungen statt. Beide Teleskope befinden sich in
direkter Nachbarschaft auf dem Mauna Kea, einem erloschenen Vulkan in Hawaii.
A1
Bestimmen Sie aus der Radialgeschwindigkeitskurve die Bahnparameter K, γ, vA
und vP des Stern HD 17156!
A2
Bestimmen Sie aus den Ergebnissen von A1 rechnerisch die Bahnelemente ω, e und
aS · sin i des Muttersterns!
A3
Berechnen Sie die untere Massengrenze mP · sin i des Planetenkandidaten in Jupitermassen! (Hinweis: 1 MJup = 1, 9 · 1027 kg, 1 M = 2 · 1030 kg)
A4
Handelt es sich bei dem vorliegenden Kandidaten tatsächlich um einen Exoplaneten
oder doch eher um einen substellaren Begleiter (Brauner Zwerg). Berechnen Sie den
Inklinationswinkel, ab dem die Grenzmasse überschritten würde!
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Literaturverzeichnis
[1] S. Völker: Form der Radialgeschwindigkeitskurve.ggb; www.physik.unijena.de/didaktik download schuelerprojekte.html
[2] Internationale Astronomische Union: www.iau.org
[3] R. Aitken: The binary stars; University of California; New York; 1918
[4] U. Güntzel-Lingner: Wie schwer sind die Himmelskörper? ; Urania-Verlag,
1955
[5] D. Fischer et al.: Five intermediate-periode planets from the N2K sample;
The Astrophysical Journal, 669:1336-1344, Nov. 2007
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A Anhang
A.1 Bahn-Modell
oberhalb der Himmelsebene
Planet
Periastron
r
θ
r'
ω
Apastron
unterhalb der Himmelsebene
hinter der Bahnebene
Himmelsebene
xy-Ebene
Ω
N
vor der Bahnebene
Abbildung 5: Bastelvorlage
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A.2 Radialgeschwindigkeitskurve
Die vorliegende Radialgeschwindigkeitskurve des Sterns HD 17156 wurde mit zwei der im Moment größten Teleskope der Welt aufgenommen. Die roten, quadratischen Symbole markieren die
Radialgeschwindigkeitswerte aufgenommen am Keck-Observatorium (K) und die grünen, dreieckigen Symbole stehen für Aufnahmen am Subaru-Teleskop (S). Beide befinden sich in direkter
Nachbarschaft auf dem Mauna Kea, einem erloschenen Vulkan in Hawaii. Die Beobachtungen
am Subaru-Teleskop fanden an neun aufeinander folgenden Nächten vom 08. bis 16. Dezember
2006 statt. Am Keck Observatorium wurden 24 Beobachtungen im Zeitraum Januar 2006 bis
Februar 2007 durchgeführt. Tabelle 1 zeigt zusammengefasst alle Beobachtungsergebnisse.
Jul. Datum
vr /ms−1
∆vr /ms−1
Ort
Jul. Datum
vr /ms−1
∆vr /ms−1
Ort
2451376,8
88,49
1,70
K
2454078,0
-116,60
5,14
S
2453748,8
138,15
1,73
K
2454078,9
-261,56
5,18
S
2453749,8
151,35
1,67
K
2454079,9
-164,10
5,23
S
2453750,8
169,65
1,76
K
2454081,0
-89,57
5,13
S
2453775,8
235,17
1,83
K
2454081,9
-44,08
5,15
S
2453776,8
253,80
1,81
K
2454082,9
2,39
5,14
S
2453779,8
239,14
1,64
K
2454083,9
37,62
5,16
S
2453959,1
97,33
1,55
K
2454083,9
32,76
1,33
K
2453962,1
152,64
1,51
K
2454084,8
63,22
1,63
K
2453963,1
165,48
1,68
K
2454085,8
86,67
5,20
S
2453964,1
194,69
1,70
K
2454085,9
84,28
1,56
K
2453982,0
132,55
1,20
K
2454086,9
99,01
5,20
S
2453983,1
146,35
1,70
K
2454129,9
113,30
1,43
K
2459834,0
166,11
1,32
K
2454130,7
133,66
1,32
K
2453985,0
187,22
1,57
K
2454131,9
151,11
1,77
K
2454024,0
114,39
1,77
K
2454138,8
261,56
1,37
K
2454048,0
166,01
1,74
K
Tabelle 1: Radialgeschwindigkeitswerte
Die nachfolgenden Abbildungen bitte entsprechend der Beschriftung auf normales Papier (Original) und auf Folie (Kopie auf Folie) ausdrucken. Falls der Druck auf Folie nicht möglich ist,
kann die Kurve auch vom Schüler auf Transparentpapier nachgezeichnet werden.
14
Original
vr /ms-¹
300
250
200
150
100
50
0
-50
-100
-150
-200
-250
-300
Phase
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Kopie auf Folie
vr /ms-¹
300
250
200
150
100
50
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-50
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Phase
0
0,1
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0,3
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0,5
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0,7
0,8
0,9
1,0
OM
PH
ON
YS
TR
IK
AS
vr(t)
IE
t
DIDAKTIK
JENA
A.3 Herleitung der Terme
dθ
dr
und r ·
dt
dt
Die wahre Anomalie θ beschreibt die Position eines Planeten bzw. Exoplaneten beim Umlauf um
seinen Zentralkörper. Wie das 2. Keplersche Gesetz besagt, bewegt sich der Planet in der Nähe
des Periastrons schneller als in der Nähe des Apastrons. Die wahre Anomalie kann also nicht
linear von der Zeit abhängen, da der Betrag der Umlaufgeschwindigkeit dann konstant, also
überall gleich groß, sein müsste. Um die Zeitabhängigkeit der wahren Anomalie mathematisch
beschreiben zu können, führt man zwei neue Größen ein. Die exzentrische Anomalie E und die
mittlere Anomalie M . Die Exzentrische Anomalie beschreibt die Position des Planeten, wenn
dieser auf einer kreisförmigen Bahn (dem Umkreis der Ellipse) umlaufen würde. Der Radius
des Kreises ist dabei gleich der großen Halbachse der tatsächlichen, elliptischen Bahn. Auch die
Exzentrische Anomalie ist kein lineares Zeitmaß. Es lässt sich aber ein Zusammenhang zwischen
ihr und der mittleren Anomalie M herstellen. Die mittlere Anomalie M ist ein lineares Zeitmaß.
Auch sie beschreibt den Umlauf des Planeten auf der Kreisbahn, wobei seine vom Betrag her
nun konstante Umlaufgeschwindigkeit so gewählt ist, dass die Umlaufperiode der wahren Periode
entspricht. Es gilt
M = µ · (t − t0 )
(29)
mit dem Zeitpunkt t0 , wenn der Planet auf seiner wahren Bahn durch das Periastron läuft und
dem Faktor µ = 2π
P . Den bereits erwähnten Zusammenhang zwischen E und M nennt man die
Kepler-Gleichung
M = E − e · sin E .
(30)
Diese ist eine transzendente Gleichung und kann nicht explizit gelöst werden. Es existieren
allerdings zahlreiche iterative Lösungsverfahren. Hier wird jedoch nur die Zeitabhängigkeit der
Exzentrischen Anomalie benötigt. Dafür leitet man beide Seiten der Gleichung nach t ab
dM
dE
dE
=
− e · cos E ·
.
dt
dt
dt
(31)
Die zeitliche Ableitung von M erhält man aus Gleichung (29)
dM
= µ.
dt
(32)
Damit folgt für die zeitliche Ableitung der exzentrischen Anomalie
dE
µ
=
.
dt
(1 − e · cos E)
(33)
Mit Hilfe der exzentrischen Anomalie lassen sich viele Gleichungen in einer einfacheren Form
aufschreiben. Beispielsweise gilt für den Abstand des Planeten zum Mutterstern
r(θ) =
a · (1 − e2 )
1 + e · cos θ
(34)
oder
r(E) = a · (1 − e · cos E) .
Um herauszufinden, wie θ und E zusammenhängen betrachtet man Abbildung 6.
17
(35)
OM
PH
ON
YS
TR
IK
AS
vr(t)
IE
t
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y'
y
a
b
b
r
E
θ
x'
ae
a(1-e)
x
Abbildung 6: Zusammenhang Exzentrische und Wahre Anomalie
In Abbildung 6 sind zwei Koordinatensysteme dargestellt, zwischen denen die Zusammenhänge
x = x0 − a · e
y = y
(36)
0
(37)
bestehen. Will man die Position des Planeten auf der Ellipsenbahn in beiden Koordinatensystemen beschreiben, gilt für das x-y-Koordinatensystem
x = r · cos θ
(38)
y = r · sin θ
(39)
x0 = a · cos E
(40)
und für das x0 -y 0 -System
y
0
= b · sin E
(41)
Die beiden Gleichungen (40) und (41) erhält man aus der Betrachtung des Um- (grün) und
des Inkreises (gelb) der Ellipse. Der Umkreis hat den Radius Rum = a und der Inkreis Rin = b.
Nachdem man nun die Position in beiden Koordinatensystemen beschrieben hat, kann man diese
über die Transformationsgleichungen (36) und (37) miteinander in Verbindung bringen
r · cos θ = a · cos E − a · e
und somit
cos θ =
(42)
a · (cos E − e)
.
r
(43)
Für die y-Komponente folgt
r · sin θ = b · sin E
und daraus
b · sin E
a·
sin θ =
=
r
√
1 − e2
sin E .
r
Nun können die gesuchten Terme berechnet werden. Um den Term
Gleichung (35) nach der Zeit ab
dr
dE
= a · e · sin E ·
.
dt
dt
18
(44)
(45)
dr
dt
zu erhalten, leitet man
(46)
OM
PH
ON
YS
TR
IK
AS
vr(t)
IE
t
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Man setzt weiter die Gleichungen (33) und (45) ein
r · sin θ
µ
dr
=a·e· √
·
.
2
dt
(1
−
e
· cos E)
a 1−e
(47)
Ersetzen man dann den Term (1 − e · cos E) unter dem Bruchstrich mit Hilfe von Gleichung (35)
und kürzt alle möglichen Größen, bleibt
dr
e · a · µ · sin θ
= √
dt
1 − e2
(48)
stehen. Für die Herleitung des zweiten Terms beginnt man mit Gleichung (34) und leitet diese
nach der Zeit ab
dr
a · (1 − e2 ) · e · sin θ dθ
e · sin θ
dθ
=
·
=
·r .
2
dt
(1 + e · cos θ)
dt
(1 + e · cos θ) dt
Diese Gleichung stellt man nach dem gesuchten Term um und ersetzt
(48)
dθ
a · µ · (1 + e · cos θ)
√
r
.
=
dt
1 − e2
dr
dt
(49)
mit Hilfe von Gleichung
(50)
A.4 Extremwertdiskussion der Radialgeschwindigkeitskurve
Gleichung (12) beschreibt die Radialgeschwindigkeitskurve in Abhängigkeit der wahren Anomalie θ. Um die Frage zu beantworten, an welchen Positionen der Bahn die Radialgeschwindigkeit
extremal wird, bildet man die Ableitung der Radialgeschwindigkeit nach der wahren Anomalie
dvr
!
= −K · sin (ω + θ) = 0
dθ
(51)
und setzt diese gleich null. Es folgt die Bedingung
sin (ω + θ) = 0 .
(52)
Diese Gleichung hat die beiden Lösungen
θ1 = −ω
und
θ2 = 180◦ − ω .
Bildet man zusätzlich die zweite Ableitung von Gleichung (12) zeigt sich, dass die Radialgeschwindigkeit bei θ1 maximal und bei θ2 minimal wird. Vergleicht man die gefundenen Lösungen
mit Abbildung 2 sieht man, dass θ1 die Position des aufsteigenden und θ2 die Position des absteigenden Knotens ist.
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OM
PH
ON
YS
TR
IK
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vr(t)
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t
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A.5 Kleine Formelsammlung
• Produktregel der Differentiation:
dh
df
dg
= g(x) ·
+ f (x) ·
dx
dx
dx
(53)
Für eine gegebene Funktionh(x): h(x) = f (x) · g(x)
• Kettenregel der Differentiation:
dh
df (g(x))
df dg
=
=
·
dx
dx
dx dx
(54)
Für eine gegebene Funktionh(x): h(x) = f (g(x))
• Additionstheoreme für Sinus und Kosinus:
sin(α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
(55)
cos(α + β) = cos α · cos β − sin α · sin β
(56)
A.6 Abhängigkeit der Radialgeschwindigkeitskurve von ω und e
Abbildung 7 zeigt den Einfluss der Exzentrizität auf die Form der Radialgeschwindigkeit für
ω = 0◦ . Die Exzentrizität ist im Bereich von 0 ≤ e ≤ 0, 90 in Schritten von 0, 15 variiert.
Abbildung 8 zeigt den Einfluss der Länge des Periastrons ω bei einer Exzentrizität von e = 0, 75.
ω ist hier variiert in einem Bereich von 0◦ ≤ ω ≤ 180° in Schritten von 30◦ .
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vr(t)
Zeit t
e=0
e = 0,15
e = 0,30
e = 0,45
e = 0,60
e = 0,75
e = 0,90
Abbildung 7: Änderung der Form der Radialgeschwindigkeit bei Variation der Bahnexzentrizität
e (ω = 0)
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Abbildung 8: Änderung der Form der Radialgeschwindigkeit bei Variation der Länge des Periastrons ω (e = 0, 75)
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