v - Universität Kassel

Brückenkurs
• Brücke zwischen Schule und Universität
• Vorlesung mit vielen Übungen
• Gelegenheit für Fragen
• Äußern Sie Wünsche z.B. wenn Sie ein Thema ausführlicher
behandelt haben möchten.
Literaturvorschläge:
• Physik, Tipler, Spektrum Verlag
• Physik, Giancoli, Pearson Verlag
• Oberstufenschulbuch: Physik, Höfling, Dümmler Verlag
Die Bücher enthalten auch viele Übungsaufgaben und Beispiele.
Inhalt:
M1
Die Kinematik der Massenpunkte
• Geschwindigkeit
• Beschleunigung
• Bewegungsarten von Massenpunkten
- Freier Fall, schiefe Ebene, vertikaler Wurf
- Kreisbewegung
- Horizontaler und schiefer Wurf
M2
• Newtonsche Axiome
- Gegenkraft und Kompensationskraft
M3
• Bezugsysteme
M4
• Arbeit
• Energie
- Formen der Energie
- Konservative Kräfte
- Gradient der potentiellen Energie
M4
• Leistung
M5
• Impulserhaltung und Schwerpunktsatz
- Kraftstoß
- Impuls, Impulserhaltung, elastische und unelastische Stöße
- Massenmittelpunkt/Schwerpunkt
M6
• Drehbewegungen
- Drehmoment
- Kräftepaar
- Trägheitsmoment, Satz von Steiner
- Drehimpuls
M7
• Schwingungen
- Harmonische ungedämpfte Schwingungen
- Vergleich: Kreisbewegung
- Synthese und Analyse von Schwingungen
Welche der folgenden physikalischen Größen ist keine Grundgröße im SI-System?
a) Masse
b) Länge
c) Kraft
d) Zeit
e) alle Größen sind physikalische Grundgrößen
Am Ende einer Berechnung erhalten Sie m/s im Zähler und m/s2 im Nenner.
Wie lautet die endgültige Maßeinheit?
a) m2/s3
b) 1/s
c) s3/m2
d) s
e) m/s
Richtig oder falsch?
a) Zwei physikalische Größen müssen die gleiche Dimension besitzen, um
addiert werden zu können.
b) Zwei physikalische Größen müssen die gleiche Dimension besitzen, um
multipliziert werden zu können.
Es gibt physikalische Größen, die durch einen Zahlenwert und eine Einheit
vollständig charakterisiert sind, Skalare, und solche die zusätzlich die
Angabe einer Richtung benötigen, Vektoren.
Richtig oder Falsch?
• Masse – Skalar ?
• Volumen – Vektor ?
• Geschwindigkeit – Vektor ?
• Wellenlänge – Vektor ?
• Temperatur – Skalar ?
• Beschleunigung – Skalar ?
• Kraft – Vektor ?
• Impuls – Vektor ?
Ein senkrecht nach oben geworfener Gegenstand fällt zurück auf den Boden.
Seine Flugzeit beträgt t und die erreichte Maximalhöhe h. Seine mittlere
Geschwindigkeit für den gesamten Flug beträgt:
a) h/t
b) 0
c) h/(2t)
d) 2h/t
Die Kinematik der Massenpunkte:
Bewegungen eines Körpers:
• als Ganzes durch den Raum
• Drehbewegungen
• Formveränderungen
• seine Teile können Schwingungen gegeneinander ausführen
Wir betrachten den Fall:
• Es interessiert nur die fortschreitende Bewegung.
• Der Körper legt Entfernungen zurück, die groß verglichen mit seiner
Ausdehnung sind.
Ersetzen den Körper durch die Modellvorstellung eines Massenpunktes!
Idealisierung, die es in der realen Welt nicht gibt.
Eigenschaften des Massenpunktes:
• keine Ausdehnung
• Masse des Körpers soll im Massenpunkt vereinigt sein.
Vorteile:
• Massenpunkt ist in einem Koordinatensystem einfach zu lokalisieren
• Bewegung ist einfach
• es gibt nur einen Angriffspunkt für Kräfte
Geschwindigkeit:
Gleichförmige Bewegung: Eine auf einer Geraden erfolgte Bewegung, bei
der in beliebig großen, gleichen Zeitintervallen stets gleich große Wege
zurückgelegt werden.
r
r ∆s
Geschwindigkeit einer gleichförmigen Bewegung: v =
Einheit: m/s
∆t
Weg - Zeit Diagramm
Geschwindigkeits - Zeit Diagramm
s
v
v1 > v2
s = v1.t
v1
s=v2.t
v2
∆s = v ⋅ ∆t
2
t
∆t
t
Weg - Zeit Diagramm der ungleichförmigen Bewegung:
s
Mittlere Geschwindigkeit
∆s
∆t
in einem Intervall:
2
r
r
∆s
vm =
∆t
∆s
1
∆t
t
r
Momentangeschwindigkeit: v (t ) =
r
r
∆s ds r.
lim
=
=s
∆
t
dt
∆t → 0
Geometrische Bedeutung:
Der Betrag der Momentangeschwindigkeit einer beliebigen Bewegung ist
zu jeder Zeit gleich der Steigung der Tangente, die man an den
zugehörigen Punkt des Weg-Zeit Diagramms zeichnen kann.
Mathematischer Einschub: Ableiten einer Funktion
Steigung der Sekante:
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆y
=
( x0 + ∆x) − x0
∆x
Differenzenquotient
Steigung im Punkt x0 :
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
lim
= f ' ( x0 )
∆x → 0
( x0 + ∆x) − x0
Definition der Ableitung (Differentialquotient erster Ordnung)
Verwendete Symbole: f ' ( x ) oder
dy
dx
Beispiel:
3
Ableitung der Funktion y = x an der Stelle x0 entsprechend der Definition der
Ableitung.
y = f ( x) = x 3
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )
( x0 + ∆x) 3 − x03
f ' ( x0 ) = lim
= lim
∆x → 0
∆x → 0
( x0 + ∆x) − x0
∆x
( x02 + 2 x0 ∆x + ∆x 2 )( x0 + ∆x) − x03
f ' ( x0 ) = lim
∆x → 0
∆x
f ' ( x0 ) = lim
x03 + 2 x02 ∆x + x0 ∆x 2 + x02 ∆x + 2 x0 ∆x 2 + ∆x 3 − x03
∆x
∆x → 0
f ' ( x0 ) = lim
3x02 ∆x + 3x0 ∆x 2 + ∆x 3
∆x → 0
∆x
= lim (3x02 + 3x0 ∆x + ∆x 2 )
⇒
∆x → 0
Einfacher: Rechenregeln für das Differenzieren von Funktionen
f ( x) = x n (n ∈ R)
⇒
f ' ( x) = n ⋅ x n −1
f ' ( x0 ) = 3 x02
Übung:
x
Weg - Zeit Diagramm eines
Massenpunktes: x(t)
C
D
B
A
t
Welche Aussage ist richtig?
•
•
•
•
v A < vB
vC ≈ 0
Der Massenpunkt bewegt sich nur in eine Richtung.
v D ist negativ
Beschleunigung:
Beschleunigte Bewegungen:
• Geschwindigkeitsbetrag nimmt zu (Alltagssprache)
• Geschwindigkeitsbetrag nimmt ab
• nur die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ändert sich
Gleichmäßig, geradlinig beschleunigte Bewegung:
Bewegung, bei der der Geschwindigkeitsvektor nur seinen
Betrag ändert und der Quotient aus der Geschwindigkeitsänderung ∆v und der dazu benötigten Zeit ∆t für beliebige
Zeitintervalle konstant ist.
v
Fall: v (t = 0) = 0
v = a1.t
v = a2.t
s=
t
1
a t2
2 2
vm
t
⇒ v(t ) = a ⋅ t
r
r ∆v
a=
∆t
Einheit: m/s2
oder:
ds = vdt
s
t
t
1
⇒ vm = a ⋅ t
2
∫ ds' = ∫ v(t ' )dt ' = ∫ a ⋅ t ' dt '
1
⇒ s = vm ⋅ t = a ⋅ t 2
2
1
s = at 2
2
0
0
0
Geradlinig, ungleichförmig beschleunigte Bewegung:
v
∆t
∆v
∆v
∆t
t
Mittlere Beschleunigung pro Intervall:
r
r
∆v
am =
∆t
Momentanbeschleunigung:
r
ds 

r
r . d 
r
∆
v
d
v
dt  d 2 s ..r
r
r

=
=v =
=
=s
a (t ) = lim
2
dt
∆t → 0 ∆t dt
dt
Vektoren:
r
r
r
r
s = xe + ye + ze = ( x, y , z )
x
y
z
Differentiation erfolgt
komponentenweise!
.
.
.
dx r
dy r
dz r
r
r
r
r
r
r
r
v = v e + v e +v e = e + e + e = xe + ye + ze
x x
y y
z z dt x dt y dt z
x
y
z
dv
..
..
..
dv r
d 2x r
d2y r
d 2z r
yr
r dvx r
r
r
r
z
a=
e +
e +
e =
e +
e +
e = xe + ye + ze
x
y
z
dt x
dt y dt z dt 2 x dt 2 y dt 2 z
Beispiel: Vektor Geschwindigkeit
r
v B = 4m/s
r
v S = 3m/s
r
vS
r
vB
Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich das Boot vom Ufer aus betrachtet?
1.
r
v
r
vB
α
2.
v = (4m/s) 2 + (3m/s) 2 = 25m 2 /s 2 = 5m/s
 vB
α = arcsin
 v
r
vS
 3m/s 
 0m/s 
 3m/s 
 r

 r r r


r 
v S =  0m/s , v B =  4m/s , v = vS + v B =  4m/s 
 0m/s 
 0m/s 
 0m/s 






y
x
z



v = (4m/s) 2 + (3m/s) 2 = 25m 2 /s 2 = 5m/s
Übungen:
Kann der Betrag einer Ortsverschiebung eines Massenpunktes
• gleich der entlang seiner tatsächlichen Bahn zurückgelegten Strecke
sein?
• größer als die entlang seiner tatsächlichen Bahn zurückgelegten
Strecke sein?
• kleiner als die entlang seiner tatsächlichen Bahn zurückgelegten
Strecke sein?
Richtig oder Falsch?
• Der Betrag der Summe zweier Vektoren muss größer als der Betrag
jedes einzelnen Vektors sein.
• Ein Nullvektor kann eine Komponente ungleich Null besitzen!
Verschiedene Bewegungsarten von Massenpunkten:
1. Gleichförmige Bewegung
Der Geschwindigkeitsvektor ist unveränderlich, Betrag und Richtung sind
konstant, es tritt keine Beschleunigung auf.
2.Ungleichförmige oder beschleunigte Bewegung
Fall A: Der Geschwindigkeitsvektor ändert nur seinen Betrag. Es treten nur
Bahnbeschleunigungen auf.
Beispiel: Freier Fall, schiefe Ebene, vertikaler Wurf
Fall B: Der Geschwindigkeitsvektor ändert nur seine Richtung. Es treten nur
Radialbeschleunigungen auf.
Beispiel: Kreisbewegung
Fall C: Der Geschwindigkeitsvektor ändert seinen Betrag und seine Richtung.
Es treten Bahnbeschleunigungen und Radialbeschleunigungen auf.
Beispiele: horizontaler und schiefer Wurf
Beispiele für geradlinig beschleunigte Bewegungen:
1. Freier Fall
Alltagserfahrungen:
• Alle Körper fallen zu Boden.
• Ein Apfel fällt schneller vom Baum als ein Blatt.
• Im Wasser fallen Körper langsamer als in Luft, wenn überhaupt.
Galileo Galilei (1562 – 1642):
Werden störende Einflüsse ausgeschaltet hängt
die Beschleunigung, die ein Körper erfährt nicht
von seiner Größe, Masse oder Form ab.
Die Fallbeschleunigung g ist für alle Körper
dieselbe!
Näherungswert für g nahe der Erdoberfläche:
g ≈ 9,81 m/s 2
2. Reibungsfreies Gleiten auf einer geneigten Ebene:
s
g sin α
g
h
α
α
g cosα
Konstante Beschleunigung: a = g sin α
Es gilt:
v = a ⋅ t = g ⋅ sin α ⋅ t
1
s = g ⋅ sin α ⋅ t 2
2
v = 2 g ⋅ sin α ⋅ s
Sonderfall: α = 90°
⇒ sin α = 1 ⇒ h = s
Endgeschwindigkeit: v = 2 gh
3. Der vertikale Wurf
Ein Körper wird mit der Anfangsgeschwindigkeit vertikal nach unten
oder nach oben geworfen.
Beschreibung als Überlagerung von zwei unabhängigen Teilbewegungen:
•
•
Einer auf- oder abwärts gerichteten gleichförmigen Bewegung mit der
konstanten Geschwindigkeit v0 .
Einer abwärts gerichteten, gleichmäßig beschleunigten Fallbewegung mit
der Beschleunigung g.
Wurf nach unten:
Wurf nach oben:
v(t ) = v − gt
0
1
s(t ) = v t − gt 2
0 2
v (t ) = v + gt ,
0
1 2
s (t ) = v t + gt
0 2
Steigzeit ts :
v (t ) = 0 = v − gt
0
s
v
⇒ t = 0
s
g
Maximale Steighöhe:
v2 1
s (t ) = H = 0 − g
s
g 2
v2 v2
0 = 0
g 2 2g
Übung:
Ein Porsche beschleunigt gleichförmig von 80,5 km/h bei t=0 auf 113 km/h
bei t = 9s. Welches Diagramm in der Abbildung beschreibt die Bewegung
des Autos am besten?
v
v
a
d
v
t
v
t
b
e
c
v
t
v
t
f
t
t
Beispiel bei dem nur eine Radialbeschleunigung auftritt:
Die gleichmäßige Kreisbewegung
Bewegung auf einem Kreis, bei der in beliebig großen, gleichen Zeitintervallen ∆t
stets gleich lange Wege auf dem Kreis ∆s zurückgelegt werden.
r
v
∆s
A2 2
Betrag
der
Bahngeschwindigkeit:
v
=
r
v
∆t
1
r
⋅
∆
ϕ
∆s
= rω
mit ∆s = r ⋅ ∆ϕ folgt: v =
r
A1
∆t
∆ϕ
r
ω : Winkelgeschwindigkeit
M
Einheit: rad/s
r r r
Allgemein gilt: v = ω × r
Der Beschleunigungsvektor ist bei der gleichmäßigen Kreisbewegung stets
r
zum Kreismittelpunkt gerichtet.
v
r
Normal- oder Zentripetalbeschleunigung: ar
r
ar
M
r
Betrag von ar :
A
C
v ⋅ ∆t
B
D
1
a r ∆t 2
2
Überlagerung von zwei Teilbewegungen:
AB = v ⋅ ∆t
1
AC = ar ∆t 2
2
Höhensatz für rechtwinklige Dreiecke:
CD2 = AC . CE
einsetzen ergibt:


1
1
2
2
2

(v ⋅ ∆t ) = ar ∆t ⋅ 2r − ar ∆t 
2
2


1 2 2
2
⇒ v = a r − a ∆t
r
4 r
Dies gilt umso genauer, je kleiner ∆t ist. Für ∆t → 0 gilt: v 2 = a r
r
v2
ar =
= ω 2r
r
Weitere wichtige Größen zur Beschreibung einer Drehbewegung:
Frequenz: υ =
n
t
Einheit: 1/s = 1 Hz
n: Anzahl der Umdrehungen
t: Zeit für n Umdrehungen
Periodendauer: T =
1
υ
Zusammenhang zwischen υ und ω :
Betrag der Bahngeschwindigkeit: v =
⇒ ω = 2πυ
„Kreisfrequenz“
∆s 2πr
=
= 2πrυ = ωr
∆t
T
Weitere Beispiele für beschleunigte Bewegungen:
y
r
v0
1. Der horizontale Wurf
x
Beschreibung als zwei unabhängige Teilbewegungen:
• Eine entlang der x-Achse verlaufende gleichförmige Bewegung mit
konstanter Geschwindigkeit v0
• Eine entlang der y-Achse verlaufende gleichmäßig beschleunigte
Fallbewegung mit der konstanten Beschleunigung g.
r
r
r
r
r
r
Geschwindigkeit des Körpers v zur Zeit t : v = v x + v y = v0 + gt
v = v02 + g 2 t 2
In der Zeit t zurückgelegte Wege: x = v0 t ,
2
Zeit t eliminieren: y ( x) =
1 2
y = gt
2
1 x
g
g   = 2 x 2
2  v0 
2v 0
y
x
Parabel
2. Der schiefe Wurf
r
r r
r
r
v (t ) = v x + v y (t ) = v0 x ⋅ e x + (v0 y − gt ) ⋅ e y
r
r
r
v (t ) = v0 ⋅ cos α ⋅ e x + (v0 ⋅ sin α − gt ) ⋅ e y
y
r
v0
v0 y
α
v0 x
x
x(t ) = v0 ⋅ cos α ⋅ t
v(t ) = (v0 ⋅ cos α ) 2 + (v0 ⋅ sin α − gt ) 2
Bahnkurve:
x
1 
x 

1
y ( x) = v0 ⋅ sin α ⋅
− g
y (t ) = (v0 ⋅ sin α ⋅ t − gt 2 )
v0 cos α 2  v0 cos α 
2
y
g
2
y ( x) = x ⋅ tan α − 2
x
2v0 cos 2 α
Wurfweite:
y ( x) = 0
α
Wurfhöhe: y (t S ) = hmax
2
2v02 cos α sin α v02 sin 2α
⇒ x=
=
g
g
x Steigzeit:
v0 ⋅ sin α
v y = 0 ⇒ v0 ⋅ sin α − gt s = 0 ⇒ t s =
g
2
v sin α 1  v sin α 
1 v02 sin 2 α
 ) =
= (v0 ⋅ sin α ⋅
− g 
g
2  g 
2
g
2
0
2
0
Übung
Ein Geschoss wird unter einem Winkel von 35°gegenüber der Horizontalen
abgefeuert. Im höchsten Punkt seiner Bahn beträgt seine Geschwindigkeit
200 m/s. Der Luftwiderstand soll vernachlässigt werden.
Die horizontale Komponente der Anfangsgeschwindigkeit betrug:
• 0 m/s
• 200 m/s cos35°
• 200 m/s sin35°
• 200 m/s
• 200 m/s / (cos35°)