QM in 3 Dimensionen

Kapitel 4
QM in 3 Dimensionen
4.1
Schrödinger Gleichung in 3 Dimensionen
Schrödinger Gl.:
∂Ψ
= HΨ
∂t
Hamilton-Operator bekommen wir aus der klassischen Energie:
ih̄
1 2
1
mv 2 + V =
(p + p2y + p2z ) + V
2
2m x
durch die standarte Substituition
∂
∂
∂
px → −ih̄
py → −ih̄
pz → −ih̄
∂x
∂y
∂z
oder
p~ → −ih̄∇
Wir bekommen
h̄2 2
∂Ψ
=−
∇ Ψ+VΨ
∂t
2m
mit Laplace-Operator in Kartesischen Koordinaten
ih̄
∇2 =
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
Die Wahrscheinlichkeit das Teilchen im Elementarvolumen zu finden ist
|Ψ(~r, t)|2 dV , wobei dV = dx dy dz, mit der Normierungsbedingung:
Z
V
|Ψ(~r, t)|2 dV = 1
53
(Wir integrieren über den ganzen Raum.)
Für zeitunabhängiges Potential benutzen wir den Ansatz Ψ(~r, t) = ψ(~r)φ(t),
genauso wie in einer Dimension. Wir bekommen ein vollständiges System von
stationären Zuständen
Ψn (~r, t) = ψn (~r)e−iEn t/h̄ ,
wobei die räumliche Wellenfunktion ψ die Lösung der zeitunabh. Schr. Gl. ist:
h̄2 2
∇ ψ + V ψ = Eψ
2m
−
Die allgemeine Lösung der zeitabh. Schr. Gl
Ψ(~r, t) =
X
cn ψn (~r)e−iEn t/h̄
Konstanten cn bekommen wir, wie üblich, aus der Anfangsbedingung Ψ(~r, 0).
4.1.1
Bsp.: ein Teilchen im Quader
Potential:
V (x, y, z) =
(
0, 0 < x < a , 0 < y < a , 0 < z < a
∞, sonst
Schr. Gl. im Quader:
h̄2
−
2m
∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
!
= Eψ
Ansatz: ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z). Einsetzen, und mit XY Z dividieren:
1 d2 Y
1 d2 Z
2m
1 d2 X
+
+
=− 2E
2
2
2
X dx
Y dy
Z dz
h̄
Alle drei Summanden links sollen konstant sein. Wir notieren diese Konstanten mit
−kx2 , −ky2 , −kz2 . Dann
d2 X
= −kx2 X ,
dx2
und
E=
d2 Y
= −ky2 Y ,
dy 2
d2 Z
= −kz2 Z
dz 2
h̄2 2
(k + ky2 + kz2 )
2m x
54
Lösungen:
X(x) = Ax sin(kx x) + Bx cos(kx x) Y (y) = Ay sin(ky y) + By cos(ky y)
Z(z) = Az sin(kz z) + Bz cos(kz z)
Randbedingungen:
X(0) = X(a) = 0 =⇒
nx π
, nx = 1, 2, . . ..
a
p
Normierung genauso wie für den unendlich hohen Potentialtopf: Ax = 2/a.
Ähnlich für X, Y . Letzendlich:
ψ(x, y, z) =
Bx = 0 , sin(kx a) = 0
3/2
2
a
E=
=⇒
kx =
nx π
ny π
nz π
sin
x sin
y sin
z
a
a
a
h̄2 π 2 2
(n + n2y + n2z )
2m a2 x
In 1D war es
h̄2 π 2 2
n
2m a2
Finden wir Energiewerte und Entartung.
En =
55
56
Überprüfen Orthonormierung. Wir benutzen
Z
a
0
πx
πx ′
a
sin
n sin
n = δnn′
a
a
2
ψijk |ψi′ j ′ k′ =
=
4.2
3 Z
2
a
0
a
Z
0
aZ aZ a
0
0
πx ′
πx
i sin
i dx
sin
a
a
ψijk ψi′ j ′ k′ dxdydz
Z
a
(·)dy
0
Z
0
a
(·)dz = δii′ δjj ′ δkk′
Zentralpotential
Typisches Problem: Zentralkraft. Das Potential ist V (~r) = V (r)
benutzen die Kugelkoordinaten. Laplace-Operator
∂
1 ∂
r2
∇2 = 2
r ∂r
∂r
∂
1
∂
+ 2
sin θ
r sin θ ∂θ
∂θ
1
+ 2 2
r sin θ
=⇒
∂2
∂φ2
wir
!
Ansatz: ψ(r, θ, φ) = R(r)Y (θ, φ). Wir bekommen
−
dR
h̄2 Y d
r2
−
2
2m r dr
dr
"
h̄2 2
∇ ψ + V ψ = Eψ
2m
∂
R
∂Y
+ 2
sin θ
r sin θ ∂θ
∂θ
R
∂2Y
+ 2 2
r sin θ ∂φ2
#
+ V RY = ERY
Dividieren mit RY , multiplizieren mit −2mr 2 /h̄2 :
(
1
+
Y
1 d
dR
r2
R dr
dr
(
)
2mr 2
[V (r) − E]
−
h̄2
1 ∂
∂Y
sin θ
sin θ ∂θ
∂θ
1 ∂2Y
+
sin2 θ ∂φ2
)
=0
Erste {. . .} ist nur von r abhängig, zweite {. . .}/Y nur von θ, φ, also beide Glieder
sollen konstant sein. Wir notieren diese Separationskonstante mit l(l + 1); hier kann
l eine beliebige komplexe Zahl sein, aber später wird gezeigt, dass l ganzzahlig ist.
l: die Nebenquantenzahl oder Drehimpulsquantenzahl.
Die Gleichung für R
dR
1 d
r2
R dr
dr
−
2mr 2
[V (r) − E] = l(l + 1)
h̄2
57
soll man für jede Potentialfunktion V (r) lösen. Die Winkelgleichung
1
Y
(
1 ∂
∂Y
sin θ
sin θ ∂θ
∂θ
1 ∂2Y
+
sin2 θ ∂φ2
)
= −l(l + 1)
ist vom Potential unabhängig.
4.2.1
Winkelgleichung
Winkelgleichung ist mit dem Ansatz Y (θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ) lösbar. Zuerst schreiben
wir die Gleichung um (multiplizieren mit Y sin2 θ):
sin θ
∂
∂Y
sin θ
∂θ
∂θ
+
∂2Y
= −l(l + 1) sin2 θY
∂φ2
Einsetzen Y (θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ), dann mit ΘΦ dividieren:
d
dΘ
1
sin θ
sin θ
Θ
dθ
dθ
2
+ l(l + 1) sin θ +
1 d2 Φ
=0
Φ dφ2
Dann erscheint noch eine Separationskonstante, die wir mit m2 notieren. Wir
bekommen
d
dΘ
1
sin θ
sin θ
+ l(l + 1) sin2 θ = m2
Θ
dθ
dθ
1 d2 Φ
= −m2
Φ dφ2
m heisst die magnetische Quantenzahl.
Für Φ bekommt man eine sehr einfache Lösung
Φ(φ) = eimφ
Aus der Periodizitätsbedingung
Φ(φ + 2π) = Φ(φ)
e2πmi = 1
=⇒
=⇒
m = 0, ±1, ±2, . . .
Die Lösung für Θ kann man durch die Legendre-Funktionen und
Legendre-Polynomen darstellen; die ist nur für ganzzahlige positive l und
|m| ≤ l normierbar.
Normierung:
Z
|ψ|2 r 2 sin θ dr dθ dφ =
Z
|R(r)|2 r 2 dr
58
Z Z
|Y |2 sin θdθ dφ = 1
Es ist bequem, die Funktionen separat zu normieren:
Z
0
∞
Z
2 2
|R(r)| r dr = 1
π
0
Z
0
2π
|Y |2 sin θdθ dφ = 1
Die normierte Winkelwellenfunktionen heissen Kugelflächenfunktionen:
Ylm (θ, φ) = ǫ
s
2l + 1 (l − |m|)! m
P (cos θ)eimφ
4π (l + |m|)! l
mit ǫ = (−1m ) für m ≥ 0 und ǫ = 1 für m < 0. Plm sind Legendre-Funktionen. Die
Funktionen Ylm sind orthogonal:
Z
0
π
Z
0
2π
′
[Ylm ]∗ Ylm
sin θdθ dφ = δll′ δmm′
′
59
60
4.2.2
Radialgleichung
Winkelfunktionen Ylm sind für alle Zentralpotentiale gleich, nur R(r) ist von V (r)
abhängig. Die Gleichung ist
d
dR
r2
dr
dr
−
2mr 2
[V (r) − E]R = l(l + 1)R
h̄2
Substitution:
u(r) = rR(r)
Dann
du
dR
= [ r − u]/r 2 ,
dr
dr
R = u/r ,
r
d
dR
r2
dr
dr
=r
d2 u
dr 2
d2 u 2mr 2
u
u
−
2 [V − E] r = l(l + 1) r
dr 2
h̄
d2 u 2m
u
− 2 [V − E]u = l(l + 1) 2
dr 2
r
h̄
h̄2 l(l + 1)
h̄2 d2 u
+
V
+
u = Eu
−
2m dr 2
2m r 2
"
#
Wir vergleichen mit der zeitunabh. Schr. Gl. in einer Dimension:
−
h̄2 d2 ψ
+ V ψ = Eψ
2m dx2
Die Gleichungen sind identisch, wenn wir das effektive Potential einführen:
Vef f = V +
h̄2 l(l + 1)
2mr 2
Zentrifugalterm, wie im Kepler-Problem: Vef f = V +
l-Zahl den Drehimpuls beschreiben soll.
Normierungbedingung ist jetzt
Z
0
∞
2 2
|R(r)| r dr =
61
Z
0
∞
L2z
2mr 2 .
|u|2 dr = 1
Vergleich zeigt, dass
4.3
Bsp.: ein Teilchen in der Kugel
Sei das Potential V = 0 für r < a und V = ∞ sonst. Für r > a ist die Wellenfkt
gleich Null. Für r < a:
−
h̄2 l(l + 1)
h̄2 d2 u
+
u = Eu
2m dr 2
2m r 2
d2 u l(l + 1)
2mE
−
u=− 2 u
2
2
dr
r
h̄
d2 u
l(l + 1)
=
− k2 u
2
dr
r2
mit
k=
√
2mE
h̄
E=
k2 h̄2
2m
Randbediengung: u(a) = 0.
Für l = 0:
d2 u
= −k2 u
dr 2
=⇒
u(r) = A sin(kr) + B cos(kr)
cos(kr)
sin(kr)
+B
r
r
Wir verlangen, dass R(r) begrenzt ist. Dann soll B = 0, sonst limr→0 R(r) = ∞.
Randbediengung gibt: sin(ka) = 0
=⇒
ka = nπ , n = 1, 2, . . .. Die
Energie ist:
k2 h̄2
π 2 h̄2 2
En0 =
=
n ,
n = 1, 2, . . .
2m
2ma2
(Genau wie im unendl. hoh. Potentialtopf in einer Dimension.) Normierung:
R(r) = u(r)/r = A
A=
√
Mit Y00 = 1/ 4π
ψn00 =
Rn0 (r)Y00 (θ, φ)
q
2/a
√
1 nπ/a sin(nπr/a)
n π
nπr
1 sin(nπr/a)
=√
= √ J0 (
),
=√
r
nπr/a
a
2πa
2πa
a 2a
wobei J0 (x) = sin(x)/x ist die Bessel-Fkt nullter Ordnung. Allgemeine Lsg für
l > 0 bekommnt man durch Bessel- und Neumann-Fkt.
62
4.4
Wasserstoffatom
Schwerer Proton (in Koordinatenursprung) und Elektron. Coulombsches Potential:
V (r) = −
e2 1
4πε0 r
Die radiale Gleichung lautet:
h̄2 d2 u
e2 1 h̄2 l(l + 1)
−
+
−
+
u = Eu
2m dr 2
4πε0 r
2mr 2
"
#
Die Aufgabe ist die Gleichung zu lösen und die erlaubte Werte der Energie zu
bestimmen. Man kann zeigen, dass die normierbare Lösungen nur für
En =
E1
n2
mit
E1 = −
me4
= −13.6 eV
32h̄2 π 2 ε20
existieren, mit
n = 1, 2, . . .
und
l = 0, 1, 2, . . . , n − 1,
m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l
Hier n ist die Hauptquantenzahl. Das ist die berühmte Bohr-Formel.
Bindungsenergie ist 13.6 eV.
E1 = −
h̄2
= −13.6 ,
2ma20
2
0 h̄
wobei a0 = 4πε
me2 der Bohr-Radius ist.
Die Wellenfunktionen haben 3 Indexen: ψnlm = Rnl (r)Ylm (θ, φ), wobei
n = 1, 2, 3, . . .
l = 0, 1, . . . , n − 1
m = −l, −l + 1, . . . , 0, 1 . . . l
Z.B., der Grundzustand ist:
Funktionen sind orthonormiert:
Z
1
ψ100 = q
e−r/a0
3
πa0
∗
ψnlm
ψn′ l′ m′ r 2 sin θdθdφ = δnn′ δll′ δmm′
63
Entartung: für jeden Wert von l gibt es 2l + 1 möglichen Werten von m. Dann
d(n) =
n−1
X
(2l + 1) = n2
l=0
Andere Notation: Zustand des Elektron im Wasserstoffatom:
| ψi = | n, l, mi
Weiter sehen wir, dass eigentlich sollen wir schreiben:
| ψi = | n, l, m, si
Hier die Quantenzahl s entspricht Spin.
Bohr-Radius klassisch, grobe Schätzung. Aus der Unschärferelation: p ≈ h̄/a0 .
Dann
p2
h̄2
T =
=
2m
2ma20
V (a0 ) = −
1 e2
4πε0 a
Minimiert man die Gesamtenergie T (a) + V (a), erhält man
a0 =
4.4.1
4πε0 h̄2
me2
Spektrum des Wasserstoffatoms
Wenn das Wasserstoffatom im Zustand | n, l, mi ist, dann soll es auch so bleiben,
weil der Zustand stationär ist. Eine Störung (Kollisonen mit anderen Atomen,
Photonen, etc) kann aber das System in einen anderen Zustand bringen.
Energiedifferenz:
Eγ = Ei − Ef = E1
1
1
− 2
2
ni
nf
!
= h̄ω = hν
Eγ > 0: Emission eines Photons; Eγ < 0: Absorption eines Photons.
ν = c/λ =⇒
!
!
E1
1
1
1
1
1
=
− 2 =R
− 2
λ
2πh̄c n2i
nf
n2i
nf
64
Hier R ist die Rydberg-Konstante.
Übergänge zum Grundzustand, d.h. nf = 1: Lyman-Serie, ultraviolett.
Übergänge zum ersten angeregten Zustand, d.h. nf = 2: Balmer-Serie, sichtbar.
Übergänge zum zweiten angeregten Zustand, d.h. nf = 3: Paschen-Serie, infrarot.
4.5
Drehimpuls
Klassisch:
~ = ~r × ~p
L
oder
Lx = ypz − zpy
Ly = zpx − xpz
Lz = xpy − ypx
Quantenmechanisch: den Operator des Drehimpulses bekommen wir durch die
standarte Substitution:
px → −ih̄
4.5.1
∂
∂x
py → −ih̄
∂
∂y
pz → −ih̄
∂
∂z
Kanonische Vertauschrelationen
In 3 Dimensionen (Übung) gelten kanonische Vertauschrelationen (in 1D:
[x, p] = ih̄):
[ri , pj ] = ih̄δij
[ri , rj ] = [pi , pj ] = 0
Wir berechnen (alle Operatoren sind distributiv!)
[Lx , Ly ] = [ypz − zpy , zpx − xpz ] =
[ypz , zpx ] − [ypz , xpz ] − [zpy , zpx ] + [zpy , xpz ]
In [ypz , xpz ] und [zpy , zpx ] alle Operatoren kommutieren
[ypz , xpz ] = 0
=⇒
[zpy , zpx ] = 0
[ypz , zpx ] = ypz zpx − zpx ypz = ypx pz z − ypx zpz = ypx [pz , z]
[zpy , xpz ] = xpy [z, pz ]
[Lx , Ly ] = [ypz , zpx ] + [zpy , xpz ] = xpy [z, pz ] − ypx [z, pz ] = ih̄(xpy − ypx ) = ih̄Lz
Mit x → y, y → z, und z → x:
[Lx , Ly ] = ih̄Lz
[Ly , Lz ] = ih̄Lx
65
[Lz , Lx ] = ih̄Ly
Verallgemeinerte Unschärferelation:
σL2 x σL2 y
≥
2
1
hih̄Lz i
2i
=
h̄2
hLz i2
4
=⇒
Zwei Komponenten des Drehimpulses sind nicht verträglich!
Anderseits, der Operator
L2 = L2x + L2y + L2z
kommutiert mit Lx . Wir berechnen:
[L2 , Lx ] = [L2x , Lx ] + [L2y , Lx ] + [L2z , Lx ] = [L2y , Lx ] + [L2z , Lx ]
(Alle Kommutatoren kommutieren mit sich selbst.) Weiter benutzen wir:
[ÂB̂, Ĉ] = Â[B̂, Ĉ] + [Â, Ĉ]B̂
[L2 , Lx ] = Ly [Ly , Lx ] + [Ly , Lx ]Ly + Lz [Lz , Lx ] + [Lz , Lx ]Lz
[L2 , Lx ] = Ly (−ih̄Lz ) + (−ih̄Lz )Ly + Lz (ih̄Ly ) + (ih̄Ly )Lz = 0
Also,
[L2 , Lx ] = 0
4.5.2
[L2 , Ly ] = 0
[L2 , Lz ] = 0
Eigenwerte des Drehimpulsoperators
L2 und Lz sind verträgliche Observablen =⇒ wir suchen nach gemeinsame
Eigenzustände:
L2 f = λf und Lz f = µf
Wir benutzen Kletteroperatoren:
L± = Lx ± iLy
Kommutator mit Lz :
[Lz , L± ] = [Lz , Lx ] ± i[Lz , Ly ] = ih̄Ly ± i(−ih̄Lx ) = ±h̄(Lx ± iLy )
[Lz , L± ] = ±h̄L±
Offensichtlich:
[L2 , L± ] = 0
66
N.R. für weitere Nutzung:
L± L∓ = (Lx ± iLy )(Lx ∓ iLy ) = L2x + L2y ∓ i(Lx Ly − Ly Lx ) = L2 − L2z ∓ i(ih̄Lz )
Oder
L2 = L± L∓ + L2z ∓ h̄Lz
Aussage: Wenn f die Eigenfunktion von L2 und von Lz ist, dann L± f ist es auch.
Beweis:
[L2 , L± ] = 0
L2 (L± f ) = L± (L2 f ) = L± (λf ) = λ(L± f )
=⇒
L2 (L± f ) = λ(L± f )
=⇒
L± f
ist Eigenfunktion von L2
mit dem selben Eigenwert λ. Weiter,
Lz (L± f ) = (Lz L± − L± Lz )f + L± Lz f = ±h̄L± f + L± (µf )
Lz (L± f ) = (µ ± h̄)(L± f )
=⇒
L± f
ist Eigenfunktion von Lz
mit dem neuen Eigenwert µ ± h̄.
Also, für vorgegebene λ gibt es eine “Treppe” von Zuständen mit Eigenwerten
µ ± h̄, µ ± 2h̄, . . .. Aber Eigenwert von Lz (sprich Messwert der z-Komponente des
Drehimpulses) kann nich grösser als L sein =⇒ es gibt das höchste Niveau
(Funktion ft ) sodass
L+ f t = 0
Den entsprechenden Eigenwert notieren wir mit lh̄ (wir sehen bald, dass l die
Nebenquantenzahl ist). Genauso, es gibt das niedrigste Niveau (Funktion fb ) sodass
L− f b = 0
Den entsprechenden Eigenwert notieren wir mit ˜lh̄.
Wir benutzen jetzt die NR oben:
L2 = L− L+ + L2z + h̄Lz
=⇒
L2 ft = λft = (L− L+ + L2z + h̄Lz )ft = 0 + h̄2 l2 ft + h̄2 lft = h̄2 l(l + 1)ft
=⇒
λ = h̄2 l(l + 1)
Ähnlich
L2 = L+ L− + L2z − h̄Lz
67
=⇒
L2 fb = λfb = (L+ L− + L2z − h̄Lz )fb = 0 + h̄2 ˜l2 fb − h̄2 ˜lfb = h̄2 ˜l(˜l − 1)fb
=⇒
λ = h̄2 ˜l(˜l − 1)
Also,
l(l + 1) = ˜l(˜l − 1)
Eine Lösung ist ˜l = l + 1, aber das währe bedeuten, dass fb Niveau höher als ft
Niveau ist! Andere Lösung ist
˜l = −l
Wir wissen auch, dass die Eigenwerte von Lz sich stufenweise ändern, mit dem
Schritt h̄. Dann
−lh̄ + N h̄ = lh̄ ,
wobei N eine ganze Zahl ist. Dann l = N/2 ist ganzzahlig oder halb-ganzzahlig:
l = 0, 1/2, 1, 3/2, . . .
und Eigenwerte von Lz sind mh̄, mit
m = −l, −l + 1, . . . , l − 1, l
(Wir sehen bald dass m die magnetische Quantenzahl ist).
Jeden Zustand beschreiben wir mit l, m, d.h. mit der Eigenfunktion flm :
L2 flm = h̄2 l(l + 1)flm
Lz flm = h̄mflm
p
D.h. Betrag despDrehimpulses ist h̄ l(l + 1), z-Komponente ist mh̄.
Bemerkung 1: l(l + 1) > l
=⇒ z-Komponente ist immer kleiner als Betrag
~ ↑↑ ~ez : das waehre bedeuten,
des Drehimpulses. Also, es kann nicht sein, dass L
dass alle drei Komponenten exakt bekannt sind, und das ist wegen der
verallgemeinerten Unschärferelation
σL2 x σL2 y
≥
2
1
hih̄Lz i
2i
=
h̄2
hLz i2
4
nicht möglich. Das Teilchen kann nicht einen definierten Drehimpuls haben.
Bemerkung 2: Man kann zeigen, dass flm = Ylm (θ, φ). Kugelflächenfunktionen sind
Eigenfunktionen von L2 und Lz .
Bemerkung 3: Algebraische Methode (Kletteroperatoren) erlaubt, dass l (und
deswegen auch m) ganzzahlig oder auch half-ganzzahlig sein kann. Mit dem
Separationsansatz haben wir aber bekommen, dass l ganzzahlig sein soll.
Widerspruch?
68
4.6
Spin
Klassisch: Drehimpuls
~ = ~r × ~p
L
(Rotations des Schwerpunktes) und Drehimpuls
~ = I~ω
S
~ ist die Summe von L
~ von allen
(Rotation um den Schwerpunkt). Letzendlich, S
~ und L.
~
Punkten, also klassisch gibt es eigentlich keine Unterscheidung zwischen S
In der Quantenmechanik hat solche Unterscheidung eine fundamentale Bedeutung.
In QM unterscheiden wir
~ z.B. wegen Rotation des Elektrons um Proton.
1. Bahndrehimpuls L,
~ kann nicht durch eine Funktion von
2. Interner Drehimpuls S,
Raumkoordinaten geschrieben werden.
Algebraische Theorie is zur Theorie des Drehimpulses ähnlich. Es gelten die
kanonische Vertauschrelationen: (wir nehmen die als Postulate)
[Sx , Sy ] = ih̄Sz
[Sy , Sz ] = ih̄Sx
[Sz , Sx ] = ih̄Sy
Eigenwertgleichungen:
S 2 | s mi = h̄2 s(s + 1) | s mi
Sz | s mi = h̄m | s mi
Eigenzustände sind keine Funktionen, deswegen benutzen wir die ket-Notation.
Jetzt gibt es auch keine Grunde, die halb-geradzahlige Werte auszuschliessen:
s = 0, 1/2, 1, 3/2, . . .
m = −s, −s + 1, . . . , s − 1, s
Jedes Teilchen hat ein specifisches und konstantes wert von s: wir nennen den
Wert Spin des Teilchens: π-Mesonen haben Spin 0, Elektronen, Protonen und
Neutronen haben Spin 1/2, Photonen haben Spin 1, u.s.w.
4.6.1
Spin 1/2
Das ist der wichtigster Fall. Es gibt nur zwei Eigenzustände:
E
1. 21 , 12 , oder Spin aufwärts, oder ↑
69
E
2. 12 , − 12 , oder Spin abwärts, oder ↓
Zweizustandssystem: Eigenvektoren
!
1
0
χ+ =
0
1
χ− =
!
Der allgemeine Zustand wird durch die 1 × 2 Matrix (Spinor) dargestellt:
a
b
χ = aχ+ + bχ− =
!
Die entsprechenden Operatoren sind 2 × 2 Matrizen. Die Eigenwertgleichungen für
s = 1/2 lauten:
3
3
S 2 χ− = h̄2 χ−
S 2 χ+ = h̄2 χ+
4
4
2
und S ist noch unbekannt:
!
c d
2
S =
e f
Die erste Eigenwertgleichung ist dann:
!
c d
e f
oder
c
e
!
1
0
!
3
= h̄2
4
!
0
1
!
!
3h̄2 /4
0
=
1
0
Die zweite Eigenwertgleichung:
!
c d
e f
oder
d
f
!
0
1
!
3
= h̄2
4
0
3h̄2 /4
=
!
Also, c = f = 3h̄2 /4, e = d = 0 und
3
S = h̄2
4
2
70
1 0
0 1
!
Genauso, die Gleichungen
S z χ+ =
h̄
χ+
2
h̄
S z χ− = − χ−
2
liefern
h̄
Sz =
2
!
1 0
0 −1
Mit Hilfe von Kletteroperatoren findet man
h̄
Sx =
2
0 1
1 0
!
h̄
Sy =
2
0 −i
i 0
!
Zu merken: Si , S 2 sind hermitesch. Man schreibt Si = h̄2 σi , wo σi die
Pauli-Matrizen sind:
σx =
0 1
1 0
!
0 −i
i 0
σy =
!
σz =
1 0
0 −1
!
Eigenvektoren und Eigenwerte von Sz : χ+ mit h̄/2 und χ− mit −h̄/2. Wir messen
Sz eines Teilchen im Zustand χ = aχ+ + bχ− . Mögliche Ergebnisse: Sz = h̄/2 mit
der W’keit |a|2 und Sz = −h̄/2 mit der W’keit |b|2 .
Jetzt messen wir Sx . Eigenvektoren (normierte) und Eigenwerte von Sx :
(x)
χ+
(x)
χ−
=
=
√ !
1/√2
1/ 2
mit
λ = h̄/2
√ !
1/ √2
−1/ 2
mit
λ = −h̄/2
Wir nehmen diese Vektoren als neue Basis.
√ !
√
2
(x)
(x)
χ+ + χ− =
= 2χ+
0
(x)
χ+
(x)
− χ−
=
√0
2
!
=
√
2χ−
(x)
(x) √
(x)
(x) √
χ = aχ+ + bχ− = a(χ+ + χ− )/ 2 + b(χ+ − χ− )/ 2
71
a + b (x) a − b (x)
χ = √ χ+ + √ χ−
2
2
W’keit, bei der Messung h̄/2 zu bekommen, ist |a + b|2 /2. W’keit, bei der Messung
−h̄/2 zu bekommen, ist |a − b|2 /2.
Bsp. Sei ein Teilchen (Spin 1/2) im Zustand:
1
χ= √
6
1+i
2
!
Wie gross ist die W’keit h̄/2 oder −h̄/2 bei der Messing von Sx und Sz zu
bekommen?
√
√
Hier a = (1 + i)/ 6 und b = 2/ 6. Dann für Sz : die W’keit ±h̄/2 zu Messen ist
bzw. |a|2 = 1/3 und |b|2 = 2/3. Erwartungswert
h̄/2 · 1/3 + (−h̄/2) · 2/3 = −h̄/6
Oder direkt:
†
hSz i = hχ|Sz |χi = χ Sz χ =
†
hSx i = hχ|Sx |χi = χ Sx χ =
2
√
6
(1 − i)
√
6
(1 − i)
√
6
2
√
6
h̄/2
0
0 −h̄/2
!
(1+i)
√
6
√2
6
!
=−
0 h̄/2
h̄/2 0
!
(1+i)
√
6
√2
6
!
=
h̄
6
h̄
3
Nochmal zur statistischen Interpretation. Sei Zustand des Teilchens χ+ . Dann
z-Messung gibt immer h̄/2. Aber x-Messung ist unscharf: die gibt ±h̄/2 mit W’kei
1/2. Das bedeutet: der Zustand ist genau bekannt, aber das Teilchen hat kein
bestimmten Wert der x-Komponente des Spins.
72
4.7
Addition von Drehimpulsen
Sei es 2 Teilchen mit Spin 1/2. Eg gibt dann 4 Varianten:
↑↑ , ↑↓ , ↓↑ , ↓↓
Total Spin? Zustand ist χ1 χ2 . Wir schreiben:
Sz = Sz(1) + Sz(2) ,
(1,2)
wobei Sz
wirkt auf χ1,2 . Dann
Sz χ1 χ2 = (Sz(1) + Sz(2) )χ1 χ2 = (Sz(1) χ1 )χ2 + χ1 (Sz(2) χ2 ) = (h̄m1 χ1 )χ2 + χ1 (h̄m2 χ2 )
Sz χ1 χ2 = h̄(m1 + m2 )χ1 χ2
Die vier Varianten geben dann m = 1, m = 0, m = 0, m = −1. Also, es gbt einen
“extra” Zustand mit m = 0. (m soll mit Schritt 1 änedrn). Die Lösung: wir
konstruiren Zustand
1
| 1 0i = √ (↑↓ + ↓↑)
2
Das kann man so begründen. Kletteroperator
h̄
S± = Sx ± iSy =
2
0 1
1 0
!
h̄
±i
2
(1)
0 −i
i 0
(2)
S− (↑↑) = (S− ↑) ↑ + ↑ (S− ↑)
S+ = h̄
0 1
0 0
!
!
S− = h̄
0 0
1 0
!
Das gibt:
Zwei andere Zustände:
S± = (h̄ ↓) ↑ + ↑ (h̄ ↓) = h̄(↓↑ + ↑↓)
| 1 1i =↑↑
| 1 − 1i =↓↓
Das ist triplet-Konfiguration.
Singlet-Konfiguration:
1
| 0 0i = √ (↑↓ − ↓↑)
2
Wenn wir S± verwenden, dann bekommen wir 0, also l = 0.
Allgemein: wenn zwei Spins s1 , s2 gibt (oder Drehimpulsen), dann die Summe ist
s = s1 + s2 , s1 + s2 − 1, s1 + s2 − 2, . . . , |s1 − s2 |
73
4.8
Teilchen im Magnetfeld
Das magnetische Moment (auch magnetisches Dipolmoment) einer Stromverteilung
(klassisch)
Z
1
~r × ~jdV
µ=
~
2
Oder
~
µ
~ = γS
~ es entsteht
Hier γ ist gyromagnetisches Verhältnis. Magnetisches Dipol im Feld B:
ein Drehmoment, so dass Dipol in die Richtung des Feldes gedreht wird, so dass
~ (wie Kompasszeiger). Die Energie
freies Dipol wird ~
µ ↑↑ B
~ = −γ B
~S
~
H = −~µB
Bsp. Larmor-Precession
~ = B0~k. Dann
Wir betrachten das Teilchen mit Spin 1/2 im Ruhe, im Magnetfeld B
Hamiltonian (klassisch) ist
H = −γB0 Sz
QM: Hamiltonian ist jetzt eine Matrix:
γB0 h̄
γB0 h̄
σz = −
H =−
2
2
1 0
0 −1
!
H hat die selbe Eigenvektoren wie σz :
1. χ+ mit E+ = −(γB0 h̄)/2
2. χ− mit E− = +(γB0 h̄)/2
(Energie ist kleiner wenn Dipol parallel zum Feld ist.)
Hamiltonian ist zeitunabhängig =⇒ Die Lösung der zeitabhängigen Schr. Gl.:
ih̄
∂χ
= Hχ
∂t
stellen wir durch die stationären Zustände dar:
χ(t) = aχ+ e−iE+ t/h̄ + bχ− e−iE− t/h̄ =
74
aeiγB0 t/2
be−iγB0 t/2
!
Konstanten bekommen wir aus der Anfangsbedingung:
χ(0) =
!
a
b
Normierung: |a|2 + |b|2 = 1. Wir notieren: a = cos(α/2), b = sin(α/2). Dann:
−iE+ t/h̄
χ(t) = cos(α/2)χ+ e
−iE− t/h̄
+ sin(α/2)χ− e
=
cos(α/2)eiγB0 t/2
sin(α/2)e−iγB0 t/2
!
Erwartungswerte:
h̄
sin α cos(γB0 t)
2
h̄
hSy i = χ(t)† Sy χ(t) = − sin α sin(γB0 t)
2
h̄
hSz i = χ(t)† Sz χ(t) = cos α
2
Precession: Bewegung auf der Kegeloberfläche; Halbwinkel des Kegels ist α,
Larmor Frequenz ist ω = γB0 .
Bsp. Stern-Gerlach-Versuch.
Falls das Feld nicht homogen ist, dann wirkt auch die Kraft:
hSx i = χ(t)† Sx χ(t) =
~
F~ = ∇(~µB)
Wegen Precession, die Kraft in x oder y Richtung wird rausgemittelt. Die Kraft in
die z-Richtung ist von der Richtung des Spins abhängig =⇒ Spaltung des
Atomstrahles in zwei Strahlen.
75