Zufallsvariablen [random variable]

Zufallsvariablen [random variable]
Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die
Versuchsausgänge ω ∈ Ω mit Hilfe von Zahlen,
d.h. X ist eine Funktion
X : Ω→R
ω 7→ X(ω)
Zufallsvariablen werden meist mit Großbuchstaben
bezeichnet (z.B. X, Y, Z, X1 , X2 , X3 , . . .).
Die Funktionswerte (Realisierung, Wert für einen konkreten
Versuchsausgang ω) werden meist mit kleinen Buchstaben
bezeichnet (z.B. x, y, z, x1 , x2 , x3 , . . .).
1
Beispiel: Würfeln mit zwei Würfeln
Ω = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 6)}
X
...
Summe der Augenzahlen
z.B.: X((3, 4)) = 7
Y
...
Maximum der Augenzahlen
z.B.: Y ((3, 4)) = 4
Der Zufall steckt nicht in der Funktion X, sondern im
zufälligen Versuch mit Ausgang ω.
2
Es interessieren z.B. die folgenden Ereignisse:
{X ≤ x} = {ω ∈ Ω | X(ω) ≤ x} ⊆ Ω,
{X = x} = {ω ∈ Ω | X(ω) = x} ⊆ Ω,
{X > x} = {ω ∈ Ω | X(ω) > x} ⊆ Ω,
Die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse lassen sich
berechnen.
Beispiel: (s.o.)
P (X = 7) = P ({ω ∈ Ω | X(ω) = 7})
= P ({(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)})
=
6
1
=
36
6
3
Problem:
Welche Werte x kann die Zufallsvariable X mit welcher
Wahrscheinlichkeit annehmen?
Vorteil von Zufallsvariablen:
Man kann mit ihnen rechnen; z.B. ist X + Y ebenfalls eine
Zufallsvariable.
Nachteil von Zufallsvariablen:
Mit einer Zufallsvariablen X kann eine Vergröberung der
Ausgänge des zufälligen Versuches verbunden sein;
z.B. Summe der Augenzahlen statt der einzelnen
Augenzahlen.
4
Diskrete Zufallsvariable [discrete random variable]
Eine Zufallsvariable, die nur endlich viele Werte (x1 , . . . , xn )
oder abzählbar unendlich viele Werte (x1 , x2 , . . .) annehmen
kann, heißt diskrete Zufallsvariable.
Beispiel: Idealer Farbwürfel
Ω = {schwarz, rot, gelb, grün, blau, weiß }
X(schwarz) = 1, X(rot) = 2, X(gelb) = 3, X(grün) = 4,
X(blau) = 5, X(weiß) = 6
Mögliche Werte für xi sind 1, 2, 3, 4, 5, 6.
1
P (X = xi ) =
6
5
Verteilungstabelle:
xi
x1
x2
...
pi
p1
p2
...
Beispiel: X = Summe der Augenzahlen bei zwei Würfeln
(Werte zwischen 2 und 12)
xi
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
pi
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
(Probe: Summe der Wahrscheinlichkeiten = 1)
6
Die Verteilungstabelle beschreibt die Verteilung der
Zufallsvariable vollständig; d.h. aus ihr lassen sich die
Wahrscheinlichkeiten aller interessierenden Ereignisse für die
Zufallsvariable berechnen.
Beispiel: (s.o.)
P (6 ≤ X ≤ 8) = P ({X = 6} ∪ {X = 7} ∪ {X = 8})
= P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8)
=
5
6
5
16
4
+
+
=
=
36
36
36
36
9
Grafische Darstellung diskreter Verteilungen:
Balkendiagramme
7
Unabhängige Zufallsvariablen
[independent random variables]
Zwei diskrete Zufallsvariablen X und Y heißen unabhängig,
wenn
P (X = x, Y = y) = P (X = x) · P (Y = y)
für alle x, y ∈ R gilt.
Bemerkungen:
– P (X = x, Y = y) = P ({X = x} ∩ {Y = y})
– Für alle x, y ∈ R sind die Ereignisse
{X = x}
und
unabhängig.
8
{Y = y}
Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen
[expectation (mean) of a discrete random variable]
E(X) =
n
X
p i xi
bzw.
E(X) =
i=1
∞
X
p i xi
i=1
(falls der Grenzwert existiert)
Beispiel: Idealer Würfel
1
1
1
· 1 + · 2 + · · · + · 6 = 3.5
6
6
6
Der Erwartungswert beschreibt den Schwerpunkt der
Verteilung; vgl. arithmetisches Mittel in deskriptiver Statistik:
k
k
k
X
X
1 X
ni
x̄ =
ni xi =
xi =
fi xi
n i=1
n
i=1
i=1
9
Varianz (Streuung) einer diskreten Zufallsvariablen
[variance of a discrete random variable]
var(X) =
n
X
pi (xi − E(X))2
i=1
bzw.
var(X) =
∞
X
pi (xi − E(X))2
i=1
(falls der Erwartungswert und der Grenzwert existieren)
Es gilt:
2
2
2
var(X) = E(X−E(X)) = E(X )− E(X)
=
X
(vgl. Stichprobenvarianz bzw. empirische Varianz in
deskriptiver Statistik)
10
X
pi x2i −
p i xi
2
Beispiel: Idealer Würfel
var(X) =
6
X
i=1
pi x2i −
6
X
!2
p i xi
i=1
1
1
1
1
1
1
· 1 + · 22 + · 32 + · 42 + · 52 + · 62 − 3.52
6
6
6
6
6
6
1
=
(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) − 3.52
6
1
=
· 91 − 3.52
6
≈ 2, 92
=
11
Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz
Seien X, Y Zufallsvariablen und a, b ∈ R. Dann gilt
E(a · X + b) = a E(X) + b
var(a · X + b) = a2 var(X)
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
Wenn X und Y unabhängig sind, gilt außerdem
var(X + Y ) = var(X) + var(Y )
Bemerkung: Diese Rechenregeln gelten nicht nur für
diskrete, sondern auch für beliebige Zufallsvariablen.
12
Binomialverteilung [binomial distribution]
Ein Versuch wird unter konstanten Bedingungen n–mal
unabhängig wiederholt. Registriert wird jeweils nur das
Eintreten eines interessierenden Ereignisses A (Erfolg).
X bezeichne die Anzahl der Erfolge in den n Versuchen,
ϑ = P (A) die Erfolgswahrscheinlichkeit in jedem Einzelversuch.
P (X = k) =
n
k
!
ϑk (1 − ϑ)n−k ,
k = 0, 1, . . . , n
X heißt dann binomialverteilt mit Parametern n und ϑ.
Bezeichnung: X ∼ B(n; ϑ)
13
Es gilt:
E(X) = n · ϑ
var(X) = n · ϑ · (1 − ϑ)
Beispiel: 3–maliges Werfen eines idealen Würfels
X . . . Anzahl des Auftretens der Augenzahl 6
P (X = 1) =
! 3
1 1
1
6
= 3·
1 25
·
6 36
≈ 0.35
14
1
1−
6
3−1
Stetige Zufallsvariable [continuous random variable]
Eine Zufallsvariable die alle reellen Zahlen oder alle reellen
Zahlen aus einem gegebenen Intervall annehmen kann heißt
stetige Zufallsvariable.
Die Verteilung einer stetigen Zufallsvariablen X wird mit
Hilfe ihrer (nichtnegativen) Dichtefunktion fX [density
function] (beschreibt die Form einer Verteilung) angegeben.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X Werte in
einem Intervall [a, b] annimmt, ergibt sich als Integral dieser
Dichte über dem Intervall:
P (X ∈ [a, b]) = P (a ≤ X ≤ b) =
Z b
fX (x)dx
a
15
Häufig wird mit der Verteilungsfunktion [distribution
function] FX , die durch
FX (x) = P (X ≤ x) =
Z x
−∞
fX (z)dz
gegeben ist, gearbeitet:
P (a ≤ X ≤ b) =
Z b
fX (x)dx = FX (b) − FX (a)
a
Erwartungswert und Varianz einer stetigen
Zufallsvariablen X:
Z ∞
E(X) =
x fX (x) dx
−∞
Z ∞
var(X)
=
−∞
(x − E(X))2 fX (x) dx
(falls die Integrale existieren)
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Bemerkungen:
Sei X eine stetige Zufallsvariable.
– Für jeden Einzelwert x gilt P (X = x) = 0.
– Daher sind die Wahrscheinlichkeiten P (a < X < b),
P (a < X ≤ b), P (a ≤ X < b) und P (a ≤ X ≤ b) alle
gleich.
Unabhängige Zufallsvariablen
Zwei (stetige) Zufallsvariablen X und Y heißen unabhängig,
wenn
P (X ≤ x, Y ≤ y) = P (X ≤ x) · P (Y ≤ y)
für alle x, y ∈ R gilt.
17
Normalverteilung [normal distribution]
Dichtefunktion der Normalverteilung (Gaußsche
Glockenkurve):
(x−µ)2
1
fX (x) = √ · e− 2σ2 ,
σ 2π
−∞ < x < ∞
mit Parameter µ ∈ R und σ ∈ (0, ∞).
Bezeichung: X ∼ N (µ, σ 2 )
Bedeutung der Parameter: E(X) = µ, var(X) = σ 2
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Bemerkungen:
– Wichtigste stetige Verteilung, da viele Größen
näherungsweise normalverteilt sind.
(C. F. Gauß: Beschreibung von Messfehlern)
– Der Zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Verteilung
von Summen von unabhängigen Zufallsvariablen in vielen
Fällen gut durch eine Normalverteilung angenähert werden
kann.
– Die Verteilungsfunktion einer Normalverteilung ist keine
elementare Funktion, also nicht mit einer ”Formel”
darstellbar.
19
– Es gilt
P (µ − σ ≤ X ≤ µ + σ) = 0.68
P (µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) = 0.95
P (µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) = 0.997
20
Mathematische Stichprobe [random sample]
Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn bilden eine (mathematische)
Stichprobe, wenn sie unabhängig sind und die gleiche
Verteilung besitzen [i.i.d.].
In diesem Fall bezeichnen wir mit
n
1X
Xi
X=
n i=1
das Stichprobenmittel und mit
2
SX
n
1 X
=
(Xi − X)2
n − 1 i=1
die Stichprobenvarianz.
Hinweis: X und S 2 sind Zufallsvariablen.
21
Das Modell der Mathematischen Stichprobe ist die
Grundlage der schließenden Statistik!
22
t–Verteilung
Sei X1 , . . . , Xn eine Stichprobe von N (µ, σ 2 )–verteilten
Zufallsvariablen. Die Verteilung der Zufallsvariablen
√
(X − µ) n
Z=
SX
heißt t–Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden.
Die t–Verteilung besitzt eine um Null symmetrische,
glockenförmige Dichte, die sich für großes n der Dichte der
Normalverteilung annähert.
23
χ2 –Verteilung
Sei X1 , . . . , Xn eine Stichprobe von N (0, 1)–verteilten
Zufallsvariablen. Die Verteilung der Zufallsvariablen
Z = X12 + . . . + Xn2
heißt χ2 –Verteilung mit n Freiheitsgraden.
Die Dichten sind für negative Argumente Null. Für positive
Argumente sind sie für kleine n linkssteil und rechtsschief, für
große n nähern sie sich einer Glockenkurve an.
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Überschreitungswahrscheinlichkeiten [p-values]
Sei Z eine Zufallsvariable. In der schließenden Statistik
interessieren uns oftmals folgende
Überschreitungswahrscheinlichkeiten:
P (Z ≥ z), P (Z ≤ z), P (|Z| ≥ z)
Im Falle um Null symmetrischer Dichten gilt
P (Z ≥ z) = P (Z ≤ −z)
P (|Z| ≥ z) = P (Z ≥ z) + P (Z ≤ −z) = 2 · P (Z ≥ z)
25