Newtonsche Mechanik

Kapitel 1
Newtonsche Mechanik
“Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben.” (Galileo
Galilei).
1.1
Kinematik
Grundbegriffe.
• Massenpunkte (Teilchen). Unter einem Massenpunkt versteht man einen physikalischen Körper mit einer Masse m, aber mit vernachlässigbarer Ausdehnung.
Es geht nicht unbedingt um einen kleinen Körper. Z.B. kann man die gesamte
Erdkugel als Massenpunkt ansehen, wenn nur die Bahn der Erde um die Sonne
diskutiert werden soll, aber nicht wenn wir uns für das Enstehen der Gezeiten
interessieren.
• Mathematische Modelle für
– Raum: isotrop und homogen
– Zeit: homogen.
• Bahnkurve (Trajektorie) ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t)), oder
P
~r(t) = x(t)~i + y(t)~j + z(t)~k = 3j=1 xj (t)~ej .
Geschwindigkeit ~v (t) = d~rdt(t) = ~r˙ (t) und Beschleunigung ~a(t) = ~v˙ (t).
Ableitung eines Vektors ~b(t): Definition
~b(t + ∆t) − ~b(t)
d~b(t)
= lim
.
∆t→0
dt
∆t
1
Dann ist die Geschwindigkeit ~v (t) tangential zur Bahnkurve ~r(t). Man kann
auch schreiben
3
d~b(t) X
=
ḃj (t)~ej .
dt
j=1
Es ist einfach die folgende Differentiationsregeln zu beweisen:
1.
d
dt
2.
d
dt
3.
d
dt
4.
d
dt
h
i
˙
~a(t) + ~b(t) = ~a˙ (t) + ~b(t)
[f (t)~a(t)] = f˙(t)~a(t) + f (t)~a˙ (t)
h
i
˙
~a(t) · ~b(t) = ~a˙ (t) · ~b(t) + ~a(t) · ~b(t)
h
i
˙
~a(t) × ~b(t) = ~a˙ (t) × ~b(t) + ~a(t) × ~b(t)
In (4) die Reihenfolge der Faktoren zu beachten!
Beispiel:
Einheitsvektor ~e(t), |~e| = 1. (~e(t))2 = e21 + e22 + e23 = 1.
d
⇒ dt
(~e(t))2 = 0 = 2~e(t)~e˙ (t).
⇒ ~e˙ (t) ⊥ ~e(t).
Grundaufgaben.
• ~r(t) vorgegeben, ~a(t) gesucht, dann brauchen wir zweimal zu differenzieren;
Beispiele:
– Geradlinig gleichformige Bewegung: sei ~r(t) = ~b + ct~r0 . Dann ~v = c~r0 und
~a = 0.
– Wurfparabel:
sei die Bahnkurve ~r(t) = (x, y, z) = (αt, −ax2 + bx + c, 0). Dann ~r˙ =
(α, bα − 2aα2 t, 0); ~¨r = (0, −2aα2 , 0).
• ~a(t) vorgegeben, ~r(t) gesucht, dann brauchen wir zweimal zeitlich zu integrieren. Bei jeder Integration erscheint eine Integrationskonstante, die unbestimmt
bleibt, wenn wir nicht zwei Anfangsbedingungen vorgeben. Also: ~a(t) für alle
t ≥ t0 , ~v (t0 ), ~r(t0 ). Dann ergibt sich für die Geschwindigkeit
~v (t) = ~v (t0 ) +
2
Z
t
t0
~a(t′ )dt′
und für den Ortsvektor
~r(t) = ~r(t0 ) + ~v (t0 )(t − t0 ) +
Z t "Z
t0
t′
t0
#
~a(t′′ )dt′′ dt′
Koordinatensystemen. Kartesischen Koordinaten. Koordinatenlinien: alle koordinaten ausser eine sind konstant, z.B. x-Linie (y = z = constant). Darstellung in
Polarkoordinaten. Ebene Polarkoordinaten (ρ, φ) (oderp(r, φ)), Koordinatenlinien.
Transformationsformeln x = r cos φ, y = r sin φ, r = x2 + y 2 , φ = arctan(y/x).
Einheitvektoren (Basisvektoren) ~er = (cos φ, sin φ), ~eφ = (− sin φ, cos φ). Für den
Ortsvektor gilt ~r(t) = r(t)~er . Für das Differential gilt
d~r = dr · ~er + r · dφ · ~eφ .
Die Geschwindigkeit ist dann
~v = ṙ~er + rφ̇~eφ .
(1.1)
Finden wir jetzt die Beschleunigung. Dafür brauchen wir ~e˙ r und ~e˙ φ . Leiten wir den
Ortsvektor nach der Zeit ab:
~v = ṙ~er + r~e˙ r .
Vergleich mit Gl. (1.1) liefert ~e˙ r = φ̇~eφ . Wir wissen schon, dass ~e˙ φ ⊥ ~eφ , ⇒ ~e˙ φ = α~er ,
α = ~er · ~e˙ φ . Wegen ~er · ~eφ = 0 ist
~er · ~e˙ φ = −~e˙ r · ~eφ .
Dann
α = ~er · ~e˙ φ = −~e˙ r · ~eφ = −φ̇~eφ · ~eφ = −φ̇ .
Also, ~e˙ φ = −φ̇~er . Leiten wir jetzt Gl. (1.1) ab und bekommen
~a(t) = (r̈ − rφ̇2 ) · ~er + (rφ̈ + 2ṙφ̇) · ~eφ .
Zylinderkoordinaten (ρ, φ, z), Transformationsformeln x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, z = z.
Kugelkoordinaten (r, θ, φ), wobei r ist die Länge des Ortsvektor; θ ist der Winkel
zwishen ~r und z-Achse, 0 ≤ θ ≤ π (Polarwinkel); φ ist der Winkel zwishen Projektion
von ~r auf x, y-Ebene und x-Achse, 0 ≤ φ ≤ 2π (Azimut). Transformationsformeln
x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ.
3
1.2
Newtonsche Axiome
Grundgesetze der Mechanik basieren auf experimentellen Beobachtungen. Wir formulieren jetzt die Axiome die nicht beweisbar sind und in der Theorie weiter nicht
begründet werden. Die Axiome sind die Folgerung unserer Erfahrung.
Grundbegriffe: Masse und Kraft
Masse:
1. jeder physikalischer Körper hat die träge Masse mt
2. Masse ist eine positive skalare Größe
3. Masse ist eine additive Größe: ein Körper der aus zwei Körpern zusammengesetz ist, hat die Masse mt = mt1 + mt2
4. jeder physikalischer Körper ist schwer; die Schwerkraft ist Fs = ms g, wobei g
die Erdbeschleinigung ist
5. es läßt sich experimentell zeigen, daß für alle Körper mt = ms = m; das ist
aber keine Selbstverständlichkeit
Kraft:
1. beschreibt die Wechselwirkung physikalischer Körper
2. ist eine vektorielle Größe, F~
3. wirken auf einen Massenpunkt mehrere Kräfte F~1 , F~2 , . . . , F~n , so addieren sich
P
diese wie Vektoren zu einer Resultanten F~ = ni=1 F~i
4. Kraftfeld: jedem Punkt des Raumes wird eine auf den Massenpunkt wirkende
Kraft zugeordnet; im allgemeinem kann diese Kraft auch von t und ~r˙ abhängen:
F~ = F~ (t, ~r, ~r˙ )
5. Newtonischer Postulat: die Abhängigkeit von der Beschleunigung ~¨r tritt nicht
auf! Es gibt eine Ausname, die man in der Klassischen Elektrodynamik betrachtet.
Definition: das Produkt aus träger Masse und Geschwindigkeit eines Teilchens
heißt Impuls, p~ = m~v .
Axiom 1 (Galileisches Trägheitsgesetz). Es gibt Koordinatensysteme, in
denen ein kraftefreier Körper im Zustand der Ruhe oder der geradlinig gleichformige
Bewegung verharrt. Solche Systemen nennt man Inertialsystemen.
4
Axiom 2 (Grundgesetz der Dynamik, das 2. Newtonische Gesetz). Die
Änderung des Impulses ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und
geschieht in Richtung der Kraft:
d
F~ = p~˙ = (m~v )
dt
Wichtig:
1. dieses Axiom ist ausschließlich für die Inertialsysteme formuliert
2. falls die Masse nicht zeitabhängig ist, dann, aber auch nur dann, gilt
F~ = m~v˙ = m~a
Axiom 3 (Reaktionsprinzip).
Sei F~12 die Kraft des Körpers 2 auf Körper 1
Sei F~21 die Kraft des Körpers 1 auf Körper 2
dann gilt F~12 = −F~21
Grundaufgabe der Mechanik besteht in der Berechnung des Bewegungsablaufes eines Physikalisches Systems mit Hilfe des Newtonischen Bewegungsgesetzes.
Dabei muß die Kraft bekannt sein. Die Lösung erfolgt in drei Schritten:
1. Aufstellen der Gleichung
2. Lösung der Gleichung mit Hilfe rein mathematischer Methoden
3. Physikalische Interpretation der Lösung
Mathematisch gesehen, ist die Bewegungsgleichung eine Gewönliche Differentialgleichung.
1.2.1
Beispiel: Freier Fall mit Reibung
Reibungskräfte wirken gegen die Bewegungsrichtung. Der Körper wird durch Wechselwirkung mit seiner Umgebung gebremst.
In Gasen und Flüssigkeiten gilt in sehr guter Näherung der Ansatz:
F~R = −α(v)~v
große v:
kleine v:
Newtonsche Reibung F~R = −αv~v
Stokessche Reibung F~R = −α~v
m~¨r = −m~g − α~r˙
5
z.B. ein Fallschirm im Schwerfeld der Erde
eindimensional
⇒
mẍ + αẋ + mg = 0
homogene Differentialgleichung
mẍ + αẋ = 0
Ansatz: x = eλt
eλt (mλ2 + αλ) = 0
⇒ mλ2 + αλ = 0
⇒
λ1 = 0
λ2 = −
α
m
x1 (t) = 1
α
x2 (t) = e−( m )t
α
xh (t) = c1 + c2 e−( m )t
Spezielle Lösung: hier hilft physikalische Überlegung
• Schwerkraft erhöht die Geschwindigkeit
• mit der Geschwindigkeit erhöht sich auch die Reibungskraft
• so geht es bis zwei Kräfte gleich werden
αx˙e = −mg ⇒ geradlinig gleichförmige Bewegung
Wenn wir gleich die Anfangsgeschwindigkeit − mg
α wählen, befriedigt diese Lösung
die Gleichung
⇒ die allgemeine Lösung
α
mg
x(t) = c1 + c2 e− m t −
t
α
α α
mg
v(t) = −c2 e− m t −
m
α
mg
lim v(t) = −
t→∞
α
Anfangsbedingungen:
x0 = c 1 + c 2
α
mg
v0 = −c2 −
=0
m
α
6
t
− m/2 g
die Geschwindigkeit strebt exponentiell dem Grenzwert entgegen
7
1.3
Kleine Schwingungen
1.3.1
Linearer harmonischer Oszillator
111
000
000
111
0000
1111
000
111
0000
000 1111
111
11
00
00
11
00
11
00
11
Federkonstante
k/2
L
C
LC-Schaltung:
Spule (Induktivität L) mit Selbstinduktion
Kondensator der Kapazität C
1
LI¨ + CI = 0
⇒
ω0 2 = LC
Das Modell:
•
beschreibt viele mechanische Systeme
•
ist sehr wichtig in Elektrodynamik und Quantenmechanik
Rücktreibene Kraft für kleine Auslenkungen (keine Schwerkraft, Vernachlässigung
der Reibung):
mẍ = −kx
ẍ + ω0 2 x = 0
Eigenfrequenz des Oszillators:
ω0 =
q
k
m
Ansatz: x = eλt
eλt (λ2 + ω0 2 ) = 0
⇐⇒
λ2 = −ω0 2
=⇒
λ1/2 = ±iω0
Allgemeine Lösung:
x(t) = c1 eiω0 t + c2 e−iω0 t
x(t) muss reell sein, die Exponenten sind aber komplex
⇒
c1/2 komplex
x(t) = (c1 + c2 ) cos (ω0 t) + i(c1 − c2 ) sin (ω0 t)
x(t) = x∗ (t) = c∗1 e−iω0 t + c∗2 eiω0 t
8
c1 = c∗2 = a + ib
c2 = a − ib
⇒
x(t) = 2a cos (ω0 t) − 2b sin (ω0 t)
Das lässt sich auch so schreiben
p
x(t) = 2 a2 + b2 ( √
√
A = 2 a 2 + b2
Amplitude
Anfangsphase
cos α =
⇒
wobei
b
a
cos (ω0 t) − √
sin (ω0 t))
a 2 + b2
a 2 + b2
ω0 τ = 2π
√ a
a2 +b2
sin α =
√ b
a2 +b2
x(t) = A(cos α · cos (ω0 t) − sin α · sin (ω0 t))
= A cos (ω0 t + α)
⇒
Periode τ =
2π
ω0
A
t
−A
9
1.3.2
Freier gedämpfter linearer Oszillator
Betrachten wir nun auch die Reibungskraft.
Der einfachste Fall ist die Stokessche Reibung:
111
000
000
111
000
111
000
111
000
111
101000
111
000 0000
111
1111
0000
1111
11
00
00
11
00
11
00
11
in eine Flüssigkeit tauchende Zunge
L
C
R
LI¨ + RI˙ +
LRC-Schaltung:
mẍ = −kx − αẋ
ẍ + 2β ẋ + ω0 2 x = 0
Ansatz: x = eλt
⇒
mit
β=
1
CI
=0
α
2m
λ2 + 2βλ + ω0 2 = 0
⇒
λ1/2 = −β ±
q
β 2 − ω02
1. Schwache Dämpfung (Schwingfall) β < ω0
λ1/2 = −β ± iω
Allgemeine Lösung:
⇒
kleinere Frequenz:
mit
ω=
p
ω0 2 − β 2
x(t) = (c1 eiωt + c2 e−iωt )e−βt
ω < ω0
exponentiell abnehmende Amplitude:
x(t) = Ae−βt cos (ωt + α)
Einhüllende der gedämpften Schwingung
10
2. Kritische Dämpfung
β 2 = ω02
⇒
⇒
λ1/2 = −β
wir bekommen nur eine Lösung, nicht die allgemeine Lösung
Hier hilft folgender Trick: betrachten wir den Grenzübergang ω → 0 :
⇒
x(t) = e
Anfangsbedingungen:
−βt
cos (ωt) → 1
sin (ωt) → ωt
((c1 + c2 ) cos (ωt) + i(c1 − c2 ) sin (ωt))
x(0) = x0 = c1 + c2
v(0) = ẋ(0) = v0
ẋ = −βe−βt ((c1 + c2 ) cos (ωt) + i(c1 − c2 ) sin (ωt))
+e−βt (−ω(c1 + c2 ) sin (ωt) + iω(c1 − c2 ) cos (ωt))
ẋ(0) = v0 = −β(c1 + c2 ) + i(c1 − c2 )ω = −βx0 + i(c1 − c2 )ω
⇒ i(c1 − c2 ) =
Grenzübergang:
v0 +βx0
ω
x(t) = e−βt (x0 +
v0 +βx0
ωt)
ω
= e−βt (x0 + (v0 + βx0 )t)
3. Starke Dämpfung (Kriechfall) β > ω0
λ1/2 = −β ± γ
0<γ<β
Allgemeine Lösung:
γ=
⇒
q
β 2 − ω0 2
λ1/2 < 0
x(t) = e−βt (c1 eγt + c2 e−γt )
11
1.3.3
Erzwungene Schwingungen
L
C
1111
0000
0
1
0000
1111
0
1
0000
1111
R
11
00
00
11
00
11
00
11
1
F (t)
m
Wir beschränken uns auf den wichtigsten Spezialfall einer harmonischen Kraft
′
F = B ′ · cos (νt) mit Bm = B
ẍ + 2β ẋ + ω0 2 x =
ẍ + 2β ẋ + ω0 2 x = B cos (νt)
Allgemeine Lösung: Die Lösung der dazugehörenden homogenen Gleichung kennen wir bereits, suchen wir zunächst nach einer speziellen Lösung.
Bringen wir die Gleichung in komlexe Form:
z̈ + 2β ż + ω0 2 z = Beiνt
Physikalische Kräfte sind reell, das Rechnen jedoch ist viel bequemer mit Exponentialfunktionen.
⇒
- man macht komplexe Ansätze
- man findet eine komplexe Lösung
- man nimmt deren Realteil las physikalisch relevantes Ergebnis
Wegen der Linearität der Differentialgleichung werden Real- und Imaginärteile
nicht miteinander vermischt.
Nach einer gewissen Einschwingzeit werden die eigenen Schwingungen gedämpt
und der Oszillator wird der erregenden Kraft folgen.
x(t) = xH (t) +xS (t)
| {z }
=0
12
Für die spezielle Lösung nehmen wir
z(t) = Aeiνt
(−ν 2 A + 2iβνA + ω0 2 A)eiνt = Beiνt
B
= |A| · eiφ
ω0 − ν 2 + 2iβν
ω0 2 − ν 2 − 2iβν
A = B
(ω0 2 − ν 2 )2 + 4β 2 ν 2
1
|A| = B q
(ω0 2 − ν 2 )2 + 4β 2 ν 2
A =
−2βν
ν 2 − ω0 2
tan φ =
2
wobei der Zähler < 0, der Nenner beliebig
⇒
−π < φ ≤ 0
Spezielle Lösung:
|A|
|A|
ν=0
B
ω0 2
B
∼ 2 →0
ν
z(t) = |A| · ei(νt+φ)
=
ν→∞
|A| = |A|(ν)
d|A|
dν
=0
⇒
für 2β 2 < ω0 2 ist das Maximum bei
13
ωM =
p
ω0 2 − 2β 2
Resonanz
Für β → 0, |A| → ∞
Bei realen Systemen: - immer Reibung vorhanden
- wenn die Amplitude so groß ist, dann ist auch die
Annahme kleiner Schwingungen ungültig
Phasenverschiebung:
−π ≤ φ ≤ 0
Das Maximum der Auslenkung wird erst nach dem Maximum der Kraft erreicht.
14
1.4
Bewegungen in einer Dimension
Bei eindimensionaler Bewegung ändert sich nur eine Koordinate, sei es x. Das 2.
Newtonsche Gesetz kann man dann als
mẍ = Fx
schreiben. Die Kraft Fx kann im Allgemeinen von x, ẋ, t abhängig sein.
1.4.1
Die ortsabhängige Kraft
Als nächster Fall betrachten wir die Kräfte, die vom Ort abhängig sind, also F =
F (x). Dann haben wir
d2 x
m 2 = F (x)
dt
Man darf diese Gleichung nicht einfach integrieren, weil x(t) eine unbekannte Funktion der Zeit ist, und deshalb ist F auch eine unbekannte Funktion der Zeit.
Wir multiplizieren diese Gleichung mit dx
dt und erhalten auf der linken Seite
d
(mẋ2 /2)
dt
Die rechte Seite ist gleich
dx
dt
und wir probiren jetzt, sie als eine Zeitableitung darzustellen. Nehmen wir eine
Funktion U (x(t)) von x und leiten sie nach der Zeit ab, so erhalten wir
F (x)
dU dx
d
U (x(t)) =
dt
dx dt
R
x
Also wenn wir F (x) = − dU
F (x) dx wählen, dann können wir die
dx oder U (x) = −
gesamte Gleichung als
d
d
(mẋ2 /2) = − (U (x))
dt
dt
schreiben. Diese Gleichung können wir jetzt integrieren, was
mẋ2 /2 + U (x) = E
ergibt, wobei E eine von Anfangsbedingungen abhängige Konstante ist. Was wir
erhalten haben ist der Energiesatz. Die kinetische Energie ist T = mẋ2 /2 und U (x)
15
(das zeigen wir gleich) ist die potentielle Energie; die Gesamtenergie E = T + U ist
also erhalten.
Also haben wir unsere Gleichung einmal integriert, und haben eine Differentialgleichung 1. Ordnung bekommen. Diese können wir als
dx
=
dt
s
schreiben, oder
2(E − U (x))
m
dx
q
2(E−U (x))
m
= dt
Wenn wir diese Gleichung integrieren, erhalten wir die Lösung
t − t0 =
Z
x
x0
dξ
q
2(E−U (ξ))
m
Die beiden Parameter x0 , E, die die Lösung charakterisieren, stehen für die beiden Anfangsbedingungen x(t0 ), v(t0 ).
Arbeit
Für die Bewegung eines Körpers in einem Kraftfelds muß Arbeit geleistet werden.
Man definiert als infinitesimale Arbeit
dW = F dx .
Auf einem endlichen Wegstück gilt:
W =
Z
x2
F (x)dx.
x1
Beispiele:
• harmonischer Oszillator: F = −kx
• Schwerefeld: F = −mg
⇒
⇒
W = k/2(x21 − x22 )
W = mg(x1 − x2 )
16
Potential und potentielle Energie
Läßt sich zu einer Kraft eine Stammfunktion finden, F = − dU
dx , so nennt man die
Kraft konservativ und U (x) – Potential der Kraft F , oder potentielle Energie. Im
einfachen Spezialfall F = F (x) läßt sich eine solche Funktion immer finden; das gilt
bei geschwindigkeit- und zeitabhängigenR Kraftfelden nicht mehr.
Für die Potentielle Energie gilt: U = − x F dx, Beispiele:
• harmonischer Oszillator: U (x) = k
• Schwerefeld: U (x) = mg
Rx
Rx
x′ dx′ = k2 x2 + c
dx′ = mgx + c
Also, F = − dU
dx ; offensichtlich gilt dann
dW = F dx = −dU
und
W =−
Z
dU = U1 − U2
Kinetische Energie
Bei Definition:
ẋ2
2
Zusammenhang zwischen Arbeit und Kin. Energie:
T =m
dW = F dx = F ẋdt = mẍẋdt = d(m
Also, dT = −dU
⇒
ẋ2
)
2
T + U = const
Beispiel 1.1 Harmonischer Oszillator
Der harmonische Oszillator wird charakterisiert durch das Kraftgesetz F = −kx,
d. h. die wirkende Kraft ist proportional zum Ausschlag x und treibt den Massenpunkt
zum Ursprung zurück. Die potentielle Energie lautet dann
U=
k 2
x
2
Die Gesamtenergie, die erhalten ist, hat hier die Form
E=
m 2 k 2
ẋ + x
2
2
17
U
x
v
x
Die Lösung hat die Form
t − t0 =
Z
x
x0
dξ
q
=
2(E−U (ξ))
m
Z
x
x0
dξ
q
2(E−kξ 2 /2))
m
Um das Integral zu berechnen, schreiben wir die Lösung als
q
k/m(t − t0 ) =
Z
x
dξ
q
2E
k
x=
s
x0
− ξ2
=
Z
p
x
k/2Edξ
x0
So erhalten wir harmonische Schwingungen
wobei
p
k/m die Frequenz,
p
q
1−
kξ 2
2E
= arcsin
q
x
k/2Eξ x0
q
2E
sin( k/m(t − t0 ) − φ0 )
k
2E/k die Amplitude, und φ0 die Anfangsphase ist.
Allgemeiner Potentialverlauf, Klassische Teilchenbahnen
Unsere sehr allgemeine Überlegungen führen zur weitreichenden Schlußfolgerung
bezüglich der möglichen Teilchenbahnen bei allgemeinem Potentialverlauf.
U(x)
E=E0
x1
x2
x3
Da Kinetische Energie T nicht negative ist, folgt:
• erlaubter Bewegungsbereich: E ≥ U (x)
18
x
• verbotener Bewegungsbereich: E < U (x)
• Umkehrpunkte x1 und x2 sind die Lösungen der Gleichung U (x) = E. Dann
für eine beliebige Kraft bestimmen wir die Periode der Schwingung:
τ =2
Z
x2
x1
dξ
q
2(E−U (ξ))
m
• Möglichen Ruhelagen sind Stellen, an denen keine Kraft ausgeübt wird. Die
sind offenbar die Extremalstellen des Potentials U :
F =0=−
dU
dx
Handelt es sich um ein Maximum, so befindet sich das Teilchen im einem
labilen Gleichgewicht. Handelt es sich um ein Minimum, so befindet sich das
Teilchen im einem stabilen Gleichgewicht.
• Wenn Teilchen von x = ∞ kommt dann wird es bei x3 reflektiert.
• In der Nähe eines Minimums kann mann den Potential annährend als parabolisch betrachten, dann ist die kleine Schwingung harmonisch:
U (x) ≈ U (xmin ) + k/2(x − xmin )2 ,
wobei k = U ′′ (x)
xmin
>0
19
1.5
1.5.1
Bewegungen in drei Dimensionen
Energiebilanz und Wegintegrale I
Wir wollen einen Massenpunkt der Masse m betrachten, der unter dem Einfluß eines
Kraftfeldes steht. Dieses Feld ist durch eine Funktion F~ (~r) gegeben, also durch 3
reele Funktionen von 3 Variablen. Dann lautet die Bewegungsgleichung
m
d2~r
= F~ (~r(t))
dt2
Um die Energiebilanz zu analysieren, möchten wir wie bei der 1-dimensionalen Bewegung den Term d(v 2 )/dt bekommen. Weil v 2 = ~r˙ · ~r˙ gilt, multiplizieren wir die
Bewegungsgleichung mit ~r˙ . Für die linke Seite erhalten wir
m
md 2
d~r d2~r
·
=
(v )
dt dt2
2 dt
was nach der Integration über t von t1 nach t2
T (t2 ) − T (t1 ),
T =
m 2
v
2
ergibt.
Für die rechte Seite erhält man das Integral
Z
t2
d~r
F~ (~r(t)) ·
dt
dt
t1
Betrachten wir jetzt ~r als unabhängige Variable, dann können wir das Integral als
Z
~
r2
~
r1
F~ (~r) · d~r
umschreiben. Dieser Ausdruck stellt ein Wegintegral dar.
2
F
dr
1
20
1.5.2
Wegintegrale: mathematische Einleitung
Das Integral längs einer Bahn C wird so definiert:
Z
C
F~ (~r) · d~r = lim
∆ri →0
X
∆ri
~ i)
Fi · ∆ri · cos(F~i , ∆r
Berechnen des Linienintegrals:
Z
r~2
F~ d~r =
r~1 ,C
Z
(x2 ,y2 ,z2 )
(x1 ,y1 ,z1 ),C
(Fx dx + Fy dy + Fz dz)
Fx = Fx (x(t), y(t), z(t))
genau so für Fy , Fz , und ~r = ~r(t). Dann volständiges Differential
d~r =
d~r
dt
dt
Dann
Z
F~ d~r =
C
Z
t2
t1
Fx (t)
dx
dy
dz
dt + Fy (t) dt + Fz (t) dt =
dt
dt
dt
Z
t2
f (t)dt
t1
Um eine Raumkurve zu parametrisieren, kann man irgendeinen Parameter benutzen, nicht unbedingt die Zeit. Es kann z.B. die Länge sein.
Beispiel 1.2
Man berechne die Arbeit die an einen Massenpunkt im Kraftfeld
F~ = a(3xy~i + z 2~j − 2xz~k) zwischen den Koordinate P0 (0, 0, 0) und P1 (1, 2, 3) längs
der Gerade verrichtet.
Parameterdarstellung der Geraden:
~r = r~0 + λ(r~1 − r~0 )
Dann x = 1 · λ, y = 2 · λ, z = 3 · λ,
Z
F~ d~r =
C
Z
λ2
λ1
dx
dλ
= 1,
0<λ<1
dy
dλ
= 2,
dz
dλ
= 3. Parametrisierung:
dx
dy
dz
Fx (λ) dλ + Fy (λ) dλ + Fz (λ) dλ
dλ
dλ
dλ
.
Dann
Z
F~ d~r = a
C
Z
1
0
2
2
2
(6λ + 18λ − 18λ )dλ = 6a
21
Z
1
0
1
λ2 dλ = 2aλ3 = 2a
0
1.5.3
Energiebilanz und Wegintegrale II
Das Wegintegral ist nur von der Bahn zwischen ~r1 und ~r2 abhängig, nicht aber von
der Geschwidigkeit mit welcher das Teilchen sich bewegt. Allgemein nennt man das
Integral
W =
Z
~
r2
~
r1 ,C
F~ (~r) · d~r
die von der Kraft am Punktteilchen längs der Bahn C zwischen ~r1 und ~r2 geleistete
Arbeit. Im Allgemeinen ist es zu erwarten, daß die Arbeit nicht nur vom Anfangsund Endpunkt abhängt, sondern auch von der Bahn C.
Was passiert, wenn das Integral von der Bahn unabhängig ist:
1) Das Wegintegral über einen jeden geschlossenen Weg verschwindet.
Es sei C ein geschlossener Weg, dann kan man das Integral so berechnen:
Z
~
r1
F~ (~r)·d~r =
Z
~
r2
F~ (~r)·d~r +
~
r1 ,C1
~
r1 ,C
Z
~
r1
F~ (~r)·d~r =
Z
~
r2
~
r1 ,C1
~
r2 ,C2
F~ (~r)·d~r −
Z
~
r2
F~ (~r)·d~r = 0
~
r1 ,C2
weil die letzte zwei Integrale gleich sind.
C1
2
C2
1
2) Es existiert eine eindeutige skalare Funktion U (~r), die das Kraftfeld F~ vollständig
definiert.
Definieren wir
Z ~r
U (~r) = −
F~ (~r) · d~r
0
Weil dieses Integral von der Bahn unabhängig ist, ist also U bis auf eine Konstante
(U (0)) bestimmt. Schreiben wir
U (~r + d~r) − U (~r) = −
Z
~
r +d~
r
~
r
F~ (~r) · d~r ≈ −F~ (~r) · d~r
Wählen wir d~r||~i, so erhalten wir
U (x + dx, y, z) − U (x, y, z) ≈ −Fx dx
oder
Fx = −
∂U (x, y, z)
∂x
22
Analog erhalten wir Fy = −∂U (x, y, z)/∂y und Fz = −∂U (x, y, z)/∂z. Zusammengefaßt, schreiben wir
F~ = −∇U = −gradU,
∂
∂
∂
∇ = (~i , ~j , ~k )
∂x ∂y ∂z
wobei
Mann nennt U ein Potentialfeld oder auch Potential.
Ein Vektorfeld heißt konservativ wenn es ein Potential hat. Man sieht, daß ein
konservatives Feld durch eine skalare Funktion (Potential) definiert wird.
Kehren wir zurück zur Energiebilanz. Für ein konservatives Kraftfeld können wir
schreiben
Z ~r2
F~ (~r) · d~r = −(U (~r2 ) − U (~r1 ))
~
r1
Zusammen mit der kinetischen Energie ergibt das
T2 + U (~r2 ) = T1 + U (~r1 )
Man nennt E = T +U die Gesamtenergie, T die kinetische Energie, U die potentielle
Energie.
Leistung definiert man als Arbeit pro Zeit:
dW
d
=
dt
dt
Z
t
d
F~ d~r =
dt
t0
Z
t
t0
F~ ~ṙdt′ = F~ ~ṙ
Beispiel 1.3 Homogenes Kraftfeld
~ r, dann F~ = −∇A~
~ r = −~i ∂Ax x − ~j ∂Ay y − ~k ∂Az z = −A.
~
Es sei U (~r) = A~
∂x
∂y
∂z
Beispiel 1.4 Rotationsymmetrisches Zentrallkraftfeld
p
Sei das Potential nur vom Betrag von r = x2 + y 2 + z 2 abhängig: U = g(r).
Berechnen wir das Kraftfeld:
−Fx =
Also ergibt sich
g′
x
dg ∂r
dg
∂g(r)
p
=
=
=
x
∂x
dr ∂x
dr x2 + y 2 + z 2
r
g ′ (r)~r
g′ ~
(xi + y~j + z~k) =
r
r
Wir haben ein Kraftfeld erhalten, bei dem die Kraft stets auf der Verbindungslinie
mit einem Zentrum O liegt, und der Betrag der Kraft hängt nur vom Abstand r von
Zentrum ab. Insbesondere ist die Gravitationskraft mit dem Potential
∇U =
U = −γ
M1 M2
r
23
wichtig. Hier ist
M1 M2
F~ = −γ
~r
r3
Konservatives und nichtkoservatives Kraftfeld
Beispiel 1.5 Nichtkonservatives Feld
Betrachten wir das Feld
F~ = (~iy, ~jx, 0)
Wählt man die geschlossene Bahn entlang der Kreise rund um 0, ist es einfach zu
zeigen, daß das Wegintegral nicht verschwindet. Ein solches Feld hat eine endliche
Rotation.
Beispiel 1.6 Die Lorentz-Kraft
Die Lorentz-Kraft, die auf einen geladenen Teilchen in Magnetfeld wirkt, ist F~ =
~ das bedeutet F~ ⊥ ~v . Also verschwindet das Integral
e~v × B,
Z
t2
t1
F~ · ~v dt
Das Magnetfeld leistet also niemals Arbeit.
1.5.4
Impuls und Drehimpuls eines Teilchens
Der Impuls p~ ist mit Hilfe der Geschwindigkeit folgendermaßen definiert:
p~ = m~v
Aus den II. Newtonschen Gesetz
d~
p
= F~
dt
24
folgt der Erhaltungssatz: Wenn die Gesamtkraft F~ Null ist, dann bleibt der Impuls
p~ erhalten.
~ bezeichnet und
Der Drehimpuls eines Teilchens um einen Punkt O wird mit L
ist definiert durch
~ = ~r × p~
L
wobei ~r der Radiusvektor von O zum Teilchen ist. Wir berechnen nun
~
dL
d
d~r
d~
p
= ~r × p~ =
× p~ + ~r ×
= ~r × F~
dt
dt
dt
dt
~ = ~r × F~ . Dann können wir
Wir definieren nun das Drehmoment um O durch N
schreiben
~
dL
~
=N
dt
und bekommen den Erhaltungssatz für den Drehimpuls eines Teilchens: Wenn das
~ Null ist, bleibt der Drehimpuls L
~ erhalten.
gesamte Drehmoment N
25
1.6
Die Zentralkraftbewegung
Die Bewegung eines Teilchens in einem Zentralkraftfeld wird mit der folgenden Gleichung beschrieben:
d2~r
m 2 = −∇U (r)
dt
Das ist ein System drei Differentialgleichungen 2. Ordnung, also ist die Lösung von
3 Anfangskoordinaten und 3 Anfangsgeschwidigkeiten abhängig.
Zuerst prüfen wir die möglichen Erhaltungsgrössen:
Der Impuls ist nicht erhalten, weil die Kraft nicht Null ist.
Die Energie ist erhalten, weil die Kraft konservativ ist.
~ = ~r × F~ = 0 weil F~ k~r ist. Deshalb ist
Betrachten wir die Drehimpulsbilanz: N
~ = ~r × p~ = const. Wir folgern:
der Drehimpuls erhalten: L
~
(a) Der Vektor L steht senkrecht zur Ebene, in welcher die Vektoren ~r und
~ ist konstant, deshalb ist diese Ebene konstant. Das
~v liegen. Die Richtung von L
bedeutet, daß die Bewegung eines Teilchens immer in einer Ebene verläuft. Wir
~ = (0, 0, Lz ).
wählen die Einheitsvektoren ~i, ~j in dieser Ebene, dann L
(b) Betrachten wir jetzt die Bewegung in (x, y)
Ebene in Polarkoordinaten, also
r
∆S
∆φ
x = r cos φ
vx = ṙ cos φ − rφ̇ sin φ
y = r sin φ
vy = ṙ sin φ + rφ̇ cos φ
Stellen wir den Drehimpuls in Polarkoordinaten dar:
Lz = xpy − ypx = m(r cos φ(ṙ sin φ + rφ̇ cos φ) − r sin φ(ṙ cos φ − rφ̇ sin φ) = mr2 φ̇
Also erhalten wir
Lz
mr2
Diese Gleichung bedeutet auch, daß der Vektor ~r in einem Zeitinterval ∆t immer
die gleiche Fläche überstreicht:
φ̇ =
∆S =
r 2 Lz
Lz
r2
∆φ =
∆t =
∆t
2
2 mr2
2m
Dies ist bekanntlich auch die Aussage des zweiten Keplerschen Gesetzes.
Stellen wir jetzt auch die Energiebilanz
m 2
(v + vy2 ) + U (r) = E
2 x
26
in Polarkoordinaten dar. Wir haben
vx2 + vy2 = ṙ2 + r2 φ̇2 = ṙ2 +
L2z
m2 r2
wobei wir den Drehimpulsbilanz berücksichtigt haben. Endgültig erhalten wir
m 2
ṙ + Uef f (r) = E
2
mit
L2z
Uef f (r) = U (r) +
2mr2
2
Lz
Der Anteil 2mr
2 heißt Zentrifugalterm. Wir haben genau die Gleichung erhalten,
die eine eindimensionale Bewegung eines Teilchens beschreibt, und diese Gleichung
ist im Prinzip lösbar. Wenn man die Lösung r(t) schon hat, kann man auch die
Gleichung für φ̇ integrieren, und das Problem vollständig lösen.
U
2
Lz
2mr 2
r
Ueff
U(r)
1.6.1
Das Keplerproblem
Wir betrachten das Potential
α
U (r) = − ,
r
das man als Gravitationspotential U (r) = −GM m/r oder als Coulombpotential
U (r) ∼ q1 q2 /r ansehen kann. Dann erhalten wir für das Effektivpotential
Uef f = −
α
L2z
+
.
r
2mr2
27
Dieses Potential hat ein Minimum, so daß sowohl gebundene als auch ungebundene
Bahnen möglich sind. Finden wir jetzt diese Bahnen, das heißt den Zusammenhang
zwischen r und φ, explizit. Also,
Lz
φ̇ =
mr2
ṙ =
r
(
2
(E − Uef f ))
m
Wenn wir die Ausdrücke für φ̇ und ṙ dividieren, erhalten wir
dφ =
mr2
q
Lz dr
2
m (E
+
α
r
−
L2z
)
2mr 2
Mit r = 1/ξ ergibt sich
dφ = q
Unser Ziel ist jetzt, den Ausdruck
. Das ergibt
Ansatz η = ξ − αm
L2
z
dφ = p
p
2mE
L2z
−dξ
+
2αm
ξ
L2z
− ξ2
A2 − η 2 zu erhalten, das erreichen wir mit dem
−dη
,
A2 − η 2
A2 =
2mE
α2 m2
+
2
Lz
L4z
Nach der Integration erhält man daraus
η = A cos(φ − φ0 )
oder
1 αm
αm
− 2 = 2
r
Lz
Lz
s
1+
2EL2z
cos(φ − φ0 )
mα2
Die endgültige Formel schreiben wir mit φ0 = 0 als
k
,
r=
1 + ε cos φ
L2
k= z
mα
ε=
s
1+
2EL2z
α2 m
Das ist die Polargleichung für einen Kegelschnitt. Um das offensichtlich zu machen,
setzen wir
q
r = x2 + y 2
und
r cos φ = x
28
in diese Formel rein:
k = r(1 + ǫ cos φ) =
und schreiben die als
q
x2 + y 2 + ǫx
x2 (1 − ǫ2 ) + 2ǫkx + y 2 = k 2
Insgesamt treten folgende Bahnkurven auf:
2
): x2 + y 2 = k 2 ergibt einen Kreis
1) ε = 0 (Falls E = − mα
2L2z
2) ε < 1 (E < 0) : Ellipse mit dem Exzentrizität ε
3) ε = 1 (E = 0) : Parabel
4) ε > 1 (E > 0) : Hyperbel
Elliptische Trajektorien:
Brennpunkte, Halbachsen a und b, Exzentrizität ε = e/a.
φ = 0 ⇒ rmin = k/(1 + ε) (In Astronomie: Perihel)
φ = π ⇒ rmax = k/(1 − ε) (In Astronomie: Aphel)
rmin + rmax = k/(1 + ε) + k/(1 − ε) = 2a ⇒ k/(1 − ε2 ) = a
a − e = rmin , a + e = rmax ⇒ e = kε/(1 − ε2 ) = εa
e2 + b2 = a2 ⇒ b2 + ε2 a2 = a2 ⇒ b2 = a2 (1 − ε2 ) = ak
1.6.2
Elliptische Trajektorien
Die Bewegungstypen im Gravitationspotenzial:
L2z
γmM
−
2mr2
r
Für negative Energien sind nur gebundene Bewegungen möglich.
Uef f =
Keplersche Gesetze
1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne
steht.
2. Der Radiusvektor von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten
gleiche Flächen (wir benutzen φ̇ = Lz /mr2 ):
dS =
r 2 Lz
Lz
r2
dφ =
dt =
dt
2
2
2 mr
2m
29
3. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie Kuben der
großen Achsen der Ellipsen: (τ1 /τ2 )2 = (a1 /a2 )3
Lz
dS
= const =
dt
2m
Die Gesamtfläche
S = πab =
Mit k =
L2z
mα
=
b2
a
Z
t+τ
t
ds
Lz
dt =
τ
dt
2m
ergibt es
τ2 =
4m2 2 2 2 4m2 2 3 4m 2 3
4π 2 3
π
a
=
a
π
a
b
=
π
ka
=
L2z
L2z
α
γM
Einfluß des Drehimpulses und der Energie
Betrachten wir Planetenbewegung, α = γmM .
2
L2z
= γmL2zM wird bei Definition durch Lz bestimmt.
k = mα
Der Einfluß der Energie: für den sonnennächsten Punkt rmin (Umkehrspunkt) gilt:
ṙ = 0. Das ergibt für die Gesamtenergie
E=
L2z
α
γmM
γmM
L2z · γmM
k · γmM
−
−
−
=
=
2
2
2
2
rmin
rmin
2mrmin rmin
2γm M rmin
2rmin
Das ergibt
E = γmM
Benutzen wir k = b2 /a =
a2 −e2
a ,
1
k
−
2
2rmin rmin
!
rmin = a − e. Dann haben wir in Klammern:
a2 − e2 − 2a(a − e)
−1
=
2a(a − e)2
2a
γmM
γmM
⇒a=−
2a
2E
Die Energie bestimmt damit eindeutig die große Halbachse a. Es handelt sich um
eine gebundene Bewegung, deswegen gilt E < 0. Bestimmen wir jetzt die kleine
Halbachse:
√
Lz
b = ka = √
−2mE
⇒E=−
30
Beispiel: kosmische Geschwindigkeiten
1. kosmische Geschwindigkeit. Als erste kosmische Geschwindigkeit oder Kreisbahngeschwindigkeit wird die Geschwindigkeit bezeichnet, bei der ein tangential
zu einer Planetenoberfläche bewegter Satellit gerade nicht mehr auf den Planeten
zurückfällt, sondern sich auf einer niedrigstmöglichen Kreisbahn um den Planeten
bewegt. Entspricht die Situation wenn das Minimum des Potenzials für r = RE
stattfindet (RE sei Radius der Erde), d.h. die Bahn ist ein Kreis, Lz = mv1 RE .
′
Uef
f =0⇒
L2z
γM
= γm2 M ⇒ v12 = 2 RE = gRE
RE
RE
oder
v1 =
γM
≈ 7.9km/s
RE
2. kosmische Geschwindigkeit: Im Grenzfall liegt der erdferne Punkt der Umlaufbahn im Unendlichen, so dass der Satellit sich nicht mehr auf einer geschlossenen elliptischen Umlaufbahn befindet, sondern sich auf einer Parabelbahn von
der Erde entfernt. Die hierzu notwendige Geschwindigkeit wird als zweite kosmische
Geschwindigkeit oder Fluchtgeschwindigkeit bezeichnet. Die Parabelbahn entspricht
der Gesamtenergie E = 0. Auf der Erdoberfläche
U = −γ
Oder, mit g =
q
mM
mM
= −mgRE ⇒ mv22 /2 − γ
= 0 ⇒ v2 = 2γM/RE
RE
RE
γM
2 :
RE
v2 =
p
2gRE =
√
2v1 ≈ 11.2km/s
Beispiel: Geschwindigkeiten in Aphel and Perihel
Die Geschwindigkeiten vA und vP sind zu Grossachse senkrecht. Aus dem Drehimpulssatz folgt:
mra va = mrp vp
a−e
rp
vp
va = vp =
ra
a+e
Aus dem Energiesatz folgt:
mva2 /2 −
γM m
γM m
= mvp2 /2 −
a+e
a−e
31
vp2
2
!
(a − e)2
−1
(a + e)2
vp =
s
va =
s
=
γM a + e
=
a a−e
γM a − e
=
a a+e
γM
γM
−
a+e a−e
s
s
γM 1 + ε
a 1−ε
γM 1 − ε
a 1+ε
Beispiel: der Hohman Orbit, oder Raumflug zum Mars
Nehmen wir an, ein Raumflugzeug rotiert um die Erde (parking orbit). Dann wird
der Motor eingeschaltet um das Raumflugzeug auf einen anderen Orbit zu plazieren.
Wir vernachlässigen das Schwerfeld der Erde.
E2
S
E1
M2
45
M1
Radius des Orbits der Erde ist ae = 1 AU; für Mars am = 1.52 AU. Start auf die
dunkle Seite der Erde, dann ist die Geschwindigkeit des Raumflugzeuges in die selbe
Richtung als die Rotationsgeschwindigkeit der Erde. Die Halbachse des Hohman
Orbits ist
ah = (1 + 1.52)/2 = 1.26
Die Umlaufzeit in Jahren:
3/2
τh = a h
= 1.414
32
Die Zeit der Reise in Jahren τh /2 = 258 Tagen.
258
≈ 135
Die Umlaufzeit für Mars ist 687 Tagen. In 258 Tagen rotiert Mars um 360 687
Grad. ⇒ der Winkel zwishen Mars und die Erde soll zuerst 45 Grad sein.
Die Geschwindigkeit in Perihel:
vp =
s
γM ah + e
=
ah ah − e
s
γM ra
=
a h rp
s
γM ae ra
=
a e a h rp
s
γM
ae
s
a e ra
a h rp
r
1 · 1.52
= 32.7km/s
1.26 · 1
∆v = 32.7 − 29.8 = 2.9km/s
vp = 29.8
(Die Erde bewegt sich auf der Kreisbahn mit der Geschwindigkeit
km/s.)
q
γM
ae
= 29.8
Hyperbelbahnen
Exzentrizität ε > 1.
Das Teilchen umfliegt das Zentrum, minimaler Abstand rmin = k/(1 + ε) (φ = 0);
die Asymptotenrichtungen (t → ∞) werden durch 1 + ε cos φ = 0 bestimmt.
Wann ist rmin = 0? Für das Potenzial −α/r ist es nur für k = 0, d.h. für Lz = 0
möglich.
Abstossendes Potenzial: in U = −α/r nehmen wir α < 0, dann andert sich
nur Zeichen von k, jetzt wird k < 0. Die Gleichung ist dann
r=
−|k|
1 + ε cos φ
Für φ = π finden wir rmin = k/(1 − ε), Assimptotenrichtungen wie früher. Das
Teilchen fliegt das Zentrum nicht um!
33
1.7
Inertialsysteme, Galileitransformationen
Wir betrachten die freie Bewegung eines Teilchens
m~¨r = 0
Die Lösung dieser Gleichung ist die gleichförmig geradlinige Bewegung. Dies formuliert man auch als I. Newtonsche Gesetz. Das physikalisch wesentliche in diesem
Gesetz ist schon in der Definition des Radiusvektors ~r erhalten. Dieser Vektor ist
von der Wahl des Ursprungs abhängig, d.h. von der Wahl des Koordinatensystems.
Bezugsysteme, in denen das I. Newtonsche Gesetz im kraftfreien Fall die Form ~¨r = 0
hat, heißen Inertialsysteme. Für diese Systeme stellte Galilei das Relativitätsprinzip
auf: Alle Inertialsysteme sind gleichwertig. Das bedeutet inhaltlich, daß physikalische Vorgänge in allen Inertialsystemen in gleiche Weise ablaufen. Oder formal: Die
Gesetze in allen Inertialsystemen haben die gleiche Form.
Die Übergang von einen Inertialsystem zum anderen kann verschiedene Formen
haben.
1) Eine Verschiebung des Nullpunktes um den konstanten Vektor
x′ = x + a y ′ = y + b z ′ = z + c
t′ = t
Diese Transformation hat 3 Parameter, das bedeutet, daß der Raum homogen ist.
2) Eine Drehung, bei der das neue System K ′ gegenüber dem System K zwar
gedreht ist, der Ursprung beider Systeme aber derselbe ist. Z. B., die Drehung um
die Axe z kann man als
x′ = x cos α + y sin α
y ′ = −x sin α + y cos α
z′ = z
t′ = t
schreiben. Diese Transformation bedeutet, daß der Raum isotrop ist (alle physicalische Eigenschaften sind Richtungunabhängig). Die allgemeine Drehung hängt von 3
Parametern ab.
3) Eine Verschiebung des Zeitnullpunktes
t′ = t + a
(Zeit ist auch homogen)
4) Eine Galileitransformation
x′ = x − v x t
y ′ = y − vy t
34
z ′ = z − vz t
t′ = t
zwischen zwei Inertialsystemen, wobei K ′ sich gegenüber K mit einer konstanten
Geschwidigkeit bewegt. Diese Transformation ist von 3 Parametern abhängig und
entspricht spezielle Relativitätseigenschaften der Raum-Zeit.
Man kann alle Transformationen verwenden, so daß die allgemeine Transformation mit Hilfe von 10 Parametern charakterisiert wird. Matematisch gesehen, bilden
die Transformationen eine 10-parametrige Gruppe.
1.8
Bewegungen in einem Nicht-Inertialsystem
Sei K ein Inertialsystem; sei K ′ ein zweites System mit den Orten ~i′ , ~j ′ , ~k ′ . Das System K ′ bewegt sich relativ zu K. Geometrische Überlegungen zeigen, daß die Bewegungen beschleunigter Bezugssysteme als Translationen des Koordinatenursprungs
plus Rotationen um diesen Ursprung angesehen werden können.
r’
k’
j’
k
r
R
i’
j
i
1.8.1
Translationen des Koordinatenursprungs
Hier ändern sich die Orte ~i, ~j, ~k nicht. Deshalb hat man
¨~
~¨r = ~r¨′ + R
und deshalb kann das II. Newtonsche Gesetz als
¨~
m~r¨′ = F~ − mR
¨~
geschrieben werden. Man sieht, daß hier die Scheinkraft −mR
auftritt. Es ist bemerkenswert, daß die Scheinkräfte in gleicher Weise auftreten wie Gravitationskräfte.
Für ein Massenpunkt im homogenen Schwerfeld an der Erdoberfläche gilt m~¨r = m~g .
Im linear beschleunigten Bezugssystem haben wir m~¨r = m~g − m~b. Falls wir einen
frei fallenden Fahrstuhl wählen, so haben wir ~g = ~b und in K ′ gelten die gleichen
Bewegungsgleichungen wie ohne Gravitation.
35
Beispiel 1.7 Der Fallturm Bremen
Der Fallturm Bremen ist ein in Europa einzigartiges Großlabor, daß Wissenschaftlern aus aller Welt die Möglichkeit zu erdgebundenen Experimenten unter kurzzeitiger Schwerelosigkeit bietet. Im Gegensatz zur orbitalen Mikrogravitationsforschung
besteht hier eine permanente und kostengünstige Nutzungsmöglichkeit. Seit Inbetriebnahme im Sept. 1990 steht das 145,5m hohe Betonbauwerk auf dem Gelände
der Universität Bremen zur Verfügung und ist eine wichtige Ergänzung zu den bestehenden und geplanten Laboreinheiten der orbitalen und suborbitalen Schwerelosigkeitsforschung. Mit der Anlage ist es möglich bis zu dreimal täglich für jeweils
4,74 Sekunden den Zustand der Schwerelosigkeit zu erreichen. Um die Schwerelosigkeitszeit auf ca. 9 Sekunden zu verdoppeln, wird in einer geplanten Ausbaustufe am
Fuße des Turmes ein Katapult als Abschußvorrichtung installiert.
Weiteres siehe http://www.zarm.uni-bremen.de/
1.8.2
Rotierende Bezugssysteme
Betrachten wir zwei Koordinatensysteme:
das Inertialsystem K mit Basisvektoren ~i, ~j, ~k
das rotierende System K ′ mit Basisvektoren ~i′ (t), ~j ′ (t), ~k ′ (t).
Es gilt für den Ortsvektor:
~ + r~′
~r = R
Man kann die Ortsvektoren ~r und ~r′ sowohl in K als auch in K ′ nach der Zeit
ableiten:
d~r
dt
= (ṙx~i + ṙy~j + ṙz~k)
K
d~r′
dt
K′
= (ṙx′ ~i′ + ṙy′ ~j ′ + ṙz′ ~k ′ )
Aus dem System K gesehen:
d~r
dt
K
~˙ + d (r′ ~i′ ) + d (r′ ~j ′ ) + d (r′ ~k ′ )
=R
dt x
dt y
dt z
Es ist einfach zu sehen, daß
d~r
dt
~˙ +
=R
K
d~r′
dt
K′
Also, es gibt drei Summanden:
• Geschwindigkeit des Ursprungs
36
˙′
˙′
˙′
+ (rx′ ~i + ry′ ~j + rz′ ~k )
• Geschwindigkeit des Punktes im System K ′
• Geschwindigkeit eines starr mit K ′ mitrotierenden Punktes. Für einen solchen Punkt ändern sich die Achsenrichtungen, nicht jedoch die Komponenten
rx′ , ry′ , rz′ .
Betrachten wir den letzten Term. Die Rotation des Systems K ′ um den Ursprung
beschreiben wir mit dem Vektor ω
~. ω
~ hat die Richtung der momentanen Drehachse.
Die Geschwindigkeit des starr mitrotierenden Punktes ist senkrecht zu ~r′ und ω
~.
ω
δ r’
α
r’
Für den Betrag gilt:
δ~r′ = |~r′ | sin(α) · ωdt = |~
ω × ~r′ |dt
Dann
δ~r′
˙′
˙′
˙′
= rx′ ~i + ry′ ~j + rz′ ~k = ω
~ × ~r′
dt
~ + r~′ und schreiben endgültig
Wir benutzen ~r = R
d
~
(~r − R)
dt
=
K
d ′
~r
dt
K
= ~r˙′
K′
+ω
~ × ~r′
~ zeitlich
Das ist die allgemeine Regel, wie man in einem Inertialsystem einen Vektor A
ableitet, der in einem rotierenden Koordinatsystem dargestellt wird:
~
dA
dt
=
K
~
dA
dt
37
K′
~.
+ω
~ ×A
Finden wir die Beschleunigung ~a′ in einem rotierenden System (keine Translation,
⇒ Ṙ = 0). Führen wir die folgende Notationen ein:
~r˙′
~r˙′
= ~v
K
= ~ν ,
K′
dann
~v = ~ν + ω
~ × ~r′
Für die Beschleunigung erhalten wir
~a =
d~v
dt
=
K
d~v
dt
K′
+ω
~ × ~v =
d(~ν + ω
~ × ~r′ )
dt
K′
+ω
~ × (~ν + ω
~ × ~r′ ) =
=α
~ + 2~
ω × ~ν + ω
~˙ × ~r′ + ω
~ × (~
ω × ~r′ ) ,
wobei α
~ = (d~ν /dt)K ′ .
Das ergibt das 2. Newtonischen Gesetz im Nicht-Inertialen, rotierenden System:
m~
α = F~ − m2~
ω × ~ν − mω
~˙ × ~r′ − m~
ω × (~
ω × ~r′ )
Also, im rotierenden System wirken auf den Punkt außer wirklichen Kräften noch
drei Scheinkräfte:
• Coriolis-Kraft F~c = −2m(~
ω × ~ν )
• Trägheitskraft der Rotation F~t = −m(ω
~˙ × ~r′ )
• Zentrifugal-Kraft F~z = −m (~
ω × (~
ω × ~r′ ))
Die zweite Kraft verschwindet falls die Rotation konstant ist.
Bei Rotation und Translation schreiben wir das 2. Newtonischen Gesetz in der Form:
m~r¨′ = F~ − mR̈ + F~z + F~c + F~t
Die Zentrifugalkraft liegt in der Ebene, die durch ~r′ und ω
~ aufgespannt ist. Die ist
von der Geschwindigkeit ~ν unabhängig.
Beispiel 1.8 Erdrotation
Die Zentrifugalkraft ist am Equator maximal. Für die Erde ω ≈ 7.3 10−5 , also
ω 2 Re /g =
7.32 10−10 6.4 106
≈ 3.2 10−3
9.8
38
Die Coriolis-Kraft ist die wichtigste Kraft für die Bewegungen auf der Erdoberfläche. Der Drehgeschwindigkeitsvektor ω
~ ist parallel zu Erderotationsachse und ist
von Süden nach Norden gerichtet. An einen Punkt auf der Erdoberfläche betrachtet, hat dieser Vektor sowohl eine vertikale Komponente |~
ωv | = |ω| sin φ als auch
die horisontale Komponente |~
ωh | = |ω| cos φ. Auf der nördlichen Halbkugel ist ω
~v
nach oben gerichtet, und ω
~ h nach norden. Die Komponente ω
~ v wirkt auf horisontale
Bewegungen, und zwar erfährt der Massenpunkt auf der nördlichen Halbkugel eine
Rechtsabweichung. Die Coriolis-Beschleunigung 2vω sin φ ist sehr klein, kann aber
sehr deutliche Effekte auf der Erde und in der Atmosphere verursachen, u.A. Abweichung von Flüssen, die außertropischen Zyklone und Antizyklone, Passatwinde. Zu
bemerken ist, daß die Coriolis-Kraft dasselbe Form hat wie die Lorenz-Kraft, leistet
auch keine Arbeit.
Bei einer vertikalen Bewegung ist nur ω
~ h wirksam, auf
ω
der nördlichen Halbkugel ergibt sich daraus eine Ost/WestAbweichung. Dies zu berechnen, schreiben wir die Beweωh
ων
gungsgleichung (Strich lassen wir fallen)
φ
~¨r = ~g − 2~
ωh × ~v
In die erste Nährung (Störungs-Verfahren)
~¨r1 = ~g
⇒
~v1 = ~v0 + ~g t
Dan folgt in der zweiten Nährung
~¨r2 = ~¨r1 + ∆~¨r = ~g − 2~
ωh × ~v1 ,
∆~¨r = −2~
ωh × (~g t + ~v0 )
oder für den Betrag
∆r̈ = 2ω(gt + v0 ) cos φ
Setzen wir hier v0 = 0 und t =
p
⇒
1
∆r = ω( gt3 + v0 t2 ) cos φ
3
2H/g ein:
1
∆r = ωg −1/2 (2H)3/2 cos φ ≈ 2.2 10−5 H 3/2 cos φ[m]
3
Für den Bremer Fallturm H = 145m, φ = 53◦ erhalten wir 2.5cm.
39