1. Bewegung und Geschwindigkeit eines materiellen Punktes e ω φ$ =

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i) Exakte Werte trigonometrischer Funktionen
Daniel Ehrbar, D-BAUG
ii) Winkelbeziehungen
tan(g) = sin(g) / cos(g)
cot(g) = cos(g) / sin(g)
sin2(g) + cos2(g) = 1
tan(g) . cot(g) = 1
sin(g ± ) = sin(g) · cos( ) ± cos(g) · sin( )
cos(g ± ) = cos(g) · cos( ) a sin(g) · sin( )
sin(2g) = 2sin(g) · cos(g)
cos(2g) = cos2(g) – sin2(g) = 1 – 2sin2(g)
sin2(0.5g) = 0.5 · (1 – cos(g))
cos2(0.5g) = 0.5 · (1 + cos(g))
iii) Euler’sche Knicklast
k-Faktor der Euler’schen Knicklast für fünf Grundlagerungsarten (s. Kapitel 21):
iv) Standardintegrale und -differentiale
1
cos(a x)
a
1
Ð cos(a x) dx ? sin( a x)
a
Ð sin( a x) dx ? /
1
Ð tan(a x) dx ? / ln]cos(ax)_
a
1
1
2
sin(2ax)
Ð sin (a x) dx ? x /
2
4a
1
1
2
sin(2ax)
Ð cos (a x) dx ? x 2
4a
1
2
Ð tan (a x) dx ? tan(a x) / x
a
1
sin 2 ( a x)
Ð sin(a x) cos(a x) dx ?
2a
1. Bewegung und Geschwindigkeit eines materiellen Punktes
1.1 Koordinaten, Ortsvektoren und dessen Ableitungen
Kartesische Koordinaten:
x(t) = · cosl = r · sin · cos
y(t) = · sinl = r · sin · sin
z(t) = z = r · cos
r(t) = x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez
Zylindrische Koordinaten:
(t) = x 2 - y 2 = r · sin
l(t) = arctan(y/x) =
z(t) = z = r · cos
r(t) = (t)e + z(t)ez
r$ ? x$ e x - y$ e y - z$ e z
r$ ? $ e - © l$ el - z$ e z
Sphärische Koordinaten:
2
- z2 =
r(t) =
x 2 - y2 - z2
(t) = arctan( /z) = arctan( x 2 - y 2 / z)
(t) = l = arctan(y/x)
r(t) = r(t)er(t)
r$ ? r$e - r © $ e - r © sin © $ e
1.2 Definitionen (Winkel-)Geschwindigkeit
Ortsvektor r(t) s Ableitung r(t) ergibt v
: Mass für Stärke der Rotation in [s-1]
r
r$ :?
dr
ds
© k ? s$ © k :? v
:?
dt
dt
wobei:
? l$ e z
s$ : Schnelligkeit von M, s = |v|
k : tangentialer Einheitsvektor
? l$
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2. Kinematik starrer Körper
2.1 Allgemeine Starrkörperbewegung
• Satz der projizierten Geschwindigkeiten (SdpG) (s. Skizze!):
vN c NM ? vM c NM
vN c ? vM c
• allgemeine Starrkörperbewegung:
vM ? vB -
· BM
• Kinemate: { , vM}
• 1. Invariante: ist konstant
• 2. Invariante: v A c ? v B c
(= 0 für reine Rotation / Translation)
• Schraubung: Jede zusammengesetzte Bewegung stellt im Moment
eine Schraubung um eine Zentralachse dar. Alle Punkte auf
haben dieselbe Geschwindigkeit v . v , und sind parallel. Es
gilt die Formel v A ? v - · PA falls P auf liegt.
• v kann über die zweite Invariante berechnet werden:
v c
1
v ? A
©
? e|
• Bestimmung der Zentralachse: B(xB, yB, zB), vB und
Z(xZ, yZ, zZ) auf unbekannt:
ÃxZ / xB Ô
à xZ Ô
Ä Õ
Õ
Ä
v Z ? v ? v B - · BZ ? v B - · Ä y Z / y B Õ | ? Ä y Z Õ Äz Õ
Äz /z Õ
Å ZÖ
B Ö
Å Z
2.2 Spezialfall Reine Translation
• Alle Punkte des Körpers haben
gleiche Geschwindigkeit: vN = vM
• Winkelgeschwindigkeit:
=0
• geradlinig/krummlinige Trsl.
bekannt,
Ã
Ä
Ä
Ä
Å
Ô
Õ
yÕ
Õ
zÖ
x
2.3 Spezialfall Reine Rotation
• Körper rotiert um eine Achse: µ, alle Punk-
te auf µ haben v = 0 und
ist parallel zu µ.
vP ?
• für alle anderen Punkte gilt:
resp.
vP ?
© AP
und v
ｩ
ｩ
· AP
r
2.4 Ebene Bewegung eines starren Körpers („2D-Situation“)
• Ein oder mehrere Körper rotieren, wobei ihre Rotationsachsen entweder
in der Bildebene oder senkrecht dazu liegen, d.h. v = 0
Es gilt: v ? © r (mit , v und r jeweils senkrecht aufeinander)
• Momentanzentrum: statt Drehung um Schraubungsachse hat man
Drehung um ein Momentanzentrum, welches mit zwei Geschwindigkeitsvektoren gemäss Abbildung (links) ermittelt werden kann.
• Polbahnen: g.O. der Momentanzentren. Feste Polbahn (unbewegliche
Koordinaten) x und y, bewegliche Polbahn (körperfeste Koordinaten,
werden mitbewegt) und .
gem. Abb.
2.5 Fachwerke
• Starrkörper ausmachen: alle geschlossenen Dreiecke sowie
untereinander verbundene Dreiecke und einzelne Stäbe
• Lagerbedingungen: Festlager = Momentanzentren (Lager Z1)
und Auflager mit v (geg.) parallel zum Untergrund (Lager B)
• Es gilt immer der SdpG: hier z.B. vA’ = vB, (A und B in gleichem Körper)
• Es gilt immer: |v| = | | · |r|, wobei r SENKRECHT auf v und von Z aus gemessen!
• Es gilt immer die Parallelogrammregel:
1
=
1
und
2
=
2
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3. Kräfte
3.1 Allgemeines zum Kraftbegriff
• Darstellung: {A | F} Kraft F greift im
Punkt A an (A: Angriffspunkt)
• Einheit: N (Newton) N = [kg · m · s-2]
• Kräftegruppe: {Ai | Fi} = {A1 | F1},
{A2 | F2}, …, {An | Fn}
• Spezialfall: {A | Fi} = {A | R}, wobei R = ¬ Fi
• Zwei Arten von Kräfte:
Kontaktkr.: Wechselwirkung mit Berührung (A1 = A2)
Fernkr.: Wechselwirkung ohne Berührung (A1 Œ A2)
3.3 Verteilte Kräfte, Kraftdichte
Linienkräfte s
Linienkraftdichte q [N/m]:
q (Q) :? lim
s›0
F
s
Flächenkräfte s
Flächenkraftdichte s [N/m2]:
s (Q) :? lim
A ›0
dF = q · ds
3.2 Reaktionsprinzip, Innere und äussere Kräfte
Postulat: A1 und A2 sind materielle Punkte. Übt A1
auf A2 die Kraft F aus (actio) so wirkt A2 auf A1
mit der Gegenkraft –F (reactio). Bei Fernkräften
liegen die Wirkungslinien von Kraft und Gegenkraft
auf der Verbindungsgeraden durch A1 und A2.
• Innere Kräfte: Angriffspunkte der Reaktion liegen innerhalb des Systems.
• Äussere Kräfte: Angriffspunkte der Reaktion
liegen ausserhalb des Systems.
Volumenkräfte s
Volumenkraftdichte f [N/m3]:
F
A
f (Q) :? lim
V ›0
dF = s · dA
F
V
dF = f · dV
4. Leistung und Moment einer Einzelkraft
4.1 Leistung einer Einzelkraft
• Einzelkraft F greift im Punkt M an,
welcher die Geschwindigkeit vM hat:
P := F vM resp. P = |F| · |vM| · cos(g)
• Einheit: W (Watt) [N · m · s-1]
• Unterscheidung: g < 90°: Antriebskraft,
g > 90°: Widerstand, g = 90°: leistungslos
4.2 Moment einer Kraft
• Moment M0 der Kraft F mit Angriffspunkt A bezüglich dem
Punkt O: M0 := OA x F resp. M0 = |OA| · |F| · sin(g) = F · a
• Moment MZ der Kraft F bezüglich
der Achse Oz: M := e
• rotierender Körper: P =
resp. P =
M0
M0
MZ
4.3 Gesamtleistung mehrerer Kräfte an einem starren Körper
• Resultierende: R := ¬ Fi, wobei R ein freier Vektor ist, falls nicht alle Fi den gleichen Angriffspunkt haben!
• allgemeine Definition: P(F1, F2,…,Fn) = P(F1) + P(F2) + … + P(Fn) s Ptot = ¬ Fi vi resp. Ptot =
• P = vB R +
MB
(Geschwindigkeit und Moment desselben Punktes verwenden!)
5. Äquivalenz und Reduktion von Kräftegruppen
5.1 Statische Äquivalenz
„2 an K angreifende Kräftegruppen {G} und {G*} heissen
statisch äquivalent (s.ä.) falls für jede Starrkörperbewegung
5.2 Moment einer Kräftegruppe
Moment einer Kräftegruppe
bezüglich eines Punktes:
von K die Gesamtleistung von {G} gleich der Gesamtleistung
MO := ¬ OAi x Fi resp.
von {G*} ist.“ Dies ist nur dann gegeben, wenn: R = R* und
MP = MO + R x OP oder
M0 = M0* bezüglich einem einem beliebigen Punkt!
MP = MO + PO x R
¬ Mi
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5.2 Kräftepaar
Kräftepaar, bestehend aus zwei parallelen
entgegen gerichteten Kräften mit R = 0:
Daniel Ehrbar, D-BAUG
5.3 Parallele Kräfte mit R Œ 0
hier gilt die Momentenformel („Hebelgesetz“):
M = A x F |M| = b·|F| (M: freier Vektor)
a1·|F1| = a2·|F2|
5.4 Gleichgewicht und Reduktion einer Kräftegruppe
• Gleichgewicht: R = 0 (d.h. Rx = Ry = RZ =0) (Komponentenbedingung) und MO = 0 (d.h. MOx = MOy =
MOz = 0) (Momentenbedingung). Keine inneren Kräfte in den Gleichgewichtsgleichungen!
• Reduktion: Kräftegruppe {G} durch Dyname {R, MB} in einem Punkt B darstellen
• 1. Invariante: R (vom Bezugspunkt unabhängig)
R c MB R
M Z ? M (R) ?
©
(R)
R
R
• 2. Invariante: M (vom Bezugspkt abhängig): R MB = R MM
R
• Spezialfälle, wenn R MO = 0: R = 0, M(R) Œ 0: Reduktion auf Kräftepaar möglich
e ?
R
R Œ 0, M(R) = 0: Reduktion auf Einzelkraft auf möglich
6. Parallele Kräfte und Schwerpunkt C
6.1 Kräftemittelpunkt S
falls alle Kräfte gleich
gerichtet (parallel) sind:
rS ?
ÂFi ri
ÂFi
6.2 Linien- und flächenverteilte Kräfte, Flächenmittelpunkt S
Linienverteilung:
Flächenverteilung:
Ð ( r © s)dA
L
xS ?
Ð (x © q)dx
r S :?
0
BCDE
Ð sdA
L
BCDE
Ð qdx
0
r C :?
1
© Ð rdA
A BCDE
7. Ruhelage und Gleichgewicht
8. Lagerbindungen und Lagerkräfte
7.1 Virtueller Bewegungszustand
• virtueller BZ: gedachter BZ des
Systems, zulässig wenn mit inneren und äusseren Bindungen (s
Bindungskräfte) verträglich
• virtuelle Leistung: P~ :? F c ~v M
8.1 Standfestigkeit, Lager
• standfest: Normalkraft geht durch Standfläche
• Arten von Lager bei Balkenträgern und Wellen:
7.2 Prinzip der virtuellen Leistungen
Ruhelage dann und nur dann, falls Gesamtleistung aller i. und ä. Kräfte bei
jedem virtuellen BZ gleich Null ist!
Auflager
Lange Querlager
Starre Einspannung (3D und 2D)
Längslager
7.3 Hauptsatz der Statik
Ruhelage (Gleichgewichtslage):
R(a) = 0 und MO(a) = 0 (Gl.gew.bed.)
Kugelgelenk
Kurze Querlager (b: Kugellager)
Zylindergelenk
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8.2 Statische Bestimmtheit
n Unbekannte, m Gleichungen
• n = m: Statisch bestimmt
• n > m: statisch unbestimmt
8.3 Systemtrennung (eben)
m Lagerreaktionen,
v Verbindungsreaktionen,
n starre Teilkörper
• n < m: statisch überbestimmt, Mechanismus
stat. bestimmt: m + v = 3n
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9. Statisch bestimmte Fachwerke, Pendelstützen
9.1 Ideale Fachwerke
Ideales Fachwerk hat folgende Eigenschaften:
• Alle Knoten sind reibungsfreie Gelenke
• Stäbe sind gewichtslos
• Knoten befinden sich nur an Stabenden
• Lasten greifen nur in Knoten an
• Konsquenz: STÄBE = PENDELSTÜTZEN
(nur ZUG- oder DRUCKBELASTUNGEN!)
• Kräfte immer vom Knoten weg einzeichnen:
Vorzeichen positiv (S > 0): Zugkraft,
Vorzeichen negativ (S < 0): Druckkraft
9.2 Knotengleichgewicht
• Gelenke isoliert betrachten:
- Lagerkräfte bestimmen
- Gleichgewichtsbedingung am Knoten
• Fachwerk statisch bestimmt, falls:
Anzahl Stäbe +
2x Anzahl Knoten (in 2D)
=
Anzahl Lagerkräfte
3x Anzahl Knoten (in 3D)
9.3 Dreikräfteschnitt
• Lagerkräfte bestimmen
• Fachwerk so durchschneiden, dass
(min.) 3 Stäbe geschnitten, wobei die
Stäbe nicht alle aus dem gleichen
Knoten stammen dürfen! Die drei Stabkräfte einführen.
• Momentengleichung im Schnittpunkt zweier unbekannter Stabkräfte s Gleichung für dritte Stabkraft
• Komponentenbedingungen für beiden anderen Stabkräfte
9.4 Direkte Anwendung des PdvL
• Nützlich für Fachwerke in 3D
• Einen (!) Stab entfernen, Stabkräfte einführen
• zulässige virtuelle Bewegung einführen (d.h.
eine mit den Lagern verträgliche Bewegung)
• Geschwindigkeiten der Knoten mit angreifenden Kräften berechnen
• nach PdvL: P = 0, d.h. P = ¬ Fi vi Beachten: Leistung = Kraft skalar Geschwindigkeit s also nötigenfalls
Kraft auf Wirkungslinie der Geschwindigkeit projizieren!!! Beispiel oben: PC = – P’ vC – S’ vC
10. Reibung
10.1 Physikalische Grundlagen
• Berühren sich zwei Flächen, so treten in der Realität Reibungskräfte und Normalkräfte
auf, welche der (voraussichtlichen) Bewegung entgegengesetzt gerichtet sind
• Körper setzt sich in Bewegung, sobald f(v) Grenzwert µ0 (Haftreibungszahl) erreicht
hat. Danach nimmt f(v) (angenähert) wieder einen konst. Wert µ1 (Gleitreibungszahl) an..
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Mechanik I – Formelsammlung
10.2 Haftreibung
• 2 Körper berühren sich und beide
sind relativ zueinander in Ruhe
(d.h. vA1 = vB1 = 0 und P = 0):
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10.3 Gleitreibung
• Bemerkung: Bei gleichförmiger Translation
und gleichförmiger Rotation um eine Achse
durch den Massenmittelpunkt bleiben die
|FR| < µ0 · |N|
Gleichgewichtsbedingungen gültig!
• Bei einem rollenden Rad
( , v0 konstant!) tritt auch
eine Haftreibungskraft auf mit
Wirkungslinie durch Z:
MA = R · FR < R · µ0 · |N|
(MA: „Antriebsmoment“)
• 2 Körper berühren sich und haben relativ
zueinander eine Geschwindigkeit
(d.h. vA1 ΠvB1 und P Π0):
v
F R ? /µ 1 © N ©
v
• Bsp.: „durchdrehendes“ Rad, Schleifscheibe
10.4 Gelenk- und Lagerreibung
• im rauen Gelenk mit Lagerradius rL:
10.5 Rollreibung
• zusätzlich zur Rollreibung wirkt Haft-
Z ? (A x ) 2 - (A y ) 2 ? (N) 2 - (FR ) 2
reibung (sonst träte Gleiten ein!)
• Haftreibungsmoment in Gelenken:
• Körper (Rad) in Ruhe: Ungleichung
|MR| < µ0 · rL · |Z|
der Rollreibung:
• Haft- / Gleitreibungsmoment in Ge-
|MR| < µ2 · |N|
lenken, langen und kurzen Querlagern:
MR
µ 0 © rL © Z
µ2: Rollrei
bungslänge [m]
• Körper (Rad)
in gleichmässiger Bewegung: Glei-
M R ? /µ1 © rL © Z ©
• Haft- / Gleitreibungsmoment in Längslagern:
M RL
2
© µ 0 © rL © N
3
M RL ?
chung der Rollreibung: |MR| = µ2 · |N|
2
© µ 1 © rL © N
3
10.6 Seilreibung
Reibungsfreie Umlenkung (Rolle):
Sauflaufend = Sablaufend
a) S1, S2 so dass Seil in Ruhe:
S2 = S1 · exp(µ1 · g)
b) Gleiten des Seils auf der Trommel:
S2 < S1 · exp(µ1 · g)
11. Beanspruchung
11.1 Definition und Zerlegung
Dyname {R, MC} im Flä-
11.2 Differentialbeziehungen und Randbedingungen
• Differentialbeziehungen an geraden Stabträgern:
chenmittelpunkt C des
Querschnitts Sn’ heisst
Qy’ = –qy Qz’ = –qz Mz’ = –Qy My’ = –Qz
• Differentialbeziehungen an gekrümmten Stabträgern:
Qr’ + Rqr = N Qz’ = –Rqz Mr’ + RQz = T Mz’ = RQr
Beanspruchung:
R = Ne1 + Q2e2 + Q3e3
MC = Te1 + M2e2 + M3e3
N: Normalkraft, Q: Querkräfte
T: Torsionsmoment, M: Biegemomente
•
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Daniel Ehrbar, D-BAUG
12. Spannungen
12.1 Definition und Zerlegung
• Spannungsvektor s:
• Schubspannung k:
lim
A ›0
12.2 Spannungszustand, Spannungsfeld
• s ist in Punkt P auf A eine Funktion der
k := s – j k := |s – j|
F ( F A)
?: s
A
äusseren Einheitsnormalen n:
n s s(n) $ n in P
• alle Grössen haben die
• Normalspannung j:
2
• Spannungszustand: {s(n), $ n} in P Œ K
Dimension [N/m ]
j := j · n j := s n
• Spannungsfeld: {s(r,n), $ r (P Œ K), $ n in P}
• es gilt: s(–n) = –s(n)
12.3 Spannungstensor (allgemeiner Fall)
• Spannungstensor T :
• Satz über die zugeordneten
[T]xyz ? T
xyz
Ç jx
È
? Èk yx
Èv zx
É
k xy
jy
k zy
k xz
Ù
k yz Ù
j z ÙÚ
s (e x ) s (e y ) s (e z )
• Indizes: kab: a = Richtung der
Schubspannung; b = Richtung
der Flächennormalen, in der
die Schubspannung liegt.
• Invarianten:
jI = Spur[T] = jx + jy + jz
Schubspannungen:
kxy = kyx kyz = kzy kzx = kxz
jII = –jxjy – jyjz –jzjx +
T
(kxy)2 + (kyz)2 + (kxz)2
Symmetrie: [T] = [T]
jIII = det[T]
• es gilt: s(n) = T n = [T] n
• [T] ist unabhängig vom Koordinatensystem, seine Einträge
hingegen schon; die Koord.
• n und t müssen immer normiert werden!
• zyklisches Vertauschen erlaubt: T xyz s T zxy s T yzx
werden als Indizes gesetzt.
12.4 Drehmatrizen
12.5 Ebener Spannungszustand (ESZ)
Idee: „xyz“-KS s „ z“-KS,
• Definition ESZ: s(n0) = 0
• j = nT · [T] · n
Drehwinkel g um z-Achse:
• zu n0 senkrechte Ebene heisst
• k = tT · [T] · n
Ç cos c
R (2D) ? È
É/ sin c
spannungsfreie Ebene
• Spannungstensor (ebene Basis):
R (3 D )
• (u)
• [A]
Ç cos c
? ÈÈ/ sin c
ÈÉ 0
z
z
sin c
cos c ÙÚ
sin c
cos c
0
0
0ÙÙ
1 ÙÚ
= R · (u)xyz
= R · [A]xyz · RT
[T]xy ? T
xy
Ç jx
?È
É k yx
k xy
j y ÙÚ
• gemäss Skizze gilt:
à / sing Ô
à cosg Ô
ÕÕ
ÕÕ
t ? ÄÄ
n ? ÄÄ
Å sing Ö
Å cosg Ö
12.6 Mohrscher Spannungskreis für ebene Spannungszustände
Formeln: siehe 12.5!!!
• Mohrsche Vorzeichenkonvention: Der Schubspannungsvektor am Flächenelement, der in der Mohrschen Ebene einer positiven Schubspannungsordinate
entspricht, liegt in positiver t-Richtung, bei negativer
Ordinate in negativer t-Richtung, wobei n, t, ez ein
Rechtssystem bilden.
Ô
à jx - jy
, 0 ÕÕ
• M ? ÄÄ
2
Ö
Å
R
2
à jx / jy
? ÄÄ
2
Å
2
Ô
Õ - k yx
Õ
Ö
* +2
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Mechanik II – Formelsammlung
Daniel Ehrbar, D-BAUG
• Ein Flächenelement mit verschwindender Schubspannung heisst Hauptflächenelement, die Normale dazu
Hauptachse und die zugehörigen Normalspannungen Hauptspannungen.
12.7 Räumliches Hauptachsenproblem
a) eine Hauptrichtung sei bekannt:
• T xyz
Ç jx
? ÈÈ k yx
ÈÉ 0
k xy
jy
0
b) keine Hauptrichtung ist bekannt:
• EWP von [T] muss gelöst werden:
0
0 ÙÙ
j z ÙÚ
Y
[T]ek = jkek
• charakteristische Gleichung für
obiges EWP (s. auch 12.3):
(jk)3 – jI(jk)2 – jIIjk – jIII = 0
• Punkt X bestimmt das
Vorzeichen von Y (d.h.
wenn kyx positiv ist, liegt
X unterhalb der j-Achse).
jk: Hauptspannungen (k = 1,2,3)
• |j|max = Max(|j1|, |j2|, |j3|)
• kmax = Max(R1, R2, R3)
X
Drehung um e1 = Kreis durch j2 und j3 etc.
12.8 Ergänzunge 3D-Spannungszustand
• folgende Formeln gelten auch im Raum:
j = nT · [T] · n
12.9 Gleichgewichtsbedingungen des Kontinuums
• fx/y/z: gegebene Raumkräftedichte
k = tT · [T] · n
• jx,x + kxy,y + kxz,z + fx = 0 kyx,x + jy,y + kyz,z + fy = 0
kzx,x + kzy,y + jz,z + fz = 0
• Vorsicht: t richtig wählen!
13. Verzerrungen
13.1 Begriffe
• Referenzlage:
13.2 Dehnung und Schub
• kleine Deformationen:
• Schubfeld: (dehnungsfrei!)
deformierte Lage:
sing à g, cosg à 1, tang à g
- uy(x), ux = uz = 0
• Verschiebungsvektor:
• 1achsiges Verschiebungsfeld:
- Schubverzerrung:
u :? r / r
iyx = ixy := /2 = uy,x/2
- ux(x), uy = uz = 0
• Verschiebungsfeld:
r U u (r ), $ r (P ΠK)
- Dehnung: ix := ux,x = L / L
- Schubwinkel:
- hom. Def.feld: i0 = L / L
- ixy > 0: Winkelverkleinerung
= 2ixy = ux,y + uy,x
13.3 Ebenes Verschiebungsfeld und Ebener Verformungszustand
• Ebenes Verschiebungsfeld: ux(x,y), uy(x,y), uz = 0
• Verzerrungsmatrix: Verzerrungstensor für
• Starrkörperdrehung um den Winkel Ryx:
Verformung / Verzerrung in Punkt P:
1
1
( x / y ) ? (u y, x / u x, y )
2
2
• Gestaltänderungen (kinematische Relationen):
1
Ç
(ux,y - u y,x )Ù
u x,x
Ç i x i xy È
2
?
[E]:? È
Ù È1
Ù
Éi yx i y Ú È (uy,x - u x,y )
Ù
u y,y
É2
Ú
R yx :?
- Dehnungen: ix = ux,x, iy = uy,y
• Gestaltänderungen {in, int} für alle n, t in P:
- Schubverzerrungen:
i xy ? i yx
1
:? (
2
x
- es gilt: in = {n}T[E][{n}, int = {n}T[E]{t}
1
- y ) ? (u y, x - u x, y )
2
• totale Winkelverkleinerung = Schubwinkel:
- Mohrscher Verzerrungskreis (in, int = /2)
= 2ixy
- Hauptrichtungen: Schubfreie Richtungen
Seite 5
Mechanik II – Formelsammlung
14.4 Dreidimensionale (räumliche) Verformung
• Allgemeine Deformation:
Êdu x Û Çu x, x
Í
Í È
Ëdu y Ü ? È u y,x
Ídu Í È u
Ì z Ý É z, x
• für beliebige Richtungen mit Einheitsvektor n gilt:
in = {n}T[E]{n}
u x,z Êdx Û
ÙÍ Í
u y,z Ù Ëdy Ü
u z, z ÙÚ ÍÌ dz ÍÝ
u x, y
u y,y
u z, y
{du} = [Gu] {dr}
Daniel Ehrbar, D-BAUG
nt
= 2int = 2{t}T[E]{n}
• Hauptachsen: Lösungen der char. Gleichung:
(ik)3 – iI(ik)2 – iIIik – iIII = 0 resp. [E]ek = ikek
- iI := i1 + i2 + i3 = ix + iy + iz d V ? dV(1 - i I )
- iII = –ixiy – iyiz –izix + (ixy)2 + (iyz)2 + (ixz)2
du = G u dr
- iIII = det[E]
G u: Verschiebungsgradient
• G u := E - R : [E] entspricht den Gestaltänderungen
• Aufteilung von [E] in reine Gestaltänderung und
(Dehnung, Verzerrung), [R] den (SK-)Drehungen:
reine Volumendehnung:
Ç
u x, x
0.5(u x, y - u y,x ) 0.5(u x,z - u z,x )
Ù
È
[E] ? È0.5(u x, y - u y,x )
u y,y
0.5(u y,z - u z, y )Ù
Ù
È 0.5(u x,z - u z,x ) 0.5(u y,z - u z, y )
u z,z
Ú
É
iI
Ç
Èi x / 3
È
[E] ? È i x y
È
È
È i xz
É
Ç
0
/ 0.5(u y,x / u x, y ) 0.5(u x,z / u z,x )
È
Ù
[R] ? È 0.5(u y,x / u x, y )
0
/ 0.5(u z, y / u y,z )Ù
È/ 0.5(u x,z / u z,x ) 0.5(u z, y / u y,z )
Ù
0
É
Ú
E ? ED -
Çi
i xz Ù È I
3
Ù È
È
Ù
- 0
i yz
Ù È
i Ù È
iz / I Ù È 0
3Ú É
i xy
iy /
iI
3
i yz
iI
I
3
0Ù
Ù
0Ù
Ù
iI Ù
Ù
3Ú
0
iI
3
0
[E]D: Verzerrungsdeviator
15. Linear elastisches Stoffverhalten
15.1 Einachsiger Spannungszustand
• Stoffgleichungen des linear elastischen
Deformationsverhaltens (Hooksches G.):
1
iy ? iz ? / jx
ix ? jx
E
E
2
- E: Elastizitätsmodul [N/m ]
- : Querdehnungszahl [-], ø 0.5
falls = 0.5: inkompressibler Stoff
• es gelten folgende Beziehungen:
N(x)
N(x)
j x (x) ?
u x, x ? i x ?
A 0 (x)
EA 0 (x)
• Zugsteifigkeit eines Querschnitts:
g := EA0
]
_
]
_
]
_
1
j x / (j y - j z )
E
1
iy ?
j y / (j z - j x )
E
1
j z / (j x - j y )
iz ?
E
ix ?
jy
jx
/
E
E
iy ?
jy
E
/
jx
E
iz ? /
E
(j x - j y )
• Proportionalitätsbeziehungen:
E
1
i xy ?
k xy G ?
k?G
2(1 - )
2G
G: Schubmodul [N/m2]
15.3 Temperaturdehnung
durch Temperaturänderung T induzierte Dehnung:
iTemperatur = g T resp. [E] = [E]j + [E]T = [E]j+ g T[I]
g: Temperaturausdehnungskoeffizient [K-1]
15.4 Räumliche Spannungszustände
• Stoffgesetz des l. e. isotropen Verhaltens:
ix ?
15.2 Ebener Spannungszustand
• linear elastisches, isotropes Verhalten:
,
,
,
i yz ?
1
k yz
2G
i zx
1
?
k zx
2G
i xy
1
k xy
?
2G
• hydrostat.Spannungsanteil von Tensor [T]:
/ p :?
1
(j x - j y - j z )
3
• Spannungsdeviator [T]D:
[T]D = [T] + p[I]
• Kompressionsmodul K:
K?
E
3(1 / 2 )
es gilt: jI = 3KiI
• Beziehung zw. Deviatoren:
[T]D = 2G[E]D
Seite 5
Mechanik II – Formelsammlung
Daniel Ehrbar, D-BAUG
• Stoffgesetz des linear elastischen isotropen Verhaltens nach Normalspannungen aufgelöst:
jx ?
]
_
]
_
]
E
E
E
(1 / ) i y - (i x - i z ) j z ?
(1 / ) i z - (i x - i y )
(1 / ) i x - (i y - i z ) j y ?
(1 - )(1 / 2 )
(1 - )(1 / 2 )
(1 - )(1 / 2 )
_
16. Spezielle Biegung prismatischer Balken
16.1 Definition und Annahmen
• Belastung: nur Biegemoment
Mb und Querkraft Q
• Mb = Mbez , Q = Qey
16.2 Spannungsverteilung, Biegelinie
• Spannungsverteilung:
• Durchbiegung: v(x)
M (x)
• Differentialgleichung
©y
jx ? / b
Iz
der Biegelinie (= defor-
• kleine Verformungen
• Neutralachse: jx = 0
• h / L << 1 (schlanker Balken)
• Widerstansmoment:
• linear elastisch und isotrop
mierte Mittellinie):
v' ' ?
Wz := Iz / ||y||
M b (x)
EI z
,
z
:? EI z
16.3 Flächenmomente
• Superposition: IC = ¬ ICi
• Flächenmomente 2. Grades:
I y :? Ð Ð z dA , I z :? Ð Ð y dA
2
2
• Verschiebungssatz:
chenträgheitsmomente:
2
• Polares Flächenmoment:
I = Iy + (zQ) A
I p :? Ð Ð (y - z )dA
2
• Mohrscher Kreis für Flä-
2
I = Iz + (yQ)2 A
• Deviationsmoment (ge-
C = Cyz – yQzQ A
mischtes Flächenmoment):
C yz :? / Ð Ð yzdA
• Tensor der Fl.momente:
Ç Iy
I :? È
ÉC yz
Symmetrische Querschnitte: Cyz = 0
C yz
I z ÙÚ
16.4 Ausgewählte Flächenträgheitsmomente
I yS ?
Iy ?
a 3b
12
a 3b
3
I yS ? I zS ?
, I zS ?
ab 3
12
, C ySzS ? 0
, Iz ?
ab 3
3
ヾR 4
4
, C ySzS ? 0
, C yz ? /
I yS ? I zS ?
a 2b2
4
I yS ?
Iy ?
a 3b
36
a 3b
12
ヾ(R 4 / r 4 )
4
, I zS ?
, Iz ?
ab 3
36
ab3
12
, C ySzS ? 0
, C ySzS ?
, C yz ? /
a 2b2
72
a 2b2
24
17. Methode der finiten Elemente (FEM)
• Aufteilung des Trägers in n+1 Knoten in
n Elemente der Länge
• Reduktion verteilter Lasten auf Knotenlasten mit gleicher virt. Gesamtleistung
• globale Verschiebungsmatrix:
{ }T := (v0, g0, v1, g1, v2, g2 v3, …)
• globale Lastmatrix:
M0
M1
M2
Ã
Ô
, P1 ,
, P2 ,
, ... Õ
{P} T :? Ä P0 ,
Å
Ö
• globale Steifigkeitsmatrix: (Ci: Elementsteifigkeitsmatrix)
Ç
[C] ? È Â [C i ]Ù ?
Éi ?1
Ú
n
• es gilt nun: [C]{ } = {P}
Ç 12 6
È 6
4
[Ci ] :? 3i È
È/12 / 6
È
2
É 6
/12
6
/ 6 2 ÙÙ
12 / 6Ù
Ù
/6 4 Ú
Achtung: Dimensionen!!!
• Randbedingungen einsetzen: Zeilen und zugeh. Spalten
von vi = 0 resp. gi = 0 streichen s jetzt Gleichung lösen!