Winkel im rechtwinkeligen Dreieck
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Theorie 1 1 Winkel im rechtwinkeligen Dreieck Winkel im rechtwinkeligen Dreieck Für die Winkel im rechtwinkeligen Dreieck gilt: Gegenkathete cos D Hypotenuse Gegenkathete tan D cot D Ankathete sin D Ankathete Hypotenuse Ankathete Hypotenuse Begründung: Hypotenuse B Gegenkathete von D sinD X tanD 1 D C Y A cosD Ankathete von D Die Dreiecke ABC und AXY sind ähnlich. Aufgrund des Strahlensatzes folgt: Die Gegenkathete von D verhält sich zur Hypotenuse (Dreieck ABC) wie sinD zu 1 (Dreieck AXY). Daraus folgt die Behauptung für den Sinus. Analog für den Kosinus: Das Verhältnis von Ankathete zur Hypotenuse ist gleich dem Verhältnis von cos6 zu 1. Daraus folgt die Behauptung für den Kosinus. sin D Aus der Beziehung tan D folgt weiters die Behauptung für den Tangens. cos D Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Theorie 2 2 Kongruenzsätze Kongruenzsätze Zwei Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn sie SSS-Satz: SWS-Satz: SSW-Satz: WSW- u. SWW-Satz in allen drei Seiten in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel in einer Seite und zwei Winkeln übereinstimmen. Bemerkung zum SSW Satz: Ist der der kleineren Seite gegenüberliegende Winkel gegeben, so müssen die Dreiecke nicht kongruent sein. Bei dieser Angabe ist es möglich, dass das Dreieck nicht konstruierbar ist oder dass es zwei Lösungen gibt. Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Theorie 3 3 Trigonometr. Flächeninhaltsformel Trigonometrische Flächeninhaltsformel Für den Flächeninhalt A eines Dreiecks gilt: A a b sin J 2 ac sin E 2 bc sin D 2 Begründung: b sin J gibt die Höhe ha (Höhe des Eckpunktes A auf die Seite a) an. b sin J ist die Länge der Gegenkathete des rechtwinkeligen Dreiecks mit A, C und dem Fußpunkt der durch A verlaufenden Höhe als Eckpunkte. C J b A sin J ha ha b sin J b b sin J B Ebenso geben c sin D die Länge der Höhe hb und a ¸ sin C die Länge der Höhe hc an. Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Theorie 4 4 Polarkoordinaten Polarkoordinaten Zur Unterscheidung von den kartesischen Koordinaten (x / y) eines Punktes P, welche die Lage des Punktes durch den orientierten Abstand zur x- und y-Achse festlegen, nennt man das geordnete Zahlenpaar (r / M) die Polarkoordinaten von P, wobei der Radius r den Abstand vom Ursprung und der Winkel M die Richtung des Ortspfeils vom Ursprung zum Punkt angeben. Für die Umrechnung der Koordinaten gilt: x = r ¸ cos K und y = r ¸ sin K bzw r = x2 + y 2 und tan K = x y Begründung: P r y M O x Die Umrechnungsformeln ergeben sich unmittelbar aus den Formeln für Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkeligen Dreieck, bzw. aus dem pythagoreischen Lehrsatz. Bemerkung: Es ist darauf zu achten, in welchem Quadranten der Punkt P liegt! Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Theorie 5 5 Winkelmaße Winkelmaße 1. Gradmaß (Altgrad) Die gebräuchlichste Winkelmessung stammt aus der Zeit der Babylonier. Sie teilten den vollen Winkel in 360 gleich große Teile und nannten 1/360 des vollen Winkels 1 Grad (Altgrad, degree). 1° = 1/360 des vollen Winkels 1/90 des rechten Winkels 1´ (1 Bogenminute) = 1/60 eines Grades 1´´ (1 Bogensekunde) = 1/60 einer Minute 2. Neugrad Vermessungstechniker einigten sich darauf, Winkel in sogenannten Neugrad oder Gon zu messen: 1g (1 Gon) = 1/400 eines vollen Winkels 1/100 eines rechten Winkels 1/100 eines Neugrads 1c (1 Neuminute) = cc 1 .(1 Neusekunde) = 1/60 einer Neuminute 3. Bogenmaß Diese Winkelmessung beruht auf der Idee, die Länge eines zum Winkel gehörigen Winkelbogens anzugeben. In der nebenstehenden Figur ist ein Winkel mit zugehörigen Winkelbögen mit den Radien r und r´ eingezeichnet. Die jeweiligen Bogenlängen betragen b b b' und b´. Auf Grund der Ähnlichkeit gilt: . Daraus r r' b für einen erkennt man, dass der Quotient r bestimmten Winkel stets gleich einer festen Zahl a ist, unabhängig vom Radius. Für einen vollen Winkel ist die Länge des zugehörigen Winkelbogens: b = 2rS (Kreisumfang). Daraus folgt: a b r 2 rS r 2S 360q Winkelmaß-Proportionen: Maturavorbereitung 8. Klasse b‘ b r r‘ 2S M (°) : M (g) : M (rad) = 180 : 200 : S ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Theorie 6 6 Höhen-, Tiefen-, Horizontalwinkel Höhenwinkel, Tiefenwinkel, Horizontalwinkel, Sehwinkel, Schwenkwinkel Definitionen Unter einem Höhenwinkel versteht man einen Winkel, der von der Horizontalen aufwärts gemessen wird. Beispiel: Von einem Punkt A aus erscheint die Spitze eines Berges unter dem Höhenwinkel D. Unter einem Tiefenwinkel versteht man einen Winkel, der von der Horizontalen abwärts gemessen wird. Beispiel: Von der Spitze eine Berges erscheint der Fußpunkt eines Turms unter dem Tiefenwinkel E. Unter einem Horizontalwinkel versteht man einen Winkel, der in der Waagrechten gemessen wird. Beispiel: Nach Schwenken des Fernrohrs um den Horizontalwinkel H erscheint.... Sehwinkel und Schwenkwinkel sind beliebige Winkel, die im Allgemeinen keine besondere Lage haben, also z.B. nicht waagrecht gemessen werden müssen. Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Theorie 7 7 Sinussatz Sinussatz a b c = = sin B sin C sin H In jedem Dreieck gilt: Begründung: Von einem Dreieck kennt man die Länge der Seite a und die Größe der Winkel D und E. Die Seitenlänge b ist zu berechnen. Dazu zerlegt man das Dreieck durch die Höhe hc in zwei rechtwinkelige Dreiecke. Man erkennt: hc hc sin E und sin D a b Daraus folgt: hc = a sin E hc a sin E b sin D sin D b a sin E sin D C a b hc D A E c B Analog kann man die übrigen Beziehungen begründen Auf Grund des Peripheriewinkelsatzes, der besagt, dass alle Peripheriewinkel gleich groß oder supplementär sind, kann man sich mittels des Sinussatzes auch die Länge des Umkreisradius berechnen: 2r = Maturavorbereitung 8. Klasse a b c = = sin B sin C sin H ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Theorie 8 8 Cosinussatz Cosinussatz In jedem Dreieck gilt: a² = b² + c² - 2 b c cos D b² = c² + a² - 2 c a cos E c² = a² + b² - 2 a b cos J Begründung: C Von einem Dreieck kennt man b, c und D. Die Länge der dritten Dreiecksseite a soll berechnet werden. Die Aufgabe ist lösbar, wenn man das Dreieck durch die Höhe hc in zwei rechtwinkelige Dreiecke zerlegt. Dann gilt: sin D cos D h h b sin D b x x b cos D y b cx c b cos D a b hc D A E x y Nach dem pythagoreischen Lehrsatz gilt: a² h ² y ² b ² sin ²D c b cos D ² b ² sin ²D c ² 2bc cos D b ² cos ²D c b ² sin ²D cos ²D c ² 2bc cos D b ² c ² 2bc cos D Analog kann man die beiden anderen Beziehungen herleiten. Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie B Theorie 9 9 Winkelfunktionen Die Funktionen Sinus und Cosinus Jeder Zahl x R wird eine Zahl sin x und eine Zahl cos x zugeordnet. Es liegen daher folgende Funktionen vor: Sinusfunktion sin: R o R x 6 sin x Cosinusfunktion cos: R o R x 6 cos x Diese Funktionen werden Winkelfunktionen genannt. Graph der Sinusfunktion Graph der Cosinusfunktion Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie Theorie 9 10 Winkelfunktionen Die Funktion Tangens Tangensfunktion tan: A o R x 6 tan x ­ S 3S 5S ½ mit A = R\ ®r ;r ;r ;......¾ 2 2 ¯ 2 ¿ Graph der Tangensfunktion Beziehungen zwischen sin, cos und tan Aus der Zeichnung erkennt man, dass die Graphen von sin und cos einen gleichartigen Kurvenverlauf haben, jedoch gegeneinander in Richtung der ersten Achse verschoben sind. Daher gilt: S· S· § § cos D sin ¨D ¸ bzw. sin D cos¨D ¸ 2¹ 2¹ © © Weiters kann man definieren Maturavorbereitung 8. Klasse tan D sin D ; wobei cos D ACDCA ¤ 1999 D R und D z S 3S 5S 2 , 2 , 2 ,...... Trigonometrie Theorie 10 11 Normalprojektion Normalprojektion Der Neigungswinkel einer Geraden g gegen eine Ebene E wird von g und der Normalprojektion g‘ der Geraden g auf E gebildet. Die Normalprojektion g‘ von g erhält man, indem man alle Punkte von g auf E normal projiziert. Die Normalprojektion P‘ eines Punktes P auf E erhält man, indem man durch P eine Normale n zu E legt und diese mit E schneidet. Für das Maß D des Neigungswinkels einer Geraden gegen eine Ebene gilt: 0q d D d 90q . n P E P‘ g‘ Länge der Normalprojektion einer Strecke Die Strecke [P‘,Q‘] ist die Normalprojektion der Strecke [P,Q] auf die Ebene E. Ist D das Neigungswinkelmaß der Geraden PQ bezüglich der Ebene E, dann gilt für die Längen d = PQ und d‘ = P'Q' : d' d cos D d ' d cos D Bei der Normalprojektion diner Strecke auf eine Ebene wird also die Länge der Strecke mit dem Faktor cos D verkleinert. Inhalt der Normalprojektion einer Fläche Analog der Normalprojektion eines Punktes oder einer Geraden kann auch die Normalprojektion einer Fläche auf eine Ebene erfolgen. A sei der Flächeninhalt der ursprünglichen Figur, A‘ der Flächeninhalt der projizierten Figur. Dann gilt: A' A cos D Der Inhalt der Fläche wird also bei der Normalprojektion ebenfalls mit dem Faktor cos D verkleinert. Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie g Theorie 11 12 Additionstheoreme Additionstheoreme 1) sin(B + C) = sin B ¸ cos C + cos B ¸ sin C 2) cos (B + C) = cos B ¸ cos C sin B ¸ sin C Begründung: sinE D sin(D+E) sinE.cosD 1 x cosE.sinD x E D cosE Weitere Formeln lassen sich schrittweise unter Verwendung von 1) und 2) herleiten: 3) sin (B C) = sin B ¸ cos C cos B ¸ sin C 4) cos (B C) = cos B ¸ cos C + sin B ¸ sin C tan B + tan C 1 tan B ¸ tan C tan B tan C 6) tan(B C ) = 1 + tan B ¸ tan C 7) sin 2B = 2 ¸ sin B ¸ cos B 8) cos 2B = cos 2 B sin 2 B 5) tan(B + C ) = 9) tan 2B = 2 ¸ tan B 1 (tan B ) 2 Maturavorbereitung 8. Klasse ACDCA ¤ 1999 Trigonometrie
