. THEORETISCHE ELEKTRODYNAMIK Vorlesung Univ. Potsdam

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THEORETISCHE ELEKTRODYNAMIK
Vorlesung Univ. Potsdam WS 2005/06
Achim Feldmeier
1
Kapitel
1 Vektoranalysis
2 Tensoranalysis
3 Elektrostatik im Vakuum
4 Randwertprobleme der Elektrostatik
5 Elektrostatik in Medien
6 Magnetostatik
7 Magnetische Induktion
8 Maxwellsche Gleichungen
9 Elektromagnetische Wellen
10 Magnetohydrodynamik
11 Relativitätstheorie
12 Differentialformen
Benutzte Literatur
Becker & Sauter, Theorie der Elektrizität, Bd I,II
Bergmann, Introduction to the Theory of Relativity
Fließbach, Elektrodynamik
Greiner, Theoretische Physik (Mechanik; Elektrodynamik)
Jackson, Classical Electrodynamics
Panofsky & Phillips, Classical Electricity & Magnetism
Römer & Forger, Elementare (!) Feldtheorie
Schwinger, Classical Electrodynamics
Sommerfeld, Vorlesungen über Elektrodynamik
Thierring, Lehrbuch der mathematischen Physik
Weatherburn, Advanced Vector Analysis
Weller & Winkler, Elektrodynamik
2
Häufige (mehrdeutige) Symbole
~r Aufpunkt: Ort, an dem Feld gemessen wird
~r 0 Quellpunkt: Ort der Ladung, die Feld verursacht: Int.variable
d~l, d~s Bogenlänge
d~a infinitesimales Flächenelement
dV und d3 r infinitesimales Volumenelement
Φ Skalarfeld, Potential, magnetischer Fluß
U Vektorkomponente (U, V, W ), Spannung, Vierergeschwindigkeit
V Volumen, Vektorkomponente (U, V, W ), Vektorraum
~ Vektorfeld, elektrische Feldstärke
E
Häufige Abkürzungen
Bedg = Bedingung
Def = Definition
DGL = Differentialgleichung
Dreh = Drehung
el = elektrisch
elmag= elektromagnetisch
infinit = infinitesimal
Fkt = Funktion
Geschw = Geschwindigkeit
Glg = Gleichung
Int = Integration
ko- = kovariant
kontra- = kontravariant
Koord = Koordinaten
Ldg = Ladung
Lsg = Lösung
mag = magnetisch
Trafo = Transformation
vgl = vergleiche
Plural: Glgen = Gleichungen usw. Aber Trafos = Transformationen
Zusammengesetzte Abkürzungen:
Koord.trafo.glgen = Koordinatentransformationsgleichungen
3
Plan der Vorlesung
17.10.2005 – 10.02.2006 Vorlesungszeitraum
Freie Tage:
31.10.2005 Reformationstag
27.12.2005 – 06.01.2006 Weihnachtsferien
Stunden pro
5 D.stunden
3 D.stunden
2 D.stunden
8 D.stunden
Stoff. (D.stunde = 90 min)
Vektoranalysis (Ferienkurs)
Tensoranalysis (Ferienkurs)
Tensoren und Deltafkt
Elektrostastik
Vorkurs
Vorlesung
Tg
Mo
Mi
Mo
Mi
Mi
Mo
Mi
Mo
Mi
Mo
Mi
Mo
Mi
Mo
Mi
Mo
Mi
Mo
Mi
Mo
Mi
Mo
Mi
Mo
Mi
Mo
Mi
Mo
Mi
Datum
17.10.
19.10.
24.10.
26.10.
02.11.
07.11.
09.11.
14.11.
16.11.
21.11.
23.11.
28.11.
30.11.
05.12.
07.12.
12.12.
14.12.
19.12.
21.12.
09.01.
11.01.
16.01.
18.01.
23.01.
25.01.
30.01.
01.02.
06.02.
08.02.
Nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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16
17
18
19
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21
22
23
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25
26
27
28
29
Stoff
Physikalische TENSOR-Definition
ko-, kontravariant. Kroneckertensor. Orthogonale Trafo. Deltafunktion
Deltafunktion: Greensfkt, Laplaceglg. ELEKTROSTATIK. Phäno. Coulomb
Gaußsches Gesetz. rot E=0. Dipolfeld
Multipolentwicklung. Dipolschicht. Poissonglg
Greenssatz. Dirichlet. Greensche Fkt.
El Energie. Kapazität. Influenz. Fourierintegral.
Leiterkante. Legendreentwicklung
Legendre Punktquelle. Sphär Harmonische. Maxwellentwicklung. E in Medien
Dielekt Verschiebung. Polarisation. Sprung an Mediengrenze
MAGNETOSTATIK. Stromdichte. Biot-Savart. Ampere
Erste und zweite DGL Magnetostatik. Fernfeld Strom. Mag Moment
H in Medien. B,H-Sprung an Flaechen. Permanentmagnet
MAG INDUKTION. Int- & Diff.form. Lorentzkraft ↔ Faraday
Mag Energie. Selbstinduk. MAXWELLGLGEN. Eichung. Poynting. Impuls
B ist axialer Vektor. ELMAG WELLEN. Retardierte Greensche Fkt
Einfachste Wellenglg. Polarisation, Reflexion, Brechung. Drudemodell
Kausale Verknüpfung D und E. Komplexe Integration. Kramers Kronig
Dispersion. Gruppengeschwindigkeit
Keine Überlichtgeschwindigkeiten. Das schnellste Signal. Vgl Wasserwellen
Gaussscher Strahl
Hertzscher Dipol
RELATIVITÄT
Relativistische LAGRANGEFKT
DIFF.FORMEN
4
KAP 1: VEKTORANALYSIS
§1 Literatur, Einleitung
Quelle: Weatherburn, Advanced Vector Analysis (out of print).
Auch gut: erste 100 Seiten in Greiner Mechanik 1.
Für hohe Theorie (Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten):
Lang, Introduction to Differentiable Manifolds
Jänich, Vektoranalysis (Neuerscheinung)
Sternberg, Differential Geometry
Hegel, Wissenschaft der Logik I (Suhrkamp S. 322):
“Die ganze Methode der Differentialrechnung ist in dem Satze, daß
dxn = nxn−1 dx, absolviert. Man bedarf weiter nichts zu erlernen. In
wenig Zeit, vielleicht in einer halben Stunde, kann man die ganze Theorie innehaben.”
Einige der verbleibenden Details in diesem Ferienkurs.
Vektoranalysis:
Differenzieren und Integrieren von Vektorfeldern im Raum
Trick im folgenden: Basissystem sei orthonormal.
Also kartesische, Zylinder-, Kugel-, elliptische Koordinaten.
Lokal werden nur kartesische Systeme betrachtet.
Nichtorthonormal: Riemannscher Tensorkalkül:
Christoffelsymbole, ART
§2 Vektorglgen in kart Koord
Gegeben Glg, in der nur Skalare, Vektoren, Tensoren auftauchen.
Sowie grad, div, rot, Laplace, Richtungsableitung usw.
Ist die Glg in irgendeinem Koord.system richtig, dann in jedem.
Beweis:
(i) Skalare, Vektoren, Tensoren sind koord.unabhängig definiert.
(ii) Ebenso grad, div, rot usw. QED.
Man wählt Koord nur zur einfachen Rechnung.
Sehr oft Beweis in kartesischen Koordinaten.
In diesem Sinn ist Rechnung in kartesischen Koord oft allgemein.
§3 Erinnerung: partielles und totales Differential
5
Partielle Ableitung eines Skalar- und Vektorfeldes.
~
~ + h, y, z) − E(x,
~
∂ E(x,
y, z)
E(x
y, z)
= lim
.
h→0
∂x
h
~
~
Entsprechend ∂ E/∂y
und ∂ 2 E/∂x∂y.
Durch Erweiterung mit 0 (siehe Mechanikvorlesung) findet man:
Totales Differential
~ =
dE
~
~
~
∂E
∂E
∂E
dx +
dy +
dz.
∂x
∂y
∂z
Variablentransformation, Kettenregel
~
~
~
y) ∂x ∂ E(x,
y) ∂y
∂ E(x(s,
t), y(s, t)) ∂ E(x,
=
+
.
∂s
∂x ∂s
∂y ∂s
§4 Gradient
Sei Φ(x, y, z) stetiges Skalarfeld.
Niveauflächen Φ = const.
Bilden Blätterung des Raums.
Seien P, P 0 infinit benachbarte Raumpunkte im Abstand δs.
Wert von Φ(x, y, z) sei Φ in P und Φ + δΦ in P 0 .
δΦ/δs heißt Richtungsableitung (in Richtung ŝ von P nach P 0 ).
Geschrieben ∂Φ/∂s.
^
^
n
s
|
/
----------Q---P’----- Phi + dPhi
| /
dn | / ds
|/
----------P---------- Phi
Ab jetzt ohne δ; stattdessen ds und dΦ.
Betrachte Niveauflächen durch P und P 0 .
Sei Q Punkt auf Φ + dΦ Fläche im kürzesten Abstand dn zu P .
Linie P Q steht senkrecht auf Φ und Φ + dΦ Fläche.
6
∂Φ/∂n ist Richtungsableitung senkrecht zur Niveaufläche.
Diese Ableitung ist größer als Ableitung in jede schräge Richtung.
Denn
∂Φ ∂Φ ∂n ∂Φ
=
=
cos θ.
∂s
∂n ∂s
∂n
θ Winkel QP P 0 .
Sei n̂ ⊥ Niveaufläche (Richtung, in die Φ wächst).
Def Gradient
∂Φ
grad Φ = ∇Φ =
n̂.
∂n
Nach dieser Def ist grad unabhängig von irgendeinem Koord.system.
Sei ~r Ortsvektor nach P und ~r + d~r nach P 0 .
Zunahme dΦ von P nach P 0 ist Differenz der Niveauflächenwerte.
∂Φ
dn
∂n
∂Φ
=
n̂ · d~r
∂n
= d~r · ∇Φ.
dΦ =
Grundformel. Auswendig.
Wird manchmal zur Definition von grad benutzt.
Darstellung von grad in kartesischen Koordinaten:
Ansatz
d~r = dx î + dy ĵ + dz k̂.
Einsetzen gibt
dΦ =
∂Φ
∂Φ
∂Φ
dx +
dy +
dz.
∂x
∂y
∂z
Vgl mit oben
∇Φ =
∂Φ
∂Φ
∂Φ
î +
ĵ +
k̂.
∂x
∂y
∂z
Als Operatorglg
∇Φ =
∂
∂
∂
î
+ ĵ
+ k̂
∂x
∂y
∂z
also
∇ ≡ î
∂
∂
∂
+ ĵ
+ k̂ .
∂x
∂y
∂z
7
Φ,
Rechenregeln: Gradient von Summe von Fkten ist Summe der Gradienten.
Übung: zeige: Gradient eines Produkts
∇(ΦΨ) = Φ∇Ψ + Ψ∇Φ.
Übung: zeige
∇r = r̂
r̂
1
∇ = − 2.
r
r
Übung: zeige (sehr wichtig in Elektrodynamik)
1
~r − ~r 0
=
−
|~r − ~r 0 |
|~r − ~r 0 |3
1
~r − ~r 0
0
∇
=
.
|~r − ~r 0 | |~r − ~r 0 |3
∇
Dabei ∇0 Gradient bzgl Variable ~r 0 statt ~r.
Übung: zeige: sei Φ = Φ(r), dann
∇Φ =
∂Φ
r̂.
∂r
Nochmals Richtung von grad:
Nach Def
dΦ = grad Φ · d~r.
d~r liege in Niveaufläche dΦ = 0. Dann
grad Φ · d~r = 0 → d~r ⊥ grad Φ.
Gradient steht senkrecht zu Niveauflächen.
Dies ist Richtung des stärksten Anstiegs von Φ.
§5 Richtungsableitung ŝ · ∇
Richtungsableitung in beliebige Richtung ist somit
∂Φ
= ŝ · grad Φ.
∂s
8
Sei
ŝ = lî + mĵ + nk̂,
mit Richtungscosinus
l = ŝ · î,
m = ŝ · ĵ,
n = ŝ · k̂.
Dann
∂Φ
∂Φ
∂Φ
î +
ĵ +
k̂
ŝ · (∇Φ) = (lî + mĵ + nk̂) ·
∂x
∂y
∂z
∂Φ
∂Φ
∂Φ
=l
+m
+n .
∂x
∂y
∂z
Operatorschreibweise
ŝ · ∇ = l
∂
∂
∂
+m +n .
∂x
∂y
∂z
Damit ist definiert
ŝ · (∇Φ) = (ŝ · ∇)Φ.
Also kann Klammer weggelassen werden.
Richtungsableitung
∂
≡ ŝ · ∇.
∂s
~
Sei E(x,
y, z) stetiges Vektorfeld,
~ = Ex î + Ey ĵ + Ez k̂.
E
Änderung in Richtung ŝ
~
~ ∂x ∂ E
~ ∂y ∂ E
~ ∂z
∂E
∂E
=
+
+
.
∂s
∂x ∂s
∂y ∂s
∂z ∂s
Wie oben, mit Richtungscosinus von ŝ
~
~
~
~
∂E
∂E
∂E
∂E
~
=l
+m
+n
= (ŝ · ∇)E.
∂s
∂x
∂y
∂z
Achtung: Klammer kann noch nicht weggelassen werden:
~
∇E
9
(ohne Punkt) ist Tensor von Rang 2, wird erst später definiert.
~ deren RichtungsÜbung: Zeichne und gebe Glgen für Vektorfelder E,
~ ist.
ableitung nicht parallel E
§6 Divergenz
Hier zunächst keine koord.freie Def wie bei grad, sondern kartesisch.
Koord.freie Darstellung wird erst mit Gaußschem Integralsatz erreicht.
Daher zunächst reine Diff.Algebra von div und rot.
Erst später anschauliche Bedeutung klar.
Def in kartesischen Koordinaten
~
~
~
∂E
∂E
∂E
~
div E = î ·
+ ĵ ·
+ k̂ ·
.
∂x
∂y
∂z
Es ist
∂
∂
∂
~ = î
~
∇·E
+ ĵ
+ k̂
·E
∂x
∂y
∂z
~
~
~
∂E
∂E
∂E
~
= î ·
+ ĵ ·
+ k̂ ·
= div E.
∂x
∂y
∂z
Also
~ = ∇ · E.
~
div E
~ = Ex î + Ey ĵ + Ez k̂ folgt
Mit E
~ = ∂Ex + ∂Ey + ∂Ez .
div E
∂x
∂y
∂z
Wird oft als Def benutzt.
div einer Summe ist Summe der div.
div ~r = 3.
§7 Rotation
Def in kartesischen Koordinaten
~
~
~
∂E
∂E
∂E
~
rot E = î ×
+ ĵ ×
+ k̂ ×
.
∂x
∂y
∂z
Zeige wie oben:
~ = ∇ × E.
~
rot E
10
Kartesisch ausrechnen
∂E
∂E
∂E
∂E
∂E
∂E
y
z
x
z
x
y
~ = î
rot E
−
+ ĵ
−
+ k̂
−
.
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
Jetzt klar, warum rot nicht über Komponenten definiert.
Rot einer Summe ist Summe der Rot.
rot ~r = 0.
§8 div und rot von Produkten. Zweite Differentiale
Zusammenfassung bisher, kartesisch
∂
∂
∂
+ ĵ
+ k̂ ,
∂x
∂y
∂z
∂
∂
∂
div = ∇· = î ·
+ ĵ ·
+ k̂ · ,
∂x
∂y
∂z
∂
∂
∂
rot = ∇× = î ×
+ ĵ ×
+ k̂ × .
∂x
∂y
∂z
grad = ∇ = î
Beachte: grad wirkt auf Skalar-, div und rot auf Vektorfeld.
Übung: die folgenden Beziehungen lassen sich leicht beweisen
~ = ∇Φ · E
~ + Φ∇ · E,
~
∇ · (ΦE)
~ = ∇Φ × E
~ + Φ∇ × E,
~
∇ × (ΦE)
~ × F~ ) = F~ · ∇ × E
~ −E
~ · ∇ × F~ ,
∇ · (E
~ × F~ ) = (F~ · ∇)E
~ − (E
~ · ∇)F~ + E∇
~ · F~ − F~ ∇ · E,
~
∇ × (E
~ · F~ ) = (F~ · ∇)E
~ + (E
~ · ∇)F~ + F~ × ∇ × E
~ +E
~ × ∇ × F~ .
∇(E
Auswendig
rot grad ≡ 0,
div rot ≡ 0.
Übung: finde je 2 Vektorfelder (Bild, Glg) für diese Relationen.
Sehr wichtig
∂Φ
∂Φ
∂Φ
div grad Φ = ∇ · ∇Φ = ∇ ·
î +
ĵ +
k̂
∂x
∂y
∂z
∂ 2Φ ∂ 2Φ ∂ 2Φ
=
+ 2 + 2.
∂x2
∂y
∂z
11
Def Laplace-Operator (letzte Glg kartesisch)
div grad = ∇2 = ∆ =
∂2
∂2
∂2
+
+
.
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
Übung: zeige
~
~
∆eik·~r = −(~k · ~k)eik·~r .
Definiere auch
~
~
~
∂ 2E
∂ 2E
∂ 2E
~
∆E =
+
+
.
∂x2
∂y 2
∂z 2
Achtung: dies muß vorsichtig nach div grad aufgelöst werden:
~ hat (bisher) keine Bedeutung.
∇E
Also
?
~ = (∇ · ∇)E
~ =
~
∆E
∇ · (∇E).
Auch wichtig
~ = grad div E
~ − ∆E.
~
rot rot E
Also sozusagen (Achtung auf Klammer)
~ = grad div E
~ − (div grad )E.
~
rot rot E
Wichtig in der Elektrodynamik ist ∆ 1r .
Hier nur für r 6= 0.
1
1
∆ =∇· ∇
r
r
~r
= −∇ ·
r3
1
1
= −~r · grad 3 − 3 ∇ · ~r
r
r
~r
3
= 3~r · 5 − 3
r
r
= 0.
Φ = 1/r ist Lsg der Laplaceglg
∆Φ(r) = 0.
Übung: zeige für Φ = Φ(r)
2Φ0
∆Φ = Φ +
.
r
00
12
§9 Orthogonal krummlinige Koordinaten
Gegeben 3 Skalarfelder
u(x, y, z),
v(x, y, z),
w(x, y, z).
Die Niveauflächen von jeder blättert den IR3 .
Niveauflächen sollen an jedem Punkt ⊥ zueinander sein:
Dann kann Niveauwert als Orthogonal-Koordinate dienen.
Beachte: Achsenrichtung ändert sich von Punkt zu Punkt.
Beispiel: Zylinder- und Kugelkoordinaten.
Wähle Reihenfolge u, v, w so, daß System rechtshändig.
Seien â, b̂, ĉ die orthogonalen Einheitsvektoren
... entlang der Schnittlinien der Niveauflächen.
Betrachte Niveauflächen u + du, v + dv, w + dw.
Zusammen mit Niveauflächen u, v, w geben sie 3d-Rechtecksvolumen.
Krümmung und Gestauchtheit sind Effekte d2 .
Übung: zeige durch Taylorentwicklung, daß alle Abweichungen vom
Rechteck (also auch Spat-Stauchung) Differential 2. Ordnung.
Kantenlängen des Volumens seien
da = h1 (x, y, z)du,
db = h2 (x, y, z)dv,
dc = h3 (x, y, z)dw.
Beachte: du ist irgendein Funktionswert, nicht unbedingt Länge.
Beachte: da, db, dc lokal kartesisch.
Abstand Niveauflächen bei Zylinderkoordinaten
da = dr,
db = rdφ,
dc = dz.
Also
h1 = 1,
h2 = r,
h3 = 1.
Bei Kugelkoordinaten
da = dr,
db = rdθ,
dc = r sin θdφ.
Also
h1 = 1,
h2 = r,
h3 = r sin θ.
Das Rechtecksvolumen zwischen Niveauflächen ist also
dadbdc = r2 sin θdrdθdφ.
13
w
|
C ------------/|
/|
/ |
/ |
/ |
/ |
/
|
/
|
------------|
|
|
|
|
|
P ------------- --v
|
/
|
/B
| /
| /
| /
| /
|/
|/
A ------------- D
/
u
Aus Zeichnung
P~A = h1 duâ,
~ = h1 duâ + ∂ (h1 duâ)dv,
BD
∂v
~
P B = h2 dv b̂,
~ = h2 dv b̂ + ∂ (h2 dv b̂)du.
AD
∂u
Summe der 4 Vektoren entlang Rechtecksrand muß 0 sein, daher
∂
∂
(h2 b̂) =
(h1 â).
∂u
∂v
Entsprechend durch Rechnung oder Permutation
∂
(h3 ĉ) =
∂u
∂
(h3 ĉ) =
∂v
∂
(h1 â),
∂w
∂
(h2 b̂).
∂w
Bilde Skalarprodukt der ersten mit b̂,
!
∂h2
∂ b̂
∂h1
∂â
b̂ ·
b̂ + h2
= b̂ ·
â + h1
.
∂u
∂u
∂v
∂v
14
Weil Orthogonalkoordinaten,
â · b̂ = 0.
Außerdem
b̂ ·
∂ b̂
1 ∂(b̂ · b̂) 1 ∂1
=
=
= 0.
∂u 2 ∂u
2 ∂u
Also
∂h2
∂â
= h1 b̂ · .
∂u
∂v
Multipliziere die zweite obere Glg skalar mit ĉ
∂h3
∂ĉ
∂h1
∂â
ĉ ·
ĉ + h3
= ĉ ·
â) + h1
.
∂u
∂u
∂w
∂w
Also
∂h3
∂â
= h1 ĉ ·
.
∂u
∂w
Durch Permutation oder Rechnung
∂h1
∂v
∂h3
∂v
∂h1
∂w
∂h2
∂w
∂ b̂
,
∂u
∂ b̂
= h2 ĉ ·
,
∂w
∂ĉ
= h3 â ·
,
∂u
∂ĉ
= h3 b̂ · .
∂v
= h2 â ·
Diese 6 Relationen im folgenden als (I) zitiert.
§10 grad, div, rot, ∆ in krummlinigen Koordinaten
Im folgenden E1 , E2 , E3 statt Ex , Ey , Ez .
Oben eingeführt a, b, c ≡ x, y, z und
â ≡ î,
b̂ ≡ ĵ,
ĉ ≡ k̂
und
da = h1 du,
db = h2 dv,
15
dc = h3 dw.
Damit
∂Φ
1 ∂Φ
=
,
∂a
h1 ∂u
∂Φ
1 ∂Φ
=
,
∂b
h2 ∂v
∂Φ
1 ∂Φ
=
.
∂c
h3 ∂w
Also Gradient
∂Φ
∂Φ
∂Φ
+ b̂
+ ĉ
∂a
∂b
∂c
1 ∂Φ
1 ∂Φ
1 ∂Φ
=
â +
b̂ +
ĉ.
h1 ∂u
h2 ∂v
h3 ∂w
∇Φ = â
Dies ist Gradient in krummlinigen Koordinaten.
Z.B. Kugelkoordinaten
∇Φ =
∂Φ
∂Φ
∂Φ
êr +
êθ +
êφ .
∂r
r∂θ
r sin θ∂φ
Sei
n̂ = n1 â + n2 b̂ + n3 ĉ.
Dann Richtungsableitung in Richtung n̂,
~n · ∇Φ =
n1 ∂Φ n2 ∂Φ n3 ∂Φ
+
+
.
h1 ∂u h2 ∂v
h3 ∂w
Divergenz
~
~
~
~ = â · ∂ E + b̂ · ∂ E + ĉ · ∂ E
div E
∂b
∂c
∂a
1 ∂
1 ∂
1 ∂
+ b̂ ·
+ ĉ ·
(E1 â + E2 b̂ + E3 ĉ).
= â ·
h1 ∂u
h2 ∂v
h3 ∂w
∂â
Wieder â ∂u
= 0 usw.
~ = 1 ∂E1 + E1 b̂ · ∂â + E1 ĉ · ∂â
div E
h1 ∂u
h2 ∂v h3 ∂w
1 ∂E2 E2
∂ b̂ E2
∂ b̂
+
+ â ·
+ ĉ ·
h2 ∂v
h1
∂u h3 ∂w
1 ∂E3 E3
∂ĉ E3 ∂ĉ
+
+ â ·
+ b̂ · .
h3 ∂w
h1
∂u h2 ∂v
16
Mit (I) wird daraus
~ = 1 ∂E1 + E1 ∂h2 + E1 ∂h3
div E
h1 ∂u
h1 h2 ∂u
h1 h3 ∂u
1 ∂E2
E2 ∂h1
E2 ∂h3
+
+
+
h2 ∂v
h1 h2 ∂v
h2 h3 ∂v
1 ∂E3
E3 ∂h1
E3 ∂h2
+
+
+
.
h3 ∂w
h1 h3 ∂w
h2 h3 ∂w
Genaues Hinschauen
1
∂
∂
∂
~ =
div E
(h2 h3 E1 ) + (h3 h1 E2 ) +
(h1 h2 E3 ) .
h1 h2 h3 ∂u
∂v
∂w
Ist Divergenz in orthogonalen krummlinigen Koordinaten.
Für ∆ braucht man nur grad und div kombinieren
1 ∂Φ
1 ∂Φ
1 ∂Φ
∆Φ = div grad Φ = div
â +
b̂ +
ĉ
h1 ∂u
h2 ∂v
h3 ∂w
∂ h2 h3 ∂Φ
∂ h3 h1 ∂Φ
∂ h1 h2 ∂Φ
1
+
+
.
=
h1 h2 h3 ∂u
h1 ∂u
∂v
h2 ∂v
∂w
h3 ∂w
Für rot findet man
1
∂
∂
~ =
rot E
(h3 E3 ) −
(h2 E2 ) â
h2 h3 ∂v
∂w
1
∂
∂
+
(h1 E1 ) −
(h3 E3 ) b̂
h3 h1 ∂w
∂u
1
∂
∂
+
(h2 E2 ) − (h1 E1 ) ĉ.
h1 h2 ∂u
∂v
Bisher: grad, div, rot aus Differentialdef.
Nur grad war einfach; div, rot waren verwickelt.
div, rot einfacher aus Int.def.
§11 Ko- und Kontravariant. Skalenfaktoren hi
In diesem § nichtorthogonale Koord.systeme erlaubt.
Begriff ko-/kontravariant recht subtil.
Bereits in SRT (und damit Elektrodynamik) nötig:
Wegen Diagonale 1, −1, −1, −1 des metrischen Tensors.
17
Hier nach Greiner.
Seien x, y, z bzw x1 , x2 , x3 kartesische Koord.
q1 , q2 , q3 krummlinige Koor, statt bisher u, v, w.
Sei Ortsvektor
~r(xj ) = ~r(xj (qi )) ≡ ~r(qi ).
Achtung: links und rechts verschiedene Fkten (besser oder 0 ).
Def kontravariante Einheitsvektoren (auswendig)
∂~r
∂q
êi = i .
∂~r ∂q
i
Liegen in Richtung der Koord.linien.
Koord.linien sind Schnitte der Koord.flächen.
Z.B. Kugelkoordinaten
x = r sin θ cos φ,
y = r sin θ sin φ,
z = r cos θ.
Also
Damit

sin θ cos φ
r̂ = r  sin θ sin φ  .
cos θ



∂~r
sin θ cos φ
êr = ∂r =  sin θ sin φ  ,
1
cos θ


∂~r
cos θ cos φ
êθ = ∂θ =  cos θ sin φ  ,
r
− sin θ


∂~r
− sin φ
∂φ
êφ =
=  cos φ  .
r sin θ
0
Betrachte jetzt Koord.flächen
qi = const.
18
Def kovariante Einheitsvektoren
Êi =
∇qi
.
|∇qi |
Kovariante Einheitsvektoren stehen ⊥ zu Koord.flächen.
Vgl kontravariant: liegen entlang Koord.linien.
Für nichtorthogonale Systeme kovariant 6= kontravariant.
Betrachte z.B. Koord ξ = x, ζ = x + y der Ebene.
19
kontravar
--------y
/ / / / /
/__/__/__/__/
/ / / / /
/__/__/__/__/
/ / / / /
/__/__/__/__/__x
.b
.
.
.
........a
Einheits
vektoren
nichtorthogonales
Koordinatennetz
/
y/. . . . *
/
.
/
.
/
.
/________.___
x
kovariant
--------a
.
.
.
.
.
.b
/
y/.
/
/
*
Koordi
/
.
naten
/
.
/
.
/______________
x
Wir hatten definiert (dort: da = h1 du)
dsi = hi dqi ,
Bogenlänge dsi bei Koord.änderung dqi .
Def “kontravariant” umstellen und dsi ≡ |d~r| benutzen
∂~r ∂~r
= êi = hi êi .
∂qi
∂qi
Mit ~r = ~r(q1 , q2 , q3 )
∂~r
∂~r
∂~r
dq1 +
dq2 +
dq3
∂q1
∂q2
∂q3
= h1 dq1 ê1 + h2 dq2 ê1 + h3 dq3 ê3 .
d~r =
20
.
Gesamtbogenlänge
ds2 = d~r · d~r
=
3
X
hi hj êi · êj dqi dqj
i,j=1
=
3
X
gij dqi dqj .
i,j=1
g heißt metrischer Tensor: Theorie von Gauß, Riemann.
Elemente sind
gij = hi hj êi · êj .
Jetzt wieder nur Orthogonalkoord
êi · êj = δij ,
also
ds2 = h21 dq12 + h22 dq22 + h23 dq32 .
Volumenelement Orthogonalkoord.
dV = h1 h2 h3 dq1 dq2 dq3 .
§12 Gradient krummlinig
Nach Greiner.
Sei Φ = Φ(q1 , q2 , q3 ).
Gesucht
∇Φ ≡ f1 ê1 + f2 ê2 + f3 ê3 .
Es gilt von oben
d~r = h1 dq1 ê1 + h2 dq2 ê1 + h3 dq3 ê3 .
Ferner nach Def
dΦ = ∇Φ · d~r.
Einsetzen und Orthogonalität der Basis (!) benutzen
dΦ = h1 f1 dq1 + h2 f2 dq2 + h3 f3 dq3 .
21
Andererseits nach Def totales Differential
dΦ =
∂Φ
∂Φ
∂Φ
dq1 +
dq2 +
dq3 .
∂q1
∂q2
∂q3
fi aus Koeffizientenvergleich und damit
∇Φ =
1 ∂Φ
1 ∂Φ
1 ∂Φ
ê1 +
ê2 +
ê3 .
h1 ∂q1
h2 ∂q2
h3 ∂q3
Wichtiger Trick: setze speziell Φ = qi . Dann
∇qi =
êi
.
hi
Also gezeigt: für orthonormale Basis ist
Êi = êi .
In Orthonormalkoord sind ko- und kontravariante Basen gleich.
Hilfssatz: für Orthogonalkoord gilt
ê1 = h2 h3 ∇q2 × ∇q3 ,
und zyklisch.
Beweis:
h2 h3 ∇q2 × ∇q3 = h2 h3
ê2
ê3
×
h2 h3
= ê2 × ê3 = ê1 .
§13 Div in Orthogonalkoord
Greiner. Gesucht
~ = ∇ · (E1 ê1 + E2 ê2 + E3 ê3 ).
div E
Erinnerung
~ × F~ ) = F~ · rot E
~ −E
~ · rot F~ .
div (E
und
rot grad ≡ 0.
22
Damit
∇ · (E1 ê1 ) = ∇ · (E1 h2 h3 ∇q2 × ∇q3 )
= ∇(E1 h2 h3 ) · (∇q2 × ∇q3 ) + E1 h2 h3 ∇ · (∇q2 × ∇q3 )
ê3
ê2
×
+0
= ∇(E1 h2 h3 ) ·
h2 h3
ê1
= ∇(E1 h2 h3 ) ·
h2 h3
ê2 ∂
ê3 ∂
ê1
ê1 ∂
+
+
(E1 h2 h3 ) ·
=
h1 ∂q1 h2 ∂q2 h3 ∂q3
h2 h3
1
∂
(E1 h2 h3 ).
=
h1 h2 h3 ∂q1
Insgesamt wieder
1
∂
∂
∂
~ =
div E
(E1 h2 h3 ) +
(E2 h3 h1 ) +
(E3 h1 h2 ) .
h1 h2 h3 ∂q1
∂q2
∂q3
§14 Rot in krummlinigen Orthogonalkoordinaten
Greiner.
~ = ∇ × (E1 ê1 ) + ∇ × (E2 ê2 ) + ∇ × (E3 ê3 ).
∇×E
Betrachte
∇ × (E1 ê1 ) = ∇ × (E1 h1 ∇q1 )
= ∇(E1 h1 ) × ∇q1 + E1 h1 ∇ × ∇q1
ê1
= ∇(E1 h1 ) ×
+0
h
1
ê1 ∂
ê2 ∂
ê3 ∂
ê1
=
+
+
(E1 h1 ) ×
h1 ∂q1 h2 ∂q2 h3 ∂q3
h1
ê2 ∂
ê3 ∂
=
(E1 h1 ) −
(E1 h1 ).
h3 h1 ∂q3
h1 h2 ∂q2
23
Insgesamt wie zuvor,
1
∂
∂
~ =
rot E
(h3 E3 ) −
(h2 E2 ) ê1
h2 h3 ∂q2
∂q3
∂
1
∂
(h1 E1 ) −
(h3 E3 ) ê2
+
h3 h1 ∂q3
∂q1
1
∂
∂
+
(h2 E2 ) −
(h1 E1 ) ê3 .
h1 h2 ∂q1
∂q2
grad, div, rot, ∆ in Zylinder- und Kugelkoordinaten:
Innendeckel von Jackson.
Übung: zeige entsprechend
1
∂
h2 h3 ∂Φ
∂
h3 h1 ∂Φ
∂
h1 h2 ∂Φ
+
+
.
∆Φ =
h1 h2 h3 ∂q1
h1 ∂q1
∂q2
h2 ∂q2
∂q3
h3 ∂q3
§15 Erster Integralsatz: Zirkulation von Gradientenfelder
Neues Kapitel: Integrale von Vektorfeldern.
Mathematik: Linienintegral entlang Kurve
Z B
~
d~l · E
A
wobei d~l Kurventangente ist.
Natürlich
Z B
Z
~ =−
d~l · E
A
A
~
d~l · E.
B
Für Gradienten
Z
B
d~l · grad Φ =
A
Z
B
dΦ = ΦB − ΦA .
A
wobei dΦ Niveauunterschied zwischen ~r und ~r + d~r auf Kurve.
Also
I
d~l · grad Φ = 0.
Der Umkehrschluß gilt auch:
Wenn
I
~ r) = 0
d~l · E(~
24
~ = grad Φ.
für alle Wege in Gebiet des IR3 , dann dort E
Beweis:
Betrachte
Kurve AP RQ.
H
R geschlossene
R
Aus = 0 folgt AP R = AQR .
RR
Überhaupt haben alle Integrale A denselben Wert.
Sei A fest und R mit Ortsvektor ~r variabel.
Dann kann man Funktion Φ(~r) definieren,
Z R
~
Φ(~r) =
d~l · E.
A
Wert hängt nur von A und R, nicht von Zwischenweg ab.
Besser: ΦA (~r).
RB
Wählt man Anfangspunkt B, dann ΦB = ΦA + C, mit C = A .
Verschiebung d~r von R gibt einerseits nach Def von grad
dΦ = d~r · ∇Φ,
andererseits nach Def von Φ
~
dΦ = d~r · E.
Diese Gleichheit für alle d~r, also
~ = ∇Φ.
E
§16 Zweiter Integralsatz: Gauß
Betrachte geschlossene Fläche S.
Keine Abschnürungen = keine Singularitäten.
Vollständig in der Fläche dürfen andere geschlossene Flächen liegen.
Gaußscher Satz
I
Z
~ = dV div E.
~
d~a · E
d~a ist Flächennormale.
Konvention: soll von Volumen dV der rechten Seite wegzeigen.
~ ist Projektion von E
~ auf Flächennormale.
d~a · E
dV ist inneres Volumenelement.
Beweis.
Reicht in kartesischen Koordinaten:
25
Der Satz ist koord.unabhängig, und gilt dann in allen Koord.
Sei
~ = Ex î + Ey ĵ + Ez k̂
E
und
Z
∂Ex
.
∂x
Betrachte Rechteckssäule mit Querschnittsfläche
I=
dxdydz
[y, y + dy] × [z, z + dz]
entlang der gesamten x-Richtung (feste y, z).
Säule schneidet Außenrand und Innenränder von S 2n mal.
(Dabei n zunächst unbekannt.)
Grund: alle Flächen sind geschlossen.
Ex habe an Schnittflächen Werte Ex,1 , . . . , Ex,2n .
Dann
Z
I = dydz(−Ex,1 + Ex,2 − Ex,3 + . . . − Ex,2n−1 + Ex,2n ).
Dies nach Def Stammfkt.
Beachte: Integration nur innerhalb V .
Eintritt bei x1 , x3 , x5 , . . .: jeweils Untergrenze (−),
Austritt bei x2 , x4 , x6 , . . .: jeweils Obergrenze (+).
Rechteckssäule schneidet Flächen d~a1 , . . . , d~a2n aus Randflächen.
26
Also
dydz = î · d~ai .
Genauer: dydz > 0 immer. Aber î · dâ1 < 0:
Flächeneintritt heißt: d~a ist gegen î gerichtet.
Austritt: d~a gleichgerichtet î.
Also
dydz = −î · d~a1 ,
= î · d~a2 ,
..
.
= −î · d~a2n−1 ,
= î · d~a2n .
Einsetzen
I=
Z X
2n
d~ai · îEx,i .
i=1
Es ist
Z X
I
d~ai ≡
d~a.
Nämlich links und rechts Summe über alle Oberflächenelemente.
Also
Z
I
∂Ex
I = dxdydz
= d~a · îEx .
∂x
Genauso
Z
I
∂Ey
dxdydz
= d~a · ĵEy ,
∂y
Z
I
∂Ez
dxdydz
= d~a · k̂Ez .
∂z
Glgen addieren
I
Z
∂Ex ∂Ey ∂Ez
dxdydz
+
+
= d~a · (Ex î + Ey ĵ + Ez k̂).
∂x
∂y
∂z
Kann koord.invariant geschrieben werden
Z
I
~ = d~a · E.
~
dV div E
27
Gaußscher Satz.
§17 Integraldef der Divergenz. Fluß
~ in dV konstant.
Sei dV infinitesimal, so daß E
Dann wird Gaußscher Satz
I
1
~ =
~
div E
d~a · E.
dV
Dient als alternative Def von div.
Rechte Seite ist koord.unabhängig, also auch div.
Allgemein:
~ Vektorfeld und d~a Flächenelement.
Sei E
Sei (noch nicht zu sehr als Ladung lesen)
I
~
Q = d~a · E.
~ den Q-Fluß und
Im Zusammenhang mit div nennt man E
~
d~a · E
Q-Strom durch d~a.
Elektrodynamik: Stromdichte ~j: Ladung/(Zeit×Fläche),
~ ~j.
Leiterquerschnitt Ak
~ · ~j.
Strom (Ladung Q/Zeit) I = A
(Ladungs-)Stromdichte ~j ist also Ladungsfluß.
§18 Kontinuitätsgleichung
1. Betrachte Erhaltungsgröße Q, die nur strömen kann:
keine Quellen und Senken.
Soll durch kart Volumen δV = δxδyδz strömen.
Volumenzentrum (0, 0, 0). Konkret: Massenerhaltung.
Massendichte ρ in g/cm3 , Strömungsgeschw (u, v, w).
Masse, die in Zeit δt durch Fläche δyδz bei δx/2 strömt
δyδzρ(δx/2, 0, 0, t)u(δx/2, 0, 0, t)δt.
Und bei −δx/2
δyδzρ(−δx/2, 0, 0, t)u(−δx/2, 0, 0, t)δt.
28
Also Netto (Ausströmen positiv)
[(ρu)(δx/2, 0, 0, t) − (ρu)(−δx/2, 0, 0, t)]δyδzδt
∂(ρu)
(0, 0, 0, t)δV δt.
=
∂x
Entsprechend in y- und z-Richtung.
Insgesamt Massenänderung an irgendeiner Stelle
∂(ρu) ∂(ρv) ∂(ρw)
δ(ρδV )(~r, t) = −
+
+
(~r, t)δV δt
∂x
∂y
∂z
− weil Ausströmen: Verlust positiv gerechnet.
δV konst, kann vors Differential gezogen werden
δρ
∂(ρu) ∂(ρv) ∂(ρw)
(~r, t) = −
+
+
(~r, t).
δt
∂x
∂y
∂z
Also
∂ρ
+ div (ρ~v ) = 0.
∂t
Heißt Kontinuitätsgleichung.
Ist mathematische Formulierung der Massenerhaltung.
Hier Q ≡ Masse.
ρ~v ist Massenfluß und
I
d~a · ρ~v
S
ist Massenstrom (g/s) durch Randfläche S eines Volumens.
Also ist Massenstrom aus Volumen dV nach Def von div
dV div (ρ~v ).
Dafür manchmal auch “Durchfluß”.
2. So für jede Erhaltungsgröße:
sei e Energiedichte
R (Energie/Volumen).
Gesamtenergie dV e (hier Q) erhalten; kann nur fließen.
Dann wieder für festes Volumen
∂e
+ div (e~v ) = 0,
∂t
29
und
I
d~a · e~v = dV div (e~v )
S
als Energiestrom aus Volumen dV .
3. Insbesondere gilt Kontinuitätsglg für Strom.
Hier Ladungsdichte ρ (Ladung/Volumen) und Stromdichte
~j = ρ~v .
Dann (auswendig)
∂ρ
+ div ~j = 0.
∂t
Zusammenfassung:
~ =
div E
R
S
~
d~a · E
Q−Strom aus dV
=
.
dV
dV
~ = 0: Zufluß = Abfluß; keine Quellen und Senken.
Wenn div E
§19 Alternativbeweis Satz von Gauß
Mit koord.freier Def
~ = 1
div E
dV
I
~
d~a · E.
ist Gaußscher Satz fast trivial.
Zerlege jedes V in infinitesimale dVi .
Dürfen nichtkartesisch sein.
Dann
Z
X
XI
~ ≡
~ =
~
dV div E
dVi div E
d~a · E.
i
i
P
Betrachte i :
Jedes innere d~a ist Rand von genau zwei Volumenzellen.
~ für beide Zellen verschieden:
Vorzeichen von d~a · E
Also heben sich alle inneren Beiträge.
Nur Integral über Randflächen bleibt:
dort nur eine benachbarte, nämlich innere Volumenzelle.
Also
Z
I
~ =
~
dV div E
d~a · E.
V
∂V
30
Rechtes Integral nur über Rand von V .
Ab- und Zufluß benachbarter Volumenzellen hebt sich auf.
Nettofluß nur am Volumenrand.
§20 Dritter Integralsatz: Stokes
Sei C geschlossene Kurve, die offene Fläche S berandet.
S muß nicht eben sein.
Jedes C berandet ∞ viele S.
Z.B. berandet Äquator die Äquatorebene der Erde,
...und die nördliche und südliche Hemisphäre.
Sei d~a Flächenelement von S.
Wenn C in irgendeinem Sinn durchlaufen wird,
... soll d~a im Rechtssinn zeigen: Orientierbarkeit.
Satz von Stokes
I
Z
~ =
~
d~l · E
d~a · rot E.
C
S
Beweis
v+
........
.
| |
.C
.
^b | S
.
. v+dv | |
.
.-------|--|-------.
u- .
|da|ds2
. u+
.-------|--|--->---.
. v
|ds1
a
.
.
| |
.
.
u| |u+du.
..|..|..
v-
Seien u, v (oder q1 , q2 ) Skalarfelder auf IR3 mit ⊥ Niveauflächen.
Schnitt der Niveauflächen mit S gibt 2 ⊥ Koord.linien.
Niveauflächen von S, u, v sollen nie zusammenfallen.
Betrachte infinit Rechteck am Schnitt der Koord.linien auf S.
31
Seitenlängen
ds1 = h1 du,
ds2 = h2 dv,
Fläche
da = h1 h2 dudv.
Seien â, b̂ Einheitsvektoren tangential an Koord.linien.
Sei ĉ = â × b̂, so daß â, b̂, ĉ Rechtssystem.
Sei ~r Ortsvektor zu Punkt auf S im infinit Rechteck.
Dann kontravariante Basisvektoren
∂~r
1 ∂~r
â =
=
,
∂s1
h1 ∂u
∂~r
1 ∂~r
b̂ =
=
.
∂s2
h2 ∂v
Beachte: dies sind wirklich schon Einheitsvektoren.
Def von rot
~
~
~
~ = â × ∂ E + b̂ × ∂ E + ĉ × ∂ E .
rot E
∂s1
∂s2
∂s3
Also mit zyklischer Permutation im Spatprodukt
~
~
∂E
∂E
~
ĉ · rot E = (ĉ × â) ·
+ (ĉ × b̂) ·
∂s1
∂s2
~
~
∂E
∂E
= b̂ ·
− â ·
.
h1 ∂u
h2 ∂v
Also
Z
~
d~a · rot E
I≡
Z
=
~
daĉ · rot E
!
~
~
∂E
∂E
= dudv h2 b̂ ·
− h1 â ·
∂u
∂v
!
Z
~
~
∂ E ∂~r ∂ E ∂~r
= dudv
·
−
·
∂u ∂v
∂v ∂u
Z
∂ ~ ∂~r
∂ ~ ∂~r
= dudv
E·
−
E·
.
∂u
∂v
∂v
∂u
Z
32
Jetzt Geometrie:
Integriere ersten Term über u:
Integral von einem Rand von S zum Rand gegenüber.
Endpunkte sollen Werte u± haben.
Integriere zweiten Term über v:
Integral von einem Rand von S zum Rand gegenüber
... entlang Weg, der ersten Weg ⊥ kreuzt.
Endpunkte sollen Werte v± haben. Dann
Z
∂~
r
∂~
r
~·
~·
I = dv E
(u+ ) − E
(u− )
∂v
∂v
Z
∂~
r
∂~
r
~·
~·
(v+ ) − E
(v− ) .
− du E
∂u
∂v
u+ , u− haben denselben v-Wert, v+ , v− denselben u-Wert.
Laufe entlang S im positiven Umlaufsinn:
dv bei u+ , −dv bei u− , entsprechend für du.
Also Beitrag zu Umlaufintegral
Z
∂~
r
∂~
r
~·
~·
I = dv E
(u+ ) + E
(u− )
∂v
∂v
Z
∂~
r
∂~
r
~·
~·
− du E
(v+ ) + E
(v− ) .
∂u
∂v
In v-Integral wird jeder Punkt von S einmal abgefahren.
Ebenso im u-Integral.
Also
I
I
∂~
r
∂~
r
~·
~
I= E
dv +
du = d~r · E.
∂v
∂u
Identifikation d~r = d~l: beide Bogenelement entlang C.
Also Stokesscher Satz
Z
~ =
d~a · rot E
I
~
d~l · E.
Übung: zeige Umkehrung des Satzes: sei
Z
I
~
d~a · F~ =
d~l · E
S
C
~
für alle C in IR3 . Dann F~ = rot E.
33
§21 Integraldef von rot
Betrachte infinitesmales und daher ebenes d~a.
Alternative Def von rot mit Satz von Stokes
I
~ = d~l · E.
~
d~a · rot E
§22 Alternativbeweis Satz von Stokes
Beginnt man mit dieser Def von rot, ist Stokesscher Satz fast trivial:
Lege krummliniges Netz auf S mit infinit Maschen, Laufindex i.
(Details in Mechanikvorlesung.)
Z.B. Nordhalbkugel, Rand ist Äquator.
Z
X
XI
~
~ ≡
~ =
d~l · E.
d~a · rot E
d~ai · rot E
S
i
i
Jedes innere Stück “Faden” berandet zwei Maschen.
Bei gleichem Maschenumlauf verschiedene Richtung entlang Schnur.
~
Also heben sich innere Beiträge zu d~l · E.
Es bleibt nur Integral über Außenrand.
Z
I
~ =
~
d~a · rot E
d~l · E.
S
∂S
Jedoch Jänich, Vector Analysis:
“Although the idea of decomposition into cells does not lead to an
elegant proof, it describes the geometric content of the theorem extremely well – in fact, it reduces the theorem at the intuitive level to a
truism.”
§23 Vektoridentitäten
Mit Integraldef von div und rot kann man Beweis führen für
rot grad = div rot = 0
ohne Differentialausdruck dieser Größen zu benutzen:
1. Integralbeweis für
rot grad Φ = 0.
34
Nämlich
Z
Stokes
I
d~a rot grad Φ =
no Zirk
d~l · grad Φ = 0.
S
(Gradientenfelder haben keine Zirkulation.)
Da S beliebig, muß
rot grad Φ = 0.
2. Integralbeweis für
~ = 0.
div rot E
Nämlich
Z
Gauß
~ =
dV div rot E
I
~ Stokes
d~a · rot E
= 0.
Grund für letzte Glg:
Ziehe irgendeine geschlossene Kurve auf S (ohne ×).
Definiert zwei “Hemisphären”.
Nach Stokes ist Oberflächenintegral über beide gleich:
denn sie haben gleichen Rand.
Aber verschiedenes Vorzeichen: also Summe 0.
Einfacher: geschlossene Flächen haben keine Randkurve.
§24 Div in krummlinigen Koordinaten
Dieser Paragraph als Übung:
Mit Integraldef von div.
§25 Rot in krummlinigen Koordinaten
Dieser Paragraph als Übung:
Mit Integraldef von rot (siehe Mechanikvorlesung).
Weil rot Vektoroperator, muß man 3 Projektionen betrachten:
Zuerst Flächenelement d~a = âh2 h3 dvdw.
Linienintegral über Flächenrand:
Geometrie (Rechtssystem, yz-Ebene):
w+dw
-----<----- C
|
|
c
|
^|
.a
^
v ||
| v+dv
D
35
|
|
|
|
A ----->----- B
--->b
w
Beitrag von DA:
~ 3 (−dw) = −E3 h3 dw
ĉ · Eh
usw.
Beitrag von BC:
∂
∂
~ 3 )dv dw = E3 h3 + (E3 h3 )dv dw.
~ 3 + (Eh
ĉ · Eh
∂v
∂v
Summe
∂
(E3 h3 )dvdw.
∂v
Beitrag von AB:
~ 2 dv = −E2 h2 dv
b̂ · Eh
Beitrag von CD:
∂
∂
~ 2+
~ 2 )dw (−dv) = − E2 h2 +
b̂ · Eh
(Eh
(E2 h2 )dw dv.
∂w
∂w
Summe
∂
(E2 h2 )dvdw.
∂w
Summe der Summen in Integraldef von rot einsetzen
1
∂
∂
~ =
â · rot E
(h3 E3 ) −
(h2 E2 ) .
h2 h3 ∂v
∂w
−
b̂, ĉ Komponenten durch Rechnung oder Permutation.
Gibt wieder
1
∂
∂
~ =
(h3 E3 ) −
(h2 E2 ) â
rot E
h2 h3 ∂v
∂w
1
∂
∂
+
(h1 E1 ) −
(h3 E3 ) b̂
h3 h1 ∂w
∂u
1
∂
∂
+
(h2 E2 ) − (h1 E1 ) ĉ.
h1 h2 ∂u
∂v
36
~ = 0 → die B-Feldlinien
~
Übung: zeige: div B
sind geschlossen. Hierbei
Def Feldlinien eines Vektorfeldes: stetig differenzierbare Kurve entlang
Vektorpfeile.
37
KAP 2: TENSORANALYSIS
Wichtige Tensoren der Physik:
1. Richtungsableitung
2. total schiefsymmetrischer Tensor
3. Spannungstensor
4. Scherungstensor (Reibung in Kontinua)
5. Quadrupolmoment
6. Feldstärketensor Fµν
7. Energie-Impuls-Tensor
8. Metrischer Tensor
9. Krümmungstensor
Die Hälfte davon in dieser Vorlesung.
§26 Lineare Vektorfunktionen
Sei ~r Vektor.
Lineare Abb. ~r 7→ ~r 0 heißt lineare Vektorfunktion.
Mit Basisdarstellung
~r = xî + y ĵ + z k̂
werden lin Vektorfkten dargestellt durch Matrizen A = (aij ).
Im folgenden î, ĵ, k̂ Orthonormalsystem.
Also
x0 = a11 x + a12 y + a13 z,
y 0 = a21 x + a22 y + a23 z,
z 0 = a31 x + a32 y + a33 z.
Alternative Schreibweise
x0 = a1 x + a2 y + a3 z,
y 0 = b1 x + b2 y + b3 z,
z 0 = c1 x + c2 y + c3 z.
Damit
x0 = ~a · ~r,
y 0 = ~b · ~r,
z 0 = ~c · ~r.
38
Also
~r 0 = x0 î + y 0 ĵ + z 0 k̂
= î(~a · ~r) + ĵ(~b · ~r) + k̂(~c · ~r).
§27 Dyadisches Produkt. Dyaden
Durch eine einzige scheinbar triviale Umklammerung in einem Dreierprodukt
...bekommt man das mächtige Werkzeug der Dyaden.
Tensoralgebra ohne Indizes.
Vereinbarung: Dyaden und Tensoren von Rang/Stufe 2 sind Synonyme.
3 Möglichkeiten, Tensoren einzuführen:
1. Tensor aus dyadischen Produkten von Vektoren.
2. Tensor als (multi-)lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen.
3. Tensor als Objekt mit bestimmtem Verhalten unter Koord.trafo.
Definiere dyadisches Produkt durch Umklammern
~r 0 = î(~a · ~r) + ĵ(~b · ~r) + k̂(~c · ~r)
= (î ⊗ ~a) · ~r + (ĵ ⊗ ~b) · ~r + (k̂ ⊗ ~c) · ~r.
Die Terme in Klammern heißen Dyaden, Symbol T .
Dieselbe Def einfacher
(~a ⊗ ~b) · ~c = ~a(~b · ~c).
Verallgemeinerung: Dyade ist jedes
T = ~a ⊗ ~b + ~c ⊗ d~ + . . .
Dyadenaddition
~r 0 = [î ⊗ ~a + ĵ ⊗ ~b + k̂ ⊗ ~c] · ~r.
Bisher wirkte Dyade auf Vektor nach rechts.
Dieselbe Dyade (nicht eine andere Art!) wirkt auch nach links:
~c · (~a ⊗ ~b) = (~c · ~a)~b.
39
Da ~a ∦ ~b, ist
(~a ⊗ ~b) · ~c 6= ~c · (~a ⊗ ~b).
Dyade kann nach links und rechts wirken, man muß jeweils sagen,
wohin.
Ist Wirkung einer Dyade nach rechts = Wirkung anderer Dyade nach
links:
dann nennt man die Dyaden konjugiert (Index c)
T · ~r = ~r · T c .
Def: Zwei Dyaden heißen gleich ↔
Ihre Wirkungen auf alle Vektoren links und rechts sind gleich.
Zusammenfassung: lineare Vektorfunktion = Dyade = 2-Tensor.
Deren Basisdarstellung ist Matrix.
Warnung: in engl. und amerik. Büchern wird ⊗ weggelassen:
Stehen 2 Vektoren nebeneinander ohne · oder ×, wird ⊗ verstanden.
Mit einiger Übung sinnvoll, nicht am Anfang.
Rechenregeln: Linearität nach Def
T · (α~u + β~v ) = α(T · ~u) + β(T · ~v ).
Dyaden werden mit Vektorraumstruktur ausgestattet:
Addition von Dyaden und Multiplikation mit Grundkörperelement:
(αS + βT )(~u) = α(S · ~u) + β(T · ~u).
Distributivität
[~a ⊗ (~b + ~c)] · ~r = ~a[(~b + ~c)] · ~r]
= ~a(~b · ~r + ~c · ~r)
= ~a(~b · ~r) + ~a(~c · ~r)
= (~a ⊗ ~b) · ~r + (~a ⊗ ~c) · ~r
= (~a ⊗ ~b + ~a ⊗ ~c) · ~r,
also
~a ⊗ (~b + ~c) = ~a ⊗ ~b + ~a ⊗ ~c.
40
Damit
(~a + ~b + . . .) ⊗ (~p + ~q + . . .) =
~a ⊗ p~ + ~a ⊗ ~q + . . . + ~b ⊗ p~ + ~b ⊗ ~q + . . .
Reihenfolge der Faktoren wichtig.
Übung: definiere “Minus” für Dyaden.
Somit jede Dyade darstellbar als
T = a11 î ⊗ î + a12 î ⊗ ĵ + a13 î ⊗ k̂
+ a21 ĵ ⊗ î + a22 ĵ ⊗ ĵ + a23 ĵ ⊗ k̂
+ a31 k̂ ⊗ î + a32 k̂ ⊗ ĵ + a33 k̂ ⊗ k̂.
Ist praktisch schon ihre Matrixdarstellung.
Sei
T = ~a ⊗ ~b + ~c ⊗ d~ + . . .
Def Kontraktion einer Dyade (Tensorkontraktion): der Skalar
~a · ~b + ~c · d~ + . . . .
Ist unabhängig von Basis (denn hängt nur von Vektoren ab).
Als Skalar Invariante, also wichtig in Physik:
Ändert sich nicht bei Koord.trafo.
P
Übung: zeige in Orthogonalkoord.: Kontraktion ist Spur
Tii .
Def Kontraktion zweier Dyaden (Tensoren).
Jede bestehe zur Einfachheit nur aus einem Summanden.
(~a ⊗ ~b ) : (~c ⊗ d~ ) = (~b · ~c )(~a ⊗ d~ ).
Entspricht Matrixmultiplikation.
Für mehrere Summanden in jeder Dyade: ausmultiplizieren.
Übung: zeige Assoziativgesetz (mehrere Summanden)
(R : S) : T = R : (S : T ).
Übung: zeige
1 = î ⊗ î + ĵ ⊗ ĵ + k̂ ⊗ k̂
ist identische Dyade,
1~r = ~r.
41
Def inverse Dyade. Wenn
S : T = 1,
nennt man T invers zu S,
T = S −1 .
Übung: zeige:
S : T = 1 ↔ T : S = 1.
Übung: zeige: Inverse eines direkten Dyadenprodukts (Kontraktion)
= Produkt der Inversen in umgekehrter Reihenfolge.
§28 Konjugierte Dyaden
Def war
(~a ⊗ ~b) · ~c = ~a(~b · ~c),
~c · (~a ⊗ ~b) = (~c · ~a)~b.
~a ↔ ~b umbenennen in 2. Zeile
(~a ⊗ ~b) · ~c = ~a(~b · ~c),
~c · (~b ⊗ ~a) = (~c · ~b)~a.
Die rechten Seiten sind jetzt gleich, also
(~a ⊗ ~b) · ~c = ~c · (~b ⊗ ~a)
Dafür hatten wir geschrieben
T · ~c = ~c · T c .
Also:
T = ~a ⊗ ~b ↔ T c = ~b ⊗ ~a.
Bei Summen von ~ai ⊗ ~bi jedes Produkt vertauschen.
Übung: zeige
(S + T )c = S c + T c ,
(ST )c = T c S c ,
(S −1 )c = (S c )−1 .
42
Def selbstkonjugierte Dyade
S = S c.
Also
S · ~r = ~r · S.
Oder
X
~ai ⊗ ~bi =
X
~bi ⊗ ~ai .
Def antiselbstkonjugierte Dyade
S = −S c .
Also
S · ~r = −~r · S c .
Oder
X
Satz: jede Dyade ist
Beweis: schreibe
P
~ai ⊗ ~bi = −
X
~bi ⊗ ~ai .
von selbstkonj und antiselbstkonj Dyade.
1
1
T = (T + T c ) + (T − T c ).
2
2
Erster Summand ist selbstkonjugiert
(T + T c )c = T c + T .
Zweiter Summand ist antiselbstkonjugiert.
Satz: jede selbstkonjugierte Dyade über IR3 ist darstellbar als
a1 î ⊗ î + a2 ĵ ⊗ ĵ + a3 k̂ ⊗ k̂.
Beweis (nicht kurz) in der Linearen Algebra:
Jede symmetrische Matrix kann auf Diagonalform gebracht werden.
§29 Kreuzprodukt und antiselbstkonj Dyaden
In E-Dynamik wichtig und offensichtlich richtig:
Jede antiselbstkonjugierte Dyade kann dargestellt werden als
X
(~ai ⊗ ~bi − ~bi ⊗ ~ai ).
i
43
Erinnerung: Entwicklungssatz für Vektor(kreuz)produkt
~a × (~b × ~c) = ~b(~a · ~c) − ~c(~a · ~b).
Damit (verzichte auf Index i wegen Übersichtlichkeit)
X
X
(~a ⊗ ~b − ~b ⊗ ~a) · ~r =
~a(~b · ~r) − ~b(~a · ~r)
X
=−
(~a × ~b) × ~r
X
~
=−
~a × b × ~r.
Produkt antiselbstkonj Dyade mit Vektor = 2faches Kreuzprodukt.
Vgl entsprechende Aussage in Mechanik.
In der E-Dynamik bei mag Dipolmoment benötigt.
NB: zuvor war Skalar einer Dyade definiert als
X
X
~a ⊗ ~b →
~a · ~b.
Def Vektor einer Dyade
X
~a ⊗ ~b →
X
~a × ~b.
Übung: zeige: Skalar und Vektor einer Dyade ändern sich bei Koord.trafo nicht.
Def Kreuzprodukt von Dyade und Vektor
(~a ⊗ ~b) × ~r = ~a ⊗ (~b × ~r),
~r × (~a ⊗ ~b) = (~r × ~a) ⊗ ~r.
Reines Umklammern, nicht wie bei Def Dyade · ↔ ⊗
Satz:
T · (~r × ~s) = (T × ~r) · ~s.
Erinnerung Spatprodukt: zyklisches Vertauschen
~a · (~b × ~c) = ~b · (~c × ~a) = ~c · (~a × ~b),
also Operatorvertauschung erlaubt
~a · (~b × ~c) = (~a × ~b) · ~c
44
Im obigen Satz genauso.
P
Beweis für Satz: sei T = ~a ⊗ ~b. Dann
X
T · (~r × ~s ) =
~a ⊗ ~b · (~r × ~s )
X
=
[(~a ⊗ ~b ) · (~r × ~s )]
X
=
~a [~b · (~r × ~s )]
X
=
~a [(~b × ~r ) · ~s ]
X
=
~a [(~b × ~r ) · ~s ]
X
=
[~a ⊗ (~b × ~r )] · ~s
X
=
[(~a ⊗ ~b ) × ~r ] · ~s
X
=
(~a ⊗ ~b ) × ~r · ~s
= (T × ~r ) · ~s.
Genauso zeigt man
(~r × ~s) · T = ~r · (~s × T ).
Oben gezeigt: antiselbstkonj Dyaden und Doppelkreuzprodukt.
Jetzt stärkere Aussage: antiselbstkonj Dyaden und Einfachkreuzprodukt.
Satz: Jeder Vektor ~a in Kreuzprodukt mit ~r kann durch Skalarprodukt
mit einer antiselbstkonj Dyade mit ~r ersetzt werden.
Beweis:
~a × ~r = (1 · ~a) × ~r = (1 × ~a) · ~r
Zeige noch: 1 × ~a ist antiselbstkonj. Sei kartesisch
~a = a1 î + a2 ĵ + a3 k̂,
1 = î ⊗ î + ĵ ⊗ ĵ + k̂ ⊗ k̂.
Ausrechnen (Rechtssystem!) gibt
~a × 1 = 1 × ~a =
− a1 (ĵ ⊗ k̂ − k̂ ⊗ ĵ) − a2 (k̂ ⊗ î − î ⊗ k̂) − a3 (î ⊗ ĵ − ĵ ⊗ î).
45
Ist antiselbstkonj.
Nicht verwirren lassen von
~a × 1 = 1 × ~a.
Dennoch gilt
(~a × 1)c = −~a × 1.
Zusammenfassung: merke
~a × ~r = (1 × ~a ) · r,
wobei Def
(~a ⊗ ~b) × ~a = ~a ⊗ (~b × ~a).
Übung: zeige
~a · (~b ⊗ ~c − ~c ⊗ ~b) = (~b × ~c) × veca.
§30 Physik: Kreuzprodukt und schiefsymmetrische Tensoren
Derselbe Satz, wie er in der Physik bewiesen wird:
Jeder schiefsymmetrische Tensor 2. Stufe auf IR3
↔ Vektorkreuzprodukt.
Beweis:
Kartesische Darstellung schiefsymm Tensor T 2. Stufe


0
Txy Txz
T = −Txy
0
Tyz  .
−Txz −Tyz 0
Angewendet auf Vektor ~a = (ax , ay , az ):


Txy ay + Txz az
T · ~a =  −Txy ax + Tyz az 
−Txz ax − Tyz ay .
Kann man schreiben als


q y az − q z ay
~q × ~a = qz ax − qx az  ,
q x ay − q y ax
46
wenn man identifiziert
  

qx
−Tyz
qy  =  Txz  .
qz
−Txy
Also für schiefsymmetrische T
T · ~a = ~q × ~a.
§31 Dyadeninvarianten
Gegeben sei Dyade in Koordinatendarstellung T = Tij .
Die folgenden
Skalare sind in jedem Koordinatensystem gleich:
P
1. Spur
Tii .
2. Determinante det T .
3. Eigenwerte λ, bestimmt durch
det(T − λ1) = 0.
§32 Dyaden und Ellipsoide
Wie in Mechanikvorlesung:
geometrische Deutung der Dyaden als Ellipsoide.
Wieder sehr elegant in Weatherburn:
Was ist allgemeinste skalare quadratische Ausdruck in x, y, z?
Q = a11 x2 + a22 y 2 + a33 z 2 + (a12 + a21 )xy + (a13 + a31 )xz + (a23 + a32 )yz.
Sieht wie selbstkonjugierter Dyade aus.
Sei ~r = (x, y, z)τ .
Allgemeinste skalare quadratische Ausdruck ist
X
Q=
[pi~r · ~r + qi (~r · ~ai )(~r · ~bi )].
i
Umschreiben
Q=
X
[~r · (pi 1) · ~r + ~r · (qi~ai ⊗ ~bi ) · ~r]
i
#
"
= ~r ·
X
(pi 1 + qi~ai ⊗ ~bi ) · ~r
i
= ~r · T · ~r.
47
Übung: zeige
1
~r · (T − T c ) · ~r = 0.
2
Also bleibt nur selbstkonj Anteil T + T c obiger Dyade.
Nach Satz über Diagonalisierung selbstkonj Dyaden:
Q = a1 x 2 + a2 y 2 + a3 z 2 .
Sind a1 , a2 , a3 , Q > 0, ist dies Glg eines Ellipsoids.
Sonst Hyperpoloid.
§33 Definition ∇~v
Bisher Tensoralgebra, jetzt: Tensoranalysis.
Ziel: Satz von Gauß und Stokes für Dyaden (Tensoren).
Gradient eines Skalarfelds war definiert als
∇Φ = î
∂Φ
∂Φ
∂Φ
+ ĵ
+ k̂ .
∂x
∂y
∂z
Def Gradient eines Vektorfeldes
~
~
~
∂E
∂E
∂E
~
∇E = î ⊗
+ ĵ ⊗
+ k̂ ⊗
.
∂x
∂y
∂z
~ ist (leider) unüblich.
Schreibweise ∇ ⊗ E
Def konjugierte Dyade
~
~
~
∂E
∂E
∂E
~
E∇=
⊗ î +
⊗ ĵ +
⊗ k̂.
∂x
∂y
∂z
Sei ~c konstanter Vektor. Dann
~ · ~c =
(∇E)
X
~
∂E
î ⊗
∂x
!
X ∂
~ · ~c)
î (E
∂x
~
= ∇(E · ~c).
=
Also genau wie in Tensoralgebra
~ · ~c = ∇(E
~ · ~c).
(∇ ⊗ E)
48
· ~c
Aber ~c muß konstant sein.
Für beliebiges Vektorfeld ~a(~r) gilt
~
∂E
∂x
~
~
~
∂E
∂E
∂E
= a1
+ a2
+ a3
∂x
∂y
∂z
~
= (~a · ∇)E.
~ = ~a ·
~a · (∇E)
X
î ⊗
Sehr wichtige Relation in der ganzen Physik:
~
Richtungsableitung (in Richtung â) eines Vektorfeldes E.
Beachte:
~ ∦ E.
~
(~a · ∇)E
Hier ist Nablakalkül etwas irritierend, weil man denkt:
~a · ∇ ≡ α (Skalar), also
~ E.
~
αEk
Richtig ist
~ = ~a · (∇ ⊗ E)
~ = ~a · (∇E).
~
(~a · ∇)E
~ noch k~a.
Rechte Seite i.a. weder kE
~
Mit dieser Def von ∇E:
Klammern um ∇ auch bei Vektoren nicht mehr nötig.
~ = ~a · (∇E)
~ = ~a · ∇E.
~
(~a · ∇)E
Wichtige Formel für Richtungsableitung:
~ = (dx î + dy ĵ + dz k̂) ·
d~r · ∇E
=
~
~
~
∂E
∂E
∂E
+ ĵ ⊗
+ k̂ ⊗
î ⊗
∂x
∂y
∂z
~
~
~
∂E
∂E
∂E
~
dx +
dy +
dz = dE.
∂x
∂y
∂z
Ist gleiche Formel wie für Skalarfelder
d~r · ∇Φ = dΦ.
~ ist div E.
~
Übung: zeige: Spur von ∇E
§34 Richtungsableitung
49
!
Wiederholung und elementare Rechnung.
Operator n̂ · ∇ in vielen Glgen der Physik:
Richtungsableitung in Richtung n̂ (beliebiger Einheitsvektor).
Def für Skalarfeld Φ
Φ(~r + hn̂) − Φ(~r)
.
h→0
h
(n̂ · ∇)Φ(~r) = lim
Dies ist aber nach Def von grad
(n̂ · ∇)Φ = n̂ · (∇Φ).
Kartesisch, mit n̂ = (l, m, n)τ ,
(n̂ · ∇)Φ = l
∂Φ
∂Φ
∂Φ
+m
+n
.
∂x
∂y
∂z
Also Operator
∂
∂
∂
+m
+n .
∂x
∂y
∂z
Def Richtungsableitung für Vektorfelder
n̂ · ∇ = l
~
~
~ r) = lim E(~r + hn̂) − E(~r) .
(n̂ · ∇)E(~
h→0
h
~ wird auf nichtparallelen Vektor abgebildet.
Vektor E
n̂ · ∇ auf Vektoren angewendet ist Tensoroperator.
Nur ein Fall wo man keine Tensoren braucht:
~ · ∇)E
~ = 1 grad E 2 − E
~ × rot E,
~
(E
2
~ · E.
~
wobei E 2 = E
Übung: beweise die Glg in kartesischen Koordinaten.
In der Elektrodynamik braucht man die Glg bei Alfvenwellen in Plasmen.
Zurück zum allgemeinen Fall:
~ durch
Definiere Tensor ∇E
~ = n̂ · (∇E).
~
(n̂ · ∇)E
50
Kartesisch wird dies, mit ∂x = ∂/∂x usw.,

 
Ex
l∂x + m∂y + n∂z
0
0

 Ey  =
0
l∂x + m∂y + n∂z
0
Ez
0
0
l∂x + m∂y + n∂z


∂x Ex ∂x Ey ∂x Ez
(l, m, n)  ∂y Ey ∂y Ey ∂y Ez  .
∂z Ez ∂z Ey ∂z Ez
Auf Transponierungssymbol τ verzichtet.
~ in Zylinderkoord.
Berechne n̂ · ∇ und ∇E
Dazu Zylindereinheitsvektoren durch kartesische ausgedrückt
r̂ =
cos φ î + sin φ ĵ,
φ̂ = − sin φ î + cos φ ĵ,
ẑ = k̂.
Gradient in Zylinderkoordinaten ist
grad Φ = r̂∂r Φ + φ̂r−1 ∂φ Φ + ẑ∂z Φ.
Schreibe
n̂ = nr r̂ + nφ φ̂ + nz ẑ,
~ = Er r̂ + Eφ φ̂ + Ez ẑ.
E
Jetzt Anwendung von grad nur auf Skalare und Vektorkomponenten:
~ = (n̂ · ∇)(Er r̂ + Eφ φ̂ + Ez ẑ)
(n̂ · ∇)E
= r̂(n̂ · ∇)Er + φ̂(n̂ · ∇)Eφ + ẑ(n̂ · ∇)Ez
+ Er nr ∂r + r−1 nφ ∂φ + nz ∂z r̂
+ Eφ nr ∂r + r−1 nφ ∂φ + nz ∂z φ̂
+ Ez nr ∂r + r−1 nφ ∂φ + nz ∂z ẑ
=
(1. Zeile)
Er 0 + nφ (− sin φî + cos φĵ) + 0
+
r
Eφ 0 − nφ (cos φî + sin φĵ) + 0
+
r
+ Ez [0 + 0 + 0]
nφ Er
nφ Eφ
=
(1. Zeile) +
φ̂ −
r̂.
r
r
51
Also in Zylinderkoordinaten
n
E
n
E
φ
φ
φ
r
~ = r̂ (n̂ · ∇)s Er −
(n̂·∇)v E
+φ̂ (n̂ · ∇)s Eφ +
+ẑ(n̂·∇)s Ez .
r
r
Hier (nur hier) sollen Subscripts v und s anzeigen:
~n · ∇ wirkt auf Vektor oder Skalar.
Dabei (n̂ · ∇)s wie oben angegeben.
Wendet man dies auf Mechanik an, dann:
Zentrifugalkraft und Corioliskraft:
geometrische Krümmungsterme der Koord.linien.
Tensor n̂ · ∇ in Zylinderkoord


(n̂ · ∇)s −r−1 nφ
0
0 .
(n̂ · ∇)v =  r−1 nφ (n̂ · ∇)s
0
0
(n̂ · ∇)s
Ferner

∂r Er
∂r Eφ + Eφ /r ∂r Ez
~ = r−1 ∂φ Er − Eφ /r
r−1 ∂φ Eφ
r−1 ∂φ Ez  .
∇E
∂z Er
∂z Eφ
∂z Ez

§35 ∇ auf Dyaden
Def (Leibnizregel für Dyaden)
~
∂ ~
∂E
∂ F~
~
~
~
(E ⊗ F ) =
⊗F +E⊗
.
∂x
∂x
∂x
Entsprechend für Summen von Dyaden.
Damit Def
∂T
∂T
+ ĵ ·
+ k̂ ·
∂x
∂y
∂T
∂T
∇ × T = î ×
+ ĵ ×
+ k̂ ×
∂x
∂y
∇ · T = î ·
∂T
,
∂z
∂T
.
∂z
Erste Zeile: Vektor. Zweite Zeile: Dyade.
Übung: zeige
∇(~a ⊗ ~b) = (∇ · ~a)~b + (∇ · ~b)~a.
52
Sei ~c konstanter Vektor. Dann
X
∂T
î ·
(∇ · T ) · ~c =
· ~c
∂x
X
∂
î ·
(T · ~c)
=
∂x
= div (T · ~c).
Def
∂T
∂T
∂T
· î +
· ĵ +
· k̂,
∂x
∂y
∂z
∂T
∂T
∂T
× î +
× ĵ +
× k̂.
T ×∇=
∂x
∂y
∂z
T ·∇=
Übung: zeige
~ = 0,
∇ × ∇E
∇ · ∇ × T = 0,
~ = ∆E,
~
∇ · ∇E
∇ × (∇ × T ) = ∇∇ · T − ∆T .
Ab sofort soll ∇ nur auf unmittelbar folgenden Vektor wirken.
Außer wenn Klammerung anderes sagt.
Übung: zeige
~ · F~ ) = ∇E
~ · F~ + ∇F~ · E,
~
∇(E
~ × F~ ) = ∇E
~ × F~ − ∇F~ × E.
~
∇(E
Übung: zeige (Skalarfeld Φ)
~ = ∇Φ ⊗ E
~ + Φ∇E,
~
∇(ΦE)
∇ · (ΦT ) = ∇Φ · T + Φ∇ · T ,
∇ × (ΦT ) = ∇Φ × T + Φ∇ × T ,
~ = ∇ × E,
~
∇ · (1 × E)
~ = E∇
~ − 1∇ · E.
~
∇ × (1 × E)
53
Beweis 3. Zeile
∂Φ
∂T
∇ × (ΦT ) =
T +Φ
î ×
∂x
∂x
X
X
∂Φ
∂T
×T +Φ
=
î
î ×
∂x
∂x
= ∇Φ × T + Φ∇ × T .
X
Beweis 4. Zeile
∂
~
(1 × E)
∂x
X
~
∂E
=
î · 1 ×
∂x
~
= ∇ × E.
~ =
∇ · (1 × E)
X
î ·
§36 Satz von Stokes für Dyaden
Kurvenintegral einer Dyade. Mit
~ = d~l · ∇E
~
dE
macht folgendes unmittelbar Sinn:
~B − E
~A =
E
Z
B
~
d~l · ∇E.
A
Integral entlang beliebiger Kurve von A nach B.
Also
I
~ = 0.
d~l · ∇E
Beweis des Satzes von Stokes bleibt richtig, wenn man ersetzt:
~ → ∇ × T = â × ∂T + b̂ × ∂T + ĉ × ∂T .
rot E
∂s1
∂s2
∂s3
Also Satz von Stokes für Dyaden (2-Tensoren)
Z
I
d~a · ∇ × T = d~l · T
Beachte: Reihenfolge ist wichtig:
54
d~l und T nicht vertauschbar.
§37 Satz von Gauß für Dyaden
Im Beweis des Gaußschen Satzes wurde gezeigt (Rechteckssäule)
Z
I
∂Ex
dV
= d~a · îEx .
∂x
~ gibt
Derselbe Beweis mit U → E
Z
I
~
∂E
~
dV
= d~a · (î ⊗ E).
∂x
Übung: führe dies explizit durch.
Entsprechende Glgen für y- und z-Richtung.
Darstellung einer Dyade
T = T11 î ⊗ î + T12 î ⊗ ĵ + T13 î ⊗ k̂
+ T21 ĵ ⊗ î + T22 ĵ ⊗ ĵ + T23 ĵ ⊗ k̂
+ T31 k̂ ⊗ î + T32 k̂ ⊗ ĵ + T33 k̂ ⊗ k̂
= î ⊗ (T11 î + T12 ĵ + T13 k̂)
+ ĵ ⊗ (T21 î + T22 ĵ + T23 k̂)
+ k̂ ⊗ (T31 î + T32 ĵ + T23 k̂)
~ + ĵ ⊗ F~ + k̂ ⊗ G.
~
≡ î ⊗ E
Jede Dyade kann also als
~ + ĵ ⊗ F~ + k̂ ⊗ G
~
T = î ⊗ E
~ F~ , G.
~
geschrieben werden, mit Vektorfelder E,
55
(37.1)
Damit
∂T
∂T
∂T
+ ĵ ·
+ k̂ ·
∂x
∂y
∂z
!
~
~
~
∂E
∂E
∂E
= î · î ⊗
+ ĵ ⊗
+ k̂ ⊗
+ ...
∂x
∂y
∂z
∇ · T = î ·
~
~
~
∂E
∂E
∂E
+ (î · ĵ)
+ (î · k̂)
= (î · î)
∂x
∂y
∂z
∂ F~
∂ F~
∂ F~
+ (ĵ · î)
+ (ĵ · ĵ)
+ (ĵ · k̂)
∂x
∂y
∂z
~
~
~
∂G
∂G
∂G
+ (k̂ · î)
+ (k̂ · ĵ)
+ (k̂ · k̂)
∂x
∂y
∂z
~
~
∂E
∂ F~
∂G
=
+
+
.
∂x
∂y
∂z
Also mit (37.1)
Z
Z
dV ∇ · T =
dV
I
=
~
~
∂ F~
∂G
∂E
+
+
∂x
∂y
∂z
~ + ĵ ⊗ F~ + k̂ ⊗ G)
~
d~a · (î ⊗ E
I
=
!
d~a · T .
Dies ist Gaußscher Satz für Dyaden
Z
I
dV ∇ · T = d~a · T .
Ein anderer interessanter Satz folgt so:
56
Multipliziere (37.1) mit î⊗
Z
I
~
∂E
dV î ⊗
=
∂x
I
=
I
=
I
=
I
=
~
î ⊗ [d~a · (î ⊗ E)]
~
î ⊗ [(d~a · î)E]
~
(d~a · î)(î ⊗ E)
~
[(d~a · î)î] ⊗ E
~
[d~a · (î ⊗ î)] ⊗ E.
Hierbei wurde 2mal Def dyadisches Produkt verwendet.
Die akribische Klammerung gestattet 2fache dyadische Produkte:
nie wirklich 3-Tensoren (obwohl auch möglich und erlaubt).
Genauso für y- und z-Richtung (mit ĵ⊗ und k̂⊗).
Glgen addieren
!
Z
~
~
~
∂E
∂E
∂E
dV î ⊗
+ ĵ ⊗
+ k̂ ⊗
=
∂x
∂y
∂z
I
~
=
d~a · (î ⊗ î + ĵ ⊗ ĵ + k̂ ⊗ k̂) ⊗ E
I
~
= [d~a · 1] ⊗ E.
Also
Z
~ =
dV ∇E
I
~
d~a ⊗ E.
Schöner wäre, wenn man auch links ⊗ schriebe.
Übung: zeige Gaußschen Satz für Vektoren statt Dyaden durch î· statt
î×.
Zusammenfassung:
Zirkulationssatz (grad), Gaußscher (div) und Stokesscher (rot) Satz:
57
Für Vektoren und Dyaden gilt
I
d~l · grad Φ = 0,
Z
I
~
dV ∇ · E =
Z
I
~ =
d~a · ∇ × E
I
~ = 0,
d~l · ∇E
I
Z
dV ∇ · T =
Z
I
d~a · ∇ × T =
~
d~a · E,
~
d~l · E,
d~a · T ,
d~l · T .
Also perfekte Korrespondenz Vektor- und Tensorintegralsätze.
§38 Quellfreiheit
Wichtig für Magnetostatik (Multipolentwicklung):
Sei div ~j = 0 und ~j = 0 außerhalb eines endlichen Bereichs.
Dann
Z
d3 r~j(vecr) = 0.
Beweis 1. Da Vektorglg, reicht kartesischer Beweis.
Komponentenweise
Z
Z
3
d rjx = d3 r~j · î
Z
= d3 r~j · ∇x
Z
= d3 r(~j · ∇x + x∇ · ~j)
Z
= d3 r∇ · (~jx)
I
=
d~a(~jx)
∞
= 0.
58
Ebenso für jy , jz . Also d3 r~j = 0.
Beweis 2 ist viel eleganter: mit Dyaden.
Z
0 = d3 r~r∇ · ~j
Z
h
i
3
~
~
= d r ∇ · (j ⊗ ~r) − 3j
Z
Z
=
d~a · (~j ⊗ ~r) − 3 d3 r~j
∞Z
= −3 d3 r~j.
Achtung: in Schwingers Buch fehlt Faktor 3.
§39 Physikalische Def von kontravarianten Tensoren
Die folgenden §§ nach Hay, Vector and Tensor Analysis.
Klassische Einführung von Tensoren hat sich in Büchern erhalten.
Vor allem aus der ART:
Tensoren sind Objekte, die sich bei Koord.trafo soundso verhalten.
Gegeben Koord xi und Koord.trafo
i
i
x0 = x0 (xj ).
Gemeint: jedes x0 i ist Funktion aller xj .
Also
X ∂x0 i
0i
dxj .
dx =
j
∂x
j
Betrachte Vektor
d~r = (dxi ).
Trafoverhalten
0i
dx =
X ∂x0 i
j
∂xj
dxj .
Allgemeine Def:
Zahlentupel Ai heißt Vektor, wenn bei Koord.trafo
0i
A =
X ∂x0 i
j
59
∂xj
Aj .
Def Tensor 2. Stufe über IRn :
(1) quadratisches Schema T ij von n2 Zahlen,
(2) das sich bei Koord.trafo so transformiert
T
0 ij
=
X ∂x0 i ∂x0 j
k,l
∂xk
∂xl
T kl .
Entsprechend Tensoren höherer Stufe.
Vektor ist dann Tensor erster Stufe.
Skalar Tensor nullter Stufe.
Genauer sind dies die kontravarianten Vektoren und Tensoren.
§40 Physikalische Def von kovarianten Tensoren
Jetzt erstmals untere Vektorindizes:
Def: Tupel Ai ist kovarianter Vektor, wenn es sich so transformiert
A0i =
X ∂xj
A.
0i j
∂x
j
Zwei Änderungen gegenüber kontravariant:
(1) x und x0 von Nenner nach Zähler u.u. vertauscht.
(2) Summationsindex von Nenner nach Zähler vertauscht.
Der Gradient ist ein kovarianter Vektor:
Sei Φ(xi ) Skalarfeld. Dann
X ∂xj ∂Φ
∂Φ
=
.
0 i ∂xj
∂x0 i
∂x
j
Also
∇0i Φ
X ∂xj
=
∇ Φ.
0i j
∂x
j
∇ ist also kovarianter Vektor(operator).
Beachte, daß in letzter Glg Index i an ∇ unten:
in Übereinstimmung mit Def.glg kovarianter Vektor.
Allgemein
∂
∂i = i .
∂x
60
Merkregel: 1/oben = unten.
Def: kovarianter Tensor 2. Stufe ist
(1) Quadratschema Tij
(2) mit Trafoverhalten
Tij0 =
X ∂xk ∂xl
T .
0 i ∂x0 j kl
∂x
k,l
Wichtig:
Skalarprodukt nur von ko- mit kontravariantem Vektor definiert.
X
2
A ≡
Ai Ai .
i
Übung: zeige: A2 ist Skalar, d.h. invariant unter Koord.trafo.
Einsteinsche Summationskonvention:
taucht Index oben und unten auf, dann summiere darüber
A 2 = Ai Ai .
Beachte: Index kann nur 1- oder 2-mal auftreten, nicht öfter.
Divergenz ist Skalarprodukt ko- mit kontravariant:
~ = ∂i Ai .
div A
Gemischt ko- und kontravariante Tensoren: kanonische Def.
Addition von Tensoren gleicher ko- und kontra Stufe.
§41 Kroneckers Delta
Kroneckers Delta ist gemischt ko-kontravarianter Tensor Stufe 2.
Beweis: für Orthogonalkoord gilt
∂x0 i
= δji .
j
0
∂x
Schreibe Indizes des Kronecker Delta gleich positionsrichtig.
(Satz wird ja richtig sein...)
Sei x0 i = x0 i (xj ), dann
∂x0 i
∂x0 i ∂xk
=
.
∂xk ∂x0 j
∂x0 j
61
Außerdem mit Kettenregel
∂xl ∂
∂
= 0j l .
∂x0 j
∂x ∂x
Also
δji
=
=
=
=
∂x0 i
∂x0 j
∂x0 i ∂xk
∂xk ∂x0 j
∂x0 i ∂xl ∂xk
∂xk ∂x0 j ∂xl
∂x0 i ∂xl k
δ .
∂xk ∂x0 j l
Erinnerung: Def kontravariant
0i
dx =
X ∂x0 i
j
Def kovariant
∇0i
∂xj
dxj ,
X ∂xj
=
∇.
0i j
∂x
j
Obige Glg: 1. Faktor kontravariant bzgl i , 2. Faktor kovariant bzgl j .
Damit dies exakt wie Tensorglg aussieht, schreibt man auch
i
δ0j
∂x0 i ∂xl k
=
δ
∂xk ∂x0 j l
und
∂x0 i
0i
=
δ
j.
j
∂x0
In jedem Koord.system besteht δ (bzw δ 0 ) aus 0 und 1.
Kronecker δ ist Einheitstensor.
Einzig anderer Tensor mit gleichen Komponenten in allen Koord:
Total schiefsymmetrischer Tensor (0, 1, −1).
§42 Kovarianz von Glgen
62
Einsteins Leitsatz:
alle physikalischen Glgen müssen Tensorglgen sein:
Nur diese lauten in allen Koord.systemen gleich.
Damit völlige Gleichheit aller Beobachter: ruhend, fahrend, fallend.
Sµν = Tµν
wird zu
0
0
Sµν
= Tµν
ohne additive Terme usw.
Dies nennt man (Begriffsverdopplung) Kovarianz einer Glg.
Beweis für Kovarianz von Tensorglg. Sei
Sµν = Tµν .
Dann
∂x0 µ ∂x0 ν αβ ∂x0 µ ∂x0 ν αβ
0 µν
S
=
T
=
T
.
S =
∂xα ∂xβ
∂xα ∂xβ
Def Verjüngung eines Tensors
0 µν
αβγ...
Tµνβ...
Def Kontraktion zweier Tensoren
αβγ... δσ...
Sµνρ...
Tτ πβ...
Übung: zeige Kovarianz von
µν
Sνσ
= Tσµ .
§43 Der metrische Tensor
Zentraler Tensor der Physik.
Früher definiert: Bogenlänge der i-ten Koordinate
dsi = hi dqi .
Gesamtbogenlänge
2
ds =
3
X
gij dqi dqj .
i,j=1
63
Schreibe jetzt besser
ds2 = gij dq i dq j .
Vermutung: gij ist kovarianter Tensor.
Bogenlänge ist Skalar: koord.invariant.
Also muß sein
ds2 = gij dq i dq j
∂q i ∂q j 0 k 0 l
= gij 0 0 dq dq
∂qk ∂ql
k
l
2
0
= gkl
dq 0 dq 0 = ds0 .
Da k- und l-Komponenten unabhängig variiert werden können, muß
0
gkl
=
∂q i ∂q j
gij .
∂qk0 ∂ql0
Dies ist tatsächlich Def eines kovarianten Tensors.
Gauß-Riemann Geometrie auf gekrümmten Flächen.
§44 Tensoren mittels orthogonaler Koord.trafo
Bisherige Tensordef benutzt ∂xi /∂x0 j .
Dies für Mathematiker unschön:
Tensoralgebra abhängig von Differentialen.
Ausweg: betrachte homogene, lineare Koord.trafo: Drehungen.
i
x0 = Aik xk .
(Summationskonvention.)
Warum ist dies genug?
Def Koord.trafo: läßt Vektorlänge invariant.
Also Drehung oder Translation.
Letztere einfach zu behandeln, aber nur Schreibarbeit → weglassen.
Also kein Verlust an Allgemeinheit durch linearen Ansatz.
Matrixschreibweise
~x 0 = A~x.
Längeninvarianz von Vektoren
i
x0i x0 = Aki xk Ail xl = xl xl .
64
Also muß
Aki Ail = δlk .
Verzichte für Moment auf Unterschied ko- und kontravariant:
Aik xk Ail xl = δkl xk xl .
Als Matrixprodukt
AAτ = 1.
Genauso
Aτ A = 1.
Drehung ist orthogonale Trafo. Matrizen mit
Aτ = A−1
heißen orthogonal.
Zusammenfassung: Drehtrafos
i
x0 = Aik xk
mit
Aik Ali = δkl
und
Aki Ail = δlk
bilden Gruppe der orthogonalen Trafos.
Def: Vektor ~v = (v i ) ist Zahlentupel mit Trafoverhalten
i
v 0 = Aik v k .
Def: kontravarianter Tensor der Stufe 2 ist Quadratschema mit
ij
T 0 = Aik Ajl T kl .
Verzichte wieder kurz auf ko-/kontra
T 0 ij = Aik Ajl Tkl = Aik Aτlj Tkl = Aik Tkl Aτlj .
Als Matrixglg
T 0 = AT Aτ .
Probleme:
65
1. Wie unterscheidet man Aji und Aij in Matrizschreibweise?
2. Schon bei rein kontravar Tensor treten Matrixen A und Aτ auf.
Daher Tensoralgebra in Physikbüchern fast nur mit Indizes.
Wie lautet Trafo von grad?
Nur Orthogonalkoord, also ohne Unterscheidung ko/kontra.
∂xk ∂Φ
∂Φ
=
0
∂xi
∂x0i ∂xk
Koord.trafo ist
x0i = Ail xl .
Beide Seiten von links mit Aik multiplizieren, über i summerieren
Aik x0i = Aik Ail xl = δkl xl = xk .
Also
xk = Aik x0i = Aτki x0i .
Also (keine Summe mehr!)
∂xk
= Aτki .
0
∂xi
Oben einsetzen
∂Φ
τ ∂Φ
=
A
.
ki
∂x0i
∂xk
Also
∂
∂
=
A
.
ik
∂x0i
∂xk
Am Ende perfekte Index-Reihenfolge ohne τ .
Ganz ohne Mühe gehts hier aber nicht:
Statt τ hier benutzt Bergmann 3-fach Produkt der A.
Also: Gradient ist Vektor.
Wieder die alte Frage:
Warum ist Richtungsableitung eines Vektorfelds Tensorfeld?
Kartesische Koord, also ohne Unterscheidung ko/kontra:
~ = (Ei ). Dann
Sei E
∂Ei0 0
0
dEi =
dx .
∂x0j j
66
Behauptung: ∂Ei0 /∂x0j ist Tensor.
∂Ei0
∂Ek
= Aik 0
0
∂xj
∂xj
∂Ek
= Aik Ajl
.
∂xl
In Zeile 1: Trafoverhalten von Vektor benutzt.
In Zeile 2: Trafoverhalten von Gradient benutzt.
Insgesamt: Trafoverhalten von Tensor.
§45 Diracs Deltafunktion
Neues Kapitel, ohne eigene Überschrift.
Deltafkt erst um 1930 eingeführt.
Gebraucht hätte man sie schon immer:
Verallgemeinerung des Kronecker Delta auf x ∈ IR.
Def Deltafunktion δ(x) (auswendig)
Z ∞
f (a) =
dxf (x)δ(x − a).
−∞
Integralgrenzen im folgenden weglassen: immer −∞ und ∞.
Setze f = 1
Z
1 = dxδ(x − a).
Substitution y = x − a:
Z
dyδ(y) = 1.
δ-Fkt ist einzelne Spitze, Fläche darunter ist 1.
Mathematisch exakt: Distribution, nicht Fkt.
δ ist eindeutig definiert durch (i)
Z ∞
f (a) =
dxf (x)δ(x − a)
−∞
und (ii)
δ(x) = δ(−x).
Alternative Def
67
(i,a) δ(x
R ∞ − a) = 0 für x 6= a.
(i,b) −∞ dxδ(x) = 1.
(ii) δ(x) = δ(−x).
Wichtig: Einheit der Fkt δ(x) ist Einheit von 1/x.
Rechenregeln (Beweis Übung)
f (x)δ(x) = f (0)δ(x),
xδ(x) = 0,
1
δ(ax) =
δ(x).
|a|
§46 Dirac- und Stufenfunktion
Es folgt einfach (Übung)
Z
x
dyδ(y) = Θ(x),
−∞
mit Θ(x < 0) = 0 und Θ(x > 0) = 1.
Heavisidesche Sprungfkt.
Also ist Θ Stammfunktion von δ, also formal
δ(x) =
d
Θ(x).
dx
Spitze ist also Ableitung des Sprungs.
§47 Dreidimensionale δ-Fkt
Ist definiert durch
Z
f (~a) =
d3 rf (~r)δ(~r − ~a)
und
δ(~r) = δ(−~r).
Übung: zeige für ~r = (x, y, z)τ , daß
δ(~r) = δ(x)δ(y)δ(z).
Damit kann man diskrete Ladungsträger qi an Orten ~ri
68
...als kontinuierliche Ladungsdichte (Ladung/Volumen) schreiben
X
ρ(~r) =
qi δ(~r − ~ri ).
i
§48 Deltafkt und Gaußfkt
Deltafkt ist Grenzwert der Gaußverteilung.
Gaußkurve
1
f (x, σ) = √ exp(−x2 /σ 2 ).
σ π
Es ist f (x, σ) = f (−x, σ) und
Z ∞
dxf (x, σ) = 1.
−∞
Somit
δ(x) = lim
σ→0
1
√ exp(−x2 /σ 2 ).
σ π
§49 Deltafkt und Fourierintegral
Wichtigste Darstellung der δ-Fkt ist
Z ∞
1
dkeikx .
δ(x) =
2π −∞
Dabei ist gemeint
1
δ(x) = lim
a→∞ 2π
Z
a
dkeikx .
−a
Math. Deutung: eikx = cos(kx) + i sin(kx).
Bei a → ∞ heben sich + und − Halbwelle in fast allen sin und cos.
Also Integral fast überall 0. R
a
Aber Singularität bei x = 0: −a dk = 2a → ∞.
Phys. Deutung: δ-Puls setzt sich aus Schwingungen
...aller Wellenlängen λ = 2π/k zusammen.
Für Rechnungen einfacher ist folgende äquivalente Darstellung
Z ∞
1
δ(x) = lim δ (x) = lim
dkeikx−|k| .
→0
→0 2π −∞
69
Faktor e−|k| unterdrückt Integranden für k → ±∞, wie zuvor a.
Spaltet man Integral in Intervalle [−∞, 0] und [0, ∞] auf, findet man
1
1
δ(x) = lim − Im
→0
π x + i
1 = lim
.
→0 π x2 + 2
Übung: führe die Integration durch.
Übung: zeige, daß δ für → 0 Eigenschaften der δ-Fkt hat.
Ist Lorentzresonanzkurve.
Der lim darf strikt nur ausgeführt werden nach Integration über δ .
Direktes Rechnen mit singulärer δ-Fkt klappt aber immer.
Dreidimensionale δ-Fkt
Z ∞
Z ∞ Z ∞
1
δ(~r) = δ(x)δ(y)δ(z) =
dk
dl
dm eikx+ily+imz
3
(2π) −∞
−∞
−∞
Z ∞
1
=
d3 keik̂·~r .
3
(2π) −∞
§50 Deltafkt und Greensfkt
Wichtige Anwendung der δ-Fkt: Greensfkt.
Beispiel aus der Mechanik: harmonische Schwingung ohne Reibung.
mẍ(t) + kx(t) = 0.
Auslenkung x einer Masse m an Feder mit Federkonstante k.
Äußere Anregungskraft F (t) (falls periodisch: Resonanz möglich)
d2
mẍ(t) + kx(t) = m 2 + k x(t) = F (t).
dt
Für jede Fkt F (t) müßte man DGL neu lösen.
Trick: löse stattdessen ein- für allemal
d2
m 2 + k G(t − t0 ) = δ(t − t0 ).
dt
Deutung: bei t = t0 wird Pendel schlagartig angestoßen (δ = ∞);
danach ganz sich selbst überlassen (δ = 0).
70
Man könnte hier noch t0 = 0 setzen, weiter unten aber nicht mehr.
G(t − t0 ) heißt Greensfkt.
(Nach Mathematiker Green; daher Jackson: Green function).
Wichtiges Konzept der modernen Physik.
Integriere in letzter Glg links und rechts über dt0 F (t0 )
Z ∞
Z ∞
2
d
dt0 F (t0 )δ(t − t0 ) = F (t).
dt0 F (t0 ) m 2 + k G(t − t0 ) =
dt
−∞
−∞
R
Ziehe links dt0 F (t0 ) durch [...]-Operator:
letzterer hat nur t, und t0 ist unabhängige Variable
Z ∞
d2
m 2 +k
dt0 F (t0 )G(t − t0 ) = F (t).
dt
−∞
Dies ist aber gerade die zu lösende DGL. Also
Z ∞
x(t) =
dt0 F (t0 )G(t − t0 ).
−∞
Beachte: t0 ≡ 0 nicht möglich, t0 ist vollwertige Variable.
Was ist gewonnen?
Wenn G(t − t0 ) einmal bekannt ist,
... dann für alle F Lsg der Schwingungsglg aus letzter Glg.
Diese besteht nur noch aus Integration, ist keine DGL mehr.
Achtung: Greensfkt geht nur für lineare DGL.
§51 Deltafkt und Laplaceoperator
Laplaceoperator in Kugelkoordinaten: zuvor gezeigt
1 1 ∂2
1
∆ =
r
= 0.
r
r ∂r2
r
Dies nur für r 6= 0.
Jetzt für r = 0.
Betrachte infinit Kugel um Ursprung.
71
Forme Volumenintegral über Kugel mit Gaußschem Satz um
Z
Z
1
1
dV ∆ = dV ∇ · ∇
r
r
Z
1
= d~a · ∇
r
Z
r̂
= − d~a · 2
Z r
1
= − 2 da
r
4πr2
= − 2 = −4π.
r
Skalar da: Kugelflächenelement. r auf Kugelfläche konstant.
Übung: diese Rechnung für beliebiges infinit Volumen statt Kugel.
Also für r → 0
Z
1
d3 r∆ = −4π
r
3-d Deltafkt
Z
1 = d3 rδ(~r).
Also
Z
Z
1
d r∆ = −4π d3 rδ(~r).
r
Also (Details zu Int.volumen...) für r → 0
3
1
∆ = −4πδ(~r).
r
Diese Glg stimmt aber für alle r:
∆r−1 = 0 für r 6= 0.
Also gilt überall
1
∆ = −4πδ(~r).
r
In der Elektrodynamik:
Abstand zwischen Ladungsort ~r 0 und Feldmeßpunkt ~r:
∆
1
= −4πδ(~r − ~r 0 ).
0
|~r − ~r |
72
KAP 3: ELEKTROSTATIK IM VAKUUM
§52 SI und Gaußsche Einheiten
Diese Vorlesung in SI-Einheiten, auch die Relativitätstheorie.
Manche Bücher zur E-Dynamik stattdessen Gaußsche Einheiten.
QED im Heaviside-System: wird hier nicht betrachtet.
1. Coulombkraft
SI: neue Fundamentaleinheit für Ladung: Coulomb
Coulombsches Gesetz
1 q1 q 2
|F~ | =
2 .
4π0 r12
Gauß (G): Drücke Ldg durch cm, s, g aus.
Coulombsches Gesetz hier
q1 q2
|F~ | = 2 .
r12
Also erste Umrechnungsregel
1
(SI) ↔ 4π (G).
0
2. Lorentzkraft
Nach Ampere wird jedes Magnetfeld von bewegter Ladung erzeugt.
Magnetismus hat also keine neue Einheit.
Zweite Umrechnungsregel ist nur Konvention:
Lorentzkraft in SI
~ + ~v × B).
~
F~ = q(E
Lorentzkraft in Gauß
~ + ~v × B).
~
F~ = q(E
c
Also zweite Regel
~
~ (SI) ↔ B (G).
B
c
~
Ebenso für Vektorpotential A!
73
3. Lichtgeschwindigkeit
Verschiedene Einheiten für Magnetfeld in SI und G.
In SI expliziter Faktor µ0 .
In G kein Faktor (bzw Vakuumlichtgeschwindigkeit c).
Da es keine mag Ldgen gibt, ist µ0 festgelegt:
Zusammenhang 0 , µ0 , c lautet
0 µ0 (SI) ↔
1
(G).
c2
Durch diese 3 Regeln Übergang SI ↔ G festgelegt.
Beachte: in G keinerlei 0 und µ0 .
Reine Lehre: in SI kein c, nur 0 und µ0 .
§53 Phänomenologie
Ladung
+ und −.
Ladung ist gequantelt.
Ladung ist erhalten.
Einheit: SI. Ladungseinheit 1 Coulomb.
Ldg ist neue Größe, wird nicht auf Mechanik zurückgeführt.
Aber: ganze E-Dynamik nur eine neue Einheit: C.
Elektromagnetismus
Coulomb und Cavendish: elektrisches Kraftgesetz.
Oersted: elektrischer Strom lenkt Magnetnadel ab.
Ampere: Magnetfelder stammen von bewegten Ladungen.
Faraday: bewegte Magneten erzeugen elektrische Ströme.
Maxwell: Elektromagnetismus.
Hertz: elektromagnetische Wellen.
Einstein: Relativitätstheorie.
Feldtheorie
Streit Korpuskel (Newton) vs Wellen (Huygens).
Faraday: Existenz von elmag Feldern, um Fernwirkung zu vermeiden.
Elmag Strahlung durch beschleunigte Ladungen.
bis 1905: Träger der Felder und Wellen: Äther. Einstein...
1925: Welle-Teilchendualismus.
74
1950: zweite Quantisierung: von Feldern.
Konventionen
El Feld zeigt von + zu − Ladung.
El Feld startet auf + und endet in − Ladung (oder in ∞).
+ Ldgen laufen in Feldrichtung, − Ldgen dagegen.
Aufpunkt (wo man Feld, Potential usw. mißt): ~r.
Quellpunkt (für das Feld verantwortliche Ladungen): ~r 0 .
Referenzpunkt Φ(r = ∞) = 0 für Potential.
Leiter und Isolatoren
Idealer Leiter (conductor) hat ∞ viele freie Ladungsträger.
Nämlich freie Elektronen.
Atomrümpfe fest im Kristallgitter.
Elektron-Bewegung erscheint auch als Gegenbewegung positiver Ldg.
Isolator: keine freien Ladungen.
Aber Versatz Atomrumpf-Elektronenwolke im el Feld:
Polarisation. Daher Isolator = Dielektrikum.
§54 Was ist Elektrostatik?
Unveränderliche Ladungsverteilungen.
Nichts fließt: keine Ströme.
Berechne elektrisches Feld an Nadelspitzen usw.
Konzept der Punktldgen: wie Massenpunkte in Mechanik.
Aber Ldg → 0 physikalisch nicht möglich.
§55 Das Coulombsche Gesetz
Seien q1 , q2 Punktldgen bei ~r1 , ~r2 .
El Kraft F~1 auf q1 aufgrund von q2
F~1 =
1
~r1 − ~r2
q1 q 2
.
4π0
|~r1 − ~r2 |3
Dabei
1
= 10−7 c2 ,
4π0
mit Vakuumlichtgeschwindigkeit c.
75
0 heißt Permeabilität des Vakuums.
Kraft F~2 auf q2 aufgrund von q1 :
F~2 = −F~1 .
Bei mehr als 2 Ldgen: el Kräfte addieren sich vektoriell.
Superpositionsprinzip.
Coulombsches Gesetz ≡ Newtonsches Gesetz:
Zentralkraft, actio = reactio, r−2 -Abfall.
Coulombsches Gesetz gilt nur im Vakuum.
Gilt nicht in Medien mit Suszeptibilität: gilt nicht in Dielektrika.
§56 Elektrisches Feld
Def Probeldg: q (idealisiert) verschwindend klein:
kein Einfluß auf bestehende el Felder.
Vgl Thermometer: muß verschwindende Wärmekapazität haben.
Sei q Probe-Punktldg am Ort ~r.
~ bei ~r:
Def el Feld E
~
~ r) = F ,
E(~
q
wobei F~ Kraft auf q ist.
Meßvorschrift: mache q immer kleiner, bis F~ /q konstant wird.
~ ist Vektorfeld.
E
~ r) aufgrund einer Ldg qi am Ort ~ri :
El Feld E(~
~ r) =
E(~
1
~r − ~ri
qi
.
4π0 |~r − ~ri |3
Elektrisches Feld aufgrund von Ldgen qi an Orten ~ri :
n
~ r) =
E(~
1 X ~r − ~ri
qi
.
4π0 i=1 |~r − ~ri |3
Kontinuierliche Ldgsverteilung: mit Ladungsdichte ρ,
∆q
.
∆V →0 ∆V
ρ(~r) = lim
Ldgsinhalt ∆q des infinit Volumens ∆V .
76
El Feld aufgrund Ladungsdichte ρ(~r)
Z
1
r − ~r 0
3 0
0 ~
~
E(~r) =
.
d r ρ(~r )
4π0
|~r − ~r 0 |3
(56.1)
Auch (56.1) heißt Coulombsches Gesetz.
§57 Raumwinkel
Def Bogenwinkel: Kreissegment / Kreisradius.
Def Raumwinkel: Oberflächenelement Sphäre / (Sphärenradius)2 .
Sei S geschlossene Fläche im IR3 .
Sei O Bezugspunkt innerhalb S.
Sei d~a ein infinitesimales Oberflächenelement von S.
(Infinit Fläche ist planar, hat also eindeutige Normale.)
Sei ~r Vektor von O nach d~a.
d~a nimmt von O aus gesehen Raumwinkel ein
dΩ =
d~a · r̂
.
r2
Beachte Projektionsfaktor cos θ im Skalarprodukt.
Raumwinkel hat hiernach Vorzeichen!
§58 Gaußsches Gesetz: Integralform
Unterscheide Gaußschen Satz (theorem) und Gaußsches Gesetz (law).
~
Ist alternative Bestimmungsglg für E.
Ist erster Bestandteil der Maxwellglgen.
Ist identisch zu Coulombschem Gesetz.
Sei q Punktldg im Ursprung, mit el Feld
~ =
E
1 q
r̂,
4π0 r2
mit Verbindungsvektor ~r von Ldg zu Feldpunkt (später ~r − ~r 0 ).
Geschlossene Fläche S um q.
Sei ~r Vektor von q zu Oberflächenelement d~a.
77
~ el Feld bei d~a. Dann
Sei E
1 q
r̂ · d~a
4π0 r2
1
qdΩ.
=
4π0
~ · d~a =
E
Also
I
I
q
q
~ =
d~a · E
dΩ = .
4π0
0
S
Denn geschlossene Fläche nimmt bzgl innerem Punkt Ω = 4π ein.
Übung: was wird hieraus, wenn ~r mehrfach S kreuzt?
In der Glg taucht ~r nicht auf:
Glg ist korrekt für Ldg an jedem Ort innerhalb S.
Summiere über alle Ldgen in V (von S umschlossenes Vol).
~ unterschieden)
Dann Gesamtfeld (wird nicht vom bisherigen E
I
Z
1
~ =
d~a · E
(58.1)
d3 rρ(~r).
0 V
S
Ist Gaußsches Gesetz in integraler Form.
Vergleiche mit (56.1).
Dreierlei ging in Herleitung ein:
Coulombgesetz: 1/r2 (Raumwinkel)
Zentralkraft: r̂ (Raumwinkel)R
Vektoraddition von Kräften: d3 r (Gesamtfeld)
§59 Gaußsches Gesetz: Differentialform
Gaußscher Satz (reine Mathematik) lautet:
I
Z
~
~ =
d~a · E
d3 rdiv E.
S
V
Auf vorige Glg angewendet:
Z
Z
1
3
~ =
d3 rρ(~r).
d rdiv E
0 V
V
Da V beliebig, muß
~ r) = ρ(~r) .
div E(~
0
78
Gaußsches Gesetz in differentieller Form.
Grundgesetz der Elektrostatik:
Besser handhabbar als Coulombsches Gesetz.
Aber identisch mit diesem.
Übung: zeige, daß Feld einer Kugel im Außenraum = Punktladungsfeld.
§60 Elektrisches Potential
Coulombsches Gesetz ≡ Newtonsches Grav.gesetz.
Also el Potential ≡ Grav.potential.
Punktldg q bei ~r 0 :
q ~r − ~r 0
4π0 |~r − ~r 0 |3
1
q
∇
.
=−
4π0 |~r − ~r 0 |
~ r) =
E(~
Beachte: ∇ bezieht sich nur auf ~r, nicht auf ~r 0 .
Entsprechend für Ladungsverteilung:
Z
1
r − ~r 0
3 0
0 ~
~
E(~r) =
d r ρ(~r )
4π0
|~r − ~r 0 |3
Z
1
1
d3 r0 ρ(~r 0 )∇
=−
4π0
|~r − ~r 0 |
Z
1
ρ(~r 0 )
=−
∇ d3 r0
4π0
|~r − ~r 0 |
≡ −∇Φ(~r).
In vorletzter Zeile benutzt, daß ∇ nur auf ~r wirkt.
~r 0 ist unabhängige Variable.
El Potential
Z
1
ρ(~r 0 )
Φ(~r) =
d3 r0
.
4π0
|~r − ~r 0 |
Für Punktldg q bei ~r 0
Φ(~r) =
q
1
.
4π0 |~r − ~r 0 |
79
Def Spannung U : Φ-Differenz zweier Pkte
U12 = Φ2 − Φ1 .
§61 Kondensatoren
Def Kondensator nach Sommerfeld:
(i) Zwei benachbarte Leiter beliebiger Gestalt.
Def benachbart: Abstand kleiner als Abmessung.
(ii) Mit Ldgen q und −q.
Idee: el Feld vor allem zwischen Leitern, kaum nach ∞.
Also el Feld in Kondensator gespeichert.
Jeder Leiter auf einem Potential.
Also eindeutige Spannung im Kondensator:
Z.B. Plattenkondensator: Plattenabstand d. E konstant.
Also
Z
d
U=
dxE = Ed.
0
Gaußsches Gesetz: Ldg ±q auf Platten mit Fläche A.
Details: Übung; gibt
2q
E=
.
2A0
Also
qd
U=
.
A0
Def Kapazität C = q/U , dann
C=
A0
.
d
Übung: Berechne Kapazität des Kugelkondensators.
§62 Feld einer Sphäre und Kugel
Übung: bestimme el Feld einer homogen geladenen Sphäre im Außenund Innenraum durch direkte Integration des Coulombschen Gesetzes
(für Potential oder Feld; mit Cosinussatz; Achtung bei Vorzeichen).
Übung: genauso Feld der homogen geladenen Kugel.
Drei Wege, um Potentiale und Felder zu berechnen:
80
(1) Coulombsches Gesetz (wie in Übung; intuitiv)
(2) Gaußsches Gesetz (einfachste Rechnung)
(3) Poissonsche Glg (Lsg einer DGL mit Randbedg)
Beispiel zu (2): Feld der Sphäre mit Gaußschem Gesetz.
~ = E r̂.
Wegen Kugelsymmetrie E
Sphäre mit Ldg q soll Radius 1 haben.
Gaußscher Satz mit (gedachter) Integrationssphäre S bei r > 1
I
Z
1
q
2
~ = 4πr E(r) = =
d~a · E
d3 rρ(~r).
0
0 V
S
Geladene Sphäre hat Außenfeld, als säße Ldg im Zentrum:
~
E(r)
=
q
r̂.
4π0 r2
Für r < 1 wird keine Ldg umschlossen, also
4πr2 E(r) = 0
→
E(r) = 0.
Innenraum feldfrei!
Beispiel zu (3): Fließbach S. 51.
§63 Ldgen auf Leiterinnenseiten
Elektronen stoßen sich ab.
Warum gehen sie an Leiteroberfläche, statt Volumen auszufüllen?
Fehlschluß: in der letzteren Konfiguration steckt mehr Energie.
Betrachte Pkt.ldg q bei r = 0:
Ldg dq wird (z.B. radial) von ∞ bis r herangebracht.
El Arbeit
Z ∞
1
dr
1 qdq
dW =
qdq
=
.
2
4π0
r
4π0 r
r
Arbeit um Kugel mit Radius r von 0 auf q von r = ∞ aufzuladen:
Vorstellung: die schon aufgebrachte Ldg q 0 als Pkt.ldg im Zentrum,
Z
1 1 q 0 0
1 q2
W =
q dq =
.
4π0 r 0
4π0 2r
Beispiel (Maxwell): 2 konzentrische Sphären mit Radius 1 und r > 1.
Leitend miteinander verbunden (Draht), zunächst ungeladen.
81
Ldg q wird von r = ∞ aufgebracht.
Wie verteilt sie sich auf die beiden Sphären?
Sei q1 Ldg der inneren Sphäre. Aufladearbeit
1 q12
.
4π0 2
Arbeit um äußere Sphäre auf q − q1 zu laden, wenn innere nicht da
1 (q − q1 )2
.
4π0
2r
Extraarbeit um äußere auf q − q1 zu laden, wenn innere schon auf q1
q − q1
1
q1
.
4π0
r
Beachte, daß hier kein 1/2 (siehe Def Arbeit oben).
Also Gesamtarbeit
2
q
−
q
(q
−
q
)
1
1
1
q12 +
+ 2q1
W =
8π0
r
r
1
=
q 2 + q12 (r − 1) .
8π0 r
Jedes System sucht Zustand niedrigster Energie:
geleistete Arbeit = gespeicherte Energie muß minimal sein.
Also q1 = 0: alle Ldg sitzt auf der äußeren Kugel.
Übung: Vgl mit el Arbeit, um endlich dicken Kugelmantel homogen
zu laden.
Übung (Cambridge): Änderung der Potenz im Coulombschen Gesetz.
§64 Feld in Leitern
~ = 0 in Leitern:
1. E
Gäbe es Feld, würden freie Ldgen sich umlagern bis Feld = 0.
Genauer: lege äußeres Feld an Leiter.
+ Ldgen laufen in Feldrichtung, − Ldgen dagegen.
An gegenüberliegenden Oberflächen sammeln sich + vs − Ldgen an.
Erzeugen ein dem äußeren entgegengesetztes Feld.
Flächenldgen werden induziert, bis internes Feld externes aufhebt.
82
~ = 0 → 0 = div E
~ = ρ0 , also ρ = 0 im Leiter.
2. E
Einzige freie Ldg in Leitern auf dessen Oberfläche.
3. Potential im ganzen Leiter konstant (auch in Ellipsoiden usw.)
Z ~r2
~ = 0.
Φ(~r2 ) − Φ(~r1 ) =
d~l · E
~r1
~ ⊥ Leiteroberfläche.
4. E
Sonst würden Kräfte Ldgen entlang Oberfläche treiben.
§65 Elektrische Arbeit
Sei d~l Linienelement auf Weg (Kurve) im IR3 .
Arbeit W , um Ldg q im el Feld von A nach B zu bringen
Z B
W =
d~l · F~
A
Z B
~
=q
d~l · E
A
Z B
= −q
d~l · grad Φ
ZAB
= −q
dΦ
A
= q(ΦA − ΦB ).
Arbeit im Gradientenfeld ist wegunabhängig
0 = q(ΦA − ΦA )
I
~
= q d~l · E
Z
~
= q d~a · rot E.
Stokesscher Integralsatz in 2. Zeile benutzt.
~ = 0, da d~a beliebig.
Aus 3. Zeile folgt rot E
§66 El Feld ist wirbelfrei
~ hat 3 Komponenten, div E
~ = ρ/0 (Gauß) ist 1 skalare Glg.
E
83
~
Also weitere Glg nötig für E.
Satz: Vektorfeld (nahezu) eindeutig festgelegt durch sein div und rot.
Übung: warum nur nahezu?
~ völlig fest.
Coulombsches Gesetz (Vektorglg) legt E
Gaußsches Gesetz hat Coulombsches nicht ausgeschöpft.
Aus Coulombschem Gesetz folgt
~ = −grad Φ.
E
Also
~ = 0.
rot E
Damit Grundglgen der Elektrostatik
~ = ρ
div E
0
und
~ = 0.
rot E
Sind zusammen äquivalent zum Coulombschen Gesetz.
§67 Dipolfeld
Zwei Ldgen q, −q (q > 0) seien durch Vektor d~ getrennt.
Konvention: d~ zeigt von −q zu q.
Sei ~r 0 Mittelpunkt zwischen Ldgen.
~
Also −q bei ~r 0 − d/2.
Sei d → 0, q → ∞ so daß qd endlich.
Potential gesucht.
Φ(~r) =
q
4π0
=−
q
4π0
1
~
|~r − (~r 0 + d/2)|
−
1
!
~
|~r − (~r 0 − d/2)|
!
1
1
−
.
~
~
|~r − ~r 0 + d/2|
|~r − ~r 0 − d/2|
Nach Def von grad ist dies
Φ(~r) = −
q ~
1
d·∇
.
4π0
|~r − ~r 0 |
84
Mit
1
r̂
∇ =− 3
r
r
folgt
Φ(~r) =
q d~ · (~r − ~r 0 )
.
4π0 |~r − ~r 0 |3
p~ = q d~ heißt Dipolmoment.
Ladungspotential fällt mit r−1 , Dipolpotential mit r−2 .
Beachte: bei Sorgfalt kein ±Problem.
Übung: zeige: Feld eines bei ~r 0 zentrierten Dipols ist
~ r) =
E(~
1 3n̂(~p · n̂) − p~
,
4π0 |~r − ~r 0 |3
wobei
~r − ~r 0
n̂ =
.
|~r − ~r 0 |
Def Dipolmoment einer Ladungsverteilung
Z
p~ = d3 r0~r 0 ρ(~r 0 ).
Übung: wie ändert sich p~ bei Verschiebung des Ursprungs?
§68 Multipolentwicklung der Energie
Gegeben unbeeinflußbares äußeres Potential Φ(~r).
In dieses wird Ladungsverteilung ρ(~r) eingebracht.
Energie des Systems
Z
1
W =
d3 r0 ρ(~r 0 )Φ(~r 0 ).
2
Annahme: Φ nahezu konstant auf Änderungsskala von ρ.
Kartesische Koordinaten.
Taylorreihenentwicklung um beliebigen (. . .) Nullpunkt
2
X ∂Φ XX
1
∂
Φ
0
0
0 0
Φ(~r ) = Φ(0) +
xi 0 +
xi xj
+ ...
0
0
∂xi 0 2
∂xi ∂xj i
i
85
j
0
~ = −∇Φ,
Benutze E
0
Φ(~r ) = Φ(0) −
X
x0i Ei (0)
i
1 X X 0 0 ∂Ej + ...
−
xx
2 i j i j ∂x0i 0
Trick: Φ ist äußeres Potential.
Also sind die erzeugenden Ldgen “außen,” also
X ∂Ei
~ =
∇0 · E
0 = 0.
∂x
i
i
Ziehe von oben ab
mit r0 2 =
02
i x i.
P
Φ(~r 0 ) = Φ(0) −
1 2 X ∂Ei
0 = r0
6
∂x0i
i
Dann
X
i
XX
1
∂E
2
j
+ ...
x0i Ei (0) −
(3x0i x0j − r0 δij )
0
6 i j
∂xi 0
Lasse “. . .” weg. Einsetzen in W ,
Z
Z
X
W = Φ(0) d3 r0 ρ(~r 0 ) −
Ei (0) d3 r0 ρ(~r 0 )x0i
i
Z
1 X X ∂Ej 2
−
d3 rρ(~r 0 )(3x0i x0j − r0 δij )
6 i j ∂xi 0
X
1 X X ∂Ej = qΦ(0) −
Ei (0)pi −
Qij .
6
∂x
i
0
i
i
j
Hierbei poliert
∂Ej (~r 0 ) ∂Ej (~r) =
.
∂x0i 0
∂xi 0
Def Quadrupolmoment
Z
Qij =
2
d3 r0 ρ(~r 0 )(3x0i x0j − r0 δij ).
Ist Tensor. Koordinatenfreie Def
Z
2
Q = d3 r0 ρ(~r 0 )(3~r 0 ⊗ ~r 0 − r0 1).
86
§69 Allgemeine Multipolentwicklung
In Jackson nur als Übung (vgl Fließbach, Kapitel 12).
Lokalisierte Ladungsverteilung ρ(~r 0 ) bei r0 ≈ 0.
Gesucht: Feld bei ~r mit r r0 .
Taylorreihe von 1/|~r − ~r 0 |.
Zum Training erst eindimensional:
Entwickle 1/|x − x0 | um x für |x0 | |x|.
Subtil: Entwicklung um x, nicht um x0 ≡ 0.
2
1
1
d 1 1
0
0
2 d 1
=
+
(x
−
x
−
x)
+
(x
−
x
−
x)
+ ...
|x − x0 | x
dx x 2
dx2 x
Beachte Term x − x0 − x = −x0 .
Dreidimensional. Hilfsrechnung.
Kartesische Koordinaten x1 , x2 , x3 statt x, y, z.
∂ 1
∂
xj
1
p
=
=
−
.
∂xj r
∂xj x21 + x22 + x23
r3
Also
∂ ∂ 1
∂ xj
r3 ∂xj /∂xi − 3rxi xj
=−
=−
∂xi ∂xj r
∂xi r3
r6
3xi xj − r2 δij
=
.
r5
Also (verzichte auf Tensorschreibweise; stattdessen kartesisch)
1
=
|~r − ~r 0 |
1
1 1X
∂ ∂ 1
= + (~r − ~r 0 − ~r) · ∇ +
(xi − x0i − xi )(xj − x0j − xj )
+ ...
r
r 2 i,j
∂xi ∂xj r
=
1
~r
1 X 3xi xj − r2 δij 0 0
+ 3 · ~r 0 +
xi xj + . . .
r r
2 i,j
r5
87
In Potentialformel einsetzen
Z
r 0)
3 0 ρ(~
4π0 Φ(~r) = d r
|~r − ~r 0 |
Z
Z
Z
1
~r
1 X 3xi xj − r2 δij
3 0
0
3 0 0
0
=
d r ρ(~r ) + 3 · d r ~r ρ(~r ) +
d3 r0 x0i x0j ρ(~r 0 ) + . . .
5
r
r
2 i,j
r
Z
q p~ · ~r 1 X 3xi xj − r2 δij
= + 3 +
d3 r0 x0i x0j ρ(~r 0 ) + . . .
5
r
r
2 i,j
r
q und p~ wie oben eingeführt.
Der letzte Term wird noch umgeformt. Es ist
X
X 2
2
2
2
2
2
r2 δij x0i x0j = r2 (x0 1 +x0 2 +x0 3 ) = r2 r0 = r0 (x21 +x22 +x23 ) =
r0 δij xi xj .
ij
ij
Also Symmetriebeziehung
X
X
2
(3xi xj − r2 δij )x0i x0j =
(3x0i x0j − r0 δij )xi xj .
ij
ij
Also
q p~ · ~r 1 X xi xj
4π0 Φ(~r) = + 3 +
r
r
2 i,j r5
Z
2
d3 r0 (3x0i x0j − r0 δij )ρ(~r 0 ) + . . .
Also
1
q p~ · ~r ~r · Q · ~r
Φ(~r) =
+ 3 +
+ ... ,
4π0 r
r
2r5
mit Quadrupoltensor
Z
Q(~r) =
2
d3 r0 (3~r 0 ⊗ ~r 0 − r0 1)ρ(~r 0 ).
Zwei Vorteile obiger Symmetrieumformung:
(1) In Glg für Φ taucht nur xi xj , kein δij auf.
(2) Tensor Q ist spurfrei (Übung).
Aber noch unschön: Ladungswolke in Nähe des Nullpunkts.
Kann jetzt (sonst konfuse Rechnung) verschoben werden,
1
q
p~ · (~r − ~r 0 ) 1 (~r − ~r 0 ) · Q · (~r − ~r 0 )
Φ(~r) =
+
+
+ ... .
4π0 |~r − ~r 0 |
|~r − ~r 0 |3
2
|~r − ~r 0 |5
88
Nun besser in q, p~, Q Int.variable r00 einführen.
Zusammenfassung: Potentialentwicklung nach Momenten:
q Ldg (Skalar),
p~ Dipolmoment (Vektor),
Q Quadrupolmoment (Tensor).
§70 Ladungsschicht
Betrachte Fläche mit Flächenelement ∆a.
Def Flächenladungdichte
∆q
.
∆a→0 ∆a
σ = lim
Lege Pillendose in die Fläche:
Zylinder mit Durchmesser infinit von 1. Ordnung,
... und Höhe infinit von 2. Ordnung.
~ und σ auf Boden und Deckel konstant.
E
Beitrag von Wänden vernachlässigbar.
Sei Deckel “2”, Boden “1”.
Gaußsches Gesetz
I
Z
1
~ =
d~a · E
d3 rρ(~r).
0 V
S
~2 − E
~ 1 ) · d~a.
Links: (E
Rechts:
1
0
Z
d3 rρ(~r) =
V
σda
q
=
.
0
0
Also mit d~a = da n̂
~2 − E
~ 1 ) · n̂ da = σ da,
(E
0
oder
~2 − E
~ 1 ) · n̂ = σ .
(E
0
~ durch Ladungsschicht:
Sprungbedingung für E
~
Unstetigkeit in Normalkomponente von E.
~ stetig ist.
Übung: zeige, daß Tangentialkomponente von E
Übung: Potentialformel für Flächendichte. Zeige, daß Potential überall
stetig (sprungfrei) ist.
89
§71 Dipolschicht
Betrachte beliebige Fläche S.
An jedem Flächenpunkt Dipol beliebiger Stärke (Ladungstrennung
d(~r 0 ) → 0).
Dipolachse = Flächennormale.
Alle Dipole gleiche Ausrichtung.
Sei σ(~r 0 ) Flächendichte der + (oder −) Ldgen.
Heißt Dipolschicht.
Potentialberechnung. Sei D = σd.
Weg 1: Flächenintegral über Einzeldipole: Übung.
Weg 2: Differenz der Potentiale der + und − Ladungsflächen.
!
Z
1
1
1
Φ(~r) =
da0 σ(~r 0 )
−
~
~
4π0 S
|~r − ~r 0 − d/2|
|~r − ~r 0 + d/2|
Z
1
1
=
da0 σ(~r 0 ) d~ · ∇0
4π0 S
|~r − ~r 0 |
Z
1
1
0
0
0
=
D(~r )d~a · ∇
4π0 S
|~r − ~r 0 |
Z
d~a 0 · (~r − ~r 0 )
1
D(~r 0 )
=
4π0 S
|~r − ~r 0 |3
Z
1
=−
D(~r 0 )dΩ.
4π0 S
Siehe Abb. 1.7 in Jackson für diesen Raumwinkel.
Also für D = const
DΩ
.
Φ=−
0 4π
Also Potential innerhalb einer geschlossenen Dipolschicht
Φ=−
D
.
0
Behauptung: Potentialsprung beim Durchqueren jeder Dipolschicht.
Auch von offenen!
Begründung: ~r sei in infinit Abstand von Doppelschicht.
Pillendose in Doppelschicht, ~r auf Mittelachse.
Gesamtpotential stammt von Ldgen in Pillendose und Rest.
90
Pillendose erscheint von ~r als Halbebene mit Raumwinkel 2π.
Beim Durchgang durch Pillendose: Raumwinkel 2π → −2π.
Also Potentialsprung −D/20 → D/20 beim Durchgang.
Raumwinkel der restlichen Doppelschicht stetig bei Durchgang.
Also Potentialsprung
D
Φ2 − Φ1 = .
0
Vergleiche mit Feldsprung bei Durchgang durch Ladungsschicht:
~2 − E
~ 1 ) · n̂ = σ .
(E
0
~ = −grad Φ und D = σd dieselbe Formel.
Ist wegen E
Details der Rechnung mit Pillendose in Jackson.
P&P nur knapp: Raumwinkel einer offenen Fläche springt um 4π
... bei Durchfahren der Fläche.
Zusammenfassung:
Sprung von En an Ladungsschicht.
Sprung von Φ an Dipolschicht.
Übung: zeige:
Stetiges Φ an Ladungsschicht.
Stetiges En = −∂Φ/∂n an Dipolschicht!
§72 Poisson- und Laplacegleichung
Bisher gezeigt
~ = ρ,
div E
0
~ = −grad Φ.
E
Also Poissongleichung
ρ
∆Φ = − .
0
∆ = div grad : Laplaceoperator.
Im ladungsfreien Raum gilt Laplacegleichung
∆Φ = 0.
So auch für Gravitationsfelder.
91
Übung: leite Poissonglg für Massenverteilung ab, wenn Newtonsches
Gravitationsgesetz gilt.
Für Punktldg bei ~r 0
Φ(~r) =
q
1
.
4π0 |~r − ~r 0 |
Ladungsdichte der Punktldg
ρ(~r) = qδ(~r − ~r 0 ).
Also
1
∆
= −4πδ(~r − ~r 0 ).
0
|~r − ~r |
Rein mathematische Glg.
Wurde in Vektoranalysis bewiesen.
§73 Greenscher Satz
Ist Konsequenz des Gaußschen Satzes
Z
I
3
~=
~
d r div A
d~a · A.
V
S
Setze
~ = Φ∇Ψ
A
mit beliebigen Skalarfeldern Φ, Ψ.
Es gilt
∇ · (Φ∇Ψ) = Φ∆Ψ + ∇Φ · ∇Ψ.
Nach Def Gradient ist
∂Ψ
.
∂n
Hier ∂/∂n Ableitung entlang Flächennormale n̂.
Also
~ = Φn̂ · ∇Ψ = Φ ∂Ψ .
n̂ · A
∂n
Einsetzen in Gaußschen Satz
Z
I
∂Ψ
d3 r(Φ∆Ψ + ∇Φ · ∇Ψ) =
daΦ .
∂n
V
S
n̂ · ∇Ψ =
92
Setze
~ 0 = Ψ∇Φ
A
mit denselben Φ, Ψ.
~ 0 gibt, mit obigen Umformungen
Gaußscher Satz für A
Z
I
∂Φ
3
d r(Ψ∆Φ + ∇Ψ · ∇Φ) = daΨ .
∂n
V
S
Abziehen
Z
V
∂Φ
∂Ψ
−Ψ
.
d r(Φ∆Ψ − Ψ∆Φ) =
da Φ
∂n
∂n
S
I
3
Heißt Greenscher Satz: reine Mathematik.
Beachte: kein d~a rechts.
§74 Potential aus Potentialrandbedingungen
Oben hergeleitet
1
Φ(~r) =
4π0
Z
ρ(~r 0 )
dr
.
|~r − ~r 0 |
3 0
V = IR3 .
In vielen praktischen Problemen Metall- oder Isolatorflächen.
Metalloberfläche = Äquipot.flächen.
Bestimme Φ in V aus Φ auf Randfläche ∂V und ρ in V .
Mache aus Poisson DGL mittels Greenschem Satz Integralglg.
Belasse Φ allgemein, und setze speziell
Ψ=
1
1
=
.
|~r − ~r 0 | R
Poissonglg
ρ
∆Φ = − .
0
plus rein mathematische Glg.
1
∆
= −4πδ(~r − ~r 0 ).
0
|~r − ~r |
93
Benenne im Greenschen Satz Int.variable d3 r, da um in d3 r0 , da0 .
I
Z
0
ρ(~
r
)
∂(1/R)
1
∂Φ
d3 r0 −4πΦ(~r 0 )δ(~r − ~r 0 ) +
=
da0 Φ
−
.
0
0
R
∂n
R
∂n
0
V
S
Liegt ~r innerhalb V , dann
Z
I
0
1
1
∂Φ
ρ(~
r
)
∂(1/R)
Φ(~r) =
−
−
. (74.1)
d3 r0
da0 Φ
0
4π0 V
|~r − ~r | 4π S
∂n0
R∂n0
Vergleiche mit bisherigem
1
Φ(~r) =
4π0
Z
V
ρ(~r 0 )
.
dr
|~r − ~r 0 |
3 0
Glg (74.1) geht darin über, wenn
(i) Fläche S ins Unendliche rückt und
(ii) el Feld auf S stärker als mit 1/R abfällt.
§75 Randwerte nach Dirichlet, Neumann und Cauchy
Sei ρ = 0 in ganz V .
Dann nach (74.1) Φ in V durch Φ und ∂Φ/∂n auf S bestimmt.
Vorgabe von Φ auf Flächen: Dirichlet-Randwertproblem.
Vorgabe von ∂Φ/∂n auf Flächen: Neumann-Randwertproblem.
Vorgabe von Φ und ∂Φ/∂n auf Flächen: Cauchy-Randwertproblem.
§76 Eindeutigkeit der Dirichlet oder Neumann Lösung
Subtil: Jackson zeigt in Abschnitt 1.9 (Details direkt von dort):
Für die Poissonglg:
Dirichlet- oder Neumann-Randwerte reichen für eindeutige Lsg aus.
Cauchy-Randwerte geben keine Lösung: zu viel am Rand gefordert.
Beweis: zeige mittels erster Greenscher Identität:
Lsg ist bei Verwendung von Dirichlet oder Neumann schon eindeutig.
Gibt man Dirichlet und Neumann-Randbdg vor:
∗ zu viel spezifiziert
∗ Dirichlet und Neumann unverträglich
→ Benutze in (74.1) entweder Dirichlet- oder Neumann-Randwerte.
All dies nochmal subtiler für offene Flächen.
Zusammenfassung: Elektrostatik =
94
Lsg der Poissonglg entweder mit Dirichet oder Neumann-Randbdg.
§77 Greensche Funktion der Poissonglg
1. Ansatz
Zentrale Technik der theoretischen Physik.
Erinnerung:
~ = ρ/0 ,
∇·E
~ = −∇Φ,
E
gibt Poissonglg
∆Φ(~r) = −ρ(~r)/0 .
Problem: muß für jedes ρ(~r) neu gelöst werden.
Löse stattdessen Greensfktproblem
∆G(~r − ~r 0 ) = −4πδ(~r − ~r 0 ).
(Ab sofort Konvention: −4π auf rechter Seite.)
Was hilft dies bei Lsg der allgemeinen
R Glg?
1
Integriere links und rechts über 4π0 d3 r0 ρ(~r 0 ),
Z
Z
1
1
ρ(~r)
3 0
0
0
d r ρ(~r )∆G(~r − ~r ) =
d3 r0 ρ(~r 0 )δ(~r − ~r 0 ) = −
.
4π0
4π0
0
R 3 0
1
Schiebe links 4π
d r ρ(~r 0 ) durch ∆r (unabhängige Variable r, r0 )
0
Z
ρ(~r)
1
d3 r0 ρ(~r 0 )G(~r − ~r 0 ) = −
∆
.
4π0
0
Vergleich mit Poissonglg gibt als deren allgemeine Lsg
Z
1
Φ(~r) =
d3 r0 ρ(~r 0 )G(~r − ~r 0 ).
4π0
D.h.: Potential Φ einer beliebigen Ladungsverteilung ρ:
aus einfacher Integration, wenn Greensfkt G bekannt.
2. Bestimmung von G
Sei zur Einfachheit ~r 0 = 0: wird am Ende wieder eingeführt.
95
Trick seit Fourier: suche nicht G, sondern deren Fouriertrafo g.
Z ∞
1
~
G(~r) =
d3 k g(~k)eik·~r .
3
(2π) −∞
Konventionen:
(1) √
sonst Fkt im Ortsraum kleingeschrieben, im Impulsraum groß.
(2) 2π oder 2π
(3) ±i~k · ~r.
Benutze Darstellung der δ-Fkt
Z ∞
1
~
δ(~r) =
d3 keik·~r .
3
(2π) −∞
Einsetzen in ∆G = −4πδ
Z ∞
Z ∞
1
1
~
3
3 i~k·~r
~k)eik·~r = −
d
kg(
d
ke .
∆
(2π)3 −∞
2π 2 −∞
Also (Ortogonalität der harmonischen Fkten...)
Z ∞
Z
Z ∞
~
~
3
i
k·~
r
3
2
i
k·~
r
d kg(~k)∆e =
d kg(~k)(−k )e = −4π
−∞
mit k 2 = ~k · ~k. Also
Somit
−∞
∞
−∞
4π
g(~k) = 2 .
k
Z ∞
1
1 ~
G(~r) = 2
d3 k 2 eik·~r .
2π −∞
k
Da Skalar k 2 (wie sonst r2 ) auftaucht, empfehlen sich:
Kugelkoord im ~k-Raum.
Nenne sie (abstrakt) k, θ, φ.
Volumenelement
d3 k → k 2 sin θdkdθdφ.
Lege Polarachse des Kugelkoord.systems in ~r-Richtung.
Dann ist ~k · ~r = kr cos θ und
Z ∞
Z
Z 2π
1
k2 π
G(~r) = 2
dk 2
dθ sin θeikr cos θ
dφ
2π 0
k 0
0
Z
Z π
1 ∞
=
dk
dθ sin θeikr cos θ .
π 0
0
96
~
d3 keik·~r ,
Sei x = cos θ, also dx/dθ = − sin θ, oder dθ sin θ = −dx,
Z
Z 1
1 ∞
G(~r) =
dk
dxeikrx
π 0
−1
Z ∞
ikr
1
e − e−ikr
=
dk
π 0
ikr
Z ∞
sin(kr)
2
d(kr)
=
πr 0
kr
Z ∞
2
sin y
=
dy
πr 0
y
1
= .
r
Dabei benutzt: eikr = cos(kr) + i sin(kr); und Integraltafel.
Jetzt wieder ~r → ~r − ~r 0 . Ergebnis
∆
1
= −4πδ(~r − ~r 0 ).
0
|~r − ~r |
Zum zweitenmal hergeleitet.
Zusammenfassung: Greensfkt der Poissonglg lautet
G(~r − ~r 0 ) =
1
.
|~r − ~r 0 |
§78 Nichteindeutigkeit der Greensfkt
Neben
1
|~r−~r 0 |
erfüllen andere Fkten G die Glg
∆G(~r − ~r 0 ) = −4πδ(~r − ~r 0 ).
Nämlich mit Ansatz
G(~r − ~r 0 ) =
1
+ F (~r − ~r 0 )
0
|~r − ~r |
folgt trivial
∆F (~r, ~r 0 ) = 0.
Alle F die dies erfüllen können zur Greensfkt addiert werden.
1
Benutze G(~r, ~r 0 ) statt |~r−~
r 0 | im Integral (74.1)
97
Wähle F (~r, ~r 0 ) auf Randfläche so, daß Dirichlet oder Neumann.
Dank F tritt obige Inkonsistenz in (74.1) nicht mehr auf.
Zusammenfassung:
Elektrostatik als Sommerfeldsche Summationsaufgabe:
Lsg der Poissonglg mit Greenschem Int.satz oder Greenscher Fkt.
§79 Elektrostatische Energie
Arbeit, um Teilchen i von ∞ nach ~ri zu bringen
...im el Potential anderer Teilchen
qi X
qj
W i = qi Φi =
.
4π0
|~ri − ~rj |
j6=i
Heißt auch potentielle Energie.
Bringe i-te Ldg ins Feld von vorhandenen i − 1 Ldgen, usw:
Gesamte potentielle Energie von n Teilchen ist
n
1 X X q i qj
W =
4π0 i=1 j<i |~ri − ~rj |
n
1 X X q i qj
.
=
8π0 i=1
|~ri − ~rj |
j6=i
Kontinuierliche Ladungsverteilungen
Z
Z
r)ρ(~r 0 )
1
3
3 0 ρ(~
W =
dr dr
.
8π0
|~r − ~r 0 |
Ziehe die unendliche Selbstenergie von ~r = ~r 0 einfach ab.
Übung: berechne Selbstenergie einer Punktldg.
Wie bekannt
Z
1
ρ(~r 0 )
Φ(~r) =
d3 r0
.
4π0
|~r − ~r 0 |
Also
Z
1
W =
d3 rΦ(~r)ρ(~r).
2
Benutze Poissonglg.
ρ
∆Φ = − .
0
98
Also
Z
0
W =−
d3 rΦ(~r)∆Φ(~r).
2
Partielle Integration (Übung)
Z
0
d3 r∇Φ(~r) · ∇Φ(~r).
W =
2
Dabei Φ(∞) = 0 gesetzt.
~ = −∇Φ, also
El Feld E
Z
0
~ r) · E(~
~ r).
W =
d3 rE(~
2
Energie des el Feldes: Feld wird zu physikalischer Größe.
Energiedichte [J/m3 ]
0 ~
e(~r) = |E(~
r)|2 .
2
§80 Kapazität
Gegeben n Leiter mit Potentialen Φi , Ldgen qi .
Empirisch: Ldgen und Potentiale hängen linear voneinander ab.
Def Kapazitäten Cij :
n
X
qi =
Cij Φj ,
i = 1, . . . , n.
j=1
Potentielle Energie (vi Volumen des i-ten Leiters)
Z
1
W =
d3 rΦ(~r)ρ(~r)
2
n Z
1X
=
d3 ri Φ(~ri )ρ(~ri )
2 i=1 vi
Z
n
1X
=
Φi
d3 ri ρ(~ri )
2 i=1
vi
n
1X
=
Φi qi
2 i=1
n
n
1 XX
=
Cij Φi Φj .
2 i=1 j=1
99
100
KAP 4: ELEKTROSTATIK: RANDWERTPROBLEME
§81 Problem
Lsg von DGLen bei gegebenen Randbdgen:
Leiter und Dielektrika im el Feld:
Ldgen verteilen sich so um, daß Randbedgen erfüllt.
Theorie der elliptischen partiellen DGLen. Methoden:
(1) Spiegelldgen
(2) orthogonale Funktionen
(3) Funktionentheorie, konforme Abb (nur 2d)
§82 Methode der Spiegelladungen
Anwendbar bei Problemen mit hoher Symmetrie.
Ist Lsg.trick der Poissonglg in Gegenwart von Äquipot.flächen.
Aufgabe: Pkt.ldg vor geschlossener Äquipot.fläche. Bestimme Φ.
Die Fläche kann auch erst bei ∞ schließen: Ebene.
Idee von Kelvin: Erfinde Ldgen im Außenraum der Fläche so daß:
Feld der Ldgen Innen+Außenraum =
Feld Ldg Innen in Gegenwart Äquipot.flächen.
Ldg q vor Wand (Randbdg Φ = 0) ↔ Ldgen q, −q ohne Wand.
§83 Spiegelldgen beim rechten Winkel
B
|
-x | x
(b) |
|
A’........O________A
.
.
x . -x
(cd) . (a)
.
B’
101
Gegeben zwei leitende Halbebenen OA und OB.
Stoßen im rechten Winkel aneinander.
Gegeben Ldg x irgendwo in Quadrant OAB.
(a) Spiegelung an OA, Spiegelldg −x:
stellt Randbdg auf OA sicher.
(b) Spiegelung an OB, Spiegelldg −x:
stellt sicher, daß OB Äquipot.fläche.
Aber −x von (a) stört diese Randbgd.
(c) Trick: spiegle −x von (a) an OB 0 : Spiegelldg x.
Damit (b) erledigt: OB ist Äquipot.fläche.
(d) Zurück zu (a): Äquipot OA zerstört durch −x von (b).
Wie in (c): spiegle −x von (b) an OA0 : Spiegelldg x.
Elementargeometrie: dieses x am selben Ort wie x aus c.
Also 3 Spiegelldgen nötig, mit Gesamtldg −x.
§84 Influenz: Punktladung vor geerdeter Metallkugel
Metallkugel mit Radius R, Mittelpunkt im Koord.ursprung.
Erdung = leitende Verbindung mit ∞ ferner Oberfläche mit V = 0.
oEdA (Kugelsymmetrie): Punktldg q auf x-Achse, in (X, 0, 0).
Sei X > R. Nur relative Längen x = X/R.
Kelvin (1847) findet: eine Spiegelldg reicht.
Aus Symmetriegründen muß sie auf x-Achse liegen: (x0 , 0, 0).
Muß sein x0 < 1. In diesem Bereich will man Feld nicht kennen.
Potential der echten plus Spiegelldg (~r = rr̂ usw.)
q
q0
Φ(~r) =
+
.
4π0 R|rr̂ − xx̂| 4π0 R|rr̂ − x0 x̂|
Randbdg auf Kugel
Φ(|~r| = 1) = 0.
102
Also nach Multiplikation mit 4π0 R
q0
q
+
|r̂ − xx̂| |r̂ − x0 x̂|
q
q0
=p
+p
1 − 2x(r̂ · x̂) + x2
1 − 2x0 (r̂ · x̂) + x0 2
q
q 0 /x0
=p
.
+q
(r̂·x̂)
1
1 − 2x(r̂ · x̂) + x2
1 − 2 x0 + x0 2
0=
Glg ist erfüllt wenn
q0
= −q,
x0
x0 =
1
.
x
Also ist Potential, das Randbedg auf Kugel erfüllt
1
1
q
−
.
Φ(~r) =
4π0 R |rr̂ − xx̂| |xrr̂ − x̂|
Gaußsches Gesetz für Pillendose in Kugelfläche
~2 − E
~ 1 ) · r̂ = σ .
(E
0
Hier “2” Außenseite, “1” Innenseite der Kugel. Also
σ = 0 (Er,2 − Er,1 ),
~
mit Er Radialkomponente von E.
~ 1 = 0.
Kugelinneres feldfrei, E
Nach Def Potential
σ = 0 Er,2
0 ∂Φ =−
.
R ∂r r=1
Kurze Rechnung gibt, mit s = 1/r und r̂ · x̂ = cos γ,
q
s − s3
σ=−
.
4πR2 (1 − 2s cos γ + s2 )3/2
Auf Kugeloberfläche entsteht Gegenldg zu q.
Heißt Influenzldg (englisch induced charge).
Ist konzentriert auf Verbindungslinie Kugelmittelpunkt mit q.
103
(84.1)
Ldg so verteilt, daß Feldlinien = Kraftlinien ⊥ Kugel:
Sonst Ldgsverschiebung in Kugelfläche.
Gesamtldg auf Kugel aus Integration von (84.1) ist q 0 (nicht q).
Übung: zeige, daß dies auch aus Gaußschem Gesetz folgt.
q wird von Kugel angezogen und umgekehrt.
Kraft aus Coulombschem Gesetz mit q und q 0 .
Deutung:
e− kann Metalloberfläche trotz Abstoßung anderer e− nicht verlassen.
Verläßt e− Metall, entsteht dort anziehende Influenzldg.
§85 Influenz: Punktladung vor isolierter Metallkugel
Welches Feld, wenn beliebige Ldg q0 auf isolierter Kugel?
Isolierung im Gegensatz zur Erdung:
Kugelldg q0 ist vor und nach Influenz dieselbe.
Trick: lineare Superposition von Potentialen.
Schritt 1: Erdung der Kugel.
Nach vorigem § induziert Ldg q dann q 0 .
Alle Feldlinien senkrecht auf Kugel, keine Kräfte in Fläche.
Schritt 2: Unterbreche Erdung, bringe von außen Ldg q0 − q 0 auf.
Beachte |q0 − q 0 | > |q0 |.
Kugel hat und hatte Ldg q0 .
Da keine Kräfte in Fläche wirken, verteilt sich Ldg homogen:
Die von q stammende Kraft ist durch q 0 kompensiert.
Bekannt: homogene Sphärenldg identisch Punktldg im Ursprung.
q
1
1
q0 + (q/x)
Φ(~r) =
−
+
.
4π0 R |rr̂ − xx̂| |xrr̂ − x̂|
r
Kraft aus Coulombschen Gesetz mit 3 Punktldgen q, q 0 , q0 − q 0 .
Ergebnis: für große Abstände Coulombabstoßung zwischen q und q0 .
In Kugelnähe überwiegt die nahe q konzentrierte Influenzldg.
q, q 0 haben umgekehrtes Vorzeichen: Anziehung.
§86 Leitende Kugel im homogenen el Feld
Jackson Abschnitt 2.5.
§87 Dielektrische Kugel im homogenen el Feld
104
Sommerfeld S. 63.
§88 Fourierreihen
Spiegelldgen war erste Methode zur Lsg von Randwertproblemen.
Zweite Methode: Entwicklung nach orthogonalen Funktionen.
Wichtigstes Beispiel: Fourierreihen.
Funktion f (x) sei auf Intervall [−π, π] stetig.
Außerhalb des Intervalls periodische Wiederholung.
Satz:
∞
X
1
f (x) = a0 +
ak cos(kx) + bk sin(kx),
2
k=1
mit
Z
1 π
ak =
f (x) cos kx dx,
π −π
Z
1 π
bk =
f (x) sin kx dx,
π −π
k = 0, 1, 2, . . .
k = 1, 2, . . .
§89 Fourierintegrale
Nichtperiodische stetige Fkt f falle für x → ±∞ so ab, daß
Z ∞
|f (x)|dx < ∞.
−∞
Heißt absolut integrabel.
Satz: Dann gilt für alle x ∈ IR
Z ∞
f (x) =
dk a(k) cos kx + b(k) sin kx ,
0
mit
Z
1 ∞ 0
dx f (x0 ) cos kx0 ,
a(k) =
π −∞
Z
1 ∞ 0
b(k) =
dx f (x0 ) sin kx0 .
π −∞
§90 Fouriertrafo
105
Kleine Rechnung gibt folgenden Satz:
Sei f (x) stetig, nichtperiodisch, absolut integrabel.
Dann existiert Fouriertransformierte F (k)
Z ∞
1
F (k) = √
dx f (x)eikx ,
2π −∞
und es gilt
1
f (x) = √
2π
Z
∞
0
dk 0 F (k 0 )e−ik x .
−∞
Hierbei Eulersche Formel (a ∈ IR und i2 = −1)
eia = cos a + i sin a.
Mit bekanntem
1
2π
Z
∞
dk eikx = δ(x)
−∞
0
folgt Orthogonalitätsrelation der Fkten eikx , eikx
Z ∞
1
0
dk eik(x−x ) = δ(x − x0 ).
2π −∞
§91 El Feld an Leiterkante
Gegeben zwei leitende Halbebenen.
Berühren sich unter Winkel β entlang Randgerade.
Gemeinsames Potential V .
Gesucht: Potential, Feld, Ldg nahe Randgerade.
Zylinderkoord r, φ, z.
Lege z entlang Randgerade:
wegen Symmetrie hängt nichts von z ab: weglassen.
~ steht senkrecht zur Kante.
E
Laplacegleichung in 2d-Polarkoordinaten r, φ
1 ∂ r∂Φ
1 ∂ 2Φ
+ 2 2 = 0.
r ∂r ∂r
r ∂φ
Trick: Separationsansatz
Φ(r, φ) = Φ1 (r)Φ2 (φ).
106
Einsetzen und mit r2 /Φ multiplizieren
dΦ1
1 d2 Φ2
r d
r
+
= 0.
Φ1 dr
dr
Φ2 dφ2
Beachte: vollständige statt partielle Differentiale.
Erster Summand hängt nur von r, zweiter nur von φ ab,
S1 (r) + S2 (φ) = 0.
Damit dies für alle r, φ gilt, muß
S1 (r) = c2 ,
S2 (φ) = −c2 ,
∀r, φ
mit Konstante c ∈ IR.
Lsgen der DGLen für c = 0
Φ1 (r) = a0 + b0 ln r,
Φ2 (φ) = A0 + B0 φ.
Lsgen für c 6= 0 (oEdA c > 0)
Φ1 (r) = ac rc + bc r−c ,
Φ2 (φ) = Ac cos cφ + Bc sin cφ.
Randbdg ∀r > 0 (Kippwinkel β)
Φ1 (r)Φ2 (0) = Φ1 (r)Φ2 (β) ≡ Φ0 .
Also b0 = B0 = 0 und a0 A0 = Φ0 .
Auf der anderen Halbebene:
(i) bc = 0 damit r = 0 zugelassen ist,
(ii) Ac = 0 damit Φ2 (0) = 0,
(iii) cβ = kπ mit k = 1, 2, . . ., damit sin cβ = 0 und Φ2 (β) = 0.
DGLen für Φ1 und Φ2 sind linear:
Allgemeine Lösung ist Superposition (Addition) der Einzel-Lsgen
Φ(r, φ) = Φ0 +
∞
X
ãk rkπ/β sin(kπφ/β),
k=1
mit
ãk ≡ a{c=kπ/β} .
107
In Kantennähe r → 0
rπ/β r2π/β r3π/β . . .
Also für r → 0
Φ(r, φ) = Φ0 + ã1 rπ/β sin(πφ/β).
Damit el Feld für r → 0
πã1 πβ −1
∂Φ
=−
r
sin(πφ/β),
∂r
β
∂Φ
πã1 πβ −1
=−
r
Eφ (r, φ) = −
cos(πφ/β).
r∂φ
β
Er (r, φ) = −
Gaußsches Gesetz an Spitze von Tortenstück gibt:
Flächenladungsdichte bei φ = 0 und φ = β ist für r → 0
σ(r) = 0 Eφ (r, 0) = −
0 πã1 πβ −1
r .
β
π
Also E und σ proportional zu r β −1 an Kante.
(i) β < π: Exponent von r positiv:
E, σ → 0 an Innenkante von spitzem und stumpfem Winkel.
→ Innenkanten sind feld- und ladungsfrei.
(ii) β > π: Exponent von r negativ:
E, σ → ∞ an Außenkante von spitzem und stumpfem Winkel.
Z.B. an Außenseite eines rechten Winkels sind E, σ ∝ r−1/3 .
§92 Legendrefkt
Zweitwichtigster Typ spezieller Fkt nach sin, cos.
Das folgende so auch beim Wasserstoffatom mit Schrödingerglg.
Laplaceglg in Kugelkoord
1 ∂2
1
∂
∂Φ
1
∂ 2Φ
(rΦ) + 2
sin θ
+ 2 2
= 0.
r ∂r2
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ2
Wieder Separationsansatz
Φ(r, θ, φ) =
1
U (r)P (θ)Q(φ).
r
108
(92.1)
Einsetzen und mit r sin2 θ/Φ multiplizieren
2 2
1
d
dP
1 d2 Q
r dU
2
sin θ
+
sin θ
+
= 0.
U dr2
P sin θ dθ
dθ
Q dφ2
(92.2)
Nur letzter Term hängt von φ ab.
Muß also konstant sein: −m2 . Also
d2 Q
+ m2 Q = 0.
2
dφ
Ist Oszillatorglg mit Lsg
Q = e±imφ .
(92.3)
Damit Q(0) = Q(2π) (Kugelkoord, einmal rum), muß m ∈ IN.
Jetzt eckige Klammer in (92.2):
Erster Term hängt nur von r ab, zweiter nur von θ.
Damit sie sich immer kompensieren, müssen beide const sein.
Setze ersten Term = l(l + 1). Also
d2 U l(l + 1)
−
U = 0.
dr2
r2
Hat Lsg (mit l beliebig)
U = Arl+1 + Br−l .
Zweiter Term = −l(l + 1).
Zweiter Term soll auch dritten (−m2 ) kompensieren.
Gibt insgesamt
1 d
dP
m2
sin θ
+ l(l + 1)P −
P = 0.
sin θ dθ
dθ
sin2 θ
Beachte Jonglieren mit sin θ.
Variablensubstitution: sei
x = cos θ.
Da θ von Nord- zu Südpol: −1 ≤ x ≤ 1.
Damit wird Glg
d
m2
2 dP
(1 − x )
+ l(l + 1) −
P = 0.
dx
dx
1 − x2
109
(92.4)
(92.5)
Heißt verallgemeinerte Legendre-Glg.
Lsg sind assoziierte Legendre-Fkten.
§93 Azimutalsymmetrie: Legendrepolynome
Vereinfachung: Azimutalsymmetrie: alle Fkten unabhängig von φ.
d
= 0.
dφ
Obige Prozedur wiederholen.
Oder einfacher m = 0 in (92.3).
Gibt Legendresche DGL
d
2 dP
(1 − x )
+ l(l + 1)P = 0.
dx
dx
Schreibe gesuchte Lsg als Potenzreihe
P (x) =
∞
X
aj x j .
(93.1)
j=0
Einsetzen gibt (Übung: nachrechnen)
aj+2 =
j(j + 1) − l(l + 1)
aj ,
(j + 1)(j + 2)
j = 0, 2, 4, . . .
Alle ungeraden Potenzen a1 x, a3 x3 , . . . bleiben unbestimmt.
Versuche alternativen Ansatz
P (x) =
∞
X
aj x j
j=1
Einsetzen gibt wieder (93.2).
(Jackson hier etwas umständlich.)
Problem: P divergiert bei x = ±1, soll aber nicht.
Fordere also: (93.1) soll nur endlich viele Summanden haben.
Also aj = 0 ab irgendeinem j.
Nach (93.2) nur möglich, wenn
l ∈ IN.
110
(93.2)
Def: Pl ist P , mit höchster Potenz xl .
Jedes Pl erfüllt Legendresche DGL.
Legendrepolynome in Literatur auf Pl (1) = 1 normiert.
Rechnung gibt als erste Pl
P0 (x) = 1,
P1 (x) = x,
1
P2 (x) = (3x2 − 1),
2
1
P3 (x) = (5x3 − 3x),
2
1
P4 (x) = (35x4 − 30x2 + 3),
8
1
P5 (x) = (63x5 − 70x3 + 15x),
8
1
P6 (x) = (231x6 − 315x4 + 105x2 − 5),
16
1
P7 (x) = (429x7 − 693x5 + 315x3 − 35x).
16
Es gilt
l
1 dl 2
x
−
1
.
Pl (x) = l
2 l! dxl
Erfüllen Orthogonalitätsrelation (k, l ∈ IN)
Z 1
2
dxPk (x)Pl (x) =
δkl .
k+l+1
−1
Sei f (x) : [−1, 1] → IR zweimal stetig differenzierbar.
Dann konvergiert die Legendrereihen-Entwicklung
f (x) =
∞
X
Al Pl (x)
l=0
absolut und gleichmäßig, mit
2l + 1
Al =
2
Z
1
dx0 f (x0 )Pl (x0 ).
−1
Weiteres Training in Greiner:
Betrachte Taylorreihenentwicklung von f (x) in Potenzen x, x2 , x3 , . . ..
111
Arrangiere Potenzen zu Polynomen P0 , P1 , P2 , . . ..
Viele Relationen zwischen Pl−1 , Pl , Pl+1 .
Zusammenfassung:
Laplaceglg in Kugelkoord mit Azimutalsymmetrie
∆Φ(r, θ) = 0.
Faktorisiere Lsg (wegen 1/r siehe (92.1))
1
U (r)P (cos θ).
r
(x = cos θ erwies sich als geeignete Variable.)
Dann gilt nach (92.4)
Φ(r, θ) =
∞
X
Al rl + Bl r−(l+1) Pl (cos θ).
Φ(r, θ) =
l=0
Al , Bl durch Randbedingungen festgelegt.
Beispiele in Griffiths, chap. 3.
§94 Legendreentwicklung des Punktquellenpotentials
Wichtige Anwendung:
Entwickle Punktquellen-Potential
Φ(~r) =
1
|~r − ~r 0 |
nach Legendrepolynomen.
Drehe Koord.system so, daß Ldg auf z-Achse liegt:
Also ~r 0 auf z-Achse.
Dann Potential auf jedem Ring um z-Achse konstant,
Φ(r, θ) =
1
|~r − r0 ẑ|
(Auch Schreibweise z 0 = r0 möglich, aber unüblich.)
Sei θ = 0: Punkt ~r auch auf z-Achse.
Da Pl (cos θ) = Pl (1) = 1 nach Normierung, ist
∞
X
Φ(r, 0) =
Al rl + Bl r−(l+1) =
l=0
112
1
.
|r − r0 |
Taylorreihenentwicklung für r < r0
∞
∞
l=0
l=0
1
1 X r l X
1
Al r l .
= 0
= 0
=
0
0
0
|r − r | r (1 − r/r ) r
r
Also
1
Al =
Also
r0 l+1
,
Bl = 0.
∞
X
rl
Φ(r, θ) =
P (cos θ)
0 l+1 l
r
l=0
(r < r0 ).
Für r > r0
∞ l
∞
X
1
1 X r0
1
=
=
=
Bl r−(l+1) .
0
0
|r − r | r(1 − r /r) r
r
l=0
l=0
Also
l
Bl = r0 ,
Also
Al = 0.
∞
X
r0l
Pl (cos θ)
Φ(r, θ) =
rl+1
(r > r0 ).
l=0
Mit ~r = rr̂ und cos θ = r̂ · ẑ,
∞
X min(r, r0 )l
1
=
Pl (r̂ · ẑ).
|rr̂ − r0 ẑ|
max(r, r0 )l+1
l=0
So kam Legendre (1784) auf seine Polynome.
NB: wenn ~r 0 nicht auf z-Achse:
∞
X min(r, r0 )l
1
=
Pl (cos θ),
|~r − ~r 0 |
max(r, r0 )l+1
l=0
mit cos θ = r̂ · r̂0 .
§95 Erzeugende Fkt der Legendrepolynome
Legendrepolynome nochmals aus anderer Perspektive:
nehme letzte Glg als Startpkt (Becker-Sauter).
Merkregel vorab:
113
Verwende Legendrepolynome bei Kugelproblemen mit Azimutalsymmetrie.
Coulombpotential einer Punktldg
1
q
4π0 |~r − ~r 0 |
1
q
√
.
=
4π0 r2 − 2rr0 cos θ + r02
Φ(~r) =
Ansatz für konvergente Potenzreihe
∞
q 1 X r l
Φ(~r) =
Pl (cos θ),
4π0 r0
r0
l=0
∞ 0 l
X
q 1
r
Φ(~r) =
Pl (cos θ),
4π0 r
r
für r < r0 ,
für r > r0 .
l=0
Beachte ∼ rl vs ∼ 1/rl+1 in den beiden Fällen..
Damit sind Legendrepolynome definiert durch (r = 1, r0 = t, cos θ = x)
∞
X
1
=
tl Pl (x),
F (x, t) ≡ √
2
1 − 2xt + t
l=0
|t| < 1.
F (x, t) heißt erzeugende Fkt.
Alle Eigenschaften der Pl folgen aus F .
Z.B. DGL für die Pl aus ∂F/∂x (Übung)
(1 − x2 )Pl00 (x) − 2xPl0 (x) + l(l + 1)Pl (x) = 0.
Mit x = cos θ erhält man
dP
(x)
d
l
(1 − x2 )Pl00 (x) − 2xPl0 (x) =
(1 − x2 )
dx
dx
d
dP
(cos
θ)
l
=
sin2 θ
d cos θ
d cos θ
"
#
−1
−1
d cos θ
d
d
cos
θ
dP
(cos
θ)
l
=
sin2 θ
dθ
dθ
dθ
dθ
1 d
dPl
=−
− sin θ
.
sin θ dθ
dθ
114
Also erfüllen die Pl die DGL
dPl (cos θ)
1 d
sin θ
+ l(l + 1)Pl (cos θ) = 0.
sin θ dθ
dθ
Dies in (92.5) als alternativer Start für Legendrepolynome (m = 0).
Der θ-Term ist genau der vom ∆-Operator in Kugelkoord.
Durch Faktorisierungsansatz
Φ(r, θ) =
1
U (r)P (cos θ)
r
der gesuchten Lsg der Laplaceglg
∆Φ(r, θ) = 0
ergibt Rechnung wie früher
∞
X
Al rl + Bl r−(l+1) Pl (cos θ).
Φ(r, θ) =
l=0
Randbdgen:
Soll Lsg bis r → ∞ reichen, wo Φ = 0, dann Al = 0 ∀l.
Soll Lsg bis r = 0 reichen und liegt dort keine Pktldg:
→ Φ(0) < ∞ → Bl = 0 ∀l.
§96 El Feld an einer Leiterspitze
Leiternadel mit Spitze nach oben.
Azimutalsymmetrie, aber:
Nur Bereich 0 ≤ θ ≤ β außerhalb Nadel: Randwertproblem.
Dabei β > π/2. Also hat cos θ beide Vorzeichen.
Vermeide dies durch neue Variable
1
y = (1 − cos θ).
2
Dann 0 ≤ y < 1.
Legendre-Glg für x = cos θ war
d
2 dP
(1 − x )
+ l(l + 1)P = 0.
dx
dx
115
Mit y = (1 − x)/2 ist
dP
dy dP
1 dP
=
=−
.
dx
dx dy
2 dy
Also
dP
d
y(1 − y)
+ l(l + 1)P = 0.
dy
dy
Potenzreihenansatz
∞
X
P (y) =
aj y j .
j=0
Einsetzen (Übung) gibt
aj+1 =
(j − l)(j + l + 1)
aj
(j + 1)2
Für y = 0: P (0) = a0 ≡ 1.
Auch für alle y < 1 Konvergenz.
Also muß l nicht mehr ganzzahlig sein:
Unendliche Reihe (96.1) erlaubt:
Legendre-Fkten der ersten Art und Ordnung l.
Für l ∈ IN stimmen sie mit bisherigen Legendre-Fkten überein.
Es besteht Zusammenhang mit hypergeometrischen Fkten.
Lsg für Potential in der Nadelspitze
Arl Pl (y).
Fordere l > 0 damit Potential in Spitze r = 0 endlich.
Randbdg auf Nadelkegel:
Pl ([1 − cos β]/2) = 0.
Bestimme nichtganzzahlige l, so daß Pl diese Nullstelle hat.
Es gibt ∞ viele solcher l.
Interessant nur Verhalten unmittelbar in Spitzennähe.
Finde also kleinstes l mit der geforderten Nullstelle.
Ergebnis für lange, spitze Nadel (Blitzableiter)
lim E =
β→0
116
const
.
r
(96.1)
Also sehr große Felder an Spitze r = 0.
Vollständig durchgerechnet von Hall (1949).
§97 Assoziierte Legendre-Fkten und Sphärisch Harmonische
Treten auf, wenn keine Azimutalsymmetrie.
Assoziierte Legendre-Fkt definiert durch
Plm (x)
m
2 m/2
= (−1) (1 − x )
dm
Pl (x).
dxm
Kleine Rechnung mit Pl gibt
Plm (x)
l+m
(−1)m
2 m/2 d
= l (1 − x )
(x2 − 1)l .
l+m
2 l!
dx
Daraus Kugelflächenfunktionen
s
2l + 1 (l − m)! m
Ylm (θ, φ) =
Pl (cos θ)eimφ .
4π (l + m)!
Sind orthonormal
Z 2π Z
dφ
0
π
dθ sin θ Yl∗0 m0 (θ, φ)Ylm (θ, φ) = δl0 l0 δm0 m .
0
Hierbei Y ∗ : komplex konjugiert.
Satz: beliebige Fkt g(θ, φ) läßt sich nach Y entwickeln
g(θ, φ) =
∞ X
l
X
Alm Ylm (θ, φ).
l=0 m=−l
Hierbei
Z
Alm =
2π
Z
dφ
0
θ
∗
dθ sin θ Ylm
(θ, φ)g(θ, φ).
0
§98 Maxwellsche Kugelfkten
Das folgende zeigt zwei interessante Zusammenhänge:
(1) der Multipole untereinander
(2) der sphärisch harmonischen Fkten mit den Multipolen
Literatur: Becker & Sauter Kap 1.8. Schwinger Kap 20 und 22.
117
1. Dipol
d~ sei wieder Vektor von Ldg −q im Pkt Q0 nach q in Q.
Statt mit ~r, ~r 0 hier mit Pkten P, Q, Q0 .
Pkt.potentiale in P von Ldgen q und −q sind:
Φ± = ±q/4π0 s, mit s = P Q bzw P Q0 .
Gesamtpotential in P ist
Φ+ (Q) + Φ− (Q0 ) = Φ+ (Q) − Φ+ (Q0 )
= Q~0 Q · ∇0 Φ+ (Q)
= d~ · ∇0 Φ+ (Q).
Warum ∇0 , nicht ∇?: Ldgs.koord ist ~r 0 , nicht ~r.
Mit Ortsvektoren geschrieben
1
4π0 |~r − ~r 0 |
1
= d~ · ∇0
4π0 |~r 0 − ~r|
(~r 0 − ~r)
~
= −d ·
4π0 |~r 0 − ~r|3
d~ · (~r − ~r 0 )
=
.
4π0 |~r − ~r 0 |3
Φ(~r) = d~ · ∇0
Wie bekannt.
Dieses Potential erfüllt Laplaceglg, weil jedes Pkt.potential dies tut.
2. Maxwellsche Multipolentwicklung
Maxwells Idee: Dipol aus versetzten Pkt.ldgen.
Quadrupol aus versetzten Dipolen.
Oktupol aus versetzten Quadrupolen.
“Versetzung” bedeutet je d~ · ∇0 = −d~ · ∇ des Vorgängerpotentials.
Nenne Pkt.ldgs.pot Φ0 . Also Dipol
Φ1 (~r) = −d~1 · ∇Φ0 (~r),
Quadrupol
Φ2 (~r) = (−d~2 · ∇) ⊗ (−d~1 · ∇)Φ0 (~r),
118
Oktupol
Φ3 (~r) = (−d~3 · ∇) ⊗ (−d~2 · ∇) ⊗ (−d~1 · ∇)Φ0 (~r),
usw.
3. Zusammenhang mit sphärisch Harmonischen
Def Maxwellsche Kugelfkten Yl :
sind bis auf Vorfaktor Potential des 2l Pols im Ursprung ~r 0 = 0.
(−1)l rl+1 ˆ
1
(dl · ∇) ⊗ . . . ⊗ (dˆ1 · ∇) .
Yl =
l!
r
Übung: wieviele Argumente hat Yl ?
Entwickle die dˆi nach kartesischen Basisvektoren.
Man findet: es gibt nur 2l + 1 linear unabhängige Yl .
Man nennt diese Yl dann Ylm , mit m = −l, . . . , l.
Dann verbleibt als Argument nur ~r.
Alle Information über dˆi in m (und l).
Fundamentalglg
Ylm (~r) = rl Ylm (θ, φ).
Links: Maxwellsche Kugelfkten.
Rechts: sphärische Harmonische aus komplizierter DGL oben.
§99 Besselfunktionen
Laplace-Glg in Zylinderkoord (r, φ, z)
∂ 2 Φ 1 ∂Φ
1 ∂ 2Φ ∂ 2Φ
+
+ 2 2 + 2 = 0.
∂r2
r ∂r
r ∂φ
∂z
Separationsansatz
Φ(r, φ, z) = U (r)Q(φ)ζ(z).
Führt auf 3 gewöhnliche DGL
ζ 00 − k 2 ζ = 0,
Q00 + ν 2 Q = 0,
2
1
ν
U 00 + U 0 + k 2 − 2 U = 0.
r
r
119
Hierbei Strich: Ableitung nach jeweiligem Argument r, φ, z.
Lsg der ersten 2 Glgen trivial
ζ(z) = e±kz ,
Q(φ) = e±iνφ .
Wegen Q(0) = Q(2π) muß ν ∈ IN.
Dagegen k ∈ IR beliebig.
Variablentrafo x = kr gibt für Radialglg
1 0
ν2
00
U + U + 1 − 2 U = 0,
x
x
mit U 0 = dU/dx jetzt.
Heißt Besselsche DGL.
Potenzreihenansatz
U (x) = x
α
∞
X
aj x j
j=0
gibt
α = ±ν
und
1
a2j−2 ,
4j(j + α)
=
0,
a2j =−
a2j+1
j = 1, 2, . . .
j = 0, 1, . . .
Einsetzen und rechnen gibt
U (x) ≡ U±ν (x) =
∞
x ±ν X
2
j=0
x 2j
(−1)j
.
j!Γ(j ± ν + 1) 2
Heißen Bessel-Fkten erster Art der Ordnung ±ν.
Existieren für ν ∈ IR (!)
Speziell für ν ∈ IN (nur dann)
U−m (x) = (−1)m Um (x).
Besselfkt zweiter Art: Neumannfkt.
Besselfkt dritter Art: Hankelfkt.
120
Sind jeweils Lsg der Bessel-DGL.
Jede Besselfkt hat ∞ Nullstellen: wichtig in Physik.
Besselfkt sind orthogonal.
Jede Fkt läßt sich in [0, a ∈ IR] nach Besselfkt entwickeln:
Fourier-Bessel-Reihe
Neumann-Reihe
Kapteyn-Reihe
Schlömilch-Reihe
Anwendung: Akkretionsscheiben um Sterne und schwarze Löcher.
Übung: Zylinderpotential mit Bessel-Fkten.
121
KAP 5: ELEKTROSTATIK IN MEDIEN
§100 Phänomenologie
Keine el Felder in Leitern:
Ldgen verteilen sich um, sammeln sich an Oberfläche.
Erzeugen gleich großes, umgekehrtes Feld.
In Isolatoren neutrale Atome aus Kern (+) und Elektronen (−).
Werden durch angelegtes Feld leicht versetzt: Dipol.
Dipole heben angelegtes Feld teilweise auf.
Schiebe Dielektrikum zwischen Platten eines Kondensators.
Kapazität C = q/U .
Mit Dielektrikum verringert sich E, also U .
Kapazität wächst.
§101 Potential in Medien
Die Glgen
~ = −grad Φ
E
↔
~ =0
rot E
bleiben in Medien richtig:
Sie gelten für jedes Atom, also für alle.
§102 Dielektrische Verschiebung: Physik
Äußeres Feld bewirkt Versatz zwischen Atomkern und Ldgswolke:
induzierte Dipole im Dielektrikum.
Erzeugen Dipolfeld.
Gehe damit ins Gesetz für Potential einer Ladungs+Dipolverteilung.
Dies ist makroskopische Beschreibung:
Kern+Ldgswolke haben Gesamtldg 0: keine freien Ldgen.
Man kann Feld im Dielektrikum auch so beschreiben:
als Überlagerung versetzter Kern+Wolkenldgsfelder.
Aber statt +großes E (Kern) − großes E (Elektron)
... Kompensation schon in Dipolfeld geschehen.
§103 Dielektrische Verschiebung: Formalismus
Betrachte Volumenelement d3 r0 bei ~r 0 im Dielektrikum.
122
Hat Ldg dq = ρ(~r 0 )d3 r0 , Dipolmoment d~p = P~ (~r 0 )d3 r0 .
Neue Größe: Dipolmomentdichte P~ .
Beitrag zum Potential bei ~r
"
#
0
~ (~r 0 ) · (~r − ~r 0 )
1
ρ(~
r
)
P
dΦ(~r) =
d3 r0
+ d3 r0
.
0
4π0
|~r − ~r |
|~r − ~r 0 |3
Gesamtpotential bei ~r
Φ(~r) =
1
4π0
Z
"
d3 r0
#
0
0
~
P (~r ) · (~r − ~r )
ρ(~r )
+
.
|~r − ~r 0 |
|~r − ~r 0 |3
0
Standardformel für letzten Term (betachte ∇0 , nicht ∇)
Z
0
ρ(~
r
)
1
1
d3 r0
.
+ P~ (~r 0 ) · ∇0
Φ(~r) =
0
4π0
|~r − ~r |
|~r − ~r 0 |
Benutze
~ = ∇f · A
~ + f∇ · A
~
∇ · (f A)
in partieller Integration (Übergang von grad zu div)
"Z
#
Z
0
~
1
P (~r )
1
0
0 ~
0
0
Φ(~r) =
d3 r0
[ρ(~
r
)
−
∇
·
P
(~
r
)]
+
d~
a
·
.
4π0
|~r − ~r 0 |
|~r − ~r 0 |
Jackson läßt leider Oberflächenterm weg.
Interpretation der Glg:
Randterm beschreibt Potential einer Flächen-Ladungs-Schicht mit
dq = daσ ≡ d~aP~ .
Ursache:
Dipolldgen auf Randfläche haben keine kompensierenden Nachbarldgen.
Mittlerer Term mit ∇0 P~ beschreibt Volumenldg:
Unvollständige Ldgskompensation an Dipolenden, wenn Dipole ungleich.
Idee: Letzte Glg ist Potential einer Ladungsverteilung ρ − div P~ .
Also Gaußsches Gesetz
~ r) = 1 [ρ(~r) − div P~ (~r)].
div E(~
0
123
Umstellen
~ r) + P~ (~r)] = ρ(~r).
div [0 E(~
Definiere dielektrische Verschiebung
~ = 0 E
~ + P~ .
D
Dann (beachte: kein 0 )
~ = ρ.
div D
Jetzt Info über Materialverhalten nötig.
Einfachster Fall: Medium reagiert linear auf angelegtes Feld
~
P~ = 0 χe E.
Def Dielektrizitätskonstante
= 0 (1 + χe ).
Dann
~ = E.
~
D
Falls ortsunabhängig,
~ = ρ/.
div E
Falls nicht konstant, tritt grad auf.
§104 Fundamentaldef des Verschiebungsvektors
~ über atomare Dipole.
Obige Def von D
Atomstruktur gehört aber nicht zur engeren Elektrodynamik.
~ als el Grundgröße ein.
Sommerfeld führt D
El Feld ist dann durch 2 Größen charakterisiert.
Ihren Zusammenhang erfragt man erst später:
~ durch Kraft auf Ldg. Def wie bisher.
∗E
~ als Maß für Ldg-Dichte:
∗D
Fläche S begrenze Ldgs(teil)volumen V . Dann sei
I
Z
~ =
d~a · D
dV ρ = qV .
S
V
qV : Ldg q in V . Also genau wie oben
~ = ρ.
div D
124
Ansatz, ganz ohne Polarisation von Dielektrika,
~ = E.
~
D
konstant in homogenen Medien.
§105 Sprungbedingungen
Gegeben Trennfläche zwischen Medien mit 1 und 2 .
Form der Trennfläche ist beliebig.
Jedoch keine Singularitäten (Kanten):
Man kann überall infinit rechteckigen Int.weg wählen:
eps_1
-dl
----<--.........-dh|--------|dh.........
---->--eps_2
dl
Annahme wie bei pill box:
dh dl
~ in Teil normal (En ) und tangential (Et ) zur Grenzfläche.
Zerlege E
~ ist Gradientenfeld, also
E
I
~
0=
d~l · E
C
= −dl Et,1 + dl Et,2 .
Also
Et,1 = Et,2 .
Tangentialkomponente des el Feldes an Trennfläche von Medien stetig.
Lege nun pill box in die Trennfläche:
Infinit Höhe, kreisförmiger Boden mit Fläche da.
Aus
I
Z
~ =
d~a · D
dV ρ = qV .
S
V
wird (verzichte auf Vorzeichendiskussion, nehme Betrag)
|Dn,1 − Dn,2 |da = ρdV = ρh da ≡ σda,
125
Flächenladungsdichte σ (der Polarisationsldgen!) Also
|Dn,1 − Dn,2 | = σ.
Merke: ohne Ldgen sind Et und Dn stetig.
Übung: wenn En an Grenzfläche unstetig ist, gibt dann Strecke dh
trotz dh dl nicht doch Beitrag?
§106 Punktladung vor ebener Dielektrikumgsgrenze
Unendliche Ebene trennt 1 , 2 .
Punktldg q im Abstand d von der Ebene, in Medium 1 .
Finde passende Spiegelldg in Medium 2 .
Übung: studiere Lsg in Jackson; rechne damit andere Aufgaben.
Jackson 4.4.
Trick: erfülle obige Randbdg durch Hilfsldg q 00 am Ort von q.
Weiteres Standardbeispiel:
Dielektrische Kugel in homogenem E-Feld.
Übung: studiere diese Lsg (mittels Legendrepol; z.B. Griffiths S. 186)
und löse damit andere Beispiele.
§107 Anisotropie
Bisher angenommen, daß induzierter Dipol k angelegtes Feld.
Aber: Moleküle haben richtungsabhängige Polarisierbarkeit:
Tensor statt Skalar .
§108 Polare Moleküle
Bisher nur von außen induzierter Dipol.
Viele Moleküle haben intrinsisches Dipolmoment, z.B. Wasser.
Angelegtes Feld bewirkt Drehmoment.
Details in Abschnitt 4.5, 4.6 in Jackson.
§109 Elektrostatische Energie in dielektrischen Medien
Energie von Ldgen im Vakuum
Z
1
d3 rρ(~r)Φ(~r).
W =
2
126
Jede Ldg im Feld der vorhandenen Ldgen von ∞ heranbringen.
Jetzt Zusatzarbeit: Erzeugung der Polarisation im Dielektrikum.
Beschreibe Proton-Elektron als klassische Feder: Dehnungsarbeit.
Trick: betrachte kleine Änderung der Ladungsdichte
Z
δW = d3 rδρ(~r)Φ(~r).
Übung: warum oben Faktor 1/2, hier nicht?
Φ Potential der schon vorhandenen Ldgen. Benutze
~ =ρ
∇·D
also
~ = δρ.
∇ · δD
Also
Z
δW =
~
d3 rΦ∇ · δ D.
Partielle Integration über ganzen Raum.
Annahme: Ldgen nur in endlichem Bereich.
Z
Z
3
~ = d3 rE
~ · δ D.
~
δW = − d r∇Φ · δ D
Also
Z
W =
3
Z
dr
~ · δ D.
~
E
(109.1)
~ = E
~ (linear!), dann
Ist = const in D
~ = 1 δ(E
~ · D).
~
E · δD
2
Also
1
W =
2
Z
~ · D.
~
d3 rE
~ = −∇Φ und ∇ · D
~ =ρ
Kontrolle: mit E
...und partieller Integration zurück an Anfang:
Z
1
W =
d3 r Φ ρ.
2
Glg (109.2) nur für Medien, die linear reagieren.
127
(109.2)
Sonst gilt (109.1): Hysterese (Vorgeschichte; memory).
§110 Einbringen eines Dielektrikums
Problemstellung: gegeben Konfiguration von Ldgen.
Wie ändert sich el Energie beim Einschieben eines Dielektrikums?
Kleine formale Rechnung (Jackson Abschnitt 4.7) gibt
Z
1
~ 0.
∆W = −
d3 rP~ · E
2 V
~ 0 Feld ohne Dielektrikum,
E
P~ Polarisation,
V Volumen des Dielektrikums.
Ist bis auf Faktor 1/2 Dipolenergie.
Grund: Dipol wird schrittweise erzeugt, ist nicht permanent.
§111 Kräfte auf Dielektrika
Rechnung in Griffiths 4.4.4, S. 193ff.
Jeder Leiter wird in el Feld hineingezogen.
Dielektrikum auch, wegen Dipol-Polarisationsldgen.
Dielektrikum wird in Plattenkondensator hineingezogen.
128
129
KAP 6: MAGNETOSTATIK
§112 Monopol, Dipol, Magnetfeld
Alte Griechen: freie Ldgen (Reibung) und Permanentmagneten.
Permanente el Medien (Elektrete) waren nicht bekannt:
Entstehen beim Zerbrechen von Kristallen; Feld zerfällt in Std.
Heute: Elektromagnete wichtiger als Permanentmagnete.
Oersted: Kompaßnadel im Magnetfeld erfährt keine Translationskraft;
nur Drehmoment.
Also magnetische Kraft: Kräftepaar: Dipol.
Es gibt keine mag Ldgen.
Es gibt keine mag Monopole.
Mag Feldlinien geschlossen (vgl. Vektoranalysis).
Nur mag Dipole (und höher).
Richtiger Verdacht:
~ ~j?
el Ströme auch immer geschlossen: Zusammenhang B,
~ und B.
~
Subtiler Unterschied zwischen H
~ fundamentaler als Feldstärke H.
~
Magnetische Flußdichte B
~ nicht H,
~ verdient den Namen mag Feldstärke.”
Sommerfeld: “B,
~ und H
~ sind Erregungsgrößen.”
“D
Hat sich (noch) nicht durchgesetzt.
§113 Strom. Kontinuitätsglg
Alle Magnetfelder durch Ströme = bewegte Ldgen verursacht.
Stromdichte ~j:
Wieviel Ldg fließt pro Zeit durch Fläche A.
Vektorrichtung = Bewegungsrichtung der Ldgen.
Ist A konstant (Draht): Strom I = |~j|A.
Ldgen sind erhalten.
Können nur durch Oberfläche eines Volumens strömen.
Vgl Def von div.
Änderung der Ldg in festem Volumen
Z
∂q
∂
=
d3 r ρ(r, t).
∂t
∂t V
130
Nur durch Ein- und Ausfluß.
I
I
d~r
∂q
= − d~a · ρ = − d~a · ρ~v .
∂t
dt
S
S
->
/ dr in dt
---------------- /
|
|/ /
| . .
.
. . /
|
|/ /
| . .
.
. . /
|
V
|/
| . .
.
. .
->
|
|--> da
-----------S----
-> ->
dV = da.dr
~a zeigt aus Volumen hinaus.
d~r: Strecke, die Ldgen in dt zurücklegen.
Ladungsstromdichte
~j = ρ~v .
Grundgröße der Magnetostatik, wie q für Elektrostatik
Also (Gaußscher Satz)
Z
I
∂
3
d r ρ(r) = − d~a · ~j
∂t V
ZS
d3 r div ~j.
=−
V
Muß für beliebiges (aber konstantes) V gelten, also
∂ρ
+ div ~j = 0.
∂t
Kontinuitätsglg. Wichtig in ganzer Physik.
Magnetostatik:
zeitlich konstante Mag.felder durch zeitlich konstante Ströme.
Also auch ρ zeitlich konstant (Fließgleichgewicht), also
∇ · ~j = 0.
(Magnetostatik)
§114 Ohmsches Gesetz
131
Verknüpfung Strom und Feld oft empirisch gegeben durch
~
~j = σ E.
Achtung: σ hier el Leitfähigkeit, nicht Flächenldgsdichte.
Gilt in Leitern, nicht in Halbleitern.
In Kristallen Tensor σ.
§115 El Wirbelfelder
Elektrostatik: Leiterinneres feldfrei.
Nicht in stromführenden Leitern:
Ldgen bewegen sich durch Kraftwirkung des el Feldes.
Spannungsquelle: Batterie. In Supraleitern nicht nötig.
Stromkreise sind geschlossen (ggf in ∞).
Elektrisches Feld also geschlossene Kurve.
~ = 0.
In Magnetostatik gilt nicht allgemein rot E
Def Elektromotorische Kraft
I
~
EMK = d~l · E.
Stom wird durch Reibung dissipiert (nicht in Supraleitern):
Spannungsquelle im Stromkreis nötig.
§116 Gesetz von Biot-Savart
Oersted 1819: Kompaßnadel durch Strom abgelenkt
~
→ Strom erzeugt Magnetfeld: B(I).
Erster bekannter Zusammenhang Elektrizität und Magnetismus!
Gesetz von Biot & Savart 1820. Heutige Form
~ r) =
dB(~
µ0 3 0 ~j(~r 0 ) × (~r − ~r 0 )
dr
.
4π
|~r − ~r 0 |3
Für einzelne bewegte Ldg
~j = ρ~v .
Sei Ldg bei ~r0 , ihre Geschw sei ~v0 . Dann
ρ(~r 0 ) = qδ(~r 0 − ~r0 ).
132
Integration gibt
~ r) = µ0 q~v0 × (~r − ~r0 ) .
B(~
4π
|~r − ~r0 |3
In Draht
d3 r0~j(~r 0 ) = (A0 dl0 )(ˆl0 I 0 /A0 ).
Drahtrichtung ˆl0 = Stromrichtung, A0 senkrecht,
µ0 I 0 d~l 0 × (~r − ~r 0 )
~
dB(~r) =
.
4π
|~r − ~r 0 |3
Zahlenwert per Def (N: Newton, A: Ampere)
µ0
N
= 10−7 2 .
4π
A
Sowie
0 µ0 =
1
.
c2
§117 Feld des geraden Drahtes
ˆl und ~r − ~r 0 liegen in Zeichenebene.
~ = Bφ φ̂.
Also wegen Kreuzprodukt B
Feldlinien sind konzentrische Kreise um Draht.
^^
I’|l
|
p
|-------x B_phi
|
^ ^
l |
/
.
|
/
.
theta/
. ->
| /-> ->
. r
| / r -r’
.
|/
.
|<. . . . . . . .
|
->
r’
133
Sei l Abstand entlang Draht von ~r und ~r 0 .
Sei p Normale von Aufpunkt zum Draht.
Sei θ Winkel zwischen Draht und Linie Quell-Aufpunkt.
Dann
ˆl × (r̂ − r̂ 0 ) = φ̂ sin θ.
Also
Z
µ0 0 ∞ dl sin θ
I
Bφ =
4π
p2 + l 2
Z−∞∞
µ0 0
dl
=
Ip
2
2 3/2
4π
−∞ (p + l )
µ0 I 0
=
.
2π p
Dies eigentliches Gesetz von Biot-Savart.
§118 Amperesches Gesetz
Oersted und Biot-Savart: Magnetfeld, das durch Strom induziert wird.
Ampere: Kraft eines stromdurchflossenen Leiters auf einen anderen.
Coulomb: Kraft zwischen Ldgen. Ampere: Kraft zwischen Strömen.
~
Ampere brauchte gar kein B-Feld!
Nur Kraft von Strom.
Hier gleich: Kraft von Feld von Strom
~ r) .
dF~ (~r) = d3 r ~j(~r) × B(~
Alternativ identisch
~ r),
dF~ (~r) = Id~l(~r) × B(~
~ r).
F~ (~r) = q~v (~r) × B(~
1. Zeile: für räumliche Stromdichten
2. Zeile: a la Ampere: Kraft auf Leiter
3. Zeile: Lorentzkraft auf geladenes Teilchen
~
B soll durch Strom erzeugt sein
µ0 I 0 d~l 0 × (~r − ~r 0 )
~
dB(~r) =
.
4π
|~r − ~r 0 |3
134
~ dB)
~
Dann in erster Zeile oben (Achtung auf B,
µ0 0 ~ d~l 0 × (~r − ~r 0 )
~
dF (~r) =
II dl ×
.
4π
|~r − ~r 0 |3
Gesamtkraft der Schleife I 0 auf Schleife I:
Integration über beide Leiterschleifen
I I ~
µ
dl × [d~l 0 × (~r − ~r 0 )]
0
0
~
F =
II
.
4π
|~r − ~r 0 |3
Achtung: zwei Einfachintegrale, nicht ein Doppelintegral.
Asymmetrie bzgl. d~l und d~l 0 ? Nein:
Seien ~a, ~b, ~c beliebig, dann
~a × (~b × ~c) = (~a · ~c)~b − (~a · ~b)~c.
(118.1)
Erster Term rechts ist hier:
1
1
d~l · (~r − ~r 0 )
= −d~l · ∇
= −dl
.
0
3
0
|~r − ~r |
|~r − ~r |
|~r − ~r 0 |
dl : Zuwachs entlang Int.weg.
Es ist ~r 6= ~r 0 (sonst Kurzschluß der beiden Ströme).
Also 1/|~r − ~r 0 | überall endlich.
Also verschwindet Ringintegral.
Bleibt nur zweiter Term in (118.1), also Gesamtkraft
I I
µ
r − ~r 0
0
0
0 ~
~
~
~
F = − II
(dl · dl )
.
4π
|~r − ~r 0 |3
Also perfekte Asymmetrie bzgl der beiden Stromkreise.
Newton III erfüllt: Kraft von Schleife I auf I 0 ist −F~ .
Damit folgt Amperes eigentliches Ergebnis:
Kraft zwischen langen parallelen Drähten ist
F =
µ0 II 0 l
,
2π d
mit Länge l, Abstand d der Drähte.
Ist anziehend, wenn Ströme in gleiche Richtung, sonst abstoßend.
135
§119 Erste DGL der Magnetostatik
Vergleiche Coulomb
~ r) = 1
E(~
4π0
Z
~r − ~r 0
d r ρ(~r )
|~r − ~r 0 |3
3 0
0
und Biot-Savart
~ r ) = µ0
B(~
4π
Z
~r − ~r 0
d r j(~r ) ×
.
|~r − ~r 0 |3
3 0~
0
Große Ähnlichkeit. Schreibe
Z
µ
1
0
3
0
0
~ r) = −
B(~
d r ~j(~r ) × ∇
.
4π
|~r − ~r 0 |
Es gilt
∇ × (f~a) = ∇f × ~a + f ∇ × ~a.
Also
1
~j(~r 0 ) × ∇
|~r − ~r 0 |
~j(~r 0 )
1
= −∇ ×
+
∇ × ~j(~r 0 ).
0
0
|~r − ~r | |~r − ~r |
Letzter Term verschwindet,
∇r × ~j(~r 0 ) ≡ 0.
Also
~ r ) = µ0 ∇ ×
B(~
4π
B-Feld ist reines rot-Feld, also
Z
~j(~r 0 )
dr
.
|~r − ~r 0 |
3 0
(119.1)
~ = 0.
div B
§120 Zweite DGL der Magnetostatik
Wie in Elektrostatik: kennt man div und rot, kennt man Vektorfeld.
~ = 0. Gesucht: rot B.
~
div B
!
Z
0
~
~ r) = µ0 ∇ × ∇ × d3 r0 j(~r )
∇ × B(~
.
4π
|~r − ~r 0 |
136
Formel
∇ × (∇ × ~a) = ∇(∇ · ~a) − ∆~a.
Also
~ r ) = µ0 ∇ ∇ ·
∇ × B(~
4π
~ r 0)
3 0 j(~
dr
|~r − ~r 0 |
Z
!
µ0
− ∆
4π
Z
~j(~r 0 )
dr
|~r − ~r 0 |
3 0
Formel
∇ · (f~a) = ~a · ∇f + f ∇ · ~a.
(120.1)
Also im ersten Term
!
~j(~r 0 )
1
1
0
~j(~r ) · ∇
=
∇·
∇ · ~j(~r 0 ).
+
0
0
0
|~r − ~r |
|~r − ~r |
|~r − ~r |
Hierbei wieder
∇r · ~j(~r 0 ) = 0.
Also
~ r ) = µ0 ∇
∇×B(~
4π
Z
Z
1
µ0
1
3 0~
0
d r j(~r )∇
−
d r j(~r )∆
.
|~r − ~r 0 |
4π
|~r − ~r 0 |
3 0~
0
Hierbei benutzt ∆r~j(~r 0 ) = 0.
Benutze (i)
1
1
∇
= −∇0
0
|~r − ~r |
|~r − ~r 0 |
und (ii)
1
∆
|~r − ~r 0 |
= −4πδ(~r − ~r 0 ).
Dann
~ r ) = − µ0 ∇
∇×B(~
4π
Z
3 0~
0
d r j(~r )·∇
0
Z
1
+µ0 d3 r0~j(~r 0 )δ(~r −~r 0 ).
0
|~r − ~r |
Verwende wieder (120.1) im ersten Term
"
!
#
Z
0
~
j(~r )
1
~ r) = − µ0 ∇ d3 r0 ∇0 ·
∇×B(~
−
∇0 · ~j(~r 0 ) +µ0~j(~r).
0
0
4π
|~r − ~r |
|~r − ~r |
Erster Klammerterm ist Raumintegral über Divergenz.
137
Also nach Gaußschem Satz Oberflächenintegral in r = ∞.
Kann = 0 gesetzt werden.
Zweiter Klammerterm: Kontinuitätsglg der Magnetostatik ist
∇0 · ~j(~r 0 ) = 0.
Also bleibt nur dritter Term, und somit
~ r) = µ0~j(~r).
∇ × B(~
Heißt Amperesches Gesetz (mikro):
jeder Strom ist von Magnetfeld umschlossen: rot.
Zweite Fundamentalglg der Magnetostatik.
§121 Integralform des Ampereschen Gesetzes
E-Statik: Gaußsches Gesetz mit Gaußschem Satz
Z
Z
ρ
1
~ = ↔
~ =
div E
d3 rρ(~r) = q/0 .
d~a · E
0
0
S
M-Statik: Amperesches Gesetz (makro) mit Stokesschem Satz
I
Z
~ = µ0~j ↔
~ = µ0 d~a · ~j = µ0 I.
rot B
d~l · B
C
S
Eingerahmt: Amperesches Durchflutungsgesetz.
Anwendung: Magnetfeld von symmetrischen Leitern: Drähte.
(Vgl Gaußsches Gesetz der Elektrostatik.)
§122 Vergleich Magneto- und Elektrostatik
Grundglgen der Magneto- und Elektrostatik im Vakuum
~ = 0,
div B
~ = µ0~j,
rot B
~ =ρ/0 ,
div E
~
rot E=0.
Integralformen der 2 Glgen mit Quellen ρ, ~j sind
{
~ = q/0 ,
d~a · E
S
I
~ = µ0 I.
d~l · B
C
138
Benutze Integralformen für Felder hoher Symmetrie.
§123 Das Vektorpotential
~ = 0 dann
Mathem.: wenn überall div B
~ = rot A.
~
B
Vergleiche (119.1)
~ r ) = µ0 ∇ ×
B(~
4π
Z
~j(~r 0 )
dr
.
|~r − ~r 0 |
3 0
Also
~ r ) = µ0
A(~
4π
Z
~j(~r 0 )
dr
.
|~r − ~r 0 |
3 0
Vgl Elektrostatik
1
Φ(~r) =
4π0
Z
ρ(~r 0 )
dr
.
|~r − ~r 0 |
3 0
Es gilt rot grad ≡ 0.
~ unverändert, wenn
Also B
~→A
~ + grad Ψ.
A
Heißt Eichtransformation.
~ invariant unter Eichtransformationen.
B
~ verfügen.
Mit Eichfreiheit kann man über div A
~ = 0 heißt Coulomb-Eichung.
div A
Jackson zeigt: für Coulomb-Eichung gilt (123.1).
§124 Von Ampere zu Biot-Savart
Oben: von Biot-Savart zur Ampereschen Glg.
Jetzt als Training umgekehrter Weg. Schwinger 26.3 (S. 316)
Fundamentalglgen
~ = 0,
∇·B
~ = µ0~j.
∇×B
139
(123.1)
Ansatz
~ = ∇ × A.
~
B
Somit erste Glg erfüllt. Zweite Glg wird
~ = ∇(∇ · A)
~ − ∆A
~ = µ0~j.
∇ × (∇ × A)
~ ändert sich nicht bei Eichtransformation
B
~→A
~ + ∇λ.
A
~ so, daß folgende Rechnung einfach.
Wähle A
Wähle also Coulombeichung
~ = 0.
∇·A
Übung: Zeige, daß dies durch Addition von ∇λ möglich.
In Coulombeichung wird (gesamte!) Magnetostatik also
~ = −µ0~j.
∆A
Ist Vektor-Poissonglg. Vgl Skalar-Poissonglg der Elektrostatik
ρ
∆Φ = − .
0
Lsg, wie oben
~ = µ0
A
4π
Erinnerung Vektoranalysis
Z
d3 r0
~j(~r 0 )
.
|~r − ~r 0 |
~ = ∇Φ × E
~ + Φ∇ × E.
~
∇ × (ΦE)
Also
~j(~r 0 )
1
∇×
=∇
× ~j(~r 0 )
0
0
|~r − ~r |
|~r − ~r |
~r − ~r 0
= ~j(~r 0 ) ×
.
|~r − ~r 0 |3
In erster Zeile ∇ × ~j(~r 0 ) = 0 benutzt.
140
Also
Z
~ r 0)
µ
0
3 0 j(~
~
∇× d r
B(~r) =
4π
|~r − ~r 0 |
Z
µ0
~r − ~r 0
3 0~
0
=
d r j(~r ) ×
.
4π
|~r − ~r 0 |3
Ist Biot-Savart.
§125 Magnetfeld fern von kreisförmigem Leiter
Strom I in kreisförmigem Draht mit Radius a: Stromschleife.
~ in 5.5.
Jackson berechnet B
Damit Fernfeld in großer Entfernung der Stromschleife
µ0
cos θ
Iπa2 3 ,
2π
r
µ0
sin θ
Iπa2 3 .
Bθ =
4π
r
Br =
Kugelkoord r, θ.
§126 Fernfeld eines beliebigen Stroms
Gegeben beliebiger Strom innerhalb Gebiet,
... das klein gegen Abstand Feldmeßpunkt ist.
Reihenentwicklung, nur bis zu
1
1 ~r · ~r 0
= + 3 + ...
|~r − ~r 0 | r
r
Glg (123.1) wird dann
Z
Z
µ
1
µ
1
0
0
~ r) =
A(~
d3 r0 ~j(~r 0 ) +
d3 r0 ~j(~r 0 )(~r · ~r 0 ) + . . .
3
4π r
4π r
Erinnerung: dyadisches Produkt zweier Vektoren
(~a ⊗ ~b) · ~c = ~a(~b · ~c),
~c · (~a ⊗ ~b) = (~c · ~a)~b.
141
Also
Z
d3 r0 ~j(~r 0 )(~r · ~r 0 ) =
Z
d3 r0 (~r · ~r 0 )~j(~r 0 )
Z
= ~r · d3 r0~r 0 ⊗ ~j(~r 0 ).
Also
~ r ) = µ0 1
A(~
4π r
Z
µ0 ~r
d r j(~r ) +
·
4π r3
3 0~
0
Z
d3 r0 ~r 0 ⊗ ~j(~r 0 ) + . . .
Erster Term rechts ist Null! Ist nichttrivial.
PP S. 132:
This can be seen physically by dividing the system into current loops
Z
X I
3 0~
0
d r j(~r ) =
I d~l = 0.
loops
Formal: in Vektoranalysis wurde bewiesen:
R
Ist div ~j = 0 und ~j(∞) = 0, dann d3 r ~j = 0.
Zweiter Term: Jackson S. 216, besser Schwinger S. 326.
Beginne kartesisch: div ~j = 0, also
Z
3
X
3
0=
d r x i xj
∇ k jk
k=1
Z
=
3
dr
X
Z
∇k (xi xj jk ) −
d3 r
X
d3 r
X
k
k
Z
=0
jk ∇k (xi xj )
−
jk (δik xj + xi δjk )
k
Z
=
−
d3 r(ji xj + xi jj ).
R
Hier d3 r∇(...) als Oberflächenintegral gedeutet (Gauß).
Müßte sauber für 3-Tensoren bewiesen werden.
Letzte Glg in Dyadenschreibweise
Z
d3 r(~j ⊗ ~r + ~r ⊗ ~j) = 0.
Gilt für jedes ~j mit div ~j = 0 und ~j(∞) = 0.
142
Übung: führe Beweis direkt in Dyaden. Definiere erst Divergenz von
3-Tensoren.
R
D.h. d3 r ~r ⊗ ~j ist antiselbstkonjugierter Tensor.
Achtung: nur das Integral, nicht der Integrand!
~
Hiermit zweiter Term in Reihenentwicklung von A.
Direkt mit Dyaden (schreibe ~j 0 ≡ ~j(~r 0 ))
Z
Z
3 0
0 ~
0
d r (~r · ~r )j(~r ) = d3 r0 ~r · (~r 0 ⊗ ~j 0 )
Z
1
d3 r0 ~r · (~r 0 ⊗ ~j 0 + ~j 0 ⊗ ~r 0 ) + (~r 0 ⊗ ~j 0 − ~j 0 ⊗ ~r 0 )
=
2Z
1
=
d3 r0 ~r · (~r 0 ⊗ ~j 0 − ~j 0 ⊗ ~r 0 )
2Z
1
=
d3 r0 (~r 0 × ~j 0 ) × ~r.
2
Letzte Relation wurde in Dyaden-Algebra bewiesen,
(~a ⊗ ~b − ~b ⊗ ~a) · ~r = −(~a × ~b) × ~r.
Am einfachsten sieht man dies kartesisch komponentenweise.
Siehe z.B. Kap 7.11 in PP.
Somit
Z
µ
~
r
0
~ r) = −
A(~
×
d3 r0 ~r 0 × ~j(~r 0 ) + . . .
3
8π r
Schreibe dafür
~ × ~r
~ r ) = µ0 m
A(~
+ ...
4π r3
mit magnetischem (Dipol)Moment
Z
1
m
~ =
d3 r0 ~r 0 × ~j(~r 0 ).
(126.1)
2
Der Integrand heißt Magnetisierung.
Vgl elektrisches Dipolmoment einer Ladungsverteilung
Z
p~ = d3 r0 ~r 0 ρ(~r 0 ).
~ = ∇ × A,
~
Mag Induktion B
µ
3r̂(r̂
·
m)
~
−
m
~
0
~ r) =
B(~
.
4π
r3
143
Ist magnetisches Dipolfeld.
Zusammenfassung: weit weg von beliebiger Stromverteilung:
~ ist Dipolfeld mit mag Moment (126.1).
B
§127 Dipolmoment einer ebenen Leiterschleife
Betrachte Magnetisierung für beliebige ebene Leiterschleife.
Sei A Leiterquerschnitt (kann variieren), ˆl Leiterrichtung,
~jd3 r = I ˆl Adl = Id~l.
A
Also
Z
1
d3 r0 ~r0 × ~j(~r0 )
m
~ =
2Z
I
=
~r0 × d~l0 .
2
~r × d~l ist Parallelogrammfläche.
Faktor 1/2: Dreiecksfläche.
Summe aller Dreiecksflächen gibt Fläche innerhalb Leiterschleife.
Vergleiche Flächensatz beim Keplerproblem.
Falls Leiter also in xy-Ebene liegt
m
~ = IAẑ.
Übung: das magnetische Moment eines geladenen Teilchens ist
q
m
~ = ~l,
2µ
mit Teilchenldg q, Masse µ, Drehimpuls ~l.
Stimmt so für Elektronenbahn um Atomkern.
Aber: für “innere” Drehung ~s des Elektrons (Spin) gilt
q
m
~ = ~s.
µ
Heißt anomales magnetisches Moment des Elektrons.
Wird erst in relativistischer Quantenmechanik erklärt.
q
m
~ = 1.00116 ~s
µ
144
wird erst in Quantenelektrodynamik erklärt.
~
§128 Magnetfeld in makroskopischen Medien: H
Atome, Elektronen haben magnetische Momente.
Reagieren auf äußere Felder.
Mittelung über atomare Mikrofelder.
~ bleibt dabei unverändert.
Gleichung div B
Erinnerung Elektrostatik:
Potential atomarer Ldgen und Dipolmomente
(letztere aufgrund el Polarisation)
"
#
0
~ (~r 0 ) · (~r − ~r 0 )
1
ρ(~
r
)
P
dΦ(~r) =
d3 r0
.
+ d3 r0
0
4π0
|~r − ~r |
|~r − ~r 0 |3
Hierbei ~r ∈
/ d3 r0 .
Entsprechender Ansatz in Magnetostatik
"
#
0
0
0
~
~
~ r) = µ0 d3 r0 j(~r ) + d3 r0 M (~r ) × (~r − ~r ) .
dA(~
4π
|~r − ~r 0 |
|~r − ~r 0 |3
Stromdichte ~j bekannt.
Atomare Dipole im externen Feld:
~.
Werden angesetzt mit Magnetisierung M
Parallel: Integral über P, M gibt p, m: el, mag Dipolmoment.
Gemäß (126.1) ist
~ = 1 ~r 0 × ~jm (~r 0 ),
M
2
mit Mikrostromdichte ~jm .
~ als Grundtatsache.
Diese wird nicht gebraucht: M
Die üblichen Schritte (siehe Jackson S. 224):
(i) Volumenintegration
(ii) Umschreiben
~r − ~r 0
1
0
=
∇
.
|~r − ~r 0 |3
|~r − ~r 0 |
(iii) Partielle Integration:
~
(iii,a) 1. Term: ∇0 wirkt auf M
(iii,b) 2. Term: mit Satz von Gauß in Oberflächenintegral umwandeln:
145
~ verschwindet
(iii,c) Oberfläche liegt im Unendlichen wo M
geben
Z
~ (~r 0 )
~j(~r 0 ) + ∇0 × M
µ
0
~ r) =
A(~
d3 r0
.
4π
|~r − ~r 0 |
Interpretation:
~ (~r 0 )
∇0 × M
ist effektive Stromdichte im Medium aufgrund Magnetisierung.
Oben wurde gezeigt, daß Glgen
~ = 0,
∇·B
~ = µ0~j,
∇×B
Lsg haben
~ = ∇ × A,
~
B
Z
~ r 0)
µ
0
3 0 j(~
~
A=
dr
.
4π
|~r − ~r 0 |
Jetzt Umkehrschluß:
~ = ∇ × A,
~
B
Z
~ (~r 0 )
~ r 0 ) + ∇0 × M
µ
0
3 0 j(~
~
A(~r) =
dr
4π
|~r − ~r 0 |
ist Lsg von
~ = 0,
∇·B
~ = µ0 (~j + ∇ × M
~ ).
∇×B
Sei
~ = 1B
~ −M
~.
H
µ0
Dann Grundglgen der Magnetostatik
~ = ~j,
∇×H
~ = 0.
∇·B
Vergleiche Grundglgen der Elektrostatik
~ = ρ,
∇·D
~ = 0.
∇×E
146
~ und B
~ sind Grundfelder.
E
~ und H
~ sind abgeleitete Felder:
D
enthalten die atomaren Ldgen und Ströme:
per Ansatz: induzierte el und mag Dipole.
~ Magnetfeld genannt.
Leider wird historisch H
Grundfelder sind dann el Feld und mag Induktion.
Abgeleitete Felder sind dielektrische Verschiebung und Magnetfeld.
§129 Zusammenhang B und H
~ empfiehlt sich auch bei H
~ abstraktere Def:
Wie bei D
Denn reine E-dynamik kennt keine Atome und Mikroströme.
~ ist Gegenstück zu el Polarisation P~ .
Magnetisierung M
~ beschreibt Elementarmagneten.
M
Def
~ = µ0 (H
~ +M
~ ) = µH.
~
B
Sommerfeld würde hier 1/µ schreiben.
Da sich dies nicht bewährt hat:
µ0
1
4π0 vs 4π in allen Glgen.
µ ist magnetische Permeabilität.
µ = const:
µ > µ0 : paramagnetische Stoffe,
µ < µ0 : diamagnetische Stoffe.
Diamagnetismus ≡ Dielelektrizität.
Also Polarisierung der Materie durch angelegte Felder.
~ und H.
~
µ < µ0 aber > 0 wegen Vertauschung von B
Paramagnetismus nur bei Molekülen mit eigenem mag Moment.
Diese richten sich parallel zum Feld aus.
Dagegen ist diamag/dielek Polarisierung per Def antiparallel.
~ als Fkt von H:
~ Hystereschleife.
Ferromagnetismus: B
Zusammenfassung der Materialglgen der E-Dynamik.
~ = E,
~
D
~ = µH,
~
B
~
~j = σ E.
147
Man schreibt
~ = χm H,
~
M
entsprechend zum elektrostatischen
~
P~ = χe E.
χm ist magnetische Suszeptibiliät.
Damit
~ = µ0 (H
~ +M
~)
B
~
= µ0 (1 + χm )H
~
= µH,
genau wie zuvor
~ = 0 (E
~ + P~ )
D
~
= 0 (1 + χe )E
~
= E.
Also
µ = µ0 (1 + χm ),
wie zuvor
= 0 (1 + χe ).
§130 Sprungbedingungen an Grenzflächen
~ = 0 ist nach Gaußschem Satz
div B
I
~ = 0.
d~a · B
S
Also für Pillendose an Mediengrenzfläche
Bn,1 da − Bn,2 da = 0.
~ an Grenzfläche stetig.
Also Normalkomponente von B
Amperesches Gesetz
~ = ~j.
∇×H
148
Stokesscher Satz
I
~ =
d~l · H
Z
d~a · ~j.
C
Betrachte Rechtecksweg an Grenzfläche, wieder dh dl.
Liegt Rechtecksweg d~l in Papierebene, zeigt d~a hinaus.
Von ~j trägt nur jt bei.
Annahme: j < ∞. Dann
(−dl)Ht,1 + dlHt,2 = 0.
Denn dh Differential zweiter Ordnung:
kein Beitrag von Rechtecksfläche.
Ht,1 = Ht,2 .
~ an Mediengrenzfläche stetig.
Tangentialkomponente von H
Wenn j → ∞ (sehr gute Leiter und hohe Frequenzen):
|Ht,2 − Ht,1 | = dh jt ≡ Jt ,
mit endlicher Linien-Stromdichte Jt in Grenzfläche.
§131 Lösungsmethoden der Magnetostatik
~ aus gegebenen Rand(flächen)werten:
Randwertproblem: Bestimme B
als Lsg der magnetostatischen DGLen.
“Randwerte”: Strom in Schicht vorgegeben usw.
Abschnitte 5.9 bis 5.14 in Jackson.
Übung: magnetisierte Kugel.
Hier: magnetische Abschirmung in Hohlkugel.
~ 0.
Gegeben homogenes konstantes Feld B
In dieses wird Hohlkugel mit konstanter Permeabilität µ gebracht.
Welches Feld im Innern der Hohlkugel?
Es fließen keine Ströme, also
~ = 0,
∇×H
~ = 0.
∇·B
Aus erster Glg
~ = −∇Ψ.
H
Ψ heißt magnetisches Skalarpotential.
149
Aus zweiter Glg
∆Ψ = 0.
Laplacegleichung, genau wie in Elektrostatik.
Legendrepolynome; Sprungbedgen an Kugel.
Lsg für Innenraumfeldstärke
−1
H
a3
∼ µ 1− 3
,
H0
b
mit Innenradius a, Außenradius b der Hohlkugel.
Innenraum also nahezu feldfrei, wenn µ sehr groß
und Metallwand nicht allzu dünn.
Wo sind die Feldlinien? dicht gepackt im Metall.
§132 Permanentmagneten
Nach Sommerfeld S. 83.
Permanentmagnet: kein Strom fließt, also wieder
~ = 0,
rot H
~ = 0.
div B
Wieder
~ = −grad Ψ.
H
~,
Gesucht: Magnetisierung M
~ = µ0 (H
~ +M
~ ).
B
Mit
~ = µ0 (div H
~ + div M
~)
0 = div B
folgt
~ = −div M
~.
div H
Potential einsetzen
~.
div grad Ψ = div M
ist DGL des Stabmagneten
~.
∆Ψ = div M
Wie lautet Randbdg auf Magnetoberfläche?
150
Betrachte wieder
~ = −div M
~
div H
ist identisch zu
Z
~ =−
d~a · H
S
Z
~.
d~a · M
S
Integriere über Pillendose in Magnetoberfläche
Hn,2 − Hn,1 = Mn,1 − Mn,2 .
~ = 0.
Außerhalb des Magneten (“1”) ist M
Hn,2 − Hn,1 = −Mn,2 ≡ −Mn .
~ = −∇Ψ ist
Mit H
Hn = −∇Ψ · n̂ = −
∂Ψ
.
∂n
Also
∂Ψ
∂Ψ
+
= Mn .
∂n1 ∂n2
Minus wurde in n̂2 = −n̂1 gesteckt.
Dies ist Randbdg auf Magnet. In ∞ sei noch Ψ = 0.
Zusammenfassung: Glgen des Permanentmagneten
~,
∆Ψ = div M
∂Ψ ∂Ψ +
= Mn,S ,
∂n1 S ∂n2 S
Ψ(∞) = 0.
Dabei Subscript S: Oberfläche des Magneten, mit Normalen n̂1 = −n̂2 .
Ist Summationsaufgabe (einfach), nicht Randwertaufgabe (komplex):
~ bekannt. Dann Lsg der Glgen
Sei M
Z
~ (~r 0 ) Z
~ (~r 0 )
div
M
M
4πΨ(~r) = − d3 r0
−
d~
a
·
.
0|
0|
|~
r
−
~
r
|~
r
−
~
r
V
S
Erstes Integral über (inneres) Magnetvolumen.
Zweites Integral über Magnetoberfläche.
Übung: zeige, daß dies wirklich Lsg ist.
151
Beachte: in Elektrostatik steht hier positives Vorzeichen.
§133 Stabmagnet
Sommerfeld S. 84.
Def Stabmagnet: (i) Zylinder,
~ parallel zur Achse und konstant: M
(ii) M
~ = 0, bleibt nur Oberflächenintegral.
Also div M
Dort tragen auch nur die 2 Deckflächen (“Pole”) bei:
~ · n̂ = 0.
Magnetwand hat M
Magnet habe Länge 2l, Radius a, Querschnitt F = πa2 .
Koord.ursprung in Magnetmitte.
Sei ~r Ortsvektor zu Punkt Q außerhalb des Magneten.
Abstände r1 = P1 Q, r2 = P2 Q zu Polen P1 , P2 . Dabei r1 < r2 .
Seien p, z Zylinderkoordinaten von ~r,
r 2 = p2 + z 2 .
Übung: zeige, daß für p, z l,
4πΨ = −M F
1
1
−
r1 r2
.
Übung: daraus durch Reihenentwicklung bzgl r1 , r2 für r l
4πΨ = 2lM F
∂ 1
.
∂z r
Übung: zeige, daß dies Dipolfeld ist (wie zu erwarten war).
~ auf der Achse innerhalb des Magneten.
Übung: Berechne Ψ und H
Ergebnis lautet
"
#
~
∂Ψ
M
l
−
z
l
+
z
~ = H ẑ = − ẑ =
p
+p
−2 .
H
∂z
2
(l − z)2 + a2
(l + z)2 + a2
~ und M
~ umgekehrtes VorzeiJeder der Klammerbrüche < 1, also H
chen.
~ = µ0 (H
~ +M
~ ) sagt man:
Da B
~ ist entmagnetisierend.
H
152
Dünner Stabmagnet l a: bei z = 0 und z = ±l
l
~
~ 1− √
H(0)
= −M
≈ 0,
2 + a2
l
l
1~
~
~ 1− √
H(±l)
= −M
.
≈− M
2
4l2 + a2
Also
~
~,
B(0)
≈ µ0 M
1 ~
~
.
B(±l)
≈ µ0 M
2
~ erreicht in der Mitte des dünnen Magneten vollen Wert µ0 M
~.
B
So über fast die gesamte Magnetlänge hinweg.
~ ab.
~ (steil) auf den halben Wert 1 µ0 M
An den Polen fällt B
2
§134 Entmagnetisierung
~ , H.
~
Alle Permanentmagnete haben antiparallele M
~ = 0, also B
~ = rot A.
~
Grund: div B
~
B-Linien
sind also geschlossen (reine Rotation).
Verlaufen teils im, teils außerhalb Magnet.
~ entlang einer B-Schleife,
~
Integriere H
nicht notwendig im mathematisch positiven Sinn,
~
sondern im Sinne (mittlerer) positiver B-Richtung.
~ = 0 und Stokesschem Satz
Wegen rot H
I
~ = 0.
d~l · H
B
~ = µ0 H.
~
Außerhalb des Magneten im Vakuum B
Also positiver Beitrag zum Integral:
~ gleichgerichtet mit B.
~
denn d~l und H
Also innerhalb des Magneten
Z
~ < 0.
d~l · H
innen
153
Aber nach Voraussetzung Integrationsweg
Z
~ > 0.
d~l · B
innen
Es ist
~ = 1B
~ − H.
~
M
µ0
(Achtung: hier steht immer µ0 , nicht µ). Also
Z
~ > 0.
d~l · M
innen
~ oben:
Vgl mit entsprechender Glg für H
~ H.
~
Im Mittel entlang jeder Linie durch den Magneten M
Übung: der Ringmagnet.
154
KAP 7: MAGNETISCHE INDUKTION
§135 Hintergrund
Bisher: elektro- und magnetostat Glgen.
Dazu kommen 2 zeitabhängige Terme hinzu:
(i) Faradaysche Induktion
(ii) Maxwellscher Verschiebestrom
Damit vollständige Maxwellsche Glgen.
Faradays Vermutung nach Oersteds Entdeckung:
Wenn Ldg auf benachbartem Leiter Ldg induziert:
Kann Strom in benachbartem Draht Strom induzieren?
Antwort ja und nein:
keinen stationären Strom, nur temporären.
Faraday 1831:
Stromstoß (also I für kurze Zeit) entsteht in Leiter wenn
(i) Strom I 0 in Nachbarleiter ein- oder ausgeschaltet wird
(ii) Nachbarleiter mit Strom I 0 bewegt wird
(iii) ein Permanentmagnet ruckartig bewegt wird.
~
Faraday: ~j durch Änderung von B.
~ durch stationäres ~j.
Ampere (zur Erinnerung): stationäres B
§136 Integralform des Induktionsgesetzes
Sei C Leiterschleife mit Linienelement d~l.
C berandet ∞ viele Flächen S; Flächenelemente d~a.
Def Magnetischer Fluß durch S ist
Z
~
d~a · B.
S
Erinnerung: elektromotorische Kraft (EMK) ist
I
~
d~l · E.
C
Heutige Formulierung von Faradays Beobachtungen
I
Z
d
~ =−
~
d~l · E
d~a · B.
dt S
C
155
(136.1)
Minuszeichen ist Lenzsche Regel.
Beachte: in SI-Einheiten keine Prop.konstante in (136.1).
Zwei mögliche Ursachen für Flußänderung:
~ (Strom ein-/ausschalten, Magnet bewegen)
(i) Änderung von B
(ii) Änderung von d~l (Leiterschleife bewegen)
§137 Differentialform des Induktionsgesetzes
Verzichte auf (ii): Leiterschleife festgehalten. Genauer:
Folgende Glg gilt in Koord.systemen, wo Schleife fest.
Dann
Z
Z
~
d
∂B
~ =
.
d~a · B
d~a ·
dt S
∂t
S
Forme Linienintegral in (136.1) mittels Stokesschem Satz um
I
Z
d
~+
~
0=
d~l · E
d~a · B
dt S
C
!
Z
~
~ + ∂B .
=
d~a · ∇ × E
∂t
S
Soll für beliebige S gelten: Integrand muß verschwinden
~
~ + ∂ B = 0.
∇×E
∂t
Dies ist eine vollständige Maxwellglg.
Vgl. mit Elektrostatik
~ = 0.
∇×E
§138 Magnetische Quellenfreiheit und Induktionsgesetz
Nach Becker-Sauter.
Induktionsgesetz
I
Z
d
~ =−
~
d~l · E
d~a · B.
dt
C
S
0
Sei S eine andere Fläche mit demselben Rand C.
Z
I
d
~ =−
~
d~a 0 · B.
d~l · E
dt
0
C
S
156
(138.1)
S und S 0 bilden geschlossene Fläche.
d~a hat auf S und S 0 dieselbe Richtung.
Wenn d~a auf S aus geschlossener Fläche hinauszeigt,
...dann zeigt d~a 0 auf S 0 in sie hinein.
Betrachte also −d~a 0 auf S 0
Z
I
d
~
~ =
(−d~a 0 ) · B.
d~l · E
dt
0
S
C
(138.2)
(138.1) minus (138.2)
d
0=−
dt
I
~
d~a · B.
S,S 0
Hier zeigt jetzt d~a auf ganz S, S 0 vom Innern weg.
Also
I
~ = const.
d~a · B
const ist prop zu den in S, S 0 umschlossenen mag Ldgen:
Null!
§139 Induktionsgesetz aus Ampereschem Gesetz
Nach Becker-Sauter, Abschnitt 5.3.
~
Ampere: Kraft zwischen Leitern. Heute: Kraft durch B
~ r),
dF~ (~r) = Id~l(~r) × B(~
~ r).
F~ (~r) = q~v (~r) × B(~
Zweite Glg Lorentzkraft.
Biot-Savart und Ampere: B und damit F durch j.
Faraday: j durch B-Änderung.
Dennoch sind beide tief verknüpft. Zeige nun:
Lorentzkraft (Amperesches Gesetz) → Induktionsgesetz.
~
Aber nur für bewegte Leiterschleife, nicht für ∂ B/∂t.
Induktion im letzteren Fall bleibt Grundgesetz.
Drahtring C (Rand von Fläche S) bewege sich, Magnet sei fest.
Form von C bleibt erhalten: keine Verbiegungen.
Elektronen im Draht bewegen sich durch Magnetfeld.
157
Lorentzkraft
~
F~ = e~v × B.
Hat F~ Komponente entlang C dann Bewegung der e− : Strom.
Def induzierte Feldstärke
~ = ~v × B.
~
E
Linienintegral hiervon
I
~ =
d~l · E
C
I
IC
=
~
d~l · (~v × B)
~
(d~l × ~v ) · B.
(139.1)
C
->
->
ds = v dt
o<------------o
o<-----------o
o<----------o
o
o
o<---------^
o
|->
o<---------|dl
o
o
o<---------o
o
o
o<-----------o
o<------------o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Jeder Drahtpunkt wird in dt verschoben um (Bild)
~v dt.
Also ist
dt ~v × d~l ≡ d~a
Flächenelement, das bei Bewegung von C überstrichen wird:
Leiterschleife × Verschiebung.
Topologie dieser Fläche Z: Zylindermantel ohne Deckel.
Also
I
Z
~ =
~
dt (d~l × ~v ) · B
d~a · B.
(139.2)
C
Z
158
Integriere jetzt über Zylindermantel Z plus 2 Deckel S.
Wegen magnetischer Quellfreiheit
I
~
0 = d~a · B
Z
Z
Z
0
~+
~+
~
=
d~a · B
d~a · B
d~a · B
ZZ
ZSt
Z St+dt
~−
~+
~
=
d~a · B
d~a · B
d~a · B
St
St+dt
ZZ
Z
~ + dt d
~
=
d~a · B
d~a · B
dt St
Z
I
Z
d
(139.2)
~ + dt
~
= dt (d~l × ~v ) · B
d~a · B
dt
St
Z
IC
(139.1)
~
~ + dt d
= dt d~l · E
d~a · B.
dt St
C
Also Induktionsgesetz
I
~ =−d
d~l · E
dt
C
Z
~
d~a · B.
S
Wenn Galileiinvarianz angenommen wird:
Dann letzte Glg auch für bewegten Magneten und ruhendes C.
Neuer Faraday-Effekt jedoch, nicht aus Lorentzkraft herzuleiten:
~
∂B
∂t kann ohne Bewegung Strom induzieren.
§140 Amperesches Gesetz aus Induktionsgesetz
Genauer: Lorentzkraft aus Induktionsgesetz. Siehe Jackson.
Relativbewegung ~v zwischen Leiterschleife und Magnet.
Zwei gleichberechtigte Beobachter:
1. Ruhsystem des Magneten.
2. Ruhsystem der Schleife.
ad 1. Leiterschleife wird mit ~v bewegt. Dann
Z
Z
~ I
d
∂
B
~ =
~ × ~v ).
d~a · B
d~a ·
+
d~l · (B
dt S
∂t
S
C
Postulat Galilei-Invarianz:
159
Induktionsgesetz gilt in jedem Inertialsystem in gleicher Form.
~ und B
~ transformieren sich.
Nur E
Setze letzte Glg in Induktionsgesetz ein. Nach Umstellen
I
Z
~
~
~ − ~v × B)
~ = − d~a · ∂ B .
dl · (E
∂t
C
S
ad 2. Induktionsgesetz lautet im Ruhsystem der Schleife
I
Z
~
~ 0 = − d~a · ∂ B0 .
d~l · E
∂t
C
S
Vgl letzte 2 Glgen
~ =B
~ 0,
B
~ =E
~ 0 + ~v × B
~ 0.
E
Jackson rechnet ad hoc mit B = B0 .
Zweite Glg: Lorentzkraft.
§141 Energie des magnetischen Felds
Abschnitt 7.3 in Becker-Sauter.
Elektrische Energie:
bringe infinit Ldgen in el Feld vorhandener Ldgen.
Magnetische Energie:
bringe infinit Ströme in mag Feld vorhandener Ströme.
Ströme dabei in Leiterschleifen.
Feldenergie = Arbeit, die zum Aufbau des Systems nötig ist.
Berechne mag Energie nur für folgendes Experiment:
Jeder Stromkreis hat konstanten Strom Ii .
Bei möglicher induktiver Änderung von Ii :
Zuschalten von Batterie im Stromkreis hält Ii konstant.
Allgemeine Herleitung der mag Energie dagegen kompliziert.
Warum ist Arbeit nötig?:
Jeder neue infinit Strom ändert mag Fluß durch alle Stromkreise.
induziert EMK = Spannung in allen Schleifen
ändert alle Ströme
Batterien leisten Arbeit, um Ii wieder herzustellen.
160
Unendlich langsames Einbringen der infinit Stöme hilft nicht:
Flußänderung dΦ bleibt gleich.
Arbeit hängt von dΦ ab, nicht von dΦ/dt: Faraday
I
~ = − dΦ .
U ≡ d~l · E
dt
El Leistung U I, also el Arbeit (Minus: geleistete Arbeit der Akkus)
dW = −U Idt = IdΦ.
Erforderliche Arbeit, um Strom Ii in Schleife i zu erhalten,
...wenn mag Fluß Φi durch die Schleife
...durch Einbringen eines infinit Stroms um dΦi geändert wird.
Zerlege jede Schleife in ein Netz infinitesimaler Sub-Schleifen.
In diesen ist B-Feld jeweils konstant.
o o o
o B_1|B_2 o
o__|____|____|__o
o
|
|
|
o
o B_3| B_4|
|
o
o____|____|____|____o
o
|
|
|
o
o___|____|____|___o
o |
|
| o
o|____|____|o
o o o
Zerlegung einer
Stromschleife in
infinit Sub-Schleifen
mit konstanten B_i
Arbeit in Sub-Schleife
~
d2 W = Id2 Φ = Id~a · dB.
Ist Differential zweiter Ordnung.
Achtung: Jackson ist hier nachlässig mit Differentialordnung.
~ ist Feldänderung durch Einbringen von infinit Strom.
dB
I ist finit: Strom in Schleife: konstante Kennzahl der Schleife.
Mit Vektorpotential geschrieben
~
d2 W = Id~a · ∇ × dA.
161
Definition von “rot” ist (beliebiges F~ )
I
d~a · ∇ × F~ = d~l · F~ .
Also
I
2
d W =I
~
d~l · dA.
Summe über alle infinit Schleifen in allen (Makro-)Schleifen:
Gesamtarbeit bei Einbringen von infinit Strom
X
X I
2
~
dW =
dW =
I d~l · dA.
Ersetze Summe über Sub-Schleifen durch Raumintegral
X
Id~l ≡ ~jd3 r.
Also
Z
dW =
~
d3 r ~j · dA.
~ = ~j gibt
Amperesches Gesetz ∇ × H
Z
~ · dA.
~
dW = d3 r(∇ × H)
Vektoridentität
∇ · (~a × ~b) = (∇ × ~a) · ~b − (∇ × ~b) · ~a
gibt
Z
dW =
~ · dH
~ +
d r(∇ × dA)
3
Z
~ × dA).
~
d3 r∇ · (H
Forme 2. Integral in Oberflächenintegral in ∞ um.
Dort sollen alle Felder verschwinden, also
Z
~ · dH.
~
dW = d3 r(∇ × dA)
~ = B,
~
Jetzt wieder ∇ × A
Z
dW =
~ · dB.
~
d3 rH
162
Vgl Elektrostatik
Z
dW =
~ · dD.
~
d3 rE
Sind völlig allgemeine Glgen.
~ = µH
~ linear.
Weiter mit Materialien, für die B
Z
1
~ · dB.
~
d3 rB
dW =
µ
Also Energiegehalt
Z
1
d3 rB 2 .
W =
2µ
Magnetische Energiedichte (für µ = const)
B2
e=
.
2µ
§142 Induktivität
Definition
Nach Becker-Sauter.
Thema: Ströme in Leitern: technische Anwendungen.
Achtung: nur Niederfrequenzwechselstr
öme.
P
Elektrostatik: qi = Cij Φj .
Ldgen auf einem Leiter mit konstantem Potential Φ.
Kapazitäten C. Dann
1 XX
W =
Cij Φi Φj .
2
Magnetostatik: Betrachte n Stromkreise I1 , . . . , In .
Wechselseitige und Selbst-Induktion.
Annahme: µ = const.
~ ∼ I.
Mag Fluß ∼ B
Und lineare Superposition
der Felder von I1 , . . . , In .
R
~
Also Induktion Φi = d~ai · B
Φi =
n
X
j=1
163
Lij Ij .
Lij Induktivität von Leiter j auf Leiter i.
Lii Selbstinduktivität.
Mag Feldenergie.
Arbeit = el Leistung U I× Zeitintervall dt
X
dW =
Ii Ui dt
=
=
i
X
Ii dΦi
i
X
X
i
=d
Lij Ij dIj
j
1 XX
Lij Ij Ij
2 i j
!
.
Also magnetische Feldenergie
W =
1 XX
Lij Ii Ij .
2 i j
Selbstinduktivität der langen Spule.
Strom I, Länge l, Windungszahl N , Querschnittsfläche q.
Magnetfeld im Innern H = N I/l.
Also Induktionsfluß durch N Drahtschleifen (Fläche!)
Φ = µµ0 N q · N I/l.
Also Selbstinduktivität
L = µµ0 N 2 q/l.
Wechsel-Induktivitätsformel.
Lij Ij ist mag Fluß durch Fläche Ai wegen Strom Ij ,
Z
~ j (~ri ).
Lij Ij = d~ai · B
Achtung auf i, j!
Seien d~ri , d~rj Linienelemente des i-ten und j-ten Kreises.
(Hier besser geeignet als d~l, siehe unten.)
164
Mit Stokesschem Satz
I
Lij Ij =
~ j (~ri ).
d~ri · A
Erinnerung: oben gezeigt, daß
~ = µ0~j,
∇×B
~ = 0,
∇·B
Lsg hat
~ = ∇ × A,
~
B
Z
~ r 0)
µ
0
3 0 j(~
~
dr
.
A=
4π
|~r − ~r 0 |
Benutze
d3 r~j = Id~r.
Beides einsetzen
µ0
Ij
Lij Ij =
4π
I
I
d~ri ·
d~rj
1
.
|~ri − ~rj |
Also
µ0
Lij =
4π
I I
d~ri · d~rj
.
|~ri − ~rj |
Es gilt also Lij = Lji
Dasselbe in Jackson 5.17.
Übung: Sommerfeld, gerader Leiter, geometrische Lsg 1854
§143 Selbstinduktivität
Problem: wird obige Formel für Lij auch für Lii benutzt:
Singulär: ~ri = ~ri .
Trick: zerlege Draht in ∞ viele benachbarte Stromfäden.
Entsprechende Herleitung wie oben gibt für Selbstinduktivität
Z Z
I I
df df 0
d~r · d~r 0
µ0
.
L=
4π
q2
|~r − ~r 0 |
H
Deutung: Die wieder entlang des Stromkreises.
165
RR
Das
df df 0 über alle Paare von Stromfäden im Draht.
Diese haben Querschnitt df df 0 , der ganze Draht q.
Übung: diese Herleitung im Detail.
Längliche Rechnung gibt für kreisförmig gebogenen Draht, falls
Drahtradius α Kreisradius a,
8a 7
L = µ0 a ln
−
.
α
4
Übung: diverse Selbstinduktivitäten ausrechnen.
§144 Transformatoren
Def Transformator: 2 Stromkreise, mit Wechselstrom in einem.
Def Feste Kopplung:
Durchsetzt mag Feldlinie einen Stromkreis, dann auch den anderen.
Realisierung: beide Stromkreise auf denselben Eisenkern wickeln:
Feldlinien verbleiben in diesem.
Beachte: Eisenkern muß geschlossen sein.
Beachte: es gibt L11 , L12 , L22 .
Sinn des Trafos: niedrige Outputspannung bei hoher Inputspannung.
§145 Generatoren und Elektromotoren
siehe Bergmann-Schäfer.
§146 Magnetische Diffusion und Induktionswärme
Jackson 5.18.
§147 Wirbelströme
Jackson 5.18.
§148 Kraft auf stromführende Leiter
Details in Panofsky und Phillips Kap. 10.
166
167
KAP 8: MAXWELLSCHE GLEICHUNGEN
§149 Maxwellscher Verschiebungsstrom
Was haben wir bisher gemacht?
Grundglgen der Magneto- und Elektrostatik
~ = ρ,
div D
~ = 0,
rot E
~ = ~j,
rot H
~ = 0.
div B
Hinzunahme der Induktion (zeitabhängig!)
~ = ρ,
div D
~
∂B
~
rot E +
= 0,
∂t
~ = ~j,
rot H
~ = 0.
div B
~ = ~j hinzu:
Jetzt noch Term im Ampereschen Gesetz rot H
Nehme div im Ampereschen Gesetz
~ = div ~j.
0 = div rot H
Gilt also nur für stationäre Ströme div ~j = 0.
Für zeitliche veränderliche Ströme gilt aber Kontinuitätsglg
∂ρ
+ div ~j = 0.
∂t
Dann ist Amperesches Gesetz falsch, denn
~ = div ~j = − ∂ρ 6= 0.
0 = div rot H
∂t
~ = ρ in Kontinuitätsglg ein
Maxwell: setze div D
∂
~ + div ~j = 0.
(div D)
∂t
168
Also
div
~
~j + ∂ D
∂t
!
= 0.
Maxwells große Idee: ganzer Klammerausdruck ist wahre Stromdichte.
Zweiter Term war bisher unbekannt. Neuer Effekt!
Damit Ampere-Maxwellsches Gesetz
~
∂D
~
~
rot H = j +
.
∂t
Dieses stimmt immer:
VA
~ = div
0 = div rot H
~
~j + ∂ D
∂t
!
K+G
= 0.
(VA = Vektoranalysis; K+G = Kontinuitätsglg + Gaußsches Gesetz)
~
∂ D/∂t
heißt Maxwellscher Verschiebungsstrom.
~j heißt dann Leitungsstrom.
Zurück zur Def: D hat Einheit Ldg/Fläche.
Also ist Ḋ Ldg, die pro Zeit durch Fläche tritt:
Stromdichte (Ldgsfluß).
Immense Bedeutung: veränderliches el Feld erzeugt mag Feld.
Dies selbst wenn kein Leitungsstrom fließt: Licht im leeren Raum.
Ohne Verschiebestrom kein Licht.
Maxwell postuliert auch im Leiter Verschiebestrom:
ist aber viel kleiner als Leitungsstrom.
Griffiths zitiert Bork (1963):
Maxwell fand Verschiebestrom aus einem Äthermodell.
Ist heute irrelevant.
Rettung der Kontinuitätsglg für Maxwell nur glücklicher Umstand.
Heute fundamental.
§150 Maxwellglgen
169
Somit lauten die vollständigen Maxwellglgen
~ = ρ,
div D
~ = 0,
div B
~
~ = − ∂B ,
rot E
∂t
~
~ = ~j + ∂ D .
rot H
∂t
Grundglgen der klassischen Elektrodynamik.
Beachte: keine Zahl ( 21 , 4π), keine Konstante (0 , µ0 ), nur ein −.
~ B.
~
Die primären Felder stehen zusammen: E,
~ D,
~ ρ, ~j.
Abgeleitete Felder und Materialfelder stehen zusammen: H,
Im Vakuum
~
~ = 0 E,
D
~
~ = µ0 H.
B
Sommerfeld beginnt mit Postulat der Maxwellglgen in Int.form
I
Z
~ =
d~a · D
dV ρ,
S
V
I
~ = 0,
d~a · B
IS
Z
d
~ =−
~
d~l · E
d~a · B,
dt
S
IC
Z
~ =
~˙
d~l · H
d~a(~j + D).
C
S
1: Coulombsches Gesetz in Gaußscher Form,
2: es gibt keine magnetischen Ldgen,
3: Faraday: Induktion,
4: Ampere: Strom macht Magnetfeld, Maxwell: Verschiebestrom.
~˙ ≡ 0 verschwindet Zeit aus Glg 4.
Für D
Nach Glg 1 ist dann ρ̇ = 0 an jedem Ort.
Ist Grundlage der Magnetostatik:
~
Stationäres ~j erzeugt statisches B.
Stationär = unveränderlich, zeitunabhängig; aber nicht unbewegt.
170
§151 Eichtransformationen
Quantenfeldtheorie ist Eichtheorie.
Ursprung der Idee in Elektrodynamik.
~
Schreibe Maxwellglgen mit Skalarpotential Φ und Vektorpotential A.
~ = 0 ist erfüllt wenn
∇·B
~ = ∇ × A.
~
B
Dann wird Induktionsgesetz
~
∂B
∂ ~
~
∇×E =−
=−
∇×A .
∂t
∂t
Vertausche ∂/∂t und ∇×,
!
~
~ + ∂ A = 0.
∇× E
∂t
Dies ist erfüllt wenn
~
~ + ∂ A = −∇Φ.
E
∂t
Also ganz allgemein:
~ =∇×A
~
B
und
~
∂A
~
E = −∇Φ −
.
∂t
Dies ersetzt Grundgesetz der E-Statik
~ = −∇Φ.
E
~ E
~ ist automatisch erfüllt
Mit diesen Glgen für B,
~ = 0,
∇·B
~
~ = − ∂B .
∇×E
∂t
Die beiden anderen Maxwellglgen lauten dann im Vakuum
∂
~ = −ρ/0 ,
∆Φ +
∇·A
∂t
2~
1
∂
A
1
∂Φ
~−
~+
∆A
−∇ ∇·A
= −µ0~j.
2
2
2
c ∂t
c ∂t
171
(151.1)
Nurmehr 2 Maxwellglgen zu lösen!
c ist Lichtgeschwindigkeit.
Entkopplung der Glgen mit Idee der Eichfreiheit:
~ bleibt wegen rot grad = 0 unverändert, wenn
B
~→A
~0 =A
~ + ∇Λ.
A
~ unverändert bleibt, muß
Damit dabei auch E
Φ → Φ0 = Φ −
∂Λ
.
∂t
Denn
~ 0 = −∇Φ0 − ~A˙ 0
E
˙ + ∂t ∇Λ)
= −(∇Φ − ∇Λ̇) − (~A
˙ = E.
~
= −∇Φ −~A
Skalare Funktion Λ(~r) ist beliebig.
Wähle sie so, daß
0
~ 0 + 1 ∂Φ = 0.
∇·A
c2 ∂t
~ 0 , Φ0 gibt Forderung an Λ
Ist dies möglich? Einsetzen von A
∆Λ −
(151.2)
1 ∂ 2Λ
~ − 1 ∂Φ .
=
−∇
·
A
c2 ∂t2
c2 ∂t
Lsg dieser Poissonglg (rechte Seite vorgegeben) gibt gesuchtes Λ.
Also Lorenzeichung (151.2) und die 2 zugehörigen Maxwellglgen
~ + 1 ∂Φ = 0,
∇·A
c2 ∂t
1 ∂ 2Φ
∆Φ − 2 2 = −ρ/0 ,
c ∂t
~
1 ∂ 2A
~
∆A − 2 2 = −µ0~j.
c ∂t
(151.3)
(Striche weggelassen).
Geben gleiche Physik wie 4 Maxwellglgen (aber Eichfreiheit fehlt).
Nach L.V. Lorenz (1867; Däne): Lorenzeichung
6= H.A. Lorentz (Holländer): Lorentzkraft, Lorentzkontraktion.
172
Selbst Lorenzeichung hat noch verbleibende Eichfreiheit:
~ und Φ die Lorenzeichung und Maxwellglgen,
Erfüllen A
~ + ∇Λ und Φ − ∂Λ/∂t, wenn
...dann auch A
1 ∂ 2Λ
∆Λ − 2 2 = 0.
c ∂t
Zweite wichtige Eichung: Coulombeichung
~ = 0.
∇·A
Hierin wird Maxwellglg für Φ
∆Φ +
∂
~ = −ρ/0
∇·A
∂t
auch in voller E-Dynamik zur Poissonglg der E-Statik
∆Φ = −ρ/0 .
Diese Glg beschreibt Coulombkraft, daher Coulombeichung.
§152 Energiesatz für elektrodynamische Felder
Wiederholung:
und Fluß
R Divergenz
3
Ladung q = d r ρ ist Erhaltungsgröße.
Kann in festem Volumen nur durch Abfließen verringert werden
Z
Z
Z
∂
3
d r ρ(r) = − d~a · (ρ~v ) = − d3 r∇ · (ρ~v ).
∂t V
S
V
Beliebiges aber konstantes V , also
∂ρ
+ ∇ · (ρ~v ) = 0.
∂t
Jede Erhaltungsglg hat diese Form.
ρ~v heißt Ladungsfluß.
(Dieselben Symbole auch: Massenfluß, mit Massendichte ρ.)
Ist auch (Ladungs-)Stromdichte ~j = ρ~v .
Neu weiter
Energiesatz für elmag Felder: Poynting 1884.
Hier nur im Vakuum. Für Medien siehe Jackson.
173
Energiedichte des el und mag Feldes
0
ue = E 2 ,
2
1 2
um =
B .
2µ0
Einheit J/m3 .
Dies wurde in Elektro- und Magnetostatik hergeleitet.
Wir zeigen unten u.a.: gilt auch in Elektrodynamik.
Also Gesamtenergiedichte des Feldes
u=
1
1 0 E 2 + B 2 .
2
µ0
Arbeit des Feldes an Ldgen: magnetisches Feld 0!
Denn Lorentzkraft ⊥ ~v . (Details: Übung)
El Feld: Arbeit pro Zeit
Z
d~
r
~ = d3 r~j · E.
~
= q~v · E
F~ ·
dt
Im letzten Schritt Integral über Ldgsdichte.
In Leitern, bei sehr häufigen Stößen:
beschreibt dieser Term Energieverlust, Erwärmung, Ohmsches Gesetz.
Herleitung Energiesatz
Amperesches Gesetz samt Verschiebestrom, im Vakuum
~
1
~ = ~j + 0 ∂ E .
∇×B
µ0
∂t
Also
Z
~ =
d3 r~j · E
Z
2
1
∂E
0
~ · (∇ × B)
~ −
d3 r
E
.
µ0
2 ∂t
Vektoridentität
~ × B)
~ =B
~ · (∇ × E)
~ −E
~ · (∇ × B)
~
∇ · (E
gibt
Z
~ =
d r~j · E
3
Z
2
1
∂E
1
0
~ × B)
~ + B
~ · (∇ × E)
~ −
.
d r − ∇ · (E
µ0
µ0
2 ∂t
3
174
~ = −∂ B/∂t
~
Induktionsgesetz ∇ × E
benutzen
Z
Z
2
2
1
1
∂E
∂B
0
3 ~ ~
3
~ × B)
~ +
d rj · E = − d r
∇ · (E
+
.
µ0
2µ0 ∂t
2 ∂t
Also
1
∂u
~ = d3 r
~ × B)
~ +
− d3 r~j · E
∇ · (E
.
µ0
∂t
Da Volumen beliebig, muß Glg für Integranden gelten
Z
Z
1
∂u
~ × B)
~ = −~j · E.
~
+ ∇ · (E
∂t µ0
Ist Energiesatz der Elektrodynamik.
Deutung, von links:
1. Term: zeitliche Änderung der Feldenergie an einem Ort.
2. Term: Divergenz, Abfluß der Energie von diesem Ort (infinit Vol).
3. Term: Energieverlust an Materie: Beschleunigung bzw Wärme.
Nach dieser Deutung ist der Poyntingsche Vektor
~ ×B
~
~= 1E
S
µ0
Energiefluß oder Energiestromdichte.
Einheit mJ2 s .
§153 Impulssatz für elektrodynamische Felder
Lorentzkraft auf einzelnes Teilchen
~ + ~v × B).
~
q(E
Summation über alle Teilchen
Z
~ + ~j × B).
~
d3 r(ρE
Newton II: Änderung des Gesamtimpulses P~mech der Teilchen
Z
dP~mech
~ + ~j × B).
~
= d3 r(ρE
dt
175
Maxwellsche Glgen einsetzen
~
ρ = 0 ∇ · E,
~
~ − 0 ∂ E ,
~j = 1 ∇ × B
µ0
∂t
Damit (µ0 0 = 1/c2 )
"
#
Z
~
~
dPmech
~
~ +B
~ × ∂ E − c2 B
~ × (∇ × B)
~ .
· E)
= d3 r0 E(∇
dt
∂t
Vektoridentität
~
~
~ × ∂ E = − ∂ (E
~ × B)
~ +E
~ × ∂B
B
∂t
∂t
∂t
gibt
Z
∂ ~
dP~mech
~
+ d3 r0 (E
× B)
dt
∂t
"
#
Z
~
~
~ +E
~ × ∂ B − c2 B
~ × (∇ × B)
~ .
· E)
= d3 r0 E(∇
∂t
(i) Integrationsvolumen sei konstant: ∂/∂t aus Integral ziehen.
(ii) Benutze
~ ×B
~ = 0 µ0 1 E
~ ×B
~ = 1 S.
~
0 E
2
µ0
c
(iii) Benutze Induktionsgesetz
~
∂B
~
.
∇×E =−
∂t
(iv) Addiere aus Symmetriegründen eine Null:
~
~ = 0.
c2 B(∇
· B)
Damit
Z
d ~
1
3 ~
Pmech + 2 d rS
dt
c
Z
h
i
3
2~
2~
~
~
~
~
~
~
= 0 d r E(∇ · E) − E × (∇ × E) + c B(∇ · B) − c B × (∇ × B) .
176
Deutungsversuch, von links:
1. Term: Mechanischer Impuls
2. Term: Elektromagnetischer Impuls. Also Impulsdichte
~ 2.
p~Feld = S/c
~ Energiestromdichte bzw Energiefluß.
Achtung: hingegen S
Rechts: Impulsstromdichte oder Impulsfluß.
Damit dies stimmt, muß rechts aber Oberflächenintegral stehen:
Abströmung von Impuls aus Volumen, also durch Volumenoberfläche.
Formel der Tensoranalysis. Sei f~ beliebiges Vektorfeld. Dann
f2
~
~
1) = f~(∇ · f~) − f~ × (∇ × f~).
∇ · (f ⊗ f −
2
Rechte Seite tritt genau oben auf.
Definiere also Maxwellschen Spannungstensor
~ ⊗E
~ +B
~ ⊗B
~ − 1 (E 2 + B 2 ) 1].
T = 0 [E
2
Dann
Z
Z
d ~
3
~
(Pmech + PFeld ) =
d r∇ · T =
d~a · T .
dt
V
S
Gaußscher Satz gilt auch für Tensoren.
Rechts steht gewünschtes Oberflächenintegral.
Impulsfluß T .
Weiter mit Feldenergie und -impuls in Flüssigkeiten.
§154 Drehimpulssatz für elektrodynamische Felder
Übung 6.10 in Jackson.
§155 Vektoreigenschaften der Felder
Polarer Vektor: kehrt bei Spiegelung Vorzeichen um.
Axialer Vektor: nicht.
Kreuzprodukt gibt axialen Vektor: (“→” sei Spiegelung)
~c = ~a × ~b → (−~a) × (−~b) = ~c.
177
Induktionsgesetz
~
∂B
.
∂t
~ ist polarer Vektor, weil Kraft F~ = q E
~ polar.
E
~ axialer Vektor.
Also ∇ × E
Also muß rechts auch axialer Vektor stehen:
~ ist axial. Dasselbe folgt aus Lorentzkraft.
B
~ D,
~ ~j, S.
~
Polar: E,
~ H.
~
Axial: B,
Ebenso gibt es Skalare und Pseudoskalare.
Letztere ändern bei Spiegelung Vorzeichen.
Z.B. Spatprodukt dreier polarer Vektoren ~a · (~b × ~c).
~ =−
∇×E
178
KAP 9: ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
§156 Die freie Wellengleichung
Wellen ohne Quellen.
Maxwellglgen im Vakuum, ohne Ldgen und Ströme
~ = 0,
div E
~ = 0,
div B
~
~ = − ∂B ,
rot E
∂t
~
1 ∂E
~
rot B = 2
.
c ∂t
Nehme (i) rot der letzten beiden Glgen,
(ii) vertausche mit ∂/∂t, und
(iii) benutze die beiden Glgen nochmal,
2
∂
~ = − 1 ∂ E,
~
rot B
∂t
c2 ∂t2
2
~ = 1 ∂ rot E
~ = − 1 ∂ rot B.
~
rot rot B
2
2
2
c ∂t
c ∂t
~ =−
rot rot E
Vektoranalysis
~ = grad div E
~ − ∆E.
~
rot rot E
Erster Term ist hier 0 wegen der ersten 2 Maxwellglgen oben, also
~
1 ∂ 2E
~
∆E − 2 2 = 0,
c ∂t
~
1 ∂ 2B
~
∆B − 2 2 = 0.
c ∂t
Ist Wellenglg.
§157 Ebene Wellen
Einfachste Lsg: planar fortschreitende Welle
~ =E
~ 0 e±i(~k·~r−ωt)
E
179
(156.1)
~ 0 konstant). Einsetzen
(E
k2 −
ω
=0
c2
also
ω
= ±c.
k
Phasengeschwindigkeit vp : Lichtgeschwindigkeit.
Übung: rechne dasselbe in Materie, mit Brechungsindex n und Laufgeschwindigkeit c/n.
Allgemeine planare Lsg von (156.1) ist
vp =
~
E(x,
t) = f~(~k · ~r − ωt) + ~g (−~k · ~r + ωt),
wobei f~, ~g beliebige Fkten eines Arguments.
Denn sei f~0 erste, f~00 zweite Ableitung von f~ nach dem Argument.
Dann (Übung: zeige dies)
∆f~ = k 2 f~ 00 ,
∂ 2 f~
= ω 2 f~ 00 .
2
∂t
Also
1 ∂ 2 f~
~
∆f − 2 2 = 0.
c ∂t
Ebenso für g.
§158 Kugelwellen
Betrachte monochromatische Welle
~ r, t) = E
~ 0 (~r)e−iωt .
E(~
Einsetzen in freie Wellenglg
~ 0 = 0,
(∆ + k 2 )E
Hat auch viele andere Lsgen statt ebene Wellen.
Annahme: sphärische Symmetrie. Dann
∂2
2 ∂
∆= 2+
.
∂r
r ∂r
180
~
Für sphärische Symmetrie E(r)
verschwinden die Winkelterme.
Dreizeilige Rechnung (Übung) zeigt:
Lsg der Wellenglg dann: Kugelwellen (Amplitude 1 gesetzt)
2
±ikr
∂
2 ∂
2 e
+
+
k
= 0.
∂r2 r ∂r
r
Beachte ~k · ~r bei ebenen vs kr bei Kugelwellen.
Kugelwelle muß nicht sphärisch symmetrisch sein:
Kann auch θφ-Abhängigkeit haben –
solange Laplaceglg bzgl Winkelterme gilt:
Laplaceoperator in sphärischen Koord (nicht sphär Symmetrie)
∂2
2 ∂
+
∂r2 r ∂r
1 ∂2
1
∂
+
+
r2 ∂θ2 r2 tan θ ∂θ
1
∂2
+
.
r2 sin2 θ ∂φ2
∆=
Nenne zweite plus dritte Zeile: Winkelterme “WT”.
Wellenglg dann
~ θ, φ)
0 = (∆ + k 2 )E(r,
2
∂
2 ∂
e±ikr
2
~
=
+
+ k + {WT} F (θ, φ)
∂r2 r ∂r
r
±ikr
2
±ikr
2 ∂
e
∂
2 e
+
+
k
+
{WT}F~ (θ, φ)
= F~ (θ, φ)
∂r2 r ∂r
r
r
e±ikr
=
{WT}F~ (θ, φ).
r
Also ist
±ikr
e
F~ (θ, φ)
r
Kugelwellenlsg der Wellenglg, wenn
1 ∂2
1
∂
1
∂2 ~
+
+
F (θ, φ) = 0.
r2 ∂θ2 r2 tan θ ∂θ r2 sin2 θ ∂φ2
lm-Moden in Übungen (Sternpulsationen).
181
Übung: zeige, daß im obigen r durch |~r − ~r| ersetzt werden kann.
Übung: welches Vorzeichen beschreibt auslaufende, welches einlaufende Kugelwellen?
§159 Transversale Wellen
Nochmals Maxwellglgen
~ = 0,
div E
~ = 0,
div B
~
~ = − ∂B ,
rot E
∂t
~
~ = 1 ∂E .
rot B
c2 ∂t
Wellenglg wurde aus Maxwellglgen durch Differenzieren gewonnen.
Dabei gehen Konstante, also Information über Lsg verloren.
Diese jetzt gewinnen:
Setze Wellenlsg in Maxwellglgen (nicht Wellenglg) ein.
Konkret für ebene Wellen
~ r, t) = E
~ 0 ei~k·~r−iωt ,
E(~
~ r, t) = B
~ 0 ei~k·~r−iωt .
B(~
In die beiden div-Glgen einsetzen gibt
~k · E
~ 0 = 0,
~k · B
~ 0 = 0.
El und mag-Feld stehen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
Diese Aussage ist für elmag Wellen universal richtig!
Bis hin zur Quantenelektrodynamik (Grund: Photon masselos).
Elektromagnetische Wellen sind transversal.
Aus den rot-Glgen folgt
~ 0 = iω B
~ 0,
i~k × E
~ 0 = − 1 iω E
~ 0.
i~k × B
c2
182
oder
~ 0 = k̂ × E
~ 0,
cB
~ 0 = −ck̂ × B
~ 0.
E
Setze zweite in erste Glg ein
~ 0 = −k̂ × (k̂ × B
~ 0)
B
~ 0 − (k̂ · B
~ 0 )k̂
= (k̂ · k̂)B
~ 0 − 0.
=B
Tautologie, also sind die zwei Glgen identisch.
Also nur eine dritte Relation
~ 0 = k̂ × E
~ 0.
cB
El und mag Feld stehen aufeinander senkrecht.
Beachte: B ist um Faktor c kleiner als E.
~ ×B
~ zeigt in Richtung Wellenausbreitung.
Poyntingvektor µ10 E
Übung. Zeige, daß zeitliches Mittel (harmonische Welle) der Energiedichte (nicht Energiefluß) u = 12 0 E02 ist.
Übung. Wie lautet dieser § in Medien mit Brechnungsindex n?
§160 Polarisation
~ senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
E
~ durch 2 Basisvektoren darstellbar.
Damit E
Zwei Sets von Basisvektoren
(1) Linear polarisiert in x- und y-Richtung (z.B.)
(2) Rechts- und linkszirkular polarisiert.
Rechnungen als Übung (Abschnitt 7.2 in Jackson)
Übung: Stokessche Parameter.
§161 Reflexion und Brechung
Hier nur Summary. Rechendetails in Übung.
Übergang planare Welle von Vakum in Medium mit konstanten µ, .
Beschreibe dies mit Brechungsindex n.
Übergangsebene sei z = 0.
183
Drei Wellenanteile: einfallend, gebrochen (0 ), reflektiert (00 )
~ 0 ei(~k·~r−ωt) ,
E
~ 00 ei(~k0 ·~r−ωt) ,
E
~ 000 ei(~k00 ·~r−ωt) .
E
ω const, ~k, ~k 0 , ~k 00 verschieden.
k = k 00 = nk 0 für Beträge der Wellenzahlvektoren.
~ und B
~ bei z = 0 müssen für alle t gelten.
Sprungbedingungen an E
Also muß e-Faktor bei z = 0 für alle t gleich sein,
(~k · ~r)|z=0 = (~k 0 · ~r)|z=0 = (~k 00 · ~r)|z=0 .
~k, ~k 0 , ~k 00 müssen in einer Ebene liegen.
Sei α, α0 , α00 Winkel der Wellenvektoren mit Normale zu z = 0.
Dann folgt
k sin α = k 0 sin α0 = k 00 sin α00 .
Damit folgt Spiegelgesetz
α = α00
und Snelliussches Brechungsgesetz
sin α0
= n.
sin α
n > 1: Lichtstrahl wird vom Lot weggebrochen.
Erst jetzt (elektrodynamische) Sprungbedingungen an E und B.
Für senkrechten Einfall findet man nach Rechnung
E00
2
=
,
E0
n+1
n−1
E000
=
.
E0
n+1
Beachte E00 + E000 = E0 .
§162 Polarisation durch Reflexion. Totalreflexion
Übungen.
§163 Der Gaußsche Strahl
Ebene- und Kugelwellen sind schlechte Näherung an Laserstrahl.
Pionierarbeit Fox & Li (1961): Gaußscher Strahl.
184
Phänomenologie der Grundmode eines Laserstrahls:
Strahl hat fast sphärische Wellenfronten
Intensität hat Gaußverteilung in ebenem Strahlquerschnitt
Strahl hat eine engste Stelle: Taille (nicht an der Quelle)
(Bei höheren Moden statt Gauß-Verteilung Hermite-Polynome.)
Dies kann wie folgt aus Wellenglg abgeleitet werden.
Abbildung 163.1: Gaußscher Strahl (Praktikum Ruhr-Uni Bochum).
1. Strahllsg
Dieser § nach W. Lange, Einführung in die Laserphysik, 1994,
sowie Pedrotti et al., Optik – eine Einführung, 1996.
Erstmals: Fox, Li, Kogelnik, Mitte 1960er.
Lsgen der freien Wellenglg: ebene, Zylinder-, Kugelwellen.
Jetzt: Strahlen endlicher Breite/Dicke, wie im Labor.
Randeffekte: Intensitätsabfall.
Beginne wieder mit Helmholtzscher Wellenglg
~−
∆E
~
1 ∂ 2E
= 0.
c2 ∂t2
~
Ebenso für B.
Voraussetzungen:
(i) betrachte nur monochromatische Wellen einer Frequenz
~ skalare Theorie
(ii) betrachte nur eine Komponente von E:
~ r, t) → u(~r)e−iωt .
E(~
185
Wieder k = ω/c.
Erfüllt skalare Wellenglg
∆u + k 2 u = 0.
Kart.Koord.
(iii) Strahl läuft in z-Richtung
(iv) Strahl weicht nur wenig von ebener Welle ab.
Origineller Ansatz
u(x, y, z) = ψ(x, y, z)e−ikz .
Der e-Faktor drückt ebene Welle in z-Richtung aus.
Der ψ-Faktor die Abweichung davon.
Einsetzen in Wellenglg: vernachlässige ∂ 2 ψ/∂z 2 .
Denn Ortsabhängigkeit soll meist in e-Faktor enthalten sein
∂ψ
∂ 2ψ ∂ 2ψ
+
−
2ik
= 0.
∂x2
∂y 2
∂z
Heißt paraxiale Wellenglg.
Hat Ähnlichkeiten mit Schrödingerglg.
Lsg.ansatz
k(x2 + y 2 )
.
ψ(x, y, z) = exp −i p(z) +
2q(z)
(163.1)
(163.2)
p und q seien komplexe Fkten. Sei r2 = x2 + y 2 .
Einsetzen von (163.2) in (163.1) gibt
dp
i
=− ,
dz
q
dq
= 1.
dz
(163.3)
(163.4)
Wir definieren neue Fkten R(z), w(z) durch
1
1
λ
= −i 2 .
q
R
πw (z)
w: Strahlradius, R: Krümmungsradius des Strahls.
186
(163.5)
Einsetzen in Lsg.ansatz (163.2)
ψ(x, y, z) = e−ip(z) e−ikr
2
/(2R) −r2 /w2
e
.
(163.6)
Dritter Faktor Grund für Name “Gaußscher Strahl”:
Strahlintensität nimmt in r-Querrichtung (!) mit Gaußprofil ab.
w heißt Strahlradius.
Dagegen ebene Wellen: ⊥ zur Laufrichtung ∞ ausgedehnt.
Zweiter Faktor.
Ebene und Kugelwellen haben Phasenfaktor eikx und eikr .
Hier x und r Abstand zur Wellenquelle.
Nimm Wellenquelle bei (0, 0, z − R) an, mit r R.
Betrachte Punkt (x, y, z). Abstand von Wellenquelle ist
r
p
p
r2
r2
2
2
2
2
2
x +y +R = r +R =R 1+ 2 ≈R+
.
R
2R
Also Phasenfaktor
−ik
e
√
x2 +y 2 +R2
≈ e−ikR e−ikr
2
/(2R)
.
Erster Faktor konstante Phase: egal.
Zweiter Faktor derselbe wie in (163.6).
Also konstante Phase von ψ auf Sphären um (0, 0, z − R).
Daher auch Name Gaußsche Kugelwellen.
Aber nur in Strahlnähe. Bisher:
∗ sphärische Wellenflächen nahe Strahlachse
∗ Gaußscher Abfall weg von Strahlachse
Es gibt (s.u.) Ebene z = z0 , in der Wellenfront eben ist.
Also R → ∞ und nach (163.5)
q(z0 ) = q0 =
iπw02
≡ izR .
λ
zR heißt Rayleighlänge.
Lege Koord.system so, daß z0 = 0.
Dann Lsg (163.4)
q(z) = q0 + z = izR + z.
187
(163.7)
Dies in (163.5) einsetzen gibt für Real-/Imaginärteil
s
z2
w(z) = w0 1 + 2 ,
zR
zR2
R(z) = z + .
z
Strahlradius w und Krümmungsradius R der Wellenfront.
Minimum von w bei z = 0: Strahltaille.
p
∗ Strahlprofil in Ausbreitungsrichtung: 1/ 1 + z 2 /zR2 .
Also für z zR parabelförmig, für z zR linear.
Also für z zR konstanter halber Öffnungswinkel des Strahls
θ ≈ tan θ =
w(z)
w0
λ
→
=
.
z
zR
πw0
Dabei vorausgesetzt, daß θ π/2.
θ umso kleiner, je größer Strahldurchmesser im Vgl zu λ.
Auseinanderlaufen des Strahls ist Beugungseffekt.
Krümmungsradius:
(i) R = z + zR2 /z ist ∞ bei z = 0
(ii) R hat Minimum bei z = 2zR ,
(iii) R(z → ∞) = z.
(i) ist wie ebene Welle: kollimierter Strahl.
(ii) Übergang zu:
(iii) ist wie bei Kugelwelle mit Ursprung z0 = 0.
Sehr wichtig:
Taille ist nicht Strahlursprung.
Strahl läuft in seine Taille hinein!
Erster Faktor.
(163.3) in (163.7)
dp
i
=−
.
dz
z + izR
Einfach zu lösen. Insgesamt
w0
z
ikr2
r2
ψ(x, y, z) =
exp i atan
exp −
exp − 2
.
w
zR
2R
w0 (1 + [z 2 /zR2 ])
Näherungsweise vollständige Lsg der freien Wellenglg.
188
Der Faktor w0 /w sorgt für Amplitudenabfall bei Strahlaufweitung.
2. Optik mit Gaußschen Strahlen
Geometrische Optik:
Kugelwelle aus Gegenstandsweite g erreicht Linse.
Kugelwelle hat bei Sammellinse Krümm.radius g > 0.
Wird umgewandelt durch Phasenflächendeformation:
in Kugelwelle mit Krümm.radius −b > 0.
Sei Brennweite f > 0. Dann Linsenformel
1
1 1
+ = ,
g b
f
oder äquivalent (Rin = g, Rout = −b)
1
1
1
=
− ,
Rout
Rin f
Idee:
genauso wandelt Linse Krümm.radius R des Gaußschen Strahls um.
Gaußscher Strahl geht dabei in Gaußschen Strahl über.
Im Gegensatz zur geometrischen Strahloptik ist hier berücksichtigt:
Wellencharakter des Lichts:
Gaußscher Strahl ist Lsg der Wellenglg.
Somit experimentelle Kontrolle über Beugung usw.
3. Hohe Theorie
Gaußverteilung von Licht in Ebene z = 0 wird angenommen
2
x + y2
ψ(x, y, 0) = A exp −
.
w02
Benutze Fresnelsches Beugungsintegral (lin. und quadrat. Taylorterm)
... um ψ(x, y, z) in Ebene z zu berechnen.
Statt obigem Näherungs-Ansatz “paraxiale Wellenglg.”
§164 Greensche Funktion
Bisher nur homogene Wellenglg; aber:
Wir fanden mehrfach nichthomogene Wellenglg, z.B.
1 ∂ 2Φ
ρ
∆Φ − 2 2 = − .
c ∂t
0
189
Heißt ebenfalls Helmholtzsche Wellenglg.
Linke Seite beschreibt Signalausbreitung mit c.
Rechte Seite ist Anregung der Welle.
1. Greensfunktion
Betrachte Glgen der Form
1 ∂ 2Ψ
∆Ψ − 2 2 = −4πf (~r, t).
c ∂t
(164.1)
f sei bekannte Fkt.
Wellenglg ist linear, also Superpositionsprinzip: Lsgen addieren.
Idee: f ist willkürlich. Um universal weiterzukommen, löse
1 ∂2
∆ − 2 2 G(~r, t; ~r 0 , t0 ) = −4πδ(~r − ~r 0 )δ(t − t0 ).
c ∂t
Da rechte Seite nur von ~r − ~r 0 und t − t0 abhängt, so auch linke
G(~r, t; ~r 0 , t0 ) → G(~r − ~r 0 , t − t0 ).
Wir bleiben dennoch bei linker Schreibweise.
Obiger Diff.operator fundamental, daher Abkürzung
G(~r, t; ~r 0 , t0 ) = −4πδ(~r − ~r 0 )δ(t − t0 ),
mit Wellenoperator
1 ∂2
≡ ∆ − 2 2.
c ∂t
Integriere über Raum und Zeit
Z
Z
d3 r0 dt0 G(~r, t; ~r 0 , t0 )f (~r 0 , t0 )
Z
Z
= −4π d3 r0 dt0 δ(~r − ~r 0 )δ(t − t0 )f (~r 0 , t0 )
= −4πf (~r, t).
In treten nur
R ~r3 und
R t0 auf:
0
darf also aus d r dt gezogen werden
Z
Z
d3 r0 dt0 G(~r, t, ~r 0 , t0 )f (~r 0 , t0 ) = −4πf (~r, t).
190
(164.2)
Vergleich mit (164.1) gibt
Z
Z
3 0
Ψ(~r, t) = d r
dt0 G(~r, t; ~r 0 , t0 )f (~r 0 , t0 ).
Wenn also universelles G bekannt,
...dann für jedes f Lsg Ψ der Wellenglg durch Raumzeit-Integration.
Idee der Greensfunktion G fundamental in moderner Physik.
Wichtiger Grenzfall:
Zurück zu Elektrostatik durch Weglassen aller t und ∂/∂t.
Dann wird (164.2) zur Poissonglg für G
∆G(~r; ~r 0 ) = −4πδ(~r − ~r 0 ).
2. Zeitliche Fouriertransformierte
Lsg des zeitlichen Anteils der Wellenglg ist e-Fkt.
Mache Fouriertrafo bzgl t
Z ∞
1
0
0 0
G(~r, t; ~r , t ) =
dωg(~r, ~r 0 )e−iω(t−t ) .
2π −∞
Außerdem wie bekannt
1
δ(t − t ) =
2π
0
Z
∞
0
e−iω(t−t ) .
−∞
Einsetzen
Z
Z
1
ω2
0
0 −iω(t−t0 )
0 1
dω ∆ + 2 g(~r, ~r )e
= −4πδ(~r − ~r )
dωe−iω(t−t ) .
2π
c
2π
Koeffizientenvergleich (e-Fkten sind orthogonal, also unabhängig)
(∆ + k 2 )g(~r, ~r 0 ) = −4πδ(~r − ~r 0 ),
mit Wellenzahl k = ω/c.
Beachte: Im Fourieransatz sollte man zunächst
g = g(~r, ~r 0 , ω)
annehmen. Aus der letzten Glg folgt aber, daß
g = g(~r, ~r 0 ).
191
(164.3)
3. Lsg der Helmholtzschen Wellenglg
Spezialisierung auf Kugelsymmetrie:
Vom Quellpunkt ~r 0 soll sich Störung auf Kugelflächen ausbreiten:
Dann kann g nur von s = |~r − ~r 0 | abhängen
g(~r, ~r 0 ) → g(s).
Laplaceoperator wird zu
∆g →
Einsetzen
1 d2
[sg(s)].
s ds2
1 d2
[sg(s)] + k 2 g(s) = −4πδ(s).
2
s ds
Zwei Bereiche:
(i) s > 0 (nicht-infinitesimale Nachbarschaft von 0).
δ weglassen
2
d
2
+ k [sg(s)] = 0.
ds2
Ist Oszillatorglg. Lsg ist
sg(s) = aeiks + be−iks .
(164.4)
DGL 2. Ordnung, also 2 Integrationskonstanten a, b.
(ii) s → 0. Dann auch k 2 sg(s) → 0: weglassen
1 d2
[sg(s)] = −4πδ(s).
s ds2
Ist Poissonglg der Elektrostatik. Lsg von dort
1
lim g(s) = .
s→0
s
Der Bereich s → 0 gibt also (nur) Randbedingung an g(s);
macht auch anschaulich Sinn.
Anschluß: nehme s → 0 in (164.4)
sg(s) = a + b.
Vergleich mit (164.5)
a + b = 1.
192
(164.5)
Also
g(s) = a
eiks
e−iks
+ (1 − a)
.
s
s
(164.6)
4. Aufsammeln
Damit gesamte Greensfunktion
Z ∞
1
0
0 0
G(~r, t; ~r , t ) =
dωg(s)e−iω(t−t ) ,
2π −∞
Z ∞
a iωs/c (1 − a) −iωs/c −iω(t−t0 )
1
dω e
+
e
e
,
=
2π −∞
s
s
Z ∞
Z ∞
a 1
1−a 1
0
−iω(t−t0 −s/c)
=
dωe
dωe−iω(t−t +s/c)
+
s 2π −∞
s 2π −∞
1−a
a
δ(t − t0 + s/c).
= δ(t − t0 − s/c) +
s
s
Also ausgeschrieben
G(~r, t; ~r 0 , t0 ) = aG+ (~r, t; ~r 0 , t0 ) + (1 − a)G− (~r, t; ~r 0 , t0 ),
mit
0
0
δ t−t −
0
G+ (~r, t; ~r , t ) =
0
δ t−t +
0
,
|~r − ~r 0 |
0
|~r−~r 0 |
c
G− (~r, t; ~r , t ) =
|~r−~r 0 |
c
|~r − ~r 0 |
.
Dies ist universelles Ergebnis:
Greensfkt ist δ-Fkt, wenn Medium wie hier dispersionsfrei, also
c 6= c(ω).
Interessanter: Medium mit Dispersion: Greensfkt z.B. Besselfkt.
G+ heißt retardierte Greensfunktion: sammelt Beiträge von
t − t0 −
also
|~r − ~r 0 |
= 0,
c
|~r − ~r 0 |
t =t−
.
c
0
193
Störung wird zur Zeit t0 < t (Vergangenheit bzgl t) bei ~r 0 ausgesandt;
propagiert mit c, erreicht ~r bei t.
So sieht kausale Wirklichkeit aus.
G− heißt avancierte Greensfunktion: sammelt Beiträge von
|~r − ~r 0 |
t−t +
= 0,
c
0
also
|~r − ~r 0 |
.
c
Störung wird zur Zeit t0 > t (Zukunft bzgl t) bei ~r 0 ausgesandt;
propagiert mit c, erreicht ~r zu früherem Zeitpunkt t.
Akausal.
Ist aber nützlich, um bestimmte Randbedingungen zu beschreiben.
Aber in QED:
Positron ist Elektron, das rückwärts in der Zeit läuft (Feynman).
Gesamtlösung
Z
Z
3 0
Ψ(~r, t) = d r
dt0 G(~r, t; ~r 0 , t0 )f (~r 0 , t0 )

 |~r−~r 0 |
|~r−~r 0 |
0
0
Z
Z
δ t−t − c
δ t−t + c
3 0
0
 f (~r 0 , t0 )
= dr
dt a
+ (1 − a)
0
0
|~r − ~r |
|~r − ~r |
"
#
Z
0
0
0
0
f
~
r
,
t
−
|~
r
−
~
r
|/c
f
~
r
,
t
+
|~
r
−
~
r
|/c
= d3 r0 a
+ (1 − a)
.
|~r − ~r 0 |
|~r − ~r 0 |
t0 = t +
Sieht kompliziert aus, ist aber klar:
Für Ψ bei ~r zur Zeit t werden über ganzen Raum summiert:
Störquellen f bei ~r 0 , deren Signal mit c propagiert;
und zu korrekt retardierter/avancierter Zeit t0 = t ± |~r − ~r0 |/c startet
...um ~r bei t von ~r 0 bei t0 aus zu erreichen.
Diese Lsg heißt Lenard-Wiechert-Potential (1898, 1900).
§165 Drudesche Formel
Polarisierbarkeit der Materie P~ durch zeitlich veränderliche Felder.
Oszillatormodell von Drude (1900).
Keine Magnetfelder.
194
Betrachte atomares Elektron als 1-d klassischen Oszillator
m(ẍ + γ ẋ + ω02 ) = −eE(x, t).
Lichtwellenlänge größer als Atomdurchmesser: E räumlich konstant.
Monochrome Welle: E = E0 e−iωt .
Lsgansatz: x(t) = x0 e−iωt einsetzen gibt Forderung
x0 =
ω02
E0 e/m
− ω 2 − iωγ
wie in Mechanik.
Dipolmoment P von N solcher Atome mit Dipolmoment p
P = N p = −N ex0 =
N e2 /m
E0 .
ω02 − ω 2 − iωγ
Nach Definition ist
P = χE0 ,
mit Suszeptibilität χ und
= 0 (1 + χ).
Also folgt Drudesche Formel
(ω)
N e2 /m
=1+ 2
.
0
ω0 − ω 2 − iωγ
Da der Bruch einheitslos sein muß, schreibt man auch
ωp2
(ω)
=1+ 2
.
0
ω0 − ω 2 − iωγ
Sies unter Annahme, daß alle Atome im Medium identisch.
Sonst Mehrfachresonanzen.
§166 Kausale Verknüpfung zwischen D und E
1. Faltungssatz für Fourierintegrale
Seien f (t), g(t), h(t) Fkten mit Fouriertransformierten
Z ∞
1
f (ω) = √
dtf (t)eiωt ,
2π −∞
195
entsprechend für g(ω), h(ω).
Die Umkehrtrafo ist
Z
1
f (t) = √
2π
∞
dωf (ω)e−iωt .
−∞
Satz: Sei
h(ω) = f (ω)g(ω).
Dann ist
1
h(t) = √
2π
∞
Z
dt0 f (t0 )g(t − t0 ).
−∞
Und umgekehrt.
Solche Integrale heißen Faltungsintegrale.
Beweis: Übung, Literatur.
2. Nichtlokalität in der Zeit
In der Elektrostatik war definiert
~ r) = E(~
~ r).
D(~
Jetzt in Elektrodynamik, bei Lichtdurchgang
~ r, ω) = (ω)E(~
~ r, ω).
D(~
Mit Faltungssatz folgt
~ r, t) = √1
D(~
2π
∞
Z
~ r, t − t0 ).
dt0 (t0 )E(~
−∞
~ r, t) abspalten
Darin will man zeitlich lokalen Anteil 0 E(~
Z ∞
0
(t
)
1
~ r, t − t0 ).
~ r, t) = 0 E(~
~ r, t) + 0
− δ(t0 ) E(~
D(~
dt0 √
2π 0
−∞
Schreibe dies als
~ r, t) = 0 E(~
~ r, t) + 0
D(~
Z
∞
~ r, t − t0 ),
dt0 G(t0 )E(~
−∞
mit
1 (t0 )
G(t ) = √
− δ(t0 ).
2π 0
Mit Fouriertransformation von und δ.
0
196
(166.1)
√
Beachte streng 1/ 2π und 1/2π.
Z ∞
1
(ω)
0
0
G(t ) =
dω
− 1 e−iωt .
2π −∞
0
Jetzt t statt t0 . Einsetzen der Drudeformel
Z
ωp2 ∞
dωe−iωt
G(t) =
.
2π −∞ ω02 − ω 2 − iγω
§167 Integration in komplexer Ebene
Großer Trick in Plasmaphysik und Quantenfeldtheorie:
Schließe reellen Integrationsweg von −∞ bis ∞
...durch Halbkreis im Unendlichen der komplexen Ebene.
Dies so, daß Kausalität korrekt erfüllt (s.u.)
Dann Residuensatz der Funktionentheorie anwendbar.
Integrand in letzter Glg hat komplexe Pole bei
(Lsg der quadratische Glg Nenner = 0)
r
γ2
1
mit
ν0 = ω02 − .
ω1,2 = − iγ ± ν0 ,
2
4
Beide Pole unterhalb der IR-Achse.
Betrachte e-Fkt im Integranden:
für t < 0 steht hier eiω|t| .
Ist 0, falls ω ≡ i∞.
Man kann also Integrationsweg von −∞ bis ∞ entlang IR schließen:
durch 2 senkrechte Geraden hoch nach ω ≡ i∞
... und 1 Gerade ω ≡ i∞.
Einfacher: Halbkreis im Unendlichen.
Dies gibt keinen Beitrag zum Integral.
Für geschlossenen Weg in komplexer Ebene Residuensatz anwendbar:
Integral = 2πi× Summe der umschlossenen Polresiduen.
Für t < 0 und IR+ Halbkreis in der oberen Halbebene:
keine Pole innerhalb des Wegs, also
G(t < 0) = 0.
Für t > 0 schließe Integrationsweg in unterer Halbebene.
197
Erinnerung: Residuum eines Pols m-ter Ordnung bei z = a ist
dm−1
1
lim m−1 [(z − a)m f (z)].
Res =
z→a
(m − 1)!
dz
Hier m = 2 und z ≡ ω.
Übung: berechne damit
G(t > 0) = ωp2 e−γt/2
sin ν0 t
.
ν0
Zusammen mit Ergebnis oben:
G(t) = ωp2 e−γt/2
sin ν0 t
Θ(t).
ν0
Θ Heaviside’sche Sprungfunktion
Θ(t) = 0 für t < 0,
= 1 für t > 0.
Somit in Greensfkt:
(i) kein Signal vor bestimmter Zeit (Retardierung),
(ii) plötzlich einsetzende Oszillation (großer Amplitude),
(iii) die zeitlich abklingt.
Θ stellt Kausalität sicher:
~ kann nur von E
~ zu früheren Zeiten abhängen.
D
Setze G(t) in (166.1) ein
Z ∞
0
2
0 −γt0 /2 sin ν0 t
~
~
~ r, t − t0 )
D(~r, t) = 0 E(~r, t) + 0 ωp
dt e
Θ(t0 )E(~
ν0
Z−∞
t
sin ν0 (t − τ ) ~
~ r, t) + 0 ωp2
= 0 E(~
dτ e−γ(t−τ )/2
E(~r, τ ),
ν0
−∞
nach Substitution
τ = t − t0 .
~ r) hängt von E(~
~ r) zu allen früheren Zeiten τ ab.
D(~
Abklingzeit ist aber 2/γ, wegen e-Term.
(Von hier weiter zu Supraleitern.)
Übung: zeige, daß folgende Darstellung der Stufenfkt gilt
Z ∞
e−ikx
i
Θ(x) = lim
dk
.
→0 2π −∞
k + i
198
Wie sind die Integrationswege geeignet bei ∞ zu schließen?
§168 Kramers-Kronig-Relation
Ist Anwendung der Cauchyschen Formel der Funktionentheorie.
Reine Mathematik mit minimalsten physikalischen Voraussetzungen:
Im wesentlichen nur Kausalität.
Erlaubt Imaginärteil von aus Realteil zu berechnen, und umgekehrt.
Sehr wichtig in Teilchenphysik.
§169 Dispersion
Dispersion heißt zunächst
= (ω),
µ = µ(ω),
mit Feld-Kreisfrequenz ω.
Aus einfachster Wellenglg folgt
k=
√
µ ω.
Damit Phasengeschwindigkeit
vp =
1
ω
=√ .
k
µ
Sei Brechungsindex
n=
µ
.
0 µ0
Dann
vp = c/n.
Allgemein (auch für Wasser- und Schallwellen) heißt Dispersion
ω = ω(k).
Jede harmonische Welle läuft mit eigenem vp .
Heißt Phasengeschwindigkeit weil harmonische Welle = Phasen.
Wellenpaket besteht nach Fourier aus vielen harmonischen Wellen.
Wellenpakete zerfließen also.
Siehe Jackson Abschnitt 7.9. Übungen.
199
Es gibt normale Dispersion und anomale.
§170 Gruppengeschwindigkeit, Beobachtungen
Signalübertragung in Medien:
ohne Dispersion: mit Phasengeschw,
mit Dispersion: mit Gruppengeschw,
mit Dispersion und Instabilität: Signalgeschw aus Greensfkt.
Gruppengeschw nur sinnvoll wenn
(i) keine Instabilitäten
(ii) Puls nicht zu scharf
(iii) normale Dispersion, nicht anomale (jedoch...)
vp , selbst vg (!) kann größer c sein.
Aber nie Widerspruch zu SRT: Signalgeschw ≤ c.
Beobachtungen an Wasserwellen:
Lamb (Hydrodynamics):
“It has often been noticed that when an isolated group of waves, of
sensibly the same length, is advancing over relatively deep water, the
velocity of the group as a whole is less than that of individual waves
composing it. If attention be fixed on a particular wave, it is seen to
advance through the group, gradually dying out as it approaches the
front, whilst its former place in the group is occupied in succession by
other waves which have come forward from the rear.”
Lighthill (Water Waves):
“It is extremely instructive to watch those outside waves. Anyone observing, however carefully, the progress of one of the crests will suddenly lose sight of it! It seems an optical illusion at first; the possible
result of mistaken identity between that crest and the next one coming along behind, to which the observer’s gaze is now transferred;
but then this next crest, too, disappears!”
Erklärung dieses Phänomens ist erstaunlich: siehe Lighthill S. 240.
Lighthill (S. 242) beschreibt folgenden Effekt:
Auge oder Gehirn unterscheiden nicht klar zwischen den Konzepten
“Wellenberg” und “Wellenlänge”. Daher, wenn man Welle im Sinne von “eine Wellenlänge” verfolgen will, geht das Auge mit der Ge200
schwindigkeit der leicht identifizierbaren Wellenberge über das Wasser. Man ist dann erstaunt, an der neuen Position nicht die originale
Wellenlänge sondern eine größere zu finden.
Def: Wellenberge, -täler, -knoten (Phasen [0, 2π]) laufen mit vp .
Def: Wellenlänge breitet sich mit vg aus.
Reynold und Rayleigh: Wellenenergie läuft mit vg .
3 Wege, Gruppengeschw einzuführen, in steigender Abstraktion.
§171 Gruppengeschw nach Stokes
Gegeben 2 harmoische Wellen.
Fast gleiche Wellenlänge und Amplitude.
Überlagerung der Wellenamplitude
η = a sin(kx − ωt) + a sin(k 0 x − ω 0 t)
1
1
(k − k 0 )x − (ω − ω 0 )t ×
= 2a cos
2
2
1
1
sin
(k + k 0 )x − (ω + ω 0 )t .
2
2
Da k ≈ k 0 , ω ≈ ω 0 , ändert sich cos nur wenig mit x und t:
Schwebung.
Schwebung ist Einhüllende der schnellen Oszillation ω + ω 0 .
Man nennt die Einhüllende ein Wellenpaket (hier 2 Mitglieder).
Abstand zweier Knoten der Schwebung ist 2π/(k − k 0 ).
Verschiebungsgeschw der Schwebung ist
vg =
2π/(k − k 0 )
dω
≡
.
2π/(ω − ω 0 )
dk
Letztere Identifikation wegen limes k → k 0 .
Beispiel: Wellen in seichtem Wasser: (Gezeitenwellen, Tsunamis).
Def: λ Wassertiefe.
Die Teilchen schwingen horizontal.
Dispersionsrelation (siehe Literatur zu Hydrodynamik)
ω 2 = ghk 2 .
Also
ω p
dω
vp = = gh =
= vg .
k
dk
201
Phasen- und Gruppengeschw gleich.
Dagegen laufen Wellen in tiefem Wasser nur an der Oberfläche.
Def: λ Wassertiefe.
Teilchen laufen auf Kreisbahnen.
Dispersionsrelation (siehe Hydroliteratur)
ω 2 = gk.
Also
r
vp =
g
k
aber
r
1
1 g
= vp ,
vg =
2 k
2
unabhängig von Wellenlänge.
Dies erklärt obiges Zitat von Lamb.
§172 Gruppengeschw nach Stokes und Kelvin
1. Verallgemeinerung:
∞ statt 2 Mitglieder im Wellenpaket.
Betrachte nur ebene Wellen in Richtung x.
Sei E(x, t) irgendeine der 3 el Feldkomponenten (kann auch B sein).
Grundlsg der skalaren Wellenglg ist
E(x, t) = aeikx−iωt + be−ikx−iωt .
Man kann ω oder k als freie Variable auffassen; hier k.
Also wieder
ω = ω(k).
Offensichtlich muß sein
ω(−k) = ω(k).
Allgemeine Lsg der Wellenglg ist Wellenpaket
Z ∞
1
E(x, t) = √
dk a(k)eikx−iω(k)t .
2π −∞
√
Faktor 1/ 2π wegen Fourierformeln.
202
2. Analysemethode: Methode der stationären Phasen.
Einschränkungen:
(i) kein stark dispersives Medium
(ii) kein spitzer Puls (→ Greensfkt).
Annahme: a(k) ändert sich sehr langsam: aus Integral ziehen.
Variablensubstitution
l = kx − ωt,
dω(k)
dl
=x−
t.
dk
dk
Gibt
Z
E(x, t) = a(k)
∞
1
.
x − t dω/dk
−∞
R
glatt: vor ziehen.
dl eil
1
Interpretation: solange x−t dω/dk
R
Verbleibendes gibt δ(l).
0 = l = kx − ωt heißt ω/k = vp = x/t.
Ist Phasenpropagation.
Aber zweiter interessanter Fall im Integral:
Singularitäten des Bruchs,
x dω
=
= vg .
t
dk
Übung: zeige: δ-Peak breitet sich mit vg aus.
3. Alternative Methode: stationäre Phase.
Siehe Jackson 7.11.
Für große t ist Phase
φ = kx − ω(k)t
absolut genommen groß.
Also ändert sich dann
eiφ
sehr schnell als Fkt von k.
Man integriert also meist über sehr viele Schwingungen.
Damit Integral nahe 0.
Eine Ausnahme ist φ = 0, also
ω
x
vp = = ,
k
t
203
dann hat Integrand gar keine Schwingung.
Wann ändert sich φ sonst nicht schnell?
An Extrema
dφ
= 0,
dω
also
dω
x
vg =
= .
dk
t
Exakte Rechnung hierzu:
Sattelpunktsmethode, Method of steepest descent:
Taylorreihenentwicklung der Phase.
(i) Nullte Ordnung: konstante Phase, δ-Peak der Phasengeschw.
(ii) Erste Ordnung: an Extrema verschwindet diese.
(iii) Zweite Ordnung: Gaußkurvenintegral.
Mit diesen weiter:
Lighthill “Water Waves”, Sommerfeld “Partielle DGL” oder “Optik”,
Born & Wolf “Optik”.
§173 Gruppengeschw nach Lamb
Eleganteste Herleitung von vg stammt von Lamb (1904).
Idee: Dispersion sortiert nach Wellenlängen:
Laufen z.B. lange Wellen schnell,
und hat man anfänglich ein stark gepeaktes Wellenpaket,
dann sind später lange (kurze) Wellen in großen (kleinen) Abständen.
vp : Geschw von Wellenmaxima, -minima, -knoten, also Phasen.
vg : Geschw von Wellengruppe mit einer Wellenlänge λ.
Also Lagrangeableitung der Wellenlänge 0, wenn man mit vg läuft
∂λ
∂λ
+ vg
= 0.
∂t
∂x
(173.1)
Folgt man dagegen Wellenphase
∂λ
∂λ
∂vp
+ vp
=λ
.
∂t
∂x
∂x
Rechte Seite: wie ändert sich Abstand zweier Wellenmaxima zeitlich.
Also: wie ändert sich Wellenlänge.
204
Sei Dispersionsrelation gegeben in Form
vp = vp (λ).
Damit
∂λ
dvp ∂λ
∂λ
+ vp
=λ
.
∂t
∂x
dλ ∂x
(173.1) von (173.2) abziehen , kürzen
vp − vg = λ
dvp
.
dλ
(173.2)
(173.3)
Hilfssatz (Übung): Sei λ ∼ 1/k. Dann
k
d
d
= −λ .
dk
dλ
Nach Definition ist vp = ω/k, also
dω
dvp
dvp
= vp + k
= vp − λ
.
dk
dk
dλ
Umstellen
vp −
dω
dvp
=λ
.
dk
dλ
Vergleich mit (173.3)
vg =
dω
.
dk
§174 Es gibt keine Überlichtgeschwindigkeit
Thema: Signalübertragung in dispersiven Medien.
Abschnitt 7.11 in Jackson.
Auch neuerdings öfters Behauptung:
v > c als Signal beobachtet bei seltsamer Dispersion.
Beweis, daß v > c für Signale unmöglich: Sommerfeld & Brillouin
(1914).
Betrachte Licht, das aus Vakuum kommend ⊥ auf Medium fällt.
Kante des Mediums bei x = 0. Brechungsindex n(ω).
1. Sprungbedingung
205
In Übungen wurde gezeigt
2
E(x > 0)
=
.
E(x < 0) 1 + n(ω)
Verwende ω statt k als freie Variable.
Ansatz Wellenpaket
Z ∞
2
E(x > 0, t) =
dω a(ω)
e[ i(k(ω)x − ωt)],
1 + n(ω)
−∞
mit
k(ω) =
ω
n(ω).
c
2. Drudeformel
ωp2
(ω)
n =
=1+ 2
.
0
ω0 − ω 2 − iωγ
2
Übung: zeige: Singularitäten von 2/(1+n) liegen in unterer komplexen
Halbebene.
3. Singularitäten in a?
Amplitudenfunktion a beschreibt das einfallende Wellenpaket.
Annahme: einfallendes Paket soll Front haben, so daß
E(x = 0, t < 0) = 0.
Welle erreicht Medium bei t = 0.
Mit mathematischen Zusatzannahmen kann man hierfür zeigen:
a(ω) hat in der oberen komplexen Halbebene keine Singularitäten.
Weitere Annahme, daß a für |ω| → ∞ bechränkt.
Singularitäten von a sämtlich in unterer Halbebene.
4. Asymptotisches Verhalten
Für |ω| → ∞
ωp2
n → 1 − 2 → 1.
ω
(Erstaunlich: n < 1.) Also für |ω| → ∞
iω(x − ct)
exp[i(k(ω)x − ωt)] → exp
.
c
2
206
Reeller Integrationsweg −∞ → ∞:
kann für x > ct bei |ω| → ∞ in oberer Halbebene geschlossen werden:
Denn dort ist
iω(x − ct)
exp
→ exp(−∞|x − ct|) = 0.
c
Also kein Beitrag zum Integral von Schließung des Wegs.
Innerhalb des Wegs liegen keine Singularitäten (siehe 2 und 3).
Also nach Residuensatz
E(x > ct, t) = 0.
Zusammenfassung:
sind a(ω) und n(ω) analytisch in oberer komplexen Halbebene
und gilt n(|ω| → ∞) → 1,
dann kann kein Signal schneller als Licht im Vakuum propagieren.
Denn Feld verschwindet bei x > ct: ist “noch nicht da.”
Vakuumlichtgeschwindigkeit ist Grenzgeschwindigkeit.
Für ct > x muß man Integrationsweg in unterer Halbebene schließen,
damit e-Faktor entlang Wegschließung keinen Beitrag gibt.
Singularitäten von n und a werden umschlossen:
Signal E 6= 0 nach Residuensatz.
§175 Das schnellste Signal
1. Vorläufer
Betrachte nun x = ct − h̃, mit h̃ → 0.
Suche stationäre Phase: dort Signal: keine destruktive Interferenz.
dω
x
= = c − h,
dk
t
mit h = h̃/t → 0.
Keine Überraschung: für |ω| → ∞ war oben (nach Drude)
n2 → 1,
also Ausbreitungsgeschw c.
Wellen mit ω → ∞ die schnellsten: laufen mit c.
207
Heißt Sommerfeldscher Vorläufer.
Jetzt genauer: für |ω| → ∞
ωp2
n → 1 − 2.
ω
2
Also
ω
1q 2
k= n=
ω − ωp2 .
c
c
Also
1
ω
dk
= q
= q
dω
c ω 2 − ωp2
c 1 − ωp2 /ω 2
!
ωp2
1
≈
1+ 2 .
c
2ω
Def stationäre Phase
d
(kx − ωt) = 0
dω
→
dk
t
= .
dω
x
Vergleich der beiden Glgen gibt
ωp2
ct
=
− 1,
2ω 2
x
also
ωp
ω=q
2
ct
x
.
−1
Dies auch aus Greensfktanalyse.
Glg sagt: zu welchen Zeiten an welchen Orten welche ω.
Zu Zeiten ersten Signals t ≈ x/c wieder ω → ∞.
Amplitude der zuerst eintreffenden, hochfrequenten Wellen ist klein.
Sommerfeldscher Vorläufer dem Signal ganz unähnlich.
Im Lauf der Zeit fällt Frequenz und steigt Amplitude.
Dann:
2. Brillouinscher Vorläufer
Auch durch n(ω) bestimmt.
Komplizierte Mathematik: Sattelpktmethode versagt, Airy-Integrale.
208
3. Signal
Schließlich wird Integral von a(ω) dominiert:
eigentliches, zerflossenes Wellenpaket kommt an.
Achtung: Reihenfolge der Ankunft muß nicht sein:
“Sommerfeld, Brillouin, Signal”.
§176 Vergleich mit Wasserwellen
“Stein ins Wasser werfen.”
Wellenbewegung aufgrund δ-Störung.
Wieder Front, außerhalb derer noch keine Welle angekommen.
In inkompressibler Medien (Idealisierung): vp → ∞.
Jedoch vg endlich.
Lsg des 1d-planaren Problems (siehe Lamb):
Sei η vertikale Auslenkung der Wasseroberfläche.
Z ∞ √
p
1
η(x, t) = − √ lim
dk k cos kx eky cos(t gk).
πρ g y→−0 0
y → 0 is nötig, weil Integral für y = 0 divergiert.
Reihenentwicklung
"
#
2 2
2 4
t
3
gt
5
gt
η(x, t) =
1−
+
− ... .
πρx2
1 · 3 · 5 2x
1 · 3 · 5 · 7 · 9 2x
Reihe ist aus Optik bekannt:
Theorie der Fresnelbeugung.
Licht und Wasser: Welleninterferenz..
Abbildung 176.2: Greensfunktion für Wasserwellen an festem Ort, im Lauf der Zeit.
Aus Lamb.
Hinter Front nur Wellen mit λ → ∞ und Amplitude→ 0.
209
Später λ kleiner, Amplitude größer.
§177 Der Hertzsche Vektor
Panofsky, Phillips (P&P) 14.5., Fließbach Kap 24, Weller, Winkler
5.3.
Bisher nur Ausbreitung von elmag Wellen behandelt.
Jetzt Erzeugung: Heinrich Hertz 1888.
Vorab: die meisten Bücher setzen schwingenden Dipol an.
Bei P&P direkte Herleitung des Hertzschen Dipols aus Maxwellglgen.
Neue Idee:
Ldg und Strom nicht unabhängig voneinander vorgeben.
4 Freiheitsgrade (1 Skalar-, 1 Vektorfeld).
Denn keine Trennung Elektro/Magneto in elmag Wellen.
Ldg und Strom generell verknüpft durch Kontinuitätsglg
∂ρ
+ div ~j = 0.
∂t
Mit Ansatz
ρ = −div p~,
~j = ∂~p
∂t
ist Kontinuitätsglg identisch erfüllt.
Dabei ein Freiheitsgrad verloren:
nur noch 1 beliebiges Vektorfeld, p~.
p~ ist tatsächlich Dipoldichte, wie in Dielektrika.
Lorenzeichung soll wieder gelten
1 ∂Φ
~ = 0.
+ div A
c2 ∂t
~
Automatisch erfüllt wenn für beliebiges Z
~
Φ = −div Z,
~
1 ∂Z
~
A= 2
.
c ∂t
~ heißt Hertzscher Vektor.
Z
210
(177.1)
(177.2)
Für Lorenzeichung gilt (151.3)
1 ∂ 2Φ
ρ
∆Φ − 2 2 = − ,
c ∂t
0
2~
~ − 1 ∂ A = −µ0~j.
∆A
c2 ∂t2
~ und ~j aus (177.1) in zweite Glg einsetzen
A
~˙
1 ∂ 2Z
1 1
1 ~˙
∆Z − 4 2 = −µ0 p~˙ = − 2 p~˙.
2
c
c ∂t
c 0
Einmal zeitlich integrieren (warum keine Konstante?)
~
1 ∂ 2Z
p~
~
∆Z − 2 2 = − .
c ∂t
0
(177.3)
~ und ~j aus (177.1) in erste Glg einsetzen
A
1 ∂2
~
~ = − ∇ · p~ .
−∆(∇ · Z) + 2 2 (∇ · Z)
c ∂t
0
Übung: zeige, daß man ∆ und ∇· im ersten Term vertauschen kann.
Danach ∇· weglassen (Integration)
~
p~
1 ∂ 2Z
~
∆Z − 2 2 = − .
c ∂t
0
Ist wieder (177.3)!
Mit Def von somit
~ = − p~ .
Z
0
Interpretation:
Große Nähe zur Poissonglg der Elektrostatik.
~ p~ sind euklidsche 3-Vektoren!
Z,
Nicht wie in SRT Minkowski-4-Vektoren.
Also Reduktion von 4 Maxwellglgen auf 1 gelungen durch
~
(i) Einführung der Potentiale Φ und A
(ii) Lorenzeichung
(iii) 4 → 3 Reduktion in ρ, ~j.
211
Statt 4 Maxwellglgen (2 skalare, 2 vektorielle) nur 1 skalare zu lösen.
Natürlich keine allgemeine Lsg, sondern eingeschränkte.
Wiederholung:
Lsg der Poissonglg der Elektrostatik
1
1
∆ −
= δ(~r − ~r 0 ).
0
4π |~r − ~r |
R 3 0
R
Beiderseits d r f (~r 0 ); vertausche ∆ d3 r0
Z
0
f
(~
r
)
1
d3 r0
= f (~r).
∆Ψ(~r) ≡ ∆ −
4π
|~r − ~r 0 |
Damit für alle f (~r) Lsg Ψ(~r) der Poissonglg berechenbar.
Lsg der Helmholtzglg der Elektrodynamik nach (164.2)
1 δ(t − t0 − |~r − ~r 0 |/c)
−
= δ(~r − ~r 0 )δ(t − t0 ).
0
4π
|~r − ~r |
(Zur Einfachheit
Greensfkt.)
R 3 0 nur 0retardierte
R
R
0
Beiderseits d r f (~r , t ); vertausche d3 r0 dt0
Z
Z
0
0
1
δ(t
−
t
−
|~
r
−
~
r
|/c)
Ψ(~r, t) ≡ −
d3 r0 dt0 f (~r 0 , t0 )
4π
|~r − ~r 0 |
Z
1
r 0 , t − |~r − ~r 0 |/c)
3 0 f (~
= −
dr
= f (~r, t).
4π
|~r − ~r 0 |
Damit für alle f (~r, t) Lsg Ψ(~r, t) der Helmholtzglg berechenbar.
Ende Wiederholung.
Akute Lsg ist, als Integral über retardierte Greensfkt,
Z
Z
0
1
r − ~r 0 |/c)
3
0
0
0 0 δ(t − t − |~
~
dr
dt p~(~r , t )
Z(~r, t) =
4π0
|~r − ~r 0 |
Z
1
~(~r 0 , t − |~r − ~r 0 |/c)
3 0p
=
dr
.
4π0
|~r − ~r 0 |
~ folgen Φ, A
~ und damit E,
~ B
~ durch Differentiation:
Aus Z
~ aus Φ, A
~ nach (151.1)
E
~ = ∇ × A,
~
B
~
~ = −∇Φ − ∂ A .
E
∂t
212
Also
~
1
∂Z
1 ∂
~
~
B = 2∇ ×
= 2 (∇ × Z).
c
∂t
c ∂t
Und
~
∂A
~
E = −∇Φ −
∂t
~
1 ∂ 2Z
~
= ∇(∇ · Z) − 2 2
c ∂t
2~
~ + δZ
~− 1∂ Z
= ∇ × (∇ × Z)
c2 ∂t2
~ + Z
~
= ∇ × (∇ × Z)
~ − p~ .
= ∇ × (∇ × Z)
0
~ nur (weit) außerhalb der Ldgsverteilung; dann
Im folgenden E
~ = ∇ × (∇ × Z).
~
E
~ und B
~ durch ∇ × Z
~ bestimmt.
Also E
§178 Die Hertzsche Näherung
Weitere Annahmen:
~ B
~ weit entfernt von Wellenquelle ρ, ~j.
(i) Berechne E,
(ii) Wellenquelle Wellenlänge λ r.
(iii) Die Quellverteilung sei zeitlich periodisch,
p~(~r, t) = p~(~r)e−iωt .
In allen Glgen ist Realteil gemeint.
Also im retardierten p~
p~(~r 0 , t − |~r − ~r 0 |/c) = p~(~r 0 )e−iω(t−|~r−~r
0
|/c)
0
= p~(~r 0 )e−iωt eik|~r−~r | ,
mit k = ω/c. Also
~ r, t) = 1 e−iωt
Z(~
4π0
Z
213
0
ik|~r−~r |
3 0
0 e
d r p~(~r )
.
|~r − ~r 0 |
Annahme (i):
1
1
≈
.
|~r − ~r 0 |
r
Annahme (ii): entwickle exp um r
0
eik|~r−~r | = eik(r−~r
0
·∇r+...)
= eikr−ik~r
0
·r̂/+...
≈ eikr .
Denn kr 1 und kr0 1. Also wegen (i,ii,iii)
ikr Z
e
1 −iωt eikr ~
1
−iωt
~ r, t) =
e
d3 r0 p~(~r 0 ) ≡
e
P.
Z(~
4π0
r
4π0
r
P~ ist Dipolmoment der Ldgsverteilung.
Formal identisch zu Polarisationsvektor in Dielektrika.
§179 Der Hertzsche Dipol
~
Führe Kugelkoord ein: Polarachse entlang P~ und Z.
~
Sei P = |P~ |, Z = |Z|.
~
Dann sphärische Komponenten von Z
Zr = Z cos θ,
Zθ = −Z sin θ,
Zφ = 0.
Nämlich
ei(kr−ωt)
,
Zr = P cos θ
4π0 r
ei(kr−ωt)
Zθ = −P sin θ
,
4π0 r
Zφ = 0.
~ nur φ-Komponente.
Dann hat ∇ × Z
Diese Komponente ist nach Bronstein gegeben durch (beliebiges ~u)
(rot ~u)φ =
1 ∂(ruθ ) 1 ∂ur
−
.
r ∂r
r ∂θ
214
Also
i(kr−ωt)
~ = P sin θ e
∇×Z
4π0
Also ist das Magnetfeld
ik
1
−
r2
r
φ̂.
Br = 0,
Bθ = 0,
iµ0 ω
P sin θ ei(kr−ωt)
Bφ = −
4π
ik
1
−
r2
r
.
~
Kleine Rechnung gibt für E
1
1
ik
i(kr−ωt)
Er =
P cos θ e
−
,
2π0
r3 r2
2
ik
k
1
1
P sin θ ei(kr−ωt) 3 − 2 −
,
Eθ =
4π0
r
r
r
Eφ = 0.
Diskussion
Erster Term in Bφ : Faradaysches Induktionsfeld.
Zweiter Term in Bφ : Strahlungsfeld.
Erster Term in Er , Eθ : elektrostat Dipolfeld ∼ r−3 .
Zweiter Term in Er , Eθ : Transition field.
Dritter Term in Eθ : Strahlungsfeld.
P&P: “Transition field trägt nicht zur Strahlungsenergie bei.
Sondern nur zur Energiespeicherung während der Oszillation.”
Weit entfernt vom Dipol: nur niedrigste Potenz 1/r mitnehmen:
Dort nur Strahlungsfelder allein meßbar
µ0
ω 2 ei(kr−ωt)
P sin θ
,
4πc
r
1
ω 2 ei(kr−ωt)
Eθ = −
P
sin
θ
.
4πc2 0
r
Bφ = −
Fallen beide sehr schwach mit 1/r ab.
Stehen aufeinander senkrecht.
Und senkrecht auf Ausbreitungsrichtung r̂.
Entwickelt man eikr /r zu höherer als 1. Ordnung:
215
Quadrupolstrahlung usw in P&P, Greiner, Jackson.
§180 Himmelsblau
Strahlungsfelder Bφ , Eθ ∼ ω 2
Also zweite zeitliche Ableitung der periodischen Schwingung →
Elektromagnetische Abstrahlung nur durch beschleunigte Ldg.
Abbildung 180.3: Der Hertzsche Versuchsaufbau. Aus H. Hertz, “Über schnelle elektrische Schwingungen”, Wiedemanns Annalen (1885).
Energieflußdichte = Poyntingvektor
~ × B.
~
~= 1E
S
µ0
Da Strahlungsfelder nur Bφ , Eθ Komponenten haben ist
(i) Ŝ = r̂
2
(ii) S = Bφ Eθ /µ0 ∼ (ω 2 P )2 sinr2 θ .
Energieerhaltung wegen S ∼ 1/r2 : durchstrahlte Oberfläche ∼ r2 .
Strahlungskeule: Keine Abstrahlung in Schwingungsrichtung θ = 0,
maximale Abstrahlung senkrecht dazu.
Verhältnisse im Nahfeld komplizierter und interessanter.
http://www-tet.ee.tu-berlin/lehre/FILME/Hertz harmonisch/film.html.
Phasengeschwindigkeit > c: statische Felder (immer schon da).
Abschnüren und Ablösen der Felder von Quelle.
Ersetze ω = ck = 2πc/λ,
P 2 sin2 θ
S∼
.
λ4 r 2
216
Abbildung 180.4: Abstrahlung elektromagnetischer Wellen. Aus H. Hertz, “Die
Kräfte elektrischer Schwingungen, behandelt nach der Maxwellschen Theorie”, Wiedemanns Annalen (1888).
Es ist λblau λrot .
Deutung: Dipole der Luft streuen blaues Licht stärker als rotes.
An jedem Himmelspunkt sieht man blaues Streulicht: Himmelsblau.
(Wird aus vielen Quer strahlen zum Beobachter gestreut.)
Bei Sonnenuntergang wird Blau aus dem direkten Strahl gestreut:
Rote Sonne.
217
218
KAP 10: MAGNETOHYDRODYNAMIK
§181 Grundlagen
Modernes Beispiel für Elektrodynamik in makroskopischen Medien.
MHD = Bewegung magnetisierter Flüssigkeiten.
Lorentzkraft beschleunigt Flüssigkeitstropfen:
~ in Eulerglg für ~v der Flüssigkeit.
B
Auch umgekehrt: Flüssigkeitsbewegung induziert neue B-Felder:
~
~v in Induktionsgleichung für B.
Literatur zu MHD:
Abschnitt 7.7 in Jackson3
§§36-39 in Chandrasekhar, Hydrodynamic & Hydromagnetic Stability
Kapitel VIII in Landau & Lifschitz, Elektrodynamik der Kontinua
Cowling, Magnetohydrodynamics
Unterschied MHD und Plasmaphysik?
Plasmaphysik = kinetische Theorie (statist. Mechanik) + E-Dyn.
MHD = Strömungslehre (Kontinuumsmechanik) + E-Dyn.
~ und ~j groß.
In Plasmaphysik und MHD B
~ und ρ groß.
Nur Plasma: E
4 Annahmen definieren MHD. Keine muß in Plasmen gelten
• Leitfähigkeit σ → ∞. Keine Ldgs.akkumulation. Fluid el neutral.
• Keine Ldgs.akkumulation → keine E-Felder.
• Alle Geschw c: Verschiebungsstrom vernachlässigen.
~ gilt.
• Ohmsches Gesetz ~j = σ E
Maxwellsche Glgen sind dann
~ = 0,
∇·B
~ = 4π~j,
∇×B
c
~
~ = − 1 ∂B ,
∇×E
c ∂t
plus Ohmsches Gesetz statt Coulomb-Gauß!
§182 Das Ohmsche Gesetz
219
Aber Ohmsches Gesetz ist empirisch, Coulombsches fundamental.
Coulomb beschreibt Ldgs-Beschleunigung: Plasmaphysik.
MHD-Postulat: Fluiddichte groß: mittlere Geschw durch viele Stöße.
Stöße stellen effektive Reibung dar: Ohmsches Gesetz.
§183 Eulerglg
1. Eulerglg der Hydrodynamik
Details der Herleitung dort.
Eulerglg ist Newton II für kontinuierliches Medium.
Betrachte infinit Tropfen.
Beschleunigung ~a ist Lagrangeableitung (!) von ~v .
~a =
d~v
∂~v
=
+ (~v · ∇)~v .
dt
∂t
Kraft: Druckgefälle + Gravitation (z.B.). Damit Eulerglg
∂~v
1
+ (~v · ∇)~v = − ∇p + ~g .
∂t
ρ
2. Lorentzkraft
Elmag Kraft ist, ohne E-Felder
~ = dV ρq~v × B
~ = dV ~j × B.
~
q~v × B
Unterscheide Ladungsdichte ρq und Massendichte ρ.
In Eulerglg: Lorentzkraft/Masse ~gL ; mit Ampereschem Gesetz
1
~
~gL = ~j × B
ρ
1
~ × B.
~
=
(∇ × B)
ρµ
Es wird konstantes µ angenommen.
Damit Eulerglg der MHD
ρ
d~v
1
~ × B.
~
= −∇p + ρ ~g + (∇ × B)
dt
µ
§184 MHD Induktionsglg
220
Herleitung durch Kombination aller elektrodynamischen Glgen.
1. Lorentz: bewegtes Flüssigkeitsteilchen erfährt E-Feld
~ + ~v × B,
~
E
2. Ohmsches Gesetz
~ + ~v × B
~ .
~j = σ E
Umstellen,
~ = 1 ~j − ~v × B.
~
E
σ
3. Ampersches Gesetz ohne Verschiebestrom
1
~ = ~j
∇×B
µ
~ = 1 ∇×B
~ − ~v × B.
~
E
σµ
Auf beiden Seiten rot nehmen, und
4. Faradaysches Gesetz einsetzen
~
∂B
~ = −η∇ × (∇ × B),
~
− ∇ × (~v × B)
∂t
mit Resistivität η,
1
.
σµ
Nur zur Einfachheit wurden σ, µ als konstant angenommen.
Vektoranalysis
rot rot = grad div − ∆.
~ = 0 folgt Induktionsglg
5. Mit div B
η=
~
∂B
~ = −η ∆B.
~
− ∇ × (~v × B)
∂t
Erstaunlich: Glg gilt so in jedem Einheitensystem der E-Dynamik.
In Labors kann man dies meist nähern als
~
∂B
~
= −η ∆B.
∂t
221
Ist Diffusionsglg: erste zeitliche-, zweite räumliche Ableitung.
~
Beschreibt Zerfall von B.
§185 Eingefrorene Felder
Ideale MHD macht die umgekehrte Annahme:
Diffusion vernachlässigbar: η = 0.
Sehr gute Näherung in astrophysikalischen Plasmen.
Volle Satz der idealen MHD Glgen ist dann
∂ρ
+ ∇ · (ρ~v ) = 0,
∂t
1
1
∂~v
~ × B,
~
+ (~v · grad )~v = − ∇p + ~g +
(∇ × B)
∂t
ρ
ρµ
~
∂B
~ = 0.
− ∇ × (~v × B)
∂t
Wichtigster Satz der idealen MHD (Alfvén 1942):
Magnetischer Fluß ist konstant...
durch eine mit der Flüssigkeit strömende geschlossene Schleife S,
Z
d
~ = 0.
d~a · B
dt S
“Magnetische Feldlinien sind in die Flüssigkeit eingefroren.”
Präziser: es liegen immer dieselben Tropfen auf derselben Feldlinie.
Nur Longitudinal-, keine Transversalbewegung.
Beweis 1: Landau
Def vorticity: ω
~ = ∇ × ~v .
Aus der Eulerglg (keine MHD) leitet man leicht vorticity eq ab:
∂~ω
− ∇ × (~v × ω
~ ) = 0.
∂t
Außerdem gilt
∇·ω
~ = ∇ · (∇ × ~v ) = 0.
~ erfüllt genau dieselben Glgen wie ω
B
~!
~
∂B
~ = 0,
− ∇ × (~v × B)
∂t
~ = 0.
∇·B
222
~
Somit gilt jede Aussage für ω
~ auch für B.
Die Aussage
Z
d
d~a · ω
~ =0
dt S
ist der Wirbelsatz von Helmholtz (1858) und Kelvin.
Sei δ~l ein infinitesimal kurzer, also gerader Fluidstrich.
Sei ~v Fluidgeschw am einen Ende.
Dann Geschw am anderen Ende
~v + (δ~l · ∇)~v .
Übung: zeige: ein infinit kurzer Strich bleibt nach Bewegung von infinit
kurzer Zeit gerade.
Die beiden Enden bewegen sich auseinander mit Verschiebevektor
d(δ~l) = dt(δ~l · ∇)~v .
Also
d ~
δ l = (δ~l · ∇)~v .
dt
Betrachte jetzt B-Feld. Induktionsglg
~
∂B
~ = 0.
− ∇ × (~v × B)
∂t
Vektoranalysis
∇ × (~a × ~b) = ~a(∇ · ~b) − ~b(∇ · ~a) + (~b · ∇)~a − (~a · ∇)~b.
Einsetzen gibt
~
∂B
~ + B(∇
~
~ · ∇)~v + (~v · ∇)B
~ = 0.
− ~v (∇ · B)
· ~v ) − (B
∂t
Erster und letzter Term gibt totale Zeitableitung
d
∂
=
+ (~v · ∇).
dt ∂t
Zweiter Term verschwindet, also
~
dB
~ · ∇)~v − B(∇
~
= (B
· ~v ).
dt
223
Jetzt wäre längere Rechnung nötig. Hier einfach:
Annahme: inkompressible Flüssigkeit
div ~v = 0.
Übung: zeige mit Def von div, daß dies wirklich Konstanz des eingenommenen Volumens bedeutet.
~ dieselbe Glg.
Dann erfüllen δ~l und B
Zwei Tropfen auf derselben Fluidlinie verbleiben also dort.
~ bewegt sich mit der Flüssigkeit.
B
Literatur: Landau, Elektrodynamik der Kontinua (§65)
Batchelor, Introduction to fluid dynamics (Kap 5.2 & 5.3)
Beweis 2: Batchelor
Beweist Helmholtzschen Wirbelsatz.
~ und ∇ × ~v dieselben Glgen erfüllen
Da B
... gilt dann Theorem eingefrorener Felder.
Behauptung
Z
d
d~a · (∇ × ~v ) = 0.
dt S
Betrachte geschlossene Schleife C im Fluid.
Mit Satz von Stokes und Bewegungsglg für infinit Tintenstrich
Z
I
I
I
d
d
d~
v
d~a · (∇ × ~v ) =
d~l · ~v = d~l ·
+ ~v · (d~l · ∇)~v .
dt S
dt C
dt
Eulerglg
∇p
d~v
=−
+ ~g .
dt
ρ
Annahme 1: Potentialkraft
~g = −∇Φ.
Annahme 2: Dichte sei Fkt allein von Druck (isotherm; adiabatisch;
polytrop).
Dann
Z
∇p
dp
=∇
,
ρ
ρ(p)
R
wobei entlang beliebigem Weg. Übung: beweise diese Glg.
224
Achtung, im thermodynamischen Gleichgewicht:
jede thermodyn Größe durch zwei andere ausdrückbar.
In diesem allgemeineren Fall gilt Helmholtzscher Satz nicht:
Wirbel können entstehen/vergehen: Meteorologie.
Vektoranalysis (Übung: beweise diese Glg)
1
~v · (d~l · ∇)~v = (d~l · ∇)v 2 .
2
Also
I
I
Z
d
dp
1
d~l · ~v = (d~l · ∇)
v2 −
−Φ .
dt C
2
ρ(p)
Richtungsableitung
d~l · ∇ ≡ dl ,
Änderung entlang Wegstrecke dl.
Änderung Skalarfeld über geschlossenen Weg ist 0, also
I
d
d~l · ~v = 0.
dt C
Beweis 3: Chandrasekhar; Kippenhahn.
Vgl Galileiinvarianz bei Faradayschem Gesetz:
Betrachte Fläche dt~v × δ~l, die Linienelement δ~l überstreicht.
Literatur: Chandrasekhar, Hydrodynamic Stability (§20, S. 78,79)
Kippenhahn & Möllenhoff, Elementare Plasmaphysik (§10)
Priest, Solar MHD.
§186 Magnetischer Druck und Zug
Amperesches Gesetz in Lorentzkraft einsetzen
~
ρ~gL = ~j × B
1
~ × B.
~
= (∇ × B)
µ
Vektoranalysis
1 ~ ~
~ · ∇)B
~ + B
~ × (∇ × B).
~
∇(B · B) = (B
2
225
Damit
B2
1 ~
~
ρ~gL = −∇
+ + (B
· ∇)B.
2µ
µ
In Eulerglg einsetzen
B2
1 ~
d~v
~
= −∇ p +
+ (B
· ∇)B.
ρ
dt
2µ
µ
Interpretation:
B 2 /2µ tritt als magnetischer Druck zum thermischen Druck.
1 ~
~
µ (B · ∇)B ist magnetischer Zug (tension).
Sieht man an einfachen Feldkonfigurationen (Übung).
Analog zu Saitenspannung.
Thermischer Druck verursacht Schallwellen.
Mag Druck und Zug verursachen magnetosonische und Alfvénwellen.
Weder Schall noch Licht, sondern neuer Wellentyp.
Viel langsamer als Licht: Verschiebestrom wurde vernachlässigt.
Damit verschwand c aus Glgen.
§187 Alfvénwellen
Als Übung:
B Feld homogen und in z-Richtung. Welle in z oder x-Richtung.
Aus Grundglgen:
Longitudinale magnetosonische und transversale Alfvénwellen.
Laufrichtung längs Feld: Schallwellen mit vp = vs , Alfvénwellen mit
√
vp = vA = |B|/ µρ.
Laufrichtung senkrecht zum Feld: nur magnetosonische Wellen, mit
q
vp = vA2 + vs2 .
§188 MHD auf der Sonne
Das folgende aus Parker 1991, Reviews of Modern Astronomy 4, S. 1.
Sonnenkorona besteht aus:
(i) aktiver Röntgenkorona: Quelle der Röntgenstrahlung
(ii) koronalen Löchern: Quelle des Sonnenwinds
226
Aktive Röntgenkorona
Ist eingeschlossen von bipolaren Magnetfeldern.
Deren Ursprung: aktive Regionen der Photosphäre.
Gasdruck ist 2% des magnetischen Drucks.
Feld dominiert Gas.
Ursprung der Heizung der Korona ist Alfvénwellendissipation.
Die Wellen stammen aus subphotosphärischer Konvektionszone.
Alternativ (bisher unentschieden): magnetische Reconnection.
Turbulente Konvektion am Fußpunkt des B-Felds der aktiven Region:
Verursacht Unstetigkeiten in tangentialer Feldkomponente.
Nach Ampere gehört zu tangentialer Unstetigkeit Strom.
Hier: Stromblatt (current sheet).
Heizung erfolgt in explosiven nanoflares.
Sind momentan noch nicht auflösbar.
Abbildung 188.5: Entwicklung einer tangentialen magnetischen Unstetigkeit durch
stochastische Bewegungen am Feld-Fußpunkt. Aus Parker 1994, “Spontaneous Current Sheets in Magnetic Fields.”
Koronale Löcher
Statt bipolarer B-Felder in aktiven Regionen hier offene Feldlinien.
Feld um Faktor 10 schwächer; divergiert rasch auseinander.
Gas dominiert Feld.
Ursprungsregion des Sonnenwinds.
Windtemperatur 1.5 × 106 K bis hinaus zu 100 Sonnenradien.
Ursache: Heizung durch Alfvénwellen.
Hydrodynamische Windtheorie von Parker (1958).
227
Abbildung 188.6: Röntgenbild der Sonne. Ein koronales Loch ist in die Sichtlinie zur
Erde rotiert. Der in Erdnähe gemessene Sonnenwind wird innerhalb einiger Tage
ansteigen und geomagnetische Störungen verursachen.
Abbildung 188.7: Aktive Region am Sonnenrand. Heißes Plasma steigt aus der Photosphäre auf und läuft entlang magnetischer Feldlinien. Rote Bereiche sind stark
geheizt.
228
Abbildung 188.8: UV Bild der Sonne, aufgenommen von SOHO. Großes grünes Bild:
helle Bereiche zeigen heiße, dichte Plasmaloops mit starken Magnetfeldern, dunkle
Bereiche haben offene magnetische Feldgeometrie (Quelle des Sonnenwinds). Zoom:
Dopplergeschwindigkeit des heißen Gases (> 106 K) an der Basis der Korona, wo
der Wind entsteht. Blau- und Rotverschiebung sind also solche kodiert, wobei blau
= abströmendes, rot = zurückfallendes Gas. Blau zeigt den Beginn der Abströmung
des Sonnenwinds. Diese Regionen liegen innerhalb eines koronalen Lochs (offene
Feldgeometrie). Überlagert sind Wände der “Bienenwaben” des magnetischen Netzwerkes. Hier entspringt die stärkste Abströmung (dunkelblau).
229
Abbildung 188.9: Magnetosphäre der Erde (Wikipedia).
230
KAP 11: RELATIVITÄTSTHEORIE
§189 Hintergrund
1860 - 1900: Lichtausbreitung in postuliertem Äther.
1887 Michelson: Kein Einfluß der Erdbewegung auf c.
1887 Voigt: Lokalzeit t0 in bewegten Systemen gibt Rechenhilfe:
dann gilt auch dort Wellenglg φ = 0.
1892, 1895
p Lorentz: echte Kontraktion des Elektrons:
Faktor 1 − v 2 /c2 in v-Richtung.
Lorentz 1904, Poincare 1905: Lorentzinvarianz der Maxwellglgen.
Radikale Lsg durch Einstein 1905: echte Raum-Zeittransformation.
Keine absolute Gleichzeitigkeit, sondern abhängig von Inertialsystem.
Zwei Postulate Einsteins:
(P1) Licht läuft in jedem Inertialsystem mit c.
(P2) Relativitätsprinzip: dieselben Formeln in jedem Inertialsystem.
D.h. Experimente in allen Inertialsystemen identisch.
§190 Gleichzeitigkeit
In Galileitransformation t0 = t.
Warum nicht in SRT?:
Beispiel: zwei Blitze schlagen in Bahndamm ein.
Gleichzeitig im Bahnhofssystem.
Zug fährt auf einen der Blitze zu, vom anderen weg.
Also kurzer vs langer Lichtlaufweg.
Wegen c = konst kurze vs lange Lichtlaufzeit.
Also im Zug nicht mehr gleichzeitig.
Galilei: Laufgeschw ändert sich so (c ± v), daß Laufzeit gleich.
§191 Herleitung der Lorentztrafo I
Einstein, Über spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie, Anhang.
Systeme x, y, z, t und x0 , y, z, t0 mit Relativbewegung entlang x-Achse.
x0 laufe mit v zu größeren x-Werten.
Lasse y, z weg.
Gesucht: lineare Zusammenhänge x0 (x, t), t0 (x, t). Linear:
231
geradlinig gleichförmige (gg) Bewegung in K soll auch in K0 gg sein.
Übung: präzisiere dieses Argument.
Linearität und P1 (Konstanz von c)
Lichtsignal in +x-Richtung in K und K0
x − ct = 0,
x0 − ct0 = 0.
Wegen Linearität muß für Nicht-Lichtsignal gelten
x0 − ct0 = λ(x − ct).
Lichtstrahl in −x-Richtung in K und K0 gibt
x0 + ct0 = µ(x + ct).
Glgen addieren, subtrahieren
x0 = ax − bct,
ct0 = act − bx,
mit
1
a = (λ + µ),
2
1
b = (λ − µ).
2
Gesucht a, b.
Jetzt muß v in Betracht kommen.
Betrachte Koordinatenursprung x0 = 0, also
x=
bc
t.
a
Außerdem
x = vt.
Also
b
v
= .
a
c
Relativitätsprinzip P2
232
Maßstab L, der in K0 ruht, muß von K aus genauso lang sein
... wie in K ruhend von K0 aus.
(i) Momentaufnahme (Gleichzeitigkeit!) der x0 -Achse von K aus:
t = 0.
Dann von oben
x0 = ax.
Wenn 2 Punkte der x0 -Achse in K0 Abstand ∆x0 = 1 haben,
... haben sie in K Abstand
∆x = 1/a.
(ii) Momentaufaufnahme der x-Achse von K0 aus:
t0 = 0.
Dann von oben
x0 = ax − bct,
0 = act − bx.
t eliminieren
b2
x0 = a 1 − 2
a
Also
x.
v2
x = a 1 − 2 x.
c
Wenn also 2 Punkte der x-Achse in K Abstand ∆x = 1 haben,
... haben sie in K0 Abstand
2
v
∆x0 = a 1 − 2 .
c
0
(P2):
∆x = ∆x0 ,
also
a2 =
1
.
1 − v 2 /c2
233
Also Lorentztrafo für einheitsgleiche x, ct
x − ct (v/c)
x0 = p
,
1 − v 2 /c2
ct − x (v/c)
ct0 = p
.
1 − v 2 /c2
Andere Herleitungen:
Algebraisch in Born S. 203 (fast identisch)
Geometrisch in Born S. 201 (sehr anschaulich)
Einstein (1905, kompliziert)
Pauli (1921, lustlos knapp)
§192 Lorentzkontraktion
Lorentztrafo
x − vt
x0 = p
1 − v 2 /c2
Meßvorschrift für Längen: gleichzeitig an beiden Enden.
Objekt soll in K0 Länge ∆x0 haben.
Diese wird jetzt in K gemessen. t konst.
K0 hat Eindruck, K macht Gleichzeitigkeitsfehler.
∆x0 = p
∆x
1 − v 2 /c2
also
,
r
∆x = ∆x
0
v2
1 − 2.
c
Hierbei ∆x0 Ruhlänge.
Nenne l0 Ruhlänge, l im bewegten System:
r
v2
l = l0 1 − 2 .
c
l < l0 einzig aus Relativität der Gleichzeitigkeit.
§193 Zeitdilatation
Betrachte Uhr in Ruhe in K0 .
234
Angezeigte Zeit heißt Eigenzeit τ . Ist invariant (s.u.). Vgl. l0 .
Uhr sei bei x0 = 0. Lorentztrafo
τ
.
t= p
1 − v 2 /c2
Zeitdilatation t > τ .
§194 Eigenzeit
Zeit t nicht lorentzinvariant.
Man sucht also invariante Zeit τ .
Def Eigenzeit:
Zeitintervall dτ im Inertialsystem des Massenpunkts
p
dτ = dt 1 − v 2 /c2 .
Alle Pionen zerfallen nach derselben kurzen Eigenzeit.
Die atmosphärische Pionschauer kann aber sehr lang dauern.
§195 Additionstheorem
Übung: schreibe Lorentztrafo mit dx0 , dt0 statt x0 , t0 . Bilde dx0 /dt0 und
finde damit Einsteins Additionstheorem der Geschwindigkeiten.
§196 Herleitung der Lorentztrafo II
Einstein, Grundzüge der Rel.theorie, S. 35-38.
Idee von Minkowski.
Ab jetzt obere Indizes für “normale” Vektoren: kontravar.
Im folgenden: (x0 ), (x1 ), (x2 ), (x3 ) Komponenten des 4-Vektors.
Aber nur uµ , nicht (uµ ).
Beachte in älterer Literatur:
Koordinatenname (x1 ) = x, (x2 ) = y, (x3 ) = z, (x4 ) = ict.
Heute (und hier) (x0 ) = ct, (x1 ) = ix, (x2 ) = iy, (x3 ) = iz.
Wegen imaginärem i gilt für Licht
(x0 )2 + (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 = 0.
Rechnung wieder ohne y, z: Bewegung in x-Richtung.
235
(P1)
2
2
c2 t2 − x2 = 0 = c2 t0 − x0 .
Und allgemeine Annahme: s2 sei Invariante unter Lorentztrafo
immer
2
2
c2 t2 − x2 = c2 t0 − x0 .
Übung: schreibe diese Forderung für Galileitrafo und leite diese ab.
Also Forderung:
s2 = (x0 )2 + (x1 )2
hat in allen Koord.systemen denselben Wert.
s Länge eines 4- (hier 2-) Vektors im Minkowskiraum.
Die linearen Trafos, die dies erfüllen, heißen Lorentztrafos.
Weil sie Länge s konstant lassen, sind sie Drehungen + Translationen.
Betrachte nur Drehungen D. Hier 2x2 Matrizen.
In Mechanik gezeigt: Drehungen bilden Orthogonale Gruppe
DDτ = Dτ D = 1.
In euklidischer xy-Ebene
D=
cos φ − sin φ,
.
sin φ cos φ
Und
x0 = x cos φ − y sin φ,
y 0 = x sin φ + y cos φ.
Ebenso in minkowskischer (x0 ) − (x1 )-Ebene
(x0 )0 = (x0 ) cos φ − (x1 ) sin φ,
(x1 )0 = (x0 ) sin φ + (x1 ) cos φ.
Einsetzen
ct0 = ct cos φ − ix sin φ,
ix0 = ct sin φ + ix cos φ.
Minkowskis geniale Idee:
sin, cos auf komplexer Ebene definiert: imaginäres φ erlaubt.
236
Ursprung von K0 bewegt sich mit v relativ zu K:
x0 = 0 ↔ x = vt
In 2. Glg einsetzen (t 6= 0)
0 = c sin φ + iv cos φ.
Also
v = ic tan φ.
Also
tan φ
tan2 φ
=p
1 + tan2 φ
=p
sin φ = p
1+
1
cos φ = p
−iv/c
1 − v 2 /c2
1
1 − v 2 /c2
,
.
In Drehtrafo einsetzen
ct − x(v/c)
ct0 = p
,
1 − v 2 /c2
x − ct(v/c)
.
x0 = p
1 − v 2 /c2
Vollständig reell: es verbleibt kein i.
Ist wieder Lorentztrafo.
Man benutzt Symbole (β ≤ 1, γ ≥ 1)
β = v/c,
1
γ=p
.
1 − β2
Dann
ct0 = γ(ct − βx),
x0 = γ(x − βct).
Mit Matrizen
ct0
x0
=
γ −βγ
−βγ γ
237
ct
·
.
x
(196.1)
Aber dies sind keine Drehmatrizen (vgl oben)!?
Doch, auf Minkowskiraum der Koord (ct, x):
dort lassen sie Länge
2
2
c2 t0 − x0 = c2 t2 − x2
invariant, also sind sie (Translation plus) Drehung.
2
2
c2 t0 − x0 = γ 2 (c2 t2 − 2ctβx + β 2 x2
− β 2 c2 t2 + 2ctβx − x2 )
= γ 2 (1 − β 2 )(c2 t2 − x2 )
= c2 t2 − x2 .
Beweis der Annahme “s2 = s0 2 ist Invariante”
Aus (i) Linearität der Lorentztrafo und (ii) c-Konstanz folgt nur
2
2
f (0) c2 t2 − x2 = f (v) c2 t0 − x0
für Nicht-Licht, mit unbekannter Funktion f (v).
Idee: nach Hin- und Rückboost (x00 = x, mit −v von x0 aus) gilt
f (v)f (−v) = 1.
Außerdem aus Relativitätsprinzip
f (v) = f (−v).
Also f (v) = 1.
(Bei genauer Rechnung auch −1 möglich. Wird nicht betrachtet).
§197 Die Lorentzgruppe
Poincare 1905: Lorentztrafos bilden mathematische Gruppe.
Mehr in Übungen.
§198 Minkowskiraum
Artikel von Minkowski 1907-1915.
Raum mit Achsen ~r und ct.
238
Invarianter Abstand s zweier Punkte
s2 = c2 ∆t2 − ∆~r · ∆~r.
(198.1)
s2 > 0 zeitartig:
Kausal verknüpfter Zukunfts-Vergangenheitsbereich.
s2 < 0: raumartig:
Es gibt Inertialsystem, in dem die Ereignisse gleichzeitig sind.
Wegen “−” in (198.1) ist Minkowskiraum hyperbolisch:
nichteuklidsche Geometrie.
Euklidsches Parallelenaxiom gilt nicht.
Jede Gerade hat ∞ viele Parallelen durch geradenfernen Punkt.
§199 Vierervektoren. Kovarianz von Glgen
Minkowski: Verknüpfung von Raum und Zeit zu Vierervektor.
Lorentztrafo ist Drehung eines 4-Vektors im Minkowski-Vektorraum.
Lorentztrafo ist Drehmatrix: siehe vorn.
Schreibe alle Glgen mit 4-Vektoren (uµ , Aµ ) und 4-Tensoren (F µν ).
Dann sind die Glgen manifest kovariant:
Die Lorentzinvarianz der E-Dynamik ist gezeigt!
Vgl: Translations- und Drehinvarianz der Mechanik ist gezeigt:
wenn alle Glgen Skalar-, Vektor-, Tensorglgen sind.
Denn Vektoren ändern sich bei Drehung nicht; nur ihre Koord.
Historischer Weg dagegen (Lorentz, Poincare, Einstein):
Lorentzinvarianz der Maxwellglgen direkt gezeigt.
Da Maxwellglgen nicht manifest kovariant: mühsam.
Def Vierervektor: 4-Tupel
 0
a

a1 

aµ = 
 a2  ,
a3
wo (a0 ) sich bei Lorentztrafo wie ct, (a1 , a2 , a3 ) wie ~r transformiert.
Somit 4-Ort (Schreibweise rµ unüblich)
ct
xµ =
.
~r
239
§200 Relativistische 2-Vektoren
Zur Vereinfachung 2-Vektoren: Lorentztrafo nur in x-Richtung.
u Teilchengeschw in K, u0 in K0
K0 hat Geschw v gegenüber K.
ct + vx/c
,
ct0 = p
1 − v 2 /c2
x + vt
.
x0 = p
1 − v 2 /c2
Also Trafo relativistischer 2-Vektor (a, b)
a + bv/c
a0 = p
,
1 − v 2 /c2
b + av/c
b0 = p
.
1 − v 2 /c2
Sei c = 1 (natürliche Einheiten)
a + bv
,
a0 = √
1 − v2
b + av
b0 = √
.
1 − v2
§201 Zweier-Geschwindigkeit
1. Das Problem
Dieser Abschnitt in Jackson recht dunkel.
Einsteins Additionsgesetz (c = 1)
u0 =
u+v
.
1 + uv
Für v 1 folgt Galileitrafo
u0 = u + v.
Für u = 1 folgt
u0 = 1.
240
(201.1)
u in (201.1) transformiert sich weder wie ct noch wie x.
Wie daraus relativistischen 2-Vektor machen?
2. Erster Lösungsweg
Behauptung:
1
√
1 − u2
1
u
ist 2-Vektor.
Der ausgeschriebene 4-Geschw.vektor ist also
1
c
.
uµ = p
1 − ~u · ~u/c2 ~u
Rechnung 0-Komponente
√
1
1
→p
1 − u2
1 − u0 2
1
Add
= q
u+v 2
1 − 1+uv
1 + uv
=p
(1 + uv)2 − (u + v)2
1 + uv
√
=√
1 − u2 1 − v 2
uv
√ 1
+ √1−u
2
1−u2
√
.
=
1 − v2
Die Lorentztrafo der 0-Komponente von (201.2) ist aber auch
1
Lor
√
→
1 − u2
√ 1
1−u2
√
241
1
√ uv
1−u2
.
− v2
+
(201.2)
Rechnung 1-Komponente
√
u
u0
→p
1 − u2
1 − u0 2
Add
= q
u+v
1+uv
1−
u+v 2
1+uv
u+v
=p
(1 + uv)2 − (u + v)2
u+v
√
=√
1 − u2 1 − v 2
v
√ u
+ √1−u
2
1−u2
√
=
.
1 − v2
Die Lorentztrafo der 1-Komponente von (201.2) ist aber auch
u
Lor
√
→
1 − u2
√ u
1−u2
√
√ v
1−u2
.
− v2
+
1
3. Zweiter Lösungsweg
4-Geschw ist ein 4-Vektor.
Leite den bekannten 4-Vektor (t, ~r) nach der Eigenzeit τ ab:
letztere ist relativistische Invariante:
Vektor / Invariante = Vektor.
Teilchen soll sich bzgl Inertialsystem mit ~u bewegen (u2 = ~u · ~u)
p
dτ = dt 1 − u2
Also zeitlicher Anteil
(u0 ) =
dt
1
=√
.
dτ
1 − u2
Räumlicher Anteil
~ = d~x = dt d~x = √ ~u
U
.
dτ
dτ dt
1 − u2
Zusammen
1
uµ = √
1 − u2
242
1
.
~u
Invariantes Betragsquadrat des Geschw-4-Vektors
uµ uµ = 1,
bzw uµ uµ = c2 in allen anderen Einheiten.
§202 Einsteins Masse-Energie-Formel
Ab jetzt wieder c 6= 1.
Teilchenimpuls p~ = m0~u.
m0 ist Teilchenruhmasse (in Mechanik einfach m).
(Etwas irreführend: ist Skalar, nicht 0-Komponente von 4-Vektor.)
Ansatz 4-Impulsvektor
m
c
0
.
P µ = m 0 uµ = p
1 − ~u · ~u/c2 ~u
0-Komponente:
Multipliziere mit c; entwickle für kleine Geschwindigkeiten
m0 c2
m0 c2
u2
1
0
2
2
m0 cu = q
≈
=
m
c
1
+
m 0 u2 .
=
m
c
+
0
0
2
2
u
2
2c
2
1 − 2c2
1 − uc2
Deutung: Ruhenergie m0 c2 eines Teilchens.
Relativistischer 1-2-3-Impuls eines Teilchens ist
m0~u
p~ = q
.
u2
1 − c2
Deutung: relativistische Masse
m=q
m0
1−
.
u2
c2
Geht für u2 → c2 gegen ∞.
Somit c nicht erreichbar.
Invariantes Betragsquadrat des Impuls 4-Vektors
2
P =
m20
c 2 − u2
= m20 c2 .
u2
1 − c2
243
§203 Relativistische 4-Tensoren von Rang 2
Definiere 4-Tensoren von Rang 2 wie im Vektoranalysis-Teil:
mittels Trafoeigenschaft bei Koord.trafo: jetzt Lorentztrafo.
Klassische Physik: Koord.trafo lassen Vektorlänge unverändert.
Also Translationen und Drehungen; keine Streckungen.
Wiederhole frühere Tensordef:
Math: 2-Tensor ist Dyade ist lineare Abb von Vektorraum auf sich
(~a ⊗ ~b) · ~c = (~b · ~c)~a.
Phys: Tensor verhält sich bei Koord.trafo wie multipler Vektor.
Koord.trafo
µ
µ
x0 = x0 (xα ).
Mit Kettenregel (und Summationskonvention)
∂x0 µ α
dx .
dx =
∂xα
0µ
Def kontravarianter Vektor: Zahlentupel Aα mit Trafoverhalten
∂x0 µ α
A =
A .
∂xα
0µ
Def kontravarianter Tensor 2. Stufe (Rang 2):
Quadratschema T αβ mit Trafoverhalten
T
0 µν
∂x0 µ ∂x0 ν αβ
=
T .
∂xα ∂xβ
Sei Φ(xµ ) Skalarfeld. Dann
∂Φ
∂xα ∂Φ
= 0µ α .
∂x0 µ
∂x ∂x
Def kovarianter Vektor: Zahlentupel Aµ mit Trafoverhalten
∂xα
A µ = 0 µ Aα .
∂x
0
Also vorletzte Glg
∇0µ Φ
∂xα
= 0 µ ∇α Φ.
∂x
244
Somit ∇ kovarianter Vektor(operator). Beachte
∇µ = ∂µ =
∂
.
∂xµ
Def kovarianter 2-Tensor: Quadratschema mit Trafoverhalten
T
0
∂xα ∂xβ
= 0 µ 0 ν Tαβ .
∂x ∂x
µν
Wenn man zu jedem Vektor Aµ Vektor Aµ kennt
(... wie das geht: nächster §)
dann ist (keine Freiheit mehr!) Skalarprodukt (Vektorlänge)
A2 = A µ Aµ .
Konsistenztest: ist dies invariant unter Koord.trafo?
∂xα ∂x0 µ
A µ A = 0 µ β A α Aβ
∂x ∂x
∂xα
= β A α Aβ
∂x
= δβα Aα Aβ
0
0µ
= Aα A α .
Die ko- und kontravarianten Trafomatrizen sind also invers.
Jetzt neu weiter:
Spezifiziere Koord.trafo zu Lorentztrafo!
µ = 0, 1, 2, 3.
0-Komponente transformiert wie ct, 1,2,3-Komponenten wie x, y, z.
(Pseudokartesisch).
Lorentztrafo läßt Länge2 c2 t2 − ~r · ~r von 4-Vektor invariant.
Lorentztrafo ist Drehung im Minkowskiraum.
Für Trafo in x-Richtung


γ
−βγ
0
0
0µ −βγ γ 0 0 
∂x
µ


=
Λ
=
ν
 0
0 1 0
∂xν
0
0 0 1.
Entsprechend in y- und z-Richtung, und gemischt.
245
Lorentztrafos sind gemischt kontra-kovariante Tensoren:
sie bilden kontra- auf kontravariante Vektoren ab.
Umkehrtrafo, für x-Richtung


γ
βγ
0
0
µ
βγ γ 0 0 
∂x
−1 µ


=
(Λ
)
=
ν
ν

0
0 0 1 0
∂x
0 0 0 1.
Nämlich v → −v führt zurück zum Ursprungssystem.
Nachrechnen, daß dies tatsächlich inverse Matrix ist.
§204 Minkowskitensor
Man kann alles mit kontravarianten Vektoren allein schreiben.
Wenn man einen kovarianten Rang-2 Tensor einführt
s2 = gµν xµ xν = xν xν .
Euklidisch: g = 1.
In ART: g = g(xµ ): orts- und zeitabhängig.
In SRT: g = η, mit


1 0 0 0
0 −1 0 0 

η=
0 0 −1 0  .
0 0 0 −1
Kontravarianter 4-Ort:
 
ct

x
µ

x = 
y
z
Kovarianter 4-Ort:
xµ = ηµν xν = (ct, −x, −y, −z).
Skalarprodukt
 
ct
x
2 2
2
2
2

xµ xµ = ηµν xµ xν = (ct, −x, −y, −z) · 
y = c t − x − y − z .
z
246
Skalarprodukt nur zwischen ko- und kontravarianten Indizes.
§205 Vierer-Ableitung der SRT
Im IR3 (Summationskonvention)
∂xi
= 3.
∂xi
Ist Skalar. Also Skalarprodukt ko- mit kontravariantem Vektor.
Da xi kontravariant ist, muß ∂/∂xi kovariant sein.
Also
∂
∂i ≡ i
∂x
und
∂i xi = 3.
Minkowskiraum: kovarianter Gradient (Zeile)
∂
∂
∂µ = µ =
,∇ .
∂x
c∂t
Kontravarianter Gradient (Spalte)
∂
∂ =
= η µν ∂ν =
∂xµ
µ
∂
c∂t
−∇
.
4-Divergenz eines 4-Vektors Aµ
∂A0
~
∂µ A = ∂ Aµ =
+ ∇ · A.
c∂t
Kein Minuszeichen!
Dagegen Wellenoperator
µ
µ
∂2
≡ ∂µ ∂ = 2 2 − ∆.
c ∂t
µ
3-Volumen d3 r ist wegen Lorentzkontraktion keine Invariante.
Aber 4-Volumen ist invarianter Skalar:
Betrachte x-boost
p
cdt
d4 x0 = cdt0 dx0 dy 0 dz 0 = p
dx 1 − u2 /c2 dydz
1 − u2 /c2
= cdt dx dy dz = d4 x.
247
Für allgemeine 4d-Lorentztrafo
d4 x0 = | det η| d4 x = d4 x.
Denn η ist hier Jacobische Funktionalmatrix.
§206 Vierer-Vektoren der E-Dynamik
Postulat: el Ldg ist lorentzinvarianter Skalar.
Des weiteren plausibel:
Ladungsdichte ρ und Stromdichte ~j bilden 4-Vektor.
Wiederholung: sei
α
Aµ =
~a
4-Vektor. Dann
∂α
+ ∇ · ~a.
∂ct
∂µ Aµ =
Übersetzung der Kontinuitätsglg
∂ρ
+ ∇ · ~j = 0
∂t
mit
→
∂µ j µ = 0
cρ
jµ = ~ .
j
Kontrolle: Ldg
ρd3 r
soll invariant sein. Also muß sich ρ wie t transformieren:
als 0-Komponente eines 4-Vektors. Stimmt.
Betrachte Lorenzeichung
∂Φ
~ = 0.
+∇·A
c2 ∂t
Definiere 4-Potential
µ
A =
Φ/c
~ .
A
Dann Lorenzeichung
∂µ Aµ = 0.
248
~ B
~ und Potentiale Φ, A
~
Zusammenhang Felder E,
~
~ = − ∂ A − ∇Φ,
E
∂t
~ = ∇ × A.
~
B
Dies ist nur scheinbares Durcheinander.
In kartesischen Koordinaten (ko- = kontravariant: Ex = E x )
∂Ax ∂Φ/c
−
,
c∂t
∂x
∂Ay ∂Φ/c
Ey /c = −
−
,
c∂t
∂y
∂Az ∂Φ/c
Ez /c = −
−
,
c∂t
∂z
∂Az ∂Ay
−
,
Bx =
∂y
∂z
∂Ax ∂Az
−
,
By =
∂z
∂x
∂Ay ∂Ax
Bz =
−
.
∂x
∂y
Ex /c = −
Erinnerung
µ
∂ =
∂
c∂t
−∇
,
oder (verzichte auf Klammer für Vektorkomponenten)
∂
,
c∂t
∂
∂1 = − ,
∂x
∂
∂2 = − ,
∂y
∂
∂3 = − .
∂z
∂0 =
249
Also (vertausche 1. und 2. Spalte)
Ex /c = ∂ 1 A0 − ∂ 0 A1 ,
Ey /c = ∂ 2 A0 − ∂ 0 A2 ,
Ez /c = ∂ 3 A0 − ∂ 0 A3 ,
Bx = ∂ 3 A2 − ∂ 2 A3 ,
By = ∂ 1 A3 − ∂ 3 A1 ,
Bz = ∂ 2 A1 − ∂ 1 A2 .
Definiere Feldstärketensor
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ .
Dann
Ex /c = F 10 ,
Ey /c = F 20 ,
Ez /c = F 30 ,
Bx = F 32 ,
By = F 13 ,
Bz = F 21 .
Oder

0 −Ex /c −Ey /c −Ez /c
Ex /c
0
−Bz
By 
.
=
Ey /c
Bz
0
−Bx 
Ez /c −By
Bx
0

F µν
Daraus

Fµν = ηµα ηνβ F αβ

0
Ex /c Ey /c Ez /c
−Ex /c 0
−Bz By 
.
=
−Ey /c Bz
0
−Bx 
−Ez /c −By Bx
0
250
Maxwellsche Glgen im Vakuum
~ = ρ/0 ,
div E
~
~ = − ∂B ,
rot E
∂t
~
div B = 0,
~ = µ0
rot B
~
~j + 0 ∂ E
∂t
!
.
Benutze µ0 0 = c−2 in inhomogenen Glgen und stelle um
~ = µ0 cρ = µ0 j 0 ,
div E/c
~
∂ E/c
~ = µ0~j.
+ rot B
−
c∂t
Hinschauen auf den Feldstärketensor:
letzte Glgen sind identisch mit
∂µ F µν = µ0 j ν .
Bleiben die (sogenannten) homogenen Glgen
~
∂B
~
rot E +
= 0,
∂t
~ = 0.
div B
Nachdenken hilft:
Glgen automatisch erfüllt wenn Felder mit Potentialen definiert
~
~ = − ∂ A − ∇Φ,
E
∂t
~ = ∇ × A.
~
B
Letztere Glgen wurden aber schon SRT-übersetzt, in Def von F
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ .
Also muß SRT-Übersetzung der homogenen Glgen
~ div B)
~
(i) wieder Ableitung von F haben (rot E,
(ii) reine Identität sein: rechte Seite 0.
251
Def von F (antisymm Tensor!) hilft beim Auffinden der Identität.
Mit etwas Spielen folgt Jacobi-Identität
∂ κ F µν + ∂ µ F νκ + ∂ ν F κµ = ∂ κ ∂ µ Aν − ∂ κ ∂ ν Aµ + ∂ µ ∂ ν Aκ
− ∂ µ ∂ κ Aν + ∂ ν ∂ κ Aµ − ∂ ν ∂ µ Aκ = 0.
Übung: zeige: Jacobi-Identität = homogene Maxwellglgen.
Also Maxwellglgen in 4-Vektor-Formulierung
∂ κ F µν + ∂ µ F νκ + ∂ ν F κµ = 0,
∂µ F µν = µ0 j ν .
Damit ist die Lorentzinvarianz der Maxwellglgen bewiesen:
Links und rechts stehen Minkowskitensoren und -vektoren.
Also sind die Glgen in jedem lorentztransformierten System gleich.
Für originalen, direkten Beweis siehe Lorentz, Poincare, Einstein.
Übung: zeige: Lorentzkraft Gµ in SRT ist
Gµ = jν F µν .
§207 Der duale Feldstärketensor
Def vollständig antisymmetrischer Tensor von Rang 4:
αβγδ = 1 für gerade Perm von 0123, = −1 für ungerade, = 0 sonst.
Übung: zeige αβγδ = −αβγδ .
Def dualer Feldstärketensor
1
∗F αβ = αβγδ Fγδ .
(207.1)
2
Übung: zeige

F µν

0 −Bx
−By
−Bz
Bx
0
Ez /c −Ey /c
.
=
By −Ez /c
0
Ex /c 
Bz Ey /c −Ex /c
0
Die Maxwellglgen werden jetzt
∂µ ∗F µν = 0,
∂µ F µν = µ0 j ν .
252
Übung: zeige die erste Zeile.
Jacobi-Identität damit stark vereinfacht:
Permutationen stecken in statt in Maxwellglg.
Magnetische Monopole und ihre Ströme (Bewegung):
würden (nur) auf rechter Seite von ∂µ ∗F µν = 0 auftreten.
Übung: Zeige, daß ∂µ ∗F µν ein Pseudotensor ist, und damit magnetische
Monopole Pseudoskalare sein müßten.
253
KAP 12: LAGRANGEFORMALISMUS
§208 Vorab
Nach Fließbach:
In Mechanik Lagrangeformalismus zentral.
In E-Dynamik nicht. Warum?
In Mechanik Bewegungsglgen unter Zwängen gesucht:
Newton II mit Zwangskräften. Zentrifugalkraft usw.
In E-Dynamik dagegen immer dieselben Maxwellglgen.
Lagrange aber fundamental für QED.
Und für Feldtheorie außerhalb IR3 .
§209 Relativistische Lagrangefunktion für freie Teilchen
Im folgenden:
relativistische Lagrangefunktion für Teilchen
Lagrangefunktion für Felder
Betrachte Gravitationskraft der Mechanik
m1 m2 (~r1 − ~r2 )
.
F~12 = G
|~r1 − ~r2 |3
Keine Zeitvariable. Keine Retardierung.
Instantane Fernwirkung. Unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit.
Nicht mit v ≤ c der Relativitätstheorie verträglich.
Keine kovariante Formulierung der Newtongravitation möglich.
Prinzip der kleinsten Wirkung von Hamilton
Z t2
δ
dtL(q, q̇, t) = 0.
t1
Postulat (nach P2): Wirkungsintegral ist Skalar.
Ersetze t durch invariante Eigenzeit τ
dτ
dt = p
1 − v 2 /c2
Immer γ ≥ 1.
Lorentzskalar Ldt = Lγdτ .
254
= γdτ.
Also
L = γL
Lorentzskalar: betrachte nur diese Kombination.
Heißt kovariante Lagrangefunktion.
Soll sein L = L(xµ , uµ , τ ): 4-Ort, 4-Gesch.
Damit (Übung) vier Euler-Lagrangeglgen
d ∂L
∂L
−
= 0.
dτ ∂uµ ∂xµ
Nichtrelativistisch (freies Teilchen: keine Kraft)
1
L = m~u · ~u.
2
Vermutung: relativistisch
1
L = muµ uµ
2
m/2
c
=
(c, −~u) ·
2
2
~u
1 − u /c
1
= mc2 .
2
m ist Ruhmasse, also ist L Konstante!
Goldstein: “Das hat keine Konsequenzen, denn alles, was von L verlangt wird, ist die richtige funktionale Abhängigkeit von uµ .”
Einsetzen in E-L-Glg gibt korrektes relativistisches N II
d
(muµ ) = 0.
dτ
§210 Teilchen im elmag Feld
Maxwellglgen haben erwünschte endliche Ausbreitungsgeschw:
Retardierte Potentiale. Lorentzinvarianz.
Also relativistisch kovariante Formulierung möglich für:
WW Teilchen + elmag Kraft.
Nichtrelativistische Lorentzkraft auf ein Teilchen
~ + ~u × B).
~
F~ = q(E
255
~ B
~ aus Φ, A.
~
E,
Idee: 4-Kraft aus 4-Gradient des Potentials in E-L-Glg.
Damit raten: WW-Term in Lagrangefkt
−γV ≡ LWW = −quµ Aµ
Φ/c
= −qγ (c, −~u) ·
~
A
~
= −qγ(Φ − ~u · A).
Potential V in Relativitäts- und Feldtheorie unüblich:
stattdessen WW-Term (englisch interaction) in Lagrangefkt.
Achtung: Vorzeichen + bei WW, − bei V.
Achtung: γ-Faktor macht aus L Lorentzskalar.
~ = 0 stimmt:
Elektrostatischer Grenzfall A
~
F~ = −∇V = ∇LWW = −q∇Φ = q E.
Übung: hiermit Minkowskikraft (relativst), Lorentzkraft (nichtrel).
§211 Lagrangefunktion mit zwei Variablen t, x
Bisher Punktmechanik: Bewegung eines diskreten Teilchens.
Jetzt neues Prinzip: Lagrangefunktion für Felder.
Zurück zur Mechanik: Lagrangefunktion
L = L(q(t), q̇(t), t).
Hamiltons Prinzip der kleinsten Wirkung
Z t2
δ
dtL = 0.
t1
Führt auf E-L-Glg
d ∂L ∂L
−
= 0.
dt ∂ q̇
∂q
Erste Vorbereitung auf Felder:
Def Lagrangedichte L,
Z
L=
Genauso für
R
dxL.
dxdydz.
256
Achtung: Def Lagrangedichte der relativistischen Feldtheorie:
Hamiltonsches Prinzip ist jetzt
Z
δ d4 xL = 0
d4 x ist Lorentzskalar, also auch L: kein γL hier.
Unterscheidung wie L und L hier nicht nötig.
Satz: für Lagrangedichte
L = L(f (x, t), f˙(x, t), f 0 (x, t), x, t)
führt Hamiltons Prinzip
Z
t2
δ
Z
x2
dt
t1
dxL = 0
x1
auf E-L-Glg
∂ ∂L ∂L
∂ ∂L
−
+
= 0.
∂t ∂ f˙ ∂x ∂f 0 ∂f
Beweis mit Variationsrechung.
∂
Oder elementar mit Variationsparameter δ ≡ dα ∂α
.
Mechanik: Variation q(t) + δq(t) bei t.
Jetzt: Variation f (x, t) + δf (x, t) bei x, t.
x, t festgehalten.
Goldstein: “Es kann keine Variation der Parameter x, t geben.”
Benutze
∂
∂f
= δf,
δ f˙ = δ
∂t
∂t
∂f
∂
δf 0 = δ
=
δf.
∂x
∂x
257
Dann mit partieller Integration
Z t2 Z x2
0=δ
dt
dx L
t
x
Z t21 Z x21 ∂L ˙ ∂L 0
∂L
δ f + 0 δf
=
dt
dx
δf +
∂f
∂f
∂ f˙
t1
x1
Z t2 Z x2 d ∂L
d ∂L
∂L
=
dt
dx
−
−
δf
∂f
dt ∂ f˙ dx ∂f 0
t1
x1
Z x2 Z t2
d ∂L
δf
+
dx
dt
dt ∂ f˙
x1
t1
Z t2 Z x2
d ∂L
+
dt
dx
δf
dx ∂f 0
t1
x1
Z t2 Z x2 d ∂L
d ∂L
∂L
−
−
=
δf
dt
dx
∂f
dt ∂ f˙ dx ∂f 0
t1
x1
t
x
Z x2
Z t2
∂L 2
∂L 2
+
δf +
dx
dt 0 δf ∂f
∂ f˙ t1
x1
t1
x1
Z t2 Z x2 d ∂L
d ∂L
∂L
−
=
−
δf.
dt
dx
∂f
dt ∂ f˙ dx ∂f 0
t1
x1
In letzter Zeile wurde vorausgesetzt:
keine Variation an Rändern (vgl Mechanik)
δf (t1 , x) = δf (t2 , x) = δf (t, x1 ) = δf (t, x2 ) = 0.
Beachte: δf (t1 , x1 ) = 0 ist zu wenig:
wäre nur Ecke statt Rand des xt-Integrationsgebiets.
Da δf beliebig, muß Integrand verschwinden,
d ∂L
d ∂L ∂L
+
−
= 0.
dt ∂ f˙ dx ∂f 0 ∂f
Elementare Verallgemeinerung ist (Beweis Übung): Ist
L = L(f (x, t), g(x, t), f˙(x, t), ġ(x, t), f 0 (x, t), g 0 (x, t), x, t),
dann gelten zwei E-L-Glgen
d ∂L
d ∂L ∂L
+
−
= 0,
dt ∂ f˙ dx ∂f 0 ∂f
d ∂L
d ∂L ∂L
+
−
= 0.
dt ∂ ġ
dx ∂g 0
∂g
258
§212 Ein erstes Kontinuumsmodell
Bisher:
Ableitungen nach t in E-L-Glgen der Punktmechanik.
Ableitungen nach t, x, y, z in E-L-Glgen der Feldtheorie.
Woher genau kommen Ableitungen nach x, y, z?
Betrachte einfaches Kontinuumsmodell aus Festkörperphysik.
Wird in Quantenfeldtheorie übernommen!
Das folgende nach Goldstein S. 385ff.
Unendlich viele Teilchen der Masse m in konstantem Abstand a;
entlang x-Achse, identische Federn zwischen je 2 Teilchen.
Verallgemeinerte Koord qi sei Ort des i-ten Teilchens.
Kinetische Energie des Systems
1X 2
T=
mq̇i .
2 i
Potentielle Energie des Systems (Federkonstante k)
V=
1X
k(qi+1 − qi )2 .
2 i
Lagrangefunktion
L=
1X
2
i
"
a
qi+1 − qi
m 2
q̇i − ka
a
a
2 #
.
Betrachte a → 0:
µ = m/a ist Linien-Massendichte.
Y = ka ist Youngscher Dehnungsmodul (von Stäben).
µ, Y sind endlich für a → 0.
Ersetze qi (t) durch q(t, x). Dann
qi+1 − qi
∂q
→
.
a
∂x
Ersetze Summe durch Integral. Dann
Z
1
L=
dx[µq̇ 2 − Y q 02 ].
2
259
Also
µ 2 Y 02
q̇ − q .
2
2
Da L nicht von q abhängt, ist E-L-Glg
L = L(q̇, q 0 ) =
d ∂L
d ∂L
+
dt ∂ q̇
dx ∂q 0
= µq̈ − Y q 00 .
0=
Hier subtile Häßlichkeit:
In Lagrangeglg steht d/dt und d/dx (wegen part. Int).
∂L
Diese wirken nach Berechnen von ∂L
∂ q̇ , ∂q 0 :
auf Felder q(t, x). Also ∂/∂t und ∂/∂x.
Oben Bewegungsglg für elastischen Stab! Genauso:
Schallausbreitung in Gasen (longitudinal);
Saitenschwingungen (transversal).
Mit Wellengeschwindigkeit
p
a = Y /µ
wird daraus Wellenglg
q̈ − a2 q 00 = 0.
Warum nur eine Glg trotz ∞ vieler Freiheitsgrade qi ?
Weil partielle, nicht gewöhnliche DGL.
Partielle DGL ↔ gewöhnliche DGL an jedem x ∈ IR.
§213 Lagrangefkt des elmag Feldes im Vakuum
In diesem § keine Ldgen, keine Ströme: echtes Vakuum.
Wichtig in QED: Quantisierung des elmag Feldes.
~ ~r).
Statt q(t, x) des Federsystems nun Φ(t, ~r), A(t,
Weg: postuliere L, das Maxwellglgen ergibt.
Erst moderne, kovariante Rechnung.
Sei M: Mechanik, F: Feldtheorie.
Generalisierter Ort qi (t) (M) → Feld Φ(xµ ) (F).
General. Geschw q̇i (M) → Vierergradient ∂µ Φ (F).
Hamiltons Prinzip mit 4-Lagrangedichte
Z
δ d4 xL = 0.
260
d4 x ist Lorentzskalar, also auch L.
~ B
~ sind 6 Funktionsfreiheitsgrade.
E,
~ bestimmt.
Sind aber durch 4 Freiheitsgrade Φ, A
Arbeite also mit verallgemeinerten Koord Aµ !
~ B.
~
Nicht mit E,
Lagrangegleichungen sollen sein (schreibe ∂µ statt dµ )
∂µ
∂L
∂L
−
= 0.
∂(∂µ Aν ) ∂Aν
Hier kovariantes Aν nötig.
Jetzt raten.
L ist quadratische Funktion der Geschw q̇ (M).
Also L quadratische Fkt der ∂µ Aν (F).
Nehme stattdessen gleich Feldstärketensor:
Wegen Kovarianz der Glgen.
Sei
∂L
∂L
.
=
ν
∂(∂µ Aν ) ∂ ∂A
∂xµ
Einfachste Rate-Möglichkeit ist auch richtig:
1
L = − Fµν F µν .
4
Rechnung:
1
L = − (∂µ Aν − ∂ν Aµ )(∂ µ Aν − ∂ ν Aµ )
4
1 µ ν
= − (∂ A − ∂ ν Aµ )(∂µ Aν − ∂ν Aµ )
4
1 µσ ντ
= − η η (∂σ Aτ − ∂τ Aσ )(∂µ Aν − ∂ν Aµ ).
4
261
Also
∂L
1
= − η µσ η ντ [(δσα δτβ − δτα δσβ )(∂µ Aν − ∂ν Aµ )
∂(∂α Aβ )
4
+ (∂σ Aτ − ∂τ Aσ )(δµα δνβ − δνα δµβ )]
1
= − [(η µα η νβ − η µβ η να )(∂µ Aν − ∂ν Aµ )
4
+ (η ασ η βτ − η βσ η ατ )(∂σ Aτ − ∂τ Aσ )]
1
= − [∂ α Aβ − ∂ β Aα − ∂ β Aα + ∂ α Aβ
4
+ ∂ α Aβ − ∂ β Aα − ∂ β Aα + ∂ α A β ]
= −(∂ α Aβ − ∂ β Aα )
= −F αβ .
Außerdem
∂L
= 0.
∂Aβ
Also E-L-Glg
∂α F αβ = 0.
Sind 2 Maxwellglgen für ladungs- und stromfreies Vakuum.
Beachte: die zwei anderen Maxwellglgen:
~ B
~ mittels Φ, A.
~
sind Def von E,
Beschreiben keine Dynamik, sondern:
~ quellfrei, E
~ Potentialfeld.
Feldgeometrie: B
Also nicht aus E-L-Glgen (Dynamik!) herleitbar.
§214 Volle Lagrangedichte des elmag Feldes
Volle Lagrangedichte mit Ldg und Strom ist:
1
L = − Fµν F µν − µ0 Aµ j µ .
4
Wieder
Jetzt
∂L
= −F αβ .
∂(∂α Aβ )
∂L
= −µ0 δµβ j µ = −µ0 j β .
∂Aβ
262
Also E-L-Glg
∂α F αβ = µ0 j β .
Sind die zwei dynamischen Maxwellglgen.
Probe:
Vgl jetziges
Lint = −µ0 Aµ j µ
(214.1)
mit freiem Teilchen im elmag Feld (L Lorentzskalar)
~
Lint = −qγ(Φ − ~u · A).
Glg (214.1): Ldgen als Feldquelle (Ursache des Feldes)
Glg (214.2): Feld bewirkt Kraft auf Ldgen
Ist dasselbe: WW- oder Kopplungsterm.
Prüfe Gleichheit mit Teilchenansatz
ρ = qδ(~r − ~r 0 ),
~j = q~uδ(~r − ~r 0 ).
Achtung: in (214.1) muß man jetzt µ0 weglassen:
diente nur dazu, c−2 im Feldstärketensor zu bekommen;
und damit kompakte kovariante Maxwellglgen
Es muß also gelten
Z
Z
1
!
dτ Lint = d4 x Lint
µZ
0
Z
1
= dt/γ d3 r0 γ Lint
µ0
Z
Z
1
= dτ d3 r0 γ Lint .
µ0
263
(214.2)
Tatsächlich
Z
1
d r γ Lint = −γ
µ0
3 0
Z
d3 r0 Aµ j µ
Z
~ · cρ
d3 r0 (Φ/c, −A)
~j
Z
~ · ~j)
d3 r0 (Φρ − A
= −γ
= −γ
Z
= −γq
~ · ~u)δ(~r − ~r0 )
d3 r0 (Φ − A
~ · ~u)r̃
= −γq(Φ − A
= Lint .
§215 Lagrangedichte des Feldes: nicht kovariant
Zum besseren Verständnis nach dem bisherigen Hochkalkül:
~ und B.
~ Siehe Goldstein.
L mit E
Verzicht auf explizite Kovarianz; dafür elementare Felder.
Feldglgen
~ = ρ/0 ,
∇·E
~ = 0,
∇·B
~
~ = − ∂B ,
∇×E
∂t
~
~ = µ0~j + µ0 0 ∂ E .
∇×B
∂t
~
Glg 2 und 3 identisch erfüllt nach einführen von Φ, A,
~ = ∇ × A,
~
B
~
~ = −∇Φ − ∂ A .
E
∂t
Glg 1 und 4 dynamische Glgen: Kopplung an Materie.
Nur Glg 1 und 4 aus Lagrangefkt.
Postulat
0
1 2
~
L = E2 −
B − ρΦ + ~j · A.
2
2µ0
264
(Im WW-Term sieht man wieder: extra µ0 im kovarianten Kalkül.)
~ B
~ durch Φ, A
~ auszudrücken
Hierbei sind E,
!2
~
0
∂A
L=
∇Φ +
2
∂t
1 X
−
abc ∂b Ac ade ∂d Ae
2µ0
abcde
~
− ρΦ + ~j · A.
~
Denn die verallgemeinerten Koord sind Φ, A.
∇× zur Rechen-Vereinfachung mit -Tensor.
Beachte hier besonders Index a: Skalarprodukt.
Sei wieder
∂L
∂L
= .
∂(∂i Φ) ∂ ∂Φ
∂xi
Für Φ-Koordinate einfach ablesen
∂L
= −ρ,
∂Φ
∂L
= 0,
∂ Φ̇
∂L
= 0 (∂i Φ + Ȧi ) = −0 Ei .
∂(∂i Φ)
Einsetzen in E-L-Glg
3
∂L
∂ ∂L X ∂ ∂L
+
−
=0
∂t ∂ Φ̇ i=1 ∂xi ∂(∂i Φ) ∂Φ
gibt
0
X ∂Ei
i
∂xi
= ρ.
Also Maxwellglg
~ = ρ/0 .
∇·E
265
~
Und für A-Koordinate
∂L
= jj ,
∂Aj
∂L
= 0 (∂j Φ + Ȧj ) = −0 Ej ,
∂ Ȧj
1 X
∂L
=−
(abc ∂b Ac ade δid δje + abc δib δjc ade ∂d Ae )
∂(∂i Aj )
2µ0
abcde
X
1 X
=−
aij ade ∂d Ae )
aij abc ∂b Ac +
(
2µ0
ade
abc
X
1
=−
aij abc ∂b Ac
µ0
abc
X
1
aij Ba ,
=−
µ0 a
X
∂L
1 X
∂i
=−
aij ∂i Ba
∂(∂
A
)
µ
i
j
0
i
ai
X
1
=
jia ∂i Ba
µ0 ia
=
1
~ j.
(∇ × B)
µ0
Einsetzen in E-L-Glgen
3
∂ ∂L X ∂
∂L
∂L
+
−
=0
∂t ∂ Ȧj
∂x
∂(∂
A
)
∂A
i
i
j
j
i=1
gibt
−0
∂Ej
1
~ j − jj = 0,
+ (∇ × B)
∂t
µ0
also Maxwellglg
~
~ = µ0~j + µ0 0 ∂ E .
∇×B
∂t
§216 Energie-Impuls-Tensor
Jetzt relativistischer Hamiltonformalismus der Feldtheorie.
266
Hamiltonfkt der Mechanik mittels Legendretrafo definiert
H=
∂L
q̇ − L.
∂ q̇
In E-Dynamik entsprechend für Hamiltondichte
H=
∂L
∂α Aβ − L.
∂(∂α Aβ )
Übung: zeige, daß ohne Ladungen und Ströme H ∼ E 2 + B 2 .
H ist Feldenergiedichte.
Feldimpuls sollte in Relativitätstheorie mit Energie einhergehen.
Ist auch der Fall, im Energie-Impuls-Tensor
T µν =
∂L
∂ ν Aβ − η µν L.
∂(∂µ Aβ )
Summation über β. Also H = T 00 .
Übung: zeige ∂µ T µν = 0.
Übung: zeige Zusammenhang T 00 und Feldenergie, T 0i und Poyntingvektor, T ij und Maxwellscher Spannungstensor.
Übung: drücke T µν rein algebraisch durch F µν und η µν aus.
267
268
KAP 13: DIFFERENTIALFORMEN
§217 Vorbemerkung
Motivation:
1915: ART
1950: QED
1970: Eichtheorien
1980+: Supersymmetrie, Stringtheorie
Alle Materie und alle Kräfte als Feldtheorien.
Daher im folgenden einfachste, abstrakteste Form der Maxwellglgen.
Literatur: Römer, Forger: Elementare Feldtheorie.
Jänich: Vektoranalysis, Springer Berlin.
Thirring, Mathematische Physik.
Bücher über multilineare Algebra und Differentialgeometrie.
§218 Metrischer Tensor
Nichteuklidsche Räume.
Riemann 1854: invariantes Bogenelement
ds2 = d~r · d~r = gij dxi dxj .
Hier ohne Krümmung
s2 = ~r · ~r = gij xi xj .
Was ist gij ? Sei
~r = xi~ei .
Also
s2 = (xi~ei ) · (xj ~ej ) ≡ gij xi xj ,
und
gij = ~ei · ~ej .
Index unten: kovariant, oben: kontravariant.
Für ART fundamentaler Artikel: Ricci & Levi-Civita 1901.
Lineare Koordinatentrafo
j
x0 = Ajk xk .
269
Kontravarianter Tensor T 2. Stufe (oder von Rang 2):
Zahlenschema, das bei Koord.trafos übergeht in
ij
T 0 = Aik Ajl T kl .
Erzeugung eines Tensor durch dyadisches Vektorprodukt:
T ij = ai bj + ci dj + . . .
(Tensor im IR3 hat 9 Komponenten, ~a, ~b nur 6.)
Dyadisches Produkt transformiert sich wie Tensor.
Koord.freie Schreibweise:
T = ~a ⊗ ~b + ~c ⊗ d~ + . . .
Vektorraumsstruktur der Tensoren: Addition usw.
Def g kl :
gij g jk = δik .
§219 Ko- und kontravariant
Def
xi = gij xj .
xi sind kovariante, xi kontravariante Komponenten von ~x.
Primär: kontravariant.
Kovariant, um Skalarprodukt ohne explizites gij zu schreiben.
s2 = gij xi xj = xi gij xj = xi xi = xi xi .
Erinnerung (Ricci und Levi-Civita):
Kontravar.Koord: Parallelprojektion entlang Koord.netz.
Kovar.Koord: Orthogonalprojektion, ∇-Richtung der Koord.fkt.
§220 Der Dualraum
Paulis Kritik: bei letzterer taucht störender Skalarfaktor auf.
Besser und modern-abstrakter ist daher folgender Zugang:
Vektoren im Vektorraum und Kovektoren im Dualraum.
Kontravariant (Vektorpfeil) und kovariant (Ebenenschar).
Nach Thierring:
270
Sei V Vektorraum mit Basis ~e1 , . . . , ~em .
Elemente werden geschrieben als
~v = v i~ei .
Oben/unten nicht vertauschen! Summationskonvention.
Dualraum V ∗ ist Menge aller linearen Abb.
f : V → IR,
z.B. Skalarprodukt!
Schreibe Vektor immer als Spalte
 
x

~r = y  .
z
Lineare Abbildung
ax + by + cz = d.
(220.1)
Diese Lin.Abb sei durch a, b, c bestimmt (nicht d !, s.u.)
Dann Dim Dualraum = Dim Vektorraum.
Menge aller (x, y, z), die (220.1) erfüllen, liegen in Ebene.
Steigungen a/b, a/c, b/c in xy, xz, yz Ebenen.
Läßt man noch d alle Werte durchlaufen:
ergibt parallele Ebenenschar. Somit
Vektor = gerichteter Pfeil (parallelverschiebbar).
lin.Abb = Ebenenschar.
V ∗ ist selbst Vektorraum, z.B.
(λf + µg)(~v ) = λf (~v ) + µg(~v ).
Deshalb ~v ∗ für Elemente aus V ∗ .
Schreibe lin.Abb als Skalarprodukt
w
~ ∗ (~v ) ≡ w
~ ∗ · ~v .
Elemente von V heißen kontravariante Vektoren.
Elemente von V ∗ (lin.Abb) heißen kovariante Vektoren.
Skalarprodukt nur zwischen ko- und kontravarianten Vektoren!
Basis von V : ~e1 , ~e2 , . . .
271
Basis von V ∗ : ~e 1 , ~e 2 , . . . (ohne Stern)
Kanonische duale Basis definiert durch
~e i (~ej ) = δji .
Satz (Beweis Übung): orthgonale Koord.trafo
~ei → A · ~ei ↔ ~e i → A−1 · ~e i .
Kovariante xi aus Parallelprojektion im Dualraum V ∗
... statt aus Orthogonalprojektion im Vektorraum V .
§221 Tensoren, mathematisch
Def dyadisches Produkt (Tensorprodukt) auf Dualraum:
Seien f, g lineare Abb. V → IR. Dann ist
(f ⊗ g)(~v , w)
~ = f (~v )g(w)
~
bilineare Abb V × V → IR.
Bilinear: linear bzgl erstem Argument
(f ⊗ g)(λ1~v1 + λ2~v2 , w)
~ =
= f (λ1~v1 + λ2~v2 )g(w)
~
= [λ1 f (~v1 ) + λ2 f (~v2 )]g(w)
~
= λ1 f (~v1 )g(w)
~ + λ2 f (~v2 )g(w)
~
= λ1 (f ⊗ g)(~v1 , w)
~ + λ2 (f ⊗ g)(~v2 , w).
~
Menge aller f ⊗ g wieder Vektorraum (Addition, Skalarmult.)
Def dyadisches Produkt (Tensorprodukt) von Vektor und linearer Abb:
Seien ~v und g gegeben.
Dann für alle f und w
~ bilineare Abb definiert durch
(~v ⊗ g)(f, w)
~ = f (~v )g(w).
~
Def: Tensor ist multilineare Abb.
V ∗ × ... × V ∗ × V × ... × V → IR.
Tensorrang = Zahl der Argumente.
Seien S, T : V × . . . × V → IR Tensoren von Rang m, n.
272
Def Tensorprodukt
(S ⊗ T )(~v1 , . . . , ~vm , w
~ 1, . . . , w
~ n ) = S(~v1 , . . . , ~vm )T (w
~ 1, . . . , w
~ n ).
Tensorprodukt zweier Vektoren ist dyadisches Produkt.
Entsprechend Produkte von gemischt ko-kontravar Tensoren.
⊗ ist bilinear, assoziativ, distributiv, aber nicht kommutativ.
Menge der Tensoren aller Ränge mit ⊗ ist Tensoralgebra.
Jeder Tensor darstellbar als
kl.. i
T = Tij..
~e ⊗ ~e j ⊗ . . . ⊗ ~ek ⊗ ~el . . .
kl..
.
In der Physik meist Koordinatendarstellung Tij..
In der Mathematik meist T .
§222 Tensorverjüngung
Je mit einer ko- und kontravarianten Komponente.
Z.B. 3-Tensor
T = ~u ∗ ⊗ ~v ∗ ⊗ w
~
Dann ist die 13-Verjüngung der 1-Tensor (Linearform)
T̃ = ~u ∗ (w)~
~ v ∗.
Die Verjüngung eines gemischten 2-Tensors ist wichtig
T̃ = Tij˜(~e i ⊗ ~ej ) = Tij ~ei (~ej ) = Tij δji = Tii .
Ist Spur des Tensors.
Übung: zeige wieder: Kroneckertensor
δij ~ei ⊗ ~e j = ~ei ⊗ ~e j
ändert sich bei Koordinatentrafo nicht.
§223 Tensorkontraktion
Seien (zur Einfachheit ohne Summe)
S = ~v1 ∗ ⊗ ~v2 ,
T =w
~1 ⊗ w
~ 2.
273
Dann sind mögliche Kontraktionen
~v1 ∗ (w
~ 1 )~v2 ⊗ w
~ 2,
~v1 ∗ (w
~ 2 )~v2 ⊗ w
~ 1.
Man muß angeben, welche Position mit welcher.
Schreibweise: In Physik S : T ; in Mathematik als Abb
iS : T → iS (T ) = S : T .
§224 Alternierende n-Formen
“Form” = lin.Abb.
Betrachte also nur komplett kovariante Tensoren.
Def äußeres Produkt zweier kovar.Vektoren
~v ∗ ∧ w
~ ∗ = ~v ∗ ⊗ w
~∗−w
~ ∗ ⊗ ~v ∗ .
Hier ⊗ dyadisches Produkt.
Def äußeres Produkt dreier kovar.Vektoren: total antisymmetrisch
~u ∗ ∧ ~v ∗ ∧ w
~ ∗ = ~u ∗ ⊗ ~v ∗ ⊗ w
~ ∗ − ~u ∗ ⊗ w
~ ∗ ⊗ ~v ∗ − ~v ∗ ⊗ ~u ∗ ⊗ w
~∗
+ ~v ∗ ⊗ w
~ ∗ ⊗ ~u ∗ + w
~ ∗ ⊗ ~u ∗ ⊗ ~v ∗ − w
~ ∗ ⊗ ~v ∗ ⊗ ~u ∗ .
Allgemein (Rang S ist p, Rang T ist q)
1 X
S∧T =
sign(π)π(S ⊗ T ),
p!q! π
wobei π = Permutation.
Gemeint ist: π aller p + q Vektoren in S ⊗ T .
Identische Definition:
(~v1 ∗ ∧ . . . ∧ ~vm ∗ )(~u1 , . . . , ~um ) = det(~vi ∗ · ~uj ).
det = Determinante.
Sage statt total antisymmetrisch: schiefsymmetrisch (skew symmetric).
Schiefsymmetrische kovariante 2-Tensoren heißen 2-Formen.
274
Benutze Schreibweise mit Skalarprodukt
(~a∗ ∧ ~b∗ )(~v , w)
~ = ~v · (~a∗ ∧ ~b∗ )w.
~
Da fast alle physikalischen Tensoren nur Rang 2 haben:
reicht dies für meiste physikalische Zwecke.
Erlaubt übersichtliche Rechnungen.
Mathebücher bevorzugen Argumentenschreibweise ~v ∗ (w).
~
Raum der 2-Formen wird aufgespannt durch Basis
~e i ∧ ~e j
mit i < j. Damit
~v · (~e i ∧ ~e j ) · w
~ = ~v · (~e i ⊗ ~e j − ~e j ⊗ ~e i ) · w
~
= (~v · ~e i )(~e j · w)
~ − (~v · ~e j )(~e i · w)
~
= v m (~em · ~e i )(~e j · ~en )wn − v m (~em · ~e j )(~e i · ~en )wn
i j n
j i n
= v m δm
δn w − v m δm
δn w
= v iwj − v j wi.
In der zweiten Zeile Def dyadisches Produkt benutzt.
In der vierten Zeile Def duale Basis benutzt.
Die letzte Zeile ist die von ~v , w
~ aufgespannte Fläche in der ij-Ebene.
Allgemein: n-Formen messen n-dimensionale Volumen.
Grund: schiefsymmetrische Formen haben selbe Def wie Determinante.
Determinanten messen Volumen:
Jacobideterminante bei Variablensubstitution in n-dim Integralen.
Also: Vektoranalysis und Integrationstheorie mit Differentialformen.
§225 Pseudo-Euklidische Räume
Einzige Voraussetzung bisher: Vektorraum V gegeben.
Jetzt: es existiere Abstand auf V .
Solche Vektorräume heißen Pseudoeuklidisch.
Abstand ist symmetrische Bilinearform
g : V × V → IR.
Achtung: Längenquadrat darf (wie in SRT) negativ sein.
275
g heißt metrischer Tensor, g(~v , w)
~ heißt Skalarprodukt.
Man schreibt dafür auch ~v · w.
~
Def Drehungen: lineare Abb. φ : V → V , für die gilt
g(φ(~x), φ(~y )) = g(~x, ~y ).
Führt (wieder) auf orthogonale Gruppe.
Koordinatendarstellung des metrischen Tensors
g = gij ei ⊗ ej
Wie oben kann man zu jedem kontravarianten Vektor kovarianten Vektor definieren
vi = gij v i .
Allgemein liest sich das etwas abstrakt: linearer Isomorphismus
τ :V → V ∗ ,
~v 7→ τ~v ,
definiert durch (w
~ beliebig)
τ~v (w)
~ = g(~v , w).
~
Einfacher
~v ∗ = g : ~v .
§226 Epsilon-Tensor
Sei zur Einfachheit ~e1 , . . . , ~en Orthonormalbasis.
Ähnlich, aber womöglich noch wichtiger als Kronecker-Tensor
= ~e1 ∧ . . . ∧ ~en .
Ist invariant unter Drehungen.
§227 Der Sternoperator
Sehr wichtig!
Sei Vektorraum V n-dimensional.
Sei T Tensor von Rang p.
Dann ist Sternoperator ein linearer Isomorphismus
276
von Rang-p auf Rang-(n − p) Tensoren.
Forderung p ≤ n.
Definiere Abb. ∗:
Stern eines ∧-Produkts von Basisvektoren ist das ∧-Produkt der komplementären Basisvektoren
Mit Vorzeichen der vollstandigen Permutation aller Basisvektoren, gelesen wie sie auf der Zeile stehn
Z.B. für Orthonormalbasis auf IR3
∗(~e1 ∧ ~e2 ∧ ~e3 ) = 1,
∗(~e1 ∧ ~e2 ) = e3 ,
∗(~e2 ∧ ~e3 ) = e1 ,
∗(~e1 ∧ ~e3 ) = −e2 ,
∗(~e1 ) = ~e2 ∧ ~e3 ,
∗(~e2 ) = −~e1 ∧ ~e3 ,
∗(~e3 ) = ~e1 ∧ ~e2 ,
∗(1) = ~e1 ∧ ~e2 ∧ ~e3 .
Beachte: ∗ ist bis auf Vorzeichen sein eigenes Inverses.
Da ∗ linear, schreibt man ∗(T ) = ∗T .
Allgemeine Def des Sternoperators (beliebige Basis):
Kontraktion eines Tensors mit dem -Tensor,
∗T = T kov : .
Bedeutung von “kov”:
ist rein kontravariant:
um zu kontrahieren, muß T erst rein kovariant gemacht werden:
mittels Anwendung von g auf alle kontravarianten Komponenten.
Also mehrfache Kontraktion von g mit T .
Wichtig für Vektoranalysis:
~v × w
~ = ∗(~v ∧ w).
~
§228 Äußere Ableitung
Sei V ein Vektorraum mit Basis ~e1 , . . . , ~em .
277
Sei ~r = xi~ei .
Sei ~e 1 , . . . , ~e m die duale Kobasis.
Sei f : V → IR eine diff.bare Funktion.
Def äußeres Differential einer Funktion (bisher: Gradient)
df =
∂f i
~e = ∂i f~e i .
i
∂x
Sei
~v ∗ = vj ~e j
ein Kovektor; auch 1-Form genannt.
Def äußeres Differential einer 1-Form
d~v ∗ = dvj ∧ ej = (∂i vj )~e i ∧ ~e j .
Also d~v ∗ ≡ ∇ ∧ ~v ∗ .
Sei
ω = ωjk~e j ∧ ~e k
2-Form.
Def äußeres Differential einer 2-Form
1
dω = dωjk ∧ ~e j ∧ ~e k
2
1
= (∂i ωjk )~e i ∧ ~e j ∧ ~e k .
2
Letzterer Ausdruck ist 3-Form.
d erhöht den alternierenden Tensorrang um 1.
Übung: zeige für 1-Formen ω1 , ν1 und 2-Formen ω2 , ν2
d(ω1 + ν1 ) = dω1 + dν1 ,
d(ω)2 + ν2 ) = dω2 + dν2 ,
d(ω1 ∧ ν1 ) = (dω1 ) ∧ ν1 − ω1 ∧ dν1 ,
d(dω1 ) = 0,
d(dω2 ) = 0.
§229 Beispiel
euklidischer IR3 .
278
0-Formen: Skalarfelder
1-Formen: (Polar-)Vektorfelder (3-Tupel; Richtungspfeil)
2-Formen: Pseudo-Vektorfelder (antisymmetrische 3 × 3 Matrixen;
Drehachse)
3-Formen: Pseudo-Skalarfelder (Volumenelement; Vorzeichenwechsel
bei Spieg.)
Sei Ωi der Raum der i-Formen auf IR3 .
Dann sind
d
grad :Ω0 → Ω1 ,
∗
d
rot :Ω1 → Ω2 → Ω1 ,
∗
d
∗
div :Ω1 → Ω0 → Ω1 → Ω0 ,
Operatoren für Skalar- und Polarvektorfelder.
Übung: konstruiere die 3 Operatoren auf Pseudoskalar- und Pseudovektorfeldern.
~ ein Polarvektor. Dann
sei A
~ = ∗dA,
~
rot A
~ = ∗d∗ A.
~
div A
Beweis
~ = ∗(∇ ∧ A)
~
∗dA
= ∇i Aj ∗ (~e i ∧ ~e j )
= ∇i Aj ~e i × ~e j
= ijk ∇i Aj ~e k .
Und
~ = ∗(∇ ∧ ∗A)
~
∗d∗ A
= ∗(∇i~e i ∧ ∗Aj ~e j )
= ∇i Aj ∗ (~e i ∧ ∗~e j )
= ∇i A1 ∗ (~e i ∧ ∗~e 1 ) + ∇i A2 ∗ (~e i ∧ ∗~e 2 ) + ∇i A3 ∗ (~e i ∧ ∗~e 3 )
= ∇i A1 ∗ (~e i ∧ ~e 2 ∧ ~e 3 ) − ∇i A2 ∗ (~e i ∧ ~e 1 ∧ ~e 3 ) + ∇i A3 ∗ (~e i ∧ ~e 1 ∧ ~e 2 )
= ∇i (A1 δ i1 + A2 δ i2 + A3 δ i3 ) ∗ (~e 1 ∧ ~e 2 ∧ ~e 3 )
= ∇ i Ai .
279
§230 Kodifferential
Def
δ = ∗d∗
§231 Stokesscher Satz
Vektoranalysis ist neben grad, div, rot auch Integrationstheorie.
Gaußscher und Stokesscher Satz
Z
Z
dω =
ω.
M
∂M
ω Differentialform beliebiger Stufe.
M orientierbare Mannigfaltigkeit (gekrümmter Raum).
∂M ihr orientierter Rand (Hyperraum).
§232 Elektrodynamik
Maxwellglgen mit Diff.formen
V = 4-dim Minkowskiraum.
Basis ~e0 , ~e1 , ~e2 , ~e3 , duale Basis ~e 0 , ~e 1 , ~e 2 , ~e 3 .
Definiere 1-Formen (Kovektoren)
~j = jµ~e µ ,
~ = Aµ~e µ .
A
Definiere 2-Form
1
F = Fµν ~e µ ∧ ~e ν
2
Kleine Konventionsänderung gegenüber zuvor
0123 = −1,
0123 = 1.
280
Dann gilt
∗1 = ~e 0 ∧ ~e 1 ∧ ~e 2 ∧ ~e 3 ,
∗~e 0 = ~e 1 ∧ ~e 2 ∧ ~e 3 ,
1
∗~e i = ijk~e 0 ∧ ~e j ∧ ~e k ,
2
1
∗(~e 0 ∧ ~e i ) = − ijk~e j ∧ ~e k ,
2
1
∗(~e i ∧ ~e j ) = ijk~e 0 ∧ ~e k ,
2
0
i
j
∗(~e ∧ ~e ∧ ~e ) = ijk~e k ,
∗(~e 1 ∧ ~e 2 ∧ ~e 3 ) = ~e 0 ,
∗(~e 0 ∧ ~e 1 ∧ ~e 2 ∧ ~e 3 ) = −1.
Dabei nehmen i, j, k die Werte 1,2,3 an.
Übung: zeige diese Glgen.
Hiermit Kontinuitätsglg
d∗ j = 0.
Lorenzeichung
d∗ A = 0.
Def Feldstärketensor
F = dA.
Maxwellglgen
dF = 0,
δF = −µ0~j.
Übung: zeige alle diese Glgen.
281
282
KAP 14: BEUGUNG
§233 Geschichte und Huygensches Prinzip
Klassische Beugung = Lichtausbreitung um Hindernisse,
mit scharfkantigen Öffnungen Wellenlänge.
Spalt, Doppelspalt, Beugungsgitter, Kanten, Blenden, Aperturen.
Hier nach Born & Wolf, Principles of Optics, und Weller & Winkler.
Huygensches Prinzip:
Jeder Frontpunkt einer Welle ist Quelle einer Kugelwelle.
Deren Einhüllende gibt die Welle zu späterer Zeit.
Erste Beugungstheorie: Fresnel 1818.
= Huygensches Prinzip, plus Interferenz der Kugelwellen.
Heutige mathematische Formulierung: Kirchhoff 1882.
Sommerfeld 1896: exakte Lsg für Beugung an Halbebene.
Anwendung der Beugungstheorie:
Abbesche Mikroskoptheorie
Auflösungsvermögen astronomischer Teleskope
Kristallstruktur aus Röntgenbeugung (Laue)
§234 Nochmals Greensfunktion der Helmholtzglg
Übersetzung der Huygenschen geometrischen Idee in Integralsatz.
Dieser Satz in der Akustik schon von Helmholtz hergeleitet.
Zur Vereinfachung: Skalare Beugungstheorie.
~ B.
~
Ein Skalarfeld Φ statt Vektorfelder E,
~
(NB Warnung: Intensität I ∼ ~e ∗ · E.
In skalarer Theorie I ∼ Φ∗ Φ; keineswegs I ∼ Φ.)
Vektortheorie erst von Kottler 1923.
Helmholtzglg für Skalarfeld
1 ∂2
Φ̄(~r, t) = ∆ − 2 2 Φ̄(~r, t) = 0.
c ∂t
Annahme: monochromatische, harmonische Welle
Φ̄(~r, t) = Φ(~r)e−iωt .
283
Damit zeitfreie Helmholtzglg (k = ω/c)
(∆ + k 2 )Φ(~r) = 0.
Bestimmungsglg der Greensfkt
(∆ + k 2 )g(~r, ~r 0 ) = −4πδ(~r − ~r 0 ),
Dies ist Glg (164.3)! Entstand bei Fouriertrafo der Helmholtzglg.
Hier nur eine Fourierkomponente.
Lsg nach (164.6)
e−ikp
eikp
+ (1 − a)
,
g(p) = a
p
p
mit p = |~r − ~r 0 |.
Sind Kugelwellen.
Zusammen mit vorausgesetztem Zeitfaktor e−iωt gibt:
erster Term (∼ a) von einem Punkt auslaufende Kugelwellen,
zweiter Term (∼ 1 − a) in einen Punkt einlaufende Kugelwellen:
letzteres unphysikalisch. Also nur erster Term, a = 1
ik|~r−~r 0 | e
(∆ + k 2 )
= −4πδ(~r − ~r 0 ).
(234.1)
0
|~r − ~r |
Übung: Prüfe Gültigkeit der Glg. Benutze ∆ in Kugelkoord, denn
eikp /p hängt nicht von Winkeln ab. Benutze bekannte Greensfkt der
Poissonglg.
§235 Helmholtz-Kirchhoffsche Integralformel
Sei V Volumen, von Fläche S berandet.
Seien Φ, Ψ Skalarfelder.
Dann Greenscher Satz
Z
d3 r0 [Φ(~r 0 )∆0 Ψ(~r 0 ) − Ψ(~r 0 )∆0 Φ(~r 0 )]
V
I
0
0
∂Ψ(~
r
)
∂Φ(~
r
)
= − da0 Φ(~r 0 )
− Ψ(~r 0 )
.
0
∂n
∂n0
S
Benutze 0 , um bisherige Int.konvention beizubehalten:
284
r0 Quellpunkt, r Meßpunkt.
Bücher setzen hier oft ~r = 0 und integrieren über r statt r0 .
n0 ist (entgegen üblicher Konvention):
Flächennormalenrichtung hin zu V .
Sei nun Φ gesuchte Lsg der Helmholtzglg (gebeugtes Licht).
Und sei Ψ Greensche Fkt der Helmholtzglg (wieder p = |~r − ~r 0 |)
eikp
Ψ(~r ) ≡ g(p) =
,
p
0
Für festgehaltenes ~r ist diese Glg erlaubt.
Schreibe im Greenschen Satz ∆0 + k 2 statt ∆0 :
die hinzugefügten Terme heben sich. Also
Z
d3 r0 Φ(~r 0 )(∆0 + k 2 )g(p) − g(p)(∆0 + k 2 )Φ(~r 0 )
V
I
∂Φ(~r 0 )
0
0 ∂g(p)
= − da Φ(~r )
− g(p)
.
∂n0
∂n0
S
Da Φ Lsg der Helmholtzglg verschwindet zweiter Term links.
Erster Term links wegen (234.1)
Z
Z
3 0
0
0
2
d r Φ(~r )(∆ + k )g(p) = −4π
d3 r0 Φ(~r 0 )δ(~r − ~r 0 ) = −4πΦ(~r).
V
V
Also Greenscher Satz
I
0
∂Φ(~
r
)
∂g(p)
1
− g(p)
da0 Φ(~r 0 )
.
Φ(~r) =
4π S
∂n0
∂n0
Heißt Helmholtz-Kirchhoffsche Integralformel.
Grundlage der Beugungstheorie.
Mathematischer Ausdruck der Huygens-Fresnel Konstruktion.
Übung: dieselbe Rechnung ohne Greensfkt, nur mit zwei Lsgen Φ, Ψ
der Rhomogenen Helmholtzglg, unter Ausschluß einer -Kugel um ~r, in
die d3 r0 nicht hineinreicht. Ergänze S um diese Kugeloberfläche, und
integriere über sie mittels Raumwinkel.
§236 Kirchhoffsche Beugungstheorie
Monochromatische Kugelwelle von Punkt Q (nicht ~r 0 ).
Läuft durch ∞ ausgedehnten, ebenen Schirm mit Öffnung.
Gesucht: Wellenfeld bei P auf anderer Schirmseite.
285
. . . . . . . . .
|
S
|
|
|
^
|--> n’
|
->
r’
P’<----------------o
/ |
/
/ | |
/
/ | |
/
q /
|
| p
/
/
|
|
/
/
|-> ->|
/ ->
/
|r -r’ |
/ r
/
|
| /
Q
|
P
|
|. . . . . . . . .
.
Q =
P =
P’=
o =
.
.
.
Quellpkt Kugelwelle
Messpkt
Int.pkt
Koord.0.pkt
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Sei Wellenlänge Schirmöffnung p, q.
Festlegung von S wie in Zeichnung: S besteht aus
(i) Öffnung
(ii) Schirm (Seite von P )
(iii) Halbkugel in ∞.
Quelle Q liegt außerhalb S.
In Kirchhoffs Int.formel werden benötigt:
Φ und ∂Φ/∂n auf Öffnung, Schirm, Halbkugel.
Exakte Vorgabe physikalisch und mathematisch schwierig.
Kirchhoffs genial-einfache Idee:
In der Öffnung: originale Kugelwelle aus Q.
Auf Schirm (Innenseite!) und Halbkugel: Φ = ∂Φ/∂n = 0.
Heißen Kirchhoff-Randbdgen.
Machen nur Sinn wenn λ Öffnung.
Problem auf der Halbkugel in ∞:
Feld fällt mit 1/r2 , aber Kugelfläche wächst mit r2 .
Also doch Beitrag von Halbkugel?
286
Übung: zeige durch Rechnung, daß Beitrag Halbkugel dennoch 0.
Einfachster Ausweg nach Born & Wolf:
Halbkugel so groß machen,
... daß Licht während Experiment dort nicht ankommt.
(Neues Problem: dann ist Licht nicht mehr monochromatisch:
denn monochromatische Welle ist immer überall).
In Öffnung ist Kugelwelle aus Q
ΦP 0
eikq
,
= ΦQ
q
wobei q = QP 0 ; und von oben
g(p) =
eikp
.
p
Einsetzen in Kirchhoffformel (Ö = Öffnung)
ikq
ikp ikq I
ikp
e
∂
e
e
∂
e
ΦQ
da0
−
.
ΦP =
4π Ö
q ∂n0
p
p ∂n0
q
Es ist
ikq ∂
e
=
∂n0
q
ikp e
∂
=
∂n0
p
∂q ∂ eikq
eikq
1
= cos α
ik −
,
∂n0 ∂q
q
q
q
∂p ∂ eikp
eikp
1
= − cos β
ik −
,
∂n0 ∂p
p
p
p
wobei
cos α = |n̂0 · q̂|,
cos β = |n̂0 · p̂|.
(Beträge nicht nötig, nur zur Sicherheit.)
Nach Voraussetzung λ p, q, also
ik −
1
1
≈ ik − ≈ ik.
p
q
Einsetzen in Kirchhoff
ik
ΦP = −ΦQ
4π
Z
ikp ikq
e
0e
da
Ö
p
Kirchhoffsche Beugungsformel.
287
q
(cos α + cos β).
Beide cos-Terme zwischen 0 und +1.
Manche Bücher machen hier 1 Minuszeichen, dafür cos < 0.
Kirchhoffsche Beugungsformel ist Huygensches Prinzip:
jeder Frontpunkt einer Welle ist Kugel-Wellenquelle:
eikq /q ist Amplitude Kugelwelle von Ort der Öffnung nach r.
eikp /p ist Anfangsamplitude dieser Kugelwelle in der Öffnung:
wieviel kam von r0 in der Öffnung an?
Beachte: cos α + cos β = 2 wenn Strahl ⊥ Öffnung.
Weil Öffnung r, r0 sind cos α, cos β fast konstant.
Also vor das Integral ziehen,
Z
eikp eikq
da0
ΦP ∼
.
p
q
Ö
Dies ist wirklich Huygensches Prinzip.
§237 Beugung an Spalt, Doppelspalt, Gitter
Übungen bzw Optikvorlesung.
§238 Fraunhoferbeugung an Kreisblende
1. Integralformel für Fraunhoferbeugung
Bedeutet: ebene Wellen statt Kugelwellen.
Mittles Quelle und Feldpunkt im Brennpunkt von Sammellinsen.
Mathematisch: r und r0 nach ∞ legen.
Da Öffnung kleine Fläche: eben.
Sei ~q = QP 0 und p~ = P P 0 .
Seien ~q0 , p~0 Vektoren zu einem festen Öffnungspkt,
~
p~ = p~0 + ξ,
~
~q = ~q0 + ξ.
ξ~ = liegt in Öffnungsebene.
288
Da r, r0 → ∞, reicht Taylorreihe bis zum ersten Glied
p
p = p~ · p~
q
≈ p20 + 2~p0 · ξ~
s
2~p0 · ξ~
= p0 1 +
p20
p~0 · ξ~
≈ p0 +
.
p0
Entsprechend für q
~q0 · ξ~
q ≈ q0 +
.
q0
Def Fraunhoferbeugung: Taylorreihe nur zum ersten Glied.
Def Fresnelbeugung: Taylorreihe bis zum zweiten Glied erforderlich.
Also Fraunhofer
~
eikp ≈ eikp0 eik~p0 ·ξ/p0 ,
~
eikq ≈ eikq0 eik~q0 ·ξ/q0 .
Da ξ~ in Öffnungsebene liegt, ist (vgl dV ≡ d3 r)
da ≡ d2 ξ.
Konstante Faktoren vors Integral ziehen gibt
Z
p
~
~
q
0
0
+
· ξ~ .
ΦP ∼
d2 ξ exp ik
p
q
0
0
Ö
Meiste Bücher haben hier p̂0 − q̂0 : Vektoren gleichgerichtet.
Bei uns (siehe Zeichnung oben): Vektoren entgegengerichtet.
Sei ξ~ = (η, ζ). Dann
Z
p0η q0η
p0ζ q0ζ
ΦP ∼
dηdζ exp ik
−
η+
−
ζ .
p0
q0
p0
q0
Ö
Da nur Diff p − q vorkommt: Blendenverschiebung erlaubt.
Betrachte nur q0η = q0ζ = 0,
Z
ΦP ∼
dηdζe[ik(ηp0η +ζp0ζ )/p0 ] .
Ö
289
Ist Grundglg der Fraunhoferbeugung.
(η, ζ) ist ein Blendenöffnungspunkt.
(p0η , p0ζ ) ist Punkt auf Beugungsschirm.
Beide Koord.paare bezogen auf Nullpkt in Blende (Zentrum).
2. Fraunhoferbeugung an Kreisblende
Betrachte kreisförmige Blende mit Radius a.
Polarkoord: sei
η = b cos θ,
ζ = b sin θ,
p0η /p0 = d cos ϑ,
p0ζ /p0 = d sin ϑ.
Dann
Za
ΦP = C
Z2π
db b
0
0
Z2π
Za
=C
db b
0
dθeikbd(cos θ cos ϑ+sin θ sin ϑ)
dθeikbd cos(θ−ϑ) .
0
Auf guten Glauben lautet eine Darstellung der Besselfkt J0 ,
1
J0 (x) =
2π
Z2π
dαeix cos α .
0
Damit (nach Substitution dθ → d(θ − ϑ))
Za
ΦP = 2πC
db bJ0 (kbd).
0
Weiterhin gilt die Relation
d
[xJ1 (x)] = xJ0 (x).
dx
Also nach Integration
Z
y
dxxJ0 (x) = yJ1 (y).
0
290
Also im Beugungsintegral
Za
ΦP = 2πC
=
2πC
k 2 d2
db bJ0 (kbd)
0
Zkad
d(kbd)(kbd)J0 (kbd)
0
2πC
kadJ1 (kad)
k 2 d2
J1 (kad)
.
= 2πa2 C
kad
=
Dies ist Wellenamplitude, also ist Intensität
2
2J1 (kad)
I(d) = I0
.
kad
Berühmte Formel von Airy 1835.
Faktor 2 wegen Normierung 2J1 (0)/0 = 1.
I0 ist dann Intensität im Zentrum des Beugungsbilds.
d ist Kreisradius auf dem Beugungsschirm.
Kreissymmetrisches Beugungsbild von ϑ unabhängig.
Erstes Minimum I(d) = 0 bei
kad ≈ 3.833
Oder, da d = p0ζ /p0 = tan α, erstes Minimum bei
λ
tan α ≈ 0.610 .
a
Starke Beugung also für große Wellenlänge, kleine Öffnung.
291
Abbildung 238.10: Fraunhoferbeugung an einer Kreisblende.
292