Definition, Eigenschaften

1
Das Skalarprodukt zweier Vektoren
1. Definition und Eigenschaften des Skalarprodukts
Das Problem den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen führt auf das sogenannte
Skalarprodukt zweier Vektoren.
Vorbereitende Aufgabe:
Gegeben zwei vom Nullvektor verschiedene
Vektoren a und b . Gesucht der Zwischenwinkel dieser Vektoren mit 0°
180°
Nach dem Cosinussatz gilt.
 2
a b
2
a
oder nach cos
 
2 a b cos
2
 
b 2 a b cos
aufgelöst:
2 2  2
a
b
b a
oder in Komponenten:
a
2
a12 a22 a32
b
2
b12 b22 b32
a b
2
(a1 b1 )2 (a2 b2 )2 (a3 b3 )2
womit sich die rechte Seite von (1) vereinfacht zu
 
2 a b cos
2 (a1b1 a2b2 a3b3 )
Damit gilt:
cos
a1b1 a2b2 a3b3
 
a b
Die reelle Zahl im Zähler der Zwischenwinkelformel heisst Skalarprodukt der Vektoren
a und b und man schreibt dafür:
 
a b a1b1 a2b2 a3b3
(1)
(1) definiert das Skalarprodukt als reelle Zahl, ermöglicht seine Berechnung aus den
Komponenten
 
a b

a b cos
(2)
(2) ermöglicht die Berechnung des Skalarprodukts aus den Beträgen und dem Zwischenwinkel
cos
 
a b
 
ab
skalpr_1 29.01.2012/ul
Zwischenwinkelformel
(3)
2
ad (1) a
1
2
2
3
b
2
a b 1 2 2 3 2 6 20
6
Anschauliche Interpretation:
a sei ein Warenvektor, b der zugehörige Preisvektor.
Der Rechnungsbetrag ist gleich dem Skalarprodukt der beiden Vektoren.
ad (2) a
5,
b
8
= 120°
ad (3) Zwischenwinkel der Vektoren
1
2
a
2
b
3
2
a b
cos
20
a b
a b
6
20
21
arccos( 20
17.8
21 )
Spezialfälle:
= 0°
a b
= 90°
= 180°
a b
a b
speziell: a a
a b
a2
a
2
0
a b
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist für spitze Winkel positiv, für stumpfe negativ.
Für das Skalarprodukt gelten die vom Zahlenrechnen vertrauten Gesetze gelten, nämlich:
a b b a
( k a ) b k (a b )
kommutatives Gesetz
k R
k (a b ) k a k b
(k l ) a k a l a
a (b c ) a b a c
Distributivgesetz
Beweis durch Übergang zu den Komponenten.
Aber:
  
  
a (b c ) (a b ) c

denn links steht ein Vielfaches von a , rechts ein Vielfaches von c .
Bem.
 
Im Unterschied zu den reellen Zahlen ist die Gleichung a b k nicht eindeutig lösbar. Zu
 
jedem Vektor a und jeder reellen Zahl k gibt es beliebig viele Vektoren b mit a b k .
skalpr_1 29.01.2012/ul
3
Aufgabe:
Berechne den Zwischenwinkel
  
  
a (a b ) a 2 a b
 

a ( a 2 a cos )
cos
1
2
von a und b wenn gilt: 2 a
 
2
a
a b cos
2
a (1 2 cos )

b
  
0 und a (a b ) 0
0
60
Aufgabe:
Beweise:
Sind , , die Winkel eines Vektors mit den Koordinatenachsen, dann gilt:
cos2
cos2
cos2
1
Beweis:
cos
2
cos
a1
 , cos
a
2
cos
a2
 , cos
a
a1
2
cos
a3
 und damit
a
2
2
a2 a3
2
a
2
1
Aufgabe: Winkel im Dreieck
Bestimme die Winkel im Dreieck A(-2, 2, 0)B(-1, 0, 2)C(-5, 2, -3)
Der Winkel wird von den Vektoren
AB und AC eingeschlossen:
1
3
4
AB
2
AC
0
2
cos
BC
3
9
9 2
5
1
2
= 135°
analog
cos
18
9
5
2
5
skalpr_1 29.01.2012/ul
2
26.6°
4
Herleitung des Cosinusadditionstheorems
Das Skalarprodukt der Einheitsvektoren

cos
cos

a
b
sin
sin
kann auf zwei Arten berechnet werden:
a)
aus den Komponenten:
a b = cos cos + sin sin
b)
aus den Beträgen und dem Zwischen-winkel:
a b = 1 1 cos( - )
Damit gilt:
cos( - ) = cos
cos
+ sin
sin
Eine Anwendung des Skalarprodukts in der Physik: mechanische Arbeit
Für die Berechnung der mechanischen Arbeit W ist nur
die vektorielle Komponente Fs der Kraft F in Richtung
des Weges s massgebend. Wegen
gilt:
Fs F cos
W
F s cos
F s d.h.
Die mechanische Arbeit ist gleich dem Skalarprodukt
aus dem Kraftvektor F und dem Verschiebungsvektor s
skalpr_1 29.01.2012/ul