Magnettechnik

Magnettechnik für Teilchenbeschleuniger
Grundlagen der Magnetostatik
• Maxwellgleichungen
• Koordinatensystem im Beschleuniger
• Potentialfunktion
• Laplacegleichung
• Berechnung von Magnetfeldern
Quadrupolemagnete
Vektorpotential
Stromverteilung für Supraleitende Magnete
• cos-teta Stomverteilung
1
Magnetostatik
Magnetfeld gemessen in A/m

H [ A / m]
Magnetische Induktion oder Magnetische Flussdichte gemessen in Tesla – vielfach auch mit Magnetfeld bezeichnet

 V s
B [Tesla] oder B [ 2 ]
m
Im Vakuum sind magnetische Induktion und Magnetfeld
gleichwertig:


B  0  H
mit 0  4  10 7
Vs
Am
In einem isotropen Material mit der Permeabilität  gilt :


B  0    H
Im allgemeinen ist  etwa 1, doch für ferromagnetische
Materialien ist  in der Grössenordung von einigen tausend.
2
Maxwellgleichungen
   
 
1. Maxwellsches Gesetz :
  H  rot H  j  D
t


2
mit j [ A / m ]  Stromdichte und D [C / m 2 ] dielektrische Verschiebung
2.Maxwellsches Gesetz

 
 
  E  rot E   B
t
(Induktionsgesetz)

 
3.Maxwellsches Gesetz  D  div D   el
(Grundgesetz der Elektrostatik)
mit  el [C / m3 ] Ladungsdichte

 
4.Maxwellsches Gesetz  B  div B  0
(Grundgesetz der Magnetostatik)
3
Maxwellgleichungen im Vakuum
Es wird für das Vakuum angenommmen:
•
kein elektrischer Strom (keine Leiter für Elektronen)
•
keine Magnetisierung (kein magnetisches Material)
•
keine dielektrische Verschiebung
und daher gilt:

j 0

M0


D   E
0


B   H
0
1.Maxwellsches Gesetz
2.Maxwellsches Gesetz
 

 
  H  rot H   E
t
 

 
  E  rot E   B
t
0
3. Maxwellsches Gesetz

 
 E  div E  0
4. Maxwellsches Gesetz

 
 B  div B  0
4
Maxwellgleichungen für Magnetostatik - zeitlich konstant
1. Maxwellsches Gesetz
 
 
  H  rot H  j
2. Maxwellsches Gesetz

 
  E  rot E  0
(Induktionsgesetz)
3. Maxwellsches Gesetz
(Grundgesetz der Elektrostatik)
4. Maxwellsches Gesetz
(Grundgesetz der Magnetostatik)

 
 D  div D  el
 

 B  div B  0
5
Maxwellgleichungen für Magnetostatik im Vakuum
aus dem 1. Maxwellsches
Gesetz
 
 
  H  rot H  j
aus dem 4. Maxwellsches Gesetz
Ausserdem gilt mit :

 
  H  rot H  0

 
  B  div B  0


B   0H
 
 B  0
6
Magnetfeld in den Koordinaten des Beschleunigers
z
Im x, y, z - Koordinatensystem gilt :
 
B  B( x, y, z)  (B x ( x, y, z),B y ( x, y, z),B z ( x, y, z))
 
dB z dB y dB x dB z dB y dB x
 B  (

,

,

)
dy
dz dz
dx dx
dy
s
B
v
F
x
Im x, z, s - Koordinatensystem für den Beschleuniger gilt :
 
B  B( x, s, z)  (B x ( x, s, z),B z ( x, s, z),Bs ( x, s, z))
 
dB dBs dB x dB z dBs dB x
 B  ( z 
,

,

) 0
ds
dz dz
dx dx
ds
7
Quadrupole: Fokussierung nur in einer Ebene

 
  B  rot B  0
Annahme im 2-dimensionalem Fall:

B  (B x ,0, B z ) da gilt : B s  0
 
dB dBx
  B  (0, z 
,0)  0
dx
dz
z
und daher:
dB z d B x

dx
dz
x
z-Komponente des Quadrupolemagnetfeld
auf der x-Achse
8
Teilchenablenkung für Quadrupolmagneten
B z ( x )  const  x
Annahme: Teilchen mit positiver Ladung läuft in s-Richtung
B x ( z)  const  z
z
z
Sicht entlang
der Teilchenbahn
x
s
x
Sicht von oben
z
s
x
9
Berechnung des Magnetfeldes

 
Im Bereich wo kein Strom fliesst :   H  rot H  0
 
 
damit ergibt sich : H    , denn es gilt       0
(x, z, s) ist ein skalares Potential
Hx 
d
d
d
, Hs 
, Hz 

dx
ds
dz
Für ein Magnetfeld ohne Komponente in s - Richtung ergibt sich :
  (x, z) und Hx ( x, z) 
d
d
(x, z), Hz ( x, z) 
(x, z)
dx
dz
10
Laplacegleichung

(x, z, s) ist ein skalares Potential für H
d
d
d
, Hs 
, Hz 

dx
ds
dz


mit B  0    H (im Vakuum) lässt sich ein skalares


Potential für B definieren, d.h. B ist der Gradient des skalaren Potentials :
 
B    ( x, s, z)
Hx 

 
da ausserdem gilt :  B  div B  0
folgt die Laplacegleichung :
2
 ( x, s, z)  0
2
2( x, s, z) 2( x, s, z) 2( x, s, z)
 ( x, s, z) 


2
2
x
s
z2
11
Berechnung des Magnetfeldes für einen Eisenmagneten
Satz von Stokes:
Gegeben:

• vektorieller Ortsfunktion, wie z.B. H( x, y, z)
• geschlossener Weg, der eine Fläche begrenzt
Dann gilt für Bereiche, in denen kein Strom fliesst:

 
  H  rot H  0


 
daraus folgt :  (rot H)  dA   H  ds  0
 
 H  ds  0
12
Skalares Potential ist konstant entlang der
Eisenoberfläche
An der Grenzfläche zwischen Luft und Eisen gibt es keine
Feldkomponente tangential entlang des Eisens.
Entsprechend der elektrischen Ladungen auf einer Metallplatte: es gibt
keine Potentialdifferenz, und keine Feldkomponente entlang der leitenden
Platte.


Mit der Bedingung : HE  E  HL und E  1 folgt :




HE  l  E  HL  l  HL  l daraus folgt : Hparallel  0
Eisen
Luft oder Vakuum
13
Berechnung des Feldverlaufs (2-dimensional)
Gleichung für Magnetfeld :
Laplacegleichung :
 
B    ( x, z)
2
 ( x, z)  0
Ansatz : Der Feldverlau f B z(x,z) entlang der x - Achse ist bekannt :
B z(x,z)  Gz ( x )  f( z)
f( z) ist eine unbekannte Funktion
B z
Gz ( x )  g  x mit g 
x
z
x
Beispiel:Quadrupolfeld
14
Berechnung des Feldverlaufs (2-dimensional)
Aus der Potentialgleichung folgt :
(x, z)   Bz(x,z)  dz   [Gz ( x )  f( z)]  dz  Gz (x )  z   f( z)  dz
mit der Annahme : B z(x,z)  Gz ( x )  f( z)
Aus der Laplacegleichung folgt :
2
2( x, z) 2( x, z) 2Gz ( x )
 f ( z)
 ( x, z) 



z

0
2
2
2
z
x
z
x
2Gz ( x )
1 2Gz ( x ) 2
daraus folgt : f( z)   
 z  dz   
z
2
2
2 x
x
1 2Gz ( x ) 3
Daraus folgt : ( x, z)  Gz ( x )  z  
z
2
6
x
( x, z)
( x, z)
und die Komponenten : B x(x,z) 
sowie : B z(x,z) 
x
z
15
Quadrupolmagnet
Beispiel: Quadrupolmagnete zur Fokussierung von Teilchen haben ein
linear ansteigendes Feld Bz(x) entlang der x-Achse:
B z
Gz ( x )  g  x mit g 
x
z
 2G z ( x )
1  2G z ( x ) 2
f( z)   
 z  dz   
z
2
2
2 x
x
f ( z)  0
B z(x,z)  g  x
( x, z)  Gz ( x )  z   f( z)  dz  g  x  z


B x(x,z)  ( x, z) und B z(x,z)  ( x, z)
x
z
x
Beispiel:Quadrupolfeld
B x(x,z)  g  z und B z(x,z)  g  x
( x, z)  g  x  z
Äquipotentiallinien für einen Wert  0
0
 z(x) 
sind Hyperbeln
x
16
Feld eines Leiters in s-Richtung im Zentrum vom (x,z)
Das Magnetfeld um einen stromdurchflossenen Leiter
0  I
2  r

 
 
ausserdem gilt :   B  0 und   B  0  j

B lässt sich aus dem Vektorpote ntial ableiten :

 
B(x, z, s)    A(x, s, z)
hat konzentris che Kreise mit :
B 
z
r

x
Für den 2 - dimensionalen Fall ergibt sich :
  

dB z dB x
B    A  (0,

,0)  A( x, s, z)  (0, A s ,0)
dx
dz
 I r
mit A s  0  ln
2
a
(bei der Ableitung fällt a heraus, es dient nur als Konstante um
in der ln - Funktion keine Dimension zu haben)
17
Feld eines Leiters in s-Richtung
z
z
Raumpunkt P
s

R
x

r

a
Θ
Strahlachse
Leiter mit Strom in s-Richtung

x
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Feld eines Leiters in s-Richtung
2
r
r
R 2  a 2  r 2  2  a  r  cos(  )  a 2  (1  2  2   cos(  ))
a
a
1
mit Hilfe von : cos(x)   (exp( ix )  exp( ix)) erhält man :
2
r
r
R  a  (1   exp[ i(  )])  (1   exp[ i(  )])
a
a
davon der Logarithmus :
1
r
1
r
ln R  ln(a)   ln(1   exp[ i(  )])   ln(1   exp[ i(  )])
2
a
2
a
Mit
n
n
z
1
1 r 
ergibt sich : ln R  ln a        cos[n(  )]
n1 n
2 n1n  a 

ln(1  z)   

n

0  I  1  r 
und A s (r, ) 
      cos[n(  )]
2   n1n  a 
19
Strom entlang eines leitenden Zylinders
d
Auf dem Zylinder fliesst ein Strom
mit der  - Winkelvert eilung :
dI(  )  I0  cos(m   )  d mit m  1,2,3...

a

Einsetzen in das Vektorpote ntial und Integration :
n

0  I0  1  r  2 
As (r, ) 
       cos[n(  )]  cos(m   )  d
2   n1n  a  0
Daraus ergibt sich mit Hilfe von Polarkoordinaten :
m

 I 1  r 
As (r, )  0 0     cos(m   )
2 m a
m

 
1 As
A s
0  I0  r 
B(r, )    A  ( 
,
)
   [sin(m   ), cos(m   )]
r 
r
2a  a 
20
Erzeugung von Dipol und Quadrupolfeldern
Feldverlau f entlang der x - Achse :
für z  0 wird B z ( x ) ausgerechnet. Dafür ist   0 und damit :
0  I0 m1
x
m
2a
Für m  1, d.h. cos - förmige Stromverte ilung
B x  0 und B z ( x )  
folgt : B z ( x )  
0  I0
2a
(Dipolfeld)
-
+
+
Für m  2, d.h. 2 * cos - förmige Stromverte ilung
0  I0
folgt : B z ( x )  
x
2
2a
21