PowerPoint-Präsentation - Fahrrad, Photos, Physik, Reisen
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Vorlesung: 4stündig Mittwoch + Donnerstag 10.15 – 11.45 Uhr 1½ Stunden mit ca. 5 Minuten Pause gegen 11.00 Uhr Prof. Dr. Bruno Meyer Ergänzungsvorlesung: Freitags 10.15 – 11.45 Uhr 14tägig beginnend diesen Freitag Priv.-Doz. Dr. Detlev Hofmann Übungen: 14tägig abwechselnd zur Ergänzungsvorlesung, Rechenübungen unter Aufsicht und Anleitung; Präsenzpflicht Dr. Albrecht Hofstaetter Termine: 26.10., 9.11., 23.11., 14.12., 11.1., 25.1., 8.2. Team für Experimente: PTA Anna Zagan Dr. Albrecht Hofstaetter Vorlesungsvertretung: Dr. Detlev Hofmann Prof. emeritus Dr. Arthur Scharmann Stil der Vorlesung: Experimente, Ableitung der physikalischen Gesetzmäßigkeiten z.B. freier Fall a) In welcher Zeit fällt Kugel welche Strecke Weg – Zeit - Diagramm b) Herleitung auf rein mathematischem Weg v = ds / dt, a = dv / dt = d2s / dt2 v = a dt = a t, s = v dt = a t dt = ½ a t2 c) Voraussetzung: konstante Masse bei allen Experimenten (nicht immer gegeben, z.B. Rakete: dm / dt !) Konsequenz: Viele physikalische Gesetzmäßigkeiten werden hergeleitet oder anschaulich gemacht über mathematische Rechenregeln: Integration, Differentialrechnung,Vektoralgebra. Wenn nötig, im Kurs gebracht, so genannte Trockenstunden (Kreidephysik) Kurs: Dreisemestrig (I, II, III) zu I gleich II : Optik, Elektromagnetismus III: Atom, Molekül, Kern, Elementarteilchenphysik, Festkörperphysik, Relativitätstheorie I und II: Klassische Physik, III: Moderne Physik Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik I 0. Einführung 1. Physikalische Größen Teil 1: Mechanik 2. Bewegung in einer Dimension 3. Bewegung in zwei und drei Dimensionen 4. Die Newton'schen Axiome I 5. Die Newton'schen Axiome II: Anwendungen, Scheinkräfte 6. Arbeit und Energie 7. Teilchensysteme und Impulserhaltung 8. Drehbewegungen 9. Statisches Gleichgewicht starrer Körper 10. Gravitation 11. Mechanik deformierbarer Körper Teil 2: Schwingungen und Wellen 12. Schwingungen 13. Mechanische Wellen 14. Akustik Teil 3: Thermodynamik 15. Temperatur 16. Wärme und der 1. Hauptsatz der Wärmelehre 17. Verfügbarkeit der Energie Literaturverzeichnis: Bergmann, L., Lehrbuch der Experimentalphysik. Band I: Mechanik, Relativität, Wärme; Walter de Gruyter Verlag Berlin New York 1998; 176 DM (insgesamt 8 Bände) Demtröder, W., Experimentalphysik. I: Mechanik und Wärme. Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1998; 79,90 DM (insgesamt 4 Bände) Feynman, R., Vorlesungen über Physik. Band I: Mechanik, Strahlung, Wärme; R. Oldenbourg Verlag München Wien 2001; 107,18 DM (insgesamt 3 Bände) Gerthsen, Ch., Physik. Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2002; 139,90 DM Hänsel, H., Neumann, W., Physik. (Mechanik und Wärmelehre), Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, Berlin, Oxford 1993; 49,90 DM (insgesamt 4 Bände) Hering, E., Physik für Ingenieure. VDI Verlag Düsseldorf 1999 -VDI Springer 79,90 DM Kohlrausch, F., Praktische Physik Band I: Mechanik, Akustik, Wärme, Optik; B.G. Teubner Verlag Stuttgart 1996; 330,00 DM (insgesamt 3 Bände) Orear, J., Physik. Hanser Verlag München Wien 1991; 69,80 DM Paus, H., Physik in Experimenten und Beispielen. Hanser Verlag München Wien 1995; 99,80 DM Tipler, P.A., Physik. Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin Oxford 2000; 139,90 DM 0.1. Was ist Physik Griechich: = Ursprung, Naturordnung, das Geschaffene Physik ist die Naturwissenschaft, die sich mit den Grundbausteinen der uns umgebenden Welt und deren gegenseitigen Wechselwirkungen beschäftigt. Ziel der physikalischen Forschung ist ein grundlegendes Verständnis auch komplexer Naturvorgänge und ihre Zurückführung auf einfache Gesetzmäßigkeit Quantifizierbarkeit Voraussagbarkeit Physik sucht in der Vielfalt der Naturerscheinungen nach Gesetzmäßigkeiten und Zusammenhängen, um die beobachteten Phänomene durch wenige Grundprinzipien zu beschreiben. 0.2. Die Bedeutung des Experiments Wir arbeiten heute in der Regel nicht mehr an vom Beobachter unbeeinflußbaren Naturerscheinungen (sehen wir ab von Astronomie etc.), sondern an kontrollierbaren, wiederholbaren, überprüfbaren Vorgängen, wie Galileis Untersuchung des freien Falles. Die Wichtigkeit eines physikalischen Experiments liegt darin, daß der Experimentator die Bedingungen, unter denen der Versuch abläuft, weitgehend bestimmen kann. Es ist also die "gezielte Frage an die Natur, eine eindeutige Antwort bei geeigneter experimenteller Anordnung zu erhalten". Wir versuchen, daraus eine Gesetzmäßigkeit aufzustellen, ein physikalisches Gesetz, das meßbare Größen und Begriffe miteinander verknüpft. Die Schreibweise ist üblicherweise eine mathematische Gleichung. 0.3. Regelkreis der physikalischen Erkenntnis a) Experiment Im ersten Schritt werden die Merkmale des untersuchten Phänomens, d.h. die physikalischen Größen gesucht. Zur präziseren Beschreibung müssen diese Merkmale auch durch physikalische Definitionen festgelegt werden, z.B. Kraft, Beschleunigung etc.. Im Experiment werden durch Messungen zwei oder mehr physikalische Größen miteinander verglichen und die dabei aufgestellten Zusammenhänge aufgeschrieben, z.B. in einem Weg-ZeitDiagramm. Es ist dabei gelungen, die physikalischen Erscheinungen auf höchstens sieben physikalische Grundgrößen zurückzuführen: Zeit, Masse, Länge, Temperatur, Stromstärke, Lichtstärke, Stoffmenge. b) Induktionsschluss Werden physikalische Zusammenhänge immer wieder experimentell bestätigt, dann kann gefolgert werden, dass sie zu jeder Zeit und an jedem Ort gültig sind. Diese Verallgemeinerung wird in der Mathematik Induktionsschluss genannt, d.h. von n n+1. Eine solche Verallgemeinerung ist nur gültig, wenn sich die physikalischen Konstanten nicht ändern. Die Forderung nach der Konstanz der Naturereignisse (Freier Fall Erdbeschleunigung) äußert sich in der Physik in der Existenz von Naturkonstanten, z.B. Lichtgeschwindigkeit, Elementarladung, Planck'sches Wirkungsquantum etc. c) Physikalische Gesetze Mit der Verallgemeinerung durch den Induktionsschluss ist ein physikalisches Gesetz ermittelt. Beispiel: Man findet stets eine Proportionalität von Kraft zu Masse mal Beschleunigung. Es wird dann mathematisch formuliert F = m a, wobei durch Wahl des Einheitensystems die Proportionalitätskonstante zu 1 gewählt wird. Hier greift die Theorie ein, sie macht Vorhersagen, deren Überprüfung durch Experimente gewährleistet sein muss. d) Deduktion Aus den physikalischen Theorien oder Gesetzen können mit Hilfe der Logik spezielle, auf ein konkretes Problem bezogene Aussagen hergeleitet werden. Ein Beispiel: die Mondlandung wäre nicht möglich gewesen, wenn auf der Erde nicht alle Gesetzmäßigkeiten bekannt gewesen wären! So konnte der Flug auf der Erde simuliert werden. Der Erfolg der Mission zeigt, daß die physikalischen Theorien richtig und zuverlässig waren. Regelkreis der physikalischen Erkenntnis bestehend aus a) Experiment b) Induktionsschluß c) Physikalisches Gesetz d) Deduktion Induktionsschluß (n n+1) Verallgemeinerung (Abstraktion) Experiment (Beobachtung) Physikalische Gesetze Zusammenhang physikalischer Größen Systeme gesetzmäßiger Zusammenhänge Verifikation Meßvorschrift Deduktion Ableiten konkreter Verhaltensweisen mittels der Logik 0.4. Ein historischer Rückblick Die geschichtliche Entwicklung der Physik lässt sich in drei große Perioden unterteilen: Antike Naturphilosophie Beobachtungen verknüpft mit philosophischen Betrachtungen, aber Entmythologisierung der Naturerscheinungen Aristoteles 384-322 v.Chr. Thales von Milet 624-546 v. Chr. Anaximander 611-546 v. Chr. Pythagoras Vier Grundstoffe: Feuer, Wasser, Luft und Erde Klassische Physik Galilei (1564-1642) als erster Physiker, der versuchte, physikalische Hypothesen durch gezielte Experimente zu untermauern. Isaac Newton (1642-1727) brachte die Mathematik in die Physik. 18./19. Jahrhundert: Große Namen wie Boyle, Mariotte, Kelvin, Snellius, Huygens, Coulomb, Faraday, Maxwell, Hertz, Boltzmann, Röntgen Moderne Physik Seit Beginn des 20. Jahrhunderts neue Ära der Physik durch Planck über Einstein, Bohr, Schrödinger und Heisenberg. Vollkommen neues Bild der Atome, Kerne und Elementarteilchen. 0.5. Unser heutiges Weltbild Grobe Unterteilung der Physik in zwei Blöcke; Unterscheidung über Wirkung (Energie x Zeit) und Vergleich mit der Planckschen Konstanten: Wirkung >> h Wirkung h Mittelbar erfahrbar Unmittelbar erfahrbar Makrophysik lichtmikroskopisch zugänglich Zerlegbare Teile Unzerlegbare Teile (Quanten) Kontinuierliche, stetige Abläufe Diskontinuierliche, unstetige Abläufe Mikrophysik atomar und subatomar Klassische Physik Quantenphysik Anschaulich Unanschaulich, abstrakt Streng deterministisch Statistisch deterministisch Genaue Messungen Unschärferelationen Teilgebiete der Physik Aufbau der Materie Bestandteile Wechselwirkung, Kraft, Deutung Physikalische Gebiete Quarks und Leptonen + Antiteilchen Schwache WW elektromagnetische WW Elementarteilchen Nukleonen, Mesonen Proton, Neutron Schwache WW elektromagnetische WW Elementarteilchen Atomkerne (d = 10 -15 m) Proton + Neutron Kohlenstoffkern (6n + 6p) Schwache WW Kernkraft Kernphysik Atome (d = 10 -10 m) Atomkern + Elektronen C: Kern + 6 Elektronen elektromagnetische WW Quantenmechanik Quantenelektrodynamik Atomphysik Moleküle Biomoleküle elektromagnetische WW Molekülphysik Biophysik Festkörper Kristalle, Halbleiter elektromagnetische WW Festkörperphysik Beziehung der Physik zu Nachbarwissenschaften Chemie Technik Biologie (Quantentheorie (Halbleiterphysik (Röntgenbeugung Periodensystem) Transistor) DNS-Struktur) Medizin Geologie (Kernresonanz (Thermodynamik Kernspintomograph) Geysire) 1. Physikalische Größen Eine physikalische Größe stellt eine eindeutig definierte, meßbare Eigenschaft eines physikalischen Objekts, Zustands oder Vorgangs dar. Beispiele: Länge eines Tischs (Objekt) Stärke eines elektrischen Feldes (Zustand) Dauer einer Pendelschwingung (Vorgang) 1.1 Grundgrößen und abgeleitete Größen Die Definition einer physikalischen Grund- (Basis-)größe besteht wesentlich in der Angabe eines Meßverfahrens. Abgeleitete Größen werden durch Produkt- und Quotientenbildung aus den Basisgrößen definiert. Alle physikalischen Größen lassen sich auf sieben Grundgrößen zurückführen (bzw. sechs Grundgrößen und eine Naturkonstante): Länge, Zeit, Masse, Temperatur, Stromstärke, Lichtstärke, Stoffmenge (bzw. Zeit, Masse, Temperatur, Stromstärke, Lichtstärke, Stoffmenge, Lichtgeschwindigkeit) Die Dimension einer physikalischen Größe zeigt, wie die Größe von den Basisgrößen abhängt, unabhängig von den verwendeten Einheiten. So ist z.B. die Dimension der Geschwindigkeit immer Länge durch Zeit, abgekürzt V = L Z-1. (Dimensionsprüfung!) Beispiele abgeleiteter Größen 1.2 Maßeinheiten und Maßsysteme Die Vereinbarung, nach der eine beobachtete physikalische Eigenschaft quantifiziert wird, ist die Maßeinheit der betreffenden physikalischen Größe. Die Messung einer physikalischen Größe erfolgt durch den Vergleich mit einer Einheit. Die Zahl, die angibt, wie oft die Einheit in der zu messenden Größe enthalten ist, wird als Zahlenwert der betreffenden physikalischen Größe bezeichnet. Physikalische Größe = Zahlenwert Einheit Die Basiseinheiten im SI (Système International d'Unites) - System Bereich Mechanik Physikalische Größe Zeichen Name der Einheit Zeichen Länge l (r, s) Meter m Zeit t Sekunde s (sec) Masse m Kilogramm kg I Ampere A Temperatur T Kelvin K Stoffmenge n Mol mol Lichtstärke I Candela cd Elektrizitätslehre Elektr. Stromstärke Wärmelehre Photometrie Vorsätze und Kurzzeichen Vorsatz Kurzzeichen Bedeutung Vorsatz Kurzzeichen Bedeutung 18 Dezi d 10 fach 15 Zenti c 10 fach 12 Milli m 10 fach 9 Mikro m 10 fach 6 Nano n 10 fach 3 Piko p 10 2 Femto f 10 1 Atto a 10 Exa E 10 fach Peta P 10 fach Tera T 10 fach Giga G 10 fach Mega M 10 fach Kilo k 10 fach Hekto h 10 fach Deka da 10 fach -1 -2 -3 -6 -9 -12 fach -15 fach -18 fach Daneben teilweise noch Sondereinheiten wie Å (Angström) in Gebrauch; 1 Å = 10-10 m 1.3 Wichtige Naturkonstanten 1.4 Meßgenauigkeit und Meßfehler Ergänzungsvorlesung an diesem Freitag 2. Kinematik 2.1 Länge (l) Einheit: Meter (m) Definition: 1m ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während des Zeitintervalls von 1/299 792 458 s durchläuft. Basis: Konstanz der Lichtgeschwindigkeit; Versuch: Messung der Lichtgeschwindigkeit c = 299 792 458 m/s Abstand der beiden Reflektoren: 2 s = 30 m x2 x1 Abstand der beiden Lichtimpulse auf dem Oszillographen: x = 5 cm t = 10 10-8 s c0 Abstand x2 - x1 = 10 cm Im Versuch: Tn = 2 10-7 s 1 cm 2 10-8 s 2 s 30 m t 10 10 8 s (Hilfsmittel zur Zeitmessung: Rechtecksignal mit n = 20 MHz Abstand zweier Rechtecke t = 5 10-8 s) Idee bei der Festlegung: 1 m der 40 000 000 ste Teil des Erdumfangs Urmeter Später: Das 1 650 763,73 fache der Wellenlänge der orangenfarbenen Spaktrallinie des Isotops 86Kr 2.2 Zeit (t) Einheit: Sekunde (s) Definition: 1s ist das 9 192 631 770 fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands von Atomen des Nuklids 133Cs entsprechenden Strahlung. Zeitnormal der PhysikalischTechnischen Bundesanstalt (PTB) in Braunschweig Idee bei der Festlegung: 1 s der 86 400 (= 24 60 60) ste Teil eines Tages Sekundenpendel 2.3 Geschwindigkeit (v) Abgeleitete Größe: Geschwindigkeit ist Änderung des Ortes (Weg) durch Zeit Einheit: m/s 2.3.a Durchschnittsgeschwindigkeit Gesamtstrecke Durchschnittsgeschwindigkeit <v> = Gesamtzeit Beispiel: Gießen-Würzburg (170 km) in zwei Stunden: Durchschnittsgeschwindigkeit 85 km/h Wir wissen nichts über die Details der Reise, Stau, Pause, insbesondere nichts über Spitzengeschwindigkeit, Geschwindigkeit zu einen gewissen Zeitpunkt der Reise. Im einfachen Bild der eindimensionalen Bewegung gibt es nur eine Koordinate x, den Ursprung und die Richtung positiv oder negativ. Die Verschiebung eines Teilchens von x1 nach x2 um die Strecke x = x1 - x2 benötigt die Zeit t = t1 (am Ort x1) - t2 (am Ort x2): x x 2 x1 <v> = t t 2 t1 Versuch: Gleichförmige Bewegung x1 = x2 = x3 = x4, t1 = t2 = t3 = t4: v = const. (= <v>) Man kann sich das für beliebige Weg-Zeit-Diagramme klarmachen. Man betrachte die Punkte P1 (x1, t1) und P2 (x2, t2) dann ist die Durchschnittsgeschwindigkeit die Steigung der Geraden, die die P1 und P2 verbindet. In diesem speziellen Fall ist die Durchschnittsgeschwindigkeit auch vom Zeitintervall abhängig, auf das man sich bezieht. So ist zum Beispiel zwischen P1 und P2 die Durchschnittsgeschwindigkeit kleiner als zwischen P1 und P2'. 2.3.b Momentangeschwindigkeit Wir benutzen das gleiche Weg-Zeit-Diagramm wie vorher und gehen auf kleinere Zeitintervalle über. Zeitintervall: t1, t2, t3 Für jedes Zeitintervall haben wir eine Durchschnittsgeschwindigkeit mit der Steigung der Geraden. Je kleiner das Zeitintervall, desto mehr nähert man sich der Tangente an die Kurve, d.h. die Momentangeschwindigkeit ist für einen bestimmen Zeitpunkt die Steigung der Tangenten an die xt-Kurve in diesem Punkt. lim x Mathematisch: v = t 0 t lim x dx x , in differentieller Schreibweise v = t 0 t dt Um die Momentangeschwindigkeit zu bestimmen, hat man zwei Möglichkeiten: Liegt die x-t-Kurve nicht analytisch vor, so ist man gezwungen, an jedem interessierenden Punkt die Tangente, d.h. den Grenzwert zu berechnen Liegt sie analytisch vor, können wir die Rechenregeln der Mathematik über Differentation benutzen. Ist x eine einfache Potenzfunktion x = c tn , folgt dx d (c t n ) c n t n 1 v= dt dt Beispiel: Ein parabolischer Weg-Zeit-Graph: dx ( t ) 2 2c t x(t) = c t v= dt d.h. die Momentangeschwindigkeit wächst proportional (linear) mit der Zeit an, das Teilchen wird beschleunigt. 2.4 Beschleunigung Abgeleitete Größe: Beschleunigung ist Änderung der Geschwindigkeit durch Zeit Einheit: m/s2 Analog zu vorher: Gesamte Änderung der Momentangeschwindigk eit Durchschnittsbeschleunigung <a> = Gesamtzeit 2 lim v dv d (dx / dt ) d x 2 x Momentanbeschleunigung a = t 0 t dt dt dt Vorheriges Beispiel: x(t) = c t2, v(t) = 2 c t : a = dv/dt = 2 c Wir werden später sehen, daß die Beschleunigung eines Teilchens proportional zur Kraft ist, die auf das Teilchen einwirkt. Beispiel: Ein Wagen prallt mit 100 km/h auf eine Betonwand, die sich nicht bewegt. Wie lange dauert es bis, der Wagen steht, und welche Beschleunigung hat er erfahren? a) Annahme: Bremsweg = 0,75 m (realistische Verformung) b) mittlere Geschwindigkeit von v1= 100 km/h nach v2 = 0 km/h <v> = 50 km/h = 14 m/s (1 km/h = 1000 m/3600 s = 0,278 m/s) x 0,75 m t 0,054 s c) Bremszeit: < v > 14 m / s d) Wagen wird von 100 km/h = 28 m/s auf 0 m/s abgebremst v = - 28 m/s , Beschleunigung v (0 28) m / s a 520 m / s 2 (mehr als 50fache Erdbeschleunigung!) t 0,054 s 2.5 Integration Wir haben gesehen, daß man aus der Kenntnis der Ortsfunktion x(t) über Ableitung zu v(t) und a(t) gelangen kann: d / dt d / dt x ( t ) v(t) a ( t ) Umgekehrt gelangen wir von der Beschleunigungsfunktion a(t) auch zu v(t) und x(t): a ( t ) v( t ) x ( t ) a dt v dt Wir kennen a(t). Dann ist v(t) die zugehörige Stammfunktion. Nehmen wir wie vorher a als konstant an, d.h. dv a ( const.) bzw. dv a dt dt v Einmalige Integration: t dv a dt v v0 a t v0 0 x t (v0 Geschwindigkeit zur Zeit t = 0) t a 2 Zweimalige Integration: dx v dt (a t v0 ) dt x x 0 t v0 t 2 x 0 0 0 (x0 = x(t = 0)) Erinnerung Integration: Allgemeine Stammfunktion eines Polynoms: a n 1 f ( t ) a t n F( t ) f ( t ) dt t b n 1 Beispiel: Graphische Integration einer v(t) – t – Kurve, Rechtecke für alle Zielintervalle t2 lim x v t v dt t i 0 i i i t1 2.6 Bewegung mit konstanter Beschleunigung Bereits in Einführung gesehen: Körper nahe der Erdoberfläche fallen aufgrund der Gravitation mit konstanter Beschleunigung senkrecht nach unten. Versuch: Aufnahme der Ortskurve beim freien Fall mit einer stroboskopischen Kamera Resultat: h(t) h 0 1 2 at 2 v(t ) v0 a t (v0 0) m a ( t ) const. (| a | 9,81 2 g) s Konstante Beschleunigung bedeutet Steigung im v - t - Diagramm konstant, Geschwindigkeit hängt linear von der Zeit ab: v = v0 + a t 1 Strecke: x x 0 v0 t a t 2 2 x v0 t 1 / 2 a t 2 1 v0 a t Durchschnittsgeschwindigkeit: v t t 2 1 1 v 0 ( v v 0 ) ( v 0 v) (v v0 a t a t v v0 ) 2 2 Voraussetzung: Reibungsfreie Bewegung (Luftreibung vernachlässigbar)! Versuch: Freier Fall in Luft und im Vakuum Beispiel für beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit: Ein Ball wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 30 m/s senkrecht nach oben geworfen. Gleichzeitig erfährt er die Beschleunigung g ( 10 m/s2) nach unten. a) Wie lange braucht er bis zu seinem höchsten Punkt? b) Welche Strecke legt er bis zu diesem Punkt nach oben zurück? c) Wie lange ist der Ball insgesamt in der Luft? 1 2 2 3 3 1 1: Anfangsort des Teilchens x0, v0 = 30 m/s; 2: höchster Punkt, v = 0; 3: x = x0, v = - v0 Lösung a) Wir suchen die Zeit, für die die Geschwindigkeit Null wird: v = vo + g t 0 = 30 m/s + (- 10m/s2) t t = 3 s. b) Die Strecke, die der Ball in dieser Zeit zurücklegt, finden wir auf zwei Weisen: 1) Anfangsgeschwindigkeit 30 m/s, Erdgeschwindigkeit 0 m/s, Durchschnittsgeschwindigkeit 15 m/s: x v t 15 m / s 3 s 45 m 1 m 1 m 2) x x x 0 vo t a t 2 30 3s (10 2 ) 32 s 2 90 m 45 m 45 m 2 s 2 s c) Wie lang ist der Ball insgesamt in der Luft? 1) Aus Symmetriegründen sollte er für die Aufwärtsbewegung die gleiche Zeit benötigen wie für die (gleich lange) Abwärtsbewegung tG = 2 3 s = 6 s 2) Berechnen die Zeit, wenn x = x - x0 = 0 ist: 1 1 x v0 t g t 2 0; Ausklammern : t ( v0 g t ) 0. 2 2 2v 2 30 m / s Erste Lösung : t1 0; zweite Lösung : t 2 0 6s 2 g 10 m / s Zusammenfassung Kapitel 2 1. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist das Verhältnis der Verschiebung x zur Länge des x Zeitintervalls t: v t In die Verschiebung (und somit in die Geschwindigkeit) geht die Richtung der Bewegung mit ein. 2. Die Momentangeschwindigkeit v ist der Grenzwert dieses Verhältnisses, wenn das Zeitintervall gegen null geht. Dies entspricht der Ableitung von x nach t: lim x dx v x t 0 t dt Die Momentangeschwindigkeit kann graphisch als Steigung der Weg-Zeit-Kurve (x-t-Kurve) wiedergegeben werden. Durchschnittsgeschwindigkeit und Momentangeschwindigkeit können sowohl positiv als auch negativ sein. 3. Die Durchschnittsbeschleunigung ist das Verhältnis der Änderung der Geschwindigkeit v zur Länge des Zeitintervalls t. v a t 4. Die Momentanbeschleunigung a ist der Grenzwert dieses Verhältnisses, wenn das Zeitintervall gegen null geht. Dies ist die erste Ableitung von v nach t oder die zweite Ableitung von x nach t. dv d 2x a v x 2 dt dt Die Momentangeschwindigkeit ist graphisch durch die Steigung der Geschwindigkeit-Zeit-Kurve (v-tKurve) gegeben. 5. Die Verschiebung x kann graphisch als Fläche unter der v-t-Kurve aufgefasst werden. Diese Fläche ist das Integral von v im Zeitintervall von der Anfangszeit t1 bis zur Endzeit t2, geschrieben als t2 x v t v dt t i 0 i i i t1 lim Entsprechend läßt sich die Änderung der Geschwindigkeit in einem bestimmten Zeitintervall als Fläche unter der Beschleunigungs-Zeit-Kurve (a-t-Kurve) darstellen. 6. Im Spezialfall einer Bewegung mit konstanter Beschleunigung gelten die folgenden Formeln: v vo a t 1 x v t ( vo v ) t 2 1 x x xo vo t a t 2 2 v 2 vo2 2 a x Ein häufig verwendetes Beispiel für eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung ist der freie Fall eines Gegenstandes nahe der Erdoberfläche unter dem Einfluß der Schwerkraft. Dabei ist die Beschleunigung des Körpers nach unten gerichtet und hat einen Betrag von g = 9,81 m/s2. 3. Bewegung in zwei und drei Dimensionen Wir betrachten nun die Bewegung eines Teilchens in zwei und drei Dimensionen: Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung werden jetzt als Größen aufgefaßt, die sowohl einen Betrag als auch eine Richtung im Raum haben. Solche Größen heißen Vektoren. Beispiele: Kraft, Impuls, elektrisches und magnetisches Feld Größen, die nur einen Betrag, aber keine Richtung haben, nennt man Skalare. Beispiele: Temperatur, Masse, Ladung Mit Vektoren spannen wir den dreidimensionalen Euklid'schen Raum auf. Wir können jeden Punkt in diesem System mit Vektoren erreichen. 3.1 Eigenschaften von Vektoren und Vektoraddition Gleichheit von Vektoren: Betrag und Richtung müssen übereinstimmen Strecke im dreidimensionalen Raum: Ein Teilchen bewege sich von P1 über P2 nach P3 A Verschiebungsvektor P1 P2 B Verschiebungsvektor P2 P3 (hängen nicht vom Weg des Teilchens ab, sondern nur von Endpunkten P1, P2 bzw. P2, P3) C : resultierende Verschiebung P1P3 ; CAB (graphische Addition) Raum ABB AC (Vektoraddition, Reihenfolge egal) Verschiebung A+B= |C|, wenn A und B in die gleiche Richtung zeigen Beispiel: Addition von Geschwindigkeiten (Wagen auf Rolltisch) Vektorsubtraktion Addition von B oder C so, daß Addi tion zu B A ergibt . 3.2. Vektoraddition in Komponentenschreibweise Da wir einen dreidimensionalen Raum haben und in ihm ein rechtwinkliges Koordinatensystem definieren, brauchen wir in der Regel nur 3 Ortskomponenten, d.h. drei Vektorkomponenten. Später (in der Relativitätstheorie) gehen wir auf einen 4-dimensionalen Raum über. Die 4. Komponente ist die Zeit, dies führt zu einem gekrümmten Koordinatensystem. A x Also : A (A x , A y , A z ) A y , A z entsprechend B, C; so daß Cx Ax Bx . Addition erfolgt komponentenweise. Zweidimensionale Betrachtung: Projektion auf y Ay, Projektion auf x Ax (immer rechtwinklig) Ax A cos Ay Satz von Pythagoras: A sin 2 Ay Ax A A2x A2y Addition: Ax + Bx = Cx, Ay + By = Cy tan Ax = A cos Ay= A sin Länge A A 2x A 2y , Winkel : cos Ax A 2x A 2y 3.3 Einheitsvektoren und Multiplikation mit Skalaren Jeder Vektor kann mit einem Skalar s multipliziert werden,wobei s eine dimensionslose Zahl oder eine physikalische Größe (Zahl mit Maßeinheit) sein kann. B 3 A (oder allgemein B s A) zeigt in Richtung von A und hat Größe 3 (s) A Man kann einen Vektor zweckmäßigerweise durch seine Komponenten ausdrücken wenn man Einheitsvektoren einführt. Ein Einheitsvektor ist als ein dimensionsloser Vektor definiert, der den Betrag 1 besitzt und in eine festgelegte Richtung zeigt. In unserem rechtwinkligen, kartesischen Koordinatensystem zeigen die Einheitsvektoren in die x-, y-, und z-Richtung. Sie lauten dann ex , ey , ez und stehen senkrecht aufeinander. Wir betrachten nun einen beliebigen Vektor A und fragen nach seinen Komponenten: a) Der Vektor A x A x ex ist also das Produkt aus der Komponente Ax, d.h. der Projektion auf die x-Achse, und dem Einheitsvektor in x-Richtung ex. b) Ax hat den Betrag: Ax ex = Ax ex = Ax 1 = Ax c) Jeder Vektor A kann als Linearkombination von Einheitsvektoren geschrieben werden: A = Axex + Ayey + Azez = (Ax, Ay, Az) Einschub: Andere Koordinatensysteme Zylinderkoordinaten: In der x-y- Ebene Polarkoordinaten, in z-Richtung kartesisch. Beziehungen: x cos , y sin , z z y x 2 y 2 , arctan , z z x Einheitsvektoren: e cos , sin , 0, e sin , cos , 0 , ez 0, 0, 1 Flächenelement dA = d d, Volumenelement dV = d d dz Kugelkoordinaten (Polarkoordinaten). Beziehungen: x r sin cos , y r sin sin , z x r cos r x 2 y 2 z 2 , arccos z x 2 y2 z 2 , arctan y x Einheitsvektoren: er sin cos , sin sin , cos , e cos cos , cos sin , sin , e sin , cos , 0 Flächenelement dA = r dr d (in x-y-Ebene), Volumenelement dV = r2 sin dr d d r2 d) Die Vektoraddition läßt sich dann schreiben zu: A + B = (Axex + Ayey + Azez) + (Bxex+ Byey + Bzez) = (Ax + Bx) ex + (Ay+ By)ey + (Az + Bz )ez 3.4 Der Geschwindigkeitsvektor Ein Teilchen möge sich auf einer Bahnkurve im zweidimensionalen Raum bewegen. Wir kennen alle Punkte in diesem Koordinatensystem x, y. Folge der Punkte Pi zu Zeiten ti: Bahnkurve oder Trajektorie. Ursprung: 0 Jeder Punkt wird über x- y- Koordinaten angegeben. Man kann den Ort des Teilchens als Verschiebung gegenüber dem Ursprung (Nullpunkt des KoordinatenSystems) auffassen. Man nennt diesen Verschiebungsvektor Ortsvektor r . Der Vektor der Verschiebung von P1 nach P2 gibt die räumliche Änderung des Ortsvektors an. r x ex y e y , r r 2 r1 Vektor der mittleren Geschwindigkeit: r v t Momentangeschwindigkeit : Wir gehen zu kleineren Zeit-Intervallen über: lim r d r v r t 0 t dt Was ist die Ableitung r ? Übergang zu Komponenten: x e y e lim r lim x y v t 0 t t 0 t y e lim x e x dy dx y v ex e y oder dt dt t 0 t t 3.5 Der Beschleunigungsvektor Analog zur Geschwindigkeit geht man bei der Beschleunigung vor. v Mittlere Beschleunigung: a t lim Δv dv a v Vektor der Momentanbeschleunigung: Δt 0 Δt dt dv y dv a x ex e y v x ex v y e y , dt dt Ebenso analog: d2y d2x a 2 ex 2 e y x x ex y y e y dt dt Nota bene: Der Geschwindigkeitsvektor kann seinen Betrag, seine Richtung oder auch beides verändern. Von Beschleunigung spricht man, wenn der Geschwindigkeitsvektor in irgendeiner Weise variiert. Wir kennen meist den Fall, daß der Betrag sich ändert. Geschwindigkeit kann aber auch vom Betrag her konstant sein, das Teilchen wird trotzdem beschleunigt, wenn die Richtung des Geschwindigkeitsvektors variiert. 3.6 Relativgeschwindigkeit Die Geschwindigkeit wird relativ zu einem Koordinatensystem gemessen. Es kann sich relativ zu einem anderen Koordinatensystem bewegen. Beispiel: Senkrechter Wurf auf gleichförmig bewegtem Wagen In einem Koordinatensystem, das sich in Ruhe befindet, z.B. die Erde (die Eigendrehung der Erde kann in vielen Fällen vernachlässigt werden), können wir die Relativgeschwindigkeit vernachlässigen. Wir nennen solche Systeme, die sich in Ruhe befinden, Inertialsysteme. Aber wir erinnern uns : in einem mit konstanter Geschwindigkeit ablaufenden System (Zug oder Auto mit v = konstant, a = dv/dt = 0) empfinden wir unseren eigenen Zustand als in Ruhe befindlich. dies gilt nicht für einen Beobachter, der uns von außen beobachtet, er sieht uns mit konstanter Geschwindigkeit davonfahren. Physikalische Gesetze, d.h. Bewegungsabläufe, können deshalb vom Beobachtungszustand abhängen: Zwei Gesichtspunkte: Wie sieht a) Experimentator, wie b) Beobachter das Experiment? 3.7 Wurfbewegungen Wichtige Anwendung der Bewegung in zwei Dimensionen Wurf Projektil Wasserstrahl Dabei im folgenden Vernachlässigung von : Luftwiderstand, Rotation der Erde, Unregelmäßigkeiten in der Erdbeschleunigung Objekt erfährt jeweils eine konstante, nach unten gerichtete Beschleunigung mit dem Betrag g = 9.81 m/s2 Wichtigste Merkmale der Wurfbewegungen: Horizontale und vertikale Komponenten der Bewegung sind unabhängig voneinander. Gilt allgemein (Prinzip der ungestörten Superposition)! Grund: Komponente eines Vektors bezüglich dazu senkrechter Richtung identisch Null. Waagerechter Wurf / senkrechter Fall: Kugeln fallen gleich schnell Relativ zur Erde beschreibt der Ball – wie vorher gesehen - eine Parabel. (Charakteristische Bahn für die Wurfbewegung) Wurfbewegung mit horizontaler und vertikaler Komponente der Anfangsgeschwindigkeit: Schräger (schiefer) Wurf Koordinaten wie üblich; Beschleunigung: ay = - g (Erde), ax = 0 Geschwindigkeitskomponenten beim Abwurf (bei y = x = 0, d.h. im Ursprung): vox = vo cos (Ankathete), voy = vo sin (Gegenkathete) Keine Beschleunigung in horizontaler Richtung (x), d.h. vx = vox (1) y-Komponente der Geschwindigkeit ändert sich mit der Zeit: vy = voy – g t (2) bzw. die Ortskoordinaten (als Funktionen der Zeit) x = vox t (3) y = voy t – ½ g t2 (4) Beispiel: Ball mit Anfangsgeschwindigkeit von 50 m/s (180 km/h) unter 37o zum Horizont (g = 10 m/s2) a) Wie lange ist der Ball in der Luft? b) Wann hat er seinen höchsten Punkt erreicht? c) Wie weit ist er geflogen? (Entfernung, die er in dieser Zeit in waagerechter Richtung zurückgelegt hat)? a) v0x = 50 m/s cos 37° = 50 m/s 0,8 = 40 m/s v0y = 50 m/s sin 37° = 50 m/s 0,6 = 30 m/s y = voy t – ½ g t2 = t (voy – ½ g t) = 0 2 v0 y 2 30 m / s 2 Lösungen: t1 = 0 (Anfangsbedingungen), t2 = 6s 2 g 10 m / s b) Höchster Punkt (d.h. vy = 0) v0 y 30 m / s (genauso lange rauf wie runter) vy = voy –g tM = 0 t M 3s 2 g 10 m / s Flugzeit des Balles aus (4): c) x = v0x t = 40 m/s 6 s = 240 m Reichweite R) Allgemeine Gleichung für y(x) aus x = vox t und y = voy t – ½ g t2 durch Eliminieren von t; xo = yo = 0: x Dann t , v0 x 2 x g x bzw . y v0 y v0 x 2 v0 x v0 y g y x 2 x2 Dies ist eine Gleichung der Form y = ax + bx2, d.h. eine Parabel, die v0 x 2 v0 x durch den Ursprung geht. wichtige Größen für Wurfprobleme : Abwurfwinkel Reichweite R Geschwindigkeitsvektor in seinen Komponenten Spezialfall: Anfangs- und Endhöhe identisch (symmetrische Wurfparabel!) Herleitung der Formel für die Reichweite in Abhängigkeit von der Anfangsgeschwindigkeit und dem Wurfwinkel: v0 y 2 v02 R v0 x 2 t M (Steigzeit ) 2 v0 cos t M 2 v0 cos cos sin g g Mit 2 cos sin sin 2 : v02 R sin 2 g Wasserstrahl: Maximale Reichweite für = 45° (2 = 90°)! v 02 Dann R g Gilt nur für die gleiche Höhe von Abschluss- und Auftreffpunkt! (Beim Kugelstoßen aus einer Höhe von 1, 8m z.B. maximale Reichweite für = 42o) Allgemein: Anwendung: Wohin muß ein Schütze zielen, der sieht, daß sich der Affe gerade fallen läßt? 3.8 Kreisbewegungen Erde um die Sonne, Mond um die Erde, Saturn-Ringe Satelliten Räder drehen sich im Kreis (Auto, Fahrrad) Kurvenfahrt (Kreisbogen) Hier Objekte, die sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn bewegen, genauer mit konstantem Betrag der Geschwindigkeit. Aber die Definition der Beschleunigung war die zeitliche Änderung des Geschwindigkeitsvektors! (r = const., v = const.) P1 : v1 r1 , P2 : v2 r 2 Winkel zwischen den Ortsvektoren und zwischen den Geschwindigkeitsvektoren identisch, da v r Für immer kleinere Intervalle t geht Verschiebungsvektor r in Bogen s über: ds v dt d 2 d ; v r r . Winkelgeschwindigkei t r r dt T detang detang dv dv d a ( v etang ) etang v v dt dt dt dt dt detang detang 2 etang 1 2 etang 0, etang dt dt 2 detang detang 2 v a || v! Umlauf aller Vektoren mit : | | und a rad v r dt dt r Die Beschleunigung ar heißt Zentripetalbeschleunigung. Sie ist immer zum Kreismittelpunkt hin gerichtet. Ohne solch eine Zentripetalbeschleunigung fliegen Teilchen tangential. Beispiel: Satellit in 200 km Höhe (Erdanziehung 6 % kleiner); v = ?, T = ? Satellit muß durch ar = 0,94 g = 0,94 9,81 m/s2 = 9,22 m/s2 auf Kreisbahn gehalten werden. Radius der Umlaufbahn: Erdradius (6370 km) + 200 km: r = 6570 km 2 r 2 6570 km Umlaufzeit T 88,4 min v2 = r a = 6570 km 9,22 m/s2 v = 7,78 km/s v 7,78 km / s Abschluss: Zusammenhang zwischen Wurfbewegung und Kreisbewegung (Satellitenbewegung) Zusammenfassung Kapitel 3: Bewegung in zwei und drei Dimensionen Größen, die einen Betrag und eine Richtung besitzen, sind Vektorgrößen. Vektoraddition: Zerlegung in Komponenten Ax = A cos 1 Ay = A sin 1 Bx = B cos 2 By = B sin 2 A A A x y B B B x y Addition der Komponenten: A B A B A x B x y y Der Ortsvektor r zeigt vom Ursprung des gewählten Koordinatensystems zum Ort des Teilchens. Im Zeitintervall t ändert er sich um r . Der Geschwindigkeitsvektor v gibt die zeitliche Änderung des Ortsvektors. v zeigt in Richtung der Bewegung, d.h. tangential zur Kurve, auf der sich das Teilchen bewegt. lim r d r v r Momentangeschwindigkeit: t 0 t dt Beschleunigungsvektor: Änderung des Geschwindigkeitsvektors pro Zeit lim v dv a v t 0 t dt Momentanbeschleunigung: Ein Teilchen wird beschleunigt, wenn der Geschwindigkeitsvektor den Betrag oder die Richtung oder beides ändert. Relativgeschwindigkeit vTB vTA vAB (vAB Relativgeschwindigkeit von System A gegen System B) Wurfbewegung: Horizontale und vertikale Bewegung sind voneinander unabhängig horizontale Komponente: vx = vox = vo cos x = vox t vertikale Komponente vy = voy – g t = vosin – g t y = v0y t – ½ g t2 Reichweite R = (v0)2 sin 2 / g Kreisbewegung (wenn Abwurf- gleich Auftreffhöhe) Zentripetalbeschleunigung a = v2 / r 4. Die Newton'schen Axiome Bisher betrachtet: Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung Aussage: Wie bewegt sich der Körper (Kinematik)? Jetzt: Weshalb bewegt sich der Körper (Dynamik)? Zusätzliche Physikalische Größen Kraft (F) Masse (m) Alle Phänomene der klassischen Mechanik lassen sich dann mit Hilfe der 3 Newton'schen Axiome beschreiben. 4.1. 1. Newton'sches Axiom Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter, wenn keine resultierende äußere Kraft auf ihn einwirkt . (die resultierende Kraft ist die Vektorsumme aller Kräfte, die an einem Körper angreifen: F Fi 0 i Die Eigenschaft eines Körpers, seinen Bewegungszustand beizubehalten, bezeichnet man als Trägheit: Kugel bleibt auf bewegtem Tisch am Anfangsort Reibungseffekte beeinflussen die Beobachtbarkeit. Gleiter auf Luftkissenbahn 1. Newton'sches Axiom macht keinen Unterschied zwischen ruhendem oder gleichförmig bewegtem Körper. Frage, ob Körper ruht oder sich gleichförmig bewegt, hängt vom Koordinatensystem ab, in dem die Beobachtung erfolgt. Koordinatensysteme, in denen physikalische Größen bestimmt werden, heißen Bezugssysteme. Das erste Newton‘sche Axiom gilt nicht in allen Bezugssystemen (beschleunigte!) Bezugssysteme, in denen das 1. Newton‘sche Axiom gilt, heißen Inertialsysteme. Erde ist ein gutes Inertialsystem, da Erddrehung um die Achse + Drehung um die Sonne nur eine Beschleunigung von 0,01 m/s2 verursachen. 4.2. Kraft, Masse und das zweite Newton'sche Axiom Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse und direkt proportional zur resultierenden Kraft, die auf ihn einwirkt: F a oder F m a m Durch Wahl des Einheitensystems wird Proportionalitätskonstante 1. Experiment: Beschleunigung verschiedener Massen mit unterschiedlichen Kräften. a= m g M ttheor aus M (kg) m (kg) F=mg (N) 1 0,22 (M1) 1 10-2 (m1) 9,81 10-2 (F1) 0,446 (a1) 2 (s1) 2,99 ? 2 0,44 (2 M1) 1 10-2 (m1) 9,81 10-2 (F1) 0,223 (½ a1) 1 (½ s1) 2,99 ? 3 0,22 (M1) 5 10-3 (½ m1) 4,905 10-2 (½ F1) 0,223 (½ a1) 1 (½ s1) 2,99 ? Exp. m ( 2 ) s s (m) s = ½ a t2 (s) texp (s) Definition der Masse: (träge Masse) Eine Kraft wirkt auf einen Körper m1 und führt zur Beschleunigung a1: F = m1 a1 Dieselbe Kraft wirkt auf einen Körper m2 und führt zu einer Beschleunigung a2, also gilt: F = m1 a1 = m2 a2 oder m 2 a1 m1 a 2 m1 muss definiert werden: Primärnormal (Platin-Iridium-Zylinder in Paris) Sekundärnormale danach geeicht Idee bei Festlegung: 1 kg ist die Masse von 1 Liter Wasser (bei Normbedingungen) Einheit der Kraft ist das Newton (N) 1 N = 1 kgm/s2 entspricht der Kraft, die benötigt wird, um einen Körper der Masse 1kg mit 1m/s2 zu beschleunigen. Ebenfalls mit 2. Newton'schem Axiom verknüpft: Impuls p = m v (Kapitel 7): dv d(m v) dp d(m v) dm dv dv F ma m F , wenn m konstant (dann v m m ). dt dt dt dt dt dt dt 2. Newton'sches Axiom erlaubt vollständige Bestimmung der Bewegungsgleichungen. Beispiel: Ein Teilchen (Masse 0,4 kg) sei zwei Kräften F1 = 2 N ex - 4 N ey und F2 = - 2,6 N ex + 5 N ey ausgesetzt. Wo ist es nach t = 1,6 s, und welche Geschwindigkeit hat es? Start: t = 0, bei x = y = 0 mit vo = 0 resultierende Kraft (Vektorsumme): F = F1 + F2 = (2 N ex - 4 N ey) + (- 2,6 N ex + 5 N ey) = - 0,6 N ex + 1 N ey F 0,6 N e x 1 N e y m m m m a 1,5 2 e x 2,5 2 ey oder a x 1,5 2 , a y 2,5 2 . m 0,4 kg s s s s 1 1 m x a x t 2 (1,5 2 ) (1,6 s)2 1,92 m 2 2 s Ort? 1 1 m y a y t 2 (2,5 2 ) (1,6 s)2 3,2 m 2 2 s v y a y t (2,5 m / s2 ) (1,6 s)2 4,0 m / s. v x a x t (1,5 m / s2 ) (1,6 s)2 2,4 m / s m m m m In Vektorschreibweise : v 2,4 e x 4 ey [2,4 , 4 ] s s s s 4.3 Die Gewichtskraft Sonderfall von F m a mit Gewichtskraft G m g m a g (g 9,81 2 Normalbeschleunigung ) : s Die hier auftretende Masse charakterisiert die „Schwere“ eines Körpers und wird als schwere Masse bezeichnet. Sie hängt vom Gravitationsfeld der Erde ab. Schwere Masse auf dem Mond 1/6 derjenigen auf der Erde. Horizontale Bewegungen bleiben jedoch gleich und werden durch die träge Masse (Widerstand gegen Bewegungsänderung) bestimmt. Auf der Erde sind die Massen so definiert, daß schwere Masse = träge Masse. Schwingungsdauer von Pendeln gleicher Länge, aber verschiedener Masse gleich 4.4 Das 3. Newton'sche Axiom (Reaktionsprinzip) Kräfte treten immer paarweise auf. Wenn Körper A eine Kraft auf Körper B ausübt, so wirkt eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A. Zwei durch gespannte Federn verbundene Gleiter gleicher Masse führen nach Trennung Bewegung entgegengesetzter Richtung, Geschwindigkeit und Beschleunigung aus. Weitere Beispiele: Kraft einer Feder auf eine (gleichartige) andere; zwei Personen auf Rollwagen ziehen sich gegenseitig. 4.5 Kräfte in der Natur Zur Zeit kennt man 4 fundamentale Kräfte und Wechselwirkungen: Wechselwirkung Wirkungsbereich relative Stärke Reichweite Starke Wechselwirkung Nukleonen 1 kurz (fm) Elektromagnetische WW Ladungen, Licht 10-2 1/r2 Schwache WW Leptonen, Nukleonen 10-7 kurz Gravitation Massen 10-38 1/r2 Tägliches Leben: Kontaktkräfte Gegenkräfte zur Gravitationskraft sind häufig molekulare Kräfte, die aufgrund elektromagnetischer Wechselwirkung entstehen (Ladungen, Magnetfeld); im Detail sehr kompliziert, interessant (Chemie, Biologie) Attraktive WW zwischen Mann + Frau, Sex-Appeal! Hier sehr, sehr grobe Verallgemeinerung für die Mechanik, alle diese Kräfte resultieren im Hooke'schen Gesetz F = - k (x-xo) = - k x (oder = F/A ~ = l/l) D.h., wirkt auf einen Körper eine Kraft F, so dehnt oder streckt er sich proportional zur Konstante k. Die Auslenkung ist reversibel (im elastischen Bereich), die den ursprünglichen Zustand wieder herstellende Kraft heißt Rückstellkraft: Beispiel: Feder mit Federkonstante k = 300 N/m. Körper mit der Masse 4 kg hängt an der Feder, ohne sich zu bewegen. Wie groß ist die Auslenkung? Statisches Gleichgewicht: Da Körper sich nicht bewegt, muß resultierende Kraft, die auf ihn wirkt, Null sein. Es treten zwei Kräfte auf: FF und G Also: (FF + G) = 0 bzw. m g + (- k x) = 0 m N N 4 kg 9,81 2 300 x 4 kg 9,81 N / kg 300 x 0 m m s x 4 kg 9,81 N / kg 0,131m 300 N / m Klotz auf Tisch: Gewichtskraft auf Tisch, entgegengesetzte Kraft vom Tisch auf den Klotz. Hier interessiert nur die senkrechte oder Normal-Komponente FN, die Normalkraft. Kräfte parallel zur Oberfläche mit Parallelkomponenten sind Reibungskräfte. Da Kräfte (wie die Beschleunigung) Vektoren sind, können wir sie in Komponenten zerlegen bzw. mit Hilfe des Kräfteparallelogramms zu einer resultierenden Kraft addieren. Beispiel: Schiefe Ebene (idealisiert, ohne Reibung) FN und G wirken nicht entlang derselben Geraden. Kräfte heben sich nicht gegenseitig auf, also muß der Körper eine nach unten gerichtete Beschleunigung erfahren. Kraft-Zerlegung in Komponenten über geeignetes Koordinatensystem Gx = G sin = m g sin Gy = - G cos = - m g cos (FN in y-Richtung, ax Beschleunigung in x - Richtung) resultierende Kraft in y- Richtung: FN - m g cos Mit 2. Newton'schem Axiom und unter Berücksichtigung ay = 0: Fy FN m g cos m ay 0, FN m g cos Für x-Komponenten: = 0 90o Fx m g sin m a x , a x g sin 0o: Normalkraft gleicht Gewichtskraft aus: ax = 0 90o: ax = g : freier Fall 2. Beispiel: Kugel an Faden der Läge l mit konstanter Geschwindigkeit v auf Kreisbahn mit Radius r. Gesucht: Zugkraft des Seiles und Geschwindigkeit der Kugel. Skizze des Problems: Gewichtskraft G = m g nach unten, Zugkraft Z entlang dem Seil, Beschleunigung v2/r in Richtung des Kreismittelpunktes. Vertikalkomponente Z cos muss G ausgleichen, Horizontalkomponente ist die Zentripetalkraft m v2/r . Also: Z cos - m g = 0 oder Z cos = m g Z sin = m a = m v2/r Z sin mv 2 / r sin v2 , tan , v r g tan Z cos mg cos r g 3. Beispiel: Fadenpendel Tangentiale Beschleunigung F m a m g sin m a m v d 2s s d 2 m a m 2 ; m a m l 2 m l l dt dt Bewegungsg leichung : - m g sin m l Kleine Auslenkungen (kleine ): sin , also g g sin l g 0 0 l l Lösung muß Funktion sein, deren 2. Ableitung (bis auf konstanten Faktor) das Negative der Funktion selber ist: = 0 cos t Periodischer Vorgang; Kreisfrequenz , Periode T = 2 / 2 cos t , also cos t sin t , g g 2 g cos t cos t 0 , , ( ) l l l 2 T 2 l g 4. Beispiel: Person auf Waage im Aufzug Beobachtung: Wenn Aufzug mit a nach oben beschleunigt, zeigt Waage mehr an, wenn er mit a nach unten beschleunigt, weniger. 2. Newton'sches Axiom: Auf Mann wirken Kraft FN, die von der Waage ausgeht, sein Gewicht G = m g und m a . Fall 1: Resultierende Kraft m a zeigt nach oben, m a = FN – G bzw. FN = m g + m a Fall 2: Resultierende Kraft m a zeigt nach unten, m a = G – FN bzw. FN = m g - m a Zusammenfassung Kapitel 4: Die Newton'schen Axiome 1. Newton'sches Axiom (Trägheitsprinzip): Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit weiter, wenn keine resultierende äußere Kraft auf ihn einwirkt. 2. Newtonsches Axiom (Aktionsprinzip): Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse und direkt proportional zur resultierenden Kraft, die auf ihn einwirkt. F a oder F m a m 3. Newton'sches Axiom (Reaktionsprinzip) Kräfte treten immer paarweise auf. Wenn Körper A eine Kraft auf Körper B ausübt, so wirkt eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A. Bezugssysteme, in denen die Newton'schen Axiome gelten, heißen Inertialsysteme. Ein Bezugssystem, das relativ zu einem Inertialsystem beschleunigt wird, ist kein Intertialsystem. Die Einheit der Kraft ist das Newton (N): 1 N = 1 kg m / s2 Die Masse ist eine jedem Körper innewohnende Eigenschaft, die dessen Widerstand gegen eine Beschleunigung angibt. Messung durch gleiche Kraft auf zwei Körper: m1 a 2 m 2 a1 Die Masse hängt nicht davon ab, wo sich der Körper befindet. Die Gewichtskraft G eines Körpers ist die Gravitationskraft zwischen dem Körper und der Erde. G mg Sie ist keine körpereigene Eigenschaft Alle Kräfte, denen wir in der Natur begegnen, können durch vier grundlegende Wechselwirkungen beschrieben werden: Die Gravitationswechselwirkung Die elektromagnetische Wechselwirkung Die starke Wechselwirkung Die schwache Wechselwirkung Die meisten Kräfte des Alltags, wie die Kontaktkräfte, die von Federn, Seilen, Oberflächen auf Körper ausgeübt werden, sind letztendlich molekulare Kräfte, die auf der elektromagnetischen WW beruhen. 5. Anwendungen der Newton'schen Axiome: Reibungskräfte, Strömungswiderstände, Scheinkräfte 5.1 Reibung Haftreibung FH , Gleitreibung FG : wirken in entgegengesetzter Richtung zur äußeren Kraft Experiment: Reibungskräfte proportional zur Normalkraft pro Flächeneinheit maximale Haftreibungskraft FH, max = mH FN (mH : Haftreibungszahl) Für den Haftreibungsbereich gilt: FH mHFN Sonst tritt Gleitreibung ein: Fg = mgFN (mG : Gleitreibungszahl) mG ist kleiner als mH Reibungskräfte hängen von Struktur, aber nicht von der Größe der Berührungsfläche der Körper ab; mikroskopische Berührungsfläche kleiner Teil der makroskopischen Berührungsfläche. mG hängt von der Relativgeschwindigkeit der Oberflächen ab. Für v 1 cm/s ... 10 m/s ist mG konstant. Ungefähre Richtwerte von Reibungskoeffizienten Weitere Definition: Rollreibung Rollreibungszahl mR ist definiert als das Verhältnis jener Kraft, die zur Aufrechterhaltung der Rollbewegung eines Rundkörpers mit konstanter Geschwindigkeit benötigt wird, zur Normalkraft (die die Unterlage auf den Rundkörper ausübt). Typische Werte für mR : Gummireifen auf Beton: mR= 0,01 bis 0,02; Stahlräder auf Stahl: mR= 0,001 bis 0,002 Beispiel 1: Die Haftreibungszahl zwischen einem Autoreifen und der Straße betrage an einem bestimmten Tag 0,7. Wie groß ist der steilste Neigungswinkel einer Straße, auf der man das Auto parken kann, ohne daß es den Berg hinunterrutscht? Fx m g sin FH 0 (1) Fy FN m g cos 0 ( 2) m g FN ; in (1) : cos FN F sin sin FH 0 ; FH N FN tan ; m H FN FN tan cos cos Für den kritischen Winkel K wird FH = mH FN, (unabhängig vom Körper) d.h. mH = tan K oder K = arc tan 0,7 = 35° Beispiel 2: Ein Wagen fahre mit 30 m/s eine horizontale Straße entlang. Die Reibungszahlen zwischen der Straße und den Reifen seien mH = 0.5 und mG = 0.3. Wie weit fährt der Wagen noch, wenn er so stark abgebremst wird, daß a) die Reifen sich gerade noch drehen oder b) die Räder blockieren? Keine vertikale Beschleunigung: a) Vor dem Bremsvorgang blockieren die Räder nicht, die Straße übt eine horizontale Haftreibungskraft aus. Gewichtskraft gleichmäßig auf die 4 Räder verteilt, alle Reifen werden gebremst. m F m mg m m mH g 0,5 9,81 2 4, 9 2 Fx mH FN m a x , a x H N H m m s s Beschleunigung konstant, d.h. (um von a auf x zu kommen) 2 v v 1 2 2 1 2 1 v 1 v 2 a ; t ; a x v v v v v vo o o o x vo t a t vo a t a 2 2 2 a 2 a vo 2 1 2 1 2 2 2 2 v 0 (nachAbbremsen ) : x v v0 2 a x v v v o v v o 2 a 2 2 x (30 m / s) 2 2 91,8 m 2 (4,9 m / s ) b) Blockierende Räder : Gleitreibung vo 2 (30 m / s) 2 x 153 m 2 2a 2 ( 2,94 m / s ) m a x mg g 0,3 9,81 2 2,94 m / s 2 s Beispiel 3: Ein Wagen fahre auf einer horizontalen Straße im Kreis, der Kreisradius betrag 30 m, die Haftreibungszahl sei mH = 0.6. Wie schnell kann der Wagen fahren, ohne seitlich wegzurutschen? Wenn ein Wagen auf einer horizontalen Straße durch die Kurve fährt, dann wird die Zentripetalkraft von der Reibungskraft aufgebracht. Es handelt sich um Haftreibung, solange der Wagen nicht seitlich rutscht. Die Normalkraft gleicht die Gewichtskraft aus. Horizontal wirkt die Reibungskraft FH,max = mH m g. Sie entspricht der Zentripetalkraft m v 2max mH m g r v max m H g r 0,6 9,81m / s 2 30 m 13,3 m / s 47,9 km / h 5.2 Strömungswiderstand Bewegung eines Körpers durch eine Flüssigkeit oder ein Gas. Strömungswiderstand hängt ab von: - Form des Körpers (wichtig!) - Eigenschaften des Mediums (Gas, Flüssigkeit) Anders als bei gewöhnlicher Reibung zwischen zwei Körpern wächst der Strömungswiderstand mit der Geschwindigkeit des Körpers. Strömungswiderstand (Widerstandskraft) = b vn (b, n empirische Konstanten) F = m g – b vn = m a: v wächst an, bis a = 0, d.h. b vn = m g; mg ve n (konstant!) Endgeschwindigkeit b Je größer b, desto kleiner ve (b bedingt durch Form des Körpers). Chemische Industrie: Kugelfall-Viskosimeter Autoindustrie: Luftwiderstand (cW-Wert) Fallschirmspringer: ohne Fallschirm ve = 60 m/s = 216 km/h mit Fallschirm ca 20 km/h 5.3 Bewegungsprobleme im Fall von mehreren miteinander verbundenen Körpern Bei vielen mechanischen Problemen sind mehrere Körper in Kontakt oder durch Federn und Seile miteinander verbunden. Lösung der Aufgabe: Für jeden Körper wird ein Kräftediagramm gezeichnet und das 2. Newton'sche Gesetz angewendet. Die Gleichungen werden für alle unbekannten Kräfte und Beschleunigungen gleichzeitig gelöst. Für ein System aus zwei Körpern muß nach dem 3. Newton'schen Gesetz die Kraft des ersten Körpers auf den zweiten vom Betrag gleich groß, aber entgegengesetzt sein zur Kraft des zweiten Körpers auf den ersten. Kraft auf Körper 1: Z = m1 a1 Z = Z1 = Z 2 Zugkräfte im Seil identisch (Zugkraft im Seil) Kraft auf Körper 2: G2 = m2 g m2 g – Z = m2 a2: Beide Körper bewegen sich betragsmäßig mit der gleichen Geschwindigkeit (aber nicht in gleiche Richtungen). Beträge der Beschleunigungen sind gleich: a1 = a2 = a Z = m1 a eingesetzt in m2 g – Z = m2 a m2 g – m1 a = m2 a bzw. a g m2 m1 m 2 Entspricht einer Masse von m = m1 + m2, auf die die Kraft m2 g wirkt. Z m1 m 2 g m g (reduzierte Masse) m1 m 2 1 1 1 m m2 1 m m1 m 2 m1 m 2 a) für m1 << m2: ag Z 0, System fällt mit Erdbeschleunigung b) für m1 >> m2: m m a (m2/m1) g 0 keine Beschleunigung, Z 1 2 g m 2 g m1 5.4 Scheinkräfte Die Newton'schen Gesetze gelten nur in Inertialsystemen. Welche Ergebnisse erhält man in Systemen, die keine Inertialsysteme sind (z.B. beschleunigten Systemen)? Soll weiterhin F = m a angewendet werden, muß die Beschleunigung des Bezugssystems berücksichtigt werden. Dies geschieht durch sogenannte Scheinkräfte. Scheinkräfte: a) im mit a linear beschleunigten Bezugssystem: FS m a b) im rotierenden Bezugssystem: 1) Zentrifugalkraft: (nur Rotation des Bezugssystems) für Beobachtung aus einem Inertialsystem wird die Masse mit der Zentripetalbeschleunigung v2/r zum Kreismittelpunkt beschleunigt. (Sonst würde sie sich tangential (geradlinig) von der Scheibe bewegen) Die Zentripetalbeschleunigung wird durch das Seil (Zugkraft) verursacht. Beobachterin im rotierenden System muß eine Scheinkraft vom Betrag mv2/r einführen, um die Bewegung der Masse zu beschreiben; dies ist die Zentrifugalkraft oder Fliehkraft. m v2 FZ m 2 r r d ds r d ( Winke lg eschwindig keit , v r ) dt dt dt 2) Rotation des Bezugssystems und lineare Bewegung Bewegt sich in einem rotierenden Bezugssystem ein Körper radial nach innen oder außen (lineare Bewegung), so ändert sich seine Bahngeschwindigkeit, er erfährt somit eine Tangentialbeschleunigung aC, deren Ursache Coriosliskraft heißt. 1 R BC a C (t )2 (I), t bzw. R t v (II) 2 v BC AB AC R v' t R t t (R ) t Einsetzen aus (II) : BC v (t )2 Vergleich mit (I) : a C 2 v , FC 2 m v Zusammenfassung Kapitel 5 Bei Berührung zweier Körper können diese Reibungskräfte aufeinander ausüben. Haftreibung, Gleitreibung und Rollreibung wirken parallel zur Oberfläche der Körper und sind proportional zur Normalkraft. Haftreibungszahl > Gleitreibungszahl > Rollreibungszahl Bewegt sich ein Körper durch ein Fluid, erfährt er einen Strömungswiderstand proportional zu vn. Konstante Endgeschwindigkeit hängt von Fluid und von Form des Körpers ab. Bei Anwendung der Newton'schen Gesetze auf Probleme mit mehreren Körpern kann F = m a auf jeden Körper einzeln angewendet werden. Die Newton'schen Gesetze gelten nicht in beschleunigten Bezugssystemen. Sie lassen sich aber trotzdem anwenden, wenn man Scheinkräfte einführt, die von der Beschleunigung des Bezugssystems abhängen. v2 Beispiele : Zentrifuga lkraft FZ m r m r Corioliskr aft FC 2 m v 2 6. Arbeit und Energie 6.1 Arbeit Physik: Arbeit wird an einem Körper verrichtet, wenn sich der Angriffspunkt der Kraft durch die Krafteinwirkung um eine bestimmten Strecke r fortbewegt. Arbeit = Kraft in Richtung des Weges x Weg (Verschiebung des Angriffspunktes der Kraft) SI-Einheit: 1 J (Joule) = 1 Nm = 1 kg m2 / s2 Bei konstanter Kraft: W F r F cos r Fx x Fy y Fz z (Skalarprodukt, Winkel zwischen F und r ) Veranschaulichung des Skalarprodukts: Graphisch: Fläche unter Kraft-Weg-Kurve Allgemein : W Wi F (ri ) ri lim : ri 0 P2 W F (r ) dr P1 6.2 Arbeit und kinetische Energie Tangentialkomponente Fs = m dv dt v2 Senkrechte Komponente F m ändert Bewegungsrichtung, r aber nicht Geschwindigkeit: Trägt nicht zur Arbeit bei s2 W Fs ds , Fs s1 Wges s2 m dv dv dv ds dv , v : dt dt ds dt ds s2 s 2 ds s2 dv 1 1 Fs ds m ds m dv m v dv m v 2 2 m v12 dt 2 2 s1 s1 s1 dt s1 Beispiel: Skifahrer fährt ohne Reibung einen Hang hinunter; Startposition Höhe h, Hanglänge s. Welche Arbeit wird verrichtet? Welche Endgeschwindigkeit erreicht er? W m g s (m g cos ) s m g cos (90 ) s m g sin s W W m g sin s m g sin s m g sin s WGes m g h , da h s sin 1 WGes m g h E kin m v 2 : v 2 g h 2 Unabhängig vom Neigungswinkel und der Masse (gleiches gilt z.B. für eine Buckelpiste der Höhe h). 6.3 Die potentielle Energie Merkmale: - gespeicherte Arbeit (Möglichkeit, Arbeit zu verrichten) - läßt sich in Form von kinetischer Energie zurückgewinnen - potentielle Energie eines Systems erhöht sich, wenn äußere Arbeit am System verrichtet wird. s2 Definition der potentiellen Energie : E pot E pot ,2 E pot ,1 W F d s s1 oder für infinitesimale Verschiebungen : dEpot F ds Für konservative Kräfte (z.B. Gravitation) gilt: Die Gesamtarbeit entlang einem beliebigen geschlossenen Weg ist gleich Null. Beispiel: Lageenergie (im Gravitationsfeld der Erde): y Nahe der Erdoberfläche (g = konstant) h Epot F ds m g y Epot ( y0) Epot = m g h 0 x Beispiel: Feder Zusammendrücken um Strecke x gegen Federkraft F = - k x (konservative Kraft) erfordert Kraft F = k x. x 1 Aufgewendete (Spann-)Arbeit : W k x dx k x 2 2 0 1 E pot k x 2 2 6.4 Potentielle Energie und Gleichgewicht dEpot F ds F, s, E hängen vom Ort ab. Bestimmung der Kraft aus der potentiellen Energie: dE pot E pot E pot E pot partielle Ableitungen Umkehr der Integralgleichung F , , ) ( ds x y z F grad Epot Epot (Gradient Nabla-Operator) Gleichgewichtslagen: Minimum der potentiellen Energie Teilchen ist im Gleichgewicht, wenn die resultierende Kraft = 0 ist. - Stabiles Gleichgewicht: „Rückstellkraft“ in Richtung der Gleichgewichtslage Instabiles Gleichgewicht Indifferentes Gleichgewicht 6.5 Erhaltung der mechanischen Energie Wges F ds Epot Ekin Ekin Epot (Ekin Epot ) 0 Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie bezeichnet man als mechanische Gesamtenergie E. E = Ekin + Epot = konstant Energieerhaltungssatz der Mechanik (gilt nur für konservative Kräfte, gleichzeitig deren Definition) Beispiele: Pendel, Federschwingung, Reflektion eines fallenden Balles 6.6 Der verallgemeinerte Energiesatz der Mechanik Erweiterung auf nichtkonservative Kräfte.: Die von einer nichtkonservativen (nK) Kraft (z.B. Reibung) an einem Teilchen verrichtet Arbeit entspricht der Änderung der mechanischen Gesamtenergie des Systems WnK Epot Ekin E Makroskopische Welt: Fast immer „nichtkonservative Kräfte“. Energieerhaltungssatz dann: E ein E aus E sys Die Zu- oder Abnahme der Energie eines Systems läßt sich immer durch das Auftreten oder Verschwinden von Energie gleich welcher Art an irgendeiner Stelle des Systems erklären. 6.7 Leistung Leistung ist Arbeit pro Zeit. Sie gibt an, wie schnell Energie von einem System auf das andere übertragen wird. dW d s P F Fv dt dt SI-Einheit: 1 J/s = 1 W (1 Watt) Strom/Gasrechnung: Kilowattstunden; 1 kWh = 103 W 3600 s = 3,6 MJ; alt: Pferdestärke: 1 PS = 735 W Zusammenfassung Kapitel 6 s2 Arbeit W F d s [ Nm J (Joule )] s1 Mechanik: Kinetische Energie: Potentielle Energie: 1 E kin mv 2 2 s2 E pot F d s s1 Energieerhaltung: Eges = Ekin + Epot = konstant (Konservative Kräfte) Nichtkonservative Kräfte (dissipative Kräfte): E ges E pot E kin WnK „vernichten oder erzeugen Energie“ Gleichgewichtslagen: Ein Teilchen ist im Gleichgewicht, wenn die resultierende Kraft 0 ist. dE pot F ds Stabiles, instabiles, indifferentes Gleichgewicht Leistung: P dW dt 1 J 1 W ( Watt ) s
