Impuls_Erhaltung

Impuls und Impulserhaltung
Ein Thema der
Physik des „Massenpunktes“
und der Photonen
Inhalt
• Impuls und Kraft
• Impulserhaltung
• Energie- und Impulsaustausch zwischen
Massen bei elastischem und inelastischem Stoß
• Stoß zwischen Materie und Photonen
Mechanik der Massenpunkte und Photonen
•
•
•
•
Schwerpunkt und Masse
Newton-Axiome
Energieerhaltung
Impulserhaltung
– gilt auch für Photonen
Definition des Impulses
Einheit


p  mv
Der Impuls ist ein
Vektor:
1 kg m/s
Produkt aus Masse
und Geschwindigkeit
Änderung des Impulses: Die Kraft


p  mv

 
p
v
 m
F
t
t
Einheit
1 kg m/s
Impuls
1 kg m/s2
Der Quotient aus
Impulsänderung und
Zeit ist die Kraft
In dem Kasten wirkt eine Kraft beschleunigend auf die Masse
Unterschiedliche Zeiten zur Änderung des Impulses
In welchem Kasten wirkt die größere Kraft beschleunigend auf die Masse?
Zeitliche Ableitung des Impulses: Die Kraft
Einheit
Der Impuls sei als


p (t )  m(t )  v (t ) 1 kg m/s Funktion der Zeit
bekannt
 
Die zeitliche Ableitung
dp
 F (t )
1 kg m/s2 des Impulses ist die
dt
Kraft

Bei konstanter Masse


dp
 m  a (t )  F (t ) 1 kg m/s2 folgt das
dt
Trägheitsgesetz
Umkehrung: Impuls Änderung über einen „Kraftstoß“
Einheit


p  F  t

p 

 F  dt
1 kg m/s
Produkt aus Kraft und
Zeit: der „Kraftstoß“
1 kg m/s
Bei variabler Kraft: Der
„Kraftstoß“ ist das
Integral der Kraft über
die Zeit
t2
t1
Anmerkung zu Impulsänderung und Kraft
Hohe Beschleunigung
• Wenn sich die Geschwindigkeit schnell ändert,
dann treten auch bei kleinen Impulsen, d.h.
kleinen Massen oder kleinen
Geschwindigkeiten, hohe Kräfte auf.
• Anwendung in Sicherheitssystemen in
Fahrzeugen:
– Die Zeit zum Abbremsen wird verlängert: Die zeitliche
Ableitung des Impulses wird dadurch kleiner, die
Kräfte auf die Personen verkleinern sich um den
Faktor des Zeitgewinns
Der Impulserhaltungssatz
• Wirken auf ein abgeschlossenes System von
Massenpunkten keine äußeren Kräfte, dann
bleibt die Summe der Impulse zeitlich konstant
Einheit


m
p i  p S  const 1 kg

s
i 1
N
Die Summe der
Impulse ist konstant
Impulserhaltung beim elastischen Stoß in einer Ebene
Impulserhaltung beim elastischen Stoß in einer Ebene


p2  m  v2


p1  m  v1


p1  m  v1
Vektorsumme zur Impulserhaltung in einer Ebene
y

p1
x

p1

p2
Komponentenweise Impulserhaltung beim elastischen Stoß
in einer Ebene
y
p2 x
p1x
x
p 2 y
p1 y
p1x
p2 x
Komponentenweise Impulserhaltung beim elastischen Stoß
in einer Ebene
y
p2 x
p 2 y
p1x
x
p 2 y
p1 y
p1x
p2 x
Komponentenweise Impulserhaltung beim elastischen Stoß
in einer Ebene: Vektorparallelogramm
y
p2 x
p 2 y
p1x
p1 y
p1x
x
Impuls- und Energieerhaltung beim elastischen Stoß in einer
Ebene
Vor dem Stoß
Teilchen 1

p1
Nach dem Stoß
Teilchen 2
0

p1

p2
Komponenten




p1  p1  p2
 p1 x   p1x   p2 x 

 
 

 p1    p1 y    p2 y 
 

 y 
W1  W1  W2
mv12 2  mv12 2  mv22 2
Einheit
ImpulsErhaltung, falls
1 kg m/s
Teilchen 2 vor
dem Stoß ruht
1J
EnergieErhaltung
• In R2 (oder R3) liefert die komponentenweise Impulserhaltung 2 (oder 3)
Gleichungen
Komponentenweise Impuls- und Energieerhaltung
Einheit
1
m·v1x= m·v’1x+ m·v’2x
1 mkg/s
Impulserhaltung für
die x-Komponenten
2
0= m·v’1y+ m·v’2y
1 mkg/s
Impulserhaltung für
die y-Komponenten
3
m·(v1x2+v1y2) /2 = m·v’1x2 /2
+ m·(v’2x2+v’2y2) /2
1J
Energieerhaltung
Aus diesen drei Gleichungen werden Θ und v eliminiert, um eine Gleichung für
den Zusammenhang zwischen den Wellenlängen vor- und nach dem Stoß, λ,
λ‘ und dem Streuwinkel des Photons Φ zu erhalten
Elastischer Stoß in R1
• Beim elastischen Stoß bleibt die Summe der
kinetischen Energie vor und nach dem Stoß
konstant
• Die Summe der Impulse vor dem Stoß ist gleich
der nach dem Stoß
Inelastischer Stoß
• Beim inelastischen Stoß ist die Summe der
kinetischen Energie vor dem Stoß größer als
nach dem Stoß – ein Teil der Energie wurde in
eine andere Energieform umgewandelt,
– z. B. in Wärme
• Die Summe der Impulse vor dem Stoß ist gleich
der nach dem Stoß
Elastisch, inelastisch
• Immer ist die Summe der Impulse vor gleich der
nach dem Stoß
Aber:
• Beim elastischen Stoß bleibt die kinetische
Energie vor und nach dem Stoß konstant
• Beim inelastischen Stoß ist kinetische Energie
vor und nach dem Stoß unterschiedlich:
– Ein oder mehrere Partner haben kinetische Energie
entweder absorbiert oder hinzu gebracht, d. h. gegen
eine andere Art der Energie ausgetauscht
• Versuch: Stoß zwischen zwei gleichen
Wagen auf der Luftkissenbahn:
– Elastisch
– Inelastisch
• mit Energie Absorption
• mit Energie Zufuhr aus einer Feder
Zusammenfassung
• Der Impuls ist das Produkt aus Masse und
Geschwindigkeit p = m · v [mkg/s]
– Die Impuls Änderung ist das Produkt Kraft mal Zeit
Δp = F · Δ t [mkg/s]
• Es gilt die Impulserhaltung: Wirken auf ein
abgeschlossenes System von Massenpunkten
keine äußeren Kräfte, dann bleibt die Summe
der Impulse zeitlich konstant
• Zusätzlich gilt die Energieerhaltung:
– Elastischer Stoß: Es werden vollständig ineinander
umwandelbare Energien ausgetauscht
– Inelastischer Stoß: Ein Teil der Energie wird in Wärme
verwandelt
finis