6. Der Cosinussatz im allgemeinen Dreieck

Trigonometrie
1. Seitenbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck
2. Winkel-Seitenbeziehungen
3. Winkelfunktionen beliebiger Winkel im Einheitskreis
4. Zweideutigkeit der allgemeinen Winkelfunktionen
5. Sinussatz im allgemeinen Dreieck
6. Cosinussatz im allgemeinen Dreieck
1. Seitenbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck
C‘‘
H:
C‘
Hypotenuse
C
GK:
Gegenkathete
AK:
Ankathete
AK
A
GK
a
H
B
B‘
Jedem Winkel a lässt sich ein bestimmtes
Seitenverhältnis zuordnen:
Sinusbeziehung
Cosinusbeziehung
Tangensbeziehung
sin(a ) =
cos(a ) =
tan(a ) =
GK
H
AK
H
GK
AK
Begründung für die Eindeutigkeit
der Zuordnung:
Strahlensätze
B‘‘
2. Winkel-Seitenbeziehungen
sin, cos, tan
ergibt Seitenverhältnis
Winkel gegeben
sin-1, cos-1, tan-1
Seitenverhältnis gegeben
ergibt Winkel
Spezielle Winkel – spezielle Seitenverhältnisse
Winkela
30°
sin(a )
cos(a )
tan(a )
1
2
1
3
2
45°
1
2
2
1
2
2
1
60°
1
3
2
1
2
3
1
3
=
3
3
3. Winkelfunktionen beliebiger Winkel im Einheitskreis
1. QUADRANT
2. QUADRANT
1
Im ersten Quadranten gelten für einen Punkt P = (x / y)
(bzw. Winkel a ) gemäss den Definitionen im
rechtwinkligen Dreieck:
P
0.5
z
1
y
a
-1
- 0.5
0
x 0.5
1
- 0.5
y
=y
1
x
cos(a) = = x
1
y z
tan(a) = = = z
x 1
sin(a) =
1
-1
3. QUADRANT
4. QUADRANT
P
0.5
Die Definitionen für einen beliebigen Winkel
(bzw. beliebigen Punkt P = (x / y) auf dem
Einheitskreis) lassen sich entsprechend erweitern:
sin(a) = y
cos(a) = x
tan(a) = z
y
a
x
-1
- 0.5
0
- 0.5
-1
0.5
1
z
4. Zweideutigkeit der allgemeinen Winkelfunktionen
Spezielle Funktionswerte:
0°
sin(a )
0
cos(a )
1
tan(a )
0
45°
1
2
2
1
2
2
1
90°
1
0
n.d.
135°
1
2
2
1
2
2
-1
180°
0
-1
0
225°
270°
1
2
2
1
2
2
-1
-
1
0
n.d.
315°
1
2
2
1
2
2
-
-1
5. Sinussatz im allgemeinen Dreieck
C
g
b
a
hh
b
B
c
a
A
( )
()
b sin ( b )
=
c sin ( g )
c sin ( g )
=
a sin ( a )
a sin a
=
b sin b
Die Seiten in einem allgemeinen Dreieck verhalten sich
wie die Sinuswerte der entsprechenden
(gegenüberliegenden) Winkel.
Begründung:
Die Höhe h teilt das allgemeine Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke:
sin(a) =
h
b
; sin(b) =
h
a
Þ
a × sin(b) = b × sin(a)
Þ
a
b
=
sin(a) sin(b)
6. Der Cosinussatz im allgemeinen Dreieck
C
g
b
a
h
b
B
q
a
p
c
A
a2 = b2 + c2
- 2bc·cos(a )
b2 = c2 + a2
- 2ca·cos(b )
c2 = a2 + b2
- 2ab·cos( g )
Begründung:
Die Höhe h teilt das allgemeine Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Hypothenusenabschnitten p und q:
h = b·sin(a) ; p = b·cos(a) ; q = c – p ;
einsetzen in a2 = h2 + q2 ergibt:
a2 = b2 ·sin(a)2 + c2 - 2bc·cos(a) + b2·cos(a)2
=
b2(sin(a)2 + cos(a)2) + c2 - 2bc·cos(a)
mit sin(a)2 + cos(a)2 = 1 ergibt sich der Cosinussatz