met210-111-VI-2-2_Dynamik_Navier-Stokes

Einführung
in die Meteorologie (met210)
- Teil VI: Dynamik der Atmosphäre
Clemens Simmer
VI Dynamik der Atmosphäre
Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur
und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie
teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne
1.
Kinematik
–
–
–
2.
Divergenz und Rotation
Massenerhaltung
Stromlinien und Trajektorien
Die Bewegungsgleichung
–
–
–
3.
Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte
Navier-Stokes-Gleichung
Skalenanalyse
Zweidimensionale Windsysteme
–
–
–
natürliches Koordinatensystem
Gradientwind und andere
Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes
2
VI.2 Die Bewegungsgleichung
•
•
•
•
Die Newtonschen Axiome
Die wirksamen Kräfte
–
Druckgradient
–
Schwerkraft
–
Reibungskraft
–
Scheinkräfte (Zentrifugal-, Corioliskraft)
Die Navier-Stokes-Gleichung
Skalenanalyse
–
geostrophische Approximation
–
hydrostatische Approximation
–
geostrophischer Wind im p-Koordinatensystem
3
VI.2.2 Bewegungsgleichung im Erdsystem
• Das erdfeste System ist kein Inertialsystem, da jeder feste Punkt (bis
auf die Pole) durch die Erddrehung ständig seine Bewegungsrichtung
ändern muss.
• Massen auf der Erde reagieren auf diese Beschleunigungen mit
Trägheit, d.h. sie versuchen ihre momentane Bewegung (gradlinig und
gleichförmig, konstanter Geschwindigkeitsvektor) im Inertialsystem
beizubehalten.
• Im erdfesten System erscheinen diese Trägheitsbewegungen als
Beschleunigungen, die dann als Reaktion auf Scheinkräfte
interpretiert werden.
4
Coriolisbeschleunigung
- qualitativ (1) • Ein von P (fest auf der Scheibe)
•
•
Q‘‘
Q
Q‘
P‘
P
t+Δt
t0
•
•
nach Q geworfener Körper hat auch
eine x-Komponente der
Geschwindigkeit; sie entspricht der
u-Geschwindigkeit von P.
Nach der Zeit Δt ist P bei P‘ und
auch der Körper muss etwa die
gleiche Strecke in x-Richtung nach
Q‘ zurück gelegt haben.
Der Punkt Q hat sich aber nur nach
Q‘‘ verlagert - durch die kleinere
Entfernung von der Drehachse im
Vergleich zu P.
Der Körper hat sich also relativ zur
Scheibenoberfläche nach rechts
bewegt.
Analoges ergibt sich für die
umgekehrte Richtung.
5
Coriolisbeschleunigung
- qualitativ (2) -
Q‘
Q
P
P‘
Q‘‘
Q‘
Q
P‘
Q‘‘
•
Die Vektoren seien Wege
nach einer festen Zeit Δt.
• P wirft nach Q (blauer
Vektor).
• Doch gleichzeitig ist die
Drehung der Scheibe zu
berücksichtigen (roter
Vektor).
• Die Summe ist der grüne
Vektor, der die Position des
Balls im Intertialsystem
anzeigt.
• Beachte nun die Position
des Balls Q‘‘ relativ zu der
Geraden P‘ Q‘.
 Rechtsablenkung
P
6
Coriolisbeschleunigung
- halb quantitativ (1) - Δs= Δu
Δt=(uΩ(A)- uΩ(B))Δt
=(Rcos(φ)Δλ/Δt - Rcos(φ +Δφ)Δλ/Δt) Δt
=(R(cos(φ) - cos(φ +Δφ))Ω) Δt
mit λ Länge und φ Breite
Ω
• Ein Körper startet bei A mit
konstanter Geschwindigkeit v nach B
(nach Norden) und hält v aufrecht
Mit bC= 2Δs/(Δt)² (Annahme einer
über ein Zeitintervall Δt.
konstanten Beschleunigung nach Ost:
• Durch Erhaltung des Ost-Impulses
→s=1/2bct²) und Δφ/Δt=v/R →
nimmt er dabei eine RelativgeΔt= Δφ R/v folgt
schwindigkeit in Ostrichtung ΔuΩ auf, b = 2R(cos(φ)-cos(φ +Δφ))Ω / (Δφ R/v )
C
und hat nach Δt die Strecke Δs nach = - 2Ωv (cos(φ+Δφ)-cos(φ)) / (Δφ)
Osten zurückgelegt.
= - 2Ωv (Δcos(φ)) / (Δφ)
≈ -2Ωvd(cosφ)/dφ
= 2Ωvsinφ
+
B
bC,u  2v sin
Δs
C
v
Δt
3
1
• Der Körper beschleunigt nach
rechts in Abhängigkeit von
Geschwindigkeit und Breite
A
2
7
Coriolisbeschleunigung
- halb quantitativ (2) • Ein Körper bewege sich mit der
Relativgeschwindigkeit u nach Ost.
• Er hat dann die
•
Absolutgeschwindigkeit
•
ua=u+Ωr=u+ΩRcosφ.
• Da er einer Kreisbewegung folgt
folgt eine Zentrifugalbeschleuni- •
gung von (ua)2/r.
2u
cos
r
R
2u
P
2u
sin
Wir hatten:
bC,u  2v sin
2
ua2 u  r 
u

  2 r  2u 
r
r
r
2
Der erste Term ist das bekannte gz.
Die beiden letzten Terme beschreiben die
zusätzliche Zentrifugalbeschleunigung
durch die (relative) u-Bewegung.
Der dabei meist dominierende mittlere Term
(nur er hängt vom Vorzeichen von u ab!)
lässt sich in eine z und eine y-Komponente
aufteilen (Abbildung).
• Der letzte Term ist ein metrischer Term, der
verschwindet, wenn man eine ortsfeste
Tangentialebene als Referenz annimmt.
• Offensichtlich erfolgt in der Horizontalen
wieder eine Rechtsablenkung und zwar mit
der Beschleunigung
bC,v  2u sin
8
Coriolisbeschleunigung
- formal (1) • Betrachtung der Darstellung eines Vektors im
Intertialsystem und im rotierenden Erdsystem
• Bildung der zeitlichen Ableitung unter Berücksichtigung
der Änderung des rotierenden Koordinatensystems
• Anwendung auf den Vektor der absoluten
Geschwindigkeit
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Coriolisbeschleunigung
- formal (2) Relativsystem =Tangentialebene fest

an der Kugeloberfläche

y‘
z

k

i

j
Inertialsystem
x

a Vektor



 a x i  a y j  az k



 ax i   ay j   az k 
daraus folgt

da dax  day  daz 

i 
j
k

dt
dt
dt
dt
j
dax  day  daz 
k  z‘

i 
j
k
x‘
dt
dt
dt
i

 d a beobachtet e Änderung 
 

 dt im beschleuni gten System 



di 
dj 
dk 
 ax
 ay
 az
dt
dt
dt

 
 
 
d a
y

 ax   i   ay   j   az   k 
dt

 
 

d a 

   ax i     ay j     az k 
dt

d a  

 a
dt
10
Coriolisbeschleunigung
- formal (3) -


da d a  

 a
dt
dt



  
dr d r  

   r identisch mit v a  v    r
dt
dt


 
dv a
d v a


Ω  va
dt
dt

    
d v
d  


r
 v    r
dt
dt



d v d    d r     


r  
 v    r
dt
dt
dt




v
11
Coriolisbeschleunigung
- formal (4) 


    
d v dv a d  


 r  2

v 


r


dt
dt 
dt


IV
V


I
II
III
I. Scheinbare Beschleunigung relativ zur Erdoberfläche
II. Beschleunigung im Inertialsystem (= Summe der angreifenden Kräfte)
III. Beschleunigung durch Änderung der Erdrotation (Herbsttag 0,05 s
kürzer als Sommertag, i.a. aber vernachlässigbar)
IV. Coriolisbeschleunigung
V. Zentrifugalbeschleunigung
12
Coriolisbeschleunigung
- formal (5)

Coriolisbeschleunigung
i

 
fC  2  v  2  x
u

j
y
v

k
 2v sin  w cos  


z  
 2u sin


w 
2u cos 

da Ωx  0
y
Ωy  Ω cos 
Ωz  Ω sin
z
Äqu.
u²/r taucht als metrischer Term nicht mehr auf,
da eine Tangentialebene betrachtet wird.
Mit dem Coriolisparameter f=2Ωsinφ gilt weiter:
 fv  2 cos  w 

fC  
 fu

 2 cos  u 


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Navier-Stokes-Gleichung (1)



    
d v dv a d  


 r  2  v      r
dt
dt
dt
dva
1 +
1
  p  g N   
dt





  
  
dv v
1 

 (v   )v   p  gk  2  v  fR
dt
t

Dabei wurde
• die totale Ableitung nach Euler zerlegt,
• der Rotationsvektor als konstant angenommen,
• die Zentrifugalbeschleunigung in der Schwerebeschleunigung integriert,
• d‘/dt durch d/dt gesetzt, und
• die Reibungsbeschleunigung verallgemeinert.
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Navier-Stokes-Gleichung (2)



  
  
dv v
1 

 (v   )v   p  gk  2  v  fR
dt
t

komponentenweise
du u
u
u
u
1 p

u
v w

 fv  2w cos   f R , x
dt t
x
y
z
 x
dv v
v
v
v
1 p
 u v  w

 fu
 f R, y
dt t
x
y
z
 y
dw w
w
w
w
1 p

u
v
w

g
 2u cos   f R , z
dt
t
x
y
z
 z
gekoppelte nichtlineare Diff‘gleichungen 2. Ordnung
15
Übungen zu VI.2.2
1.
2.
3.
4.
Wie groß sind die Komponenten der Coriolisbeschleunigung bei einem
Windvektor (u,v,w) = (15 m/s, 5 m/s, 0.002 m/s) am Pol, in 45°N und am
Äquator?
Schätze die Größe der Terme der Gleichung für die
Zentrifugalbeschleunigung (halb quantitative Ableitung der
Coriolisbeschleunigung) ab.
Erläutere die formale Ableitung der Bewegungsgleichung auf der
rotierenden Erde in ca. 20 Zeilen.
Welche Beschleunigungen würden Änderungen des Betrags des
Rotationsvektors der Erde um 1%/Tag auslösen? Vergleiche den Betrag
mit dem der Coriolisbeschleunigung.
16