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Beispielaufgaben zum Mittleren Schulabschluss Mathematik Impressum Herausgeber: Berliner Landesinstitut für Schule und Medien (LISUM), Alt-Friedrichsfelde 60, 10315 Berlin; www.lisum.de Redaktion: Angelika Perlich, Angelika Reiß Layout: Angelika Perlich Auflage: 800 Ansprechpartner: Angelika Perlich, [email protected] Angelika Reiß, [email protected] LISUM Berlin, Januar 2006 Alle Rechte vorbehalten. Nachdruck oder andere Formen der Vervielfältigung, auch auszugsweise, nur mit schriftlicher Genehmigung des Herausgebers. Frei für die Nutzung durch die Berliner Schulen. Beispielaufgaben zum Mittleren Schulabschluss Mathematik Inhalt: Erläuterungen zur Zusammenstellung der Aufgaben in der Arbeit................................ Seite 4 Kommentierte Aufgaben..................................................................................................Seite 5 Aufgabensammlung zur Leitidee I (Zahl)................................................................................... ...Seite 11 zur Leitidee II (Messen).................................................................................Seite 15 zur Leitidee III (Raum und Form)..................................................................Seite 23 zur Leitidee IV (Funktionaler Zusammenhang).............................................Seite 31 zur Leitidee V (Daten und Zufall)..................................................................Seite 44 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss Erläuterungen zur Zusammenstellung der Aufgaben in der Arbeit zum Mittleren Schulabschluss Die Bildungsstandards für den Mittleren Schulabschluss sind durch Beschluss der Kultusministerkonferenz vom 4.12.2003 festgelegt worden. Diese Standards beschreiben die fachbezogenen Kompetenzen und die Wissensgrundlage, die die Schülerinnen und Schüler am Ende der Klasse 10 erworben haben sollen. Durch die Aufgaben der Arbeit zum Mittleren Schulabschluss wird überprüft, in welchem Umfang diese Standards erreicht werden. Deshalb sind alle Aufgaben der Arbeit nach den inhaltsbezogenen Kompetenzen (Leitideen), nach prozessbezogenen Kompetenzen (Kompetenzen) und nach Anforderungsstufen entsprechend der Vereinbarung über Bildungsstandards der KMK klassifiziert. In der Arbeit zum MSA 2006 werden Themen und Inhalte aus allen Leitideen gemäß dem derzeit geltenden Rahmenplan Mathematik Sek. I berücksichtigt werden. Die inhaltlichen Festlegungen entsprechen denen für die Vergleichsarbeit 2005. Außerdem wird geprüft werden, in wie weit Kompetenzen aus allen sechs beschriebenen mathematischen Kompetenzbereichen erworben wurden. Im Besonderen dürfen die Kompetenzen „Mathematisch Argumentieren“ und „Kommunizieren“ nicht vernachlässigt werden, was zur Ausweitung der Textproduktion in der Arbeit führt. Die von der KMK formulierten Standards sind weder Mindest- noch Maximalstandards sondern beschreiben ein mittleres Niveau (Regelstandards). Dementsprechend sind die Aufgaben der Arbeit für den Zwei-Schlüssel-Bereich konzipiert (der den Ein-SchlüsselBereich als Teilmenge enthält), so wie er im Entwurf des neuen Rahmenlehrplans beschrieben ist und so, wie Sie diese abschlussbezogene Niveaustufe aus der Vergleichsarbeiten 2005 kennen. Es ist zu berücksichtigen, dass die Aufgaben selten ausschließlich zur Überprüfung nur einer Kompetenz entworfen werden können. Angegeben wird stets die Kompetenz, auf der Schwerpunkt der Aufgabe liegt. Alle in der Vereinbarung der KMK über die Bildungsstandards beschriebenen Anforderungsbereiche (Reproduzieren, Zusammenhänge herstellen, Verallgemeinern und Reflektieren) werden durch Aufgaben der Arbeit abgedeckt. In der Arbeit werden unterschiedliche Aufgabenformate berücksichtigt, u. a. auch Multiple Choice. Neben geschlossenen Aufgaben werden auch solche gestellt, die mehrere Lösungswege haben oder ergebnisoffen sind, soweit sie eindeutig bewertet werden können. Weitere Kriterien für die Auswahl der Aufgaben sind die verstärkte Textorientierung, der Real- und Alltagsbezug und - soweit möglich - die Schülerrelevanz. S. 4 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss Kommentierte Aufgaben 1. Ehepaar H. will zu demselben Ort in den Urlaub fahren wie letztes Jahr. Damals haben sie für die Strecke bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h 6 Stunden gebraucht. Da Ferienbeginn ist, gibt es viele Staus; außerdem machen sie eine halbe Stunde Rast in einer Raststätte. a) Im Urlaub kam leider auf die Rechnung ein Fettfleck. Wie viel kostete der Extra Salat? b) „Kannst du mir erklären, warum 16 % Mehrwertsteuer 2,11 € sind?“ fragt Herr H. seine Frau. Erklären Sie es ihm. c) Auf den ersten 300 km kommt Ehepaar H. wegen der Staus und der Rast nur auf eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 50 km/h. Erläutern Sie, ob sie trotzdem noch in 6 Stunden am Ziel sein können. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) 15,30 € – (7,60 € + 2,50 € + 1,7 €) = 3,50 € b) 15,30 € entspricht 116%. (oder 13,19 € entspricht 100%) c) Nein, die 6 Stunden sind schon vorbei. II III 1 1 L1 K1 1 Diese Aufgabe ist der Leitidee „Zahl“ zugeordnet, weil die Schülerinnen und Schüler Prozentrechnung und einfache Rechengesetze sinnvoll und sachgerecht benutzen müssen. Die Schwierigkeit dieser Aufgabe besteht darin, dass aus dem Aufgabentext und der Zahlungsquittung die notwendigen Informationen für die einzelnen Teilaufgaben von den Schülerinnen und Schüler herausgefunden werden müssen. Im Aufgabenteil a) soll eine leichte Rechenaufgabe gelöst werden, allerdings muss sie in der Quittung erst erkannt werden. Im Aufgabenteil b) entscheiden sich die Schüler für den richtigen Grundwert. Die gegebene Lösung soll richtig erläutert werden. Im Aufgabenteil c) wird der Zusammenhang zwischen Durchschnittsgeschwindigkeit und benötigter Zeit erkannt, erläutert und auf die Aufgabenstellung bezogen. Bei der Bearbeitung dieser Aufgabe weisen die Schüler und Schülerinnen vor allem Kompetenzen im Bereich „Mathematisch argumentieren“ nach. S. 5 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 2. Im Schaufenster steht ein Werbeplakat: Sonderverkauf nur heute! Alle Hosenpreise wurden um 15 % reduziert! Erika möchte eine Hose kaufen, wenn der Preis wirklich um mindestens 15 % reduziert wurde. Auf dem Preisschild liest sie: 67,85 € Neuer Preis: 57,00 € . Wird Erika die Hose kaufen? Begründen Sie durch Rechnung. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Der Preis wurde reduziert um 67,85 € – 57 € = 10,85 €. 10,85 p p = 15,99 67 ,85 100 Erika wird die Hose kaufen, weil sie um fast 16 % billiger geworden ist. II III 1 1 L1 K1 1 Die Aufgabe ist der Leitidee 1 „Zahl“ zugeordnet, weil sie mit Hilfe der Prozentrechnung bearbeitet werden muss. Außerdem müssen die Schülerinnen und Schüler ihr Ergebnis sinnvoll runden. Die Schwierigkeit dieser Aufgabe besteht darin, dass im Text einerseits ein Prozentsatz, andererseits ein Prozentwert gegeben ist. Die Schülerinnen und Schüler müssen sich entscheiden, ob sie den fehlenden Prozentwert oder den fehlenden Prozentsatz ermitteln und diesen anschließend mit dem gegebenen vergleichen. Es sind also verschiedene Wege möglich, um zur richtigen Lösung zu gelangen. Immer ist dazu eine sinnvolle, mehrschrittige Strategie nötig, die von den Schülerinnen und Schülern zuerst entwickelt werden muss. Das Ergebnis muss dann in Zusammenhang mit dem Aufgabentext gebracht werden und richtig interpretiert werden. Bei der Bearbeitung dieser Aufgabe weisen die Schüler und Schülerinnen vor allem Kompetenzen im Bereich „Mathematisch argumentieren“ nach. S. 6 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 3. Skizzieren Sie alle Möglichkeiten, wie ein quaderförmiges Stück Butter mit einem Schnitt in zwei gleich große Quader geteilt werden kann. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I (Je 1 Punkt für einen richtigen Schnitt.) Eine Skizze reicht aus. Die drei Schnitte können auch in drei einzelne Quader gelegt werden. Es kann eine andere Perspektive gewählt werden L3 II III K4 3 Die Aufgabe ist der Leitidee Raum und Form (L3) zugeordnet. Bei der Bearbeitung dieser Aufgabe sind Kenntnisse über die Eigenschaften von Körpern (hier Quader) nötig. Die Schülerinnen und Schüler müssen den Inhalt des Textes hinsichtlich der Begriffe und des gestellten Problems analysieren und in eine Skizze umsetzen. Das erfordert einerseits räumliches Vorstellungsvermögen und die Fähigkeit eine geeignete Darstellungsform auszuwählen, andererseits aber auch die Fähigkeit eine geeignete Skizze anzufertigen, in der die Überlegungen hinsichtlich der Art der Schnitte zum Ausdruck kommen (K4 ). Dabei müssen die Schülerinnen und Schüler beachten, dass die Schnitte sauber und entsprechend der Problemstellung (Entstehung gleich großer Quader) gezeichnet werden. S. 7 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 4. Zur Vorbereitung einer Studienfahrt der Klassen des 10. Jahrgangs erkundigen sich die Schülerinnen nach der Anzahl und der Größe der Mädchenzimmer, in denen sie untergebracht werden. Das Jugendhotel teilt mit, dass alle 53 Schülerinnen in genau 20 Zimmern untergebracht werden. Es sind Zweibett- und Dreibettzimmer dabei. a) Kreuzen Sie das Gleichungssystem an, das den Sachverhalt der Aufgabe richtig darstellt! I x + y = 53 II 2x + 3y = 20 I I x + y = 10 II 20x + 53y = 0 I 2x +3y = x + y x + y = 20 II 2x + 3y = 53 II 53 – 20 = 33 b) Schreiben Sie auf, wofür die Variablen x und y in dieser Aufgabe stehen. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) I x + y = 20 (Zweites Kästchen) II 2x + 3y = 53 b) x entspricht der Anzahl der Zweibett-Zimmer y entspricht Anzahl der Dreibett-Zimmer 1 1 II III K3 L4 K3 In dieser Aufgabe analysieren die Schülerinnen und Schüler vier lineare Gleichungssysteme und untersuchen, welches davon zur Lösung des Sachproblems genutzt werden könnte. Die Interpretation linearer Gleichungssysteme gehört zur Leitidee Funktionaler Zusammenhang. Die Schülerinnen und Schüler prüfen, ob das mathematische Modell (das lineare Gleichungssystem) zur beschriebenen Sachsituation passt (K3). Die Modellierung der Sachsituation in ein mathematischen Modell, das Gleichungssystem, ist mehrschrittig, die Schülerinnen und Schüler müssen Zusammenhänge herstellen. Deshalb ist der Aufgabenteil a) dem Anforderungsbereich 2 zuzuordnen. Die Zuordnung von Variablen zu Größen in einer Sachaufgabe, wie im Aufgabenteil b) gefordert, ist ein vertrautes, grundlegendes Verfahren und deshalb dem Anforderungsbereich 1 zuzuordnen. Die Aufgabe ist vor allem deshalb interessant, weil eine schülerrelevante Sachsituation modelliert wird. Die beschriebenen Situation könnte mit verschiedenen Lösungsverfahren bearbeitet werden, z.B. durch systematisches Probieren, graphisch, oder durch Aufstellen eines linearen Gleichungssystems. Nach üblicher Aufgabenstellung würden die Schülerinnen und Schüler aufgefordert, eine Lösungsstrategie zur Bearbeitung des Sachproblems zu finden und sie anzuwenden. In der vorliegenden Aufgabe wurde die Aufgabenstellung jedoch verändert. Die Schülerinnen und Schüler sollen das „klassische“ mathematische Lösungsverfahren (LGS) für Aufgaben dieser Art der beschriebenen Sachsituation zuordnen. Sie überprüfen den ersten Teil der Modellierung. Das Ergebnis, d.h. die Anzahl der Ein- und Zweibettzimmer, ist bei dieser Aufgabenstellung ohne Bedeutung. Bei dieser Art der Aufgabenstellung wird der Modellierungsschritt Sachsituation mathematisches Modell betont. S. 8 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 5. Jahr Einwohner Deutschlands in Millionen 1950 69,184 1970 78,070 1990 79,753 2000 82,183 2001 82,440 2002 82,537 a. Seit welchem Jahr ungefähr gibt es in Deutschland mehr Menschen, die mindestens 60 Jahre alt sind, als solche, die noch keine 20 Jahre alt sind? b. Wie viel Prozent der Einwohner Deutschlands 1990 waren jünger als 20 Jahre alt? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Als richtig gelten die Jahre von 1991 bis 1995. b) Nutzung der korrekt umgestellten Formel Berechnung: p = 21,7 Antwortsatz: 21,7 % waren 1990 jünger als 20 Jahre. 1 1 1 1 L5 II III K5 K4 L1 K2 K6 Bei dieser Aufgabe müssen gemäß der Kompetenz K5 (Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen umgehen) Daten aus verschiedenen Darstellungsformen (Tabelle, Graph) erfasst und bearbeitet werden. Gemäß der Leitidee L5 (Daten und Zufall) müssen diese Daten ausgewertet werden. Hierbei müssen wesentliche von unwesentlichen Daten (gemäß der Aufgabenstellung) getrennt und dann den Begriffen der Prozentrechnung (Prozentwert und Grundwert) zugeordnet werden. S. 9 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss Um zu einer Lösung des Aufgabenteils b) zu gelangen, müssen die Schülerinnen und Schülerin einem komplexen Zusammenhang Informationen entnehmen. Sie müssen Werte aus verschiedenen Darstellungen (Tabelle und Diagramm) zweckentsprechend ausgewählt und in der richtigen Formel anwenden. Deshalb ist dieser Teil der Aufgabe dem Anforderungsbereich III der Kompetenz „Mathematische Darstellungen verwenden“ zuzuordnen. Die konkrete Berechnung (L1: „Zahl“) muss durchgeführt und auf Plausibilität überprüft werden (K2: „Probleme mathematisch lösen“). Anschließend muss das Ergebnis fachsprachlich korrekt dokumentiert und verständlich dargestellt werden (K6: „Kommunizieren“). 6. Der Durchmesser des großen Kreises beträgt 4 cm. Berechnen Sie den Flächeninhalt der grau gefärbten Figur. Geben Sie das Ergebnis auf ganze cm 2 gerundet an. Lösungsskizze M2 M1 BE Leitidee M Kompetenzen im Anforderungsbereich I Die grau eingefärbte Figur entsteht dadurch, dass die Fläche des Halbkreises mit Radius r rechts durch einen r Halbkreis mit Radius ergänzt, links aber um einen 2 r Halbkreis mit Radius reduziert wird. 2 Der Flächeninhalt der Figur ist also genau so groß wie der Flächeninhalt des Halbkreises. 1 L3 A1 ist der Flächeninhalt des Halbkreises mit dem Radius 1 r = 2 cm: A1 = π · 2² 6,28 2 Der Flächeninhalt der Figur beträgt 6 cm². 1 L2 II III K2 In dieser Aufgabe werden inhaltsbezogene Kompetenzen der Leitideen L3 (Raum und Form) und L2 (Messen) überprüft. Zur Bearbeitung der Aufgabe müssen die Schülerinnen und Schüler Teilflächen gedanklich verschieben und eine Lösungsidee entwickeln. Diese Tätigkeit des Problemlösens stellt den Schwerpunkt der Aufgabe dar und kann dem Anforderungsbereich III zugeordnet werden, obwohl nicht mit Variablen operiert wird. Die Festlegung der Maßzahl für den Radius dient dazu, die Formulierung der Aufgabe zu vereinfachen. Das Berechnen des Flächeninhalts ist dann nur als Vervollständigung der Aufgabe anzusehen. S. 10 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss Beispielaufgaben nach Leitideen sortiert A. Aufgaben zur Leitidee Zahl (L1) 1. Trage jeweils die passende Geschwindigkeit in die Tabelle ein: 1,7 · 101 m/s 3 · 10–9 m/s 2,8 · 105 m/s 1,5 · 100 m/s Fußgänger Wachstum des Haares Brieftaube Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Fußgänger: 1,5 · 10° m/s Wachstum des Haares: 3 · 10–9 m/s Brieftaube: 1,7 · 101 m/s 2. Kennzeichne den richtigen Näherungswert für 5 ∙ a. 4,86 b. 14,22 3 1 1 1 L1 BE Leitidee II III K3 23 . c. 23,98 Lösungsskizze Kompetenzen im Anforderungsbereich I b 1 L1 II III K5 3. Gerda möchte den Computer „Superschnell“ kaufen. Er kostet im ersten Geschäft 2399,99 €, reduziert um 17 % Rabatt, im zweiten Geschäft 1999,99 €. a) Berechne den Endpreis für den Computer im ersten Geschäft. b) Wie viel spart Gerda bei dem günstigeren Angebot? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) im ersten Geschäft: 2399,99 € – 408,00 € = 1991,99 € b) Gerda spart 8 €. 1 1 L1 II III K2 4. Frau Müller bezahlt für ihr Handy 9,95 € Grundgebühr. Jede Einheit kostet 0,19 €. Im letzten Monat hat sie 124 Einheiten vertelefoniert. Wie viel musste sie bezahlen? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I 124 * 0,19 = 23,56 9,95 € + 23,56 € = 33,51 € , Antwortsatz 1 L1 II III K2 S. 11 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 3 5. Berechne 5 a. 5x · 4x 4 6 b. 24a : 4a Lösungsskizze 4 16 x 5 z 7 c. 25 z 8 x BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) b) c) 9 20x 6a5 3 2z 4 5x II III 1 1 Zahlen richtig gekürzt 1 Variable richtig gekürzt 1 L1 K2 6. Gaststätten verlangen Inklusivpreise. Sie werden so berechnet: Dem Preis der Ware zuzüglich 10 % Bedienungsgeld werden danach noch 16 % Mehrwertsteuer zugeschlagen. Frau Hinz muss eine Rechnung über 63,80 € bezahlen. Wie viel Mehrwertsteuer und wie viel Bedienungsgeld sind in dem Preis enthalten? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Rechnungsbetrag enthält 16 % MwSt: 116 % 63,80€ 100 % 55,00 €. Der Betrag von 55 € setzt sich aus 100 % Warenwert und 10 % Bedienungsgeld zusammen: 110 % 55 € 100 % 50 € Antwortsatz: Die Mehrwertsteuer beträgt 8,80 €, das Bedienungsgeld 5 €. 1 1 II III K3 K5 K3 1 1 L1 K5 K6 1 7. Inge möchte 1500 € bei der Bank für drei Jahre anlegen. Sie erhält zwei Angebote. A: Im ersten Jahr 2 %, im zweiten Jahr 3,5 % und im dritten Jahr 5 % Zinsen, immer mit Zinseszinsen. B: Gleichbleibend 3,5 % Zinsen über drei Jahre mit Zinseszinsen. a. Berechne, welches Angebot für Inge besser ist. b. Wenn man die Zinssätze addiert, erhält man bei A und B dasselbe Ergebnis: 10,5 %. Erkläre, warum trotzdem die Angebote verschiedene Ergebnisse haben. Erläutere, ob das immer so ist. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Ansatz, z. B. K1 = K0 + K0·p/100 (oder K0(1+p/100)) A: K3 = K0·1,02·1,035·1,05 = 1686,95 € B: K3 = K0·1,035³ = 1687,30 € Antwortsatz: Angebot B ist etwas besser. b) Die anfangs geringeren Zinsen werden später durch höhere nicht mehr ausgeglichen. Ja, der gleichbleibende (Durchschnitts-) Zinssatz ist immer vorteilhafter als variable Zinssätze. 1 1 1 1 1 1 II III K3 L1 K5 K6 K1 L4 K2 S. 12 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 8. Welchen Wert hat die Potenz 240 ? Markiere bei jedem Ergebnis, ob es richtig oder falsch ist: 1,099511628 · 1012 richtig falsch 12 1,099511628 richtig falsch 10,99511628 · 1011 richtig falsch Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I richtig, falsch, richtig 3x 1 L1 II III K5 9. Berechnen Sie und runden Sie das Ergebnis auf 2 Stellen nach dem Komma. 3,2 2 2 0,2 4,1 Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I 15,61 1 L1 II III K5 10. Im Schaufenster steht ein Werbeplakat: Sonderverkauf nur heute! Alle Hosenpreise wurden um 15 % reduziert! Erika möchte eine Hose kaufen, wenn der Preis wirklich um mindestens 15 % reduziert wurde. Auf dem Preisschild liest sie: 67,85 € Neuer Preis: 57,00 € . Wird Erika die Hose kaufen? Begründen Sie durch Rechnung. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Der Preis wurde reduziert um 67,85 € – 57 € = 10,85 €. 10,85 p , p = 15,99 67 ,85 100 Erika wird die Hose kaufen, weil sie um fast 16 % billiger geworden ist. II III 1 1 L1 K1 1 11. Paul geht ins Schwimmbad. Er weiß, dass er für 3 Stunden 6 € zahlen muss. Wenn er nicht pünktlich aus dem Bad kommt, muss er pro Minute, die er zu spät ist, 5 Cent nachzahlen. Leider hat er heute wieder ziemlich getrödelt; er war 14 Minuten zu spät. Wie viel Euro muss er insgesamt bezahlen? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I 6 € + 0,05 € *14 = 6,70 €; er musste 6,70 € bezahlen. 1 L1 II III K2 S. 13 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 12. Uli hat drei CDs weniger als Anja, und Bernd hat viermal so viele CDs wie Uli. Mara sagt: "Egal wie viele CDs Uli hat - wenn er drei weniger als Anja hat und Bernd viermal so viele wie Uli, dann ist die Gesamtzahl der CDs bestimmt ungerade." Hat Mara Recht? Begründen Sie Ihre Meinung! Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Mara hat recht. Wenn Uli x CDs hat, dann gilt: x + (x + 3) + 4x = 6x + 3 6x ist für alle x N eine gerade Zahl; die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl ist stets ungerade. II L1 III K2 1 13. Einige Freunde, darunter Erika und Marco, gewinnen im Lotto 4270 €. Der Gewinn wird nach den Einsätzen verteilt: Erika erhält 40 % und Marco 37,5 %. a) Berechnen Sie, wie viel Geld Erika erhält. b) Berechnen Sie, wie viel Geld Marco erhält. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Erika: 4270 0,4 € = 1708 € b) Marco: 4270 € · 0,375 = 1601,25 € 14. Berechne 1 1 L1 BE Leitidee 1 1 1 L1 L1 L1 III K2 a) 17² = b) 5 * 27 = c) 225000 . .000 = Lösungsskizze Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) 17² = 289 b) 5 * 27 = 5 * 128 = 640 c) 225000 . .000 = 15.000 15. II II III K2 K2 K2 2 125 wird in einen Taschenrechner eingegeben. Er gibt als Ergebnis 5 die Zahl 10 an. Schreibe die notwendigen Umformungsschritte auf, die ohne Taschenrechner erforderlich wären. Der Term Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I z.B. 2 125 2 5 5 10 5 5 1 L1 II III K2 S. 14 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss B. Aufgaben zur Leitidee Messen (L2) 16. Berechne die Länge der Strecke AB mit A (–1| 2) und B (2 | –3). y 6 5 4 3 A 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 x -1 -2 -3 B Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Verdeutlichen, dass der Satz des Pythagoras benutzt werden kann, z. B. durch Ergänzung der Zeichnung um C(2|2) bzw. C’(-1|-3) oder durch korrekte Erläuterung. 2 2 2 AB AC BC = 3² + 5² = 34; AB 5,8 17. II III 1 L2 K2 1 Ein Würfel aus Knetmasse mit der Kantenlänge a = 10 cm wird vollständig zu einer Kugel umgeformt. Wie groß ist der Radius der entstehenden Kugel und wie groß sind die Oberflächen der beiden Körper? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Ansatz VW = VKu: 1000 = 4/3·πr³ Auflösen: r 6,2 (in cm) OKu = 4πr² ≈ 483 (in cm²) OW = 6a² = 600 (in cm²) Antwortsatz: Die Oberfläche des Würfels beträgt 600 cm², die der Kugel mit r 6,2 cm beträgt ca. 483 cm². 1 1 1 1 1 II III K3 K5 L2 K5 K6 S. 15 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 18. Suse wird in die erste Klasse eingeschult. Die Schultüte will ihre Mutter selber aus Pappe basteln. Die kegelförmige Tüte soll eine Höhe von 70 cm und oben an der Öffnung einen Durchmesser von 20 cm haben. Fertige eine Skizze an. Wie viel Quadratmeter Pappe werden ohne Berücksichtigung von Klebeflächen benötigt? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Skizze Die Fläche des Kegelmantels muss berechnet werden: M = π · r · s, gegeben: h, d = 2r Berechne s mit dem Satz des Pythagoras: s² = r² + h² s = 10,7 (in cm) M π · 10 · 70,7 2221 (in cm²) Antwortsatz: Zur Herstellung der Schultüte benötigt die Mutter ungefähr 0,22 m² Pappe. 19. III 1 K3 1 1 1 1 L2 K5 K6 1 Gegeben ist ein Dreieck mit γ = 90°, α = 55° und b = 5 cm. Bestimme die fehlenden Seitenlängen und Winkelgrößen. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I β = 180° – (90° +55°) = 35° (oder β = 90° – 55° = 35°) Das Dreieck ist rechtwinklig: cos(α) = b/c c = 8,7 cm sin(α) = a/c a = c·sin(α) = 7,1 cm (Andere Wege sind möglich) 20. II 1 1 1 1 1 II III K2 L2 K5 K2 K5 Von einem Platz gehen unter einem Winkel von 55° zwei geradlinige Sackgassen von 380 m und 490 m Länge aus. Das Ende der Sackgassen soll durch einen geradlinigen Radweg verbunden werden. Fertige eine Skizze an. Welche Länge wird der Weg haben und in welchem Winkel trifft er auf die kürzere Sackgasse? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Skizze Kosinussatz: x² = 380² + 490² – 2·380·490·cos(55°) x ≈ 413,4 sin( 55) sin( ) Sinussatz: 413,4 490 γ ≈ 76° Antwortsatz: Der Radweg hat eine Länge von 413,4 m und trifft in einem Winkel von 76° auf die kürzere Sackgasse. 1 1 1 L2 II III K3 K5 K3 1 1 K5 K6 1 S. 16 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 21. Die Theater-AG will das Märchen „Der Froschkönig“ aufführen. Dafür wird eine Goldkugel gebraucht. Fritz soll deshalb eine Holzkugel (d = 15 cm) mit goldener Farbe anstreichen. Damit die Farbe richtig deckt, muss er sie zweimal auftragen. Im Farbengeschäft gibt es Dosen, deren Inhalt für 20 dm² reicht, zum Preis von 14,95 € und Dosen für 5 dm² zum Preis von 4,95 €. Berechne und gib eine Kaufempfehlung ab. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Kugeloberfläche: O = 4πr² 706,9 cm² Zwei Anstriche: 2 · O = 1413,8 cm² 1413,8 cm² = 14,138 dm² Möglichkeit 1: eine große Dose für 14,95 € Möglichkeit 2: 3 · 5dm² = 15 dm², drei kleinen Dosen für 3 · 4,95 € = 14,85 € Antwortsatz: Fritz soll die große teuere Dose kaufen. Sie kostet nur 10 Cents mehr und die Farbe ist nicht so knapp. Oder: Fritz soll drei kleine Dosen kaufen.. 22. 1 1 1 II K3 K2 L2 1 K5 1 K6 Im Märchen „Der Froschkönig“ spielt eine Königstochter Fangen mit einer Kugel aus g Gold (Dichte = 19,3 ) . Ist das möglich, wenn es sich dabei um eine massive Kugel cm ³ mit einem Durchmesser von 10 cm handelt. Begründe! Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Kugelvolumen mit r = 5 cm berechnen V = 523,600 cm³ Masse berechnen und in kg angeben: Masse = 10,105 kg Entscheidung und Begründung: Es ist nicht möglich, weil die Kugel zu schwer ist. 23. III 1 1 1 1 BE K2 K1 Leitidee (Skizze nicht maßstäblich) 51 cm 90 cm 1m Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Lösungsansatz: Zerlegung des Körpers in Teilkörper z. B. V1=100 · 90 · 17, V2 =100 · 60 · 17, V3 =100 · 30 · 17 Gesamtvolumen V = 306000 cm³ ( 0,31 m³) Masse m = 306000 · 2,1 g = 642600 g Antwortsatz: Die Treppe wiegt 642,6 kg. b) Treppenfläche: A = 1 · (0,9 + 0,51) m² 1,41 m² 1 1 1 1 1 1 III L2 Eine rechtwinklige Treppe mit drei gleich hohen Stufen und den angegebenen Maßen wird in einem Stück aus Beton gefertigt. a) Wie schwer ist die Treppe, wenn die Dichte g des verwendeten Betons 2,1 3 beträgt. cm b) Die Treppe wird mit einem Teppich belegt. Berechne die Fläche des Teppichs. Lösungsskizze II II III K3 K5 L2 K6 K6 S. 17 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss x 24. In der abgebildeten Figur haben zwei Seiten die Länge x. Formulieren Sie zuerst eine Gleichung und rechnen Sie dann x aus! Lösungsskizze x 8 cm 60 cm² BE Leitidee 4 cm Kompetenzen im Anforderungsbereich I 60 cm² = x · 4 cm + x · 8 x = 5 cm 25. oder: 60 = 4x + 8x x = 5 (in cm) 1 1 II III K5 L2 Von einem gleichschenkligen Trapez ABCD sind gegeben: a = 5,3 cm, b = 7,2 cm und = 64,2° Berechne die Länge der Strecke AF . Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Es gilt ADF (Das Trapez ist gleichschenklig) Das Dreieck AFD ist rechtwinklig. sin III 1 1 AF 1 AD 26. II AF AD sin 1 AF 6,5 cm 1 L2 K2 Die Ortschaft Althausen (A) ist von den Orten Birnbach (B) und Ceheim (C) durch einen Fluss getrennt. Um die Entfernungen (Luftlinie) von Althausen nach Birnbach und von Althausen nach Ceheim zu bestimmen, misst man die Entfernung von Birnbach nach Ceheim. Sie beträgt 5735 m. Weiter misst man folgende Winkel: ACB = 50° und CBA = 74°. Berechne die Entfernung von Althausen zu den beiden anderen Ortschaften. Vergiss die Skizze nicht. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Skizze Innenwinkelsatz: α = 180° – ( 50° + 74°) = 56° Berechnungen mit dem Sinussatz sin 56 sin 50 , AB 5300 5735 AB sin 56 sin 74 , 5735 AC 1 1 1 III K3 K5 K3 1 L2 AC 6650 Der Weg von Althausen nach Birnbach beträgt ca. 5300 m und der Weg von Althausen nach Ceheim etwa 6650 m. (Kleine Abweichungen durch Rundungen sind möglich.) II K5 1 K6 1 S. 18 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 27. In einer Großküche gibt es zum Verteilen von Suppe eine halb-kugelförmige Schöpfkelle mit einem Durchmesser von 13 cm. a) Wie viel Kubikzentimeter Suppe passen annähernd in diese Kelle? Runden Sie auf eine ganze Zahl. b) Geben Sie Ihr Ergebnis in Litern an. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Volumen der Halbkugel VHK mit r d 2 = 6,5 cm 2 2 VHK r 3 ; VHK 6,53 ; VHK 575,17 3 3 In die Schöpfkelle passen ungefähr 575 cm³ Suppe. b) 575 cm³ = 0,575 dm³ = 0,575 l 28. III 1 1 L2 1 1 K3 K5 Bestimmen Sie den Steigungswinkel der Straße auf Grund der Prozentangabe. Runden Sie auf volle Grad. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I tan( ) 23 1 100 13 29. II L2 II III K2 1 Bei einem Sturm wurde eine Kiefer 3,5 m über dem Boden abgeknickt, wobei die Baumspitze 11,9 m vom Stamm entfernt aufschlug. Berechnen Sie, wie hoch die Kiefer war. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I x² = (3,5m)² + (11,9m)² x = 12,4m Die Kiefer war 15,9 Meter hoch. 1 1 1 L2 II III K3 S. 19 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 30. Ein Tennisverein baut für den Spielbetrieb in den Wintermonaten eine Traglufthalle in Form eines halben Zylinders. Die Halle ist 10 m breit und 60 m lang. Berechnen Sie die Größe des Innenraumes. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Die Halle hat die Form eines halben Zylinders mit r = 5 m und h = 60 m. 1 1 VHZ r 2 h ; VHZ 5 2 60 ; 2 2 VHZ 2356,19 Die Halle hat ein Volumen von ungefähr 2356 m³. 31. 1 L2 III K3 1 1 Eine Regenrinne aus Blech hat die Form eines halben Zylinders. Der innere Durchmesser beträgt 15 cm. a) Wie viel Liter Wasser fasst die Rinne pro 1 m Länge? b) Um wie viel Prozent erhöht sich die Aufnahmefähigkeit der Rinne pro 1 m Länge, wenn der Durchmesser um 5 cm vergrößert wird? Lösungsskizze BE a) Volumen des halben Zylinders (r=7,5 cm , h=100 cm) in Liter angeben V1 = 8,836 l b) Volumen des halben Zylinders (r=10 cm, h=100 cm) in Liter angeben V2 = 15,708 l 1 Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Berechnung des Prozentsatzes (z.B. 15,708 1,78 ) 8,836 Erhöhung der Aufnahmefähigkeit um 78% 32. II L2 II III K3 1 1 1 K3 1 1 Gegeben sei ein Dreieck mit = 90°, = 55° und c = 7,9 cm. Bestimme die fehlenden Größen (Winkel und Seiten). Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I = 180° - ( 90° +55°) = 35° oder = 90° - 55° = 35° sin = a ; c a = c* sin b cos = ; c II III 1 1 1 = 6,5; a = 6,5 cm b = c*cos = 4,5; b = 4,5 cm diverse andere Wege möglich 1 1 L2 K1 S. 20 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 33. Beim Umzug soll eine Gardinenstange von 3,75 m Länge in einem Transportfahrzeug untergebracht werden. Das Fahrzeug hat einen quaderförmigen Laderaum mit den Innenmaßen: Länge 2,50m, Breite 1,90 m und Höhe 1,90 m. Passt die Stange in den Aufbau? Vergiss die Skizze nicht. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Skizze: Schrägbild eines Quaders mit Flächendiagonale und Körperdiagonale d b a und den erforderlichen Beschriftungen. a Handskizze genügt. Berechnung der Länge von d1 mit dem Satz von d2 c II 2 III K4 1 Pythagoras: d1 = a b 2 d1 = 2,5 2 1,9 2 d1 = 3,14 Berechnung der Länge von d2 mit dem Satz des Pythagoras: d2 = K2 1 L2 1 d1 c 2 2 d2 = 3,14 2 1,9 2 d2 = 3,67 Die Stange passt nicht in den Aufbau des Autos. 34. 1 2 1 1 Von einem gleichschenkligen Trapez ABCD sind gegeben: a = 5,3 cm, b = 7,2 cm und = 64,2° Berechne die Länge der Strecke AF . Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I liegt auch bei D bzw. ADF 1 AFD ist ein rechtwinkliges Dreieck. 1 sin = AF 1 , AD AF = AD *sin AF = 6,5 cm L2 II III K2 1 1 S. 21 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 35. Die Holme einer Stehleiter sind 2,50 m lang. Beim Aufstellen bilden die Holme einen Winkel von 45°. Wie hoch reicht die Leiter? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I cos = 2 h l III 1 h = 2,50* cos 45 2 1 h = 2,31 Die Leiter reicht 2,31 m hoch. Lösung auch mit Kosinussatz und Pythagoras möglich. 36. II L2 K3 1 1 Für den Bau eines Skiliftes zwischen den Stationen A und C liegen folgende Vermessungsergebnisse vor: AB hat eine Länge von 762 m, = 29°, = 8° und = 160° a) Berechne die Länge des Skiliftes ( AC ) und den Höhenunterschied, den der Lift überwindet. b) Der Lift soll in 10 Sekunden durchschnittlich 17 Meter zurücklegen. Wie lange wird eine Fahrt mit dem Lift dauern? Gib das Ergebnis in Minuten an. C A B Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Im Dreieck ABC gilt = 180° - ( 160° + 8° ) = 12 ° AB sin AC AB sin III 1 1 sin AC = II sin = 510,07 Die Länge des Skiliftes beträgt 510,07 m. sin = h AC h = AC *sin Der Lift überwindet einen Höhenunterschied von 247,29m. b) Der Lift legt in einer Minute 6* 17 m = 102 m zurück. 510,07 m : 102 m = 5,00. Der Lift benötigt 5 Minuten. 1 1 L2 K2 1 1 1 1 1 1 L3 K5 K5 K2 S. 22 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss C. Aufgaben zur Leitidee Raum und Form (L3) 37. Familie Meiers Grundstück mit Haus, Bäumen, Hecke usw. wurde von oben gezeichnet. Markiere den Buchstaben der Ansicht (a, b oder c), die zum Grundstück von Familie Meier gehört. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I b 38. 1 L3 II III K4 Eine Gruppe von drei Pyramiden wird von oben betrachtet. Welche Pyramidengruppe (a, b oder c) ist es? Markiere den Buchstaben. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I c 1 L3 II III K4 S. 23 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 39. Begründe, warum es nicht möglich ist, Dreiecke mit Winkeln der Größe α = 73,5°, β = 30° und γ = 81,5° zu konstruieren. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Die Winkelsumme in Dreiecken beträgt 180°, hier aber nicht, denn: 73,5° + 30° + 81,5° > 180°. 40. 1 L3 III K1 Begründe, warum es nicht möglich ist, ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 10 cm, b = 3 cm und c = 4 cm zu konstruieren. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Anschauliche, geometrische Begründung, Skizze und Text oder Dreiecksungleichung ist nicht erfüllt 3 + 4 < 10 o. ä. 41. II 1 L3 II III K1 Ein gleichschenkliges Dreieck soll den Winkel α = 28° und die Grundseite c = 7 cm haben. Fritz und Liese sollen das Dreieck konstruieren. Liese sagt: „Wir bekommen keine eindeutige Lösung. Uns fehlt die Angabe eines Winkels.“ „Stimmt nicht“, erwidert Fritz, „wir haben alle notwendigen Angaben.“ Wer hat Recht? Begründe! Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Fritz hat Recht (ggf. auch per Zeichnung ersichtlich) Im gleichschenkligen Dreieck sind Basiswinkel gleich. Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar. 42. II III 1 L3 K6 1 Fritz und Liese üben für die Mathematikarbeit. Fritz fordert Liese auf: „Konstruiere ein Parallelogramm mit = 70° und = 85° und …“ „Halt!“, ruft Liese, „das geht doch nicht.“ Hat Liese Recht? Begründe! Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Liese hat Recht Nebenwinkel im Parallelogramm ergänzen sich zu 180°. 70° + 85° = 155° < 180° II III 1 L3 K6 1 S. 24 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 43. Von einem Dreieck sind die Koordinaten der Eckpunkte gegeben: A (–1|3), B (3|3), C (3|6). Berechnen Sie (also bitte nicht messen!) a) den Flächeninhalt des Dreiecks, b) den bei A liegenden Winkel . c) Geben Sie die Gleichung der Funktion an, deren Graph den Winkel bei B im Dreieck ABC halbiert. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I 1 AB BC b) tan( ) BC AB K4 1 3 1 4 36,9 c) m = –1, f(x) = –x + 6 44. III 1 43 6 , 2 2 denn das Dreieck ABC ist rechtwinklig. a) A = II L2, L3 K4 1 1 K2 Gegeben sind die Punkte A (–3|3) und B (5|3). a) Bestimmen Sie einen Punkt C so, dass die Punkte A, B und C ein gleichschenkliges Dreieck ergeben. b) Berechnen Sie alle Innenwinkel des entstandenen Dreiecks. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) (Alle Punkte auf der Geraden zu x = 1 bis auf (1|3) sind möglich. Es ergeben sich jeweils verschiedene Winkelgrößen) Wahl einer korrekten Lösung, z. B. C (1|0). b) Rechnung für C(1|0): tan II III 1 3 4 36,9 36,9 180 36,9 36,9 106,2 (Mit C (1|7) oder C (1|–1) ergeben sich rechtwinkliggleichschenklige Dreiecke, was die Winkelberechnung vereinfacht. Trotzdem ist die volle Punktzahl zu vergeben.) L3 K2 1 1 1 S. 25 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 45. Fritz behauptet: „Der Satz des Pythagoras ist nichts anderes als ein Spezialfall des Kosinussatzes.“ Hat er Recht? Begründen Sie Ihre Meinung. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Fritz hat recht. Der Spezialfall ist das rechtwinklige Dreieck. Ein Winkel ist 90° groß, z. B. . Es gilt: cos(90) 0 . Es ergibt sich im Kosinussatz c 2 a 2 b 2 2ab cos(90) a 2 b 2 0 , und das ist der Satz des Pythagoras. 46. II III 1 L1, L3 K1 1 1 Bestimmen Sie, unter welchem Winkel die Gerade g mit der Gleichung y = 1 x + 1 die 3 x-Achse schneidet. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I tan = 1 1 3 = 18,4 ° 47. 1 L1, L3 II III K1 In welchem Verhältnis stehen der Flächeninhalt eines Quadrates zu dem eines Kreises, wenn ihre Umfänge übereinstimmen? Begründen Sie. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a: Seitenlänge des Quadrats, r: Radius des Kreises. r Bei Umfangsgleichheit gilt: 4a 2r a 2 Mit Hilfe dieses Zwischenergebnisses ergibt das Verhältnis der Flächeninhalte von Quadrat und Kreis: a 2 2r 2 r ² 4r ² 0,785 4 1 II III 1 L3 K2 1 1 S. 26 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 48. Die Seitenlängen eines Quadrats bzw. die Kantenlängen eines Würfels werden jeweils mit a bezeichnet. 6a2 a4 a2 4a a3 12a Welcher der oben angegebenen Terme passt für das Volumen des Würfels ....................... den Flächeninhalt des Quadrats ....................... den Umfang des Quadrats ....................... die Oberfläche des Würfels ....................... die Gesamtlänge der Würfelkanten? ....................... Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I 3 2 2 a , a , 4a , 6a , 12a 49. je eine Bewertungseinheit 5 L3 II III K5 Ein Haus wurde von oben fotografiert (Draufsicht). Um welches Haus (a, b, c, oder d) handelt es sich? a b d c Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Haus d wurde fotografiert. 1 L3 II III K4 S. 27 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 50. a) Welcher Körper entsteht beim Zusammenfalten der Abwicklung? b) Welche weiteren Größen brauchst du zur Berechnung des Volumens und wie erhältst du sie? (Alle Strecken haben die Länge a.) a a a Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Es entsteht eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche. b) Benötigt wird die Körperhöhe. Satz von Pythagoras zweimal anwenden! 51. Höhe hs in der Seitenfläche – gleichseitiges Dreieck – bestimmen Körperhöhe mit hs und 1 a bestimmen 2 1 1 1 1 Muss nicht angegeben werden. II III K4 K2 L3 Begründe , dass es nicht möglich ist, ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 10 cm, b = 3 cm und c = 4 cm zu konstruieren. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Mehrere Begründungen sind möglich: - eine anschaulich, geometrische Begründung, Skizze und Text („Die Seiten treffen sich nicht.“) __________________________________________ oder: - Dreiecksungleichung gilt nicht, z.B. 3 cm + 4 cm < 10 cm _________________________________________ oder: - Begründung über den Kosinussatz, z.B. 10² = 3² + 4² - 12 cos - 75 = cos II III 1 2 L3 K1 12 - 75 gehört nicht zum Wertebereich der 12 Kosinusfunktion. S. 28 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 52. a) Aus welchen Körpern besteht ein zusammengesetzter Körper, dessen Volumen mit der 1 2 Formel V r 2 h r 3 berechnet wurde? 3 3 b) Skizziere einen solchen zusammengesetzten Körper (mehrere Möglichkeiten). c) Nenne einen Gegenstand, der diese Form hat. Lösungsskizze Leitidee BE Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Kegel und Halbkugel mit gleichem Radius b) Handskizze genügt, Kegel und Halbkugel mit gleichgroßen Radien müssen erkennbar sein. c) Stehaufmännchen, Senklot, Boje, Eistüte mit Eishalbkugel .... (Ein Gegenstand genügt.) 53. II III 1 2 L3 K4 1 a) Ordne jeder Gleichung ein entsprechendes Dreieck zu! b) Begründe deine Entscheidung! 1 2 3 b b a a c c Es gilt = . c 4 b a a c b Gleichung Dreieck c² = a² + b² U = 2a + c a b sin sin Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) c² = a² + b² gilt im Dreieck 4 u = 2a + c gilt im Dreieck 1 a b gilt im Dreieck 2 oder 1 oder 4 sin sin b) zu 1) Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck zu 2) Im gleichschenkligen Dreieck gilt a = b. zu 3) a und , b und liegen sich gegenüber, also gilt der Sinussatz. 1 1 1 II III K4 1 L3 K1 1 1 S. 29 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 54. Gegeben ist ein Rechteck mit den Seiten a = 24 cm und b = 7 cm. Fritz und Liese sollen die Diagonalen und die Winkel berechnen, die die Diagonalen mit den Seiten a und b bilden. b a Skizze nicht maßstabsgerecht a) Fritz und Liese kommen bei der Berechung einer Diagonalen zu verschiedenen Ergebnissen. Wer rechnet richtig? Begründe! Fritz d = 24² 7² d = 625 d = 25 Liese d² = 24² + 7² d = 24 + 7 d = 31 b) Fritz stöhnt: „Das ist ja eine lange Aufgabe. Wir müssen zwei Diagonalen und acht Winkel berechnen!“ Liese meint, dass nur eine Diagonale und zwei Winkel berechnet werden müssen. Wer hat Recht? Begründe! Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Fritz rechnet richtig. Begründung: Liese löst die Gleichung falsch auf. (zieht gliedweise aus einer Summe die Wurzel) b) Liese hat Recht. Begründung z.B. durch: „Im Rechteck sind die Diagonalen gleichlang. Eine Diagonale teilt das Rechteck in zwei kongruente Dreiecke.“ 55. 1 1 L1 1 2 L3 II III K5 K5 K2 K2 Von einem beliebigen Dreieck sind die Seiten b und c und der eingeschlossene Winkel gegeben. Beschreibe, wie du vorgehen würdest, um die Seite a und die beiden anderen Winkel zu berechnen. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I - Seite a mit Hilfe des Kosinussatzes 1 - zweiter Winkel mit Hilfe des Sinus- oder Kosinussatzes 1 - dritten Winkel über Summe der Innenwinkel im Dreieck oder mit Hilfe des Sinus- oder Kosinussatzes Von den Schülerinnen und Schülern wird nur ein Weg erwartet. 1 L3 II III K2 K6 S. 30 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss D. Aufgaben zur Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L4) 56. In der Abbildung ist dargestellt, wie sich die Wasserhöhe in einer Badewanne im Laufe der Zeit ändert. Beschreibe den dargestellten Verlauf in Form einer Geschichte. Alternative Aufgabenstellung: Beschreibe den dargestellten Verlauf in Form einer Geschichte, die möglichst alle Änderungen des Zulaufs berücksichtigt. Gib dabei immer den jeweiligen Zeitabschnitt an, den du gerade beschreibst. Lösungsskizze Richtige Zeitintervalle und sinnvolle Berücksichtigung der Steigung für 11 Intervalle Beispiel: „In den ersten 10 Minuten lässt Hugo gleichmäßig Wasser einlaufen.“ 57. BE Leitidee 11 L4 BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I II K4 K6 III Löse die Gleichungen. a) 15x + 4 = 5x – 66 2 3 b) 2x - = (Rechne mit Brüchen.) 3 4 Lösungsskizze Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) 10x = - 70 x=-7 17 b) 2x = 12 17 x= 24 II III 1 1 1 L4 K5 1 S. 31 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 58. Fritz hat als Lösung der Gleichung z = 6 errechnet. Überprüfe sein Ergebnis. z Gleichung: 5z – 3 = 30 2 Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I z wird eingesetzt: 5*6 – 3 = 30 – 3 27 = 27 Wahre Aussage; die Lösung ist richtig. (Es ist auch zugelassen die Gleichung zu lösen.) 59. III 1 L4 K2 Gegeben sind die beiden Funktionen f und g mit f(x) = x2 –1 und g(x) = 2x +2 a) b) c) d) e) Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von f mit der x-Achse! Überprüfe, ob der Punkt P(16|257) auf dem Graphen von f liegt. In welchen Punkten schneiden sich die beiden Graphen? Wie groß ist die Steigung des Graphen von g ? Ist einer der beiden Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung? Lösungsskizze BE N1(-1|0) und N2(1|0) 16² –1 = 255 257; P Gf S1(-1|0) und S2(3|8) (Auch grafische Lösung zulässig.) m=2 Gf ist achsensymmetrisch zur y-Achse. 2 1 2 1 1 Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) b) c) d) e) 60. II 1 L4 II III K5 K2 K2 K5 K2 Familie Schmied (2 Erwachsene und drei Kinder) besucht eine Zirkusvorstellung. Sie bezahlen 57 € Eintritt. Familie Meier mit 3 Erwachsenen und einem Kind bezahlt 54 € für Eintrittskarten der gleichen Preisklasse. Wie viel muss Frau Kleine für sich und ihre achtjährige Tochter bezahlen? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Variablen festlegen und Gleichungssystem aufstellen I 2E + 3K = 57 II 3E + 1K = 54 Gleichungssystem lösen, z.B. rechnerisch mit Einsetzungs-, Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren 1. Variable berechnen 2. Variable berechnen E = 15, K = 9 Gesamtpreis für Familien Kleine ausrechnen und Antwortsatz: z.B. Frau Kleine muss 24 € bezahlen. 1 1 L4 II III K3 K2 2 1 1 1 S. 32 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 61. Ordne die Funktionsgleichungen soweit möglich den dargestellten Graphen zu. 1 3 1. f(x)=3x + 2 2. f(x)= x 2 3. f(x)=+ x 2 2 6. f(x)= - sin x 7. f(x)= 3x 2 8. f(x)=cos x 4. f(x)= 3x 2 9. f(x)= 5. f(x)= x 2 2 1 x2 A B C D E F G H Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I A1, B3, C2, D6, E8, F10, G5, H9 je eine Bewertungseinheit 62. Löse die Gleichung 5z – 3 = 30 – Lösungsskizze 8 63. Löse die Gleichung 5z – 2 = 40 – Lösungsskizze III K4 Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich z in der Grundmenge Q. 2 BE 1 L4 II III K2 z in der Grundmenge Q. 4 BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I z=8 II L4 I z=6 1 x 10. f(x)= 1 L4 II III K2 S. 33 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 64. a) Bestimme die Steigung m der Geraden g. b) Begründe: Für den Steigungswinkel gilt Berechne den Steigungswinkel. tan = m . y 6 g 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 x -1 -2 -3 Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I II III K5 a) m = 3 1 2 b) m ist im Steigungsdreieck definiert als y ya m = y = b . x xb x a Und im rechtwinkligen Dreieck ABC gilt tan = yb y a . xb x a tan = 3 = 56,3° K1 1 1 L4 1 K5 2 65. Für eine Vereinskasse wird Geld eingesammelt. Die Vereinsmitglieder geben nur 5-€und 10-€-Scheine. Schließlich ist mit 27 Geldscheinen ein Betrag von 210 € zusammen gekommen. Wie viele 5-€-Scheine und wie viele 10-€-Scheine sind in der Kasse? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a: Anzahl der 10-€-Scheine, b: Anzahl der 5-€-Scheine Ansatzgleichungen: a + b = 27; 10a + 5b = 210 Bestimmung von a: a = 15 Bestimmung von b: b = 12 Antwortsatz: Es sind 15 10-€- und 12 5-€-Scheine darin. 1 1 1 1 1 II III K3 L4 K5 K6 S. 34 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 66. In der Abbildung siehst du vier Möglichkeiten a bis d, wie die Fahne an ihrem Mast hochgezogen werden kann. a a. Ergänze zu den Sätzen den Buchstaben für die jeweils passende Abbildung: Höhe „Die Fahne wird immer langsamer hochgezogen“ gehört zur Abbildung . . . . . . b „Die Fahne wird immer schneller hochgezogen“ gehört zur Abbildung . . . . . Höhe Zeit c „Die Fahne wird mit gleichbleibender Geschwindigkeit hochgezogen“ gehört zur Abbildung . . . . . b. Bei welcher Möglichkeit wurde die Fahne am schnellsten hochgezogen? ....... Höhe d Zeit Zeit Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Satz 1 Abb. c) b) bei d) 67. Satz 2 Abb. d) Satz 3 Abb. b) 3 1 L4 II III K4 Inge möchte 1500 € bei der Bank für drei Jahre anlegen. Sie erhält zwei Angebote. A: Im ersten Jahr 2 %, im zweiten Jahr 3,5 % und im dritten Jahr 5 % Zinsen, immer mit Zinseszinsen. B: Gleichbleibend 3,5 % Zinsen über drei Jahre mit Zinseszinsen. a. Berechne, welches Angebot für Inge besser ist. b. Wenn man die Zinssätze addiert, erhält man bei A und bei B dasselbe Ergebnis: 10,5 %. Erkläre, warum trotzdem die Angebote verschiedene Ergebnisse haben. Erläutere, ob das immer so ist. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Ansatz, z. B. K1 = K0 + K0·p/100 (oder K0(1+p/100)) A: K3 = K0·1,02·1,035·1,05 = 1686,95 € B: K3 = K0·1,035³ = 1687,30 € Antwortsatz: Angebot B ist etwas besser. b) Die anfangs geringeren Zinsen werden später durch höhere nicht mehr ausgeglichen. Ja, der gleichbleibende (Durchschnitts-) Zinssatz ist immer vorteilhafter als variable Zinssätze. 1 1 1 1 II III K3 L1 K5 K6 1 K1 L4 1 K2 S. 35 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 68. Liese fährt mit ihrem Mofa. Die Abbildung zeigt die Geschwindigkeit während der Fahrt. Geschwindigkeit in km/h a. Wie lange war sie unterwegs? b. Erzähle, was in der Zeit zwischen 10.10 Uhr und 10.11 Uhr passiert sein könnte. c. Mit welcher Geschwindigkeit fuhr Liese um 10.05 Uhr? d. Gib eine Uhrzeit an, zu der Liese auf dieser Fahrt die höchste Geschwindigkeit hatte. 50 40 30 20 10 10.00 Lösungsskizze 10.10 BE 10.20 Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Antwortsatz: Liese war ca. 20 Minuten unterwegs. b) Plausible Erklärung: Halt an einer Ampel, Pause,... c) Um 10.05 Uhr hatte sie eine Geschwindigkeit von 31 km/h. d) Angabe einer Uhrzeit zwischen 10.14 und 10.18 Uhr 69. 1 1 III K4 K5 L4 1 K4 1 BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I z. B. x: Anzahl der Autos, y: Anzahl der Fahrräder Ansatzgleichungen: x + y = 52; 4x + 2y = 192 Bestimmung von x: x = 44 Bestimmung von y: y = 8 Auf dem Parkplatz sind 44 Autos und 8 Fahrräder. II Auf dem Schulparkplatz wurden Autos und Fahrräder abgestellt, zusammen sind es 52 Fahrzeuge. Kai zählt insgesamt 192 Räder. Reserveräder hat er nicht mitgezählt. Wie viele Autos und wie viele Fahrräder stehen auf dem Parkplatz? Lösungsskizze 70. Uhrzeit 1 1 1 1 1 II III K3 L4 K5 K6 Kreuzen Sie die richtige Lösung der Gleichung 58 3 5x 6 40 7x 20 an. x = – 7 x = 4 x = – 2,5 Lösungsskizze x=7 BE x = 2,5 Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I x = 7 (vorletztes Kästchen) 1 L4 II III K5 S. 36 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 71. Paul geht morgens zu Fuß zur Schule. In den Diagrammen ist sein Schulweg als Zuordnung dargestellt: Zeit in Minuten Entfernung von zu Hause in Metern. Entfernung in m Entfernung in m 500 500 100 100 1 Zeit in Minuten Entfernung in m Entfernung in m 500 500 100 100 1 a) b) c) Zeit in Minuten 1 Zeit in Minuten Zeit in Minuten 1 Wie weit ist die Schule von Pauls Wohnung entfernt? Welche Geschichte passt zu welchem Diagramm? 1. Paul ist kaum aus der Wohnung, da stellt er fest, dass er seinen Mathe-Hefter zu Hause hat liegen lassen. Er rennt zurück, greift ihn und geht dann zügig zur Schule. 2. Paul läuft bis zur Bushaltestelle. Da kommt gerade ein Bus. Paul fährt eine Station und läuft dann wieder weiter. 3. An der Ecke trifft Paul seinen Freund Karl. Sie bleiben stehen und plaudern ein wenig. Danach muss Paul ein wenig schneller laufen. Ein Graph bleibt übrig. Schreiben Sie eine kurze Geschichte zu diesem Diagramm . Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Die Schule ist 1,1 km (1100 m) von Pauls Wohnung entfernt. b) Geschichte 1 Diagramm C Geschichte 2 Diagramm B Geschichte 3 Diagramm A. c) (D bleibt übrig. 3 Abschnitte müssen vorkommen: langsames Laufen, „Trödeln“, schnelleres Laufen.) Verknüpfende Geschichte, z. B.: Paul läuft los, trifft dann einen Freund mit Fußverletzung, muss sich danach beeilen und schneller laufen. (je 1 BE für jeden Abschnitt. Bei falschem Diagramm, aber richtiger Geschichte, entsprechende Bewertung) 1 L4 II III K4 3 K4 3 S. 37 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 72. Ordnen Sie den beiden Funktionsgleichungen die Nummer des zugehörigen Funktionsgraphen zu: f 1 x 3x 2 f 2 x 2 x 3 a) Zu f1 gehört Graph Nr. _____ b) Zu f2 gehört Graph Nr. _____ c) Geben Sie die Funktionsgleichung eines Graphen an, der zum Graphen von f 1 parallel ist. d) Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Graphen von f1 und f2. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) b) c) d) 73. Graph Nummer 3 Graph Nummer 1 g(x) = – 3 x + n ; n R; z. B.: g(x) = – 3 x + 17 –3x + 2 = 2x – 3 x=1 Einsetzen in einen der Funktionsterme liefert S(1| –1). 1 1 1 L4 II III K4 1 1 Fritz und Liese kaufen am Schulkiosk für sich und ihre Freunde ein. Fritz kauft sechs belegte Brötchen und vier Schokoriegel und bezahlt 8,10 €. Liese kauft fünf belegte Brötchen und drei Schokoriegel und bezahlt 6,55 €. Berechnen Sie, wie viel Euro Fritz und Liese von den Freunden für ein belegtes Brötchen und wie viel Euro sie für einen Schokoriegel kassieren müssen. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I Preis für 1 Brötchen x ; Preis für 1 Schokoriegel y I 6x + 4y = 8,10, II 5x + 3y = 6,55 Lösen des Gleichungssystems nach beliebiger Methode x = 0,95 y = 0,6 Ein belegtes Brötchen kostet 0,95 €, ein Schokoriegel kostet 0,60 €. 74. II III 1 L4 K3 1 1 1 Kreuzen Sie die richtige Lösung der Gleichung 5x 2 3x 1x 1 x 2 x 2 3 an. x = – 9 x = 5 Lösungsskizze x = 6 x=9 BE Leitidee x=2 Kompetenzen im Anforderungsbereich I x = 9 (viertes Kästchen) 1 L4 II III K5 S. 38 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 75. Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung f x 9 x 2 . a) Geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich von f an. b) Skizzieren Sie den Graphen zu f sorgfältig. c) Ermitteln Sie den Radius eines Halbkreises, dessen Flächeninhalt 1 von dem des 3 gegebenen Halbkreises beträgt. d) Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man den Graphen um die x-Achse rotieren lässt. e) Lässt man den Graphen um die y-Achse rotieren, so entsteht ein anderer Körper. In welchem Verhältnis stehen die Volumina der beiden Rotationskörper zueinander? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Definitionsbereich: 3 x 3 ; x R b) Der Graph ist deutlich als Halbkreis erkennbar. Das Koordinatensystem ist richtig beschriftet und die Achsen sind korrekt eingeteilt. 1 1 c) A2 r12 9 3 r22 r2 3 3 3 Der gesuchte Halbkreis hat den Radius 3 . d) Es entsteht eine Kugel mit r = 3 LE. 4 V r3 V 36 113,1 VE 3 e) Es entsteht eine Halbkugel. Vy-Rot : Vx-Rot = 1 : 2 76. III K5 1 1 II L4 K3 1 1 1 1 1 1 Max formt den linken Term in den rechten um: 2 (3x 7) 3( x 2) 2 3x 7 3x 6 a) Kennzeichnen Sie seinen Fehler. b) Vereinfachen Sie den linken Term korrekt, so weit wie möglich. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) 2 – (3x – 7) – 3· (x+2) = 2 – 3x + 7 – 3x + 6 (Vorzeichenfehler) b) ... = 2 – 3x + 7 – 3x – 6 = 3 – 6x 1 L4 II III K5 1 S. 39 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 77. In der Kita gibt es einmal wöchentlich eine Quarkspeise zum Nachtisch. Für 47 Kinder brauchte die Köchin bisher acht Becher mit je 250 g Quark. Anfang August verlassen 15 Kinder die Kita und es kommen 21 Kinder neu hinzu. Wie viele Becher Quark muss die Köchin nun zur Herstellung der Nachspeise einkaufen, wenn die Portionen ungefähr so groß werden sollen, wie im Vorjahr? (Denken Sie an den Lösungsweg!) Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I 2000 III x ; x 2255,15 ; 47 53 (oder: Für 47 Kinder braucht sie 2000 g Quark. Für 1 Kind braucht sie 2000 g : 47 42,55 g Quark. Für 53 Kinder braucht sie 42,55 g · 53 = 2255,15 g Quark.) 2255,15 : 250 9,02 Die Köchin muss 9 Becher Quark einkaufen. 78. II 1 L4 K3 1 1 Gegeben sind drei Graphen. a) Entscheiden Sie bei den folgenden Aussagen, welche wahr und welche falsch sind. Schreiben Sie jeweils „w“ oder „f“ an die Aussage. 1. 2. 3. G1 und G2 haben dieselbe Steigung. G3 und G2 haben dieselbe Steigung. G1 und G2 haben denselben y-Abschnitt. b) Geben Sie die Gleichung eines vierten Graphen an, der zu G1 parallel verläuft. Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Aussage 1 ist falsch. Aussage 2 ist wahr. Aussage 3 ist falsch. b) f(x) = 2x + r ; r R 1 1 1 1 L4 II III K5 S. 40 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 79. Bei Hitzigs gibt es heute Abend einen Auflauf. Das Diagramm zeigt den Backvorgang als Zuordnung: Temperatur in °C Zeit in Minuten Temperatur des Backofens in °C. (Die Zimmertemperatur in der Küche beträgt 20° C.) Prüfen Sie, welche Geschichte zu dem Diagramm passt und welche nicht passt. Erläutern Sie jeweils Ihre Meinung. 100 40 a) Mutter Hitzig stellt den Auflauf in den kalten 20 Backofen und stellt den Temperaturregler des Zeit in Minuten 5 10 Backofens auf 200° C. Nach ungefähr 7 Minuten öffnet sie kurz die Backofentür und überzeugt sich, dass alles in Ordnung ist. Nach insgesamt einer halben Stunde streut sie geriebenen Käse auf den Auflauf. Nach weiteren 10 Minuten schaltet sie den Backofen aus, lässt die Backofentür offen und serviert sie den Auflauf. 5 b) Marco kommt nach Hause und sieht, dass der Backofen bereits eingeschaltet ist. Er guckt hinein, sieht den Auflauf und freut sich. Schnell macht er die Backofentür wieder zu. Nach 20 Minuten guckt er noch einmal und sieht, dass der Käse schon ganz braun ist, Er deckt den Auflauf mit Alufolie ab, damit er nicht verbrennt. Nach insgesamt 40 Minuten schaltet die Mutter den Backofen aus, holt den Auflauf aus dem Backofen und die Familie isst zu Abend. c) Mutter Hitzig stellt den Temperaturregler des Ofens auf 200° C. Nach 10 Minuten öffnet sie die Ofentür und stellt den Auflauf hinein. Nach insgesamt zwanzig Minuten öffnet sie die Tür, bedeckt den Auflauf mit geriebenem Käse und dreht die Temperatur für 10 Minuten auf 120° C. Nach einer Backzeit von 35 Minuten holt sie den Auflauf aus dem Ofen. d) Wie lange hatte der Backofen gemäß dem Diagramm Höchsttemperatur? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Diagramm 1 ist möglich. Die Temperaturzustände im Graphen entsprechen denen der Geschichte b) Diagramm 2 ist möglich. Die Temperaturzustände im Graphen entsprechen denen der Geschichte. c) Diagramm 3 passt nicht. Die Temperatur fällt bereits bei ca. 7 Minuten ab, d. h. nach 7 Minuten wird die Backofentür geöffnet. Nach insgesamt 30 Minuten wird die Tür ein weiteres Mal geöffnet. Die Verminderung der Heiztemperatur auf 120° C ist aus dem Graphen nicht abzuleiten. d) Der Backofen hatte ca. 24 Minuten lang Höchsttemperatur. II III 1 1 1 1 K4 1 L4 1 1 K4 S. 41 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 80. In der Tabelle stehen die Berliner Ergebnisse der vier Bundestagswahlen von 1990 bis 2002. Bundestagswahlen in Berlin (www.statistik-berlin.de) Wahldatum Wahlberechtigte absolut Wahl- CDU beteiligung % % SPD FDP AL/ PDS Grüne REP Sonstige % % % % % % 02.12.1990 2.537.310 80,6 39,4 30,6 9,1 3,9 9,7 2,5 4,8 16.10.1994 2.505.857 78,6 31,4 34,0 5,2 10,2 14,8 1,9 2,5 27.09.1998 2.442.929 81,1 23,7 37,8 4,9 11,3 13,4 2,4 6,5 22.09.2002 2.442.795 77,6 25,9 36,6 6,6 14,6 11,4 0,7 4,3 a) Wie viele Wahlberechtigte haben 2002 nicht gewählt? b) Zu welcher der angegebenen Wahlen passt das untern stehende Kreisdiagramm? Begründen Sie Ihre Meinung! c) Wie viel Prozent aller Wahlberechtigten haben 2002 die REP gewählt? Sonstige REP Sonst. PDS Grüne PDS Grüne CDU CDU FDP FDP SPD SPD Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) 100 % - 77,6 % = 22,4 % 2.442.795 * 0,224 = 547.186 Es haben 547.186 Wahlberechtigte nicht gewählt. b) Das Kreisdiagramm passt zur Wahl des Jahres 1990. Nur in diesem Jahr hat die CDU mehr Stimmen bekommen als die SPD bzw. die Grünen weniger als die FDP. c) 0,7 % von 77,6 %: 0,007 * 77,6 % 0,54 %. II III 1 1 1 L4 K4 1 1 S. 42 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 81. Gegeben sind die beiden Funktionen f und g mit f(x) = – (x – 2)2 und g(x) = x + 2 a) Wie groß ist die Steigung des Graphen von g ? b) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten beider Graphen in Bezug auf den Ursprung und die y-Achse. c) Beschreiben Sie, wie der Graph von f aus der Normalparabel hervorgeht. d) Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit der x-Achse! e) Untersuchen Sie, ob und ggf. in welchen Punkten sich die beiden Graphen schneiden. (Denken Sie an die Dokumentation Ihres Lösungswegs.) Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) m g 1 III 1 b) Weder der Graph zu f noch der Graph zu g sind punktsymmetrisch zum Ursprung bzw. achsensymmetrisch zur y-Achse. c) Die Normalparabel muss um zwei Einheiten nach rechts verschoben und an der x-Achse gespiegelt werden. d) Begründung entweder durch Lösen der Gleichung 2 0 x N 2 oder über die Verschiebung. N 2 | 0 e) Die Koordinaten des Schnittpunkts müssen beide Gleichungen erfüllen. Der Ansatz 2 x S 2 x S 2 führt auf eine nicht lösbare quadratische Gleichung. Es gibt keinen Schnittpunkt. (Es kann auch graphisch argumentiert werden.) II 1 1 1 1 L4 K5 1 1 1 S. 43 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss E. Aufgaben zur Leitidee Daten und Zufall (L5) 82. Der Tagesspiegel veröffentlichte am 17.5.2000 folgendes Diagramm: a) b) c) d) e) Was wird in diesem Diagramm dargestellt? Wie wird es dargestellt? Wie warm war es am 16. Mai 2000? Wie viel hat es am 5.5.2000 geregnet? Vergleiche das Wetter in den beiden Mai-Monaten. Warum ist es bei zwei Graphen sinnvoll, die Werte zu verbinden? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) Es sind die gemessenen Höchsttemperaturen und die gemessenen Regenmengen der Monate Mai in den Jahren 1999 und 2000 in Berlin dargestellt; die Regenmengen sind jeweils Säulen, die Temperaturen sind Streckenzüge. (Wird nur die Überschrift des Diagramms abgeschrieben, wird nur 1 BE vergeben.) b) 32° C c) gar nicht d) 2000 war es viel wärmer und hat viel weniger geregnet. e) Die Temperatur verändert sich nicht sprunghaft. II III 1 1 K5 L5 1 1 1 1 1 K5 K5 K5 K5 S. 44 Hinweise und Beispielaufgaben zur Vorbereitung auf die Mathematikarbeit zum Mittleren Schulabschluss 83. Jahr 1990 1993 1996 1999 2000 2001 2002 Einwohnerzahl Deutschlands in Millionen 79,753 81,179 82,012 82,024 82,183 82,440 82,537 a) Um wie viele Menschen veränderte sich die Bevölkerung in Deutschland 1996 durch Geburten und Sterbefälle? b) Wie viel Prozent der Einwohner Deutschlands starben im Jahr 2002? Lösungsskizze BE Leitidee Kompetenzen im Anforderungsbereich I a) 883 – 796 = 87, Antwortsatz: Die Bevölkerung verringert sich durch Geburten und Sterbefälle um 87000 Menschen. b) Nutzung der korrekt umgestellten Formel. Berechnung: p ≈ 1,02 2002 starben ca. 1 Prozent der Menschen in Deutschland. II III K5 1 L5 1 1 L1 1 K4 K2 K6 S. 45
