The History of Pi

I. BUCH: DREIECKE
10.
WEHRLE
Der Sinen-Wehrle
Abgesehen davon, dass die meisten Schüler nicht wissen, was ein ebener
Winkel ist (nämlich der von einem um einen Punkt drehenden Strahl
überstrichene Teil einer Ebene), habe ich auch erlebt, wie jemand nicht
begreifen konnte, dass man die Winkel nicht nur im Gradmaß, sondern
auch im Bogenmaß messen kann1. Und warum wurde der Kreis nicht in
hundert (Neu-)Grad eingeteilt?
Das hängt wegen 6 x 60 = 360 mit dem sexagesimalen System der
Babylonier zusammen (Sechzigersystem, 1 h = 60min und 1 min =
60sec). Während die Babylonier den „Kreislauf der Sonne“ in einem Jahr
zu 360 Tagen und somit den Kreis in 360 Grad einteilten, kann man auch
die Länge eines dem Winkel entsprechenden Kreisbogens messen, und
diese durch den Kreisradius geteilte Länge (Einheitskreisbogen) als
Winkelmaß verwenden. Das wiederum aber erfordert die Kenntnis der
Kreiszahl π, denn ein rechter Winkel ist dann ½π. Aber schon allein der
griechische Buchstabe für p, sprich Pi, ist so Geheimnis umwoben und
diese Kreiszahl ist nur sehr mühsam-schwer zu berechnen.
Dieses `Bogenmaß´ ist allerdings nur ein wenig mehr als hundert Jahre
alt.
1 Allerdings sind nun dadurch alle Winkel, - außer dem Nullwinkel -, bei den von uns betrachteten
Dreiecken keine ganzen Zahlen oder Brüche mehr, sondern werden zu nicht-rationalen (wohl
transzendenten) Zahlen (also keine periodische Dezimalzahlen mehr), denn die Dreiecke haben ja
ganze Seiten und daher zwar auch rationale Sinen. Die Sinenwerte von rationalen Argumenten sind
aber außer für die Werte Null oder Eins bei einer transzendenten Funktion wie der
Potenzreihendarstellung des Sinus  (-1)n x(2n+1) / (2n+1)! für n=0 bis ∞
„selten“ rational.
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Während nun die alten Griechen noch Sehnentabellen für den Kreis
angelegt hatten, wurde nun die halbe Sehnenlänge zum doppelten
Bogen als Sinuswert des Bogens (im Bogenmaß gemessenen Winkels)
eingeführt, was den meisten ebenso unbekannt ist, wie die Entstehung
des Wortes Ko-Sinus als Sinus des Komplementwinkels (dessen Kehrwert
sec übrigens der inzwischen kaum mehr verwendete Sekans ist).
Schließlich noch etwas zur >>mysteriösen Kreiszahl<< Pi. Für eine kurze
Geschichte der Kreiszahl als Einführung sei das Buch von Jürgen Petigk
>>Dreieckige Kreise oder wie man PI mit einer Nadel bestimmen kann
(Mathematische. Rätsel - Training fürs Gehirn)<< vom Komet bzw.
Deubner Verlag empfohlen. Man erfährt darin z.B. auf S.16, dass der
Rekord der π-Berechnungen im Sept. 1995 bei über 6,442 Milliarden
Dezimalstellen lag und mit einem Supercomputer von Hitachi an der Uni
Tokio aufgestellt wurde2. Auch Yasumasa Kanada3s Rekorde sind durch
Alexander J. Yee4 mit Unterstützung von Shigeru Kondo inzwischen
weit überboten:
Welt-Rekord October 17, 2011
Pi - 5 Trillion Digits - Numberworld Home
- http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/details.html
Wieviel Stellen von π wollen Sie runterladen?
https://www.google.de/?gws_rd=ssl#q=List+of+digits+of+Pi
A million digits of Pi - Exploratorium
www.exploratorium.edu/pi/pi_archive/Pi10-6.html
Zehn Millionen  http://pi.karmona.com/
2
Dazu sind eigens schell konvergierende Formeln entwickelt worden! Identities inspired from
Ramanujan Notebooks II http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired22.html
3 http://www.hints.org/~kanada/index.html
4 http://www.numberworld.org/digits/ http://www.numberworld.org/y-cruncher/
y-cruncher - A Multi-Threaded Pi-Program. From a high-school project that went a little too far...
By Alexander J. Yee (Last updated: April 8, 2011)
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Bei keiner anderen Zahl wurden je so viele Stellen
berechnet!
Zu welchem Zweck …..
Warum?
Because it's Pi... and because we can!
On a more serious note:
After Fabrice Bellard's announcement of 2.7 trillion digits on a "relatively
cheap" desktop, it was pretty clear that the limit of personal computing
was a lot higher.
Shigeru Kondo and I wanted to see how much better we could do if we
used some more powerful hardware.
Both of us are hardware fanatics. And both of us (especially Shigeru
Kondo) had some very powerful machines at our disposal.
So with that, we decided to see how far we could push the limits of
personal computing using personally owned hardware.
Unlike Fabrice Bellard's record which focused on efficiency and getting the
most out of a small amount of hardware. Our computation focused more
on getting the most performance and scalability from a LOT of hardware.
How much hardware can we cram into one machine and still make it
faster?
The main challenge for a computation of such a size, is that both software
and hardware are pushed beyond their limits.
For such a long computation and with so much hardware, failure is not
just a probability. It is a given. There are simply too many components
that can fail.
So the questions become:
 How much can the hardware be expanded while maintaining an
acceptable level of reliability?
 Is it possible to build enough fault-tolerance into the software to
cover for hardware failure?
Hardware: Shigeru Kondo's Desktop
Shigeru Kondo's computer had the following specifications:
Processor
2 x Intel Xeon X5680 @ 3.33 GHz - (12 physical cores, 24 hyperthreaded)
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Memory
96 GB DDR3 @ 1066 MHz - (12 x 8 GB - 6 channels) - Samsung (M393B1K70BH1)
Motherboard
Asus Z8PE-D12
Hard Drives
1 TB SATA II (Boot drive) - Hitachi (HDS721010CLA332)
3 x 2 TB SATA II (Store Pi Output) - Seagate (ST32000542AS)
16 x 2 TB SATA II (Computation) - Seagate (ST32000641AS)
Raid Controller
2 x LSI MegaRaid SAS 9260-8i
Operating System
Windows Server 2008 R2 Enterprise x64
Built By
Shigeru Kondo
http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/details.html#timeline
Um diese Leistung auch einigermaßen richtig
würdigen zu können, muss man bemerken, dass
der menschliche Rekord bei 527 Stellen liegt;
dies sind nämlich die noch richtigen der von William Shanks berechneten
707 Stellen, an denen er über 15 Jahre lang mühevoll rechnete und die er
1873 veröffentlichte.
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Hierbei
war
allerdings
die
Ziffer
7
gegenüber
der
Gleichverteilungsvermutung der Ziffern von transzendenten5 Zahlen zu
gering vertreten, was schon einen Hinweis darauf gab, dass er sich
verrechnet haben musste: Aber erst 1947 wurde elektrisch-mechanisch
mittels
einer
Arcus-Tangens-Formel
808
Stellen
berechnet
(D.
F.
Ferguson). 1949 berechnete der erste 30t wiegende Computer ENIAC
2037 Dezimalstellen in 70h.
5
Transzendent (quod algebrae vires transzendit – was die Algebra überschreitet) heißt nach
Leonhard Euler (1707-1783) eine Zahl, die nicht als Lösung (=Wurzel) irgendeiner Gleichung
n-ten Grades (=algebraische Gleichung) gewonnen werden kann.
Meiner Vermutung nach sind alle Grenzwerte unendlicher Reihen aus rationalen Summen niemals
irrational, sondern entweder selbst rational oder eben aber transzendent!
Beispiele: Alle geometrische Reihen und etwa
1/(1x2x3) + 1/(2x3x4) + 1/(3x4x5) + 1/(4x5x6) + …
=¼
haben einen rationalen Grenzwert.
Aber die alternierende harmonische Reihe 1 - 1/2+1/3-¼+-… → ln2
1 - 1/(2!)+1/(3!)-1/(4!) +-…→ 1/e
oder die Leipnizsche Reihe
1/π - 1/(3π) + 1/(5π) – 1/(7π) +1/(9π)..-…+…
=¼
und die unzähligen anderen (meist von Euler entdeckten) Reihen zur Gewinnung der
Kreiszahl Pi haben alle transzendente Grenzwerte
-1
Dass die Eulersche Zahl e =  n!
transzendent ist, bewies zuerst C. Hermite (1822-1901) und
danach der 30 jährige F. Lindemann (1852-1939) die Transzendenz von Pi. Auch eπ ist
transzendent, aber e i π = -1 (Moivre-Formel).
Allgemein gilt, dass jede Potenz transzendent ist, die eine algebraische
(= rationale oder irrationale) Basis hat, - außer 1 oder 0 natürlich-, mit einer irrationalen
Hochzahl!
(→ 7. Problem von den berühmten 23 um 1900 von David Hilbert (1862-1943) aufgestellten)
irr
kurz:
alg
= trans
(≠0 ≠1)
[1:√2]
Beispielsweise sind 2√2 und auch √2√2 = 2
transzendent (letztere ist die √2-Wurzel aus 2
√2
und sein Quadrat ist 2 ; die Wurzel der transzendenten Zahl ist wiederum transzendent), jedoch
√2
aber sicher nicht [√2√2]
= 2 oder e ln2=2
irr
trans
trans
oder trans
müssen also nicht transzendent sein, wohl aber
irr
irr = trans!
(
[ √2]
[1:√2])
Beachte auch, dass Potenzen nicht assoziativ sind: √2 √2
= 2 ½*2
ergibt anstelle 2
aber 1,760839556…und wohl auch transzendent ist! (Buchstabenanzahl ist 3 , 1415926535)
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3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494
4592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647
0938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596
4462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527
1201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724
5870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113
3053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218
6117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227
9381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021
7986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812
7145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430
1465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181
5981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281
6096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171
0100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287
5546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300
19278766111959092164201989
die ersten tausend Dezimalstellen von Pi
(die tausendste Ziffer ist also eine 9)
Die Stellen 762 bis 767 sind sechs Neuner! nacheinander 999999
(sog. Feynman-Punkt). Ab der 19 437sten Stelle kommen die folgenden 14
Ziffern: 9999 21285 99999 (und danach 3 99)
 http://www.youtube.com/watch?v=mZ4CP0vTgEE&feature=endscreen
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Zehn Millionen Stellen von π
die letzten der zehn Millionen Dezimalstellen von Pi
http://pi.karmona.com/
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The History of Pi
Wetten, dass Sie nicht einmal 10 Nachkomma-Stellen ohne Rechner zu
berechnen schaffen:
Ist´s doch e schon schwierig, zu wissen, wofür die steht!
3, 1 4 1
5
9
2
6
5
3
5
8 979 323 84 626 43 383 27950288419716939
….
Die ersten 24 Zifern von π (Weinmeister 1878)
Wie, o dies π, macht
3.
1 4
1
ernstlich so vielen viele Müh!
9
5
2
6
5
3
Lernt immerhin, Jünglinge, leichte Verselein,
5
8
9
7
9
wie so zum Beispiel dies dürfte zu merken sein!
3
2
3
8
4
6
2
6
4
(Die Anzahl der Buchstaben pro Wort ist 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, 2, 6, 4. )
Diese 24Stellen kann man sich aber zB. auch mnemotechnisch mit diesem Satz merken:
Motorteile pansche lahm, ELFENPACK, bei meinem frischen Ascher.
- Arthur Benjamin, Michael Shermer : Mathemagie, Heyne 2007, S.178
http://www.recordholders.org/en/list/memory.html
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Die Ziffer Null kommt erstmals an der 32sten Stelle vor, weswegen
sich solche Merksätze nicht so einfach darüber hinaus bilden
lassen. Daniel TAMMET hält den europäischen Rekord im
Auswendig lernen von 22 514 Dezimalstellen von Pi, für deren
Aufsagen er am 14. März 2004 in Oxford
5 Stunden und 9 Minuten brauchte. Die letzten 14 Ziffern waren
67657486953587.
Für eine Million Ziffern bräuchte man über zehn Tage reine
Sprechzeit, wenn man für jede Ziffer eine Sekunde rechnet. Für
eine Milliarde Ziffern bräuchte man zum Aufzählen bereits fast 32
Jahre.
( Daniel Tammet, Die 11 ist freundlich und 5 ist laut, Heyne 2013)
number of memorized digits - Pi World Ranking List
www.pi-world-ranking-list.com/index.php?...lists...p..
Die Rangliste der Pi-Rekorde
http://www.pi-world-rankinglist.com/index.php?page=lists&category=pi&sort=digits
Hiroyuki GOTO in Japan sagte 1995 in 17h 21min die
ersten 42 197 Pi-Stellen auswendig auf!
Wenn Sie auch kostenlos zehn Millionen
Dezimalstellen von Pi haben wollen
Pi - 10 Million Digits @
http://Pi.Karmona.com
pi.karmona.com/
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Schon in der Mitte des 17 Jh bekannte Formeln von π
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Eng verwoben mit der Kreiszahl Pi
ist die ebenfalls transzendente Eulersche Zahl e.
Ramanujan-K ettenbruch
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Es gibt soagr einen Zusammenhang von
Phi = (1+√5)/2 mit Pi = π
stammt auch von Euler
ζ(2)=1+1/2²+1/3²+1/4²+1/5²+…=
1/6
π²
Näheres dazu--Fünftes Buch im Kapitel 2
V.2 Volumen n-dimensionaler Kugeln
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Bruch Näherungen von π
Archimedes kannte schon 3,1416
den Wert zwischen 22/7 und 223/71
Die Näherung durch 355/113 = 3,14159292
ist übrigens außergewöhnlich gut!
Man vergleiche das etwa mit der folgenden Näherung auf fünf
Nachkommastellen
34523 / 10989 = 3,141596142
Der Grund dafür: der nächste Teilnenner bei der Kettenbruchentwicklung
ist mit 292 sehr groß (http://de.wikipedia.org/wiki/Kettenbruch ).
----- http://kobra.bibliothek.uni-kassel.de/bitstream/urn:nbn:de:hebis:342007112319721/1/BachelorarbeitScheel.pdf
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Joseph-Louis Lagrange
gilt zusammen mit Leonhard Euler
als der Begründer der Kettenbruchtheorie.
Quadratische Irrationalitäten haben periodische Kettenbrüche6 u.U.
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http://de.wikibooks.org/wiki/Formelsammlung_Mathematik:_Kettenbr%C3%BCche
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Folgende beiden erstaunlichen Kettenbruchentwicklungen7 fand schon
L.Euler
Auch existiert für π ein sehr regelmäßiger, aber nicht mehr regulärer Kettenbruch
Continued fractions http://www-math.mit.edu/phase2/UJM/vol1/COLLIN~1.PDF
7
http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/fraction.shtml
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The magic and mystery of "pi"
http://www.youtube.com/watch?v=lcIbCZR0HbU&feature=related
Man denke an Gauß`s Glockenkurve
in der Wahrscheinlichkeitsrechnung
 12x12 Schlüsselkonzepte zur Mathematik von Oliver Dieser, Caroline Lasser,
Elmar Vogt und Dirk Werner; Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2011
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Die Pi Berechnungen wurden mit Hilfe der schneller konvergierenden
Formeln von Ramanujan weiterentwickelt
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Aber am Erstaunlichsten von allen ist der kleine Rama
Seine Formeln sind manchmal nicht von dieser
Welt:
Zwar wurde behauptet,
dass Gott auch ein Mathematiker sei,
- und wenn, dann
sicherlich ein ganz großer
bzw. der allrgräßte -,
aber nach Ramanujan
ist es eine Göttin!
Überzeugen Sie sich selbst:
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Manche wurden für schneller
konvergierende π-Berechnungen der
Supercomputer mit eingebaut
Im MF93 finden sich noch kuriosere Formeln für „Pi
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Kommen wir aber nun aber endlich zum
Sinen-Wehrle
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Da Umfangswinkel über derselben Sehne sind gleich sind, folgt aus
sin α = a/(2R)
sin α= r a/w .
Analoges für die anderen Winkel. Wenn wir die Winkel α, β und γ mit α1,
α und α , oder kurz mit α bezeichnen, gilt sin αi= r ai/w
2
3
i
Für die Summe der Sinenwerte ∑ sin αi folgt die Proportionalität zur
Seitensumme ∑ ai (und für die Summe der Sinenquadrate diejenige zu
den Seitenquadraten etc. 8).
Insbesondere folgt für die Sinensumme sin α + sin β + sin γ = 2A / w
und somit ist
A = ½w ∑sin αi
Beispiel: Für a=13, b=14, c=15 mit r=4 ist
sin α = 4x13/65=0,8;
sin β =4x14/65 und
sin γ =4x15/65.
Damit ist die Summe der Sinenwerte ∑ sin αi = 0,8+4x29/65 und somit
mit w=65
2A = 0.8x65+4x29=168,
d.h. der Flächeninhalt ist A=84.
8
Allgemein ist für beliebige, aber feste ki - Werte
n
n
∑ ki sinn αi = (r/w) ∑ ki ai
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Die Winkel sind übrigens α ≈ 53,1º (taucht auch beim rechtwinkligen 3, 4,
5 auf, wobei der andere Komplementwinkel ≈ 36,9º ist),
β ≈ 59,5º und γ≈67,4º
Abb. 6a: z = ∑ sin αi = sin(x) + sin(y) + sin(π-x–y)
= r ∑ai / w = A /(rR)
für x und y von 0 bis π9
Da für das Produkt
sin α sin β
sin γ = A/ (2R²) ist, ergibt sich10 der
Sinen-Wehrle, das ist der Quotient aus der Sinensumme (Abb. 6a) durch
das Sinenprodukt aller Dreieckswinkel (Abb. 6b):
9
10
Für die Computerberechnungen der Grafiken sind die Winkel
x , y und 180º - x - y
:{(a+b+c)/(2R)} = abc/(4R²u)= A/Ru = ½ur/(Ru) = r/(2R)
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w (sin αi )= ∏ sin αi : ∑ sin αi = ½ r : R
= 2xyz /(abc) = (2∏xi) / ∏ai
Das Verhältnis des Inkreisradius r zum Umkreisradius R ist der
doppelte Sinen-Wehrle!
Abb. 6b: z = ∏ sin αi = sin(x) * sin(y) * sin(π - x - y) = A/(2R²)
=½A w*/w²
für x und y von 0 bis π
Dieses ist zugleich das Verhältnis der Flächen des durch den Inkreis
erzeugten Berührpunkte-Dreiecks zur Fläche des Dreiecks11, und für
rechtwinklige Dreiecke ist es zugleich noch das Verhältnis der nichttrivialen Höhe zum Umfang h/u.
12
Beispiel für a=13, b=14 c=15
(2x6x7x8)/13x14x15 = 16/65 andererseits ergibt R=65/8 und r=4
r/(2R)=4/(65/4) = 16/65.
Insbesondere ist der Sinen-Wehrle für rechtwinklige Dreiecke r/c=½[(a+b)/c-1] (c ist Hypotenuse).
11
12
www.gogeometry.com
∏ cos αi= oi ui /(4R²) wobei o der obere und u der untere Höhenabschnitt einer der 3 Höhen ist
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Beachten Sie, dass man für die zwei x- und y-Winkel des Dreiecks nur die
erste Quadrathälfte des Definitionsmengenquadrats von (x, y) benötigt,
da ja nicht beide Winkel bis π= 180º ansteigen können. Bei der unteren
Abbildung 6a des Wurzelsinus-Wehrle ist dies sehr schön zu sehen!
Abb. 6c: Der Sinenwehrle von 0 bis π
hat für das gleichseitige Dreieck
bei (⅓π, ⅓ π) etwa (1, 1) ein lokales Maximum von ¼
Abb. 6d: Beim Wurzel-Sinenwehrle von 0 bis π
(sin(x))^0.5 * (sin(y))^0.5 * (sin(π - x - y))^0.5/
/((sin(x))^0.5 + (sin(y))^0.5 + (sin(π - x - y))^0.5)
ist das Maximum ausgeprägter und eindrucksvoller zu sehen,
da nur im Definitionsbereich für Dreieckswinkel Werte dargestellt werden
(zwei Winkel können z.B. nicht ½π sein).
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Die trigonometrischen Additionstheoreme lassen sich
mit Hilfe der Vektorrechnung (durch das sog.
Skalarprodukt) elegant beweisen.
Durch den Vergleich des Quadrats einer Differenz zweier Vektoren
(a-b)² =
a²
c²
- 2ab
+ b²
mit dem Cosinussatz
=
a²
(a, b Vektoren)
- 2ab cos(eing. Winkel) + b²
erhält man als (Pseudo)-Produkt13 zweier Vektoren eine reelle Zahl
(einen Skalarwert)
V x V
ab
→
→
R
|a| |b| cos (eing. Winkel)
Insbesondere liefert das Quadrieren eines Vektors dessen Längenquadrat
(Wurzelziehen ist hier nicht erlaubt!)
Mit Hilfe des Skalarprodukts lassen sich Längen und
Winkel im Vektorraum berechnen!
Das √3,2 fache des Vektors (2, 1) mit der Länge 4 und das √5-fache des
Vektors (1, 2) mit der Länge 5 sind zwei Vektoren die einen Winkel
einschließen, dessen Cosinuswert 0,8 ist. Das ist der der längeren Kathete
gegenüberliegende Winkel im rechtwinkligen Dreieck mit den
Seiten 3, 4 und 5
Winkel zwischen den Vektoren (2, 1) und (1, 2)
die beide dieselbe Länge √(2²+1²) haben,
und daher einen Winkel α mit cos α = 4/5 einschließen.
Das Produkt ist kein Vektor mehr! Es gibt auch ein echtes Vektorprodukt im 3-dim.
Raum, bei dem das Produkt zweier Vektoren a und b einen Vektor der Länge ab sin
(eing. Winkel) liefert der sowohl auf a als auch auf b senkrecht steht (Orientierung nach
der Dreifingerregel der rechten Hand)
13
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Natürlich ist der Cosinus einer Summe nicht einfach die Summe der
Cosinen, sondern es gilt das
Additionstheorem für den Cosinus
Aus cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
Erhält man für negative Wnkel Beta
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
da ja cos β = cos (-β) achsensymmetrisch ist
und nur der Sinus wegen seiner Punktsymmetrie
ein negatives Vorzeichen liefert: sin β = - sin (-β)
Das Additionstheorem für den Sinus einer Winkelsumme kann man auch über
das Skalarprodukt erhalten. Dazu nimmt man den zum Vektor b sentrechten
◦
Vektor, der um 90 gegen den Uhrzeigersinn (= mat. Pos.) gedrehten Vektor und
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◦
hat mit dem Cosinus des Vektos 90 - (α +β) den Sinus des
Komplementwinkles α +β.
sin
(α + β) = sin α cos β
da ja cos β = cos (-β) und sin β =
sin
(α
+
cos α sin β
14
- sin (-β) folgt für negative β
- β) = sin α cos β -
cos α sin β
Beispiele weiterer allgemeingültiger trigonometrischer
Theoreme:
1.)
2.)
3.)
4.)
sin α + sin β = 2 sin½(α+β) cos ½(α-β)
sin α - sin β = 2 cos½(α+β) sin ½(α-β)
cos α + cos β = 2 cos½(α+β) cos ½(α-β)
cos α - cos β = - 2 sin½(α+β) sin ½(α-β)
I. (sin α + sin β)/(cos α + cos β) = tan ½(α+β)
II. (sin α - sin β) /(cos α + cos β) = tan ½(α-β)
dies folgt durch Divisionen von 1.) geteilt durch 3.)
bzw. 2.) geteilt durch 3.)
sowie
(cos β - cos α) / (sin α - sin β) = (sin α + sin β)/(cos α + cos β)
= tan ½(α+β)
(cos β - cos α) / (sin α + sin β) = (sin α - sin β) /(cos α + cos β)
=
da ja
tan ½(α-β)
Speziell für α = β folgt daraus sin 2α = 2sin α cos β
und beim Additionstheorem für den Cosinus folgt für α = β
cos 2α = cos² β – sin² α = 1 - 2 sin² α
14
Der quadrierte Sinus, der im wesentlichen der Energie einer Wechselspannung entspricht, ist also
eine dem (Co-)Sinus ähnliche Kurve, aber mit halber Periode Pi (DOPPELT SO VIELE
SCHWINGUNGEN), und die zudem überall positiv ist (um ½ in Y-Richtung verschoben) und mit
dem Faktor ½ bez. Der x-Achse gestreckt wurde.
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(sin α - sin β) / (cos α - cos β ) = -cot ½(α+β)
(sin α + sin β) / (cos α - cos β )= -cot ½(α-β)
Aber für tan ½(α-β) gibt es nach Arno Fehringer noch
weitere Formeln (Interessanterweise gibt es für den Fall
von <<Minus>> mehr Formeln als für das >>Plus<< Zeichen):
(sin α - sin β)/(cos α + cos β) =
=(tan α–tan β) /{√(1-tan² α) √(1-tan² β) +tan α tan β + 1 }
verwendet man √(1-tan² α) = 1/cos α usw.
dann erhält man im Nenner die gleichen Nenner (cos α cos β)
=(tan α–tan β)/{1/(cos α cos β)+(sin α sin β)/(cos α cos β) + (cos α cos β)/(cos α cos β) }
=(tan α–tan β) cos α cosβ/[1+sin α sin β + cos α cos β]
und erhält mit den Subtraktionstheoremen für Sinus bzw. Cosinus
= [sin α cos β –sin β cos α]/{1+sin α sin β–cos α cos β}
= sin(α-β)/[1+cos (α-β)]
= [1- cos (α-β)]/sin(α-β)
= tan ½(α-β)15
15
dies folgt auch aus den Formeln für
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tan ½α = (1- cos α)/sin α = sin α/[1+cos α]
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Speziell im Dreieck gilt nach MOLLWEIDE
(a+b)/c = cos ½(α-β) / cos ½(α+β)16
(a-b)/c = sin ½(α-β) / sin ½(α+β)
und somit
(a+b)/(a-b) = {sin ½(α+β)/cos ½(α+β)}/{ sin ½(α-β)} / cos ½(α-β)}
= tan ½(α+β)/ tan ½(α-β)
es ist der Tangens der halben Summe dividiert durch den
Tangens der halben Differenz der Winkel17
und das ist I. geteilt durch II.
(Die Cosinussumme als gleiche Nenner)
und ist daher auch die Sinensumme durch die Sinendifferenz
(a+b)/(a-b) = (sin α + sin β)/(sin α - sin β)
= tan ½(α+β)/ tan ½(α-β)
Das ist doch eine erstaunliche Formel18, denn nur über die Sinen erfährt
man einen Zusammenhang über das Verhältnis der Seitensumme zu
deren Differenz!
Beispiele:
Beim kleinsten natürlichen Dreieck der Seitenlängen 3, 4 und 5
sind die Sinen der den Katheten gegenüberliegenden Winkel
mit sin 4/5 = 0.8 ≈53,13° und sin 3/5 = 0.6 ≈36,87°
(4+3)/(4-3) = (0.8 + 0.6)/(0.8 - 0.6) = 7
Natürlich ist auch (a+b)/c = (sin α - sin β) / sin γ
Das ist der sog. TANGENTEN-Satz auf S.11 in der Sammlung mathematischer Formeln
vom Bayrischen Mathematiker-Verein, Ausgabe B für Oberrealschulen, München 1937
16
17
vgl.
www.mathematische-basteleien.de/adreieck.htm
Halbwinkelsätzehttp://www.mathepedia.de/Die_Mollweideschen_Formeln.aspx
von der Neperschen Gleichung
18 Für beliebige s, t, u, u und n gilt soagar
n
n
n
n
n
n
n
und
spricht
n
(s a + t b ) / ( u a - v b ) = (s sin α + t sin β) / (u sin α - v sin β)
Dies wird sofort ersichtlich, wenn man bedenkt dass sin α = a/(2R) und sin β = b/(2R) ist
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Die Winkelsumme ist 90° und die Differenz 16,26°
tan 8,13° = 1/7 ≈ 1/0,243
Nehmen wir statt den beiden Katheten die Hypotenuse eine eine Kathete,
dann gilt
(5+4)/(5-4)= (1+0.8)(1-0.8) = 9
= tan ½(90°+53,23°) / tan ½(90°-53,23°)
(5+3)/(5-3)= (1+0.6)(1-0.6) = 4
= tan ½(90°+36,87°) / tan ½(90°-36,87°)
Für das kleinste natürliche spitzwinklige Dreieck mit a=13, b=14, c=15
und Inkreisradius r=4 ist
sin α = 4x13/65 =0,8;
α ≈ 53,13°
sin β =4x14/65 und
β ≈ 58,49°
sin γ =4x15/65.
γ ≈67,38
(b+a)(b-a)=(14+13)(14-13)=27
und (4x14/65 + 4x13/65) (4x14/65 - 4x13/65)= 4x27/65 : (4/65) = 27
α + β ≈ 112,62°
α - β ≈ - 6,36°
tan 56,3° = 1,5
tan -3,18° = -0.0555555 Periode 5
(13+14)/(13-14) = -27
tan ½(α+β)/ tan ½(α-β) = 1,5/(-5/9) = -27
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AUFGABEN
1.) Beweisen Sie:
Der Halbwinkel-Tangenswehrle für die Dreieckswinkel ist
w(tan ½αi) = r/(ra+rb+rc),
wobei ri die Ankreisradien sind mit Σri=r+4R,
und der Halbwinkel-Kotangenswehrle ist 1.
2.) Berechnen Sie den Umkreisdurchmesser zu
a.) R = { ¼[( x²(y+z) + y²(x+z) +z²(x+y)] + ½xyz } : √[xyz(x+y+z)]
wobei im Nenner die Dreiecksfläche A steht19.
b.) 2R = w/r = √ [2A / (sin a sin ß sin γ)] bzw.
R = √ [A / (2 sin a sin ß sin γ)]
Anleitung:
(∏ sin αi) -1= 1/ sin α sin ß sin γ = w³ / (r³ abc) = w²/ (r² 2A).
Oder w(sin)=A/(uR) multipliziert mit
sin α +sin β + sin γ = u / (2R)
3.) Berechnen Sie das
Verhältnis des Inkreisradius r zum Umkreisradius R
über das Sinenprodukt der Halbwinkel des Dreiecks zu:
r/R = 4 sin α/2 sin β/2 sin γ/2
( = 2 w(sin αi) = √ [w*(sin αi)] )
19 Übrigens ist das Produkt der Sinenwerte der halben Dreieckswinkel gleich dem Produkt der
Tangentenabschnitte xyz dividiert durch das Seitenprodukt abc=(x+y)(x+z)(y+z)! Multipliziert man
es mit 4, dann erhält man das Verhältnis des Inkreis- zum Umkreisradius. Für rationale x, y und z
ist das Radienverhältnis also auch rational!
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Anleitung: verwenden Sie die Halbwinkelsätze
sin α/2 = ½ √ [(w a)/ (w da)], sin ß/2 = √ [(w b)/ (w db)]
und sin γ/2 = ½ √ [(w c)/ (w dc)]
(Differenzen sind z. B. dc = a+b-c)
Übrigens sind ½(α+β)= 90°-½γ Komplementwinkel und daher ist
sin ½γ= cos(½{α+β}) , cos ½γ= sin(½{α+β}),
tan ½γ = 1/tan(½{α+β}) = (a-b) / [(a+b) tan(½{α-β})]
oder
tan(½{α+β}) / tan(½{α-β}) = (a+b) / [(a-b) vgl. Formeln von Mollweide
4.) Berechnen Sie das Verhältnis des Umfangs u zum Umkreisradius R
über das Kosinusprodukt der Halbwinkel des Dreiecks zu
u : R = 8 cos α/2 cos β/2 cos γ/2
Anleitung: Verwenden Sie die Halbwinkelsätze cos a/2 = ½ √ [a da / w],
cos β/2 = ½ √ [b db / w] und cos γ/2 = ½ √ (c dc / w).
5.)a.) Der Sinen-Wehrle für das rechtwinklige Dreieck mit der
Hypotenuse c ist
w(sin αi) = ab/(cu)
b.) und der Kosinus-Wehrle w(cos αi) = 0
c.) Der Sinenquadrat-Wehrle für das rechtwinklige Dreieck w(sin² αi) ist
w(sin² αi) = 2 [ab/ 2c²]² = hc² : 2c² = ½ [A / (2R²)]²
(oder = ½ [ab/(a² +b² )]²
=
⅛ sin² 2α )
während
d.) der Kosinusquadrat-Wehrle w(cos² αi) = 0 verschwindet.
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6.) Leiten Sie die Wehrle-Zahl der Sinenquadrate der Dreieckswinkel ab,
den Sinenquadrat-Wehrle also:
w(sin² αi)= 2A²/{R²[u² -w*-8w]}
oder
.
w(sin² αi)= r²u²/{ 2R²[u² -4r²-16rR]}
Anleitung: Verwenden Sie ∑ sin
αi = 2(1+ ∏ cos αi)
mit der Ciamberlini-Formel ∏ cos α i= [u² -(2r+4R)²] / (4R)²
Beispiel:
13, 14, 15
u²=1764
u²– 64- 520 = 1180
2R²=132,03125
w(sin² αi) = 4x84² : (1180x132,03125) ≈ 0,181158961
7.a) Beweisen Sie, dass die Summe Seitenquadrate
Σ ai² = a²+b²+c² = ½ [u² – w* - 8w ] = ½u² -8rR -2r² ist!
Anleitung: a²= b² + c² -2 cb cos γ
b²= a² + c² - 2ac cos β
c²= a² + b² - 2ab cos α ist.
Addieren Sie die drei Gleichungen des Kosinussatzes und berechnen Sie so
eine Formel für ∑ ai² (∑ai² ist die Summe Seitenquadrate). Setzen Sie den
Sinenquadrat-Wehrle w(sin² αi)= 2A²/{ R²[u² -4r²-16rR]} mit w(sin²
αi)=∏ (ai/2R)²/ Σ(ai/2R)² =(A/R)² / ∑ ai² gleich (bzw. die gleichen Nenner).
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8.) Zeigen Sie, dass der Wehrle der Sinen
w (sin αi )= ha hb hc
/ (ac hc + ab ha+ bc hb)
ist,
wobei der Nenner ac hc + ab ha+ bc hb = 4A²/r ist.
Hinweis: sin α =hc : b
9.) )
sin β = ha : c
und sin γ =hb : a
Beweisen Sie
8∏ sin αi = 4A/R² =
∏ sin ½αi ∏ cos ½αi
∏ sin ½αi
= r/(4R) = rA/(abc)
∏ cos ½αi
= u/(8R) = ½uA/(abc)
∏ tan ½αi
= 2r/u = r²/A
∏ cot ½αi
= A/r² = ½u/r
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= 4A/u² = abc/(Ru²)
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10.) Studieren sie das Verhalten der Spiegeldreiecke: Ein Dreieck ist in
seiner Form (ähnliche Dreiecke haben dieselbe Form) bereits durch zwei
seiner sich zu 180° ergänzenden Winkel bestimmt. Anstelle der zwei
Winkel kann man auch zwei andere Parameter verwenden, etwa die
Summe aller drei Sinen
∑ sinαi
und deren Produkt ∏ sinαi
aus denen man die Dreieckswinkel zurück gewinnen kann,
oder eben auch deren Quadrate s =∑ sin²αi und p = ∏ sin²αi
mit
p = s (ru/R)² : {2[u² -4r²-16rR]}
Beispiel das rechtwinklige Standartdreieck a=3, b=4 und c=5
sin α =a/c=0,6 sin β =b/c =0,8 und sin γ =1 ergibt für
s = 0,62+0,82+1²=2 und p = 0,6²*0,8² = 0.2304
p = s (12/2,5)² : [2(12²-4-16*2,5)] = 4,8² :100 = 23,04:100
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Für die Spiegelungsdreiecke gilt20
S= (s+16p)(4s-5)²/[1+4s+64p(4s-7)]
P = p(4s-5)6/[1+4s+64p(4s-7)]²
Für das obige Beispiel eingesetzt ergibt das S =2,155 und P = 0,2979,
was für die Winkel von etwa 37°, 66° und 77° übereinstimmt und S=2,16
sowie P=0,29 liefert. Bildet man von diesem Spiegeldreieck wiederum das
Gespiegelte, dann scheint es gleichschenklig zu werden.
Das stumpfwinklige Dreieck
mit den Winkeln 15°, 45° und 120°
sin 15 = ½[2 - 3]
20
= ¼(6-2)
[ = (√3-1)/(2√2) ]
Geometrie und Chaostheorie: Dreiecksbeziehungen
Aus einer schlichten Konstruktionsvorschrift wird ein chaotisches dynamisches System mit den
überraschendsten Eigenschaften in
Spektrum der Wissenschaften Oktober 2012
Spektrum der Wissenschaft Spezial 1/2010: "Zufall und Chaos"
http://www.spektrum.de/artikel/1159821
http://mathcentral.uregina.ca/humanface/careers/graphic/
Formel im letzten Beitrag von http://alexandria.tue.nl/repository/books/256699.pdf
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sin120 =½3
Die Quadrate dieser Sinen sind ¼[2 - 3], ½ und 3/4
sin 45 = ½√2 und
s =∑ sin²αi = ½-¼3+ ½ +3/4 = 1,75 - ¼3 ≈ 1,317
p = ∏ sin²αi
= 3*[2 - 3]/ 32 = 1/16- 3/ 32 ≈ 0,025
Berechne die Werte des Spiegeldreiecks und messe die Winkel …
Dasselbe Dreieck fünf mal gespiegelt
Die wiederholte Spiegelung von Dreiecken ad infinitum wurde 2012 von
Grégoire Nicollier gelöst. Für spitzwinklige ergeben sich immer am Ende
gleichseitige Dreiecke, aber bei stumpfwinkligen kann chaotisches
Verhalten eintreten!
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