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Der Hall-Effekt
Physikalisch
Der 1879 nach dem amerikanischen Physiker Edwin Herbert Hall benannte Hall-Effekt zeigte
einen einfachen Weg auf, mit dem man die Stärke magnetischer Felder messen konnte.
Bei dem Hall-Effekt werden Elektronen in einem Leiter verschoben, wenn ein äußeres
Magnetfeld senkrecht zu einem stromdurchflossenen Leiter angelegt wird. Dadurch tritt
einerseits eine Spannung auf und andererseits ein elektrisches Gegenfeld (das Hall-Feld).
Auslöser der Hall-Spannung ist die Lorentz-Kraft, die eine Ablenkung der Elektronen
senkrecht zum Magnetfeld und senkrecht zur ursprünglichen Stromrichtung bewirkt. Dabei
lädt sich eine der beiden Längsseiten des Leiters positiv, die andere negativ auf. Die dadurch
entstehenden Oberflächenladungen erzeugen das Hall-Feld und üben gleichzeitig eine
zusätzliche Kraft auf die Ladungsträger aus, die der Lorentz-Kraft entgegenwirkt.
Dabei ist die Stärke des umso größer, je stärker der Querstrom durch den Leiter und je stärker
das angelegte Feld ist.
Sobald das erzeugte Gegenfeld (Hall-Feld) sich vollkommen ausgebildet und somit die Stärke
der Lorentzkraft erreicht hat, kann in dem sich einstellenden stationären Zustand wieder ein
unabgelenkter, aber versetzter Strom fließen.
Besonders starke Hall-Effekte werden in Materialien ermittelt, in welchen die Konzentration
der Ladungsträger gering und ihre Beweglichkeit hoch ist, was auf einen geringen Ohm’schen
Widerstand hindeutet. Deshalb gelten vor allem Halbleiter und Halbmetalle als geeignet zum
Nachweis der Hall-Spannung.
Unser Versuch
Vorversuch: Messung des Widerstands der Hall-Sonde
Bevor wir uns an den eigentlichen Versuch wagen, messen wir
den Widerstand der Hall-Sonde. Wir legen also verschiedene
Spannungen an und messen den resultierenden Querstrom. Unser Ergebnis ist
schülerfreundlich; der Widerstand (also der Quotient aus Spannung und Stromstärke) ist
konstant. Dies erkennt man am einfachsten in dem obigen U-I-Diagramm.
Der Hall-Effekt – Eine Ausarbeitung von Annika Sudmann, Katharina Müller und Ulf Schaper
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Aufbau
Material:
U-Kern; zwei Spulen; zwei Polschuhe; Hallsonde; Volt- und Ampèremeter;
Netzgeräte; Experimentierkabel
Querstrom
Hallspannung
Hallsonde
Polschuhe
Spulenstrom
Spulen
U-Kern
Der eigentliche Versuchsaufbau besteht aus einem U-Kern, auf dem zwei Spulen und zwei
Polschuhe nah aneinander aufgesteckt werden. Zwischen Polschuhen und Spulen wird die
Hallsonde angebracht, so dass sich das Germanium-Plättchen an der Sonde im Zentrum des
Magnetfeldes befindet.
Die Spulen werden in Reihe geschaltet und während des gesamten Versuchs konstant mit U =
24V / I = 1,1A versorgt. Somit verändert sich das Magnetfeld nicht. Ein weiterer Stromkreis
wird mit dem Querstrom durch das Leiterplättchen gebildet. Ober- und unterhalb des
Germaniums werden die Kontakte eines Voltmeters angeschlossen, um letztendlich die
Hallspannung ermitteln zu können.
Der Querstrom wird an den vorliegenden Netzteilen variiert und mit den präziseren
Messgeräten gemessen.
Durchführung
Zunächst wird nur der Querstrom an der Hallsonde angeschlossen, damit wir den Nullregler
der Hallsonde so variieren können, dass wir eine Spannung von Null messen. Somit können
wir sicher sein, dass wir bei unseren Messungen lediglich die Hallspannung in Betracht
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ziehen, nicht aber den senkrecht dazu fließenden Querstrom. Das bedeutet, dass die
Anschlüsse des Voltmeters an dem Germanium direkt übereinander liegen. müssen um den
Querstrom zu vernachlässigen.
Danach werden die Spulen aktiviert, und so ein magnetisches Feld um die Hallsonde erzeugt.
Da wir im Vorversuch einen konstanten Widerstand der Hallsonde nachgewiesen haben,
können wir nun über die Spannung den Querstrom proportional verändern. Wir wählen ihn
von 4,3 mA bis ca. 43 mA.
Folglich kann zur jeweiligen Querstromstärke die zugehörige Hallspannung am Voltmeter
abgelesen werden.
Messwerte
Die Messungen fanden mit einer Germanium-Hallsonde in einem 24V/1,1A-Magnetfeld statt.
Querstromstärke Hallspannung
143 mV
37,0 mA
130 mV
33,0 mA
118 mV
29,0 mA
105 mV
25,0 mA
91 mV
21,0 mA
77 mV
17,0 mA
60 mV
13,0 mA
47 mV
9,0 mA
32 mV
4,3 mA
18 mV
160
140
120
Hallspannung
42,0 mA
100
80
60
40
20
0
0
10
20
30
40
50
Querstrom
Schon bei der einfachen Darstellung unserer Messreihe ist der
proportionale Zusammenhang unverkennbar. Eine Regression
mit dem Taschenrechner liefert auch das passende Ergebnis
(siehe links).
Der y-Achsen-Abschnitt „b“ ist vernachlässigbar klein, er mag aus ungenauer Nulljustierung
(s.o.) entstehen.
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Warum der Versuch erfolgreich, aber sinnlos war
Die Ergebnisse unseres Versuchs entsprechen zwar genau unseren Erwartungen, wir können
damit dennoch nichts anfangen: Um damit weiterzurechnen, benötigen wir entweder die
Hallkonstante von Germanium oder die Feldstärke unseres Feldes.
Wir können die Feldstärke nicht errechnen, da wir kein homogenes Feld hatten: Unsere
Polschuhe waren unförmig und unpassend, da die Anschlussboxen auf der Hall-Sonde den
richtigen Polschuhen im Weg waren.
Wir können auch die Hall-Konstante von Germanium nicht ermitteln, denn sie ist in
Halbleiterform sehr temperaturabhängig. Außerdem können „normale“ Formeln wie
RH  n1e1 nicht benutzt werden, weil neben den Außenelektronen des Materials auch die
Dotierungen beachtet werden müssten.
Folglich können wir mit unseren Messwerten zwar die Proportionalitäten nachweisen, jedoch
nicht wirklich weiterrechnen.
Eine Beispielrechnung mit Silber im homogenen Feld
Eine häufige Ausnutzung des Halleffekts geschieht in den so genannten Hall-Generatoren
(AKA Hall-Sonden). Dabei wird die Stärke eines bestehenden Magnetfeldes (z.B. in
Maschinen)
ermittelt,
indem
die
Hall-Spannung
gemessen
und
anhand
von
Leitereigenschaften und angelegtem Querstrom umgerechnet wird.
Die zugrunde liegende Formel lautet:
Hallspannung 
Hallkonstante
* Querstrom * Feldstärke
Bandstärke
Hierbei ist die Hallkonstante ein hauptsächlich materialabhängiger Wert, die Bandstärke die
Breite des Leiters, der Querstrom die Stromstärke des durch die Hall-Platte geleiteten Stromes
und die Feldstärke die Stärke des umgebenden Magnetfeldes.
In Kurzschreibweise lautet die Formel demnach:
U H  RH *
1
*I *B
d
Diese Formel stellen wir nach der Feldstärke B um:
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B
UH * d
I * RH
Nun setze ich Beispielwerte ein:
Hall-Konstante von Silber: R H  8,9 E  11m3C 1
Querstrom: I  22 A
Bandstärke: d  5E  5m  0, 05mm
Gemessene Hall-Spannung: U H  23,5E  6V
Dies ergibt für unsere Formel:
B
23,5E  6V *5E  5m
V * m*C
 0, 6
3 1
22 A *8,9 E  11m C
A * m3
Nun kürzen wir zuerst ein m heraus und substituieren Coulomb durch Ampèresekunden:
B  0, 6
V *s
m2
Diese Einheit können wir direkt nach Tesla umschreiben (vgl. Formelsammlung S. 7):
B  0, 6T
Damit haben wir die Feldstärke bestimmt und sind fertig.
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