Lösungen

Georg Nöldeke
Frühjahrssemester 2010
VWL 3: Mikroökonomie
Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 5
1. Zur Erinnerung: Der gewinnmaximierende Preis ist im Fall konstanter Grenzkosten
in der Höhe von c durch die Lösung des Problems
max[p − c]D(p)
p
mit der Bedingung erster Ordnung
[p − c]D0 (p) + D(p) = 0
bestimmt. Zur Lösung der Aufgabe kann man entweder direkt diese Bedingung erster
Ordnung verwenden oder sie mit Hilfe der Preiselastizität umschreiben:
D (p)
c
1 + D (p)
p−c
1
=−
.
p
D (p)
[p − c]D0 (p) + D(p) = 0 ⇔ p =
⇔
(a) Die Preiselastizität dieser Nachfragefunktion ist konstant gleich −2,1 so dass der
gewinnmaximierenden Preis durch
p∗ =
−2
c = 2c = 4
1−2
gegeben ist. Die entsprechende Monopolmenge ist y ∗ = D(4) = 160/16 = 10; der
Monopolgewinn ist π ∗ = [4 − 2] · 10 = 20.
(b) Die Bestimmung des Monopolpreises erfolgt auf die gleiche Weise wie in der vorhergehenden Teilaufgabe, nur dass die konstante Elastizität nun −3 beträgt:
p∗ =
−3
3
c = c = 3.
1−3
2
Die entsprechende Monopolmenge ist y ∗ = D(p∗ ) = 540/27 = 20. Der Gewinn
ist π ∗ = [3 − 2] · 20 = 20.
(c) Die Preiselastizität dieser Nachfragefunktion ist (vgl. mit Aufgabe 3 von Blatt 1)
D (p) = −2p/(p + 1). Also gilt für den gewinnmaximierenden Preis
p∗ − c
p∗ + 1
=
⇒ 2p∗ − 2c = p∗ + 1 ⇒ p∗ = 1 + 2c = 5.
p∗
2p∗
Die entsprechende Monopolmenge ist y ∗ = 1/36. Der Monopolgewinn ist π ∗ =
[5 − 2]/36 = 3/36 = 1/12.
2. Der Monopolpreis ist durch die Lösung des Problems
max[p − t − c]D(p)
p
gegeben. (Aus Sicht des Monopolisten ist die Mengensteuer äquivalent zu einer Erhöhung
seiner Grenzkosten um den Betrag t – in beiden Fällen ist die Auswirkung, dass der
Stückgewinn um t reduziert wird.)
1 Schreiben
Sie die Nachfragefunktion als D(p) = 160p−2 und vergleichen Sie mit Aufgabe 2 auf Blatt 1.
1
(a) Die Bedingung erster Ordnung für den Monopolpreis
[p∗ − c − t]D0 (p∗ ) + D(p∗ ) = 0
liefert hier
1 A
+c+t ,
A − 2Bp + B[c + t] = 0 ⇒ p =
2 B
∗
∗
so dass der Monopolpreis bei Einführung einer Mengensteuer in Höhe von t um
den Betrag t/2 ansteigt.
(b) Hier ist der Monopolpreis durch die Bedingung
p∗ =
α
[c + t]
1+α
bestimmt, so dass die Einführung einer Mengensteuer mit Satz t den Monopolpreis um den Betrag αt/(1+α) verändert. Da α < −1 gilt, steigt der Monopolpreis
um mehr als den Satz der Mengensteuer an:
−α
−α
α
=
>
= 1.
1+α
−α − 1
−α
3. (a) Setzt der Monopolist den Preis p, so verkauft er die Menge 11 − p, sein resultierender Gewinn (unter Vernachlässigung etwaiger Fixkosten) ist also
π(p) = (p − 1)(11 − p).
Die Bedingung erster Ordnung für die Lösung des Monopolproblems ist
π 0 (p∗ ) = 0 ⇒ 12 − 2p∗ = 0 ⇒ p∗ = 6.
Also setzt der Monopolist den Preis p∗ = 6. Die verkaufte Menge bestimmt sich
dann aus der Nachfragefunktion als
y ∗ = D(p∗ ) = 5.
Die resultierende aggregierte Konsumentenrente entspricht der Fläche links von
der Nachfragefunktion zwischen p = 6 und p = 11. Diese Fläche ist
KR∗ =
5·5
= 12.5.
2
Die resultierende Produzentenrente ist
P R∗ = π(p∗ ) = 25.
In einem Wettbewerbsgleichgewicht würde das Eis zu einem Preis von p̃ = 1
angeboten. Für die resultierenden Produzenten- und Konsumentenrenten würde
dann gelten:
g = 10 · 10 = 50, P
g
KR
R = 0.
2
Verwendet man die Summe aus aggregierter Konsumenten- und Produzentenrente
als Wohlfahrtsmass, ist der Wohlfahrtsverlust durch das Monopol also
g +P
g
KR
R − KR∗ − P R∗ = 12.5.
2
Hinweis: Man kann diese Frage selbstverständlich auch dadurch beantworten,
dass man das Mengensetzungsproblem des Monopolisten löst. Die hier relevante
inverse Marktangebotsfunktion p(y) = 11 − y und die Bedingung “Grenzerlös
gleich Grenzkosten” führt auf 11 − 2y ∗ = 1, so dass die Monopolmenge als y ∗ = 5
bestimmt ist.
(b) Sei s > 0 der Mengensubventionssatz und p der Preis, den der Monopolist von
den Konsumenten verlangt. Der Monopolist maximiert nun
(p + s − c)D(p) = (p + s − 1)(11 − p),
da er neben dem Preis p auch noch die Subvention s pro verkaufter Einheit erhält.
Die Bedingung erster Ordnung für die Lösung dieses Problems ist
(11 − p) − (p + s − 1) = 0 ⇒ p = (12 − s)/2,
so dass der Monopolpreis bei einem Subventionssatz s durch p∗ (s) = (12 − s)/2
gegeben ist. Damit der Monopolist die Wettbewerbsmenge q̃ = 10 absetzt, muss
es für ihn optimal sein, den Preis p̃ = 1 zu setzen. Dieses ist für s = 10 der Fall.
Dem Monopolisten müsste also eine Mengensubvention von 10 pro verkauftem Eis
bezahlt werden, damit ein effizientes Ergebnis resultiert. Man beachte, dass die
resultierende Subventionszahlung von 100 doppelt so hoch wie die resultierende
aggregierte Konsumentenrente ist.
4. Die Bedingung erster Ordnung des Mengensetzungsproblems (“Grenzerlös gleich Grenzkosten”) ist:
12 − 2y ∗ = 2y ∗ .
Hieraus bestimmt sich die Monopolmenge als y ∗ = 3. Den Monopolpreis p∗ = 9 erhält
man durch Einsetzen der Monopolmenge in die inverse Nachfragefunktion. Der Monopolgewinn ist π ∗ = p∗ y ∗ − c(y ∗ ) = 27 − 13 = 14.
5. Hinweis: Die Aufgabe kann direkt mit Hilfe der Formeln für das Gleichgewicht im Cournot-Duopol aus der Vorlesung gelöst werden.
Der Gewinn des Unternehmers i = A, B ist
πi (yA , yB ) = p(yA + yB )yi − 140yi ,
wobei yi die Anzahl der von i bestellten Känguruhs bezeichnet. Für yA + yB ≤ 500
gilt somit2
πA (yA , yB ) = (360 − yA − yB )yA , πB (yA , yB ) = (360 − yA − yB )yB .
Gegeben yB wird Unternehmer A die Anzahl yA so wählen, dass seine Gewinne maximal werden. Die Bedingung erster Ordnung für die Gewinnmaximierung ist
360 − 2yA − yB = 0.
Da yA < 0 nicht möglich ist, ist die Reaktionsfunktion des A somit
(360 − yB )/2, falls yB ≤ 360
rA (yB ) =
0,
falls yB > 360.
2 Falls y + y > 500 ist, ist der Marktpreis gleich Null und der Gewinn ist −140y . Dieser Fall spielt im
i
A
B
folgenden keine Rolle.
3
Genau entsprechend erhält man die Reaktionsfunktion des B:
(360 − yA )/2, falls yA ≤ 360
rB (yA ) =
0,
falls yA > 360.
Abbildung 1: Reaktionsfunktionen und Cournot-Gleichgewicht zu Aufgabe 5.
∗
∗
) kann man als Schnittpunkt der Reaktionsfunk, yB
Das Cournot-Gleichgewicht (yA
tionen bestimmen:
∗
∗
∗
∗
yA
= rA (yB
), yB
= rB (yA
).
Setzt man für die Reaktionsfunktionen ein (und bedenkt dabei, dass in einem Schnittpunkt sicherlich beide Mengen kleiner als 360 sein müssen), erhält man das eindeutige
Nash-Gleichgewicht des Cournot-Spieles:
∗
∗
(yA
, yB
) = (120, 120).
Der Gleichgewichtspreis ist damit
∗
∗
p∗ = 500 − yA
− yB
= 260.
Die Gleichgewichtsgewinne der Firmen sind
∗
∗
πA
= πB
= (260 − 140) · 120 = 14400.
4
6. Die Formel für den Gleichgewichtspreis in einem symmetrischen Cournot-Oligopol mit
n Unternehmen ist
a + nc
,
p∗ =
n+1
wobei a der vertikale Achsenabschnitt der Preis-Absatz-Funktion ist und c die identischen konstanten Stückkosten der Unternehmen bezeichnet. Laut Aufgabenstellung
gilt n = 5, a = 80 und p∗ = 20. Setzt man diese Zahlenwerte in die obige Formel ein,
erhält man:
80 + 5c
⇒ c = 8.
20 =
6
Die zu bestimmenden Stückkosten sind also 8.
7. (a) Falls Y−i > 8 gilt, liegt der Marktpreis unabhängig von der Mengenwahl von
Unternehmen i auf alle Fälle unterhalb der Grenzkosten c = 2. Es ist somit
optimal, nicht zu produzieren:
ri (Y−i ) = 0.
Falls Y−i ≤ 8 gilt, ist die optimale Entscheidung von Unternehmen i durch die
Lösung des Maximierungsproblems
max [10 − Y−i − yi − 2] yi .
yi
gegeben. Aus der Bedingung erster Ordnung folgt:
8 − Y−i − 2yi = 0 ⇒ ri (Y−i ) =
8 − Y−i
.
2
(b) In einem symmetrischen Cournot-Gleichgewicht wählen alle Unternehmen die
gleiche Menge y ∗ . Die Gesamtausbringungsmenge der Konkurrenten eines Unternehmens i ist dann (n − 1)y ∗ . Eine solche symmetrische Strategiekombination ist
genau dann ein Nash-Gleichgewicht, wenn y ∗ eine beste Antwort von Unternehmen i auf diese Gesamtausbringungsmenge der Konkurrenz ist:
y ∗ = ri ((n − 1)y ∗ )
Setzt man dieses in die zuvor bestimmte Reaktionsfunktion ein, erhält man:3
y∗ =
8 − (n − 1)y ∗
8
⇒ y∗ =
.
2
n+1
Der Gleichgewichtsgewinn eines Unternehmens ist durch
πn∗ = [10 − ny ∗ − 2] y ∗ − F =
64
−F
(n + 1)2
gegeben.
(c) Die Gleichgewichtsgewinne sind streng fallend in n und erfüllen
π3∗ = 4 − 3 = 1 > 0 > π4∗ = 64/25 − 3 = −11/25.
Somit werden langfristig genau 3 Unternehmen in dem Markt aktiv sein:
3 Es
kann keine Lösung mit y ∗ = 0 geben, so dass dieser Teil der Reaktionsfunktion ignoriert werden
kann.
5
• Treten weniger als 3 Unternehmen ein, so könnte ein weiteres Unternehmen
durch den Marktzutritt streng positive Gewinne erzielen.
• Treten mehr als 3 Unternehmen ein, so erleiden die aktiven Unternehmen
Verluste und ihre beste Antwort wäre daher, nicht einzutreten.
• Treten genau 3 Unternehmen ein, so erzielt jedes der eingetretenen Unternehmen streng positive Gewinne, während die nicht-aktiven Unternehmen
bei einem Marktzutritt Verluste erleiden würden. Also kann sich kein Unternehmen durch die Wahl einer alternativen Strategie verbessern.
(d) Mit der gleichen Logik wie in der vorhergehenden Aufgabe folgt nun, dass 4
Unternehmen in dem Markt aktiv sein werden, da
π4∗ > 0 > π5∗ = 64/36 − 2
gilt.
Aggregierte Handelsgewinne ohne Subvention: In dem CournotGleichgewicht mit 3 Unternehmen werden insgesamt 6 Einheiten des Gutes zum
Preis von 4 verkauft, so dass die aggregierte Konsumentenrente 36/2 = 18 beträgt.
Die aggregierte Produzentenrente beträgt (unter Berücksichtigung der Marktzutrittskosten, die hier als variabel anzusehen sind) 3, so dass die aggregierten
Handelsgewinne gleich 21 sind.
Aggregierte Handelsgewinne mit Subvention: In dem Cournot-Gleichgewicht
mit 4 Unternehmen werden insgesamt 32/5 Einheiten des Gutes zum Preis von
18/5 verkauft, so dass die aggregierte Konsumentenrente 32 · 16/25 = 512/25 beträgt. Die aggregierte Produzentenrente beträgt (wieder unter Berücksichtigung
der Marktzutrittskosten) 4 · (64/25 − 2) = 56/25, so dass die Summe aus aggregierter Konsumentenrente und aggregierter Produzentenrente gleich 568/25 ist.
Hiervon sind jedoch noch die Subventionszahlungen in Höhe von 4 = 100/25 abzuziehen, so dass sich ein aggregierter Handelsgewinn von 468/25 < 21 ergibt.
Durch die Subventionszahlung werden also die aggregierten Handelsgewinne reduziert.
Bemerke: Die Subventionierung des Markteintritts kann auch positive Effekte
auf die aggregierten Handelsgewinne haben. Betrachte z.B. den Fall F = 17. Ohne Subvention tritt dann kein Unternehmen ein; die aggregierten Handelsgewinne
sind Null. Wird eine Subvention in Höhe von 2 gezahlt, wird ein Unternehmen
in den Markt eintreten und 4 Einheiten zum Preis von 6 verkaufen. Die resultierende aggregierte Konsumentenrente ist 8. Die Produzentenrente ist 1. Insgesamt
entsteht also ein Handelsgewinn von 8 + 1 − 2 = 7.
8. (a) Setzen alle Unternehmen den gleichen Preis, so hat jedes Unternehmen den Marktanteil 1/N , verkauft also an L/N Konsumenten. Der resultierende Erlös ist pL/N ,
die Kosten sind cL/N − F , so dass der Gewinn [p − c]L/N − F ist. Bei freiem
Marktzutritt erzielen alle aktiven Unternehmen Nullgewinne:
L[p − c]
L
[p − c] − F = 0 ⇒ N =
.
N
F
Also werden [p − c]L/F Unternehmen im Markt aktiv sein.
(b) Eine Erhöhung des Preises führt zu einem Anstieg der Anzahl aktiver Unternehmen. Da bereits bei dem langfristigen Wettbewerbspreis zu viele Unternehmen
im Markt aktiv sind, führt ein Anstieg von p über dieses Niveau hinaus zu einer
Verringerung der aggregierten Handelsgewinne.
6
(c) Die optimale Anzahl von aktiven Unternehmen ist
r
t·L
∗
.
N =
2F
Damit diese Anzahl von Unternehmen in den Markt eintritt, muss
r
r
t·L
t·F
L[p − c]
=
⇒p=c+
F
2F
2L
gelten.
7