Lösungen

Georg Nöldeke
Herbstsemester 2012
Intermediate Microeconomics
Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 5
1. Hinweis: Der gewinnmaximierende Preis ist im Fall konstanter Grenzkosten in der
Höhe von c nach der inversen Elastizitätenregel durch die Lösung der Gleichung
1
p∗ − c
=− ∗
∗
p
(p )
oder alternativ durch die Gleichung
p∗ =
1
c
1 + 1/(p∗ )
gegeben.
Alternativ könnte man die Monopollösung auch aus der Formulierung als Mengensetzungsproblems erhalten. Dazu müsste man aber zunächst die Marktnachfragefunktionen invertierten, um die Preis-Absatz-Funktionen zu erhalten. Diesen Aufwand kann
man sich sparen.
(a) Die Preiselastizität dieser Nachfragefunktion ist konstant gleich −2, so dass der
gewinnmaximierenden Preis durch
p∗ =
1
c = 2c = 4
1 − 1/2
gegeben ist. Die entsprechende Monopolmenge ist y ∗ = D(4) = 160/16 = 10; der
Monopolgewinn ist π ∗ = [4 − 2] · 10 = 20.
(b) Die Bestimmung des Monopolpreises erfolgt auf die gleiche Weise wie in der vorhergehenden Teilaufgabe, nur dass die konstante Elastizität nun −3 beträgt:
p∗ =
1
3
c = c = 3.
1 − 1/3
2
Die entsprechende Monopolmenge ist y ∗ = D(p∗ ) = 540/27 = 20. Der Gewinn
ist π ∗ = [3 − 2] · 20 = 20.
(c) Die Preiselastizität dieser Nachfragefunktion ist (vgl. mit Aufgabe 3 von Aufgabenblatt 1) (p) = −2p/(p + 1). Also gilt für den gewinnmaximierenden Preis
p∗ − c
p∗ + 1
=
⇒ 2p∗ − 2c = p∗ + 1 ⇒ p∗ = 1 + 2c = 5.
p∗
2p∗
Die entsprechende Monopolmenge ist y ∗ = 1/36. Der Monopolgewinn ist π ∗ =
[5 − 2]/36 = 3/36 = 1/12.
2. Hinweis: Da die Preis-Absatz-Funktion gegeben ist und die Grenzkosten nicht linear
sind, bietet es sich an, das Mengensetzungsproblem zu verwenden.
Die Bedingung erster Ordnung des Mengensetzungsproblems (“Grenzerlös gleich Grenzkosten”) ist:
12 − 2y ∗ = 2y ∗ .
Hieraus bestimmt sich die Monopolmenge als y ∗ = 3. Den Monopolpreis p∗ = 9 erhält
man durch Einsetzen der Monopolmenge in die inverse Nachfragefunktion. Der Monopolgewinn ist π ∗ = p∗ y ∗ − c(y ∗ ) = 27 − 13 = 14.
1
3. Der Lerner-Index ist (6000 − 2000)/6000 = 2/3. Handelt es sich bei 6000 um den Monopolpreis, so ist die Preiselastizität der Marktnachfrage durch −3/2 = −1.5 gegeben.
4. Hinweis: Da die Nachfragefunktion des Monopolisten gegeben ist und die Auswirkung
einer Mengensteuer in der Vorlesung im Rahmen des Preissetzungsproblems betrachtet
wurde, bietet es sich an, dieses zu betrachten. Da die Preiselastistizität nicht konstant
ist, sind dabei die Elastizitätsformeln der Folien 20-24 nicht so hilfreich - es ist einfacher, dass Preissetzungsproblem als solches zu betrachten.
Der Monopolpreis kann durch die Lösung des Preissetzungsproblems
max[p − c − τ ]D(p)
p
bestimmt werden. (Aus Sicht des Monopolisten ist die Mengensteuer äquivalent zu
einer Erhöhung seiner Grenzkosten um den Betrag τ .) Die Bedingung erster Ordnung
für den Monopolpreis
[p∗ − c − τ ]D0 (p∗ ) + D(p∗ ) = 0
liefert hier
A − 2Bp∗ + B[c + τ ] = 0 ⇒ p∗ =
1 A
+c+τ ,
2 B
so dass der Monopolpreis bei Einführung einer Mengensteuer in Höhe von τ um den
Betrag τ /2 ansteigt.
5. Allfällige Fixkosten können bei der Beanwortung der Frage ignoriert werden, da sie
keinen Einfluss auf die Lösung des Gewinnmaximierungsproblems haben. In den folgenden Berechnungen wird daher unterstellt, dass dem Kabelfernsehanbieter keinerlei
Kosten entstehen, so dass sein Gewinn mit seinem Erlös übereinstimmt.
(a) Da alle Konsumenten identisch sind, kann der Kabelfernsehanbieter (wie bei der
perfekten Preisdiskriminierung) die gesamte Konsumentenrente abschöpfen und
dadurch den maximalen Gewinn erzielen. Hierzu ist zum einen, da die Grenzkosten gleich Null sind, p = 0 und zum anderen Z = kr2 (0) zu setzen, wobei
kr2 (p) die Konsumentenrente ist, welche ein Kunde erzielt, der keine Grundgebühr zu zahlen hat. Es verbleibt, die Konsumentenrente kr2 (0) zu bestimmen.
Da die Nachfragefunktion eines Konsumentens durch d2 (p) = 10 − p gegeben
ist, bestimmt sich die Konsumentenrente (nach der bekannten Dreiecksformel)
als kr2 (p) = (10 − p)2 /2. Insbesondere gilt kr2 (0) = 50, so dass dieses die optimale monatliche Grundgebühr ist. Diese Grundgebühr entspricht zugleich dem
Gewinn, welcher der Anbieter pro Kunde im Monat erzielt.
(b) Die zusätzlichen Kunden besitzen eine geringere Zahlungsbereitschaft als die zuvor betrachteten Kunden; insbesondere ist ihre Konsumentenrente durch kr1 (p) =
(8 − p)2 /2 gegeben. Es gibt so zwei Kandidaten für die Lösung des Gewinnmaximierungsproblems.
Es könnte, erstens, optimal sein, nur die Kunden mit hoher Zahlungsbereitschaft
zu bedienen. In diesem Fall sind die zuvor bestimmten Werte p = 0 und Z = 50
diejenigen, die zu dem höchsten Gewinn führen. Wenn n die Anzahl von Kunden
in jeder der Gruppen bezeichnet, so ist der aus dieser Vorgehensweise resultierende
Gewinn 50n.
Es könnte, zweitens, optimal sein, die Grundgebühr und den Preis so zu wählen,
dass alle Kunden ein Abonnement erwerben. Hier lässt sich der höchste Gewinn
2
dadurch erzielen, dass die Grundgebühr als kr1 (p) festgesetzt und p als die Lösung
von
max [2kr1 (p) + p [d1 (p) + d2 (p)]] n
p
gewählt wird. Der Ausdruck, der hier maximiert werden soll, ist nichts anderes als
der Gewinn des Monopolisten, da er kr1 (p) + pd1 (p) an jedem der n Kunden der
Gruppe 1 sowie kr1 (p) + pd2 (p) an jedem der n Kunden der Gruppe 2 verdient.
Nun gilt:
2kr1 (p) + p [d1 (p) + d2 (p)] = (8 − p)2 + p [18 − 2p] ,
so dass die Bedingung erster Ordnung für die optimale Wahl von p durch
[−(16 − 2p) + 18 − 4p] n = 0 ⇒ p = 1
gegeben ist. Die dazugehörige Grundgebühr ist Z = kr1 (1) = 24.50. Der resultierende Gewinn ist
[49 + 16] n = 65n.
Da 65n > 50n ist, sind die gewinnmaximierenden Werte durch p = 1 und Z =
24.50 gegeben.
6. (a) Die Monopolmenge in Land 1 ist durch die Bedingung M R1 (y1 ) = 100−2y1 = 20
als y1 = 40 bestimmt. Der dazugehörige Monopolpreis ist p1 = 60. Die Monopolmenge in Land 2 ist durch die Bedingung M R2 (y2 ) = 80 − 4y2 = 20 als y2 = 15
bestimmt. Der dazugehörige Monopolpreis ist p2 = 50.
(b) Um diese Frage zu beantworten, ist es zunächst erforderlich, die Menge zu bestimmen, welche der Monopolist absetzt, wenn er in beiden Ländern den gleichen Preis p setzt. Diese Menge ist durch D(p) = D1 (p) + D2 (p) gegeben,
wobei Di (p) die bei Preis p nachgefragte Menge in Land i ist. Im relevanten
Preisbereich1 gilt D1 (p) = 100 − p sowie D2 (p) = 40 − p/2. (Die vorhergehenden Marktnachfragefunktionen erhält man durch Invertieren der vorgegebenen Preis-Absatz-Funktionen). Also ist die aggregierte Nachfrage in diesem
Bereich durch D(p) = 140 − 3p/2 gegeben. Die entsprechende Preis-AbsatzFunktion ist p(y) = 280/3 − 2y/3. Die Monopolmenge ist durch die Bedingung
280/3 − 4y/3 = 20 als y = 55 bestimmt. Der dazugehörige Monopolpreis ist
p = 170/3.
(c) Der Gewinn des Monopolisten fällt durch das Verbot der Preisdiskriminierung.
Mit Preisdiskriminierung erzielt der Monopolist einen Gewinn in Höhe von 402 =
1600 in Land 1; in Land 2 erzielt er einen Gewinn in Höhe von 15 · 30 = 450.
Insgesamt beträgt sein Gewinn mit Preisdiskriminierung also 2050 = 12300/6.
Ohne Preisdiskriminierung ist der Gewinn des Monopolisten 55·110/3 = 1102 /6 =
12100/6. Der Gewinn des Monopolisten fällt also um 200/6 = 300/9.
Die Konsumenten in Land 1 profitieren von dem Verbot der Preisdiskriminierung,
da der Preis von 60 = 180/3 auf 170/3 fällt. Der hieraus resultierende Zugewinn
an Konsumentenrente in Land 1 beträgt 10/3 · 40 + (10/3)2 /2 = 10/3 · 125/3 =
1250/9.
Die Konsumenten in Land 2 werden durch das Verbot der Preisdiskriminierung
schlechter gestellt, da der Preis von 50 = 150/3 auf 170/3 steigt. Der hieraus
1 Relevant sind hier die Preise zwischen den Monopolpreisen 50 bzw. 60, die mit Preisdiskriminierung
resultieren, da nur Preise in diesem Bereich für den Monopolisten optimal sein können.
3
resultierende Verlust an Konsumentenrente in Land 2 beträgt 20/3 · 70/6 + 20/3 ·
10/6 = 20/3 · 80/6 = 800/9.
Beachte, dass der aggregierte Handelsgewinn durch das Verbot der Preisdiskriminierung steigt, da 1250/9 > 300/9 + 800/9 und somit der Zugewinn an Konsumentenrente in Land 1 den Verlust an Produzentenrente und Konsumentenrente
in Land 2 übersteigt. Zu diesem Schluss hätte man auch ohne die Berechnung
von Konsumenten- und Produzentenrenten kommen können, da die aggregierte
Menge in beiden Situationen 55 beträgt. Das Verbot der Preisdiskriminierung
sorgt dafür dass diese (zu geringe) Gesamtmenge effizient unter den Konsumenten aufgeteilt wird und somit die höchstmöglichen aggregierten Handelsgewinne
aus der Produktion dieser 55 Einheiten erzielt werden.
7. Die Formel für die Gleichgewichtsmengen in einem Cournot-Duopol ist
y∗ =
a−c
.
3b
Hier gilt a = 20, c = 2 und b = 2. Es folgt y ∗ = 3. Die Gesamtproduktionsmenge ist
also Y ∗ = 2y ∗ = 6. Setzt man diese Menge in die Preis-Absatz-Funktion ein, erhält
man den Gleichgewichtspreis:
p∗ = p(Y ∗ ) = 20 − 2 · 6 = 8,
so dass der Gleichgewichtspreis 8 ist. Der Stückgewinn beträgt daher p∗ −c = 8−2 = 6,
so dass der Gleichgewichtsgewinn eines Unternehmens durch 6 · y ∗ = 18 gegeben ist.
8. Die Formel für den Gleichgewichtspreis in einem symmetrischen Cournot-Oligopol mit
n Unternehmen ist
a + nc
p∗ =
,
n+1
wobei a der vertikale Achsenabschnitt der Preis-Absatz-Funktion ist und c die identischen konstanten Stückkosten der Unternehmen bezeichnet. Laut Aufgabenstellung
gilt n = 5, a = 80 und p∗ = 20. Setzt man diese Zahlenwerte in die obige Formel ein,
erhält man:
80 + 5c
20 =
⇒ c = 8.
6
Die zu bestimmenden Stückkosten sind also 8.
9. (a) Falls Y−i > 8 gilt, liegt der Marktpreis unabhängig von der Mengenwahl von
Unternehmen i auf alle Fälle unterhalb der Grenzkosten c = 2. Es ist somit
optimal, nicht zu produzieren:
Bi (Y−i ) = 0.
Falls Y−i ≤ 8 gilt, ist die optimale Entscheidung von Unternehmen i durch die
Lösung des Maximierungsproblems
max [10 − Y−i − yi − 2] yi .
yi
gegeben. Aus der Bedingung erster Ordnung folgt:
8 − Y−i − 2yi = 0 ⇒ Bi (Y−i ) =
4
8 − Y−i
.
2
(b) In einem symmetrischen Cournot-Gleichgewicht wählen alle Unternehmen die
gleiche Menge y ∗ . Die Gesamtausbringungsmenge der Konkurrenten eines Unternehmens i ist dann (n − 1)y ∗ . Eine solche symmetrische Strategiekombination ist
genau dann ein Nash-Gleichgewicht, wenn y ∗ eine beste Antwort von Unternehmen i auf diese Gesamtausbringungsmenge der Konkurrenz ist:
y ∗ = Bi ((n − 1)y ∗ )
Setzt man dieses in die zuvor bestimmte Reaktionsfunktion ein, erhält man:2
y∗ =
8
8 − (n − 1)y ∗
⇒ y∗ =
.
2
n+1
Der Gleichgewichtsgewinn eines Unternehmens ist durch
πn∗ = [10 − ny ∗ − 2] y ∗ − F =
64
−F
(n + 1)2
gegeben.
(c) Die Gleichgewichtsgewinne sind streng fallend in n und erfüllen
π3∗ = 4 − 3 = 1 > 0 > π4∗ = 64/25 − 3 = −11/25.
Somit werden langfristig genau 3 Unternehmen in dem Markt aktiv sein:
• Treten weniger als 3 Unternehmen ein, so könnte ein weiteres Unternehmen
durch den Marktzutritt streng positive Gewinne erzielen.
• Treten mehr als 3 Unternehmen ein, so erleiden die aktiven Unternehmen
Verluste und ihre beste Antwort wäre daher, nicht einzutreten.
• Treten genau 3 Unternehmen ein, so erzielt jedes der eingetretenen Unternehmen streng positive Gewinne, während die nicht-aktiven Unternehmen
bei einem Marktzutritt Verluste erleiden würden. Also kann sich kein Unternehmen durch die Wahl einer alternativen Strategie verbessern.
(d) Mit der gleichen Logik wie in der vorhergehenden Aufgabe folgt nun, dass 4
Unternehmen in dem Markt aktiv sein werden, da
π4∗ > 0 > π5∗ = 64/36 − 2
gilt.
Aggregierte Handelsgewinne ohne Subvention: In dem Cournot-Gleichgewicht mit 3 Unternehmen werden insgesamt 6 Einheiten des Gutes zum Preis
von 4 verkauft, so dass die aggregierte Konsumentenrente 36/2 = 18 beträgt.
Die aggregierte Produzentenrente beträgt (unter Berücksichtigung der Marktzutrittskosten, die hier als variabel anzusehen sind) 3, so dass die aggregierten
Handelsgewinne gleich 21 sind.
Aggregierte Handelsgewinne mit Subvention: In dem Cournot-Gleichgewicht mit 4 Unternehmen werden insgesamt 32/5 Einheiten des Gutes zum Preis
von 18/5 verkauft, so dass die aggregierte Konsumentenrente 32 · 16/25 = 512/25
beträgt. Die aggregierte Produzentenrente beträgt (wieder unter Berücksichtigung
2 Es kann keine Lösung mit y ∗ = 0 geben, so dass dieser Teil der Reaktionsfunktion ignoriert werden
kann.
5
der Marktzutrittskosten) 4 · (64/25 − 2) = 56/25, so dass die Summe aus aggregierter Konsumentenrente und aggregierter Produzentenrente gleich 568/25 ist.
Hiervon sind jedoch noch die Subventionszahlungen in Höhe von 4 = 100/25 abzuziehen, so dass sich ein aggregierter Handelsgewinn von 468/25 < 21 ergibt.
Durch die Subventionszahlung werden also die aggregierten Handelsgewinne reduziert.
Bemerke: Die Subventionierung des Markteintritts kann auch positive Effekte
auf die aggregierten Handelsgewinne haben. Betrachte z.B. den Fall F = 17. Ohne Subvention tritt dann kein Unternehmen ein; die aggregierten Handelsgewinne
sind Null. Wird eine Subvention in Höhe von 2 gezahlt, wird ein Unternehmen
in den Markt eintreten und 4 Einheiten zum Preis von 6 verkaufen. Die resultierende aggregierte Konsumentenrente ist 8. Die Produzentenrente ist 1. Insgesamt
entsteht also ein Handelsgewinn von 8 + 1 − 2 = 7.
10. (a) Setzen alle Unternehmen den gleichen Preis, so hat jedes Unternehmen den Marktanteil 1/N , verkauft also an L/N Konsumenten. Der resultierende Erlös ist pL/N ,
die Kosten sind cL/N − F , so dass der Gewinn [p − c]L/N − F ist. Bei freiem
Marktzutritt erzielen alle aktiven Unternehmen Nullgewinne:
L[p − c]
L
[p − c] − F = 0 ⇒ N =
.
N
F
Also werden [p − c]L/F Unternehmen im Markt aktiv sein.
(b) Eine Erhöhung des Preises führt zu einem Anstieg der Anzahl aktiver Unternehmen. Da bereits bei dem langfristigen Wettbewerbspreis zu viele Unternehmen
im Markt aktiv sind, führt ein Anstieg von p über dieses Niveau hinaus zu einer
Verringerung der aggregierten Handelsgewinne.
(c) Die optimale Anzahl von aktiven Unternehmen ist
r
t·L
∗
N =
.
2F
Damit diese Anzahl von Unternehmen in den Markt eintritt, muss
r
r
L[p − c]
t·L
t·F
=
⇒p=c+
F
2F
2L
gelten.
6