Lösungen

Georg Nöldeke
Frühjahrssemester 2009
VWL 3: Mikroökonomie
Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 4
1. Der gewinnmaximierende Preis ist im Fall konstanter Grenzkosten in der Höhe von c
durch die Lösung des Problems
max[p − c]D(p)
p
mit der Bedingung erster Ordnung
[p − c]D0 (p) + D(p) = 0
bestimmt. Zur Lösung der Aufgabe kann man entweder direkt diese Bedingung erster
Ordnung verwenden oder sie mit Hilfe der Preiselastizität umschreiben:
D (p)
c
1 + D (p)
p−c
1
=−
.
p
D (p)
[p − c]D0 (p) + D(p) = 0 ⇔ p =
⇔
(a) Die Preiselastizität dieser Nachfragefunktion ist konstant gleich −2 (vgl. Aufgabe
2 auf Blatt 3), so dass der gewinnmaximierenden Preis durch
p∗ =
−2
c = 2c = 4
1−2
gegeben ist. Die entsprechende Monopolmenge ist y ∗ = 160/16 = 10; der Monopolgewinn ist π ∗ = [4 − 2] · 10 = 20.
(b) Die Bestimmung des Monopolpreises erfolgt auf die gleiche Weise wie in der vorhergehenden Teilaufgabe, nur dass die konstante Elastizität nun −3 beträgt:
p∗ =
−3
3
= c = 3.
1−3
2
Die entsprechende Monopolmenge ist y ∗ = 540/27 = 20. Der Gewinn ist π ∗ =
[3 − 2] · 20 = 20.
(c) Die Preiselastizität dieser Nachfragefunktion ist (vgl. Aufgabe 3 von Blatt 3)
D (p) = −2p/(p + 1). Also gilt für den gewinnmaximierenden Preis
p∗ + 1
p∗ − c
=
⇒ 2p∗ − 2c = p∗ + 1 ⇒ p∗ = 1 + 2c = 5.
∗
p
2p∗
Die entsprechende Monopolmenge ist y ∗ = 1/36. Der Monopolgewinn ist π ∗ =
[5 − 2]/36 = 3/36.
(d) Die Elastizität dieser Nachfragefunktion ist D (p) = −p/(p + 1) > −1, so dass
diese Marktnachfragefunktion für alle p unelastisch ist. Hieraus folgt, dass das
Monopolproblem in diesem Fall keine Lösung hat, da der Erlös (und somit auch
der Gewinn) streng steigend in dem Preis ist.
1
2. Aus Sicht des Monopolisten ist die Mengensteuer äquivalent zu einer Erhöhung seiner
Grenzkosten um den Betrag t, so dass der Monopolpreis durch die Lösung des Problems
max[p − c − t]D(p)
p
gegeben ist.
(a) Die Bedingung erster Ordnung für den Monopolpreis
[p∗ − c − t]D0 (p∗ ) + D(p∗ ) = 0
liefert hier
i
1 ha
+c+t ,
2 b
so dass der Monopolpreis bei Einführung einer Mengensteuer in Höhe von t um
den Betrag t/2 ansteigt.
Beachte: Die Annahme aus der Aufgabenstellung, dass die Monopolmenge streng
positiv ist, ist hier erfüllt, solange der Preis, der aus der Bedingung erster Ordnung bestimmt wurde, kleiner als a/b ist, d.h. es muss c + t < a/b gelten. Ist
diese Bedingung verletzt, ist y ∗ = 0 die Monopolmenge; jeder Preis p > a/b ist
ein dazugehöriger Monopolpreis.
a − 2bp∗ + b[c + t] = 0 ⇒ p∗ =
(b) Hier ist der Monopolpreis durch die Bedingung
p∗ =
α
[c + t]
1+α
bestimmt, so dass die Einführung einer Mengensteuer mit Satz t den Monopolpreis um den Betrag αt/(1 + α) erhöht. Da eine Lösung des Monopolproblems
nur für α < −1 existiert, steigt der Monopolpreis um mehr als den Satz der
Mengensteuer an:
α
−α
−α
=
>
= 1.
1+α
−α − 1
−α
3. (a) Setzt der Monopolist den Preis p, so verkauft er die Menge 11 − p, sein resultierender Gewinn (unter Vernachlässigung etwaiger Fixkosten) ist also
π(p) = (p − 1)(11 − p).
Die Bedingung erster Ordnung für die Lösung des Monopolproblems ist
π 0 (p∗ ) = 0 ⇒ 12 − 2p∗ = 0 ⇒ p∗ = 6.
Also setzt der Monopolist den Preis p∗ = 6. Die verkaufte Menge bestimmt sich
dann aus der Nachfragefunktion als
y ∗ = D(p∗ ) = 5.
Die resultierende aggregierte Konsumentenrente entspricht der Fläche links von
der Nachfragefunktion zwischen p = 6 und p = 11. Diese Fläche ist
KR∗ =
2
5·5
= 12.5.
2
Die resultierende Produzentenrente ist
P R∗ = π(p∗ ) = 25.
In einem Wettbewerbsgleichgewicht würde das Eis zu einem Preis von p̃ = 1
angeboten. Für die resultierenden Produzenten- und Konsumentenrenten würde
dann gelten:
g
g = 10 · 10 = 50, P
R = 0.
KR
2
Verwendet man die Summe aus aggregierter Konsumenten- und Produzentenrente
als Wohlfahrtsmass, ist der Wohlfahrtsverlust durch das Monopol also
g +P
g
KR
R − KR∗ − P R∗ = 12.5.
Hinweis: Man kann diese Frage selbstverständlich auch dadurch beantworten,
dass man das Mengensetzungsproblem des Monopolisten löst. Die hier relevante
inverse Marktangebotsfunktion p(y) = 11 − y und die Bedingung “Grenzerlös
gleich Grenzkosten” führt auf 11 − 2y ∗ = 1, so dass die Monopolmenge als y ∗ = 5
bestimmt ist.
(b) Sei s > 0 der Mengensubventionssatz und p der Preis, den der Monopolist von
den Konsumenten verlangt. Der Monopolist maximiert nun
(p + s − c)D(p) = (p + s − 1)(11 − p),
da er neben dem Preis p auch noch die Subvention s pro verkaufter Einheit erhält.
Die Bedingung erster Ordnung für die Lösung dieses Problems ist
(11 − p) − (p + s − 1) = 0 ⇒ p = (12 − s)/2,
so dass der Monopolpreis bei einem Subventionssatz s durch p∗ (s) = (12 − s)/2
gegeben ist. Damit der Monopolist die Wettbewerbsmenge q̃ = 10 absetzt, muss
es für ihn optimal sein, den Preis p̃ = 1 zu setzen. Dieses ist für s = 10 der Fall.
Dem Monopolisten müsste also eine Mengensubvention von 10 pro verkauftem Eis
bezahlt werden, damit ein effizientes Ergebnis resultiert. Man beachte, dass die
resultierende Subventionszahlung von 100 doppelt so hoch wie die resultierende
aggregierte Konsumentenrente ist.
4. Die inverse Nachfragefunktion ist p(y) = max{0, 12 − y}, so dass die Bedingung erster
Ordnung (“Grenzerlös gleich Grenzkosten”) zu der Formulierung des Monopolproblems
als
max p(y)y − c(y)
y
wie folgt lautet:
12 − 2y ∗ = 2y ∗ .
Hieraus bestimmt sich die Monopolmenge als y ∗ = 3. Der Monopolpreis ist (Einsetzen
in die inverse Nachfragefunktion) also p∗ = 9. Der Monopolgewinn ist π ∗ = p∗ y ∗ −
c(y ∗ ) = 27 − 13 = 14.
5. Nein. Für die Bestimmung des Monopolpreis kommt es nicht auf die Veränderung
der nachgefragten Menge bei einem gegebenen Preis sondern auf die Veränderung
der Elastizität an. Insbesondere gilt: steigt der Absolutwert der Elastizität durch die
Verschiebung der Nachfragefunktion an, so wird der Monopolpreis fallen.
3
Als Beispiel sei der Fall betrachtet, in dem sich die Nachfragefunktion von D(p) = p−2
zu D̃(p) = p−2 + p−3 verschiebt und der Monopolist mit konstanten Grenzkosten in
Höhe von 1 produziert. In der Ausgangssituation in der Monopolpreis p∗ = 2. In der
neuen Situation gilt
1
3
[2 − 1]D̃0 (2) + D̃(2) = − + < 0,
16 8
so dass der Gewinn des Monopolisten ansteigt, wenn er den Preis senkt.
Bemerke: Sicher ist hingegen, dass der Monopolgewinn steigt, wenn sich die Nachfragefunktion nach aussen verschiebt: der Monopolist könnte seine Menge unverändert
lassen. Seine Kosten sind dann unverändert, während der Erlös steigt.
6. (a) Da es keine Kosten gibt, maximiert der Monopolist in jedem Land seinen Erlös
(a − bi p)p. Der resultierende Monopolpreis ist
p∗i =
a
>0
2bi
mit entsprechender Monopolmenge
qi∗ =
a
.
2
Beachte, dass die Monopolmenge für beide Gruppen identisch ist, Gruppe 1 aber
den höheren Preis zu zahlen hat.
(b) Angenommen, es ist optimal für den Monopolisten, den Preis so zu setzen, dass
Konsumenten in beiden Ländern das Gut nachfragen. Für solche Preise ist der
Erlös des Monopolisten p[D1 (p) + D2 (p)] = [2a − (b1 + b2 )p]p. Die Bedingung
erster Ordnung für die Maximierung dieses Erlös ist 2a − 2(b1 + b2 )p = 0 und
führt auf den Monopolpreis
a
p̃ =
.
(1)
b1 + b2
Zu diesem Preis wird in Land 1 die Menge q̃1 = ab2 /(b1 + b2 ) und in Land 2 die
Menge q̃2 = ab1 /(b1 +b2 ) verkauft. Die Gesamtmenge ist q̃1 +q̃2 = a und entspricht
der Gesamtmenge aus Teil (a) der Aufgabe. Der resultierende Monopolgewinn ist
π̃ =
a2
.
b1 + b2
(2)
Angenommen, es ist optimal nur an Konsumenten aus Land 1 zu verkaufen. Aus
Teil (a) der Aufgabe wissen wir dann bereits, dass der Monopolpreis p∗1 = a/2b1
und die Monopolmenge q1∗ = a/2 ist. Der resultierende Monopolgewinn ist
π1∗ =
a2
.
4b1
(3)
Der Vergleich dieser beiden Monopolgewinne erlaubt, es zu bestimmen, für welche
Parameterwerte welcher der beiden Preise tatsächlich optimal ist: Gilt b2 > 3b1
erzielt der Monopolist einen grösseren Gewinn, wenn er den Preis p∗1 setzt und
nur in Land 1 verkauft. Gilt umgekehrt b2 < 3b1 , so erzielt der Monopolist einen
grösseren Gewinn, wenn er den Preis p̃ setzt und in beiden Ländern verkauft.
4
(c) Verkauft der Monopolist nach Verbot der Preisdiskriminierung nur an die Konsumenten in Land 1, gilt also 3b1 < b2 , so ist offenkundig, dass ein Verbot der
Preisdiskriminierung die aggregierten Handelsgewinne reduziert: der Handelsgewinn, der aus dem Verkauf in Land 1 resultiert, bleibt unverändert, während der
Handelsgewinnn aus dem Verkauf in Land 2 durch das Verbot der Preisdiskriminierung vernichtet wird.
Verkauft der Monopolist nach Verbot der Preisdiskriminierung in beiden Ländern,
gilt also 3b1 > b2 , so steigt durch ein Verbot der Preisdiskriminierung hingegen
der aggregierte Handelsgewinn: die Gesamtproduktionsmenge des Monopolisten
hängt nicht davon ab, ob die Preisdiskriminierung erlaubt ist oder nicht. Mit
Preisdiskriminierung wird diese Gesamtmenge jedoch ineffizient unter den Konsumenten aufgeteilt (da die Preise unterschiedlich sind), so dass der aggregierte
Handelsgewinn geringer ist.
7. (a) Der Gewinn eines Unternehmers i = A, B ist
Gi (KA , KB ) = p(KA + KB )Ki − 140Ki .
Für KA + KB ≤ 500 gilt somit1
GA (KA , KB ) = (360 − KA − KB )KA , GB (KA , KB ) = (360 − KA − KB )KB .
(b) Gegeben KA wird Unternehmer A die Anzahl KA so wählen, dass seine Gewinne
maximal werden. Die Bedingung erster Ordnung für die Gewinnmaximierung ist
360 − 2KA − KB = 0.
Da KA < 0 nicht möglich ist, ist die Reaktionsfunktion des A somit
(360 − KB )/2, falls KB ≤ 360
rA (KB ) =
0,
falls KB ≥ 360.
Genau entsprechend erhält man die Reaktionsfunktion des B:
(360 − KA )/2, falls KA ≤ 360
rB (KA ) =
0,
falls KA ≥ 360.
∗
∗
(c) Unter dem Cournot-Gleichgewicht versteht man das Nash-Gleichgewicht (KA
, KB
)
des durch die Gewinnfunktionen aus der ersten Teilaufgabe definierten Spieles.
Dieses Gleichgewicht kann man als Schnittpunkt der Reaktionsfunktionen bestimmen:
∗
∗
∗
∗
KA
= rA (KB
), KB
= rB (KA
).
Setzt man für die Reaktionsfunktionen ein (und bedenkt dabei, dass in einem
Schnittpunkt sicherlich beide Mengen kleiner als 360 sein müssen), erhält man
das eindeutige Nash-Gleichgewicht des Spieles:
∗
∗
(KA
, KB
) = (120, 120).
1 Falls K + K > 500 ist, ist der Marktpreis gleich Null und der Gewinn ist −140K . Dieser Fall spielt
i
A
B
im folgenden keine Rolle.
5
Abbildung 1: Reaktionsfunktionen und Cournot-Gleichgewicht zu Aufgabe 8.
Der Gleichgewichtspreis ist damit
∗
∗
p∗ = 500 − KA
− KB
= 260.
Die Gleichgewichtsgewinne der Firmen sind
G∗A = G∗B = (260 − 140) · 120 = 14400.
(d) Wenn A insgesamt K Känguruhs bestellt, ist sein Gewinn nun
p(K) ·
K
K
− 140 · .
2
2
Die Bedingung erster Ordnung für die Lösung des resultierenden Gewinnmaximierungsproblems ist
K ∗ = 180.
Dieses entspricht gerade der Monopolmenge in dem betrachteten Markt. Die beiden Unternehmer erhalten den resultierenden Monopolgewinn je zur Hälfte:
G∗A = G∗B = (360 − 180) · 90 = 16200.
8. (a) Falls Y−i ≥ 8 gilt, liegt der Marktpreis unabhängig von der Mengenwahl von
Unternehmen i auf alle Fälle unterhalb der Grenzkosten c = 2. Es ist somit
optimal, nicht zu produzieren:
ri (Y−i ) = 0.
6
Falls Y−i < 8 gilt, ist die optimale Entscheidung von Unternehmen i durch die
Lösung des Maximierungsproblems
max [10 − Y−i − yi − 2] yi .
yi
gegeben. Aus der Bedingung erster Ordnung folgt:
8 − Y−i − 2yi = 0 ⇒ ri (Y−i ) =
8 − Y−i
.
2
(b) In einem symmetrischen Nash-Gleichgewicht wählen alle Unternehmen die gleiche
Menge y ∗ . Die Gesamtausbringungsmenge der Konkurrenten eines Unternehmens
i ist dann (n − 1)y ∗ . Eine solche symmetrische Strategiekombination ist genau
dann ein Nash-Gleichgewicht, wenn y ∗ eine beste Antwort von Unternehmen i
auf diese Gesamtausbringungsmenge der Konkurrenz ist:
y ∗ = ri ((n − 1)y ∗ )
Setzt man dieses in die zuvor bestimmte Reaktionsfunktion ein, erhält man:2
y∗ =
8
8 − (n − 1)y ∗
⇒ y∗ =
.
2
n+1
Der Gleichgewichtsgewinn eines Unternehmens ist durch
πn∗ = [10 − ny ∗ − 2] y ∗ − F =
64
−F
(n + 1)2
gegeben.
(c) Die Gleichgewichtsgewinne sind streng fallend in n und erfüllen
π3∗ = 4 − 3 = 1 > 0 > π4∗ = 64/25 − 3 = −11/25.
Somit werden langfristig genau 3 Unternehmen in dem Markt aktiv sein:
• Treten weniger als 3 Unternehmen ein, so könnte ein weiteres Unternehmen
durch den Marktzutritt streng positive Gewinne erzielen.
• Treten mehr als 3 Unternehmen ein, so erleiden die aktiven Unternehmen
Verluste und ihre beste Antwort wäre daher, nicht einzutreten.
• Treten genau 3 Unternehmen ein, so erzielt jedes der eingetretenen Unternehmen streng positive Gewinne, während die nicht-aktiven Unternehmen
bei einem Marktzutritt Verluste erleiden würden. Also kann sich kein Unternehmen durch die Wahl einer alternativen Strategie verbessern.
(d) Mit der gleichen Logik wie in der vorhergehenden Aufgabe folgt nun, dass 4
Unternehmen in dem Markt aktiv sein werden, da
π4∗ > 0 > π5∗ = 64/36 − 2
gilt.
Aggregierte Handelsgewinne ohne Subvention: In dem CournotGleichgewicht mit 3 Unternehmen werden insgesamt 6 Einheiten des Gutes zum
2 Es kann keine Lösung mit y ∗ = 0 geben, so dass dieser Teil der Reaktionsfunktion ignoriert werden
kann.
7
Preis von 4 verkauft, so dass die aggregierte Konsumentenrente 36/2 = 18 beträgt.
Die aggregierte Produzentenrente beträgt (unter Berücksichtigung der Marktzutrittskosten, die hier als variabel anzusehen sind) 3, so dass die aggregierten
Handelsgewinne gleich 21 ist.
Aggregierte Handelsgewinne mit Subvention: In dem Cournot-Gleichgewicht
mit 4 Unternehmen werden insgesamt 32/5 Einheiten des Gutes zum Preis von
18/5 verkauft, so dass die aggregierte Konsumentenrente 32 · 16/25 = 512/25 beträgt. Die aggregierte Produzentenrente beträgt (wieder unter Berücksichtigung
der Marktzutrittskosten) 4 · (64/25 − 2) = 56/25, so dass die Summe aus aggregierter Konsumentenrente und aggregierter Produzentenrente gleich 568/25 ist.
Hiervon sind jedoch noch die Subventionszahlungen in Höhe von 4 = 100/25 abzuziehen, so dass sich ein aggregierter Handelsgewinn von 468/25 < 21 ergibt.
Durch die Subventionszahlung werden also die aggregierten Handelsgewinne reduziert.
Bemerke: Die Subventionierung des Markteintritts kann auch positive Effekte
auf die aggregierten Handelsgewinne haben. Betrachte z.B. den Fall F = 17. Ohne Subvention tritt dann kein Unternehmen ein; die aggregierten Handelsgewinne
sind Null. Wird eine Subvention in Höhe von 2 gezahlt, wird ein Unternehmen
in den Markt eintreten und 4 Einheiten zum Preis von 6 verkaufen. Die resultierende aggregierte Konsumentenrente ist 8. Die Produzentenrente ist 1. Insgesamt
entsteht also ein Handelsgewinn von 8 + 1 − 2 = 7.
9. (a) Setzen alle Unternehmen den gleichen Preis, so hat jedes Unternehmen den Marktanteil 1/N , verkauft also an L/N Konsumenten. Der resultierende Erlös ist pL/N ,
die Kosten sind cL/N − F , so dass der Gewinn [p − c]L/N − F ist. Bei freien
Marktzutritt erzielen alle aktiven Unternehmen Nullgewinne:
L[p − c]
L
[p − c] − F = 0 ⇒ N =
.
N
F
Also werden [p − c]L/F Unternehmen im Markt aktiv sein.
(b) Eine Erhöhung des Preis führt zu einem Anstieg der Anzahl aktiver Unternehmen. Da bereits bei dem langfristigen Wettbewerbspreis zu viele Unternehmen
im Markt aktiv sind, führt ein Anstieg von p über dieses Niveau hinaus zu einer
Verringerung der aggregierten Handelsgewinne.
(c) Die optimale Anzahl von aktiven Unternehmen ist
r
t·L
∗
N =
.
2F
Damit diese Anzahl von Unternehmen in den Markt eintritt, muss
r
r
L[p − c]
t·L
t·F
=
⇒p=c+
F
2F
2L
gelten.
8