Einführung in die Physik I Wärme 3 Druckarbeit

Einführung in die Physik I
Wärme 3
O. von der Lühe und U. Landgraf
Druckarbeit
• Mechanische Arbeit ΔW kann von
einem Gas geleistet werden, wenn
es sein Volumen um ΔV gegen einen
Druck p ändert. Dies hängt von der
Art der Zustandsänderung ab
– Isobare Expansion
– Adiabatische Expansion (Quelle der
Expansionsarbeit nur innere Energie)
– Isotherme Expansion
Infinitesimal:
dW = p ⋅ dV
Zustandsgleichung:
p = N mol RT V
W = p(V2 − V1 )
W = U1 − U 2 = cV M (T1 − T2 )
W =
V2
∫
V1
= N mol RT ln
Wärme 3
V2
p ⋅ dV = N mol RT ∫
V1
dV
V
V2
V1
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Wärmekraftmaschinen und
Kraftwärmemaschinen
Gerthsen Physik
Wärme 3
3
Wärmetransport
• Wärme kann auf mehrere
Weisen transportiert werden
• Strahlung: elektromagnetische
Wellen tragen Energie auch
durch Vakuum
• Wärmeströmung: Energietransport verbunden mit
Materietransport (Konvektion
in Gasen oder Flüssigkeiten)
• Wärmeleitung: Energietransport durch ein (ruhendes)
Medium (Festkörper)
• Stationärer Zustand: durch
Energiequellen und –senken
bleiben Temperaturverteilung
und Wärmeströme konstant
Wärme 3
T1
T2
T1
T2
T1
T2
4
2
Wärmetransport
r
• Temperaturverteilung im Raum:
T(x,y,z)
• Wärme wird in Richtung eines
Temperaturgefälles transportiert
• Der Wärmestrom ist proportional
zum Temperaturgradienten
• Wärmeleitfähigkeit λ ist eine
Materialkonstante
(Einheit [W m-1 K-1])
r
j
Wärmestrom j :
Energie pro Zeit pro Fläche
r
r
j = − λ ⋅ ∇T ( x )
Gerthsen Physik
Wärme 3
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Wärmeleitungsgleichung
• Strömt aus einem Volumen
mehr Wärme hinaus als hineingelangt, so nimmt die
Temperatur mit der Zeit ab
• Die Wärmekapazität des
Volumens dV ist ρ·c·dV
• Daraus ergibt sich die
Temperaturänderung
• Wärmeleitungsgleichung:
Zusammenhang zwischen
räumlicher und zeitlicher
Änderung der Temperatur
Wärme 3
r
dQ
= Q& = − ∇ ⋅ j ⋅ dV
dt
⎛ d dx ⎞ ⎛ j x ⎞
r ⎜
⎟ ⎜ ⎟ dj dj y dj z
∇ ⋅ j = ⎜ d dy ⎟ ⋅ ⎜ j y ⎟ = x +
+
⎜ d dz ⎟ ⎜ j ⎟ dx dy dz
⎝
⎠ ⎝ z⎠
r
dT
1
= T& = − ∇ ⋅ j
dt
ρc
1
T& =
∇ ⋅ λ ⋅ ∇T
ρc
=
λ
⋅ ΔT
ρc
6
3
Wärmeleitungsgleichung
• Die Wärmeleitungsgleichung
beschreibt, wie sich eine gegebene
Temperaturverteilung mit der Zeit
entwickelt
• Temperaturinhomogenitäten über
eine Strecke d gleichen sich innerhalb
der Relaxationszeit τ aus, wenn
keine Wärmequellen oder –senken
vorhanden sind
• Die Wärmeleitungsgleichung
entspricht der Diffusionsgleichung,
welche den Transport von Stoffen in
Lösungen beschreibt
d
τ = d2
ρc
λ
Wärme 3
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Entropie
• Prozesse, die von selbst mit
der Zeit nur in eine Richtung
verlaufen, heißen irreversibel
• Mikrozustand: detaillierte
Konfiguration eines Ensembles
von Teilchen
• Makrozustand: Konfiguration
eines Systems
100 Teilchen
Wärme 3
Makrozustand
Mikrozustand
Gerthsen Physik
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4
Entropie
• N Teilchen, jedes Teilchen
entweder links oder rechts
• Zustand 1: alle Teilchen
befinden sich in der linken
Hälfte
• Zustand 2: die Teilchen sind
gleichmäßig über beide Hälften
verteilt
P (1) = 2 − N
P ( 2) ≈ 1
• Entropie S: Logarithmus der
Wahrscheinlichkeit eines
Zustandes
N
P(N)
10
0.001
100
10-30
S = k ⋅ ln P
• Zustände gehen von selbst nur
von unwahrscheinliche in
wahrscheinlichere über
ΔS > 0
Wärme 3
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Entropie - Beispiele
• Mischen eines Kartenspiels von 52 Karten
– Zahl der Anordnungen: 52! ~ 1070 ~ e160
– ΔS = k · 160 = 2 ·10-21 [J K-1]
• 50 l Sand, eine Hälfte schwarz, die andere weiß
– Zahl der Körner: N = 1013
– Wahrscheinlichkeit, dass all weißen Körner oben sind: P1 = 2-N
– Entropieänderung beim Durchmischen:
ΔS = k·N·ln 2 = 1013·k = 10-10 [J K-1]
• Entropie ist eine additive Zustandfunktion: fasst man zwei Systeme
mit Wahrscheinlichkeiten P1 und P2 zusammen, so addieren sich
ihre Entropien
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Entropie - Beispiele
• Isotherme Expansion von V1 auf V2
V1 V1
– Wahrscheinlichkeit für Teilchen,
sich in V1 aufzuhalten:
P1 =
V1
V2
⎛V ⎞
PN A = ⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ V2 ⎠
NA
V2
– Entropie:
S = k ln
1
V
= k ⋅ N A ⋅ ln 2
PN A
V1
• Mischungsentropie
V2
V1
– Entropiegewinn durch Mischen:
S = k ⋅ N1 ⋅ ln
= k ⋅ N1 ⋅ ln
V
V
+ k ⋅ N 2 ⋅ ln
V1
V2
V = V1 + V2
N1 + N 2
N + N2
+ k ⋅ N 2 ⋅ ln 1
N1
N2
p1 = p2, T1 = T2
Wärme 3
N1 N 2
=
V1
V2
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2. Hauptsatz der Wärmelehre
• „Ein System geht nie von selbst in einen bedeutend
unwahrscheinlicheren Zustand über.“
– Die Entropie eines Systems wird durch Fluktuationen von höchstens
einigen k vorübergehend erniedrigt
• „Es gibt Vorgänge, die irreversibel sind, d.h., die nicht ohne äußere
Einwirkung in frühere Zustände zurückführbar sind.“
• „Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die nichts anderes
bewirkt als die Erzeugung mechanischer Arbeit unter Abkühlung
eines Wärmereservoirs.“
– Es gibt kein Perpetuum mobile 2. Art
Wärme 3
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Carnot-Maschine
• Idealisierte Maschine, welche
ausschließlich auf reversible
Prozesse beruht
– Wärmekraftmaschine A
– Kraftwärmemaschine B
T2
Q2A
WA – W B
WB
A
W
η=
Q2
• Wirkungsgrad
Q2B
B
Q1A
Q1B
T1
• 2. Hauptsatz → alle CarnotMaschinen haben den gleichen
Wirkungsgrad
• Es gibt keine Maschine mit
einem höheren Wirkungsgrad
als die Carnot-Maschine
η=
T2 − T1
T2
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Reale Gase
Gerthsen Physik
• Abweichungen von der Zustandsgleichung des idealen Gases bei
hohen Dichten
– hoher Druck
– tiefe Temperatur
• Änderung der Aggregatzustände
– Verflüssigung / Verdampfung
• Zustandsgleichung von
van der Waals
– Binnendruck a/V2 durch
Anziehungskräfte der Teilchen
– Kovolumen b durch endlichen
Radius der Teilchen
a ⎞
⎛
⎜ p + 2 ⎟(V − b ) = N mol RT
V ⎠
⎝
Für CO2:
a = 3.6·10-6 [bar m6 mol-2]
b = 4.3·10-5 [m3 mol-1]
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