10. Klasse TOP 10 Grundwissen 10 sin, cos, tan - SINUS

Hypotenuse
(dem rechten Winkel gegenüber)
b r
a
ϕ
Ankathete
(am Winkel ϕ anliegend)
Gegenkathete
(dem Winkel ϕ
gegenüber)
Beispiele:
1. Gegeben: α = 50◦ , b = 2
b%
p
%l
%
%
%α
la
l
l
c
r
q P (x|y)
Ankathete , sin ϕ = b = Gegenkathete ,
= Hypotenuse
r
Hypotenuse
b
b
Gegenkathete
sin ϕ
= ar = =
tan ϕ = cos
ϕ
a
Ankathete
r
cos ϕ =
a
r
Hier ist b die Ankathete von α, a die Gegenkathete.
cos α = cb ⇒ c = cosb α = cos250◦ ≈ 3,1
sin α = ac ⇒ a = c sin α ≈ 2,4 (oder Pythagoras!)
(Taschenrechner auf DEGREE, siehe auch grund100.pdf)
l
l
2. Gegeben: P (−2| − 3)
y6
ϕ
x = −2
x
y = −3
Denkt man sich das nebenstehende Dreieck mit dem Faktor 1r
gestreckt (bzw. gestaucht), so erhält man eines mit Hypotenuse 1,
Ankathete ar und Gegenkathete rb und kann obige Erklärung von
sin und cos am Einheitskreis anwenden:
√
√
Pythagoras liefert r = x2 + y 2 = 13.
tan ϕ = xy = −3
= 32 .
−2
Je nach Taschenrechner ermittelt man meist mit den Tasten
(SHIFT) tan−1 vor oder nach Eingabe des Wertes 32 einen
Winkel von ca. 56,3◦ .
Da P im III. Quadranten liegt, sind 180◦ zu addieren, somit
r ≈ 3,6, ϕ ≈ 236,3◦ .
Beispiel:
Für den Punkt mit r = 1, ϕ = 120◦ ( Polarkoordinaten“) erhält man x = sin 120◦ = − 12 =
√
”
−0,5, y = cos 120◦ = 12 3 ≈ 0,87 ( kartesische Koordinaten“)
”
Tangens, Kotangens
sin ϕ
ϕ
tan ϕ = cos
, cot ϕ = cos
= tan1 ϕ
ϕ
sin ϕ
Trigonometrischer Pythagoras
Wegen x2 + y 2 = 1 ist (sin ϕ)2 + (cos ϕ)2 = 1, Kurzschreibweise: sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1.
Additionstheoreme
sind Formeln für sin(α + β), sin(2α) usw. → Formelsammlung
sin, cos, tan am rechtwinkligen Dreieck
Sinus, Kosinus am Einheitskreis (= Kreis mit Radius r = 1)
y6
cos ϕ = x, sin ϕ = y
II
I
1
Insbesondere ergibt sich also z. B.
(x|y)
• für ϕ √= 30◦ ein halbes“ gleichseitiges Dreieck mit
r
1"
" y
”
"
x = 12 3, y = 12 ,
"ϕ
x 1 x
0
• für ϕ = 45◦ ein√gleichschenkliges
Dreieck ( halbes Qua√
”
drat“) mit x = 12 2, y = 12 2.
III
IV
Weitere Werte → Formelsammlung/Taschenrechner.
Ferner ergeben sich die Vorzeichen in den einzelnen Quadranten I–IV (zum Winkel im Bogenmaß → grund100.pdf):
ϕ
0◦ = 0 I 90◦ = π2 II 180◦ = π III 270◦ = 3π
IV 360◦ = 2π
2
cos ϕ = x
1
+
0
−
−1
−
0
+ periodisch
sin ϕ = y
0
+
1
+
0
−
−1
− von vorne
10
06
www.strobl-f.de/grund106.pdf
10. Klasse TOP 10 Grundwissen
sin, cos, tan am rechtwinkligen Dreieck