Übungsfolien

Übung 2: Nachfrage
Georg Nöldeke
Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel
Mikroökonomie Übung 2 (FS 10)
Nachfrage
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2. Die Budgetbeschränkung
Aufgabe 1
Frage
Wie bestimmt man aus Angaben über das Budget und die Güterpreise
die Budgetgerade und die Budgetmenge?
p1 = 5, p2 = 4, m = 100 sind gegeben.
Horizontaler Achsenabschnitt der Budgetgerade ist m/p1 .
Hier also 100/5 = 20.
Vertikaler Achsenabschnitt der Budgetgerade ist m/p2 .
Hier also 100/4 = 25.
Budgetgerade ist die Verbindungslinie dieser beiden Punkte.
Budgetmenge sind die Güterbündel auf oder “links unterhalb” der
Bugetgerade.
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Nachfrage
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2. Die Budgetbeschränkung
Aufgabe 2
Worum geht es?
Die Budgetgerade ist durch die Angabe von zwei Güterbündeln auf der
Budgetgeraden bestimmt, aber zur Bestimmung der Preise und des
Budgets braucht es eine der nominellen Grössen.
Beispiel: (x1 , x2 ) = (9, 1), (y1 , y2 ) = (1, 5) liegen auf der Budgetgeraden.
Die Steigung der Verbindungslinie zwischen den beiden
Güterbündeln ist die Steigung der Budgetgeraden.
Hier also
x2 − y2
−4
1
=
=− .
x1 − y1
8
2
Zusammen mit einem der Güterbündel bestimmt die Steigung den
vertikalen Achsenabschnitt und damit die Gleichung für die
Budgetgerade.
Hier ist der vertikale Achsenabschnitt 5.5 (Wieso?) und die
Budgetgerade somit
x2 = 5.5. − 0.5x1 .
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2. Die Budgetbeschränkung
Aufgabe 2
Ist einer der Preise oder das Budget gegeben, so können die
verbleibenden Parameter bestimmt werden.
Information in der Aufgabenstellung: p1 = 2
Da p1 /p2 = 1/2, folgt p2 = 4.
Da der vertikale Achsenabschnitt gleich m/p2 ist, folgt 5.5 = m2 /4.
Also: m = 22.
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2. Die Budgetbeschränkung
Aufgabe 3
Frage
Wie gross ist die Budgetänderung, die erforderlich ist, um eine
Preisänderung so zu kompensieren, dass ein gegebenes Güterbündel
(x1 , x2 ) weiterhin gerade erschwinglich bleibt?
Antwort
∆m = ∆p1 x1 + ∆p2 x2 .
Hier:
Güterbündel (x1 , x2 ) = (12, 16) ist bei (p1 , p2 ) = (2, 1) und m = 40
gerade erschwinglich.
Preis von Gut 1 steigt auf p10 = 3, also ∆p1 = 1.
Preis von Gut 2 bleibt unverändert, also ∆p2 = 0.
Also: ∆m = ∆p1 x1 = 1 · 12 = 12.
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3. Präferenzen
Aufgabe 4
Worum geht es?
Annahmen an rationale Präferenzrelationen verstehen und erkennen
können.
Liste der wesentlichen Annahmen:
(Strenge) Monotonie.
(Strenge) Konvexität.
Artigkeit – d.h. streng monoton, streng konvex, sowie stetig und
differenzierbar.
Aufgabe 5 hat das gleiche Ziel.
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3. Präferenzen
Aufgabe 5
Nicht vergessen!
Für eine artige Präferenzrelation gilt:
1
2
3
Die Indifferenzkurven verlaufen streng fallend.
Die Indifferenzkurven verlaufen streng konvex.
Die Bessermengen liegen “rechts-oberhalb” der Indifferenzkurve.
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4. Nutzendarstellung von Präferenzrelationen
Aufgaben 6 und 7
Worum geht es?
Verstehen, wie man aus der Angabe einer Nutzenfunktion, die
Grenzrate der Substitution der dargestellten Präferenzrelation
bestimmt.
Verstehen, dass unterschiedliche Nutzenfunktionen die gleiche
Präferenzrelation darstellen können.
Kenntnis einiger (auch in Klausuraufgaben) oft verwendeter
Nutzenfunktionen und ihrer Eigenschaften.
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4. Nutzendarstellung von Präferenzrelationen
Perfekte Substitute
Aufgabe 6(a): u(x1 , x2 ) = ax1 + bx2 mit a > 0 und b > 0.
Diese Nutzenfunktion stellt perfekte Substitute dar.
Es gibt drei Möglichkeiten, dieses zu sehen:
1
Stelle die Gleichung für eine Niveaulinie auf,
1
a
ax1 + bx2 = k ⇒ x2 = k − x1 ,
b
b
2
und bemerke, dass alle Niveaulinien parallele Geraden sind.
Multiplikation der Nutzenfunktion mit 1/b > 0 ist eine streng
monotone Transformation und führt auf die Nutzenfunktion
a
v (x1 , x2 ) = x1 + x2 ,
b
3
welche perfekte Substitute mit Rate der Substitution −a/b darstellt.
Berechne die Grenzrate der Substitution und bemerke, dass diese
für alle x ∈ X durch −a/b gegeben ist.
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4. Nutzendarstellung von Präferenzrelationen
Perfekte Substitute
Perfekte Substitute sind:
streng monoton.
quasilinear (Wieso?)
nicht Cobb-Douglas (Wieso?)
unartig (Wieso?)
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4. Nutzendarstellung von Präferenzrelationen
Quasilineare Präferenzrelationen
√
Aufgabe 6(b): u(x1 , x2 ) = 2a x1 + x2 .
Diese Nutzenfunktion ist quasilinear mit
√
v (x1 ) = 2a x1 ,
stellt also eine quasilineare Präferenzrelation dar.
Grenznutzen von Gut 2 ist gleich 1 > 0.
Gilt (wie hier) v 0 > 0, so stellt eine quasilineare Nutzenfunktion
eine streng monotone Präferenzrelation dar. (Wieso?)
Gilt zudem (wie hier) v 00 < 0, so stellt eine quasilineare
Nutzenfunktion eine artige Präferenzrelation dar (Wieso?) . . .
. . . die nicht Cobb-Douglas ist. (Wieso?)
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4. Nutzendarstellung von Präferenzrelationen
Quasilineare Präferenzrelationen
Aufgabe 6(c): u(x1 , x2 ) = (x12 + x2 )2 .
Diese Nutzenfunktion stellt eine quasilineare Präferenzrelation
dar. (Obgleich die Nutzenfunktion nicht quasilinear ist!)
Zwei Wege dieses zu sehen:
Die Nutzenfunktion
v (x1 , x2 ) =
p
u(x1 , x2 ) = x12 + x2
ist eine streng monotone Transformation und quasilinear mit
v (x1 ) = x12 .
Berechne die Grenzrate der Substitution und stelle fest, dass sie
nicht von x2 abhängt.
Die dargestellte Präferenzrelation ist
streng monoton (Wieso?)
nicht artig (Wieso?)
nicht Cobb-Douglas (Wieso?)
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4. Nutzendarstellung von Präferenzrelationen
Quasilineare Präferenzrelationen
Aufgabe 6(g): u(x1 , x2 ) = a ln x1 + x2 mit a > 0.
Quasilinear mit v (x1 ) = a ln x1 .
Struktureigenschaften entsprechen denen aus dem quasilinearen
√
Beispiel v (x1 ) = 2a x1 .
Bemerken Sie:
Der Wert v (x1 ) lässt sich hier nicht als Zahlungsbereitschaft
interpretieren, da v (0) = 0 nicht gilt . . .
. . . in der Tat ist v (0) gar nicht definiert!
Ist das ein Anlass zur Sorge?
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4. Nutzendarstellung von Präferenzrelationen
Cobb-Douglas-Präferenzrelation
Aufgabe 6(d): u(x1 , x2 ) = x1c x2d mit c > 0 und d > 0.
Diese Nutzenfunktion ist Cobb-Douglas, stellt also eine
Cobb-Douglas-Präferenzrelation dar.
Die dargestellte Präferenzrelation
ist artig (Wieso?)
ist nicht quasilinear. (Wieso?)
wird ebenfalls durch
c/(c +d ) d/(c +d )
x2
u(x1 , x2 ) = x1
und (Aufgabe 6(e))
u(x1 , x2 ) = c ln x1 + d ln x2
dargestellt. (Wieso?)
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4. Nutzendarstellung von Präferenzrelationen
Ein unartiges Beispiel
Aufgabe 6(f): u(x1 , x2 ) = (x1 − a)(x2 − b) mit a > 0 und b > 0.
. . . stellt keine streng monotone Präferenzrelation dar.
. . . stellt keine quasi-lineare Präferenzrelation dar.
. . . stellt keine Cobb-Douglas-Präferenzrelatino dar.
. . . stellt eine unartige Präferenzrelation dar.
. . . und wird uns nicht weiter interessieren.
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5. Optimale Güterbündel und Nutzenmaximierung
Aufgabe 8: Lösung des Nutzenmaximierungsproblems mit quasilinearer Nutzenfunktion
√
Artige Nutzenfunktion: u(x1 , x2 ) = v (x1 ) + x2 , hier mit v (x1 ) = 4 x 1 .
Gilt wie hier (oder in dem Fall v (x1 ) = a ln(x1 )), dass die marginale
Zahlungsbereitschaft bei der Menge Null gleich unendlich ist,
kann es keine Randlösung des Konsumentenproblems mit mit
x1∗ = 0 geben. Wieso?
Lösungsverfahren in diesem Fall also:
Nimm zunächst an, dass x1∗ durch Bedingung erster Ordnung
v 0 (x1∗ ) = p1 /p2 bestimmt ist.
Hier: x1∗ = 4
p2
p1
2
.
Ist das resultierende x2∗ = (m − p1 x1∗ )/p2 positiv, so ist die Lösung
gefunden.
Gilt dieses nicht, so ist die Lösung x1∗ = m/p1 und x2∗ = 0.
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5. Optimale Güterbündel und Nutzenmaximierung
Aufgabe 9: Lösung des Nutzenmaximierungsproblems bei perfekten Substituten
Siehe Vorlesung.
Alternative Überlegung: Vergleiche Nutzenzuwachs pro
Geldeinheit für die beiden Güter
u1
p1
u2
p2
u2
p2
>
>
=
u2
p2 :
u1
p1 :
u1
p1 :
Konsumiere nur Gut 1.
Konsumiere nur Gut 2.
Alle Güterbündel auf der Budgetgeraden sind optimal.
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6. Die Nachfragefunktion eines Konsumentens
Aufgabe 10
Worum geht es?
Grundlegende Eigenschaften artiger Nachfragefunktionen – hier
Budgetidentität und Homogenität – verstehen und erkennen können.
Nachfragefunktion gegeben durch:
m − p2 + 1
1
x1 = f1 (p1 , p2 , m) =
, x2 = f2 (p1 , p2 , m) = 1 −
p1
p2
Budgetidentität gilt:
p1 f1 (p1 , p2 , m) + p2 f2 (p1 , p2 , m) = (m − p2 + 1) + (p2 − 1) = m.
Homogenität vom Grade Null gilt nicht. Z.B.:
f2 (1, 2, 2) = 1/2 6= f2 (2, 4, 4) = 3/4
Wie erkennt man dies, ohne Beispiele zu überprüfen?
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6. Die Nachfragefunktion eines Konsumentens
Aufgabe 11
Worum geht es?
Grundlegende Eigenschaften artiger Nachfragefunktionen – hier das
schwache Axiom der offenbarten Präferenzen – verstehen und
erkennen können.
Nachgefrage Güterbündel:
f (5, 5, 100) = (12, 8) und f (4, 8, 116) = (9, 10).
Das schwache Axiom ist verletzt, da:
5 · 9 + 5 · 10 = 95 < 100
4 · 12 + 8 · 8 = 112 < 116
Diese Frage lässt sich auch mit Hilfe einer Grafik beantworten
Warnung: Je nach Beispiel müssen Sie extrem sauber zeichnen,
um die Antwort erkennen zu können.
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6. Die Nachfragefunktion eines Konsumentens
Aufgabe 12
Worum geht es?
Nachfragefunktion für einige oftmals (auch in Klausuren)
betrachtete Beispiele kennen.
Verstehen, was Engelkurven und Nachfragekurven sind.
Wissen, wie man Engelkurven und Nachfragekurven aus einer
Nachfragefunktion bestimmt.
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6. Die Nachfragefunktion eines Konsumentens
Aufgabe 12(a): Perfekte Komplemente
u(x1 , x2 ) = min{ax1 , x2 }
Nachfragefunktion hierzu:
am
m
und f2 (p1 , p2 , m) =
.
f1 (p1 , p2 , m) =
p1 + ap2
p1 + ap2
Setzt man in die Gleichung für f1 die Preise (p1 , p2 ) = (1, 1) ein,
erhält man die Gleichung für die entsprechende Engelkurve:
m
m
g1 (m) =
=
.
1+a·1 1+a
Setzt man in die Gleichung für f1 den Preis p2 = 1 und m = 10 ein,
erhält man die entsprechende Nachfragekurve:
10
10
d1 (p1 ) =
=
.
p1 + a · 1 p1 + a
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6. Die Nachfragefunktion eines Konsumentens
Aufgabe 12(b): Cobb-Douglas-Präferenzrelation
u(x1 , x2 ) = x1a x21−a mit 0 < a < 1
Nachfragefunktion hierzu:
m
m
f1 (p1 , p2 , m) = a
und f2 (p1 , p2 , m) = (1 − a) .
p1
p2
Setzt man in die Gleichung für f1 die Preise (p1 , p2 ) = (1, 1) ein,
erhält man die Gleichung für die entsprechende Engelkurve:
m
g1 (m) = a = am.
1
Setzt man in die Gleichung für f1 den Preis p2 = 1 und m = 10 ein,
erhält man die entsprechende Nachfragekurve:
10
10
d1 (p1 ) = a
=a .
p1
p1
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6. Die Nachfragefunktion eines Konsumentens
Aufgabe 12 (c): Ein Beispiel für eine quasilineare Nutzenfunktion
u(x1 , x2 ) = ln x1 + x2 .
Nachfragefunktion hierzu:
min{p2 , m}
m
f1 (p1 , p2 , m) =
und f2 (p1 , p2 , m) = max{ − 1, 0}.
p1
p2
Setzt man in die Gleichung für f1 die Preise (p1 , p2 ) = (1, 1) ein,
erhält man die Gleichung für die entsprechende Engelkurve:
min{1, m}
= min{1, m}.
g1 (m) =
1
Setzt man in die Gleichung für f1 den Preis p2 = 1 und m = 10 ein,
erhält man die entsprechende Nachfragekurve:
min{1, 10}
1
d1 (p1 ) =
= .
p1
p1
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7. Einkommens- und Substitutionseffekt
Aufgabe 14
Ausgangssituation: (p1 , p2 , m) = (5, 3, 65). Nachgefragtes
Güterbündel ist (x1 , x2 ) = (10, 5)
Das Budget m steht nicht in der Aufgabenstellung, ergibt sich aber
daraus, dass das nachgefragte Güterbündel gerade erschwinglich
sein muss.
Neue Situation: (p10 , p20 , m) = (6, 6, 65).
Slutsky-Einkommenskompensation:
∆m = ∆p1 x1 + ∆p2 x2 = 1 · 10 + 3 · 5 = 25
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7. Einkommens- und Substitutionseffekt
Aufgabe 14
Der relative Preis von Gut 1 fällt von 5/3 auf 1.
Konsequenz: ∆x1S > 0 und ∆x2S < 0, da ein rationaler Konsument
mit artiger Präferenzrelation bei konstanter Kaufkraft mehr von
dem relativ billiger und weniger von dem relativ teurer
gewordenen Gut nachfragt.
Gesamteffekt auf Gut 1 ist die Summe des positiven
Substitutionseffekts und des Einkommenseffekt
Gut 1 ist normal ⇒ Einkommenseffekt ist hier negativ ⇒ Ohne
weitere Information keine Aussage über den Gesamteffekt auf Gut
1 möglich.
Gut 1 ist inferior ⇒ Einkommenseffekt ist hier positiv ⇒
Gesamteffekt auf Gut 1 ist positiv.
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7. Einkommens- und Substitutionseffekt
Aufgabe 15
Worum geht es?
Einkommens- und Substitutionseffekte für (auch in Klausuren)
oftmals verwendete Nachfragefunktionen berechnen können.
Verstehen, wie sich die Reaktion der Nachfrage auf
Preisänderungen aus dem Zusammenspiel von Einkommens- und
Substitutionseffekt ergibt.
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7. Einkommens- und Substitutionseffekt
Aufgabe 15(a): Einkommens- und Substitutionseffekt bei Cobb-Douglas-Präferenzen
Ein Anstieg des Preises von Gut 1 hat hier keine Auswirkung auf
die nachgefragte Menge von Gut 2.
Dies liegt daran, dass sich (der streng positive) Substitutions- und
(der streng negative) Einkommenseffekt für Gut 2 gerade aufheben.
Für Gut 1 hingegen sind hingegen Substitutionseffekt und
Einkommmenseffekt beide streng negativ, so dass sich ein streng
negativer Gesamteffekt ergibt.
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7. Einkommens- und Substitutionseffekt
Aufgabe 15(b): Einkommens- und Substitutionseffekt bei perfekten Komplementen
Bei perfekten Komplementen gibt es keinen Substitutionseffekt.
Und da die Güter zudem normal sind, müssen sie in der Tat
Komplemente für einander sein.
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7. Einkommens- und Substitutionseffekt
Aufgabe 15(c): Einkommens- und Substitutionseffekte bei quasilinearen Präferenzen
Hier wird der Spezialfall u(x1 , x2 ) = ln(x1 ) + x2 betrachtet.
Zudem sind innere Lösungen des Konsumentenproblems
unterstellt.
Ergebnisse:
Kein Einkommenseffekt bei Gut 1, aber negativer
Substitutionseffekt ⇒ nachgefragte Menge von Gut 1 fällt.
Der (streng negative) Einkommenseffekt auf Gut 2 wird durch den
(streng positiven) Substitutionseffekt gerade aufgewogen ⇒ der
Gesamteffekt auf Gut 2 ist gleich Null.
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8. Marktnachfrage
Aufgabe 16
Worum geht es?
Verstehen, dass die Marktnachfrage im allgemeinen von den
individuellen Einkommen abhängt.
Spezialfall verstehen, unter denen sich die
Marktnachfragefunktion als Nachfragefunktion eines
repräsentativen Konsumentens deuten lässt.
Spezialfall: Präferenzrelationen aller Konsumenten sind identisch
und homothetisch.
Hinweis: Sie sollten wissen, was eine homothetische
Präferenzrelation ist und dass für eine solche alle Engelkurven
linear sind.
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