Übung 4: Gleichgewicht und Effizienz

Übung 4: Gleichgewicht und Effizienz
Georg Nöldeke
Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
1 / 25
1. Kurz- und langfristiges Wettbewerbsgleichgewicht
Aufgabe 1
Worum geht es?
Marktangebotsfunktion aus der Lösung der
Gewinnmaximierungsprobleme der einzelnen Unternehmen
ableiten können.
Unterschied zwischen kurzfristiger und langfristiger Reaktion bei
einer Änderung der Inputpreise verstehen.
√
√
Produktionsfunktionen sind gegeben: f (x1 , x2 ) = x 1 + x 2 .
Anzahl der Unternehmen im Markt ist gegeben: m = 20.
Marktnachfragefunktion ist gegeben: D(p) = 120 − 10p.
Zu untersuchen ist die Auswirkung einer Änderung eines
Inputpreises in der kurzen (Einsatzmenge von Input 2 ist fix) und
der langen (Einsatszmengen beider Inputs variabel) Frist.
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
2 / 25
1. Kurz- und langfristiges Wettbewerbsgleichgewicht
Aufgabe 1
1. Bestimmung der langfristigen Marktangebotsfunktionen.
Die langfristige Kostenfunktion wurde in Aufgabe 8(c) von Blatt 3
bestimmt:
w1 w2 2
c(w1 , w2 , y ) =
y .
w1 + w2
Für (w1 , w2 ) = (1, 1) ist
die Kostenfunktion eines Unternehmens also C(y ) = y 2 /2 mit
Grenzkosten MC(y ) = y.
die Angebotsfunktion eines Unternehmens sl (p) = p. Die
Marktangebotsfunktion ist Sl (p) = 20p.
Für (w1 , w2 ) = (2, 1) ist
die langfristige Kostenfunktion eines Unternehmens also
C(y) = 2y 2 /3 mit Grenzkostenfunktion MC(y ) = 4y/3.
die Angebotsfunktion eines Unternehmens ist sl (p) = 3p/4. Die
Marktangebotsfunktion ist Sl (p) = 15p.
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
3 / 25
1. Kurz- und langfristiges Wettbewerbsgleichgewicht
Aufgabe 1
2. Bestimmung der langfristigen Wettbewerbsgleichgewichte.
Für (w1 , w2 ) = (1, 1) ist
der langfristige Wettbewerbspreis durch 20p∗ = 120 − 10p∗
gegeben. Also p∗ = 4.
die langfristige Wettbewerbsmenge durch q ∗ = 20p∗ = 80 gegeben.
Für (w1 , w2 ) = (2, 1) ist
der langfristige Wettbewerbspreis durch 15p∗ = 120 − 10p∗
gegeben. Also p∗ = 24/5.
die langfristige Wettbewerbsmenge durch q ∗ = 15p∗ = 72 gegeben.
Bestimmung der Unternehmensgewinne:
Gewinn = Erlös - Kosten, die jeweils beim Wettbewerbspreis und
der dazugehörigen Angebotsmenge zu bestimmen sind:
π ∗ = p∗ s(p∗ ) − C(s(p∗ )).
Für (w1 , w2 ) = (1, 1) gilt π ∗ = 8. Für (w1 , w2 ) = (2, 1) gilt
π ∗ = 216/25.
Beachte: 216/25 > 8, d.h. der Gleichgewichtsgewinn steigt bei
einer Erhöhung des Inputpreises. Woran liegt das?
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
4 / 25
1. Kurz- und langfristiges Wettbewerbsgleichgewicht
Aufgabe 1
3. Bestimmung der kurzfristigen Marktangebotsfunktion – Aufgabe
11 von Blatt 3
Die kurzfristige Angebotsfunktion eines Unternehmens hängt
davon ab, welche Menge x̄2 als fix unterstellt wird.
Hier ist der Fall x̄2 = 4 betrachtet, . . .
welches die langfristig optimale Einsatzmenge zur Produktion von 4
Outputeinheiten ist. Aufgabe 8(c) von Blatt 3.
Die kurzfristige Produktionsfunktion eines Unternehmens ist:
√
f (x1 , 4) = 2 + x1 .
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
5 / 25
1. Kurz- und langfristiges Wettbewerbsgleichgewicht
Aufgabe 1
Fixkosten: w2 x̄2 = 4.
Variable Kosten sind gleich Null für y ≤ 2
Variable Kosten sind w1 · (y − 2)2 für y > 2.
Kurzfristige Grenzkostenfunktion ist
0
für y ≤ 2
MCk (y ) =
w1 · (2y − 4) für y > 2.
Bestimmung der kurzfristigen Angebotsfunktion eines
Unternehmens über die Bedingung “Grenzkosten gleich Preis” ⇒
p+8
sk (p) =
2w1
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
6 / 25
1. Kurz- und langfristiges Wettbewerbsgleichgewicht
Aufgabe 1
Hier ist der Fall w1 = 2 zu betrachten.
Die kurzfristige Angebotsfunktion eines Unternehmens nach der
Faktorpreiserhöhung ist also sk (p) = p/4 + 2.
Die kurzfristige Marktangebotsfunktion ist Sk (p) = 5 · p + 40.
Bestimmung des kurzfristigen Wettbewerbsgleichgewichts:
D(p∗ ) = Sk (p∗ ) ⇒ p∗ = 16/3.
q ∗ = D(p∗ ) ⇒ q ∗ = 200/3.
Bestimmung der kurzfristigen Gewinne:
π ∗ = 160/9 − 68/9 = 92/9.
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
7 / 25
1. Kurz- und langfristiges Wettbewerbsgleichgewicht
Aufgabe 2
Worum geht es?
Bedingung fr Marktzutritt mit quasifixen Kosten verstehen.
Zwei Lösungsansätze:
1
2
Bestimme die effiziente Betriebsgrösse ŷ und die damit
verbundenen Durchschnittskosten AC(ŷ ). Gilt p ≥ AC(ŷ) ist
Marktzutritt optimal.
Bestimme die kurzfristige Angebotsmenge eines aktiven
Unternehmens bei p. Ist der resultierende Gewinn positiv, so ist
Marktzutritt optimal.
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
8 / 25
1. Kurz- und langfristiges Wettbewerbsgleichgewicht
Aufgabe 2
Hier ist der zweite Lösungsansatz einfacher.
Grenzkosten: MC(y ) = 40 + 100y .
Grenzkosten gleich Preis setzen ⇒ y = 1.
Resultierender Gewinn: 140 − VC(1) − F = 140 − 90 − 80 = −30.
Also ist es besser, inaktiv zu sein.
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
9 / 25
1. Kurz- und langfristiges Wettbewerbsgleichgewicht
Aufgabe 3
Worum geht es?
Bestimmung von langfristigen Wettbewerbsgleichgewicht mit
Marktzutritt.
Kochrezept:
1
2
3
4
Bestimme die effiziente Betriebsgrsse ŷ eines aktiven
Unternehmens.
Bestimme die dazugehörigen minimalen Durchschnittskosten →
langfristiger Wettbewerbspreis p̂
Bestimme die bei p̂ nachgefragte Menge: q ∗ = D(p̂).
Teile q ∗ durch ŷ, um die Anzahl der aktiven Unternehmen zu
bestimmen: m∗ = q ∗ /ŷ .
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
10 / 25
1. Kurz- und langfristiges Wettbewerbsgleichgewicht
Aufgabe 3
Kostenfunktion für aktive Unternehmen:
C(y ) = 100 + 100y + 4y 2 .
Marktnachfragefunktion (im relevanten Bereich): D(p) = 1000 − p.
Kurzfristiges Wettbewerbsgleichgewicht in Abhängigkeit von der
Anzahl m der aktiven Unternehmen?
Langfristiges Wettbewerbsgleichgewicht?
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
11 / 25
1. Kurz- und langfristiges Wettbewerbsgleichgewicht
Aufgabe 3
Bestimmung des kurzfristigen Wettbewerbsgleichgewichts:
Grenzkostenfunktion eines aktiven Unternehmen:
MC(y ) = 100 + 8y .
Angebotsfunktion im relevanten Bereich: s(p) = (p − 100)/8.
Marktangebotsfunktion mit m aktiven Unternehmen:
p − 100
Sm (p) = m
8
Kurzfristiges Wettbewerbsgleichgewicht:
∗
pm
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
8000 + 100m
900m
∗
=
, qm =
.
m+8
m+8
Gleichgewicht und Effizienz
12 / 25
1. Kurz- und langfristiges Wettbewerbsgleichgewicht
Aufgabe 3
Bestimmung des langfristigen Wettbewerbsgleichgewichts:
1
Bestimme die effiziente Betriebsgrsse: ŷ = 5.
2
Bestimme die minimalen Durchschnittskosten: p̂ = 140
3
Bestimme die Menge, die bei p̂ nachgefragt wird: q ∗ = 860.
4
Bestimme die Anzahl der Unternehmen, die erforderlich sind, um
q ∗ zu minimalen Durchschnittskosten zu produzieren: m∗ = 172.
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
13 / 25
1. Kurz- und langfristiges Wettbewerbsgleichgewicht
Aufgabe 3
Ein alternativer Lösungsansatz:
Aus der Angebotsfunktion eines aktiven Unternehmens lässt sich
die Produzentenrente eines solchen Unternehmens bei Preis p
als Dreiecksfläche bestimmen:
1
(p − 100)
1
PRj = (p − 100) ·
=
(p − 100)2 .
2
8
16
Im langfristigen Wettbewerbsgleichgewicht erzielen die aktiven
Unternehmen Nullgewinne, so dass die Produzentenrente den
Marktzutrittskosten entsprechen muss:
1 ∗
(p − 100)2 = 100 ⇒ p∗ = 140.
16
q ∗ und m∗ können dann wie zuvor aus der
Marktnachfragefunktion bestimmt werden.
Beachte: Dieser Ansatz ist insbesondere dann nützlich, wenn es
keine explizite Information zur Kostenfunktion gibt.
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
14 / 25
3. Steuern und Subventionen
Aufgabe 4
Abbildung: Wettbewerbsgleichgewicht mit fixem Angebot.
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
15 / 25
3. Steuern und Subventionen
Aufgabe 4
Abbildung: Bei fixem Angebot entsteht keine Zusatzlast der Besteuerung, da
die Mengensteuer keinen Einfluss auf die Allokation des Gutes hat.
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
16 / 25
3. Steuern und Subventionen
Aufgabe 5
Wettbewerbsgleichgewicht
Marktnachfragefunktion (im relevanten Bereich): D(p) = 100 − p
Marktangebotsfunktion: S(p) = 3p.
Wettbewerbspreis: D(p∗ ) = S(p∗ ) ⇒ p∗ = 25.
Wettbewerbsmenge: q ∗ = D(25) = S(25) = 75.
Aggregierte Handelsgewinne im Wettbewerbsgleichgewicht =
Aggregierte Produzentenrente im GG + Aggregierte
Konsumentenrente im GG.
Aggregierte Produzentenrente: PR(25) = 75 · 25/2
Aggregierte Konsumentenrente: KR(25) = 75 · 75/2
Aggregierte Handelsgewinne = 75 · 100/2 = 3750.
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
17 / 25
3. Steuern und Subventionen
Aufgabe 5
Preisunterstützung mit Vernichtung des Überschusses:
Preis auf p = 30 festgesetzt.
Überschussangebot wird vom Staat aufgekauft.
Differenz zwischen angebotener und nachgefragter Menge wird
vernichtet.
Frage: Staatliche Ausgaben?
Antwort: 30 · [S(30) − D(30)].
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
18 / 25
3. Steuern und Subventionen
Aufgabe 5
Preisunterstützung mit Verkauf des Überschusses:
Staat kauft gesamte Angebotsmenge zu p = 30 auf.
Verkauft an Konsumenten zu dem Preis weiter, zu dem sie bereit
sind, S(30) nachzufragen.
Verkaufspreis? Staatsausgaben?
Bestimmung des Verkaufspreis: D(p) = S(30) = 90 ⇒ p = 10.
Bestimmung der Staatsausgaben: 90 · [30 − 10] = 1800.
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
19 / 25
3. Steuern und Subventionen
Aufgabe 5
Subventionszahlung:
In der Situation aus der vorhergehenden Teilaufgabe stimmen
nachgefragte und angebotene Menge überein.
Die Differenz zwischen dem Konsumenten- und dem
Produzentenpreis beträgt dabei 20, so dass die Situation einem
Wettbewerbsgleichgewicht mit einem Mengensubventionssatz von
s = 20 entspricht.
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
20 / 25
3. Steuern und Subventionen
Aufgabe 5
Wohlfahrtsanalyse der Eingriffe:
Aggregierte Handelsgewinne können in allen Fällen als
Aggregierte Konsumentenrente + Aggregierte Produzentenrente Staatsausgaben
berechnet werden.
Noch erforderliche Berechnungen:
PR(30) = 30 · 90/2 = 1450.
KR(30) = 70 · 70/2 = 2450.
KR(10) = 90 · 90/2 = 4050.
Schlussfolgerung?
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
21 / 25
5. Wohlfahrtsanalyse von Preisänderungen
Aufgabe 6
Worum geht es?
Indirekte Nutzenfunktion bestimmen und zur Berechnung von
Hicks-Kompensationen verwenden.
Einsetzen der Nachfragefunktion in die Nutzenfunktion
ergibt die
√ √
indirekte Nutzenfunktion. Hier: u(x1 , x2 ) = x 1 x 2 mit
Nachfragefunktion xi = fi (p1 , p2 , m) = m/2pi ergibt
m
U(p1 , p2 , m) = √
.
2 p1 p2
Hicks-Kompensation wird durch Lösung der Gleichung
U(p1 , p2 , m) = U(p10 , p20 , m + ∆m) bestimmt.
Hier ist bemerkenswert, dass der Absolutwert der
Hicks-Kompensation davon abhängt, ob eine Preissenkung von 4
auf 1 oder eine Preiserhöhung von 1 auf 4 betrachtet wird
Bei quasilinearen Präferenzen sind diese beiden Werte hingegen
gleich gross.
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
22 / 25
5. Wohlfahrtsanalyse von Preisänderungen
Aufgabe 7
Das Güterbündel in dem Basisjahr ist in dem Folgejahr
erschwinglich:
p1t x1b + p2t x2b = 6 · 20 + 30 · 30 = 1020 = mt .
Also ist die Konsumentin im Folgejahr besser gestellt.
Beachte: Da die Präferenzrelation artig ist, können wir das Budget
in der Ausgangssituation als
mb = p1b x1b + p2b x2b = 20 · 20 + 30 · 30 = 1300
bestimmen.
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
23 / 25
5. Wohlfahrtsanalyse von Preisänderungen
Aufgabe 7
Abbildung: Die rote Budgetgerade stellt die Ausgangssituation dar, die blaue
Budgetgerade die neue Situation, Die neue Budgetsituation ist besser als die
alte Budgetsituation, da das in der Ausgangssituation gewählte Güterbündel
in der neuen Situation weiterhin erschwinglich ist.
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
24 / 25
5. Wohlfahrtsanalyse von Preisänderungen
Aufgabe 8
Abbildung: Bei gleich hohen Subventionszahlungen kann sich der Konsument
das bei der Mengensubvention gewählte Güterbündel auch bei der
Kopfsubvention leisten. Er stellt sich bei der Kopfsubvention also besser.
Mikroökonomie Übung 4 (FS 10)
Gleichgewicht und Effizienz
25 / 25