7. Mechanik deformierbarer Körper

116
7. Mechanik deformierbarer Körper
Materie ist aus Atomen aufgebaut, die durch Bindungen
zusammengehalten werden. Bei höheren Temperaturen führt die
thermische Energie der Atome zum teilweisen oder völligem Bruch
der Bindungen.
117
Genauer: der Aggregatzustand hängt von der Temperatur und
dem Druck ab.
7.1 Flüssigkeiten
Definition:
Aggregatzustände
Fest (niedrige Temp.):
Druck ist Kraft pro Fläche
F
formstabil, elastisch, kann
brechen (spröde); häufig
geordneter Aufbau
Kolben
(Fläche A)
Atome
p=
F
A
Einheit Pascal
Flüssigkeit
(oder Gas)
[Pa] = [N/m2]
(105 Pa = 1 bar)
Bindungen
Flüssig (mittlere Temp.): ähnliche Dichte wie fester
Zustand, volumenelastisch,
nicht formstabil;
ungeordneter Aufbau
ständig wechselnde
Bindungen
Gasförmig (hohe Temp.): geringe Dichte, sehr
kompressibel;
ungeordnet, keine Bindungen
Flüssigkeiten und Gase geben Druck weiter; in einem Behälter mit
ruhendem Medium wirkt auf alle Flächen derselbe Druck
(Schwerkraft vernachlässigt).
7.1.1 Hydraulik
Der gleichmässige Druck in einem Behälter läßt sich zur KraftWeitergabe und Kraft–Verstärkung ausnutzen.
Druck im Behälter:
F1
Fläche
A1
F2
p=
Fläche
A2
F1
A1
Kraft auf zweiten Kolben:
F2 = pA2 =
A2
F1
A1
118
119
7.1.2 Schweredruck
Die Kraft kann also beliebig verstärkt werden!
Im Schwerefeld entsteht Druck aufgrund der Masse einer
Flüssigkeit (bzw. eines Gases)
Frage: läßt sich so Energie gewinnen?
Berechnung der geleisteten Arbeit:
g
Kolben 1 bewege sich um Strecke l1 ; dabei wird ein Volumen
bewegt von
V1 = l1 A1
h
oberer Teil
der Flüssigkeit
wirkt als
„Kolben“
Wenn die Flüssigkeit als inkompressibel angenommen wird,
bewegt sich Kolben 2 damit um:
l2 =
V2 V1
=
A2 A2
W1 = l1F1
Kolben 2:
W2 = l2 F2 =
V1 A2
F1 = l1F1
A2 A1
Allgemein: die Volumenarbeit an Flüssigkeiten oder
Gasen ist gegeben durch
bzw.
W=
⇒
F ρVg ρhAg
=
=
A
A
A
p = ρhg
Der Druck nimmt linear mit
der Tiefe zu!
Flüssigkeit mit
Dichte ρ
Die am Kolben 1 und vom Kolben 2 geleistete Arbeit ist
identisch; wie beim Flaschenzug läßt sich nur die Kraft
verstärken; die Arbeit (Kraft mal Weg) bleibt dieselbe!
V
W = lF = F = pV
A
p=
Fläche A
Geleistete Arbeit:
Kolben 1:
Druck in der Tiefe h (äußerer
Druck vernachlässigt:
Beispiel: für Wasser ist ρ = 1000 kg/m3; damit ist
N
p = 9810  3  h
m 
Der Druck im Wasser steigt also alle 10 m Wassertiefe um etwa
105 Pa oder 1 bar.
Senkrecht zur Schwerkraft ist der Druck konstant (aufgrund des
gleichmässigen Drucks innerhalb einer Flüssigkeit)
V1
∫ p(V )dV
V0
⇒ der Druck in einem beliebigen Gefäß hängt nicht von der
Form des Gefäßes, sondern nur vom senkrechten Abstand zur
Flüssigkeitsoberfläche ab! („hydrostatisches Pradoxon“)
120
7.1.3 Auftrieb
121
Damit gilt für die Auftriebskraft eines Körpers in einer Flüssigkeit
im Schwerefeld:
Jeder Körper in einer Flüssigkeit im Schwerefeld erfährt eine
Auftriebskraft.
äußerer
Druck p0
Fläche
A
F2
F1
g
h2
Kraft auf untere Fläche
F1 = ( p1 + p0 ) A = ( ρ h1 g + p0 ) A
h1
Kraft auf obere Fläche
F2 = ( p2 + p0 ) A = ( ρh2 g + p0 ) A
F1 − F2 = ρgA(h1 − h2 ) = ρgV
V: Volumen des Quaders
Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft der von dem
Körper verdrängten Flüssigkeit!
7.1.4 Oberflächenspannung
Um eine neue Oberfläche zu erzeugen,
müssen Bindungen gebrochen werden.
Die aufzubringende Energie ist proportional
zur erzeugten Fläche:
Es wirkt also eine nach oben gerichtete Kraft, die dem Volumen
des Quaders und der Dichte der Flüssigkeit proportional ist
(die Kräfte auf die Seitenflächen kompensieren sich, da der Druck
auf gleicher Höhe gleich ist).
EOF = σ A
A : Fläche
σ : Oberflächenspannung
Gilt für beliebige Körper:
diese lassen sich in senkrechte Quader
aufteilen; die gesamte Auftriebskraft
ist dann
n
n
i =1
i =1
F = ∑ Fi = ∑ ρgVi = ρgV
Auftriebskraft
ρ: Dichte der Flüssigkeit
V: Volumen des Körpers
Für einen senkrechten Quader gilt:
Quader in Flüssigkeit
Differenz:
FA = ρgV
neue
Oberflächen
gebrochene
Bindungen
Beispiel: Kraft auf einen benetzten Bügel
b
F
∆x
Flüssigkeit
Flüssigkeitsfilm
Eine Verschiebung um ∆x
vergrößert die Oberfläche
des Films:
∆ A = 2b∆x
(der Film hat zwei Oberflächen!)
122
123
Oberflächenenergie:
∆ E = σ∆A = σ 2b∆x
Vom Gas in der Blase geleistete Arbeit:
dW = ( pi − pa )dV = ( pi − pa )4πr 2 dr
Geleistete Arbeit also:
∆W = F∆x = σ 2b∆x
Im Gleichgewicht ist dies gleich dE:
dE = dW
Damit ist die Kraft:
F = 2σ b
erlaubt Messung der
Oberflächenspannung!
⇒
Seifenblase:
Druckdifferenz
zwischen innen
und außen
4σ
pi − pa =
r
Druck in der Seifenblase steigt bei Verkleinerung!
Zahlenwerte:
N
m
N
σ = 4.7 *10−2
m
N
σ = 1.7 *10−2
m
σ = 7.3*10−2
Wasser
Quecksilber
Ethylether
Gilt analog für den Druck in Tropfen (eine Grenzfläche). Hier gilt:
Tropfen:
Druckdifferenz
zwischen innen
und außen
2σ
pi − pa =
r
Zahlenwert: Wassertropfen, r=1 µm:
∆p = 1.4*105 Pa
Beispiel: Druck in Seifenblase
gesamte Oberfläche des Films:
pa
r
A = 4πr 2 2
7.1.5 Benetzung, Kapillarwirkung
(zwei Grenzflächen!)
pi
Ableitung nach r:
dA
= 16πr
dr
Änderung von A bei Änderung von r um dr:
dA = 16πrdr
Damit verbundene Änderung der Oberflächenenergie:
dE = σdA = σ 16πrdr
Oberflächenspannung besteht nicht nur an der Gernzfläche
Flüssigkeit-Luft, sondern auch an der Grenzfläche
Flüssigkeit-Festkörper (Gefäßwand).
Dies führt zu einem Kontaktwinkel zwischen Flüssigkeit und
Festkörperoberfläche.
124
α'
l
Grenzfläche
Flüssigk.-Gas
Diskussion
b
Je nach dem Verhältnis der Oberflächenspannungen ergeben
sich unterschiedliche Kontaktformen.
dh
Wand
α
α
Flüssigkeit
125
α ist nicht definiert. Es gibt kein Gleichgewicht,
die Flüssigkeit kriecht die Wand hoch
Kontaktpunkt
fester
Punkt
Grenzfläche
Flüssigk.-Wand
voll
benetzend
σ WF > σ FG
1.
σ WF < σ FG
2.
; σ WF < 0
„benetzend“
Eine Anhebung des Kontaktpunkts um dh erzeugt eine
⇒
Vergrößerung der Grenzfläche Wand-Flüssigkeit um
dA = ldh
Vergrößerung der Grenzfläche Flüssigkeit-Gas um
dA ' = lb = ldh cos α ' ≈ ldh cos α
3.
0 < α < 90°
σ WF < σ FG
; σ WF > 0
⇒ 90° < α < 180°
„nicht benetzend“
Im Gleichgewicht gilt für die damit verbundenen Oberflächenenergien:
σ WF dA + σ FG dA ' = 0
Beispiel: Kapillare
σ WF ldh = −σ FG ldh cos α
⇒
σ
cos α = − WF
σ FG
Kontaktwinkel
σ : Oberflächenspanung Flüssigk.-Gas bzw. Flüssigk.-Wand
Dünnes Rohr, teilweise mit
Flüssigkeit gefüllt
r0
r‘
α
α
Kontaktwinkel
Krümmungsradius der
Oberfläche:
r'=
Flüssigkeit
r0
cos α
126
Die Krümmung der Oberfläche führt zu einem zusätzlichen
Druck von:
∆p =
2σ FG 2σ FG
=
cos α
r'
r0
127
7.1.6 Strömungen
Strömungen haben ortsabhängige Geschwindigkeiten:
v = v (r )
Die verändert die Steighöhe in der Kapillare um
∆h =
⇒
∆h =
Massenstromdichte:
v
j = ρ ( r )v ( r )
∆p
ρg
2σ FG
cos α
ρ g r0
ρ: Massendichte
Einheit der Stromdichte:
veränderte Steighöhe
in einerKapillare
Massenfluß durch eine Fläche A:
φ = jA
( = jA
Die Änderung ist positiv für benetzende (cosα >0) und negativ
für nicht benetzende (cosα <0) Flüssigkeiten!
dh
dh
A1
A2
v1
Der Massenfluß durch A1 und A2 muss
gleich sein
φ1 = φ2
j1 A1 = j2 A2
ρv1 A1 = ρv2 A2
Flüssigkeit
also
(z.B. Wasser, Glas)
nicht benetzend
(z.B. Quecksilber, Glas)
falls j ⊥ A)
Für eine inkompressible Flüssigkeit ist die Massendichte
ortsunabhängig. Damit gilt bei einer Änderung des Querschnitts
eines durchströmten Rohrs:
v2
benetzend
 kg 
 m 2s 
bzw.
v2 =
A1
v1
A2
v1 A1 = v2 A2
„Kontinuitätsgleichung“
Die Strömungsgeschwindigkeit nimmt an
Engstellen zu!
128
7.1.7 Bernoulli-Gleichung
allgemein:
In einer Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit (oder eines
Gases) sind Druck und Strömungsgeschwindigkeit direkt
miteinander verknüpft.
A1
v1
p1
p2
A2
v2
129
Rohr mit Verjüngung:
das in einer Zeit ∆t eintretende
Volumen ist gleich dem
austretenden Volumen:
1
p + ρv 2 = konstant = p0
2
Der Druck in einer Strömung nimmt mit der Geschwindigkeit ab!
7.1.8 Flüssigkeit mit innerer Reibung
z
∆V1 = ∆V2 = ∆V
v
Fläche
A
An der Flüssigkeit wird am Eintritt Arbeit geleistet:
Für die Reibungskraft zwischen
zwei Flächen, zwischen denen sich eine
viskose Flüssigkeit befindet, gilt:
F = Aη
∆W1 = p1 A1∆x1
Am Austritt leistet die Flüssigkeit Arbeit:
1
∆E1 = ρ∆V1v12
2
1
∆E2 = ρ∆V2v22
2
Diese Reibungskraft tritt auch zwischen Flüssigkeitsschichten
auf; hier gilt das obige Gesetz in differentieller Form:
F = Aη
Im Gleichgewicht muss die Energiebilanz ausgeglichen sein:
dv
dz
∆E1 + ∆W1 = ∆E2 + ∆W2
also
1
1
ρ∆Vv12 + p1∆V = ρ∆Vv22 + p2 ∆V
2
2
1 2
1
ρv1 + p1 = ρv22 + p2
2
2
v
z
η: Viskositätskonstante
A: Flächengröße
v: relative Geschwindigkeit
z: Abstand
Flüssigkeit
∆W2 = p2 A2 ∆x2
Der Volumenfluß erzeugt einen Zu- und Abfluß kinetischer Energie:
Bernoulli
Zahlenwerte:
Luft
(20° C)
Wasser (20° C)
Glyzerin (20° C)
η = 1.7*10-5 Ns/m2
η = 1.0*10-3 Ns/m2
η = 8.5*10-1 Ns/m2
Die innere Reibung bestimmt das Geschwindigkeitsprofil einer
Strömung.
130
Beispiel: rundes Rohr
p1
Betrachten ein Teilvolumen
mit Radius r, welches sich mit der
Geschwindigkeit v der Strömung bei
r bewegt.
Teilvolumen
131
Das Strömungsprofil im Rohr hat als die Form einer Parabel:
v(r)
∆p 2
r0
4η L
v
Auf dieses wirkt die Reibungskraft:
v
FR = ηA
L
dv
dv
= η 2πrL
dr
dr
Diese muss durch die Differenz
der Druckkräfte auf das Teilvolumen
aufgebracht werden:
p2
Rohr
Fp = ( p1 − p2 )πr 2
r0
Also:
strömende
Flüssigkeit
η 2πrL
⇒
dv
= −( p1 − p2 )πr 2
dr
dv
∆p
=−
r
dr
2ηL
Dies gilt für Teilvolumina aller Radien; damit läßt sich das
Geschwindigkeitsprofil im Rohr durch Integrieren berechnen
v(r ) = −
∆p 2
r + v0
4ηL
Da die Geschwindigkeit an der Rohrwand (r = r0) Null sein muss,
ergibt sich:
v(r ) =
∆p 2 2
(r0 − r )
4ηL
r0
r
r
Der Gesamtfluß durch das Rohr ergibt sich durch Integration des
Strömungsprofils:
ρ∆pπ
(r02 − r 2 )rdr
φ = ∫ ρv(r )2πrdr =
∫
2ηL 0
0
r0
r0
=
⇒
ρ∆pπ 1 4 1 4 ρ ∆pπ 1 4
( r0 − r0 ) =
r0
4
2ηL 4
2ηL 2
φ=
ρπ∆p 4
r0
8ηL
Hagen-Poisseuille
Der Gesamtfluß durch ein Rohr bei gegebener Druckdifferenz
und Rohrlänge ist proportional zur vierten Potenz des Rohrradius!
132
Beispiel: Strömung um eine Kugel
Abnahme der Geschwindigkeit
in der Nähe der Oberfläche:
dv v0
≈
dr r0
r0
v0
133
7.1.9 Wirbel
In einer Flüssigkeit mit geringer Reibung können Wirbel auftreten.
geringe Reibung
starke Reibung
Resultierende Reibungskraft
auf der Kugeloberfläche:
FR ≈ Aη
≈ 4π r02η
dv
dr
v0
= 4π r0η v0
r0
Wirbel
laminare Strömung
turbulente Strömung
∇×v ≠ 0 !
Die genaue Rechnung ergibt:
FR = 6π r0η v0
Stokes
Reibungskraft auf eine relativ zu einem vikosen Medium
bewegten Kugel
(ermöglicht die Messung von η in einem „Kugelfallviskosimeter“)
Das Auftreten von Turbulenz hängt von dem Verhältnis
zwischen kinetischer Energie der Strömung und der
Reibungsarbeit ab.
Kin. Energie eines Volumenelements
V = l3 :
1
Ekin = ρ l 3v 2
2
Reibungsarbeit bei Bewegung des Volumens um l:
v
W = η 6l 2 l = 6η vl 2
l
134
135
Division der Größen (Vorfaktoren vernachlässigt):
7.2 Deformierbare feste Körper
ρ l 3v 2 ρ lv
Re =
=
η vl 2
η
Reynoldszahl
ρ : Dichte
7.2.1 Kraftgesetze
Definition: mechanische Spannung
Stab
v : Strömungsgeschwindigkeit
l : „typische Länge“
η : Viskosität
Je größer Re, desto größer die Tendenz zur Wirbelbildung
(Umschlag laminar-turbulent). Bei glatten Rohren erfogt
der Umschlag zu turbulenter Strömung bei
∆l
l
Luft:
Wasser
v=
η
Re
ρ lv k
v = 1.5 m/s
v = 0.12 m/s
N
 m 2 
Für die Längenänderung des Stabs gilt:
∆l σ
1
= =
F
l E EA
Zahlenwerte: Rohr mit 1 cm Radius
F
A
(negativer Druck)
Fläche A
Rek ≈ 1200
Grenzgeschwindigkeit
σ=
F
bzw.
σ =E
Hook‘sches
Gesetz
∆l
l
E: Elastizitätsmodul (Materialkonstante)
Die Längenänderung ist proportional zur Kraft!
Andere Schreibweise: die Gegenkraft ist gegeben durch
Der Übergang laminar-turbulent verändert das Reibungsgesetz
(aus
FR ∝ v wird FR ∝ v )
2
⇒ die Reibung (Strömungswiderstand) nimmt stark zu!
F =−
EA
∆l = − D∆l
l
D: Federkonstante
136
Das Kraftgesetz gilt nur für geringe Verformungen; bei größereren
Spannungen erfolgt der Übergang von elastischer zu plastischer
(permanenter) Verformung.
σ
Beispiel Kupfer
( E = 120 109 Pa)
137
dV
dr dl
dl dl
dl
= 2 + = −2 µ + = (1 − 2 µ )
V
r
l
l
l
l
=>
dV
dl
σ
= (1 − 2 µ ) = (1 − 2 µ )
V
l
E
N
 m 2 
µ ist eine Materialkonstante. Sie nimmt Werte an von
plastisch
0.15 < µ < 0.5
2*108
reisst
elastisch
1 10-3
2 10-3
3 10-3
0.1
∆l
l
Genauere Betrachtung: der gedehnte Stab wird dünner
(µ = 0.5 bedeutet keinerlei Volumenänderung bei Dehnung;
tritt auf bei imkompressiblen Systemen, wie z.B. ein ein
wassergefüllter Schlauch)
Weitere Verformungen
Körper unter Druck
Kompression
Definition: Poisson-Zahl
∆l
l
r
F
dr
Rundstab
Der Stab hat das Volumen:
dr
µ=− r
dl
l
V = π r 2l
Die Volumenänderung bei Dehnung ist also:
dV =
δV
δV
2
dr +
dl = 2π rldr + π r 2 dl = π r 2 l ( dr + 1dl )
δr
δl
r
V
F
Volumenabnahme
p
∆V
= −κ p
V
F
F
Es gilt:
κ : Kompressibilität
K=1/κ : Kompressionsmodul
κ=
dV 1
dV 1 3(1 − 2 µ )
=3
=
V p
V σ
E
(allseitiger Druck entspricht mechanischer Spannung von 3 Seiten)
138
Zusammenhang zwischen den Modulen:
Scherung
A
Tangentiale Kraft auf Fläche:
Schubspannung
E: Elastizitätsmodul (Youngs modulus)
G: Torsionsmodul (Schubmodul, rigidity modulus)
K: Kompressionsmodul (Bulk modulus)
F
τ=
α
139
F
A
N
2
 m 
µ: Poisson-Zahl
sowie
E
=1+ µ
2G
Die Schubspannung erzeugt eine Scherung
um den Winkel α:
α=
E
= 1 − 2µ
3K
1
τ
G
G : Torsionsmodul
oder Schubmodul
Drillung
T
Das Drehmoment erzeugt einen
Verdrillungswinkel α
α=
α
Rm: Zugfestigkeit
Zahlenwerte
1
2l
T=
T
DR
π GR 4
Material
E
G
K
µ
Rm
Federstahl
212
80
170
0.28
1.55
Gold
78
27
220
0.44
0.14
Kupfer
130
48
140
0.34
0.2
Quartz
76
33
38
0.17
0.09
DR: Richtgröße
Alle Werte in GPa (109 N/m2)
Für alle Verformungen gilt: die Verformung ist proportional
zur Kraft für kleine Verformungen! Die potentielle Energie
ist damit proportional zum Quadrat der Verformung.