Zufallsvariable - WiSo

Lehrstuhl für Wirtschaftspolitik
Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie
Ü1.1 Zufallsvariablen
 Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren numerischer Wert
solange unbekannt ist, bis er beobachtet wird. Der Wert einer
Zufallsvariable kann in einem Experiment erzeugt werden, ist
allerdings nicht vorhersagbar. Die einzelnen Wert einer
Zufallsvariablen X werden als Realisationen oder Ausprägungen x
bezeichnet.
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 Diskrete Zufallsvariablen können nur eine begrenzte Anzahl von
Werten annehmen (z.B. Würfel, Münzwurf). Einen speziellen Fall
diskreter Zufallsvariablen stellen dabei die binären Variablen
dar. Sie können immer nur einen Wert von zwei möglichen
Ausprägungen annehmen (z.B. Geschlecht).
 Stetige Zufallsvariablen können jeden realen Wert annehmen,
der in einem Intervall realer Zahlen liegt (z.B. Einkommen,
Größe, Geschwindigkeit)  Anzahl möglicher Ausprägungen
nicht mehr zählbar
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Ü1.2 Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable
 Durch
wiederholte
Experimente
können
jeder
möglichen
Ausprägung einer Zufallsvariable eine Eintrittswahrscheinlichkeit
zugeordnet
werden.
Diese
Zuordnungen
werden
als
Wahrscheinlichkeitsfunktion oder auch als Dichtefunktion
bezeichnet (englisch: probability density function, kurz: pdf).
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 Für
eine
diskrete
Zufallsvariable
X
ist
der
Wert
der
Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) die Wahrscheinlichkeit, dass die
Variable X den Wert x annimmt, f(x) = P(X=x).
 Da f(x) eine Wahrscheinlichkeit ist, gilt 0 
f (x)  1 und,
gegeben, dass X insgesamt n Werte x1,…, xn annehmen kann:
f(x1) + f(x2) + ... + f(xn) = 1.
 Die
Dichtefunktionen
diskreter
Zufallsvariablen
können
anschaulich in Tabellenform oder grafisch dargestellt werden
(siehe Tabelle Ü1.1).
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 Die Wahrscheinlichkeit, dass eine diskrete Zufallsvariable einen
Wert im Intervall [a, b] annimmt, wird
folgendermaßen
beschrieben:
P( a  X  b ) 
b
 f(x)
xa
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 f( x )1
i
i
(Ü1.2.1)
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 Beispiel:
X sei die Anzahl von Quartalen, die ein Student während eines
Jahres jobbt. Die fünf möglichen Ausprägungen sind also x = 0, 1,
2, 3, 4. Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten seien 0,05; 0,50;
0,10; 0,10 und 0,25 (siehe Tabelle Ü1.1).
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x
f(x)
F(x)
0
0,05
0,05
1
0,50
0,55
2
0,10
0,65
3
0,10
0,75
4
0,25
1,00
Tabelle Ü1.1: Beispiel Dichte- und Verteilungsfunktion
Quelle: Hill, Griffiths, Lim (2008), S. 482
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 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student 3 oder 4 Quartale im
Jahr arbeitet, ist somit:
P(3  X  4) = 0,10 + 0,25 = 0,35.
 Eine alternative Darstellung von Wahrscheinlichkeiten ist die
(kumulative) Verteilungsfunktion F(x) einer Zufallsvariable X
(cumulative density function, cdf). Sie gibt die Wahrscheinlichkeit
an, dass X kleiner oder gleich einem bestimmten Wert x ist:
F(x) = P(X  x)
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(Ü1.2.2)
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 Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student mehr als zwei
Quartale im Jahr arbeitet, ist
P(X > 2) = 1 – P(X  2) = 1 – 0,65 = 0,35.
 Da eine stetige Zufallsvariable X jeden Wert innerhalb eines
Intervalls annehmen kann, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie
einen ganz bestimmten Wert annimmt Null. Es wird deshalb die
Wahrscheinlichkeitsdichte für einen bestimmten Wertebereich [a,
b] angegeben. Die Fläche unterhalb der Kurve der Dichtefunktion
f(x)
von
a
bis
b
entspricht
der
dazugehörigen
Wahrscheinlichkeitsdichte.
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 Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable einen
Wert im Intervall [a, b] annimmt, wird somit folgendermaßen
beschrieben:
b

a

P( a  X  b )   f ( x )dx  F ( b )  F ( a ),
 f ( x )dx  1
(Ü1.2.3)
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 Beispiel Fig. B.2:
Gegeben sei, dass P(X  20) = 0,294 und P(X  40)= 0,649. Die
Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert zwischen 20 und 40
annimmt, entspricht demnach:
40
P( 20 X  40)   f ( x )dx  F( 40)  F( 20)  0,6490,294 0,355.
20
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Quelle: Hill, Griffiths, Lim (2008), S. 483
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Ü1.3 Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Ü1.3.1 Der Erwartungswert einer Zufallsvariable
 Der Mittelwert einer Zufallsvariable X wird Erwartungswert
genannt. Er ist der durchschnittliche Wert der Zufallsvariable bei
einer unendlichen Anzahl von Wiederholungen des Experiments.
Der Erwartungswert wird üblicherweise mit E(X) oder auch X
symbolisiert.
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 Wenn X eine diskrete Zufallsvariable ist, die die Werte x1, x2,..., xn
mit einer Wahrscheinlichkeit f(x1), f(x2),...f(xn) annimmt, ist der
Erwartungswert von X:
E( X )  x1 f ( x1 )  x2 f ( x2 )  ... xn f ( xn )
n
 xi f ( xi )
i1
 x f ( x )
(Ü1.4.1)
x
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 Die Interpretation gilt auch für stetige Zufallsvariablen. Die
Berechnung erfolgt jedoch auch hier mit Hilfe des Integrals:

E( X ) 
 x f ( x )dx
(Ü1.4.2)

 Der Erwartungswert kann stark durch Ausreißer nach oben oder
unten beeinflusst werden. Zwei weitere populäre Maßzahlen für
das Zentrum der Verteilung, die diesen Nachteil nicht haben, sind:
-
Median: Der Wert m von X, der die Verteilung in zwei Hälften
teilt, so dass P(X > m) = P(X < m) = 0,5.
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-
Modus:
Die
Ausprägung
von
X
mit
der
höchsten
Eintrittswahrscheinlichkeit.
Ü1.3.2 Der Erwartungswert von Funktionen einer
Zufallsvariable
 Wenn X eine diskrete Zufallsvariable und g(X) eine Funktion von
X ist, dann gilt:
E[ g( X )]   g( x ) f ( x )
x
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(Ü1.4.3)
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 Für stetige Zufallsvariablen wird die Summe durch das Integral
ersetzt.
 Achtung! Im Allgemeinen gilt:
E[ g( X )]  g[ E( X )]
 Wenn X eine diskrete Zufallsvariable ist, g(X) = g1(X) + g2(X)
und g1(X) und g2(X) sind Funktionen von X, dann gilt
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E[ g( X )]   [ g1 ( x )  g 2 ( x )] f ( x )
x
  g1 ( x ) f ( x )   g 2 ( x ) f ( x )
x
x
(Ü1.4.4)
 E[ g1 ( x )]  E[ g 2 ( x )]
 D.h., der Erwartungswert einer Summe von Funktionen von
Zufallsvariablen bzw. der Erwartungswert einer Summe von
Zufallsvariablen
entspricht
immer
der
Summe
der
Erwartungswerte.
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Ü1.3.3 Die Varianz einer Zufallsvariable
 Die
Varianz
beschreibt
Wahrscheinlichkeitsverteilung.
die
Sie
Streuung
wird
einer
berechnet
als
durchschnittliche quadrierte Differenz aller Ausprägungen vom
Mittelwert E(X) und wird üblicherweise mit 2 dargestellt:
var( X )    E [ X  E( X )]  E [ X ]  [ E( X )]
2
2
2
2
(Ü1.4.5)
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n
 Diskrete ZV:
var( X )  ( xi  E( X ))2 f ( xi )



i 1
g( X )



E [ g( X )]
(Ü1.4.6)

 Stetige ZV:
var( X )   ( x  E( X ))2 f ( x )dx

(Ü1.4.7)
 Je höher die Varianz, desto „breiter“ ist die Verteilung.
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 Wenn a und c konstant sind und Z = a + cX, dann ist Z eine
Zufallsvariable mit einer Varianz von:
var(a  cX )  E[(a  cX )  E( a  cX )]  c var(X )
2
2
(Ü1.4.8)
 Ableitung:
var(a  cX )  E[(a  cX )  E( a  cX )]2  E[(a  cX )2  2( a  cX )E( a  cX ) ( E( a  cX ))2 ]
 E[ a2  2acX c2 X 2  2( a  cX )(a  cE( X ))( a  cE( X ))2 ]  ... c2 [ E( X 2 ) ( E( X ))2 ]
 c2 var(X )
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 Addition einer Konstanten beeinflusst die Varianz der ZV
nicht
 Multiplikation mit einer Konstanten modifiziert die Varianz
um das Quadrat der Konstanten.
 Die Wurzel der Varianz ist die Standardabweichung, , die auch
als Streuungsmaß von Wahrscheinlichkeitsverteilungen genutzt
wird. Sie hat den Vorteil, dass sie in derselben Einheit gemessen
wird wie die Zufallsvariable.
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 Zwei weitere Maße zur Charakterisierung einer Verteilung sind:
 Schiefe:
beschreibt
die
„Neigungsstärke“
bzw.
den
Symmetriegrad der Verteilung. Symmetrische Verteilungen
haben eine Schiefe von 0.
 Kurtosis: beschreibt die „Spitzigkeit“. Je größer die
Kurtosis, desto mehr Ausprägungen sind um den Mittelwert
konzentriert. Die Benchmark ist ein Wert von 3, die
Kurtosis der Normalverteilung.
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Ü1.3.4 Erwartungswerte mehrerer Zufallsvariablen
 Wenn X und Y Zufallsvariablen sind mit gemeinsamer
Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x, y), und g(X, Y) ist eine Funktion
von X und Y, dann gilt:
E [ g( X ,Y )]   g( x , y ) f ( x , y )
x
y
(Ü1.4.9)
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 Daraus folgt:
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
(Ü1.4.10)
Ableitung:
E( X  Y )  ( x  y ) f ( x, y )  x f ( x, y )   y f ( x, y )
x
y
x
y
x
y
  x f ( x, y )  y f ( x, y )   x f ( x )   y f ( y )
x
y
y
x
x
y
 E( X )  E( Y )
 Analog kann man zeigen, dass für eine durch a und b gewichtete
Summe zweier Zufallsvariablen X und Y gilt:
E[aX + bY] = aE(X) + bE(Y)
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(Ü1.4.11)
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 Wenn X und Y Zufallsvariablen sind, dann gilt auch für
Funktionen von X und Y:
E[g(X) + f(Y)] = E[g(X)] + E[f(Y)]
(Ü1.4.12)
 Eine besondere Anwendung davon ist die Kovarianz zwischen
den Zufallsvariablen X und Y. Es sei:
g(X, Y) = (X – E(X))(Y – E(Y))
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(Ü1.4.13)
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 Die Kovarianz zwischen X und Y wird dann definiert als:
cov(X, Y) =XY = E[(X – E(X))(Y – E(Y))]
= E(XY) – E(X)E(Y) = E(XY) - XY
(Ü1.4.14)
 D.h., die Kovarianz ist der Erwartungswert des Produkts von X
minus Erwartungswert und Y minus Erwartungswert. Am
Vorzeichen der Kovarianz lässt sich ablesen, ob im Durchschnitt
die
beiden
Zufallsvariablen
positiv
oder
negativ
zusammenhängen.
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 cov(X, Y) > 0: wenn x größer ist als der Durchschnitt, dann
tendiert y auch dazu, größer als der Durchschnitt zu sein.
Wenn x kleiner ist als der Durchschnitt, dann tendiert auch y
dazu, kleiner zu sein als der Durchschnitt;
 cov(X, Y) < 0: wenn x größer ist als der Durchschnitt, dann
tendiert y dazu, kleiner zu sein als der Durchschnitt.
 Die Höhe der Kovarianz kann allerdings nicht interpretiert
werden, da sie z.B. mit der Einheit der betrachteten Variablen
schwankt.
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 Dieser Mangel kann behoben werden, indem die Kovarianz über
die
Einzel-Standardabweichungen
„standardisiert“
wird

Korrelation, :
 XY


var( X ) var( Y )  X  Y
cov( X ,Y )
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(Ü1.4.15)
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 Der Korrelationskoeffizient, , misst den Grad des linearen
Zusammenhangs zwischen zwei Zufallsvariablen. Im Gegensatz
zur Kovarianz liegen die Werte für  zwischen –1 und +1.
Dadurch werden die Zusammenhänge zwischen Zufallsvariablen
vergleichbar. Bei perfekt positiv linearem Zusammenhang nimmt
 den Wert + 1 an, bei perfekt negativ linearem Zusammenhang
– 1. Je größer der absolute Wert von , umso stärker ist der
Zusammenhang.
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 Für statistisch unabhängige Variablen gilt:  = 0. ABER: Zwei
Zufallsvariablen mit  = 0 müssen nicht automatisch statistisch
unabhängig voneinander sein.
 Wenn X, Y und Z Zufallsvariablen und a, b und c Konstanten sind,
dann gilt:
var[aX  bY  cZ ]  a 2 var[ X ]  b 2 var[Y ]  c 2 var[Z ]
 2ab cov[ X ,Y ]  2ac cov[ X , Z ]  2bc cov[Y , Z ]
(Ü1.4.16)
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 Wenn X, Y und Z statistisch unabhängige oder unkorrelierte
Zufallsvariablen sind, dann sind ihre Kovarianzen gleich null, so
dass:
var[aX  bY  cZ ]  a var[X ]  b var[Y ]  c var[Z ]
2
2
2
 Wenn X, Y und Z statistisch unabhängige oder unkorrelierte
Zufallsvariablen sind und wenn a = b = c =1, dann gilt:
var[ X  Y  Z ]  var[ X ]  var[Y ]  var[Z ]
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 Die Varianz einer Summe entspricht nur dann der Summe der
Varianzen, wenn die Zufallsvariablen statistisch unabhängig oder
unkorreliert sind.
Ü1.4 Beispiele wichtiger Verteilungen
 Bisher: allgemeine Diskussion von Zufallsvariablen und ihren
Verteilungen. In der Realität haben sich jedoch bestimmte
Verteilungen als nützlich erwiesen. Für uns sind die folgenden
vor allem für Hypothesentests wichtig.
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Ü1.4.1 Die Normalverteilung
 Wenn
Zufallsvariablen
Dichtefunktion
normalverteilt
glockenförmig
und
sind,
verläuft
symmetrisch
um
ihre
den
Erwartungswert der Verteilung.
 Die Lage der Normalverteilung wird durch den Erwartungswert 
und ihre Varianz 2 beschrieben. Aufgrund ihrer Symmetrie ist
die Schiefe = 0, ihre Kurtosis beträgt 3. Die Kurzform zur
Charakterisierung der Verteilung der Zufallsvariable X ist:
X  N(,2)
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(Ü1.5.1)
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 Die Dichtefunktion ist über den gesamten realen Wertebereich
definiert und lautet:
  ( x   )2 
f(x)
exp 
,    x  
2
2
2
 2

1
 Problem
der
Normalverteilung:
Die
Fläche
(Ü1.5.2)
unter
der
Dichtefunktion lässt sich nicht einfach berechnen, nur abschätzen.
Außerdem ist die Vergleichbarkeit von zwei normalverteilten
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Lehrstuhl für Wirtschaftspolitik
Variablen dadurch eingeschränkt, dass sie sich sowohl in ihrer
Lage als auch in ihrer Streuung unterscheiden können.
 Lösung: Transformation der normalverteilten Zufallsvariable X in
die standardnormalverteilte Zufallsvariable Z mit  = 0 und
Varianz 2 = 1:
Z 
X 

 N(0, 1)
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(Ü1.5.3)
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Lehrstuhl für Wirtschaftspolitik
Quelle: Hill, Griffiths, Lim (2008), S. 494
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 Da
die
(kumulative)
Verteilungsfunktion
von
standardnormalverteilten Variablen so häufig verwendet wird,
wurde ein eigenes Zeichen dafür eingeführt:
( z )  P( Z  z )
 Aufgrund
der
Symmetrie
liegt
die
eine
Hälfte
der
Wahrscheinlichkeitsmasse rechts, die andere Hälfte links von 0,
und es gilt:
P(Z > a) = P(Z < -a).
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Lehrstuhl für Wirtschaftspolitik
 Die Zufallsvariable Z liegt innerhalb einer Standardabweichung,
, um den Erwartungswert mit einer Wahrscheinlichkeit von ca.
68 % (2 : ca. 95 %, 3 : ca. 99 %).
 Wenn X  N(,2) und a und b sind Konstanten, dann gilt:
a   X   b   
P[ a  X  b ]  P



 
 
b
a
b 
a  
 
 P
Z

  

 
  
  
 
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(Ü1.5.4)
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Lehrstuhl für Wirtschaftspolitik
 Beispiel: Gegeben sei X  N(3, 9). Beschreibe mit Hilfe der Table
1: P(4  X  6).
 Da
43
9 = 0,33 und
6 3
9 = 1, ergibt sich
P( 4  X  6 )  P( 0,33  Z  1 )  ( 1 )  ( 0,33 )
 0,8413  0,6293  0,2120
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Quelle: Hill, Griffiths, Lim (2008), S. 572
SS 11
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 Wichtig!
Jede
lineare
Funktion
einer
normalverteilten
Zufallsvariable ist normalverteilt:
 Wenn X1  N(1,
 12 ),
X2  N(2,
 22 ),
X3  N(3,
 32 )
und c1, c2, c3
Konstanten sind, dann gilt:
Z  c1 X 1  c 2 X 2  c 3 X 3
 N[E(Z), var(Z)]
(Ü1.5.5)
mit
E(Z) = c1 E(X1) + c2 E(X2) + c3 E(X3) = c1 1 + c2 2 + c3 3
(Ü1.5.6)
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 Wenn X1, X2 und X3 statistisch unabhängig voneinander sind,
dann ist:
var( Z )  c12 var( X 1 )  c 22 var( X 2 )  c32 var( X 3 ) (Ü1.5.7)
 Wenn X1, X2 und X3 nicht statistisch unabhängig voneinander
sind, dann gilt
var(Z )  c12 var(X1 )  c22 var(X2 )  c32 var(X3 )  2c1c2 cov(X1 , X2 )
 2c1c3 cov(X1 , X3 )  2c2c3 cov(X2 , X3 )
(Ü1.5.8)
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Ü1.4.2 Die Chi-Quadrat-Verteilung
 Chi-Quadrat-Zufallsvariablen
entstehen,
wenn
standard-
normalverteilte Zufallsvariablen quadriert werden. Es seien Z1,
Z2,..., Zm m unabhängige N(0, 1) Zufallsvariablen. Dann gilt:
V  Z  Z  ...  Z  
2
1
2
2
2
m
2
(m)
(Ü1.5.9)
 Dies bedeutet, dass die Zufallsvariable V Chi-Quadrat-verteilt ist
mit m Freiheitsgraden, wobei die Höhe der Freiheitsgrade die
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Anzahl der unabhängigen N(0, 1)-verteilten und quadrierten
Zufallsvariablen Z angibt.
 Der Wert m bestimmt die gesamte Verteilung, insbesondere den
Erwartungswert und die Varianz (s. Figure B.6):
E ( V )  E (  (2m ) )  m
var( V )  var(  (2m ) )  2 m
(Ü1.5.10)
 Die Chi-Quadrat-Verteilung konvergiert mit steigendem m zur
Normalverteilung.
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Quelle: Hill, Griffiths, Lim (2008), S. 496
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46
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Ü1.4.3 Die t-Verteilung
 Eine t-verteilte Zufallsvariable entsteht durch die Division einer
standardnormalverteilten Zufallsvariable Z  N(0, 1) durch die
Wurzel einer von Z unabhängigen (!) Chi-Quadrat-verteilten
2

Variable V  ( m ) , die wiederum durch ihre Anzahl von
Freiheitsgraden dividiert wurde:
t
Z
V / m  t(m)
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(Ü1.5.11)
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 Die
t-Verteilung
ist
symmetrisch
und
wird
durch
ihre
Freiheitsgrade m bestimmt:
E( t( m ) )  0
m
var( t( m ) ) 
(m2)
 Die
t-Verteilung
hat
(Ü1.5.12)
dickere
Ränder
als
die
Standardnormalverteilung (s. Figure B.7). Sie konvergiert
allerdings zur Standardnormalverteilung, wenn m   .
SS 11
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Lehrstuhl für Wirtschaftspolitik
Quelle: Hill, Griffiths, Lim (2008), S. 497
SS 11
49
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Ü1.4.4 Die F-Verteilung
 Eine F-verteilte Zufallsvariable entsteht durch die Division zweier
voneinander
Zufallsvariablen,
unabhängiger,
die
jeweils
Chi-Quadrat-verteilter
durch
die
Anzahl
ihrer
Freiheitsgrade dividiert wurden:
V1 / m1
F
V2 / m 2 
F( m1 ,m2 )
(Ü1.5.13)
 Die Werte m1 und m2 bestimmen auch hier die Verteilung. Eine
F-Verteilung ist über den Wertebereich von 0 bis  definiert.
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