Lösungsblatt der ¨Ubung zur Einführung in die Physik WS2015/16 3

Lösungsblatt der Übung zur Einführung in die Physik WS2015/16
3.) a) Eine Masse m gleite reibungsfrei eine ruhende schiefe Ebene hinunter, siehe Abb. Für
die Masse m, den Neigungswinkel α und den Abstand d der Masse vom Fuß der schiefen Ebene
in waagerechter Richtung gelte m = 1 kg, α = 30◦ und d = 1 m. Berechnen Sie die Zeit te , die
vergeht, bis die Masse am Fuß der Ebene angekommen ist. Wie groß ist tf , wenn die Masse aus
gleicher Höhe frei fallen würde?
Zunächst zerlegen wir die Gewichtskraft, die nach unten auf die Masse m wirkt, in die Kraftkomponenten parallel und senkrecht zur schiefen Ebene, Fk = mg sin(α) und F⊥ = mg cos(α),
s. Abb. Die Kraft Fk beschleunigt die Masse entlang der Ebene zum Fuß der Ebene hin. Somit
beträgt die Beschleunigung entlang der Ebene ak = Fk /m = g sin(α). Die Strecke, die die Masse
zurücklegt ist l = d/ cos(α). Die Bewegung entlang der Ebene wird beschrieben durch:
1
1
x(t) = ak t2 = g sin(α) t2
2
2
Am Ende der Rampe ist dann
1
g sin(α) t2e = l
2
Dies können wir umformen in
s
te =
2l
=
g sin(α)
s
2d
g sin(α) cos(α)
= 0, 686 s.
ǁ
l
h
d
Beim freien Fall fällt die Masse senkrecht die Strecke h = d tan(α) bis zur Basis der schiefen
Ebene. Die entsprechende Zeit beträgt
s
s
2h
2d tan(α)
tf =
=
g
g
= 0, 343 s.
b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Masse m, wenn sie am Fuß der schiefen Ebene angelangt ist. Wie groß ist sie, wenn die Masse aus gleicher Höhe frei fallen würde?
Die Geschwindigkeit v(te ), die die Masse am Fuß der schiefen Ebene aufgenommen hat, erhält
man aus der entsprechenden Bewegungsgleichung
s
2d
v(te ) = ak te = g sin(α) te = g sin(α)
g sin(α) cos(α)
s
2dg sin(α) p
= 2dg tan(α)
=
cos(α)
= 3.37 m/s.
1
Die Geschwindigkeit, die die Masse beim freien Fall aufnimmt, erhält man analog:
s
2d tan(α) p
v(tf ) = gtF = g
= 2dg tan(α)
g
= 3.37 m/s.
D. h. obwohl die Zeiten te und tf verschieden sind, ist die Endgeschwindigkeit vom Betrag her
die gleiche. Dies läßt sich verstehen, wenn man Energien betrachtet. Da die potentielle Energie,
die die Masse in beiden Fällen verliert, gleich ist, nämlich mgh, muß auch die kinetische Energie
mv 2 /2 die gleiche sein, und somit die Endgeschwindigkeit v.
c) Wenn die Masse nun mit Geschwindigkeit v0 = 4 m/s am Fuss der schiefen Ebene startet
und auf ihr nach oben gleitet, auf welcher Höhe (senkrecht gemessen) kommt sie (kurzzeitig) zur
Ruhe?
Für die Geschwindigkeit auf der Rampe gilt hier:
v(t) = v0 − g sin(α)t
Die Masse kommt also zur Ruhe wenn
v(t1 ) = v0 − g sin(α)t1 = 0
also bei
t1 =
v0
= 0.82 m/s
g sin(α)
Die zurückgelegte Strecke ist
1
1 v02
x(t1 ) = v0 t1 − g sin(α)t21 =
= 1.63 m
2
2 g sin(α)
Die erreichte Höhe ist
h = x(t1 ) sin(α) =
v02
= 0.82 m
2g
4 a) Die Durchschnittsentfernung zwischen Erde und Sonne beträgt rES = 1, 50 · 108 km. Die
Erde umkreist die Sonne bekanntlich in einem Jahr. Wie groß ist für diese Kreisbewegung die
Kreisfrequenz ω, die normale Frequenz f , der Bahnumfang U und die Bahngeschwindigkeit v?
Die normale Frequenz ist:
f=
1
1
1
=
= 3.17 · 10−8
τ
365 · 24 · 3600 s
s
Die Kreisfrequenz ist damit
1
ω = 2πf = 2.0 · 10−7 .
s
Der Bahnumfang ist
U = 2πrES = 9, 42 · 1011 m
und die Bahngeschwindigkeit
v = U/τ = r · ω = 29886
(das sind 107589 km/h !)
2
m
s
b) Die Masse der Erde beträgt mE = 5, 97 · 1024 kg. Berechnen Sie die Zentripetalkraft Fzp , die
auf die Erde wirkt. Da die Erdumlaufbahn stabil ist, gilt offensichtlich Fzp = FG , wobei FG die
Gravitationskraft bezeichnet, die zwischen Erde und Sonne wirkt. Hieraus läßt sich die Masse
der Sonne mS berechnen.
Die Zentripetalkraft ist durch
Fzp =
mE v 2
= mE ω 2 rES = 3, 55 · 1022 N.
rES
gegeben. Dies ist eine riesige Kraft, allerdings beträgt die entsprechende Beschleunigung der
Erde lediglich
azp = Fzp /mE = 0.00595 m/s2 ≈ 0.0006 · g.
Gleichsetzen von Zentripetal- und Gravitationskraft ergibt
Fzp = FG
mE v 2
mE mS
= G 2
rES
rES
m
S
v2 = G
rES
rES v 2
≈ 2, 01 · 1030 kg
mS =
G
= 337 000 · mE .
c) Die Bewegung der Erde um die Sonne läß t sich mit der folgende Ortskurve beschreiben:
rES cos(ωt)
~r(t) =
rES sin(ωt)
Wie lauten die zeitabhängigen Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren ~v (t) und ~a(t)?
Wie groß sind die Beträge dieser Vektoren? Vergleichen Sie mit v aus a) und mit a = Fzp /mE
aus b).
Den Geschwindigkeitsvektor erhält man durch einmaliges Ableiten,
−rES ω sin(ωt)
~v (t) =
rES ω cos(ωt)
Den Beschleunigungsvektor erhält man durch zweimaliges Ableiten,
−rES ω 2 cos(ωt)
~a(t) =
−rES ω 2 sin(ωt)
Die Beträge sind
q
2 ω 2 sin2 ωt + r 2 ω 2 cos2 ωt
rES
ES
q
2 ω 2 (sin2 ωt + cos2 ωt)
=
rES
|~v | =
= rES ω
3
und
q
2 ω 4 cos2 ωt + r 2 ω 4 sin2 ωt
|~a| =
rES
ES
= rES ω 2
= Fzp /mE .
Somit erhält man natürlich die gleichen Ausdrücke wie in Aufgaben a) und b).
4