Y - Uni Mainz
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Methoden der Psychologie Prof. Dr. G. Meinhardt 2. Stock, Nordflügel R. 02-429 (Persike) R. 02-431 (Meinhardt) Forschungsstatistik I Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Dr. Malte Persike } [email protected] WS 2008/2009 Fachbereich Sozialwissenschaften Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz Methoden der Psychologie Erwartungswert Erwartungswerte Beispiele Erwartungswerte Definition der Lage einer Zufallsvariablen Varianz Bei einer Stichprobe von Beobachtungen einer Zufallsvariablen wird in der deskriptiven Statistik der Mittelwert x zur Beschreibung der Lage verwendet Diskrete Zufallsverteilungen Die Lage der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen Y wird durch den Erwartungswert von Y, in Zeichen E(Y), charakterisiert Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen erfordert keine Beobachtungen, sondern bezieht sich auf die theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung Der Erwartungswert E(Y) einer Zufallsvariablen Y wird oft auch alternativ mit µ („mü“) bezeichnet Methoden der Psychologie Erwartungswert Varianz Diskrete Zufallsverteilungen Erwartungswerte Beispiele Erwartungswerte Definition der Lage einer Zufallsvariablen Für eine diskrete Zufallsvariable Y mit endlich vielen Ausprägungen y1,…,yk und Wahrscheinlichkeiten pi = P(Y=yi) ergibt sich der Erwartungswert über k E (Y ) = ∑ yi pi i =1 E(Y) kann als gewichtetes Mittel der möglichen Realisationen einer Zufallsvariablen aufgefasst werden, wobei die Wahrscheinlichkeiten die Gewichte darstellen. Der Erwartungswert repräsentiert den Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen, so wie der Mittelwert der Schwerpunkt der Häufigkeitsverteilung ist. Methoden der Psychologie Erwartungswert Varianz Erwartungswerte Beispiele Erwartungswerte Rechenregeln Falls a eine konstante Zahl ist und Y eine Zufallsvariable mit E(Y), dann ist E(Y + a) = a + E(Y) Diskrete Zufallsverteilungen Falls b eine konstante Zahl ist und Y eine Zufallsvariable, dann ist E(b · Y) = b · E(Y) Damit gilt auch: E(b · Y + a) = b · E(Y) + a Wenn die Zufallsvariable Y eine Konstante a ist, dann ist E(a) = a Methoden der Psychologie Erwartungswert Erwartungswerte Beispiele Erwartungswerte Rechenregeln Für die Summe mehrerer Zufallsvariablen gilt Varianz Diskrete Zufallsverteilungen E (Y1 + Y2 + … + Yk ) = E (Y1 ) + E (Y2 ) + … + E (Yk ) also: k k i =1 i =1 E (∑ Yi ) = ∑ E (Yi ) Für ihre Differenz gilt dann folgerichtig E (Y1 − Y2 − … − Yk ) = E (Y1 ) − E (Y2 ) − … − E (Yk ) Methoden der Psychologie Erwartungswert Varianz Diskrete Zufallsverteilungen Erwartungswerte Beispiele Erwartungswerte Definition der Varianz einer Zufallsvariablen Bei einer Stichprobe von Beobachtungen einer quantitativen Variablen wurden in der deskriptiven Statistik die Varianz bzw. Standardabweichung zur Beschreibung der Streuung verwendet Die Varianz von Y wird häufig alternativ statt mit Var(Y) auch mit σ² („sigma“) bezeichnet Für eine diskrete Zufallsvariable Y wird die Varianz wie folgt definiert: σ Y2 = E [ (Y − E (Y )) 2 ] Methoden der Psychologie Erwartungswert Varianz Diskrete Zufallsverteilungen Erwartungswerte Beispiele Erwartungswerte Definition der Varianz einer Zufallsvariablen Die Varianz einer Zufallsvariablen Y ist also die mittlere quadratische Abweichung der möglichen Ausprägungen von Y vom Erwartungswert E(Y) Wie bei der Varianz von Stichprobendaten gilt auch für die Varianz einer ZV die rechnerisch günstige Formel σ Y2 = E (Y 2 ) − E (Y ) 2 Die Standardabweichung einer Zufallsvariablen Y wird als Wurzel aus ihrer Varianz definiert und σ bezeichnet Methoden der Psychologie Erwartungswert Varianz Diskrete Zufallsverteilungen Erwartungswerte Beispiele Erwartungswerte Definition der Varianz einer Zufallsvariablen Für eine diskrete Zufallsvariable Y mit endlich vielen Ausprägungen y1,…,yk und Wahrscheinlichkeiten pi = P(Y=yi) ergibt sich Erwartungswert der Varianz von Y über k σ Y2 = E (Y − μY ) 2 = ∑ ( yi −μY ) 2 pi i =1 = ( y1 − μY ) p1 + … + ( yk − μY ) pk Die quadratischen Abweichungen der Realisationen einer Zufallsvariablen vom Erwartungswert werden also mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit gewichtet. Methoden der Psychologie Erwartungswert Varianz Erwartungswerte Beispiele Erwartungswerte Rechenregeln Falls a eine konstante Zahl ist und Y eine Zufallsvariable mit E(Y), dann ist Var(Y + a) = Var(Y) Diskrete Zufallsverteilungen Falls b eine konstante Zahl ist und Y eine Zufallsvariable, dann ist Var(b · Y) = b² · E(Y) Damit gilt auch: Var(b · Y + a) = b² · Var(Y) Wenn die Zufallsvariable Y eine Konstante a ist, dann ist Var(a) = 0 Methoden der Psychologie Erwartungswert Varianz Diskrete Zufallsverteilungen Erwartungswerte Beispiele Erwartungswerte Rechenregeln Für die Summe mehrerer Zufallsvariablen gilt σ Y2 (Y1 + Y2 + … + Yk ) = σ Y2 (Y1 ) + σ Y2 (Y2 ) + … + σ Y2 (Yk ) Anders als für den Erwartungswert gilt für die Varianz der Differenz mehrerer Zufallsvariablen ebenso σ Y2 (Y1 − Y2 − … − Yk ) = σ Y2 (Y1 ) − σ Y2 (Y2 ) − … − σ Y2 (Yk ) Methoden der Psychologie Erwartungswert Varianz Diskrete Zufallsverteilungen Erwartungswerte Beispiele Diskrete Wk-Verteilungen Erwartungswerte und stochastische Unabhängigkeit Für k stochastisch unabhängige Zufallsvariablen Y1…Yk galt ja für die Punktwahrscheinlichkeit des gemeinsamen Auftretens von Realisationen y1…yk P(Y1=y1, …, Yk=yk) = P(Y1=y1) · … · P(Yk=yk) Damit erhält man automatisch auch für die gemeinsame Verteilungsfunktion P(Y1≤y1, …, Yk≤yk) = P(Y1≤y1) · … · P(Yk≤yk) Nur für stochastisch unabhängige Zufallsvariablen gilt damit E(Y · X) = E(X) · E(Y) Methoden der Psychologie Binomialvertelung Poissonverteilung Erwartungswerte Beispiele Diskrete Wk-Verteilungen Beispiele für Erwartungswerte Für eine binomialverteilte Zufallsvariable Y mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung f(m, n, p) gilt 1. E(Y) = n · p Erwartungswert 2. σY² = n · p · q Varianz 3. sY = n · p · q Standardabweichung Methoden der Psychologie Binomialvertelung Poissonverteilung Erwartungswerte Beispiele Diskrete Wk-Verteilungen Beispiele für Erwartungswerte Für eine poisssonverteilte Zufallsvariable Y mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung f(λ, n) gilt 1. E(Y) = λ Erwartungswert 2. σY² = λ · (1-λ/n) → λ Varianz 3. sY = λ Standardabw. für große n (siehe 2.)
