Kapitel 7 Kosten

Kapitel 7
Kosten
Vor- und Nachbereitung:
● Varian, Chapters 20 und 21
● Frank, Chapter 10 (mit Appendix)
● Übungsblatt 8
© Klaus M. Schmidt, 2008
7.1 Kostenminimierung
Bisher haben wir uns nur mit den Handlungsmöglichkeiten des
Unternehmens beschäftigt, aber noch nichts über seine Ziele gesagt.
In einer kapitalistischen Gesellschaft verfolgen private Unternehmen
normalerweise das Ziel der Gewinnmaximierung. Ein wichtiges
Instrument zur Gewinnmaximierung ist die Wahl der optimalen
Outputmenge. Diese hängt aber von der Marktform ab, in der das
Unternehmen operiert (vollkommene Konkurrenz, Monopol, Oligopol).
Darum werden wir uns mit der Gewinnmaximierung erst beschäftigen,
wenn wir die verschiedenen Marktformen diskutieren.
Ein gewinnmaximierendes Unternehmen wird aber in jeder Marktform
versuchen, seine Kosten zu minimieren, d.h., die gewünschte
Outputmenge zu möglichst niedrigen Kosten zu produzieren.
Kostenminimierung ist also eine notwendige Bedingung für
Gewinnmaximierung.
(Aber keine hinreichende Bedingung. Warum nicht? )
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Betrachten wir den Fall einer Produktionsfunktion mit zwei InputGütern. Der Preis für Inputgut 1 sei w1, der für Inputgut 2 sei w2.
Angenommen, die vorgegebene Outputmenge y soll zu minimalen
Kosten produziert werden. Das Kostenminierungsproblem lautet:
min w1 x1 + w2 x2
x1 , x2
unter der Nebenbedingung:
f ( x1 , x2 ) = y
Wenn wir eine konkrete Produktionsfunktion gegeben haben, können
wir dieses Problem mit dem Lagrange-Ansatz oder durch das
Substitutionsverfahren lösen.
Wir wollen das Problem jedoch zunächst graphisch betrachten. Dazu
benötigen wir das Konzept der Isokostenkurve:
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x2
x2*
x1
x1*
Abb. 7.1: Kostenminimale Inputkombination
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Beachten Sie:
1. Das Kostenminimierungsproblem des Unternehmens hat eine
gewisse Ähnlichkeit mit dem Nutzenmaximierungsproblem des
Konsumenten. Bei der Konsumentenentscheidung ist die
Budgetgerade gegeben und die höchste erreichbare
Indifferenzkurve wird gesucht. Beim Kostenminimierungsproblem ist
die Isoquante gegeben und die niedrigste erreichbare
Isokostengerade wird gesucht.
2. Wenn die Steigung der Isokostengerade überall größer (oder
kleiner) als die Steigung der Isoquante ist, kann es auch eine
Randlösung geben.
3. Wenn beide Inputfaktoren verwendet werden (innere Lösung), dann
muss die niedrigste erreichbare Isokostengerade die Isoquante
gerade tangieren.
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4. Also muss bei einer inneren Lösung gelten, dass
w1
GP1 ( x1* , x2* )
−
= GRTS = −
w2
GP2 ( x1* , x2* )
Das heißt: der Betrag der Grenzrate der technischen Substitution
muss gleich dem Faktorpreisverhältnis sein.
Angenommen w1/w2=2 und |GRTS|=1.
– Wenn das Unternehmen eine Einheit weniger von Input 1
verwendet, kann es bei gleichen Kosten 2 zusätzliche
Einheiten von Input 2 kaufen.
– Da der Betrag der GRTS aber gleich 1 ist, benötigt sie nur
eine Einheit von Input 2 um die ausgefallene Einheit von Input
1 zu ersetzen. Die zweite Einheit kann sie sparen.
– Also hatte das Unternehmen an diesem Punkt die Kosten
nicht minimiert.
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7.2 Anwendungsbeispiel: Mindestlöhne
In Frankreich hat die Regierung 1997 auf Druck der Gewerkschaften
den gesetzlichen Mindestlohn deutlich erhöht. Die Gewerkschaftsmitglieder sind typischerweise qualifizierte (und ältere) Arbeitnehmer,
die weit mehr als den Mindestlohn verdienen. Der Mindestlohn betrifft
vor allem die ungelernten (und jungen) Arbeiter, die überwiegend nicht
gewerkschaftlich organisiert sind.
Welche Auswirkung hat die Erhöhung des Mindestlohns auf die
ungelernten und auf die qualifizierten Arbeitnehmer?
Einfaches Modell: Stellen wir uns vor, es gibt nur zwei Arten von
Arbeit, ungelernte und qualifizierte. In der Ausgangssituation sei der
Preis für eine Stunde ungelernte Arbeit w1, der für gelernte w2. Jedes
Unternehmen wird in Abhängigkeit von diesen Preisen und vom zu
produzierenden Output y entscheiden, wie viel ungelernte und wie viel
qualifizierte Arbeit es als Inputs einsetzen will.
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Nehmen wir jetzt an, dass der Lohn für ungelernte Arbeit wegen der
Erhöhung des Mindestlohnes auf w1‘>w1 steigt, während w2 zunächst
unverändert bleibt. Die graphische Analyse zeigt, dass die Unternehmen
daraufhin die relativ teurer gewordene ungelernte Arbeit durch die relativ
billiger gewordene qualifizierte Arbeit substituieren werden.
x2
x1
Abb. 7.2: Auswirkung einer Erhöhung des Mindestlohns
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Fazit:
● Die Nachfrage nach ungelernter Arbeit fällt.
● Die Nachfrage nach qualifizierter Arbeit steigt.
● (Tendenziell wird auch der Preis für qualifizierte Arbeit ansteigen.)
Welche Wohlfahrtseffekte hat die Erhöhung des Mindestlohnes?
● Den ungelernten Arbeitern, die einen Arbeitsplatz haben und
behalten, geht es besser.
● Den ungelernten Arbeitern, die keinen Arbeitsplatz haben oder
ihren Arbeitsplatz verlieren, geht es schlechter. (Die
Jugendarbeitslosigkeit in Frankreich liegt bei über 25%.)
● Den qualifizierten Arbeitern geht es eindeutig besser: ihre
Arbeitslosenquote sinkt und ihr Lohn steigt.
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Lohnuntergrenzen in Deutschland
In Deutschland gibt es in einigen, aber nicht in allen Branchen
gesetzlichen Mindestlöhne (wie funktioniert das? ). In der Praxis wirkt
jedoch auch die Sozialhilfe (Hartz IV) wie eine faktische
Lohnuntergrenze:
● Sozialhilfe wird nur unter der Bedingung gezahlt, dass der
Sozialhilfeempfänger nicht arbeitet.
● Wenn der Sozialhilfeempfänger eigenes Einkommen bezieht, wird
ihm das (fast) vollständig von der Sozialhilfe abgezogen. Die
“Transferentzugsrate” ist (fast) 100%.
● Darum muss ein Arbeitgeber einen Lohn zahlen, der mindestens so
hoch ist wie die Sozialhilfe.
● Außerdem muss er den Arbeitnehmer für sein “Arbeitsleid” und die
entgangene Freizeit (Schwarzarbeit? ) entschädigen.
● Das schafft eine faktische Lohnuntergrenze für die unterste
Lohngruppe und führt zu einer sehr hohen Arbeitslosigkeit bei den
gering qualifizierten Arbeitnehmern.
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7.3 Analytische Lösung des
Kostenminimierungsproblems
Wir betrachten erneut das Kostenminimierungsproblem des
Unternehmens:
min w1 x1 + w2 x2
x1 , x2
unter der Nebenbedingung: f ( x1 , x ) = y
Dieses Minimierungsproblem ist äquivalent zu dem folgenden
Maximierungsproblem:
max − ( w1 x1 + w2 x2 )
x1 , x2
unter der Nebenbedingung: f ( x1 , x ) = y
Dieses Problem können wir ganz analog zum Nutzenmaximierungsproblem des Konsumenten mit Hilfe des Lagrange-Verfahrens oder des
Substitutionsverfahrens lösen.
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Beispiel: Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
max − ( w1 x1 + w2 x2 )
x1 , x2
unter der Nebenbedingung: Ax1a x12− a = y
Die Lagrangefunktion lautet:
(
L = − w1 x1 − w2 x2 − λ y − Ax1a x12− a
)
Bedingungen erster Ordnung:
∂L
= − w1 + λ aAx1a −1 x12− a = 0
∂x1
∂L
= − w2 + λ (1 − a ) Ax1a x2− a = 0
∂x2
∂L
= − y + Ax1a x12− a = 0
∂λ
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Aus den ersten beiden Gleichungen folgt:
a w2
x1 =
x2
1 − a w1
Aus der dritten Gleichung folgt:
x2 = y
1
1− a
A
−
1
1− a
−
x1
a
1− a
Durch Einsetzen und nach einigen Umformungen ergibt sich:
1− a
y ⎛ a w2 ⎞
x1 = ⎜
⎟
A ⎝ 1 − a w1 ⎠
und
y ⎛ a w2 ⎞
x2 = ⎜
⎟
A ⎝ 1 − a w1 ⎠
−a
Jeder sollte das selbst ausrechnen können!
Machen Sie die Probe und zeigen Sie, dass
Ax1a x12− a = y erfüllt ist.
Lösen Sie schließlich nach λ auf und zeigen Sie:
λ = A−1w1a w12− a a − a (1 − a) a −1
Was ist die Interpretation des Lagrange-Parameters?
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7.3 Die Kostenfunktion
Für gegebenes y und gegebene Faktorpreise w1 und w2 ergeben sich
aus der Lösung des Kostenminimierungsproblems die optimalen
Inputmengen
x1* = x1* ( w1 , w2 , y )
x2* = x2* ( w1 , w2 , y )
Diese Funktionen werden auch bedingte Faktornachfragefunktionen
genannt: Sie geben an, wie viel das Unternehmen in Abhängigkeit von
den Faktorpreisen von den Inputfaktoren 1 und 2 nachfragt unter der
Bedingung, dass es genau y Einheiten des Outputgutes produzieren
will.
Die Kosten sind einfach K= w1 x1 +w2 x2. Wenn wir für x1 und x2 die
kostenminimale Inputkombination, d.h., die bedingten Faktornachfragefunktionen, einsetzen, erhalten wir die Kostenfunktion:
K ( w1 , w2 , y ) = w1 x1* ( w1 , w2 , y ) + w2 x2* ( w1 , w2 , y )
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Beachten Sie: In manchen Fällen ist es unmöglich oder zumindest sehr
umständlich, das Kostenminimierungsproblem mit Hilfe des
Lagrange- oder Substitutionsverfahrens zu lösen. In diesen Fällen
findet man die Lösung aber oft sehr schnell mit etwas Nachdenken.
Beispiele:
1. Limitationale Produktionsfunktion:
f ( x1 , x2 ) = min { x1 , x2 }
Um y Einheiten des Outputgutes zu produzieren müssen immer (d.h.
unabhängig von den Inputpreisen) y Einheiten von Input 1 und y
Einheiten von Input 2 eingesetzt werden. Also ist die Kostenfunktion
K ( w1 , w2 , y ) = w1 y + w2 y = y ( w1 + w2 )
2. Perfekte Substitute: f ( x1 , x2 ) = x1 + x2
Hier wird nur derjenige Inputfaktor verwendet, der billiger ist. Also ist
die Kostenfunktion
K ( w1 , w2 , y ) = min {w1 , w2 } y
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3. Multiplikative Produktionsfunktion: f ( x1 , x ) = x1 ⋅ x2
Zeigen Sie: Die Kostenfunktion ist
K ( w1 , w2 , y ) = 2 w10,5 w2 0,5 y 0,5
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7.4 Langfristige und kurzfristige
Kostenminimierung
Bisher hatten wir angenommen, dass das Unternehmen alle
Inputfaktoren beliebig variieren kann, um ein Kostenminimum zu
erreichen. Langfristig ist das möglich. Kurzfristig sind jedoch einige
Inputfaktoren fixiert und lassen sich nicht verändern.
Angenommen die Menge des Inputfaktors 2 ist auf x2 fixiert. Dann
lautet das kurzfristige Kostenminimierungsproblem:
min w1 x1 + w2 x2
x1 , x2
unter den Nebenbedingungen: f ( x1 , x2 ) = y und x 2 = x 2
Die Lösung dieses Problems ist die kurzfristige bedingte
Faktornachfragefunktion
x1* = x1* ( w1 , w2 , x 2 , y )
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Daraus ergibt sich für die kurzfristige Kostenfunktion:
K ( w1 , w2 , x 2 , y ) = w1 x1* ( w1 , w2 , x 2 , y ) + w2 x 2
Beachten Sie, dass die kurzfristige Kostenfunktion auch von x2 , der
Menge des fixierten Faktors, abhängt.
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7.5 Kurzfristige Kostenkurven
In den nächsten Kapiteln interessieren wir uns für die Veränderung der
Kosten, wenn sich die zu produzierende Outputmenge y verändert. Wir
nehmen an, dass die Faktorpreise konstant sind. Darum können wir die
Kostenfunktion vereinfachend schreiben als K(y), wobei der Bezug zu
w1, w2 und x2 weggelassen wird.
Kurzfristig sind die Einsatzmengen bestimmter Produktionsfaktoren fix.
Deren Kosten sind deshalb unabhängig von der Produktionsmenge und
fallen selbst dann an, wenn y=0 produziert wird. Diese Kosten werden
als Fixkosten bezeichnet und sind definiert durch
FK = K(0)
Alle anderen Kosten variieren mit der Outputmenge und werden
deshalb variable Kosten, VK(y), genannt. Es gilt:
K(y) = FK+VK(y)
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Die Durchschnittskosten sind die Kosten pro Produktionseinheit
(Stückkosten), die wir wie folgt zerlegen können:
DK ( y ) = DFK ( y ) + DVK ( y ) =
FK VK ( y )
+
y
y
Beachten Sie, dass die durchschnittlichen Fixkosten (DFK) von y
abhängen und mit der Produktionsmenge fallen.
Da einige Produktionsfaktoren fix sind, werden die durchschnittlichen
variablen Kosten (DVK) typischerweise ab einem bestimmten Punkt
mit y ansteigen. Das folgt aus dem Gesetz vom abnehmenden
Grenzprodukt. (Warum? )
Für geringe Produktionsmengen können die DVK mit y fallen (müssen
aber nicht). Daraus ergibt sich der typische U-förmige Verlauf der
(gesamten) Durchschnittskosten:
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DK
DFK
DVK
y
Abb. 7.3: Kurzfristige Durchschnittskostenverläufe
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Die Grenzkosten GK(y) geben die Kosten einer zusätzlichen
Outputeinheit an. Wenn die Stückzahlen nur diskret verändert werden
können, gilt:
GK(y) = K(y)-K(y-1) .
Wenn der Output kontinuierlich verändert werden kann, misst man die
Grenzkosten durch die Ableitung der Kostenfunktion nach y:
GK ( y ) = K '(Y ) =
dK ( y )
dy
Beachten Sie: Die variablen Kosten sind gleich der Fläche unter der
Grenzkostenkurve:
y
VK ( y ) = K ( y ) − FK = K ( y ) − K (0) = ∫ K '( y )dy
0
Übung: Berechnen Sie DK, GK, VK, FK, DVK und DFK für die
Kostenfunktion K(y)=3y2+y+5. Zeigen Sie, dass die VK gleich der
Fläche unter den GK sind.
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Satz: Wenn die Grenzkostenkurve die Durchschnittskostenkurve
schneidet, dann geschieht das im Minimum der Durchschnittskostenkurve. Dasselbe gilt für die Kurve der durchschnittlichen
variablen Kosten.
GK
DK
DVK
y
Abb. 7.4: GK-, DK-, und DVK-Kurven
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Beachten Sie:
● Wenn die GK einer zusätzlichen Einheit niedriger sind als die DK
(DVK) der bisherigen Einheiten, dann werden die DK (DVK)
gesenkt, die DK-Kurve (DVK-Kurve) fällt also.
● Wenn die GK einer zusätzlichen Einheit höher sind als die DK
(DVK) der bisherigen Einheiten, dann werden die DK (DVK) erhöht,
die DK-Kurve (DVK-Kurve) steigt also.
● Also muss die DK-Kurve (DVK-Kurve) ein Minimum annehmen,
wenn die GK genau gleich den DK (DVK) sind.
● Wenn die Grenzkosten konstant sind oder sogar fallen, gibt es
keinen Schnittpunkt zwischen der GK und der DK-Kurve.
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7.6 Der Zusammenhang von kurz- und
langfristigen Durchschnittskostenkurven
Kurzfristig ist wenigstens ein Produktionsfaktor fix. Wie lange die “kurze
Frist” währt, hängt davon ab, wie lange es dauert, diesen Faktor zu
verändern:
● Wenn der fixe Faktor die Anzahl der Produktionsstätten ist und
wenn es zwei Jahre dauert, eine neue Produktionsstätte zu
errichten, dann dauert die kurze Frist zwei Jahre.
● Wenn der fixe Faktor die Angestellten sind und wenn es drei
Monate dauert, einen Angestellten zu entlassen oder neu
einzustellen, dann ist die kurze Frist drei Monate.
Die Menge des fixen Faktors sei x2. Die kurzfristigen
Durchschnittskosten hängen implizit von x2 ab:
DK k = DK k ( y, x 2 )
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Langfristig kann x2 optimal an die gewünschte Outputmenge angepasst
werden. Der kostenminimale Einsatz von Inputgut 2 sei x2*(y). Also
gilt langfristig:
DK l ( y ) = DK k ( y, x2* ( y ))
Beachten Sie:
1. Die kurzfristigen Durchschnittskosten müssen immer wenigstens so
hoch sein wie die langfristigen Durchschnittskosten, denn
DK k ( y, x 2 ) ≥ DK k ( y, x2* ( y )) = DK l ( y )
2. Die kurzfristige und die langfristige Durchschnittskostenkurve haben
genau einen Punkt gemeinsam: Sei y(x2) diejenige Outputmenge, bei
der der Faktoreinsatz gerade optimal ist, d.h., x2=x2*(y(x2)). Also gilt:
DK l ( y ( x 2 )) = DK k ( y, x2* ( y ( x 2 )) = DK k ( y, x 2 )
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3. Betrachten Sie verschiedene kurzfristige DK-Kurven für unterschiedliche
Werte von x2. Aus 1. und 2. folgt, dass die langfristige Durchschnittskostenkurve die untere Umhüllende aller kurzfristigen Durchschnittskostenkurven ist.
DK k
DK l
Abb. 7.5: Kurz- und langfristige DK-Kurven
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y
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Es ist auch leicht einzusehen, dass die kurzfristige Grenzkostenkurve
steiler verlaufen muss als die langfristige Grenzkostenkurve.
Begründung:
● Kurzfristig können bei einer Erhöhung des Outputs einige
Produktionsfaktoren nicht angepasst werden, z.B. die Größe einer
Fabrikhalle. Darum müssen die kurzfristigen Kosten stärker steigen
als dies langfristig der Fall wäre, wenn diese Faktoren
kostenminimierend angepasst werden können.
● Bei einer Verringerung des Outputs kann man kurzfristig weniger
einsparen als langfristig. Zum Beispiel kann langfristig (nicht aber
kurzfristig) auch die Größe der Fabrikhalle reduziert werden. Das
bedeutet, dass die kurzfristige GK-Kurve bei einer Verringerung
von y unterhalb der langfristigen GK-Kurve liegen muss.
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GK l
DK l
Abb. 7.6: Kurz- und langfristige GK-Kurven
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y
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7.7 Durchschnittskostenverläufe und
Industriestruktur
Der Verlauf der langfristigen Durchschnittskostenkurve hat einen
wichtigen Einfluss auf die Anzahl der Unternehmen in einem Markt.
1. Angenommen, die langfristigen DK fallen für alle Werte von y. Dann
liegt ein “natürliches Monopol” vor, denn:
– Die Durchschnittskosten werden minimiert, wenn die gesamte
Produktion von einem Unternehmen ausgeführt wird.
– Mehrere Unternehmen könnten im Markt gar nicht bestehen.
Jeder würde seinen Preis senken, um seine Produktion weiter
auszudehnen und dadurch einen Kostenvorteil vor der
Konkurrenz zu erlangen. “Ruinöser” Wettbewerb.
Natürliche Monopole sind jedoch sehr selten. Die meisten Monopole
sind politisch geschaffen worden (z.B. durch Handelsbeschränkungen, etc.). Ein Stahlwerk ist z.B. ein natürliches Monopol im
Saarland, aber nicht in Deutschland und erst recht nicht in der EU.
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2. Angenommen, die langfristigen DK erreichen ihr Minimum bei einer
Produktionsmenge, mit der ein signifikanter Teil des Marktes
bedient werden kann. Dann wird sich auf dem Markt ein “Oligopol”
mit wenigen großen Anbietern einstellen. Das ist in vielen Industrien
der Regelfall.
3. Angenommen, die langfristigen DK erreichen ihr Minimum bei einer
Produktionsmenge , die sehr klein im Verhältnis zum Umfang des
Marktes ist. Dann werden viele Unternehmen auf dem Markt
miteinander konkurrieren.
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DK l
y
Abb. 7.7: Langfristige DK und Industriestruktur 1
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DK l
y
Abb. 7.8: Langfristige DK und Industriestruktur 2
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DK l
y
Abb. 7.9: Langfristige DK und Industriestruktur 3
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7.8 Fixe, quasi-fixe und versenkte Kosten
Fixe Kosten sind alle Kosten, die dadurch entstehen, dass einige
Inputfaktoren kurzfristig nicht variiert werden können. Sie fallen
unabhängig davon an, wie viel produziert wird. Beachten Sie:
Langfristig kann es keine fixen Kosten geben, da langfristig alle
Inputfaktoren veränderbar sind.
Quasi-fixe Kosten sind Kosten, die dadurch entstehen, dass
überhaupt etwas produziert wird. Beispiel: Ein Stahlofen muss eine
bestimmte Mindestgröße haben. Wenn man auch nur eine Tonne Stahl
produzieren will, braucht man gleich einen ganzen Stahlofen. Quasifixe Kosten gibt es auch in der langen Frist.
Versenkte Kosten sind Kosten, die unabhängig von der Outputmenge
sind und die bei der Einstellung der Produktion nicht durch Verkauf (der
Inputs) zurückgeholt werden können. Beispiel: Die F&E Ausgaben zur
Entwicklung eines Medikaments lassen sich nicht zurückholen, selbst
wenn das Medikament später nicht zugelassen und nicht produziert
wird. Versenkte Kosten können gleichzeitig fixe und/oder quasi-fixe
Kosten sein, müssen aber nicht.
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Beispiele:
1. Ein VWL-Student möchte Unternehmensberater werden. Sind die
Ausbildungskosten fixe Kosten, quasi-fixe Kosten und/oder
versenkte Kosten?
2. Ein Busunternehmer hat einen Bus, der Anschaffungskosten von €
50.000 hat. Der Wiederverkaufswert des Buses liegt bei € 30.000.
Weiterhin verursacht der Busbetrieb Kosten für Versicherung,
Steuer und Benzin. Welche dieser Kosten sind fixe, quasi-fixe
und/oder versenkte Kosten?
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