2. Leseprobe - STARK Verlag

90  Trigonometrie
4
Berechnungen an beliebigen Dreiecken
Mithilfe des Sinussatzes und des Kosinussatzes können die
Berechnungsmöglichkeiten durch trigonometrische Funktionen
auf beliebige Dreiecke übertragen werden.
Die Teildreiecke ∆ ADC und ∆ DBC
sind rechtwinklig. Dort gilt:
h
• sin α = c ⇒ h c = b ⋅ sin α
b
hc
• sin β =
⇒ h c = a ⋅ sin β
a
Sinussatz
In einem Dreieck verhalten sich die Längen zweier Seiten
zueinander wie die Sinuswerte ihrer Gegenwinkel.
a sin α a sin α b sin β
=
=
=
;
;
b sin β c sin γ
c sin γ
Im allgemeinen Dreieck lässt sich die Fläche nicht nur mit der
Grundseite ⋅ Höhe
berechnen, sondern wegen
2
1 ⋅ c ⋅ h = 1 ⋅ c ⋅ b ⋅ sin α gilt auch folgende Beziehung
c
2
2
Formel A =
A=
Berechnung der Dreiecksfläche:
zur
Fläche eines allgemeinen Dreiecks
Der Flächeninhalt eines jeden Dreiecks ist gleich dem halben
Produkt aus den Längen zweier Seiten und dem Sinus des
eingeschlossenen Winkels.
1
1
1
A = ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α; A = ⋅ a ⋅ c ⋅ sin β; A = ⋅ a ⋅ b ⋅ sin γ
2
2
2
Trigonometrie  91
Für jedes allgemeine Dreieck gilt außerdem der Kosinussatz:
Kosinussatz
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2accos β
c 2 = a 2 + b 2 − 2accos γ
Der Kosinussatz heißt verallgemeinerter Satz des Pythagoras, weil sich z. B. für γ = 90° die Form c2 = a2 + b2 ergibt.
Von einem Dreieck ABC sind c = 9,5 cm, b = 7,5 cm und α = 35°
bekannt.
Berechne die Seite a, die Winkel β und γ sowie den Flächeninhalt des Dreiecks.
Lösung:
Kosinussatz:
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
a 2 = (7,5 cm) 2 + (9,5 cm) 2 − 2 ⋅ 7,5 cm ⋅ 9,5 cm ⋅ cos 35°
a ≈ 5,46 cm
Sinussatz:
a
b
=
sin α sin β
b
sin β = ⋅ sin α
a
7,5 cm
sin β =
⋅ sin 35°
5, 46 cm
β ≈ 52°
⇒ γ = 180° – 35° – 52° = 93° (Winkelsumme im Dreieck)
Dreiecksfläche:
1
A = ⋅ b ⋅ c ⋅ sin α
2
1
A = ⋅ 7,5 cm ⋅ 9,5 cm ⋅ sin 35°
2
A ≈ 20,43 cm 2