Vorlesungsskript

Einführung in die Quantenmechanik
Vorlesungsskript zum theoretischen Teil des Moduls P3
“Einführung in die Quantenphysik”
Prof. Dr. Jan Plefka
Quantenfeld- und Stringtheorie
Institut für Physik
Version 14. Juni 2012
Inhaltsverzeichnis
Inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 Der Weg zur Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.1
Grenzen der klassischen Physik; Quantenhypothese . . . . . . .
I
Wellenfunktion und Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1
Das Doppelspaltexperiment und die Wellenfunktion . . . . . . .
I.2
Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen . . . . . . . . . . . . . .
I.3
Das Zerfließen von Wellenpaketen . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4
Die Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum . . . . . . . . . .
I.5
Nichtvernachlässigbarkeit des Messprozesses . . . . . . . . . . .
I.6
Der Impuls im Ortsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.7
Operatoren und Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.8
Schrödinger-Gleichung für Teilchen im Potential . . . . . . . . .
I.9
Das Ehrenfest’sche Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.10 Die Kontinuitätsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte . . .
I.11 Mehrteilchensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.12 Stationäre Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.13 Eigenwertgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II Eindimensionale Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.1 Der harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2 Kohärente Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3 Potentialsprünge und Anschlussbedingungen . . . . . . . . . . .
II.4 Potentialstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.4.1 Teilchenenergie oberhalb der Potentialstufe (E > V0 ) . .
II.4.2 Teilchenenergie unterhalb der Potentialstufe (E < V0 ) . .
II.4.3 Grenzfall unendlich hoher Stufe (V0 → ∞) . . . . . . . .
II.5 Potentialschwelle und Tunneleffekt . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.5.1 E < V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.5.2 E > V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.6 Kontinuierliche Potentialberge . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.7 Endlicher Potentialtopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.8 Parität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.9 Das allgemeine Verhalten eindimensionaler stationärer Lösungen
II.10 Streuzustände des Potentialtopfes, Resonanzen . . . . . . . . . .
II.11 Das Kronig-Penney Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III Grundlagen der Quantenmechanik (Dirac Formalismus) . . . . . . . . .
III.1 Zustandsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Präparation eines reinen Zustands . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3 Observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.4 Hilbert-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.5 Dualer Raum H∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.6 Uneigentliche (Dirac-) Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.7 Lineare Operatoren in H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.8 Das Eigenwertproblem für hermitesche Operatoren . . . . . . . .
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60
62
63
i
Inhaltsverzeichnis
III.9 Spezielle Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.10 Funktionen und Ableitungen von Operatoren . . . . . . . . . . . .
III.11 Matrixelemente von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV Die statistischen Aussagen der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . .
IV.1 Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert, Streuung, Unschärfe . . . . .
IV.2 Postulate der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.3 Der Messprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.4 Verträgliche und nicht-verträgliche Observablen . . . . . . . . . .
IV.5 Verallgemeinerte Heisenberg’sche Unschärferelation . . . . . . . .
IV.6 Orts- und Impulsdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.7 Eigenwertprobleme in der Ortsdarstellung . . . . . . . . . . . . . .
IV.7.1 Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.7.2 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V Der Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.1 Vertauschungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.2 Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.3 Eigenwerte von Drehimpulsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . .
V.4 Bahndrehimpuls in Polarkoordinaten, Kugelflächenfunktionen . .
VI Zentralpotential und Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.1 Kugelkoordinaten für Zentralpotentiale . . . . . . . . . . . . . . .
VI.2 Allgemeine Aussagen zu Bindungszuständen in drei Dimensionen .
VI.3 Das Coulomb-Potenzial: Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.4 Das Coulomb-Potential: Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . .
VII Quantenmechanische Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.1 Axiome der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.2 Schrödinger-, Heisenberg- und Wechselwirkungsbild . . . . . . . .
VII.3 Erhaltungssätze der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . .
ii
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101
101
104
106
Abbildungsverzeichnis
0.1
0.2
Photoelektrischer Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Compton-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1
I.2
I.3
I.4
I.5
I.6
Schematischer Aufbau des Doppelspaltexperiments . . . . . . . . . .
Beziehungen zwischen fundamentalen physikalischen Theorien . . .
Teilchen in Kiste mit Volumen V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(I.18) beschreibt Wellenpaket mit Impulsverteilung um p0 : p ≈ [p0 −
Zerfließen eines Gauß’schen Wellenpakets im Ortsraum . . . . . . .
Impulsübertrag Photon → Mars ist vernachlässigbar. . . . . . . . .
II.1
II.2
II.3
II.4
II.5
II.6
II.7
II.8
II.9
II.10
Potential mit Unstetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potential mit δ-Funktionssingularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potentialstufe in einer Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wellenfunktion an Potentialstufe V = V0 · θ(x) mit V0 < E . . . . . . . . . . . . . .
Wellenfunktion an Potentialstufe V = V0 θ(x) mit V0 > E . . . . . . . . . . . . . . .
Eindimensionale Potentialschwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einlaufende, reflektierte und transmittierte Welle an der Potentialschwelle . . . . . .
Approximation eines kontinuierlichen Potentialbergs durch Potentialstufen . . . . .
Eindimensionaler endlicher Potentialtopf der Breite 2a und Tiefe V0 . . . . . . . . .
Rechte und linke Seite von (II.92) für verschiedene Werte von ξ. Schnittpunkte sind
erlaubte Werte von qa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rechte und linke Seite von (II.96) für verschiedene Werte von ξ. Schnittpunkte sind
erlaubte Werte von qa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energieniveauschema eines Potentialtopfes mit 32 π < ξ < 2π; Energien gerade Zustände
sind blau, Energien ungerader Zustände rot dargestellt . . . . . . . . . . . . . . . .
Eigenzustände des unendlich hohen Potentialtopfes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potential V (x) mit Mulde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
überall konvexe Funktion ⇒ nicht normierbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gebundener stationärer quantenmechanischer Zustand einer Potentialmulde . . . . .
Auch wenn eine Energie E Eigenwert zum Hamiltonoperator ist kann sie zum Divergieren der Wellenfunktion im klassisch verbotenen Bereich führen und dadurch die
Normierbarkeitsbedingung verletzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potential V (x) mit Berg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Endlicher Potentialtopf mit von links einlaufendem Teilchen mit Energie E > 0 . . .
Transmissionswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit der Energie der einlaufenden Welle
für ξ = 6, 24, 96, 384. Die Halbwertsbreite der Maxima der Transmissionswahrscheinlichkeit (Resonanzen) wird mit wachsendem ξ kleiner, das heißt die Resonanzen werden schärfer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schematische Darstellung der Bandstruktur eines Festkörpers . . . . . . . . . . . . .
Bandlücke und Fermienergie bei den drei Typen von Festkörpern . . . . . . . . . . .
Potential eines eindimensionalen Festkörpers nach Kronig-Penney als periodische
Überlagerung von δ-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.11
II.12
II.13
II.14
II.15
II.16
II.17
II.18
II.19
II.20
II.21
II.22
II.23
. . . . . .
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~
~
d , p0 + d ]
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8
9
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43
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45
45
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48
49
49
49
iii
Abbildungsverzeichnis
II.24 Eindimensionaler Festkörper mit N Elementarzellen der Länge a, zum Ring geschlossen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.25 cos x + α sinx x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.26 Bandstruktur des Kronig-Penney-Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.27 Erlaubte Energiebänder über V0 · a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.1 Trenner T (A) mit Blenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Wiederholte Messung der Observablen  mittels Trenner T (A) für (a): gleiche Blende
offen; (b): andere Blende offen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3 Messung zweier Verträglicher Observablen nacheinander. . . . . . . . . . . . . . . .
III.4 Trenner mit zwei Öffnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.5 Trenner, bei dem alle Blenden geöffnet sind. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.6 Komponenten eines Vektors ϕ in einer diskreten bzw. einer kontinuierlichen Basis .
III.7 Diskretisierung der kontinuierlichen Koordinate x in Schritten ∆x . . . . . . . . . .
55
55
56
56
60
60
IV.1 Die drei Akteure des Quantenmechanischen Messprozesses . . . . . . . . . . . . . .
IV.2 Wiederholte Messung der gleichen Observablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV.3 Nacheinander werden die Observablen  und B̂ gemessen. . . . . . . . . . . . . . .
71
71
73
V.1 ~x → ~x0 = ~x + δ ϕ
~ × ~x ist infinitesimale Drehung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.2 Vektor in Kugelkoordinaten; ~x = r~er ; d3 x = r2 sin θdr dϕ dθ . . . . . . . . . . . . . .
V.3 Punktspiegelung am Ursprung in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.4 Polardiagramme der des Betragsquadrats der ersten Kugelflächenfunktionen als Funktionen von θ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
84
87
VI.1 Anziehendes Coulomb-Potential: Möglichkeit von Bindungszuständen, also Zuständen
mit E < 0! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.2 Effektives eindimensionales Potential zum Zentralpotential . . . . . . . . . . . . . .
iv
50
52
52
52
54
89
93
94
0 Der Weg zur Quantenmechanik
0.1 Grenzen der klassischen Physik; Quantenhypothese
Teilchen
Elektromagnetische Strahlung
Teilchendynamik (Newton)
Ort, Impuls
Wellendynamik (Maxwell)
Feldgröße
⇒ deterministische Darstellung
Ab 1900: atomare und subatomare Teilchen und deren Wechselwirkungen können nicht im Rahmen
der klassischen Physik beschrieben werden.
A) Teilchencharakter der elektromagnetischen Strahlung
Elektromagnetische Strahlung wird in Quanten (Photonen) absorbiert und emittiert.
a) Spektrale Energiedichte (Energie pro Volumen- und Frequenzeinheit) der Hohlraumstrahlung
(U - innere Energie)
1 dU
dU
=
dω
2π dν
u(ω, T ) = V −1
dU
dω
u(ω, T )dω = wν (T )dν = V −1 dU
klassisch:
• Rayleigh-Jeans-Gesetz:
u(ω, T ) =
ω2
kB T
π 2 c3
(kB : Boltzmann-Konstante)
(0.1)
Z∞
u(ω)dω = ∞
Ultraviolettkatastrophe
0
• Wien (empirisch): Wien’sches Strahlungsgesetz:
gω u(ω, T ) ≈ Aω 3 exp −
T
(ω → ∞)
(0.2)
quantentheoretisch:
• Planck(1900): Interpolationsformel mit Planck’schem Wirkungsquantum h (universell)
u(ω, T ) =
ω2
~ω
2
3
π c exp k~ωT − 1
B
~=
h
= 1.0546 · 10−27 erg · s
2π
(0.3)
1
0 Der Weg zur Quantenmechanik
γ
e−
Metall
Abbildung 0.1: Photoelektrischer Effekt
Ableitung durch Quantenhypothese, dass Energie von Wandatomen (→ Oszillatoren) nur
in ganzzahligen Vielfachen von ~ω an die Strahlung abgegeben (und absorbiert) wird.
u(ω, T ) =
∞
ω2 X
π 2 c3 n=0
n~ωP (n~ω)
|
{z
}
mittlere Oszillatorenergie
− kn~ω
BT
exp
P (n~ω) = P
∞
exp − m~ω
kB T
Boltzmannverteilung
(0.4)
m=0
b) Photoelektrischer Effekt
Licht kann Elektronen aus Metalloberfläche herauslösen (siehe Abb. 0.1). Maximale Energie
der Elektronen:
1
mv 2 = ~ω − W
2
∼ Frequenz
mit W : Austrittsarbeit
Emax =
Emax
⇒ Widerspruch zu klassischer Wellentheorie (Energie ∼ Intensität). Zahl der freigesetzten
Elektronen: Ne ∼ intensität des Lichts
⇒ Lichtquantenhypothese (Einstein 1905, Nobelpreis für Physik für 1921)
E = ~ω
~=
h
2π
ω = kc
ω = 2πν
h=6.62·10−34 Js
~=1.054·10−27 erg·sec
k=
universell
2π
Wellenzahl
λ
Andererseits:
E = pc
p
m→0
Energie (Relativitätstheorie:E = c m2 c2 + p~2 −→ pc)
p = ~k
bzw
Vergleich :
p~ = ~~k
(~
p k ~k) Impuls
Zuordnung von Teilchengrößen Energie, Impuls! Hohlraumstrahlung “
= Photonengas
c) Compton-Effekt
Streuung von Elektron und Photon (siehe Abb. 0.2). Erhaltung des Gesamt-Viererimpulses
Ç å
Å
ã
E/c
|~k|
µ
pγ =
=~ ~
etc. (p2γ = 0)
p~
k
2
0.1 Grenzen der klassischen Physik; Quantenhypothese
γ0
θ
γ
e−
Abbildung 0.2: Compton-Effekt
λ0 − λ = 2πλC (1 − cos θ)
~
λC =
me c
λC = 3.86 · 10−13 m
Comptonwellenlänge
des Elektrons (me = 0.91 · 10−27 g)
B) Wellencharakter der Ausbreitungseigenschaften atomarer Teilchen
de-Broglie-Hypothese 1924
Materiewellen:
Vermutung: Teilchenstrahlen zeigen Welleneigenschaften mit de-Broglie-Relationen:
~k = 1 p~ ω = 1 E
~
~
→ Wellenzahlvektor ~k, Frequenz ω zugeordnet.
Experimentelle Bestätigung durch die Beugung und Interferenz von Elektronenstrahlen an Kristallen
(Davisson, Germer 1927); analog zu Röntgen-Interferenzen (von Laue 1912)
C) Quantisierung des Drehimpulses
Bohr’sches Atommodell 1913
Postulate:
1) Atomelektron bewegt sich auf Kreisbahn mit quantisiertem Drehimpuls L = me rv = n~ ([L] =
[~])
2) elektromagnetische Strahlung bei Übergang in eine andere Bahn; ω =
Ei −Ej
~
Berechnung von Radius r, Geschwindigkeit v und Energie E:
mv 2
Ze2
=
r2
r}
|{z}
| {z
Kräftegleichgewicht:
(0.5)
Coulombkraft
Fliehkraft
L = mrv = n~
n~
v=
mr
⇒
(0.6)
Quadriere (0.6) und dividiere durch (0.5):
1
λC n2
Zα
1
v = (Zα)c ·
n
r=
α=
e2 ~c
3
0 Der Weg zur Quantenmechanik
Weiter:
Ze2
r
mv 2 (0.5) 1 Ze2
=
=
2
2 r
Ze2
mv 2
=−
=−
2r
2
Epot = −
Ekin
E = Epot + Ekin
1
1
En = − (Zα)2 mc2 2
2
n
Energie ist quantisiert“
”
mc2 = 0.51 MeV
e2
1
≈
~c
137
E1 = −13.6 eV
α=
n = 1, Z = 1 :
4
Feinstrukturkonstante
Grundzustand
(0.7)
I Wellenfunktion und Schrödingergleichung
I.1 Das Doppelspaltexperiment und die Wellenfunktion
Wir wollen nun drei Gedankenexperimente diskutieren (siehe Abb. I.1):
a) Q sendet klassische Teilchen (Kugeln, Schrotkörner, . . . ) aus.
®
1) S1 & S2 gemeinsam offen für ∆t
D zeigt identisches Bild für
2) Erst nur S1 , dann nur S2 offen für je ∆t
⇒
Gesamtintensität: (für beide Fälle)
(a)
(a)
I (a) (x, y) = I1 (x, y) + I2 (x, y)
Klassisch selbstverständliches Resultat! Einschlag einzelner Teilchen messbar.
b) Q sendet elektromagnetische Wellen (Licht, Röntgen, . . . ) aus. D zeigt unterschiedliche Bilder
für
®
1) S1 & S2 gemeinsam offen für ∆t
2) Erst nur S1 , dann nur S2 offen für je ∆t
Resultat:
(b)
(b)
(b)
(b)
(b)
1)
I (b) (x, y) = I1 (x, y) + I2 (x, y) + I12 (x, y)
2)
I (b) (x, y) = I1 (x, y) + I2 (x, y)
(I.1)
(I.2)
(b)
I12 (x, y): Interferenzterm
Begründung:
und
~ 2
~ elektrischer Feldstärke
I ∼ |E|
mit E
~1 + E
~ 2 |2 = |E
~ 1 |2 + |E
~ 2 |2 + 2(Re E
~ ∗E
~ 2)
|E
|
{z1 }
~ 1 |2 + |E
~ 2 |2 Interferenzterm
6= |E
(I.3)
(I.4)
(I.5)
c) Q sendet quantenmechanische Teilchen (Elektronen, . . . ) aus.
Die Teilchen werden einzeln in D detektiert, genau wie klassische Teilchen. Der Ankunftsort
ist zufällig und nicht vorhersagbar! D zeigt unterschiedliche Bilder für
®
1) S1 & S2 gemeinsam offen für ∆t
2) Erst nur S1 , dann nur S2 offen für je ∆t
Resultat: Analog zu elektromagnetischer Welle:
1)
2)
(c)
(c)
(c)
I (c) (x, y) = I1 (x, y) + I2 (x, y) + I12 (x, y)
I (c) (x, y) =
(c)
I1 (x, y)
+
(c)
I2 (x, y)
(I.6)
(I.7)
5
I Wellenfunktion und Schrödingergleichung
S1
Q
S2
S
D
Abbildung I.1: Schematischer Aufbau des Doppelspaltexperiments
Q:
S:
S1 , S2 :
D:
Quelle emittiert Materieteilchen, elektromagnetische Wellen, quantenmechanische Teilchen
Undurchlässiger Schirm
Spalte, verschließbar
Detektorschirm. Nachweis der Teilchen bzw. Wellen auf Fotoplatte
(c)
I12 (x, y): Interferenzterm
Elektronen interferieren! Teilchen haben auch Wellencharakter! Wir erhalten ein identisches
Ergebnis für Photonen.
Welle-Teilchen-Dualität
Man spricht aufgrund dieser Dualität auch von Materiewellen.
Die Wellenfunktion
Das Doppelspaltexperiment legt nahe:
1) Zufälligkeit im Verhalten des Elementarteilchens: Lediglich die Wahrscheinlichkeit des Auftreffens eines Elektrons auf D kann angegeben werden. Diese ist proportional zu I(x, y).
~ im elektromagnetischen Fall b) entspricht:
2) Einführung einer Größe, die der Amplitude E
Wellenfunktion“ oder Wahrscheinlichkeitsamplitude“
”
”
ψ(~x, t) ∈ C
Zuordnung: Materiewellen ↔ Wahrscheinlichkeitswellen
Hypothese: Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Quantenteilchens (Elektron, . . . ) am Ort ~x zur
Zeit t im Volumenelement d3 x lautet
|ψ(~x, t)|2 d3 x
Wahrscheinlichkeitsdichte oder -verteilung:
6
I.2 Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen
ρ(~x, t) = |ψ(~x, t)|2
• Erklärung des Interferenzphänomens von quantenmechanischen Teilchen im Fall c):
Von S1 und S2 gehen Materiewellen der Wahrscheinlichkeitsamplitude ψ1 (~x, t) bzw. ψ2 (~x, t)
aus.
1) Bei einem geöffneten Spalt ergeben sich die Wahrscheinlichkeitsamplituden ρ1 (~x, t) =
|ψ1 (~x, t)|2 bzw. ρ2 (~x, t) = |ψ2 (~x, t)|2 auf D, die dort nachgewiesen werden.
2) Bei zwei geöffneten Spalten gilt das Superpositionsprinzip für die Wellenfunktion:
ψ(~x, t) = ψ1 (~x, t) + ψ2 (~x, t)
⇒
(I.8)
Interferenz in der Wahrscheinlichkeitsamplitude
ρ(~x, t) = |ψ1 (~x, t) + ψ2 (~x, t)|2
2
2
= |ψ1 | + |ψ2 | +
2 Re(ψ1∗ ψ2 )
(I.9)
(I.10)
Führt zu der gemessenen Intensitätsverteilung!
Bemerkungen:
i) Elektronen sind Teilchen und Wellen zugleich. Lokalisierte Einschläge einzelner Elektronen können gezählt werden.
ii) ρ(~x, t) entsteht nicht durch Interferenz vieler gleichzeitig einfallender Elektronen! Interferenzbild baut sich bei geringer Intensität der Quelle langsam auf.
⇒ Wellenfunktion ψ(~x, t) ist Eigenschaft jedes einzelnen Quantenteilchens und beschreibt
den Zustand des Quantenteilchens.
• Messgröße: ρ(~x, t) ∈ R Wahrscheinlichkeitsdichte
• Wellenfunktion ψ(~x, t) ∈ C ist nicht direkt messbar, legt jedoch ρ(~x, t) unmittelbar fest.
Aber: ψ(~x, t) und eiα ψ(~x, t)
Freie Phasenwahl“
”
(α ∈ R) besitzen identisches ρ(~x, t).
I.2 Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen
Nun: Aufstellen einer Theorie, die die Wellenfunktion ψ(~x, t) festlegt.
→ Schrödingergleichung
Aber: Schrödingergleichung lässt sich nicht aus ersten Prinzipien ableiten, sie hat einen axiomatischen Charakter.
Denn: Die Quantenmechanik ist fundamentaler als die klassische Mechanik. Die klassische Mechanik muss sich als Grenzfall der Quantenmechanik für makroskopische Objekte ergeben:
(Abb. I.2)
7
I Wellenfunktion und Schrödingergleichung
rel. QM
= QFT
“
c→∞
~→
relativist.
klassische
Mechanik
0
klassische
Mechanik
~→0
QM
c→
∞
Abbildung I.2: Beziehungen zwischen fundamentalen physikalischen Theorien
V
e−
Abbildung I.3: Teilchen in Kiste mit Volumen V
Gesucht: Bewegungsgleichung (Differentialgleichung) für Wellenfunktion ψ(~x, t)
Anforderungen aus experimentellen Befunden:
i) Superpositionsprinzip
⇒
Differentialgleichung für ψ(~x, t) muss linear in ψ sein.
ii) ψ(~x, 0) bekannt ⇒ ψ(~x, t) ∀t.
⇒ Differentialgleichung muss 1. Ordnung in t sein.
iii) Wahrscheinlichkeitserhaltung: Teilchen ist mit Sicherheit (Wahrscheinlichkeit 1) irgendwo in
V (Abb. I.3).
Z
d3 x |ψ(~x, t)|2 = 1
∀t
(I.11)
V
Wobei V das dem quantenmechanischen System zur Verfügung stehende Volumen bezeichnet.
Dies schränkt mögliche ψ(~x, t) ein.
iv) Aus Elektronenbeugungsexperimenten: Freie ebene Wellen sollen Lösungen der Differentialgleichung sein:
~k = p~/~
~
ψ(~x, t) = c · ei(k·~x−ωt)
ω = E/~
p~ 2
E=
2m
Nun ist:
~k 2
p~ 2
∂t ψ(~x, t) = −iωψ(~x, t) = −i
ψ(~x, t) = −i~
ψ(~x, t)
2m~
2m
i~ ~ 2
=
∇ ψ(~x, t)
2m x
8
(I.12)
I.3 Das Zerfließen von Wellenpaketen
ϕ
∼ ~/d
p0
p
Abbildung I.4: (I.18) beschreibt Wellenpaket mit Impulsverteilung um p0 : p ≈ [p0 − ~d , p0 + ~d ]
⇒
i~∂t ψ(~x, t) = −
~2 ~ 2
∇ ψ(~x, t)
2m
(I.13)
Schrödingergleichung des freien Teilchens
Frei“ heißt: Ohne Einfluss äußerer Kräfte.
”
I.3 Das Zerfließen von Wellenpaketen
p
~2
Ebene Wellen ψE (~x, t) = c exp ~i (~
p ·~x − 2m
t) haben räumlich und zeitlich homogene Wahrscheinlichkeitsdichte
ρ(~x, t) = |ψE (~x, t)|2 = c2 = const.
(I.14)
Sei
ein Teilchen in einer makroskopischen Kiste vom Volumen V eingeschlossen, dann gilt
R z.B.
√
3
2
d
x
|c|
= 1 ⇒ c = 1/ V . D.h. ebene Welle ψE beschreibt ein maximal unlokalisiertes TeilV
chen! Lokalisierte Zustände, d.h. solche mit räumlichem Profil, erhält man durch Superposition ebener Wellen:
Z
ψϕ (~x, t) =
ï
ò
d3 p
i
p~ 2
ϕ(~
p) exp (~
p · ~x −
t)
(2π~)3
~
2m
(I.15)
3-D Wellenpaket“ mit Profilfunktion ϕ(~
p).
”
• Ist ψϕ (~x, t) Lösung der freien Schrödingergleichung (I.13)?
~2 ~ 2
(i~∂t +
∇ )ψϕ (~x, t) =
2m x
Z
ï 2
ò
p
~2
i
d3 p
p~
1
p·~
x− 2m
t)
~ (~
ϕ(~
p
)
−
p
~
·
p
~
e
=0 X
(2π~)3
2m 2m
(I.16)
Gauß’sches Wellenpaket (1D)
ï ò
i
p~ 2 dp
ϕ(p) · exp
px −
t
2π~
~
2m
ï 2
ò
d
ϕ(p) = A · exp − 2 (p − p0 )2
~
Z
Sei
mit
ψG (x, t) =
(I.17)
(I.18)
Integration (Übung):
9
I Wellenfunktion und Schrödingergleichung
t=0
t = t1
t = t2
h
h
e
0√
x
vt1
x
2d
x
√vt2√
2d 1 + ∆2
Abbildung I.5: Zerfließen eines Gauß’schen Wellenpakets im Ortsraum
ò
ï 2
dp
i
d
p2 2
ψG (x, t) = A
exp − 2 (p − p0 ) +
px −
t
2π~
~
~
2m
Z∞
ï ò
A
b 2 b2
=
dp exp −a p −
+
−c
2π~
a
a
Z
(I.19)
(I.20)
−∞
mit
a=
d2
~2
t
+ i 2m~
,
b=
d2 p0
~2
x
+ i 2~
ψG (x, t) = · · · =
A
2π~
,
…
c=
d2 p20
~2
ï 2
ò
π
b
exp
−c
a
a
(I.21)
• Normierung: Teilchen ist mit Wahrscheinlichkeit 1 irgendwo in x ∈ [−∞, ∞]:
!
1=
Z
Z
ï
b2
ò
|A|2 π
dx exp 2 Re
−c
dx |ψG (x, t)| =
2π~ |a|
a
b2
(x − vt)2
2 Re
−c =− 2
a
2d (1 + ∆(t)2 )
2
mit v =
Somit
p0
m,
(I.22)
(I.23)
~
∆(t) = t 2md
2
A = (8πd2 ) /4
1
ï
ò
1
(x − vt)2
|ψG (x, t)|2 = p
exp − 2
2d (1 + ∆(t)2 )
d 2π(1 + ∆(t)2 )
(I.24)
(I.25)
ρ(x, t) = |ψG |2 ist ebenfalls Gauß-Verteilung im Ortsraum. Das Maximum bewegt sich wie klassisches, freies Teilchen. ∆(t) wächst linear in t und führt zum Zerfließen des Wellenpakets (Abbildung I.5). Größenordnung der Zeit, in der sich die Breite verdoppelt:
τ∼
Sei m = me , d = 10−8 cm
10
⇒
τ ∼ 10−16 s
md2
~
(I.26)
I.4 Die Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum
• Ortsmittelwert des Gauß’schen Wellenpakets
Z∞
hxi =
dx |ψG (x, t)|2 · x
−∞
Z∞
(I.27)
Z∞
2
dx |ψG (x, t)| · (x − vt) +
=
−∞
dx |ψG (x, t)|2 · vt
(I.28)
−∞
= vt
(I.29)
• Schwankungsquadrat des Ortes:
2
(∆x)
:= (x − hxi)2 =
Z∞
dx |ψG (x, t)|2 · (x − vt)2
(I.30)
−∞
2
2
= d (1 + ∆(t) )
Z∞
Da
−αx2
dx e
−∞
⇒
(I.31)
…
Z∞
2
∂
π
∂
=−
dx e−αx = −
∂α
∂α α
−∞
√
Å… ã
π 1
1 π
=
=
2 α3/2
α 2α
»
∆x = d 1 + ∆(t)2
(I.32)
(I.33)
Ortsunschärfe
(I.34)
hxi = vt
Ortsmittelwert
I.4 Die Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum
• Ziel: Wahrscheinlichkeitsdichte für Impulsmessungen
Die Wahrscheinlichkeitsdichte ein Teilchen am Ort ~x im Volumenelement d3 x zu finden ist
ρ(~x, t) d3 x = |ψ(~x, t)|2 d3 x
W (~
p, t) d3 p beschreibt die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen mit Impuls p~ in d3 p zu
• Analogie:
messen.
R 3
• Normierung:
d p W (~
p, t) = 1.
Frage: Wie erhalten wir W (~
p, t)?
•
Betrachten Fourier-Transformierte der Ortswellenfunktion mit Profilfunktion ϕ(~
p, t):
Z
ψ(~x, t) =
i
d3 p
ϕ(~
p, t) e ~ p~·~x
(2π~)3
(I.35)
11
I Wellenfunktion und Schrödingergleichung
Dann ist
Z
d3 x |ψ(~x, t)|2
Z
Z
Z
0
i
d3 p
d3 p0
= d3 x
e ~ (~p−~p )·~x ϕ(~
p, t)ϕ∗ (~
p 0 , t)
3
3
(2π~)
(2π~)
Z
Z
d3 p
d3 p0 δ (3) (~
p − p~ 0 ) ϕ(~
p, t)ϕ∗ (~
p 0 , t)
=
(2π~)3
Z
d3 p
=
|ϕ(~
p, t)|2
(2π~)3
1=
(I.36)
(I.37)
(I.38)
(I.39)
ï
ò
i
(~
p − p~ 0 ) · ~x = (2π~)3 δ (3) (~
p − p~ 0 )
~
Z
Z
d3 p
3
2
d x |ψ(~x, t)| =
|ϕ(~
p, t)|2 = 1
(2π~)3
Z
In (I.37) nutzen wir
⇒
d3 x exp
(I.40)
(I.41)
Dies legt für die Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum die Definition nahe:
Definition I.4.1 (Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum).
1
|ϕ(~
p, t)|2
(2π~)3
W (~
p, t) :=
(I.42)
ϕ(~
p, t) ist dann die Impulswellenfunktion “
= Wahrscheinlichkeitsamplitude im Impulsraum.
Beispiele:
i) Ebene Welle:
ï
i
ψp0 (~x, t) = C · exp (~
p0 · ~x − Ep0 · t)
~
Z
i
d3 p
!
ϕp (~
p, t)e ~ p~·~x
=
(2π~)3 0
ò
i
ϕp0 (~
p, t) = (2π~)3 C δ (3) (~
p − p~0 )e− ~ Ep t
⇒
(I.43)
(I.44)
mit Ep =
p~ 2
2m
(I.45)
ϕ(~
p, t) ist nur für p~ = p~0 von Null verschieden. ⇔ Ebene Welle definiert einen scharfen Impulszustand. Der Impuls ist maximal lokalisiert, der Ort völlig delokalisiert!
ii) Gauß’sches Wellenpaket: (Aus I.3, ⇒ 1-D)
2
ϕ(p) = A exp −(p − p0 )2 d /~2
…
1
2d
2
W (p, t) =
|ϕ(p)|2 =
exp −2(p − p0 )2 d /~2
2π~
π~
⇒
(I.46)
(I.47)
• Impulsmittelwert:
Z
hpi =
Z
dp W (p, t)p =
= p0
12
Z
dp W (p, t) · (p − p0 ) +
X
dp W (p, t)p0
(I.48)
(I.49)
I.5 Nichtvernachlässigbarkeit des Messprozesses
Ä
px = h/λ
p0
Abbildung I.6: Impulsübertrag Photon → Mars ist vernachlässigbar.
• Impulsunschärfe:
(∆p)2 = (p − hpi)2 =
Z
Å
dp W (p, t) · (p − p0 )2 =
~
2d
ã2
X
(I.50)
Somit zusammen mit Ortsunschärfe aus (I.4):
∆x · ∆p =
1/2
~
1 + ∆(t)2
2
(I.51)
Dies ist ein Spezialfall der Heisenberg’schen Unschärferelation
∆x · ∆p ≥
~
2
(I.52)
(I.51) ist kein fundamentales Ergebnis, sondern hier eine Eigenschaft der speziellen Gauß’schen
Wellenfunktion. Die allgemeine Herleitung von (I.52) folgt später.
I.5 Nichtvernachlässigbarkeit des Messprozesses
Die Feststellung des Zustands eines physikalischen Systems erfordert eine Messung.
• Klassische Physik: (Makrokosmos) Der Einfluss der Messapparatur auf den Zustand des Systems
kann vernachlässigt werden.
Beispiel: Positionsbestimmung eines Planeten (Abb. I.6)
• Quantenphysik: (Mikrokosmos) Eine Messung beeinflusst den Zustand des Systems maßgeblich,
es ist prinzipiell unmöglich vom Messprozess zu abstrahieren.
Konsequenz: Zwei verschiedene physikalische Größen ( Observablen“) können im Allgemeinen
”
nicht mit beliebiger Präzision simultan gemessen werden!
Beispiel: Optische Positionsbestimmung eines Elektrons: Der Impulsübertrag vom Photon auf
das Elektron kann nicht vernachlässigt werden.
I.6 Der Impuls im Ortsraum
Den Mittelwert des Impulses erhalten wir aus der Impulswellenfunktion ϕ(~
p, t):
Z
h~
pi =
d3 p
ϕ∗ (~
p, t)~
p ϕ(~
p, t)
(2π~)3
(I.53)
13
I Wellenfunktion und Schrödingergleichung
Frage: Lässt sich h~
pi auch im Ortsraum berechnen?
Z
i
ϕ(~
p, t) = d3 x ψ(~x, t) e− ~ p~·~x
(I.54)
somit
Z
d3 p
(2π~)3
Z
Z
0
i
i
d3 x0 e ~ p~·~x ψ ∗ (~x0 , t) p~ d3 x e− ~ p~·~x ψ(~x, t)
{z
}
| Z
ï
ò
i
~
~ x e− ~ p~·~x ψ(~x, t)
= d3 x − ∇
i
Z
~~
3
− ~i p
= d x e ~·~x ∇
x, t)
x ψ(~
P.I.
i
Z
Z
ïZ
ò
d3 p − i (~x−~x0 )·~p ∗ 0 ~ ~
= d3 x0 d3 x
e ~
ψ (~x , t) ∇x ψ(~x, t)
(2π~)3
i
|
{z
}
h~
pi =
(I.55)
(I.56)
δ (3) (~
x−~
x0 )
D.h.
Z
h~
pi =
~~
d3 x ψ ∗ (~x, t) ∇ψ(~
x, t)
i
p~ →
Somit
(I.57)
~~
∇
i
(I.58)
Impulsoperator im Ortsraum“
”
In der Quantenmechanik werden physikalische Größen ( Observablen“) durch Operatoren dargestellt.
”
Diese sollen nun eingehender studiert werden.
I.7 Operatoren und Skalarprodukt
Operatoren wirken auf Wellenfunktionen. Diese sollen aus physikalischem Grund normierbar sein,
im Sinne von
Z
d3 x ψ(~x)ψ ∗ (~x) = 1 → Quadratintegrable Funktionen“ oder L2 -Funktionen
(I.59)
”
Definition I.7.1 (Operator). Ein Operator  bildet ψ ∈ L2 auf (Aψ) ∈ L2 ab.
Âψ(~x) = ϕ(~x) ∈ L2
(I.60)
Beispiele:
(1) Âψ= ψ 2 +
(2) Âψ= eψ ψ 2
∂
∂x1 ψ
(3)
(4)
~
Âψ= ∇ψ
~ 2ψ
Âψ= ∇
(I.61)
Wir schreiben Operatoren mit
ˆ “ (Dach), lassen dies später jedoch häufig auch weg.
”
Definition I.7.2 (Linearer Operator). Ein linearer Operator erfüllt mit A · ψ1 = ϕ1 , A · ψ2 = ϕ2
Â(c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 ϕ1 + c2 ϕ2
wobei c1 , c2 ∈ C und ψ1 , ψ2 , ϕ1 , ϕ2 ∈ L2 .
14
(I.62)
I.7 Operatoren und Skalarprodukt
(1) und (2) sind nicht linear, (3) und (4) sind linear (I.61).
Beispiele linearer Operatoren:
∂ ~ ~2 ∂
, ∇, ∇ ,
, f (~x, t), xi
∂xi
∂t | {z }
als Multiplikator
(I.63)
• lineare Operatoren erfüllen Relationen, die wieder auf lineare Operatoren führen:
c ist linearer Operator.
– Multiplikation mit Zahl c ∈ C: cA
c := c(Â)ψ
(cA)ψ
(I.64)
ÿ + B)ψ := Âψ + B̂ψ
– Summe zweier Operatoren  + B̂: (A
’ := Â(B̂ψ)
– Produkt zweier Operatoren  · B̂: (AB)ψ
• Einheitsoperator: 1ψ = ψ
• Nulloperator: 0 · ψ = 0
Es gilt
1A = A1 = A
0·A=A·0=0
(I.65)
• Im Allgemeinen ist das Produkt von Operatoren nicht kommutativ !
ÂB̂ψ 6= B̂ Âψ
(I.66)
Definition I.7.3 (Kommutator zweier linearer Operatoren). Für Â, B̂ lineare Operatoren ist
[Â, B̂] := ÂB̂ − B̂ Â
(I.67)
definiert.
Hierbei ist [Â, B̂] wiederum als Operator zu verstehen, d.h. es wirkt auf L2 -Funktionen nach rechts.
Beispiele:
i)
ï
ò
Å
ã
∂
∂
∂
∂
∂
xi ,
ψ = xi
−
xi ψ = xi
ψ − δij ψ − xi
ψ
∂xj
∂xj
∂xj
∂xj
∂xj
(I.68)
= −δij ψ
(I.68) gilt für beliebige L2 -Funktionen ψ, deshalb gilt sogar auf Operatorebene
ï
ò
∂
= −δij
xi ,
∂xj
(I.69)
ii)
ï
ò
Å
ã
∂
∂
∂
∂
f (~x),
ψ=f
ψ−
f ψ−f
ψ
∂xj
∂xj
∂xj
∂xj
Å
ã
∂
=−
f ψ
∂xj
∂
⇒
[f (~x), ψ] = −
f (~x)
∂xj
(I.70)
15
I Wellenfunktion und Schrödingergleichung
iii)
[xi , xj ] = 0
iv)
ï
ò
∂
∂
=0
,
∂xi ∂xj
(Reelle Zahlen sind vertauschbar.)
(Ableitungen von L2 -Funktionen kommutieren.)
(I.71)
(I.72)
Grundlegende Kommutatoren von Orts- und Impulsoperatoren:
ï
ò
~
~
∂i , ∂j = 0
i
i
[xi , xj ] = 0 ,
ï
ò
~
xi , ∂j = i~ δij
i
(I.73)
Bzw. mit der Interpretation (I.58)
[x̂i , x̂j ] = [p̂i , p̂j ] = 0
(I.74)
[x̂i , p̂j ] = i~ δij
Kanonische Kommutatorrelationen
Definition I.7.4 (Skalarprodukt). Das Skalarprodukt zweier Wellenfunktionen ϕ und ψ in L2 ist
durch
Z
(ϕ, ψ) := d3 x ϕ∗ (~x)ψ(~x)
(I.75)
definiert.
Eigenschaften:
(ϕ, ψ)∗ = (ψ, ϕ)
Linearität:
Antilinearität:
Es gilt
und
(I.76)
(ϕ, c1 ψ1 + c2 ψ2 ) = c1 (ϕ, ψ1 ) + c2 (ϕ, ψ2 )
(c1 ϕ1 + c2 ϕ2 , ψ) =
c∗1 (ϕ1 , ψ)
+
c∗2 (ϕ2 , ψ)
(I.77)
(I.78)
(ϕ, ϕ) ≥ 0
(I.79)
(ϕ, ϕ) = 0 ⇔ ϕ = 0
(I.80)
Operatoren im Skalarprodukt:
Z
(ϕ, Âψ) =
d3 x ϕ∗ (~x)Âψ(~x)
(I.81)
Definition I.7.5 (Adjungierter Operator). † heißt zu  adjungierter Operator. † ist definiert
durch:
Z
D.h.:
Beispiel:
da
16
(† ϕ, ψ) = (ϕ, Âψ)
Z
3
†
∗
d x (Â ϕ) ψ = d3 x ϕ∗ Âψ
(I.82)
∀ϕ, ψ ∈ L2
~ † = −∇
~
(∇)
Z
Z
3
∗~
~
~ ∗ )ψ
(ϕ, ∇ψ) = d x ϕ ∇ψ = − d3 x (∇ϕ
Z
~ ∗ψ
= d3 x (−∇ϕ)
(I.83)
(I.84)
(I.85)
(I.86)
I.8 Schrödinger-Gleichung für Teilchen im Potential
Definition I.7.6 (Hermitescher Operator). Erfüllt ein Operator † = Â, so heißt er selbstadjun”
giert“ oder hermitesch.
(Âϕ, ψ) = (ϕ, Âψ)
(I.87)
Bemerkung::
Hermitesche Operatoren spielen in der Physik eine herausragende Rolle: Alle physikalischen
Größen werden durch hermitesche Operatoren dargestellt.
Å
Beispiel:
~~
∇
i
ã†
=
~~
∇ = p~ˆ
i
(I.88)
Eigenschaften:
i) Aus (I.82) folgt
(ÂB̂)† = B̂ † †
Beweis:
(I.89)
†
†
!
†
†
(ϕ, ABψ) = (A ϕ, Bψ) = (B A ϕ, ψ) = (AB) ϕ, ψ
ii)
[AB, C] = A[B, C] + [A, C]B
Beweis:
(I.90)
[AB, C] = ABC − CAB = ABC − ACB + ACB − CAB
= A(BC − CB) + (AC − CA)B = A[B, C] + [A, C]B
iii)
Beweis:
†
[A, B] = −[A† , B † ]
†
[A, B] = (AB)† − (BA)† = B † A† − A† B † = −[A† , B † ]
(I.91)
Baker-Campbell-Hausdorff Identität (wichtig!)
eA Be−A = B + [A, B] +
1 1
A, [A, B] +
A, A, [A, B] + · · ·
2!
3!
(I.92)
(→ Übung)
Insbesondere gilt für den Fall, dass [A, B] mit A und B kommutiert:
eA eB = eB eA e[A,B]
e
A+B
A B
(I.93)
−[A,B]/2
=e e e
(I.94)
(→ Übung)
I.8 Schrödinger-Gleichung für Teilchen im Potential
~
• Wir hatten gesehen: h~
pi = (ψ, −i~∇ψ)
Weiterhin gilt für ebene, freie Wellen:
ψ(~x, t) = C exp
~ = p~ 0 · ψ
−i~∇ψ
i~∂t ψ = E · ψ
i(~
p 0 ·~
x−E·t)/~
(I.95)
(I.96)
(I.97)
17
I Wellenfunktion und Schrödingergleichung
• Dies legt das Korrespondenzprinzip nahe:
~
p~ → −i~∇
∂
Energie: E → i~
∂t
Impuls:
(I.98)
Den klassischen physikalischen Größen sind Operatoren zugeordnet.
• Lassen sich klassische Beziehungen mittels dieses Korrespondenzprinzips quantenmechanischen
Relationen zuordnen? Sicherlich nicht ganz, da
Å 2ã
∂
~
p~ 2
~2 ?
→ i~ = −
∇
(I.99)
E=
2m
∂t
2m
als Operatoridentität im Allgemeinen nicht wahr ist. Diese Gleichung gilt aber in Anwendung
auf Wellenfunktionen eines freien Teilchens:
i~
∂
~2 ~ 2
ψ=−
∇ ψ
∂t
2m
(I.100)
→ Schrödingergleichung für freie Teilchen
Anwendung des Korrespondenzprinzips auf Teilchen im Potential V (~x):
E=
Klassisch:
p~ 2
+ V (~x)
2m


Korrespondenzprinzip:
y
Quantenmechanisch:
i~
(I.101)
~ , E→i~∂t
p
~→−i~∇
Å
ã
∂
~2 ~ 2
ψ(~x, t) = −
∇ + V (~x) ψ(~x, t)
∂t
2m
(I.102)
Postulat: Schrödingerglg. eines Teilchens im Potential
Beschreibt die Dynamik der Zustandsfunktion ψ(~x, t). Kompakt geschrieben:
~2 ~ 2
∇ + V (~x)
2m
• Hamiltonoperator:
Ĥ = −
• Schrödingerglg.:
i~∂t ψ(~x, t) = Ĥψ(~x, t)
(I.103)
(I.104)
(Vorläufige) Postulate der Quantentheorie
1.) Der Zustand eines Systems wird durch die Wellenfunktion ψ(~x, t) beschrieben. |ψ(~x, t)|2 d3 x
ist die Wahrscheinlichkeit das Teilchen zum Zeitpunkt t, am Ort ~x im Volumenelement d3 x
anzutreffen.
2.) Messgrößen (Observablen) der klassischen Physik entsprechen in der Quantentheorie hermiteschen Operatoren Â, B̂, Ĉ, . . .
3.) Mittelwerte der Operatoren sind im Zustand ψ(~x, t) des Systems durch
Z
hAi = (ψ, Aψ) = d3 x ψ ∗ (~x, t)Aψ(~x, t)
gegeben.
18
(I.105)
I.9 Das Ehrenfest’sche Theorem
4.) Die Zeitentwicklung der Zustände wird durch die Schrödingerglg. beschrieben:
mit H = −
i~∂t ψ(~x, t) = Hψ(~x, t)
~2 ~ 2
∇ + V (~x)
2m
(I.104, I.103)
Bemerkungen::
i) Wir werden sehen, warum Observablen stets hermitesche Observablen sein müssen.
ii) Die Wahrscheinlichkeitsdichte im Impulsraum
Später.
|ϕ(~
p,t)|2/(2π~)3
folgt aus (2) und (3) →
I.9 Das Ehrenfest’sche Theorem
Ziel: Klassischer Grenzfall der Quantenmechanik
∂
ψ = Hψ
∂t
∂
−i~ ψ ∗ = Hψ ∗
∂t
• Schrödingerglg.:
i~
• Komplex konjugierte Glg.:
(I.104)
(I.106)
• Mittelwert eines beliebigen linearen Operators:
Z
hAi = d3 x ψ ∗ (~x, t)Aψ(~x, t)
(I.107)
~ und t ab: A = A(~x, ∇,
~ t). Zeitentwicklung von
Ein Operator A hängt im Allgemeinen von ~x, ∇
hAi:
Z
Å
ã
d
3
∗
∗ ∂A
∗
∗
hAi(t) = d x ψ̇ Aψ + ψ
ψ + ψ Aψ̇
dt
∂t
Z
Z
i
∂A
d3 x (H ∗ ψ ∗ Aψ − ψ ∗ AHψ) + d3 x ψ ∗
ψ
(I.108)
=
∂t
(I.98) ~
(I.102)
Intermezzo: Hermitizität des Hamiltonoperators
H=−
i) kinetischer Term:
~2 ~ 2
∇ + V (~x)
2m
Å
ã
~2 ~ 2
d xψ −
∇ ψ
2m
Z
~2 ~ 2 ∗
=
d3 x −
∇ ψ ψ
2×P.I.
2m
Z
Å
ã∗
~2 ~ 2
3
= d x −
∇ ψ ψ
2m
Å
ã
~2 ~ 2
= −
∇ ψ, ψ
2m
~2 ~ 2
(ψ, −
∇ ψ) =
2m
⇒
H† = ?
Z
3
(I.109)
∗
Å
ã†
~2 ~ 2
~2 ~ 2
−
∇
=−
∇
2m
2m
Wellenfunktion
verschwindet im
Unendlichen
(I.110)
19
I Wellenfunktion und Schrödingergleichung
~ † = −∇:
~
Folgt auch aus bekannter Relation (∇)
~ 2 )† = (∇)
~ † (∇)
~ † = (−)2 ∇
~2 =∇
~2
(∇
(I.111)
†
ii) Potentialterm: V (~x) = V (~x)
Da V (~x) nur vom Ort abhängt und (~x)† = ~x:
Z
(ψ, V (~x)ψ) =
d3 xψ ∗ V (~x)ψ =
= (V ψ, ψ)
d3 x(V (~x)ψ)∗ ψ
(I.112)
Ĥ † = Ĥ
Somit:
Zurück zur
Z
(I.113)
d
dt hAi:
Z
d3 x H ∗ ψ ∗ Aψ = (Hψ, Aψ) = (ψ, HAψ)
:::::::::::
(I.114)
Angewandt auf (I.108) ergibt sich:
i
∂A
d
hAi = (ψ, HAψ) − (ψ, AHψ) + ψ,
ψ)
dt
~
∂t
≠
∑
d
i
∂A
hAi =
[H, A] +
dt
~
∂t
(I.115)
Ehrenfest-Theorem
Vergleich mit der klassischen Mechanik
Die Bewegungsgleichungen der generalisierten Orts- qi und Impuls- pi Koordinaten im Hamiltonformalismus lauten:
∂f
d
f (p, q, t) = {H, f } +
dt
∂t
(I.116)
Für beliebige Phasenraumfunktion f (p, q, t).
Å
Poisson-Klammern:
{g, f } :=
∂g ∂f
∂g ∂f
−
∂pi ∂xi
∂xi ∂pi
ã
(I.117)
Die Analogie der klassischen Bewegungsgleichungen (I.116) zum Ehrenfest’schen Theorem (I.115) ist
offenkundig.
20
I.9 Das Ehrenfest’sche Theorem
Berechnung der wichtigsten Kommutatoren
ïX
ò
3
p2j
[H, xi ] =
, xi + V (~x), xi
2m
| {z }
j=1
=0
3
X
1
pj [pj , xi ] + [pj , xi ]pj
=
2m
| {z }
j=1
~
δij
i
~ 1
=
pi
i m
ïX
ò
3
p2j
[H, pi ] =
, pi + V (~x), pi
2m
j=1
{z
}
|
(I.118)
=0
∂
V (~x)
= i~
∂xi
(I.119)
Anwendung von (I.104) auf xi und pi
d
hxi i =
dt
d
hpi i =
dt
i
1
h[H, xi ]i =
hpi i
~
m≠
∑
∂
i
h[H, pi ]i = −
V (~x)
~
∂xi
(I.120)
(I.121)
~ = −∇V
~ (~x)
Beziehungsweise mit Einführung der Kraft K
d
~ x)i
h~
pi = hK(~
dt
Somit quantenmechanisches Analogon der Newton’schen Bewegungsgleichungen:
m
d2
~ x)i
h~xi = hK(~
dt2
(I.122)
(I.123)
Die klassischen Gleichungen gelten für die Mittelwerte. Ehrenfest’sches Theorem“
”
Nebenbemerkung:
Das bedeutet nicht, dass die Mittelwerte h~xi und h~
pi selbst den klassischen Bewegungsgleichun
~ x)i =
~ h~xi ist.
gen genügen, da im Allgemeinen hK(~
6 K
~ x) = K
~ h~xi ist nur gültig für lineare Funktionen K(~
~ x) ⇔ Das Potential darf
Bemerkung: K(~
2
~
maximal quadratisch in ~x sein: V (~x) = V0 + b · ~x + ω~x . Ist dies als Näherung gültig? Wir entwickeln
~ x) um den Mittelwert h~xi:
dazu K(~
Ki (~x) = Ki h~xi + xj − hxj i Ki,j hxi
1
+ xj − hxj i xk − hxk i Ki,j,k hxi + · · ·
2
mit Ki,j :=
⇒
∂
∂xj Ki
etc.
1
Ki (~x) = Ki h~xi + xj − hxj i xk − hxk i Ki,j,k h~xi + · · ·
2
(I.124)
21
I Wellenfunktion und Schrödingergleichung
Das heißt, die Näherung Ki (~x) = Ki h~xi ist gültig, falls
(∆xj )2 Ki,j,j h~xi
1
Ki h~xi
D
E
wobei xj − hxj i xk − hxk i = δjk (∆xk )2 vorausgesetzt wurde.
(I.125)
Nebenbemerkungen:
i) Die Tatsache, dass h~xi für den harmonischen Oszillator der klassischen Bewegungsgleichung genügt bedeutet nicht, dass quantenmechanische Effekte für den harmonischen
Oszillator unwichtig sind.
ii) Physikalische Interpretation von (I.104): Quantenphänomene in Abweichung der klassischen Dynamik werden sichtbar, wenn die charakteristische Länge des Potentials kleiner
als die des Wellenpakets ist.
I.10 Die Kontinuitätsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte
Die zeitliche Veränderung der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(~x, t) = ψ ∗ ψ folgt aus (I.104) und (I.106):
=
=
∂
i
i
ρ(~x, t) = ψ̇ ∗ ψ + ψ ∗ ψ̇ ∗ = (Hψ ∗ )ψ − ψ ∗ Hψ
∂t
~
~
∗
i
~ Hψ
− ~i Hψ
(I.126)
Potentialterme fallen heraus.
⇒
~ ~2 ∗
∂
~ 2ψ
ρ(~x, t) =
(∇ ψ )ψ − ψ ∗ ∇
∂t
2mi
(I.127)
Definition I.10.1 (Wahrscheinlichkeitsstromdichte).
~ − (∇ψ
~ ∗ )ψ
~j := ~ ψ ∗ ∇ψ
2mi
(I.128)
~ ~j = 0
∂t ρ(~x, t) + ∇
(I.129)
Es folgt die Kontinuitätsgleichung
Die Integralform folgt über den Gauß’schen Integralsatz für ein Volumen V mit der Oberfläche O:
Z
Z
d
d3 x ρ(~x, t) = − df~ · ~j(~x, t)
(I.130)
dt
V
∂V
Für V = R3 folgt so die zeitliche Konstanz der Norm:
Z
d
d3 x |ψ(~x, t)|2 = 0
dt
R3
da für L2 -Funktionen auch die Stromdichte ~j im Unendlichen verschwindet.
Beweis:
22
(I.131)
I.11 Mehrteilchensysteme
i) Da ψ ∈ L2 (quadratintegrabel) muss ψ im Unendlichen stärker als
1
|x|3/2
abfallen.
~
ii) Es seien periodische Abhängigkeiten von ψ(~x, t) für |x| → ∞ von der Form ei k·~r .
~ < lim |ψ| <
lim |∇ψ|
⇒
iii) Dann ist lim |~j| <
|x|→∞
1
|x|3
|x|→∞
|x|→∞
1
|x|3/2
(I.132)
und für eine Kugel mit Radius R gilt:
Z
lim
V →∞
df~ · ~j < lim
R→∞
Z
dΩ R2
1
→0
R3
(I.133)
O
I.11 Mehrteilchensysteme
Der Zustand eines N -Teilchensystems wird durch die Mehrteilchenwellenfunktion ψ(~x1 , ~x2 , . . . , ~xN , t)
beschrieben.
|ψ(~x1 , ~x2 , . . . , ~xN , t)|2 d3N x
(I.134)
(I.134) entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Teilchen Nummer 1 am Ort ~x1 , das Teilchen Nummer
2 am Ort ~x2 , . . . jeweils im Volumenelement d3 x anzutreffen. Die klassische Energie eines Mehrteilchensystems ist gegeben durch
E=
p~ 2
p~ 2
p~12
+ 2 + · · · + N + V (~x1 , ~x2 , . . . , ~xN , t)
2m1
2m2
2mN
(I.135)
~i
Die Schrödinger-Gleichung folgt aus dem Korrespondenzprinzip p~i → −i~∇
ï
~2 ~ 2
~2 ~ 2
~2 ~ 2
i~∂t ψ(~x1 , ~x2 , . . . , ~xN , t) = −
∇1 −
∇2 − · · · −
∇
2m1
2m2
2mN N
ò
+ V (~x1 , ~x2 , . . . , ~xN , t) ψ(~x1 , ~x2 , . . . , ~xN , t)
(I.136)
(I.136) zeigt insbesondere, dass ψ(~x, t) nicht als Massen dichte oder Ladungsdichte interpretiert
werden kann. Diese Größen würden auch im Mehrteilchenfall Funktion einer Koordinate ~x bleiben.
Hier sehen wir, dass jedes einzelne Teilchen Welleneigenschaft besitzt.
I.12 Stationäre Zustände
Falls H zeitunabhängig ist, lässt sich die Schrödinger-Gleichung mittels Produktansatz in zeitabhängigen
und ortsabhängigen Teil separieren:
Ansatz
(I.104) ⇒
ψ(~x, t) = f (t) · ψ(~x)
1
1
i~ ∂t f (t) =
Hψ(~x)
f (t)
ψ(~x)
(I.137)
(I.138)
Da ∂t H = 0 ist, müssen sowohl die linke als auch die rechte Seite von (I.138) unabhängig voneinander
konstant sein.
1
i~ ∂t f (t) = E = const.
(I.139)
f (t)
⇒
i
f (t) = C · e− ~ E·t
(I.140)
23
I Wellenfunktion und Schrödingergleichung
Ortsabhängiger Teil
Ĥψ(~x) = Eψ(~x)
(I.141)
Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Bemerkungen:
i
i) Die Zustände ψ(~x, t) = e− ~ E·t ψ(~x) heißen stationär, da zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichten zeitunabhängig sind: |ψ(~x, t)|2 = |ψ(~x)|2 = ρ2st. (~x)
ii) Die konstante E ist als Energie zu interpretieren, da für stationäre Zustände gilt:
hHi = (ψ, Hψ) = E(ψ, ψ) = E
(I.142)
iii) Die Normierungsbedingung (ψ, ψ) = 1 wird die zulässigen Energien E einschränken.
I.13 Eigenwertgleichungen
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (I.141) ist eine Eigenwertgleichung.
Definition I.13.1 (Eigenwertgleichung). ψ heißt Eigenfunktion zum Operator  mit Eigenwert a
falls
Âψ = aψ
(I.143)
Eigenwertgleichung“
”
gilt.
Dies ist völlig analog zum Eigenwertproblem in der linearen Algebra:
Theorem I.13.1. Eigenwerte hermitescher Operatoren sind reell.
Beweis:
(ψ, Aψ) = a(ψ, ψ)
(I.143)
= (Aψ, ψ) = a∗ (ψ, ψ)
A† =A
⇒
0 = (a − a∗ ) (ψ, ψ)
| {z }
>0
⇒
a = a∗
Theorem I.13.2. Eigenfunktionen hermitescher Operatoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
24
I.13 Eigenwertgleichungen
Beweis:
Sei Âψm = am ψm , Âψn = an ψn
an (ψn , ψm ) = (Aψn , ψm ) = (ψn , Aψm ) = am (ψn , ψm )
⇒
0 = (an − am )(ψn , ψm )
| {z }
6= 0 nach Voraussetzung
⇒
Problem der Entartung:
( Entartung“).
”
(ψn , ψm ) = 0
Es können aber mehrere Eigenfunktionen zu einem Eigenwert gehören
Âψn,i = an ψn,i
i = 1, . . . , g
(I.144)
Man sagt: an ist g-fach entartet.“ g nennt man den Entartungsgrad. Die entarteten Eigenfunktionen
”
sind im Allgemeinen nicht orthogonal zueinander:
(ψn,i , ψn,j ) = cij 6= 0
(I.145)
Hierbei ist cij eine hermitesche g × g Matrix. Diese kann durch eine unitäre Transformation Uij auf
Diagonalgestalt gebracht werden:
X †
cD
Uik ckl Ulj = δij cD
(I.146)
ij =
j
k,l
Nun ist
δij cD
j =
X
∗
Uki
(ψn,k , ψn,l )Ulj
(I.147)
k,l
=
X
ψn,k Uki ,
k
Das heißt die neuen Funktionen ϕ̃n,i :=
P
X
ψn,l Ulj
(I.148)
l
ψn,j Uji sind orthogonal zueinander! (→ Basiswechsel)
j
Mit Normierung ϕn,i = ϕ̃n,i (ϕ̃n,i , ϕ̃n,i )−1/2 gilt:
(ϕn,i , ϕn,j ) = δij
(I.149)
Orthogonalitätsrelation: Eigenfunktionen ψn eines hermiteschen Operators können stets so gewählt
werden, dass die Orthogonalitätsrelation
(ψn , ψm ) = δnm
(I.150)
gilt.
Vollständigkeitsrelation: Die ψn (~x) bilden eine Basis des Funktionenraums L2 . Für die von uns
betrachteten Operatoren gilt die Vollständigkeitsrelation
X
ψn∗ (~x0 )ψn (~x) = δ (3) (~x0 − ~x)
(I.151)
n
25
I Wellenfunktion und Schrödingergleichung
Nebenbemerkung:
Der mathematische Beweis für einen gegebenen Operator  = † ist nicht trivial.
Das heißt, die ψn (~x) bilden ein vollständiges Orthonormalsystem des L2 .
Entwickelbarkeit (Zerlegung) einer beliebigen Zustandsfunktion ψ(~x) nach den ψn (~x)
Z
ψ(~x) = d3 x0 δ (3) (~x − ~x0 )ψ(~x0 )
XZ
=
d3 x0 ψn∗ (~x0 )ψn (~x)ψ(~x0 )
n
=
X ÅZ
ã
3 0
d x
ψn∗ (~x0 )ψ(~x0 )
ψn (~x)
n
=
X
ψn (~x) (ψn , ψ)
(I.152)
X
(I.153)
n
ψ(~x) =
oder
cn ψn (~x)
n
mit
(ψ, ψ) = 1 und (I.150) implizieren
cn = (ψn , ψ)
P
|cn |2 = 1.
n
Entwickeln nach stationären Zuständen Orthogonalität und Vollständigkeit gelten insbesondere
für Eigenfunktionen des Hamiltonoperators:
Hψn = En ψn
ψn (~x, t) = e
− ~i En ·t
(I.154)
ψn (~x)
(I.155)
mit En : Energieeigenwert, ψn : Energieeigenfunktion
(I.156)
Für gegebene Zustandsfunktionen zum Zeitpunkt t = 0 folgt für alle späteren Zeiten:
X
i
ψ(~x, t) =
cn e− ~ E·t ψn (~x)
n
mit cn = ψn , ψ(~x, t = 0)
26
(I.157)
II Eindimensionale Probleme
II.1 Der harmonische Oszillator
Die Quantentheorie des harmonischen Oszillators stellt das in der theoretischen Physik wichtigste
Modellsystem dar. Die Hamilton-Funktion des harmonischen Oszillators lautet
H=
p2
mω 2 2
+
x
2m
2
(II.1)
Daraus folgt für die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung:
ï
−
ò
mω 2 2
~2 d2
+
x
ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
2
Wir führen nun die charakteristische Länge x0 =
»
~
mω
(II.2)
ein.
Algebraische Diagonalisierung von H
Sei
beziehungsweise
ωmx + ip
a= √
2ωm~
…
~
x=
(a + a† )
2mω
⇒
ωmx − ip
a† = √
2ωm~
…
~ωm
p = −i
(a − a† )
2
(II.3)
a und a† werden als Leiteroperatoren“ bezeichnet. Aus [x̂, p̂] folgt:
”
[a, a† ] = 1
[a, a] = 0 = [a† , a† ]
Mit x0 geschrieben haben wir die Differentialoperatorschreibweise:
ã
ã
Å
Å
1
1
x
d
x
d
a= √
a† = √
+ x0
− x0
dx
dx
2 x0
2 x0
(II.4)
(II.5)
H ausgedrückt durch Leiteroperatoren:
H=
1
~ω(a† a + aa† ) = ~ω(a† a + 1/2)
2
(II.6)
Definition II.1.1 (Besetzungszahloperator).
n̂ := ↠â
(II.7)
27
II Eindimensionale Probleme
⇒
H = ~ω(n̂ + 1/2)
(II.8)
Somit wurde das Eigenwertproblem von H auf jenes von n̂ überführt. Dies wollen wir nun lösen.
Sei ψν Eigenfunktion zu n̂ mit Eigenwert ν.
n̂ψν = νψν
(II.9)
Die ψν seien normiert: (ψν , ψν ) = 1. Weiterhin gilt
ν≥0
(II.10)
da
ν = ν(ψν , ψν ) = (ψν , a† aψν ) = (aψν , aψν ) = ||aψν ||2 ≥ 0.
Das heißt, niedrigster Eigenwert ist ν = 0. Aus obigem Argument folgt
Å
ã
d
x
n̂ψ0 = 0
⇒
aψ0 = 0
⇒
+
ψ0 = 0
dx x0
(II.11)
Eine auf 1 normierte Lösung dieser Differentialgleichung lautet
ψ0 (x) =
√
πx0
1/2
e
− 12
x
x0
2
(II.12)
Dies ist die Grundzustandswellenfunktion des harmonischen Oszillators:
~ω
ψ0 (x)
Hψ0 (x) = ~ω(0 + 1/2)ψ0 (x) =
2
mit der Grundzustandsenergie E0 =
(II.13)
~ω
2 .
Weitere Kommutatoren
[n̂, a† ] = a†
;
[n̂, a] = −a
(II.14)
Übrige Eigenfunktionen und Eigenwerte:
Behauptung: a† ψν ist Eingenfunktion zum Eigenwert ν + 1.
Beweis:
n̂a† ψν = (a† n̂ + a† )ψν = (ν + 1)a† ψν
(II.15)
(II.14)
Normierung:
(a† ψν , a† ψν ) = (ψν , aa† ψν ) = (ψν , (a† a + 1)ψν )
= (ν + 1)(ψν , ψν ) ≥ 0
(II.16)
Somit gilt für normierte ψν und ψν+1 :
√
1
a† ψν = ψν+1
ν+1
(II.17)
beziehungsweise ausgehend von (II.12):
n
1
1
ψn = √ a† ψn−1 = √
a† ψ0
n
n!
(II.18)
Der harmonische Oszillator besitzt ein diskretes Spektrum
En = ~ω(n + 1/2)
(Siehe auch Tabelle II.1)
28
n = 0, 1, 2, 3, . . .
(II.19)
II.1 Der harmonische Oszillator
Zustand
n̂
H-Eigenwert
ψ0
ψ1
ψ2
ψ3
..
.
ψn
0
1
2
3
..
.
n
~ω/2
~ω 23
~ω 52
~ω 72
..
.
~ω(n + 1/2)
Tabelle II.1: Eigenzustände des harmonischen Oszillators
Interpretation von a† und a: a† wird als Aufsteigeoperator interpretiert (II.15). a ist Absteigeoperator, da aψν Eigenvektor zu n̂ mit Eigenwert ν − 1 ist:
n̂aψν = (an̂ − a)ψν = (ν − 1)aψν
†
(aψν , aψν ) = (ψν , a aψν ) = ν(ψν , ψν ) ≥ 0
Normierung:
Somit ist aψν =
√
(II.20)
(II.21)
νψν−1 für normierte ψν und ψν−1 .
Behauptung: Mit ψn , n = 0, 1, 2, . . . sind alle Eigenfunktionen zu H gefunden.
Beweis durch Widerspruch:
• Annahme: ∃ Eigenwert ν = n + α mit 0 < α < 1 und n̂ψν = (n + α)ψν .
• Dann:
n̂(an ψν ) = α(an ψν )
n+1
n̂(a
n+1
ψν ) = (α − 1)(a
ψν )
;
α>0
;
(α − 1) < 0
(II.22)
Somit hätten wir eine Eigenfunktion ψα−1 = an+1 ψν mit negativem Eigenwert konstruiert.
Norm:
(an+1 ψν , an+1 ψν ) = (an ψν , (a† a)an ψν ) = α · (an ψν , an ψν ) > 0
(II.23)
Es gibt keine normierbare Eigenfunktion mit negativem Eigenwert (siehe auch II.2).
Das heißt, wir haben sämtliche Eigenwerte und Eigenfunktionen gefunden. Die a† (a) erhöhen (erniedrigen) den Energieeigenwert um ~ω. Deshalb werden die Erzeugungs- (Vernichtungs-) Operatoren
auch Leiteroperatoren genannt.
Bemerkungen:
i) n̂ besitzt durchaus Eigenfunktionen mit negativen Eigenwerten. Diese sind jedoch nicht
in L2 .
2
x
1
Beispiel: ψ−1 = e 2 x0 ist nicht quadratintegrabel und erfüllt n̂ψ−1 = −ψ−1 .
ii) Der Grundzustand ist nicht entartet, da aψ0 = 0 nur eine Lösung besitzt. Daraus folgt,
dass auch alle angeregten Zustände nicht entartet sind.
29
II Eindimensionale Probleme
Aus (II.18) ergeben sich die Energieeigenzustände des harmonischen Oszillators zu
−1/2 † n − 1 x 2
√
ψn = n! πx0
a
e 2 x0
(II.24)
beziehungsweise
−1/2 − 1
√
ψn = 2n n! πx0
e 2
x
x0
2
Å
Hn
x
x0
ã
(II.25)
mit Hn (x): Hermite-Polynome
Definition II.1.2 (Hermite-Polynome).
x2
2
√
n x2
2a† e− 2
x0 =1
Å
ã
2
d n x2 −x2
x2 − x2
x−
=e e
e2 e
dx
|
{z
}
n
n d
= (−)
dxn
Hn (x) := e
2
Hn (x) = (−)n ex
⇒
dn −x2
e
dxn
(II.26)
Eigenschaften der Hermite-Polynome
• Hn (x) ist Polynom vom Grad n:
H0 (x) = 1
H3 (x) = 8x3 − 12x
H1 (x) = 2x
H4 (x) = 16x4 − 48x3 + 12
2
H2 (x) = 4x − 2
5
(II.27)
3
H5 (x) = 32x − 160x + 120x
• Hn (−x) = (−)n H(x)
• Orthogonalitätsrelation:
Z∞
2
dx e−x Hn (x)Hm (x) =
√
π2n n!δmn
(II.28)
−∞
• Erzeugende Funktion:
2
e−t
• Differentialgleichung:
• Vollständigkeit:
ï
=
∞
X
1 n
t Hn (x)
n!
n=0
ò
d2
d
− 2x
+ 2n Hn (x) = 0
dx2
dx
∞
X
n=0
30
+2tx
ψn (x)ψn (x0 ) = δ(x − x0 )
(II.29)
(II.30)
(II.31)
II.2 Kohärente Zustände
II.2 Kohärente Zustände
Für stationäre Zustände des harmonischen Oszillators gilt hxi = 0.
√
x0
x0 √
hxi = √ ψn , (a + a† )ψn = √
n(ψn , ψn−1 ) + n + 1(ψn , ψn+1 ) = 0
2
2
(II.32)
Ebenso gilt hpi = 0 für stationäre Zustände. Demnach haben die stationären Zustände nichts mit
klassischen Oszillatorbewegungen gemein! Wir wollen nun Zustände ϕα konstruieren, für die hxi =
6 0
ist.
Ansatz:
Dann ist
α ∈ C (II.33)
âϕα = αϕα
Kohärente Zustände“
”
√
x0
hxi = √ (α + α∗ ) = 2 x0 Re(α)
2
(II.34)
Entwicklung nach Eigenfunktionen von Ĥ
1
1
n
(ψn , ϕα ) = √ (a† ψ0 , ϕα ) = √ (ψ0 , an ϕα )
n!
n!
an
= √ (ψ0 , ϕα )
n! | {z }
=: c(α,x0 )
⇒
∞
X
∞
X
αn
√ ψn (x)
ϕα (x) =
ψn (ψn , ϕα ) = c
n!
n=0
n=0
∞
2 n
X
|α|
2
1 = (ϕα , ϕα ) = |c|2
= |c|2 e|α|
n!
n=0
⇒
c = e−
⇒
ϕα (x) = e−
|α|2
2
|α|2
2
∞
X
αn
√ ψn (x)
n!
n=0
(II.35)
Zeitentwicklung Die Zeitentwicklung der kohärenten Zustände folgt aus der bekannten Zeitentwicklung der ψn :
ψn (x, t) = e−iω(n+ /2)t ψn (x)
1
−
|α|2
2
∞
X
αe−iωt
√
n!
n=0
⇒
ϕα (x, t) = e
bzw.
ϕα (x, t) = ϕα(t) (x) e− 2 ωt
Ortsmittelwert
i
(II.36)
n
i
ψn e− 2 ωt
mit α(t) = α e−iωt
x0
hxi(t) = (ϕα(t) , xϕα(t) ) = √ α(t) + α∗ (t)
2
(II.37)
(II.38)
(II.39)
oder mit α = |α| eiδ
⇒
√
hxi(t) 2x0 |α| cos(ωt − δ)
(II.40)
Der Ortsmittelwert eines kohärenten Zustands besitzt identische Zeitabhängigkeit wie die klassische
Trajektorie.
31
II Eindimensionale Probleme
V (x)
V0
I
a
II
x
Abbildung II.1: Potential mit Unstetigkeit
II.3 Potentialsprünge und Anschlussbedingungen
Es ist häufig sinnvoll, reale Potentiale durch Stufen anzunähern. Deshalb wollen wir zunächst klären,
wie sich die Wellenfunktion an einer Unstetigkeit des Potentials verhält.
a) Wie verhält sich ψ(x) und ψ 0 (x) an einer Unstetigkeit?
sprung wie in Abb. II.1:
Wir betrachten nun einen Potential-
V (x ≈ a) = V0 θ(x − a) + Vstetig (x)
(II.41)
Einschub: Theta-Funktion:
®
θ(x) :=
Da
x≥0
x<0
1
0
θ0 (x) = δ(x)
Z∞
f (x) =
dy δ(x − y)f (y)
−∞
Z∞
=
dy θ0 (x − y)f (y)
−∞
Z∞
=−
−∞
Z∞
dy θ(x − y)f 0 (y)
=0
z }| {
dy f (y) = f (x) − f (∞)
=−
0
für f ∈ L2
x
Schrödinger-Gleichung:
32
d2 ψ(x)
2m
= − 2 E − V (x) ψ(x)
2
dx
~
(II.42)
II.3 Potentialsprünge und Anschlussbedingungen
V (x)
I
1
a
2
II
x
Abbildung II.2: Potential mit δ-Funktionssingularität
Da V (x) ∼ θ(x − a) muss auch ψ 00 (x) ∼ θ(x − a) gelten. ψ(x) und ψ 0 (x) müssen jedoch stetig bei
x = a sein, da ansonsten
ψ(x) ∼ θ(x − a)
⇒
ψ 00 ∼ δ 0 (x − a)
ψ 0 (x) ∼ θ(x − a)
⇒
ψ 00 ∼ δ(x − a)
(II.43)
Daraus folgen die Anschlussbedingungen:
ψI (a) = lim ψ(x)
ψI (a) = ψII (a)
ψI0 (a)
bzw.
=
x%a
mit
0
ψII
(a)
ψII (a) = lim ψ(x)
(II.44)
x&a
ψI0 (a)
ψ 0 (a)
= II
ψI (a)
ψII (a)
(II.45)
Stetigkeit der logarithmischen Ableitung:
d
d
ln ψI (a) =
ln ψII (a)
da
da
(II.46)
V (x) = V0 δ(x − a) + Vstetig (x)
(II.47)
b) Dirac δ-Funktionssingularität
Siehe auch Abb. II.2. Das Verhalten der Wellenfunktion erhalten wir durch Integration der stationären Schrödinger-Gleichung von 1 nach 2:
Z2
1
2m
ψ (x) = − 2
~
00
Z2
E − V (x) ψ(x) dx
(II.48)
1
Nimmt man an, dass ψ(x) stetig ist, dann verbleiben im Grenzfall 1 → a, a ← 2 lediglich die linke
Seite und der δ-Funktionsterm übrig.
0
ψII
(a) − ψI0 (a) =
2m
V0 ψ(a)
~2
(II.49)
Das heißt, es ergeben sich die Anschlussbedingungen
ψI (a) = ψII (a)
0
ψII
(a) − ψI0 (a) =
2m
V0 ψI/II (a)
~2
(II.50)
33
II Eindimensionale Probleme
V (x)
E > V0
E < V0
V0
I
x=0
II
x
Abbildung II.3: Potentialstufe in einer Dimension
II.4 Potentialstufe
Wir betrachten nun das Potential
®
V (x) = V0 θ(x)
;
θ(x) =
1
0
x≥0
x<0
(II)
(I)
(II.51)
(Siehe auch Abb. II.3) Wir betrachten dazu die Schrödinger-Gleichung im Gebiet (I) und (II) getrennt:
2mE
d2 ψ
=− 2 ψ
2
dx
~
d2 ψ
2m(E − V0 )
=−
ψ
dx2
~2
I:
II :
(II.52)
(II.53)
Das Vorzeichen von (E − V0 ) wird die Form der Lösung in Gebiet II diktieren.
II.4.1 Teilchenenergie oberhalb der Potentialstufe (E > V0 )
Dann ist:
…
I:
00
2
ψ = −k ψ
k=
II :
ψ 00 = −q 2 ψ
q=
2mE
~2
(II.54)
2m(E − V0 )
(II.55)
~2
Dies sind die Schwingungsgleichungen mit den Fundamentallösungen
®
e
iκx
−iκx
,e
κ=
k
q
wenn x < 0
wenn x > 0
(II.56)
Wir wollen den Einfall des Teilchens von links (x < 0) betrachten: Im Gebiet I findet eine Überlagerung
von einfallender und reflektierter Welle statt. Im Gebiet II ist nur die durchgehende (transmittierte)
Welle vorhanden:
ψI (x) = eikx + R e−ikx
ψII (x) = T eiqx
ψ(x) = θ(−x)ψI (x) + θ(x)ψII (x)
34
(II.57)
II.4 Potentialstufe
Wir bestimmen nun R und T aus den Anschlussbedingungen (II.50)
1+R=T
ik(1 − R) = iq T
k−q
k+q
2k
T =
k+q
R=
⇒
(II.58)
Wir wollen nun eine physikalische Interpretation dieser Koeffizienten ableiten, indem wir die Wahr~
~ − c.c.) bestimmen:
scheinlichkeitsstromdichten ~j = 2mi
(ψ ∗ ∇ψ
~ −ikx
(e
+ R∗ eikx ) ik (eikx − R e−ikx ) − c.c.
2mi
~ ik (1 − |R|2 − R e−2ikx + R∗ e2ikx ) − c.c
=
2mi
~k
(1 − |R|2 ) = jeinfl (x) − jrefl (x)
=
| {z } | {z }
m
jI (x) =
~k
m
jII (x) =
(II.59)
~k
2
m |R|
~q 2
|T | = jtrans (x)
m
(II.60)
Definition II.4.1 (Reflektions- und Transmissionskoeffizienten r und t).
jrefl
= |R|2
jeinfl
jtrans
q
t :=
= |T |2
jeinfl
k
r :=
(II.61)
Bemerkungen:
a) Ein einfallendes Teilchen wird mit Wahrscheinlichkeit r reflektiert. Klassisch gäbe es
keine Reflexion, das Teilchen würde sich lediglich mit kleinerer Geschwindigkeit jenseits
der Stufe weiterbewegen.
b) Grenzfall E → ∞ beziehungsweise E V0 : q → k ⇒ R → 0 und T → 1
c) Es gilt Teilchenzahlerhaltung: jein = jrefl + jtrans
Beweis:
⇒
(k + q)2 − (k − q)2
4kq
=
(k + q)2
(k + q)2
~k
~q 2
(1 − |R|2 ) =
|T |
m
m
(1 − R2 ) =
(II.62)
(II.63)
d) Darstellung: Abb. II.4
35
II Eindimensionale Probleme
V (x) Re ψ
V0
x
Abbildung II.4: Wellenfunktion an Potentialstufe V = V0 · θ(x) mit V0 < E
V (x) Re ψ
V0
x
Abbildung II.5: Wellenfunktion an Potentialstufe V = V0 θ(x) mit V0 > E
II.4.2 Teilchenenergie unterhalb der Potentialstufe (E < V0 )
Die Lösung für Gebiet I bleibt unverändert.
II :
d2 ψ
= κ2 ψ
dx2
mit κ2 =
2m
(V0 − E)
~2
(II.64)
Fundamentallösung: e−κx für x > 0, da eκx nicht normierbar ist. (→ Wellenpakete?)
⇒
ψII (x) = T e−κx
(II.65)
Sämtliche Lösungen aus Fall i) sind mit Ersetzung q = κi auf Fall ii) übertragbar:
• Reflexions- und Transmissionsamplituden:
R=
k − iκ
k + iκ
T =
2k
k + iκ
(II.66)
|R|2 = 1 ⇒ es tritt vollständige Reflexion auf.
• Teilchenfluss nach rechts:
~
T ∗ (−k)T e−2kx − c.c. = 0
(II.67)
2mi
Teilchen dringen bis zu einer Tiefe κ−1 in den klassisch verbotenen Bereich x > 0 ein.
jII =
• Darstellung: Abb. II.5
II.4.3 Grenzfall unendlich hoher Stufe (V0 → ∞)
Wenn V0 → ∞ dann ist k → ∞, T → 0 und R → −1.
⇒
ψI (x) = eikx − e−ikx = 2i · sin kx und ψII (x) = 0
(II.68)
Allgemeine Randbedingung eines unendlich hohen Potentialsprungs:
ψ|Sprung = 0
36
(II.69)
II.5 Potentialschwelle und Tunneleffekt
V (x) Re ψ
V0
−a
a
x
Abbildung II.6: Eindimensionale Potentialschwelle
V (x)
A
F
B
−a
a
x
Abbildung II.7: Einlaufende, reflektierte und transmittierte Welle an der Potentialschwelle
II.5 Potentialschwelle und Tunneleffekt
Wir betrachten nun eine Potentialschwelle (siehe Abb. II.6)
V (x) = V0 θ(a − |x|)
(II.70)
mit Höhe V0 > 0 und Breite 2a. Wir wollen wieder von links (x < −a) einfallende Teilchen betrachten.
II.5.1 E < V0
Ein klassisches Teilchen würde von der Schwelle vollkommen reflektiert werden. Quantenmechanisch
ist jedoch ein Durchtunneln“ möglich: Das exponentielle Abfallen der Wellenfunktion ψ im Bereich
”
|x| < a führt zu nichtverschwindender Amplitude für x > a! Dieser Tunneleffekt“ ist ein rein
”
quantenmechanisches Phänomen.
Ansatz:

ikx
−ikx

x < −a
A e + B e
−κx
(II.71)
ψ(x) = C e
+ D eκx −a < x < a

 ikx
−ikx
F e + Ge
a<x
√
mit k =
√
2mE
~
und κ =
2m(V0 −E)
.
~
Die Lösung folgt aus den Anschlussbedingung (Abb. II.7)
α) Anschlussbedingung bei x = −a
A e−ika + B eika = C eκa + D e−κa
ik(A e−ika − B eika ) = −κ(C eκa − D e−κa )
(II.72)
37
II Eindimensionale Probleme
beziehungsweise in Matrixnotation:
Å −ika
e
e−ika
⇒
=⇒
(II.75)
ã Å ã Å κa
ã Å ã
e
e−κa
A
eika
C
·
=
iκ κa
iκ −κa ·
B
D
e
−
e
−eika
k
k
Å ã
Å ã
A
C
= M (a) ·
B
D
ã Å κa
ã
Å ika
1 e
e
e−κa
eika
·
M (a) =
iκ κa
−κa
− iκ
2 e−ika −e−ika
k e
k e
Å
κa+ika
−κa+ika ã
1 1 + iκ
1 − iκ
k e
k e
=
κa−ika
−κa−ika
1 + iκ
2 1 − iκ
k e
k e
(II.73)
(II.74)
Wobei folgende Identität für die Inverse einer nichtsingulären 2 × 2-Matrix benutzt wurde:
Å
a
c
β) Anschlussbedingung bei x = a
ã−1
Å
ã
1
b
d −b
=
d
ad − bc −c a
In Analogie ergibt sich
Å ã
Å ã
F
C
= M (−a)
G
D
und somit der Zusammenhang zwischen
⇒
κ
k
−
k
κ
und η =
κ
k
(II.76)
Å ã
Å ã
A
F
und
.
B
G
Å ã
Å ã
A
F
= M (a)M (−a)−1
B
G
Å
sinh 2κa e2ika
cosh 2κa + i
2
=
− iη
2 sinh 2κa
mit =
(II.75)
ã Å ã
sinh 2κa F
−2ika · G
cosh 2κa − i
sinh
2κa
e
2
iη
2
(II.77)
+ κk . Für ein von links einfallendes Teilchen gilt A = 1 und G = 0.
i
1 = F cosh 2κa + sinh 2κa e2ika
2
ã
Å
iη
sinh 2κa
B=F −
2
(II.78)
Definition II.5.1 (Transmissionsamplitude).
S(E) := F =
e−2ika
cosh 2κa + i
2 sinh 2κa
(II.79)
Zusätzlich definieren wir den Durchlässigkeitskoeffizienten als die Wahrscheinlichkeit für das
Durchdringen der Potentialschwelle:
|S(E)2 | =
Ä
1+ 1+
1
ä
2
4
sinh2 2κa
(II.80)
Wir betrachten nun den Grenzfall einer hohen breiten Schwelle; κa 1 beziehungsweise sinh 2κa ∼
38
II.6 Kontinuierliche Potentialberge
V (x)
E
a
λi
b x
Abbildung II.8: Approximation eines kontinuierlichen Potentialbergs durch Potentialstufen
1 2κa
:
2e
4
−4κa
2 e
1 + 4
h »
16E(V0 − E)
ai
=
·
exp
−4
2m(V
−
E)
0
V2
~
ãò
ï 0 »
Å
4
16E(V0 − E)
= exp − a 2m(V0 − E) + ln
~
V02
|S(E)|2 ∼
(II.81)
II.5.2 E > V0
Dieser Fall wird in den Übungen diskutiert.
II.6 Kontinuierliche Potentialberge
Realistische Potentialberge besitzen kein Rechteckprofil (Abb. II.8). Wir wollen nun die Tunnelwahrscheinlichkeit näherungsweise aus der Approximation des kontinuierlichen Potentialbergs durch
Potentialschwellen berechnen (2a → dx).
Annahmen:
a) Wir können in (II.81) den ln-Term gegenüber dem
√
-Term vernachlässigen.
b) Die Transmissionswahrscheinlichkeiten der einzelnen Segmente sind so klein, dass wir sie als
unabhängig ansehen können.
Dann gilt für den Strom, der alle N Wände durchtunnelt
(N )
(N −1)
(N −2)
jtrans = |SN |2 jtrans = |SN |2 |SN −1 |2 jtrans
..
.
!
N
Y
(0)
2
=
|Si | jeinfl
i=1
und somit für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
|S(E)|2 =
N
Y
|Si |2
(II.82)
i=1
39
II Eindimensionale Probleme
V (x)
−a
a
x
(−V0 )
Abbildung II.9: Eindimensionaler endlicher Potentialtopf der Breite 2a und Tiefe V0
Damit folgt für ein konkretes Potential V (x):
#
" N
Y
2m(V (xi ) − E)
2
2dx
|S(E)| ∼
exp −
Ann.
~2
i=1
a)
"
#
2m(V (xi ) − E)
= exp −
2dx
~2
i=1
" Zb
#
2m(V (xi ) − E)
−−→ exp −2 dx
~2
N →∞
N
X
(II.83)
a
Tunnelwahrscheinlichkeit für kontinuierliche Potentialberge
II.7 Endlicher Potentialtopf
Wir wollen nun die gebundenen Zustände des Potentials
V (x) = −V0 θ(a − |x|)
(II.84)
bestimmen (Abb. II.9). Dies ist ein einfaches Modell für kurzreichweitige Kernpotentiale oder Störstellen
in der Festkörperphysik. Der dimensionslose Parameter
ξ :=
p
2mV0 ·
a
~
(II.85)
bestimmt das Problem. Wir betrachten wiederum die Lösung der Schrödinger-Gleichung in Gebieten
verschiedener Potentialstärke getrennt. Die Bindungszustände liegen im Energieintervall −V0 ≤ E ≤
0.
p
2m(−E)
00
2
|x| > a
ψ =κ ψ
κ=
(II.86)
p ~
2m(E + V0 )
|x| < a
ψ 00 = −q 2 ψ
q=
(II.87)
~
Für x < −a ist eκx und für x > a ist e−κx als Lösung zu wählen. Im Bereich |x| < a liegen
oszillierende Lösungen vor.
Ansatz: Gerade und ungerade Lösungen.
• Gerade:
®
ψ(x) = ψ(−x) =
40
A cos qx für |x| < a
e∓κx
für |x| ≷ a
(II.88)
II.7 Endlicher Potentialtopf
f (z)
π
2
ξ1
tan z
π
3π
2
ξ2
2π
ξ3
5π
2
z
Abbildung II.10: Rechte und linke Seite von (II.92) für verschiedene Werte von ξ. Schnittpunkte sind
erlaubte Werte von qa.
• Ungerade:
®
ψ(x) = −ψ(−x) =
A sin qx für |x| < a
±e∓κx
für |x| ≷ a
(II.89)
Wir wollen diese beiden Fälle nun getrennt betrachten.
i) Gerade Symmetrie
A cos qa = e−κa
Anschlussbedingungen ⇒
−Aq sin qa = −Ke−κa
K
tan(qa) =
q
2mE
(qa)2 =
+ ξ 2 = −(κa)2 + ξ 2
~2
p
ξ 2 − (qa)2
tan(qa) =
qa
⇒
⇒
(II.90)
2
.
(II.90) ist eine transzendente Gleichung zur Bestimmung von (qa) und somit für E = −V0 1 − (qa)
ξ2
Wegen E ∈ [−V0 , 0] liegen die Wellenzahlen qa im Intervall
0 ≤ qa ≤ ξ
(II.91)
Graphische Diskussion
p
tan z =
Siehe Abb. II.10.
α) Da f (z) =
√
ξ 2 −z 2
z
ξ2 − z2
=: f (z)
z
bei z = ξ verschwindet gilt für die Zahl der Schnittpunkte nG :
° §
ξ
nG =
Zahl der geraden“ Energieeigenwerte
”
π
(II.92)
(II.93)
wobei dαe die nächstgrößere natürliche Zahl zu α ∈ R ist.
41
II Eindimensionale Probleme
f (z)
cot z
π
2
ξ1
π
3π
2
ξ2
2π
ξ3
5π
2
z
Abbildung II.11: Rechte und linke Seite von (II.96) für verschiedene Werte von ξ. Schnittpunkte sind
erlaubte Werte von qa.
Zustand
qa
Symmetrie
Knotenzahl
Grundzustand
[0, π/2]
gerade
0
1. angeregter
[π/2, π]
ungerade
1
2. angeregter
[π, 3π/2]
gerade
2
3. angeregter
[3π/2, 2π]
ungerade
3
Plot
Tabelle II.2: gebundene Energieeigenzustände eines Potentialtopfes mit 32 π < ξ < 2π
β)
nG ≥ 1
(II.94)
ii) Ungerade Symmetrie
A sin qa = e−κa
Anschlussbedingungen ⇒
Aq cos qa = −κe−κa
p
ξ 2 − (qa)2
K
− cot(qa) =
=
q
qa
⇒
(II.95)
Graphische Diskussion
p
ξ2 − z2
=: g(z)
(II.96)
z
Siehe Abb. II.11. Für ξ ∈ π2 (2nU − 1), π2 (2nU + 1) hat (II.96) genau nU Lösungen. Insbesondere
2
2
0a
existieren Lösungen nur, wenn ξ > π2 ⇒ 2mV
> π4 ist. Das Potential muss also eine minimale
~2
Stärke überschreiten um ungerade Eigenzustände zu erlauben.
− cot z =
Beispiel: ξ = 5 ⇒ nG + nU = 4 Zustände (Tabelle II.2) Energieniveauschema: Abb. II.12
42
II.8 Parität
−a
a
ug
3
g
2
ug
g
1
0
Abbildung II.12: Energieniveauschema eines Potentialtopfes mit 32 π < ξ < 2π; Energien gerade
Zustände sind blau, Energien ungerader Zustände rot dargestellt
ψ2
E2
ψ1
E1
ψ0
E0
Abbildung II.13: Eigenzustände des unendlich hohen Potentialtopfes
Grenzfall: Unendlich hoher Potentialtopf Betrachten wir nun den Grenzfall V0 → ∞, dann geht
auch ξ → ∞ und die Zahl der gebundenen Zustände geht ebenfalls gegen ∞. Die Schnittpunkte
(Lösungen von (II.90) und (II.95)) verschieben sich auf die Asymptoten von tan z und − cot z.
i) Gerade:
ϕq (x) = θ(a − |x|) cos(qx)
qa = (s + 1/2)π
s = 0, 1, 2, . . .
(II.97)
s = 1, 2, . . .
(II.98)
ii) Ungerade:
ϕq (x) = θ(a − |x|) sin(qx)
qa = sπ
Energien:
En =
~2 π 2
(n + 1)2
2m 2a
(II.99)
Insbesondere sehen wir aus diesem Grenzfall, dass ψ 0 (x) unstetig an der unendlich hohen Stufe ist.
II.8 Parität
Wir haben gesehen, dass für ein symmetrisches Potential V (x) = V (−x) die Basis der Eigenfunktionen in symmetrische und antisymmetrische Funktionen zerfällt. Dies ist stets so!
Definition II.8.1 (Paritätsänderung P ). Der Paritätsoperator wird durch seine Wirkung auf beliebige Testzustände (Funktionen) definiert:
P f (x) := f (−x)
(II.100)
43
II Eindimensionale Probleme
®E
­E
V (x)
a
b
¬E
Vmin
¬
E < Vmin
Abbildung II.14: Potential V (x) mit Mulde; Energien in den drei Bereichen ­ Vmin <E < Vmax
® Vmax <E
Sei P V (x) = V (x) (symmetrisches Potential), dann gilt
P Hf (x) = Hf (−x) = HP f (x)
(II.101)
da P ψ 00 (x) = ψ 00 (−x) ist.
⇒
[H, P ] = 0
(II.102)
Behauptung: Sei ψ(x) Eigenfunktion von Ĥ mit Eigenwert E.
Ĥψ(x) = Eψ(x)
(II.103)
Dann ist P̂ ψ(x) Eigenfunktion zum gleichen Eigenwert.
Beweis:
Ĥψ(−x) = P̂ Ĥψ(x) = P̂ Eψ(x) = Eψ(−x)
(II.104)
Dann ist ψg/u (x) = ψ(x) ± ψ(−x) ebenfalls Eigenfunktion zu Ĥ mit Energie E und es gilt
P̂ ψg/u (x) = ±ψg/u (x)
(II.105)
⇒ Ĥ und P̂ sind diagonal bezüglich der gleichen Basis. Ist E nicht entartet und [H, P ] = 0, so ist
die zugehörige Eigenfunktion entweder gerade oder ungerade.
II.9 Das allgemeine Verhalten eindimensionaler stationärer
Lösungen
~2 00
ψ (x) = [V (x) − E]ψE (x)
2m E
(II.106)
Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Bereits für einfache Potentiale V (x) führt diese Differentialgleichung auf Wellenfunktionen, die nicht
durch elementare Funktionen auszudrücken sind. Das qualitative Verhalten von ψE (x) für gegebene
Energie und V (x) lässt sich jedoch angeben.
a) Potentialmulde Siehe Abb. II.14. Wir wollen nun das Verhalten der Wellenfunktion in den
Bereichen ¬, ­ und ® gesondert diskutieren.
44
II.9 Das allgemeine Verhalten eindimensionaler stationärer Lösungen
ψ(x)
x
Abbildung II.15: überall konvexe Funktion ⇒ nicht normierbar
ψ(x)
a
b
x
00
: ψ (x) = 0
Abbildung II.16: Gebundener stationärer quantenmechanischer Zustand einer Potentialmulde
Bereich ¬ Der Bereich ¬ ist klassisch und quantenmechanisch verboten.
klassisch: Die kinetische Energie ist negativ (T = E − V ) ⇒ Der Impuls ist imaginär.
00
quantenmechanisch: ψE und ψE
haben das gleiche Vorzeichen. ⇒ ψE (x) ist konvex ∀x (Abb. II.15).
⇒ ψE (x) ist eine nicht normierbare Funktion.
Bereich ­
klassisch: Teilchenbewegung ist im Intervall x ∈ [a, b] möglich. Umkehrpunkte der Bewegung sind
bei x = a und x = b.
00
quantenmechanisch: Für x ∈ [a, b] haben ψE und ψE
entgegengesetztes Vorzeichen, das heißt
00
das gleiche Vorzeichen, das
hier ist ψE konkav. Für x < a und x > b besitzen ψE und ψE
00
00
(b) = 0. Hier
(a) = ψE
heißt hier ist ψE konvex. An den klassischen Umkehrpunkten gilt ψE
wechselt das Verhalten der Wellenfunktion also zwischen konkavem und konvexem Verhalten
(Abb. II.16). ⇒ Im klassisch verbotenen Bereich fällt die Wellenfunktion exponentiell ab. Im
klassisch erlaubten Bereich oszilliert die Wellenfunktion. Die Normierungsbedingung erlaubt
nur bestimmte Funktionen ψE und liefert eine Einschränkung auf mögliche Energieeigenwerte
E. Beispiel: Abb. II.17.
⇒ Liefert Einschränkungen auf mögliche Energieeigenwerte E.
Bereich ® Der Bereich ® ist klassisch und quantenmechanisch erlaubt.
ψ(x)
verboten
a
b
x
00
: ψ (x) = 0
Abbildung II.17: Auch wenn eine Energie E Eigenwert zum Hamiltonoperator ist kann sie zum
Divergieren der Wellenfunktion im klassisch verbotenen Bereich führen und dadurch
die Normierbarkeitsbedingung verletzen.
45
II Eindimensionale Probleme
®E
­E
Vmax
a
b
¬E
V (x)
¬
E < Vmin
Abbildung II.18: Potential V (x) mit Berg; Energien in den drei Bereichen ­
®
Vmin <E < Vmax
Vmax <E
klassisch: Die Bewegung des Teilchens ist für alle x erlaubt. Das Teilchen ist nicht gebunden.
quantenmechanisch: ψE (x) ist konkav ∀x. Demnach zeigt die Wellenfunktion überall das oszillatorische Verhalten nichtgebundener Zustände. Zudem ist E kontinuierlich veränderlich, nicht
eingeschränkt. Man spricht in diesem Fall auch von Streuzuständen“ des Potentials.
”
b) Potentialberg Siehe Abb. II.18. Wir wollen wieder das Verhalten der Wellenfunktion in den
Bereichen ¬, ­ und ® gesondert diskutieren.
Bereich ¬ Dieser Bereich ist klassisch und quantenmechanisch verboten aus denselben Gründen
wie bei der Potentialmulde.
Bereich ­
klassisch: Eine Teilchenbewegung ist erlaubt für x < a oder x > b. Das Überwinden des Potentialbergs ist ausgeschlossen.
quantenmechanisch: Für x < a und x > b ist ψE (x) konkav, was auf eine oszillierende Lösung
führt. Für x ∈ [a, b] ist ψE (x) konvex, was auf eine exponentiell abklingende Lösung führt. Es
handelt sich also um einen Tunneleffekt bei einlaufender Welle von links oder rechts.
Bereich ®
klassisch: Eine Teilchenbeweung ist für alle x möglich. Ein einlaufendes Teilchen überwindet den
Potentialberg immer.
quantenmechanisch: ψE oszilliert für alle x. Wir definieren eine lokale“ Wellenlänge λ(x) :=
”
√ 2π~
, die uns eine Abschätzung für den Abstand der Nullstellen von ψE (x) liefert.
2m(E−V (x))
II.10 Streuzustände des Potentialtopfes, Resonanzen
Gegeben sei das Potential
V (x) = −V0 θ(a − |x|)
(II.107)
(Abb. II.19) und ein von links einlaufende Teilchen mit der Energie E > 0. Diese Streuzustände
lassen sich aus stationären Lösungen der Potentialschwelle II.5 durch V0 → −V0 gewinnen.
|x| > a Die Wellenzahl bleibt
√
k=
46
2mE
~
(II.108)
II.10 Streuzustände des Potentialtopfes, Resonanzen
T
R
−a
a
E
0
(−V0 )
Abbildung II.19: Endlicher Potentialtopf mit von links einlaufendem Teilchen mit Energie E > 0
|x| < a Im Inneren ist die Lösung nun ebenfalls oszillierend und wir erhalten die Wellenzahl aus
der Ersetzung κ = iq:
p
2m(E + V0 )
q=
(II.109)
~
Dann gilt:
ψ(x) = C e−iqx + D eiqx
|x| < a :
(II.110)
Wir betrachten eine von links einfallen Welle:
x < −a :
ψ(x) = ψeinfl + ψrefl
(II.111)
−ikx
ψeinfl (x) = A e
i
ψrefl (x) = A S(E)
2
Å
ã
k
q
−
sin(2qa)e−ikx
q
k
ψtrans = A S(E)eikx
x>a:
(II.112)
(II.113)
(II.114)
Die Transmissionsamplitude folgt aus (II.79) durch die Ersetzung κ = −iq:
S(E) =
e−2ika
Ä
ä
cos(2qa) − 2i kq − kq sin(2qa)
(II.115)
Für die Transmissionswahrscheinlichkeit folgt
|S(E)|2 =
1
ä2
cos2 (2qa) + 14 kq + kq sin2 (2qa)
ñ
ô−1
Å
ã
1 k
q 2 2
= 1+
−
sin (2qa)
4 q
k
−1

2
sin
(2qa)
Ä
ä
= 1 +
4 VE0 1 + VE0
Da
Ä
k
q
−
ä
q 2
k
=
»
E+V0
E
−
»
E
E+V0
2
Ä
=
E+V0
E
+
E
E+V0
−2=
(II.116)
V02
E(E+V0 )
Insbesondere wird |S(E)|2 = 1 für 2qa = n · π. Bei diesen Energiewerten der einfallenden Welle wird
das Potential vollständig transparent“, es gibt keine Reflexion! Diese Resonanzen“ erscheinen bei
”
”
~2 q 2
− V0
2m
~2 π 2
= n2
− V0
8ma2
ERes =
(II.117)
47
II Eindimensionale Probleme
1
|S(E)|2
|S(E)|2
1
0.5
ξ=6
0
0
2
0.5
ξ = 24
0
4
0
0.5
E/V0
E/V0
1
|S(E)|2
1
|S(E)|2
1
0.5
ξ = 96
0
0
0.1
0.5
ξ = 384
0
0.2
0
0.02
E/V0
0.04
0.06
E/V0
Abbildung II.20: Transmissionswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit der Energie der einlaufenden Welle für ξ = 6, 24, 96, 384. Die Halbwertsbreite der Maxima der Transmissionswahrscheinlichkeit (Resonanzen) wird mit wachsendem ξ kleiner, das heißt die Resonanzen werden schärfer.
mit n geeignet groß, so dass ERes > 0 ist. Diese Resonanzen treten also gerade bei den Energieeigenwerten der gebundenen Zustände des unendlich tiefen Potentialtopfes auf. Die Schärfe der Resonanzen nimmt mit wachsendem ξ zu (vergleiche Abb. II.20).
II.11 Das Kronig-Penney Modell
In einem Festkörper liegen die erlaubten Elektronenenergien in Energiebändern (siehe Abb. II.21).
Man unterscheidet drei Typen von Festkörpern (Abb. II.22): Ursache für die Bandstruktur ist die
Periodizität des Gitters sowie der Tunneleffekt.
Eindimensionales Modell eines Kristalls
(Kronig-Penney, 1931)
V (x) = V0
∞
X
δ(x − n · a)
(siehe Abb. II.23)
(II.118)
n=−∞
Sei nun E > 0. Klassisch erlaubte Gebiete sind die
Bn = {x, na < x ≤ (n + 1) · a},
n∈Z
(II.119)
mit Lösungen
ψ(x) = an eik(x−na) + bn e−ik(x−na)
48
(II.120)
II.11 Das Kronig-Penney Modell
E
verbotene Bereiche
q·a
Abbildung II.21: Schematische Darstellung der Bandstruktur eines Festkörpers
E
E
E
EF
EF
EF
q·a
q·a
(a) Leiter
q·a
(c) Isolator
(b) Halbleiter
Abbildung II.22: Bandlücke und Fermienergie bei den drei Typen von Festkörpern. EF ist die jeweilige Fermi-Energie
V
E
···
···
B−2 B−1 B0
a
0
B1
B2
x
Abbildung II.23: Potential eines eindimensionalen Festkörpers nach Kronig-Penney als periodische
Überlagerung von δ-Funktionen
49
II Eindimensionale Probleme
a
Abbildung II.24: Eindimensionaler Festkörper mit N Elementarzellen der Länge a, zum Ring geschlossen.
»
mit k = 2m
~2 E, x ∈ Bn .
Die Phasenterme e±ikna sind rein zweckmäßig gewählt.
Anschlussbedingungen:
ψ(na − ) = ψ(na + ) = ψ(na)
2m
ψ 0 (na + ) − ψ 0 (na − ) = 2 V0 ψ(na)
~
(II.121)
(II.122)
mit → 0.
Bloch-Theorem Bevor wir uns den Anschlussbedingungen widmen, noch eine wichtige Beobach~2 d2
tung: Das Potential besitzt die Periodizität V (x) = V (x + a). Da auch − 2m
dx2 bei der Verschiebung
x → x + a unverändert ist, ist Ĥ sowie alle messbaren physikalischen Größen invariant unter Gittertranslationen x → x + a. Dies gilt auch für die Wahrscheinlichkeitsdichte:
!
|ψ(x + a)|2 = |ψ(x)|2
(II.123)
Die Wellenfunktion kann sich jedoch um eine Phase ändern!
ψ(x + a) = eiKa ψ(x)
mit − π < Ka ≤ π (II.124)
Demnach ist die Lösungsfunktion durch eine zusätzliche Wellenzahl K (Quantenzahl) gekennzeichnet:
ψK (x + na) = eiKna ψK (x)
(II.125)
Also lässt sich die Wellenfunktion in folgende Form bringen:
ψK (x) = uK (x)eiKx
mit uK (x + a) = uK (x)
(II.126)
Bloch-Theorem“
”
Das Bloch-Theorem ist eine allgemeine Aussage für gitterperiodische Potentiale.
Endlichkeit des Festkörpers Wir betrachten einen eindimensionalen Festkörper mit der Länge N ·a
und periodischen Randbedingungen (Abb. II.24)
!
ψK (x + N · a) = ψK (x)
(II.127)
Dies führt zur Diskretisierung der erlaubten Werte für K:
K=
50
2π
m
N ·a
m = 0, 1, 2, 3, . . . , N − 1
(II.128)
II.11 Das Kronig-Penney Modell
Damit hat das Bloch-Theorem folgende Konsequenz für unsere Lösung (im Intervall x ∈ B0 ):
ψK (x + na) = eiKna ψ(x) = eiKna (a0 eikx + b0 e−ikx )
(II.120)
!
= an e
(II.120)
ikx
+ bn e−ikx
an = eiKna a0
⇒
bn = eiKna b0
(II.129)
Lediglich a0 und b0 sind aus den Anschlussbedingungen zu bestimmen!
ψK (x) = eiKna (a0 eik(x−na) + b0 e−ik(x−na)
0
ψK
(x)
iKna
= iKe
(a0 e
ik(x−na)
− b0 e
x ∈ Bn
−ik(x−na)
Anschlussbedingung bei x = a
0
0
­ : ψK
(a)|B1 − ψK
(a)|B0 =
¬ : ψK (a)|B0 = ψK (a)|B1
2m
V0 ψK (a)
~2
!
a0 eika + b0 e−ika = eiKa (a0 + b0 )
2m
ikeiKa (a0 − b0 ) − ik(a0 eika − b0 e−ika ) = 2 V0 eiKa (a0 + b0 )
~
¬:
­:
In Matrixform:
Å
eika − e−iKa
iKa
iKa
ik(e
− e−ika ) − 2m
~2 V 0 e
e−ika − eiKa
iKa
iKa
ik(−e
+ e−ika ) − 2m
~2 V 0 e
ãÅ ã
a0
=0
b0
(II.130)
(II.131)
(II.132)
2m
∆ = 2ieiKa 2k cos(K · a) − 2k cos(ka) − 2 V0 sin(ka)
~
mit Determinante
!
Forderung: ∆ = 0 um Lösung von ¬ und ­ zu erhalten.
cos(Ka) = cos(ka) +
mV0
sin(ka)
~2 k
(II.133)
Dies ist eine Bedingung für mögliche Elektronenenergien:
mV0 a k = k Ka,
,n
~2
(II.134)
Diskussion
i) Nur Energien E =
ist (Abb. II.25).
~2 k 2
2m
erlaubt für die die rechte Seite von (II.133) vom Betrag kleiner eins
ii) Beginn einer verbotenen Zone: ka = nπ, n = 1, 2, 3, . . .
Die oberen Bandkanten sind unabhängig von V0 und a bei
En |obere Bandkante =
~2 π 2 2
n
2ma2
(II.135)
iii) Für vorgegebene Wellenzahl K (− πa < K ≤ πa ) gehörige Energiewerte erhält man durch
explizites Lösen von (II.133) für entsprechendes Energieband (Abb. II.26).
iv) Mit wachsendem V0 · a werden die Lücken breiter (Abb. II.27). Für V0 · a → ∞ werden die
Bänder zu Niveaus.
51
II Eindimensionale Probleme
cos x + α sinx x
1
π
3π
5π
x
-1
2π
4π
6π
Abbildung II.25: cos x+α sinx x ; für |·| > 1 ist die zugehörige Energie verboten. Die erlaubten Bereiche
sind grün unterlegt.
En
n=3
n=2
n=1
− πa
0
π
a
K
Abbildung II.26: Bandstruktur : Gesamtheit der En (K) Kurven
K nimmt N verschiedene Werte an, jedes Energieband hat deshalb N diskrete,
dicht liegende Energieniveaus.
E/ −
~2 π 2
2ma2
9
4
1
0
V0 · a
Abbildung II.27: Erlaubte Energiebänder über V0 · a
52
III Grundlagen der Quantenmechanik (Dirac
Formalismus)
Orts- (ψ(x)) und Impulsdarstellung (ϕ(p)) der Wellenfunktion bilden zwei äquivalente Beschreibungen des quantenmechanischen Zustands. Dies legt eine übergeordnete, fundamentalere Beschreibung
nahe!
Dirac’sche Formulierung der Quantenmechanik:
• Der Zustand eines quantenmechanischen Systems wird durch einen abstrakten Zustandsvektor in einem im Allgemeinen unendlich dimensionalen Vektorraum (Hilbert-Raum)
beschrieben.
• Observable Größen sind lineare Operatoren, die in diesem Hilbert-Raum wirken.
• Die Formulierung der Dynamik und des Messprozesses erfolgt in diesen Objekten.
III.1 Zustandsbegriff
~q
Klassischer Zustand: Punkt im Phasenraum {q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn }
π
p~
|ψikl ⇔ π = (~q, p~)
(III.1)
Dynamik (zeitliche Entwicklung) des klassischen Zustands folgt aus den Hamilton’schen Bewegungsgleichungen.
q̇j =
∂H
∂pj
ṗj = −
∂H
∂qj
j = 1, . . . , n
(III.2)
Ist π(~q, p~, t = t0 ) gegeben und H(~q, p~, t) bekannt, dann ist π(~q, p~, t) ∀t vollständig bestimmt. Für ein
quantenmechanisches System ist dies nicht möglich, da qj und pj nicht gleichzeitig scharf messbar
sind.
Quantenmechanischer Zustand |ψi
|ψi wird bestimmt ( präpariert“) durch gleichzeitige Messung eines maximalen Satzes von simultan
”
messbaren ( verträglichen“) Observablen.
”
Eigenschaften:
53
III Grundlagen der Quantenmechanik (Dirac Formalismus)
T (A)
ai
T (A)
ai
|ϕi
aj
|ϕi
|ϕi
P̂ (ai )|ϕi ∼ |ai i
ak
al
Nur Blende ai geöffnet:
(a) Alle Blenden offen
• Messung von Â
(b)
• Messergebnis: ai
• Präparation des Zustands |ai i
Abbildung III.1: Trenner T (A) mit Blenden
1) |ψi heißt Zustandsvektor.
2) |ψi → α · |ψi, α ∈ C ändert den Zustand des Systems nicht.
3) Stehen mehrere Systeme in Wechselwirkung, so beschreibt |ψi das Gesamtsystem. Sind
die Teilsysteme entkoppelt, dann zerfällt |ψi in ein direktes Produkt von Unterzuständen
|ψi = |ψi1 ⊗ |ψi2 ⊗ |ψi3 ⊗ · · · wobei |ψii den Zustand des i-ten Systems beschreibt.
4) Im Allgemeinen ist |ψi = |ψ(t)i zeitabhängig durch äußere Einflüsse oder auch durch eine
Messung am System.
5) Die Schrödinger-Gleichung für ψ(~x, t) ist eine spezielle Darstellung von |ψi, die sogenannte
Ortsdarstellung. Es gibt andere Darstellungen (Impuls, Energie, Drehimpuls, Spin, . . . )
III.2 Präparation eines reinen Zustands
Wir wollen nun ein Gedankenexperiment anstellen. Wir betrachten eine Observable  mit gequantelten Messwerten {ai , i = 1, . . . , N }, zum Beispiel Ĥ des harmonischen Oszillators.
Messung von Â: Die Messapparatur für  sei ein Trenner T (A) mit Blenden wie in Abb. III.1.
Der Trenner T (A) wird dargestellt durch den Projektionsoperator P̂ (ai ).
Wiederholte Messung von Â: Siehe hierzu Abb. III.2. Wie man erkennt, gilt
P (aj )P (ai ) = δij P (ai )
(III.3)
Erst Messung von Â, dann Messung von B̂: Â und B̂ seien verträglich (simultan messbar). Siehe
hierzu Abb. III.3.
Wir schreiben:
P̂ (bj )P̂ (ai )|ϕi = |ai , bj i
(III.4)
Da  und B̂ simultan messbar sind, führt die Vertauschung der Messoperatoren zum selben Zustand:
verträgliche Observablen ⇔ kommutierende Operatoren
54
III.2 Präparation eines reinen Zustands
T (A)
ai
|ϕi
T (A)
ai
P̂ (ai )|ϕi
P̂ (ai )P̂ (ai )|ϕi ∼ |ai i
∼ |ai i
P̂ (ai )|ai i ∼ |ai i
(a)
T (A)
ai
|ϕi
T (A)
P̂ (ai )|ϕi
aj
∼ |ai i
P̂ (aj )P̂ (ai ) |ϕi = |∅i (Nullvektor)
(i6=j)
(b)
Abbildung III.2: Wiederholte Messung der Observablen  mittels Trenner T (A) für (a): gleiche Blende offen; (b): andere Blende offen
T (A)
ai
|ϕi
T (B)
|ai i
|ai , bj i
bj
Abbildung III.3: Messung zweier Verträglicher Observablen nacheinander.
55
III Grundlagen der Quantenmechanik (Dirac Formalismus)
T (A)
ai
|ϕ0 i = P̂ (ai ) + P̂ (aj ) |ϕi
|ϕi
aj
Abbildung III.4: Trenner mit zwei Öffnungen
T (A)
ai
|ϕi
|ϕi
aj
ak
al
Abbildung III.5: Trenner, bei dem alle Blenden geöffnet sind.
Schaltet man einen maximalen Satz verträglicher Trenner hintereinander, lässt sich ein reiner Zustand erzeugen:
|ψi ≡ |ai , bj , . . . , zm i = P̂ (zm ) · · · P̂ (bj )P̂ (ai )|ϕi
(III.5)
Bemerkungen:
• Hintereinanderschalten von Trennern “
= Produkt von Projektoren
• Trenner mit zwei Öffnungen “
= P̂ (ai ) + P̂ (aj ) (siehe Abb. III.4).
|ϕ0 i = P̂ (ai ) + P̂ (aj ) |ϕi
(III.6)
• Öffnet man alle Blenden, führt man keine Messung durch und verändert den Zustand
nicht (siehe Abb. III.5):
N
X
P̂ (ai )|ϕi = |ϕi ∀|ϕi
(III.7)
i=1
Somit gilt:
i)
N
X
P̂ (ai ) = 1
(II.8)
i=1
ii) Da P̂ (ai )|ϕi ∼ |ai i mit Proportionalitätskonstante ci folgt:
|ϕi =
N
X
i=1
56
ci |ai i ci ∈ C
(III.9)
III.3 Observable
III.3 Observable
Klassische Observablen ⇔ Funktionen im Phasenraum:
F = F (~q, p~)
Beispiele:
Kinetische Energie:
Hamilton-Funktion:
Drehimpulskomponente:
(III.10)
2
p
~
T (~
p)= 2m
H = H(~q, p~)= T (~
p) + V (~q)
Lz = x · py − y · px
• Übergang zur Quantenmechanik mittels Korrespondenzregeln:
xi → x̂i
pi → p̂i
(III.11)
• Übersetzung von Funktionen im Phasenraum:
F (qi , pi ) → F (q̂i , p̂i )
(III.12)
• Es gibt jedoch auch quantenmechanische Observablen, die kein klassisches Analogon besitzen,
zum Beispiel Spin oder Parität.
6=
=
• Das Korrespondenzprinzip ist nicht eindeutig: Ambiguitäten in der Quantisierung. Zum Beispiel
~q · p~ → q̂i p̂i
P
p~ · ~q → p̂i q̂i = q̂i p̂i − i~ 3i=1 δii
= q̂i p̂i − 3i~
(III.13)
Das ist nicht verwunderlich, da die Quantenmechanik eine fundamentalere Theorie als die
klassische Mechanik ist. Im Limes ~ → 0 verschwinden diese sogenannten Ordnungsambi”
guitäten“.
Häufige Vorschrift: Weyl-Symmetrisierung von nichtvertauschenden Operatoren:
pi qj → p̂i q̂j + q̂j p̂i
reelle Größe → hermitescher Operator
(III.14)
Observable: quantenmechanischer Operator mit reellen Messwerten “
= hermitescher Operator
III.4 Hilbert-Raum
Ein reiner Zustand eines Quantensystems wird als Vektor in einem abstrakten Hilbert-Raum beschrieben.
Quantensystem
Reiner Zustand
⇔
⇔
Hilbert-Raum H
Vektor |ψi ∈ H
Definition: Hilbert-Raum H: Abzählbar unendlich (oder endlich) dimensionaler unitärer Vektorraum.
57
III Grundlagen der Quantenmechanik (Dirac Formalismus)
Eigenschaften
1) H ist komplexer, linearer Vektorraum.
Seien im folgenden |αi, |βi, |ϕi, |ψi ∈ H, c ∈ C. Dann müssen folgende Beziehungen gelten:
• Addition:
|αi + |βi = |βi + |αi ≡ |α + βi ∈ H
(III.15)
• Multiplikation:
c|αi = |αic ≡ |cαi ∈ H
• Assoziativität:
|αi + (|βi + |γi) = (|αi + |βi) + |γi
(III.16)
c1 (c2 |αi) = c2 (c1 |αi) = c1 c2 |αi
• Nullvektor:
• Inverses bzgl. Addition:
(III.17)
∃|∅i ∈ H mit |αi + |∅i = |αi
c · |∅i = |∅i
(III.18)
∀|αi∃| − αi
mit |αi + | − αi = |αi − |αi = 0
(III.19)
• Distributivität:
c(|αi + |βi) = c|αi + c|βi
(c1 + c2 )|αi = c1 |αi + c2 |αi
(III.20)
Begriffe:
i) Die Vektoren {|αi i, i ∈ I} heißen linear unabhängig falls
ci = 0 ∀i ∈ I erfüllt ist.
Pn
i=1 ci |αi i
= |∅i nur durch
ii) Die Dimension von H ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren in H.
2) H ist ein unitärer Vektorraum.
Jedem Paar |αi, |βi ∈ H ist ein Skalarprodukt
hα|βi ∈ C
(III.21)
zugeordnet.
• hα|βi = hβ|αi∗ ( ()∗“ bedeutet komplex konjugiert)
”
• hα|c1 β1 + c2 β2 i = c1 hα|β1 i + c2 hα|β2 i
• hcα|βi = c∗ hα|βi
• hα|αi ≥ 0 ∀|αi ∈ H und hα|αi = 0 ⇔ |αi = |∅i
Begriffe:
i) Orthogonalität: |αi und |βi heißen orthogonal zueinander wenn hα|βi = 0
ii) Norm: Die Norm von |αi wird durch das Skalarprodukt induziert:
kαk =
»
hα|αi ≥ 0
(III.22)
Eigenschaften der Norm:
• Schwarz’sche Ungleichung:
• Dreiecksungleichung:
58
|hα|βi| ≤ kαk · kβk
kαk − kβk ≤ kα + βk ≤ kαk + kβk
(III.23)
(III.24)
III.5 Dualer Raum H∗
Für endlich dimensionale H der Dimension n lässt sich eine vollständige Orthogonalbasis
|α1 i, |α2 i, . . . , |αn i angeben mit hαi |αj i = δij . Für beliebige |βi ∈ H gilt
|βi =
=
n
X
j=1
n
X
cj |αj i mit cj = hαj |βi
|αj ihαj |βi
j=1
n
X
⇒
|αj ihαj | = 1
(III.25)
j=1
3) H ist vollständig.
Jede Cauchy-Folge |αn i konvergiert in H. Eine Folge |αn i nennt man Cauchy-Folge, wenn gilt:
kαn − αm k < ∀m, n > N ()
(III.26)
lim |αn i = |αi ∈ H
Vollständigkeit:
(III.27)
n→∞
4) H ist separabel.
Für jedes Element |ϕi ∈ H existiert eine Cauchy-Folge mit |ϕi als Grenzvektor.
Folgerungen
• H ist abzählbar unendlich dimensional.
• Entwicklungssatz: ∀|ϕi ∈ H gilt
|ϕi =
∞
X
cj |αj i
hαi |αj i = δij
j=1
cj = hαj |ϕi
kϕk2 =
∞
X
|ϕi =
|cj |2 < ∞
1=
j=1
∞
X
j=1
∞
X
|αj ihαj |ϕi
|αj ihαj |
(III.28)
j=1
III.5 Dualer Raum H∗
hϕ|
|ψi
%
bra–c–ket
(III.29)
hϕ| ( bra-Vektoren“) sind Vektoren des zu H dualen Vektorraums H∗ .
”
Definition III.5.1 (Dualer Raum). Lineares Funktional Fϕ (|ψi) ; |ψi ∈ H, dann sei
H∗ := {Fϕ ; Fϕ : H → C, Fϕ linear}
”
(III.30)
Dualer Raum zu H“
59
III Grundlagen der Quantenmechanik (Dirac Formalismus)
ϕj
ϕ(j)
→
j
j diskret
j kontinuierlich
j
Abbildung III.6: Komponenten eines Vektors ϕ in einer diskreten bzw. einer kontinuierlichen Basis
ψ(x)
x
∆x
Abbildung III.7: Diskretisierung der kontinuierlichen Koordinate x in Schritten ∆x
Hierbei bedeutet Linearität:
Fϕ (ci |ψ1 i + c2 |ψ2 i) = c1 Fϕ (|ψ1 i) + c2 Fϕ (|ψ2 i)
Fϕ1 +ϕ2 (|ψi) = Fϕ1 (|ψi) + Fϕ2 (|ψi)
Fcϕ (|ψi) = c∗ Fϕ (|ψi)
(III.31)
Wir schreiben:
Fϕ = hϕ|
(bra-Vektor)
Fϕ (|ψi) = hϕ|ψi
(III.32)
III.6 Uneigentliche (Dirac-) Vektoren
Die Komponenten eines Vektors |ϕi bezüglich eines Systems von Basisvektoren {αj } lauten ϕj =
hαj |ϕi. Wir wollen nun von diskreten j zu kontinuierlichen j übergehen (siehe Abb. III.6). Ein
Beispiel für den kontinuierlichen Fall ist die Ortswellenfunktion:
?
ψ(x) = hαx |ψi, x ∈ R
(III.33)
Obwohl physikalisch geboten, führt uns das jedoch jenseits der Axiome eines Hilbert-Raums, da die
Basis nun überabzählbar unendlich ist. Demnach ist |αx i kein Vektor im Hilbertraum.
Ausweg: Wir führen uneigentliche (Dirac-) Vektoren als Grenzwertbildung ein. Eine Diskretisierung der Koordinate x in Schritten ∆x führt auf eine assoziierte orthonormale Basis (siehe auch
Abb. III.7):
|αx,∆x i ∈ H
(III.34)
Der Übergang zu kontinuierlichen x ∈ R erfolgt mittels
ψ(x) = lim
∆x→0
60
hαx,∆x |ψi
√
∆
(III.35)
III.6 Uneigentliche (Dirac-) Vektoren
Definition III.6.1 (Formaler Dirac-Vektor).
|αx,∆x i
√
∆x→0
∆
|αxD i := lim
(III.36)
ψ(x) = hαxD |ψi
⇔
Entwicklungssatz:
|ψi = lim
∆x→0
X
|αx,∆x ihαx,∆x |ψi
x
|αxD ihαxD |ψi∆x
= lim
∆x→0
Z
= dx |αxD ihαxD |ψi
(III.37)
Multiplikation mit hαxD0 | liefert Normierung:
hαxD0 |ψi =
⇒
Z
dx hαxD0 |αxD ihαxD |ψi
hαxD0 |αxD i = δ(x0 − x)
Uneigentliche (Dirac-) Vektoren sind auf Deltafunktionen normiert!
Umkehrung von (III.36):
x+∆x
Z
1
|αx,∆x i = √
dx |αxD i
∆x
(III.38)
(III.39)
x
Im folgenden werden wir im so definierten erweiterten“ Hilbert-Raum arbeiten, also in der Menge
”
der eigentlichen und uneigentlichen Dirac-Vektoren.
Einheitliche Notation: Der Entwicklungssatz im erweiterten Hilbert-Raum lässt sich kompakt
schreiben als:
|ψi =
Z
X
|αj ihαj |ψi
(III.40)
j
P
: eigentliche Zustände
Z
R j
X 
mit
=
dj
: uneigentliche (Dirac-) Zustände

R
P
dj . . . : eigentliche und uneigentliche Zustände
j
j ... +
Weiterhin definieren wir (und lassen künftig das D“ weg):
”
®
δij
für eigentliche Zustände
hαi |αj i = δ(i, j) =
δ(i − j) für uneigentliche Zustände
(III.41)
und finden
1=
Z
X
|αj ihαj |
(III.42)
j
61
III Grundlagen der Quantenmechanik (Dirac Formalismus)
III.7 Lineare Operatoren in H
Definition III.7.1 (Linearer Operator Â). Â ist eine lineare Abbildung, die |αi ∈ DA ⊆ H einen
Vektor |βi ∈ WA ⊆ H zuordnet. DA heißt Definitionsbereich, WA heißt Wertebereich von Â.
Â|αi = |βi
Eigenschaften
(III.43)
(Vergleiche Definition I.7.2 in Abschnitt I.7)
(Â1 + Â2 )|αi = Â1 |αi + Â2 |αi
(III.44)
(Â1 Â2 )|αi = Â1 (Â2 |αi)
(III.45)
Nulloperator 0̂:
0̂|αi = |∅i
∀|αi ∈ H
(III.46)
Einheitsoperator 1:
1|αi = |αi
∀|αi ∈ H
(III.47)
Definition III.7.2 (Adjungierter Operator † ).
† |γi = |γ̄i mit hγ|A|αi = hγ̄|αi
∀|αi ∈ DA
(III.48)
Folgerungen
• Sei |αi ∈ DA und |γi ∈ DA† , dann gilt:
hγ|A|αi = hα|A† |γi∗
(III.49)
hγ|A|αi = hA† γ|αi = hγ̄|αi = hα|γ̄i∗
Beweis:
= hα|A† |γi∗
(III.50)
|ᾱi = Â|αi = |Âαi ⇔ hᾱ| = hᾱ| = hα|† = hÂα|
(III.51)
(cÂ|αi)† = c∗ hα|†
(III.52)
• † wirkt in H∗ wie  in H:
In diesem Sinne gilt:
• Bei passenden Definitionsbereichen gilt († )† = Â.
(ÂB̂)† = B̂ † †
•
(III.53)
Definition III.7.3 (Hermitescher Operator). Ein linearer Operator heißt hermitesch wenn gilt:
i)
ii)
kurz:
DA = DA† ⊆ H
†
Â|αi = Â |αi
(III.54)
∀|αi ∈ DA
(III.55)
†
 = Â
Definition III.7.4 (Beschränkter Operator). Ein linearer Operator  heißt beschränkt, falls ein
c > 0 existiert so dass
kÂ|αik ≤ ck|αik
∀|αi ∈ DA
(III.56)
gilt.
62
III.8 Das Eigenwertproblem für hermitesche Operatoren
III.8 Das Eigenwertproblem für hermitesche Operatoren
Das Eigenwertproblem wird formuliert als Eigenwertgleichung:
Â|ai = a|ai
(III.57)
Eigenvektor = |Eigenwerti
Häufige Notation:
Eigenschaften: Sei  = † (hermitesch) (vergleiche Abschnitt I.13), dann gilt:
• Die Erwartungswerte des Operators  bezüglich beliebiger Zustände sind reell.
∗
Beweis:
hα|Â|αi = hα|† |αi = hα|Â|αi
(III.58)
• Die Eigenwerte a sind reell.
Beweis:
ha|Â|ai
ha|ai
a=
(III.59)
• Die Eigenzustände sind zueinander orthogonal:
Â|ai i = ai |ai i
⇒
hai |aj i = δij
(III.60)
Verallgemeinerung zu eigentlichen und uneigentlichen Eigenzuständen
hai |aj i = δ(i, j)
(III.61)
Die Eigenzustände eines hermiteschen Operators bilden eine Basis von H: Sei |ψi ∈ H beliebig, dann
gilt:
Z
X
|ψi =
|aj ihaj |ψi
(III.62)
j
Weiterhin ist
 |ψi
=
Z
X
(III.57)
aj |aj ihaj |ψi
∀|ψi ∈ H
(III.63)
j
deshalb ⇒
 =
Z
X
aj |aj ihaj |
(III.64)
j
Spektraldarstellung von “
”
Der Spezialfall  = 1 liefert die Vollständigkeitsrelation
1=
Z
X
|aj ihaj |
(III.65)
j
Diese liefert einen häufigen Trick zur Umformung von Ausdrücken ( Einschieben einer Eins“).
”
63
III Grundlagen der Quantenmechanik (Dirac Formalismus)
Beispiel:
hψ|Â|ψi = hψ|1Â1|ψi
Z X
Z
X
=
hψ|aj i haj |Â|ak ihak |ψi
| {z }
j
=
k
Z
X
aj δ(j,k)
aj |haj |ψi|2
(III.66)
j
Satz: Die hermiteschen Operatoren  und B̂ sind genau dann vertauschbar, [A, B] = 0, wenn sie
dieselben Eigenvektoren besitzen.
Beweis:
⇐“) Sei {ϕi } ein gemeinsamer Satz von Eigenvektoren von  und B̂.
”
Â|ϕi i = ai |ϕi i
B̂|ϕi i = bi |ϕi i
Spektraldarstellungen:
Z
X
 =
ai |ϕi ihϕi |
B̂ =
i
⇒
 · B̂ =
Z
X
Z
X
ai |ϕi ihϕi |
bj |ϕj ihϕj |
B̂ · Â =
j
Z X
Z
X
i
=
j
Z
X
Zi
X
ai bj |ϕi i hϕi |ϕj ihϕj |
| {z }
δ(i,j)
ai bi |ϕi ihϕi |
bi ai |ϕi ihϕi | =
i
⇒
bi |ϕi ihϕi |
i
i
=
Z
X
Z
X
ai bi |ϕi ihϕi |
i
[Â, B̂] = 0
(III.67)
⇒“) Es gelte [Â, B̂] = 0 und Â|ϕi i = ai |ϕi i, dann folgt
”
ÂB̂|ϕi i = B̂ Â|ϕi i = B̂ai |ϕi i
= ai B̂|ϕi i
(III.68)
Das heißt B̂|ϕi i ist Eigenvektor zu  mit Eigenwert ai . Lassen wir eine mögliche Entartung
außer acht, dann folgt:
B̂|ϕi i ∼ |ϕi i
⇒
B̂|ϕi i = bi |ϕi i
(III.69)
III.9 Spezielle Operatoren
Definition III.9.1 (Dyadisches Produkt). Das dyadische Produkt zweier Vektoren ist definiert als
Dαβ := |αihβ|
64
(III.70)
III.9 Spezielle Operatoren
Für das dyadische Produkt gilt
Dαβ |ψik|αi
∀|ψi ∈ H
†
|αihβ| = |βihα|
(III.71)
(III.72)
Definition III.9.2 (Projektionsoperator). Ist |αi ein normierter Vektor (hα|αi = 1), dann ist der
zugehörige Projektionsoperator definiert als
P̂ (|αi) := |αihα|
(III.73)
Für Projektionsoperatoren gilt
Idempotenz
P̂ 2 (|αi) = |αihα|αihα| = |αihα| = P̂ (|αi)
(III.74)
Hermitizität
P̂ † (|αi) = P̂ (|αi)
(III.75)
Definitionsbereich
DP̂ (|αi) = H
(III.76)
Wertebereich
WP̂ (|αi) = {Span(|αi)}
(III.77)
P̂ (|αi) ist Operatordarstellung des Trenners aus Abschnitt III.2. Sei {|αi} eine Orthonormalbasis
(ONB) von H. Dann gilt
P̂ (|αi i)P̂ (|αj i) = δ(i, j)P̂ (|αi i)
(III.78)
Häufig schreibt man auch
P̂|αi = P̂ (|αi)
und
1=
Z
X
(III.79)
P̂ (|αi i)
(III.80)
i
Verallgemeinerung: Projektionsoperator auf Unterraum U ⊂ H: {|µν i} sei Orthonormalbasis
von U , dann ist
Z
X
P̂U :=
|µν ihµν |
(III.81)
ν
Projektionsoperator auf U . Es gilt weiterhin
DP̂U = H
(III.82)
WP̂U = U
(III.83)
Definition III.9.3 (Inverser Operator). Der zu  inverse Operator Â−1 ist definiert durch
Â−1 Â = ÂÂ−1 = 1
(III.84)
Für den inversen Operator gilt
(Â−1 )† = († )−1
da
†
1 = 1 = (Â
(III.85)
−1
†
†
Â) = Â (Â
−1 †
)
(III.86)
Definition III.9.4. Als unitäre Operatoren bezeichnet man solche, für die gilt
Û † = Û −1
beziehungsweise
Û † Û = Û Û † = 1
(III.87)
(III.88)
65
III Grundlagen der Quantenmechanik (Dirac Formalismus)
Unitäre Operatoren werden häufig dargestellt als Û = eiV̂ mit V̂ hermitesch.
Definition III.9.5 (Unitäre Transformationen). Mittels unitärer Operatoren definieren wir unitäre
Transformationen für
|ψi → |ψ̄i = U |ψi
 =→ Āˆ = U ÂU †
i) Zustände:
ii) Operatoren:
(III.89)
(III.90)
Unitäre Transformationen ändern Skalarprodukte, Erwartungswerte und Eigenwerte nicht:
hψ̄|ϕ̄i = hψ|U † U |ϕi
hψ̄|Āˆ|ψ̄i = hψ|U † U AU † U |ψi = hψ|Â|ψi
a) Skalarprodukte:
b) Erwartungswerte:
(III.91)
(III.92)
c) Eigenwerte: Folgt aus a) und b):
ai =
hāi |Āˆ|āi i
hai |Â|ai i
=
= āi
hai |ai i
hāi |āi i
(III.93)
Sämtliche messbaren Resultate der Quantenmechanik können über Skalarprodukte, Erwartungswerte
und Eigenwerte ausgedrückt werden, deshalb ändert sich die Physik durch unitäre Transformationen
in H nicht!
Wir wollen nun noch eine infinitesimale unitäre Transformation betrachten:
⇒
Û = eiV̂ = 1 + iV̂ + O(2 )
(III.94)
Û = 1 + iV̂
(III.95)
Unter Vernachlässigung quadratischer Terme in .
III.10 Funktionen und Ableitungen von Operatoren
i) Funktionen linearer Operatoren sind über Potenzreihen erklärt:
X
cn (Â)n
f (Â) =
(III.96)
n
ii) Man definiert auch verschiedene Arten von Ableitung einer Operatorfunktion:
a) Ableitung nach einem Parameter: Gegeben sei eine Operatorfunktion, die zusätzlich noch
von einem reellen oder komplexen Parameter abhänge: f (Â, η) Dann ist
df
f (Â, η + ) − f (Â, η)
:= lim
→0
dη
(III.97)
f (Â + 1) − f (Â)
(III.98)
b) Nach einem Operator:
df (Â)
dÂ
:= lim
→0
Es gelten die üblichen Rechenregeln unter Beobachtung der Reihenfolge der Operatoren:
df (Â)
dg(Â)
f (Â)g(Â) =
g(Â) + f (Â)
dÂ
dÂ
dÂ
d
df (Â) dg(Â)
f (Â) + g(Â) =
+
dÂ
dÂ
dÂ
d
66
(III.99)
(III.100)
III.11 Matrixelemente von Operatoren
III.11 Matrixelemente von Operatoren
Gegeben sei eine abzählbare Orthonormalbasis {|αi i, i = 1, 2, . . . }, dann identifizieren wir
• ein Ket als Spaltenvektor in der Basis {αi }:
|ψi =
∞
X
i=1
|αi i hαi |ψi
| {z }
á ë
ψ1
ψ2
Spaltenvektor
ψ3
..
.
↔
ψi
(III.101)
wobei sich die Komponenten des Vektors aus der Projektion auf die Basisvektoren ergeben.
ψi = hαi |ψi
(III.102)
Im überabzählbaren Fall {|αx i, x ∈ R} werden diese Projektionen zu Funktionen von einer
Variablen:
ψ(x) = hαx |ψi
(III.103)
• einen Operator als Matrix in der Basis {αi }:
 = 1 ·  · 1 =
X
i,j
|αi i hαi |Â|αj ihαj | =
| {z }
Aij
X
Aij |αi ihαj |
(III.104)
i,j
wobei wir die Matrixelemente identifizieren als
Aij = hαi |Â|αj i

A11
A21

 ..
Aij = 
 .
 Ai1

..
.
A12
A22
..
.
...
...
..
.
A1j
(III.105)
...







Aij
..

(III.106)
.
Im überabzählbaren Fall {|αx i, x ∈ R} werden die Matrixelemente zu Funktionen von zwei
Variablen:
A(x, x0 ) = hαx |Â|αx0 i
(III.107)
• ein Bra als Zeilenvektor mit konjugiert komplexen Einträgen:
X
X
hψ| =
hψ|αi ihαi | =
hαi |ψi∗ hαi | ↔ (ψ1∗ ψ2∗ ψ3∗ . . . )
i
(III.108)
i
Im Matrixelement des Produkts zweier Operatoren lässt sich die bekannte Matrixmultiplikation
wiederfinden:
X
(ÂB̂)ij = hαi |ÂB̂|αj i =
hαi |Â|αk ihαk |B̂|αj i
k
=
X
Aik Bkj
(III.109)
k
67
III Grundlagen der Quantenmechanik (Dirac Formalismus)
Weitere Eigenschaften
i)
(† )ij = A∗ji
(III.110)
†
∗
Da hαi |Â |αj i = hÂαi |αj i = hαj |Â|αi i =
A∗ji
(III.111)
ii) Für unitäre Operatoren U † = U −1 gilt
∗
(U −1 )ij = Uji
(III.112)
Definition III.11.1 (Spur eines Operators).
Sp(Â) = Tr(Â) =
X
hαi |Â|αi i
(III.113)
i
Die Spur eines Operators ist unabhängig von der gewählten Darstellung, das heißt unabhängig von
der verwendeten Orthonormalbasis.
68
IV Die statistischen Aussagen der
Quantenmechanik
IV.1 Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert, Streuung, Unschärfe
Wir wollen zunächst einige statistische Begriffe definieren. Bei N -maliger Messung einer Größe Â
mit diskreten Messwerten ak unter gleichen Anfangsbedingungen trete der Messwert ak Nk -mal auf.
Definition IV.1.1 (Wahrscheinlichkeit). Die Wahrscheinlichkeit des Messwertes ak ist definiert als
wak := lim
N →∞
Nk
N
(IV.1)
P
Es gilt k wak = 1. Ist wak0 = 1 und wak = 0 ∀k 6= k0 , so tritt ak0 mit Sicherheit ein. Offensichtlich
ist 0 ≤ wak ≤ 1.
Definition IV.1.2 (Erwartungs- oder Mittelwert).
X
1 X
Nk ak =
wak ak
N →∞ N
hÂi = lim
k
(IV.2)
k
Der Erwartungswert muss mit keinem Messwert übereinstimmen.
Definition IV.1.3 (Streuung). Quadratische Abweichung vom Mittelwert.
2 X
2
1 X
Nk ak − hÂi =
wak ak − hÂi = hÂ2 i − hÂi2
N →∞ N
(∆A)2 = lim
k
(IV.3)
k
Die Streuung ist als Summe positiver Größen stets positiv. Deshalb gilt:
(∆A)2 = 0
⇔
Messwert ak0 liegt mit Sicherheit vor; wak0 = 1, wak = 0 ∀k 6= k0
(IV.4)
Definition IV.1.4 (Unschärfe).
∆A =
X
wak ak − hÂi
2
=
»
hÂ2 i − hÂi2
(IV.5)
k
Sind die möglichen Messwerte kontinuierlich verteilt, a ∈ R, so tritt an Stelle der Wahrscheinlichkeit
wak die Wahrscheinlichkeitsdichte w(a).
Definition IV.1.5 (Wahrscheinlichkeit für Messwert im Intervall [a1 , a2 ]).
Za2
w(a1 , a2 ) =
da w(a)
(IV.6)
a1
69
IV Die statistischen Aussagen der Quantenmechanik
Umfasst das Intervall alle möglichen Werte, so gilt:
Z∞
1=
da w(a)
(IV.7)
da w(a) · a
(IV.8)
−∞
Definition IV.1.6 (Erwartungswert).
Z∞
hÂi =
−∞
Für diskrete und/oder kontinuierliche Messwerte gilt in zusammenfassender Schreibweise nach der
Notation in Abschnitt III.6:
w(a1 , a2 ) =
a
Z2
X
w(a)
(IV.9)
w(a)
(IV.10)
w(a) · a
(IV.11)
a1
∞
Z
1=
X
−∞
∞
Z
hÂi =
X
−∞
IV.2 Postulate der Quantenmechanik
1)
Messapparatur einer physikalischen Größe
(Observable)
⇔
linearer hermitescher
Operator Â
2)
Reiner Zustand des Quantensystems
⇔
Hilbert-Vektor |ψi
3)
Messung bzw. Wechselwirkung zwischen
System und Apparatur mit Messergebnis ak
⇔
Spektralzerlegung
Z
X
|ψi =
|ak ihak |ψi
k
−−−→ |ak ihak |ψi
Messung
ak
= P|ak i |ψi
Reduktion des
Zustandsvektors
4)
Mögliche Messergebnisse von A
⇔
Eigenwerte ak des Operators
Â
5)
Wahrscheinlichkeit für die Messung von A
⇔
w(ak |ψ) = |hak |ψi|2
Die Quantentheorie liefert lediglich statistische Aussagen die wesentlich schwächer sind als der Determinismus der klassischen Physik. Die Quantentheorie ist dennoch in der Lage die zwei Fragen
i) Welche Messergebnisse sind überhaupt möglich?
70
IV.3 Der Messprozess
Messapparatur
Â
System
Beobachter
Abbildung IV.1: Die drei Akteure des Quantenmechanischen Messprozesses
|ψi
|ai i ∼
Â
Pai |ψi
Â
|ai i ∼
Pa2i |ψi
: ai
: ai
mit wai = 1
mit wai = |hai |ψi|2
Abbildung IV.2: Wiederholte Messung der gleichen Observablen
ii) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stellen sich diese Messergebnisse ein?
zu beantworten.
IV.3 Der Messprozess
Bei einer Messung an einem quantenmechanischen System spielen drei Akteure eine Rolle: Das System, die Messapparatur und der Beobachter (siehe auch Abb. IV.1). Wir wollen nun die zweimalige
Messung der gleichen Observablen wie in Abb. IV.2 betrachten. Eine wiederholte Messung der gleichen Observablen ändert das Messergebnis nicht!
Bemerkungen:
wai = hψ|Pai |ψi
i)
= hψ|ai ihai |ψi
= |hai |ψi|2
(IV.12)
ii) Der Zustandsvektor ist normiert:
X
X
1=
w(ai ) =
hψ|ai ihai |ψi
i
= hψ|
i
X
i
|
|ai ihai | ψi = hψ|ψi
{z
}
(IV.13)
=1
71
IV Die statistischen Aussagen der Quantenmechanik
iii) Der Erwartungswert von  im Systemzustand |ψi lautet:
Z
Z
X
X
hÂi =
ak wak =
ak |hak |ψi|2
k
Zk
Z
X
X
=
hψ|Â|ak ihak |ψi = hψ|Â
|ak ihak |ψi
k
k
= hψ|Â|ψi
(IV.14)
Alternative Beziehung:
hÂi = hψ|Â|ψi = Sp(P|ψi Â)
(IV.15)
iv) Die Streuung von A im Zustand ist
2 (∆a)2 = ψ| Â − hÂi ψ
= hψ|Â2 |ψi − hψ|Â|ψi2
= hÂ2 i − hÂi2
(IV.16)
v) Im Falle der Entartung von ai mit
M (ai ) = {Span |ai,s i, s = 1, . . . , dim M (ai )} ⊂ H Unterraum zum Eigenwert ai gilt:
mit
wai = hψ|PM (ai ) |ψi
Z
X
PM (ai ) =
|ai,s ihai,s |
wobei
A|ai,s i = ai |ai,s i mit s = 1, . . . , dim M (ai )
(IV.17)
(IV.18)
s
Nach Messung von ai wird der Zustandsvektor nur in den Unterraum M (ai ) projiziert:
Z
X
|ψi −−−→ PM (ai ) |ψi =
|ai,s ihai,s |ψi
(IV.19)
Messung
ai
s
IV.4 Verträgliche und nicht-verträgliche Observablen
Wir wollen einen Aufbau gemäß Abb. IV.3 betrachten.
Was passiert bei zweiter Messung von Â?
1) Â und B̂ verträglich ⇔ [Â, B̂] = 0 Dann ist |ψ2 i Eigenzustand zu B̂ und Â: |ψ2 i = |ai , bj i. Die
zweite Messung von  liefert mit Sicherheit ai . Die Reihenfolge der Messungen von  und B̂
ist irrelevant.
2) Â und B̂ nicht verträglich ⇔ [Â, B̂] 6= 0 Der Messwert ai stellt sich bei der zweiten Messung
von  nur mit Wahrscheinlichkeit wai = |hai |bj i|2 ein. Der Präparationseffekt durch die Messung von  wird durch die Messung von B̂ aufgehoben.
Um einen Zustand vollständig festzulegen, bedarf es der Messung eines vollständigen Satzes an
kommutierenden Operatoren.
72
IV.5 Verallgemeinerte Heisenberg’sche Unschärferelation
|ψi
Â
|ψ1 i = |ai i
B̂
|ψ2 i = |bj i
Â
: bj
: ai
mit wbj = |hbj |ψ1 i|2
mit wai = |hai |ψi|2
Abbildung IV.3: Nacheinander werden die Observablen  und B̂ gemessen.
Definition IV.4.1 (Vollständiger Satz von kommutierenden Observablen). Die Observablen {Â, B̂, Ĉ, . . . , Ô}
|
{z
}
F Stück
bilden einen vollständigen Satz kommutierender Observablen, wenn es genau ein gemeinsames System von Eigenzuständen gibt. F ist die Zahl der Freiheitsgrade des Systems.
Definition IV.4.2 (Reiner Zustand). Ein reiner Zustand wird durch Messung eines vollständigen
Satzes von kommutierenden Observablen präpariert:
|ψi = |a, b, c, . . . , oi
Vollständigkeitsrelation
(IV.20)
Für einen vollständigen Satz verträglicher Observablen gilt die Vollständigkeitsrelation
Z
X
1=
|ai , bj , ck , . . . , op ihai , bj , ck , . . . , op |
(IV.21)
i,j,k,l,...,p
IV.5 Verallgemeinerte Heisenberg’sche Unschärferelation
Wir hatten gesehen, dass die Unschärfe ∆A2ψ = hψ|Â2 |ψi−hψ|Â|ψi2 genau dann verschwindet, wenn
|ψi Eigenvektor zu  ist. Das heißt aber falls [Â, B̂] 6= 0, wird im Allgemeinen ∆A2ψ · ∆Bψ2 ungleich
Null sein, da |ψi niemals simultan Eigenvektor zu  und B̂ sein kann. Das heißt, die gleichzeitige
scharfe Messung von  und B̂ ist unmöglich. Wir wollen nun eine untere Schranke für ∆A2ψ · ∆Bψ2
finden:
• Betrachte die hermiteschen Operatoren:
α̂ = Â − hψ|Â|ψi · 1
β̂ = B̂ − hψ|B̂|ψi · 1
(IV.22)
• Streuungen von A und B:
2 ∆A2ψ = ψ| Â − hψ|Â|ψh·1 ψ
= hψ|α̂2 |ψi
∆Bψ2
= kα̂|ψik2
(IV.23)
2
(IV.24)
= kβ̂|ψik
Dies sind Längen 2 der Vektoren α̂|ψi und β̂|ψi.
• Die Schwarz’sche Ungleichung liefert:
∆A2ψ ∆Bψ2 = kα̂|ψik2 kβ̂|ψik2
≥ |hα̂ψ|β̂ψi|2 = hψ|α̂β̂|ψihψ|β̂ α̂|ψi
(IV.25)
73
IV Die statistischen Aussagen der Quantenmechanik
• Nun ist
1
{α̂, β̂} +
2
1
β̂ α̂ = {α̂, β̂} −
2
{Â, B̂} = ÂB̂ + B̂ Â
α̂β̂ =
mit
⇒
1
[α̂β̂]
2
1
[α̂β̂]
2
Anti-Kommutator“
”
hψ|α̂β̂|ψihψ|β̂ α̂|ψi =
(IV.26)
(IV.27)
(IV.28)
1
1
hψ|{α̂, β̂}|ψi2 + hψ|i[α̂, β̂]|ψi2 (IV.29)
4
4
Da der Anti-Kommutator ein hermitescher Operator ist, gilt hψ̂|{α̂, β̂}|ψi ∈ R und liefert die
Abschätzung
∆Aψ · ∆Bψ ≥
1
|hψ|[Â, B̂]|ψi|
2
(IV.30)
wobei [α̂, β̂] = [Â, B̂] benutzt wurde. (IV.30) ist die verallgemeinerte Heisenberg’sche Unschärferelation.
Für  = q̂ und B̂ = p̂ folgt aus [q̂, p̂] = i~
∆p · ∆q ≥
~
2
(IV.31)
IV.6 Orts- und Impulsdarstellung
Wir wollen nun den abstrakten Dirac-Formalismus in Verbindung mit der Schrödinger’schen Wellenmechanik aus den Kapiteln I und II bringen.
Ortsdarstellung eindimensionaler Probleme
Wegen
Jede Observable ist darstellbar als F(x̂, p̂) = F † (x̂, p̂).
[F̂, x̂] =
~ ∂ F̂
i ∂ p̂
(IV.32)
sind alle mit x̂ vertauschenden Operatoren auf diesem Hilbert-Raum allgemeine Funktionen von x̂:
F̂(x̂). Das heißt, der vollständige Satz von Observablen ist durch {x̂} alleine gegeben. Die zugehörige
Eigenwertgleichung lautet
x̂|xi = x|xi
(IV.33)
Bemerkung:
Zuvor hatten wir |αxD i = |xi geschrieben, |xi ist uneigentlicher Dirac-Vektor.
Wie lautet das Spektrum von x̂? Dazu betrachten wir den Operator
i
T̂ (ξ) := e− ~ ξp̂
ξ∈R
(IV.34)
Aus (IV.32) folgt:
[T̂ (ξ), x̂] = −ξ T̂ (ξ)
74
(IV.35)
IV.6 Orts- und Impulsdarstellung
Nun wenden wir [T̂ , x̂] auf |xi an:
T̂ (ξ) x̂|xi −x̂T̂ (ξ)|xi = −ξ T̂ (ξ)|xi
|{z}
(IV.36)
x̂ T̂ (ξ)|xi = (x + ξ) T̂ (ξ)|xi
(IV.37)
=x|xi
⇒
Das heißt, T̂ (ξ)|xi ist ebenfalls Eigenvektor zu x̂ mit Eigenwert (x + ξ)!
T̂ (ξ)|xi = c · |x + ξi c ∈ C
(IV.38)
T̂ (ξ) ist für ξ ∈ R unitär:
i
T̂ † (ξ) = e ~ ξp̂ = T̂ −1 (ξ)
(IV.39)
Deswegen ist |c| = 1.
Beweis:
δ(x, x0 ) = hx|x0 i = hx|T̂ † (ξ)T̂ (ξ)|x0 i
= hT̂ † x|T̂ xi = c∗ chx + ξ|x + ξi
= |c|2 δ(x, x0 )
iα(x,ξ)
⇒
c=e
(IV.40)
Wir setzen α = 0. Das heißt:
T̂ (ξ)|xi = |x + ξi
(IV.41)
Da ξ ∈ R beliebig, sind somit die Eigenwerte x kontinuierlich verteilt: x ∈ R
hx|x0 i = δ(x − x0 )
−1
|xi = (Länge) /2
(IV.42)
(IV.43)
Wegen (IV.41) wird T̂ (ξ) Translationsoperator“ genannt.
”
Zustandsvektor des quantentheoretischen Systems in der Ortsbasis
Z∞
|ψi =
dx |xihx|ψi
(IV.44)
−∞
Für die Wellenfunktion schreiben wir ψ(x) = hx|ψi.
Normierung
Z∞
1 = hψ|ψi = hψ|
Z∞
dx |xihx| |ψi =
−∞
Z∞
=
dx ψ ∗ (x)ψ(x)
dx hψ|xihx|ψi
−∞
(IV.45)
−∞
Quadratintegrabilität!
75
IV Die statistischen Aussagen der Quantenmechanik
Wahrscheinlichkeit einer Ortsmessung im Intervall [x, x + dx]
2
w(x, x + dx) = hx|ψi dx = ψ ∗ (x)ψ(x)dx
(IV.46)
Wirkung des Impulsoperators auf |xi Wir gehen aus von der infinitesimalen Translation
T̂ (δξ) = 1 −
i
δξ · p̂
~
(IV.47)
(IV.41) ergibt dann:
|xi −
⇒
i
δξ p̂|xi = |x + δξi
~
~ |x + δξi − |xi
p̂|xi = −
i
δξ
(IV.48)
Für δξ → 0 folgt:
p̂|xi = −
~ d
|xi
i dx
(IV.49)
Wirkung des Impulsoperators auf ψ(x) = hx|ψi:
hx|p̂|ψi = hp̂x|ψi = +
⇒
p̂ ◦ ψ(x) = +
~ d
hx|ψi
i dx
~ d
ψ(x)
i dx
(IV.50)
Wirkung des Hamiltonoperators in der Ortsdarstellung
1 2
p̂ + V (x)
2m
Å
ã
~2 d 2
Ĥ|xi = −
+
V
(x)
|xi
2m dx2
Ĥ =
(IV.51)
Wegen Ĥ = Ĥ † gilt dann
Å
ã
~2 d 2
hx|Ĥ|ψi = Ĥ ◦ ψ(x) = −
+
V
(x)
ψ(x)
2m dx2
Schrödinger-Gleichung:
Basisunabhängige Formulierung:
−
~ ∂
ψ(x, t) = Ĥ ◦ ψ(x)
i ∂t
~ ∂
−
|ψi = Ĥ|ψi
i ∂t
(IV.52)
(IV.53)
(IV.54)
IV.7 Eigenwertprobleme in der Ortsdarstellung
IV.7.1 Impuls
p̂|pi = p|pi
⇒
hx|p̂|pi = phx|pi
(IV.55)
(IV.56)
76
IV.7 Eigenwertprobleme in der Ortsdarstellung
mit ψp (x) := hx|pi ist
⇒
~ d
ψp (x) = p ψp (x)
i dx
i
ψp (x) = hx|pi = c · e ~ p·x
(IV.57)
Aus der Normierungsbedingung erhalten wir c:
0
Z∞
dx ψp∗ (x)ψp (x)
hp |pi =
−∞
2
Z∞
= |c|
i
0
dx e ~ (p−p )·x
−∞
⇒
= |c|2 (2π~) · δ(p − p0 )
1
· eiα
c= √
2π~
(IV.58)
Wir setzen wieder α = 0 und erhalten die normierten Impulseigenfunktionen
hx|pi = ψp (x) =
1 i p·x
e~
2π~
hp|xi = ψp∗ (x) =
1 − i p·x
e ~
2π~
(IV.59)
IV.7.2 Energie
Ĥ|Ei = E|Ei
(IV.60)
ã
Å
~2 d2
+
V
(x)
ψE (x) = EψE (x)
−
2m dx2
(IV.61)
Mit ψE (x) := hx|Ei folgt
Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
77
V Der Drehimpuls
V.1 Vertauschungsrelationen
Der Operator des Bahndrehimpulses lautet (in der Ortsdarstellung):
ˆ × p~ˆ = ~ ~x × ∇
~ˆ = ~x
~
L
i
beziehungsweise
L̂i = ijk x̂j p̂k =
~
ijk xj ∂k
i
(V.1)
wobei ijk der vollständig antisymmetrische Tensor dritter Stufe mit 123 = 1 ist.
Vertauschungsrelationen
[L̂i , L̂j ]
= i~ ijk L̂k
[L̂i , x̂j ]
= i~ ijk x̂k
[L̂i , p̂j ]
= i~ ijk p̂k
(V.2)
Diese Vertauschungsrelationen folgen sofort aus [x̂i , p̂j ] = i~ δij .
V.2 Drehungen
i
~
~ ist der ErzeugungsDer unitäre Operator Uϕ~ = e ~ ϕ~ ·L , ϕ
~ ∈ R3 ist der Drehoperator. Man sagt, L
operator der Drehung.
Beweis:
~† = L
~ folgt die Unitarität von Uϕ~ :
a) Aus L
i
Uϕ~† = e− ~ ϕ~
⇒
∗
~†
·L
i
~
= e− ~ ϕ~ ·L = (Uϕ~ )−1
Uϕ~† Uϕ~ = Uϕ~ Uϕ~† = 1
(V.3)
b) Mit infinitesimalem Drehwinkel gilt in der Ortsdarstellung (siehe auch Abb. V.1):
~
Uδϕ~ ψ(~x) = eδϕ~ ·(~x×∇) ψ(~x)
~
= e(δϕ~ ×~x)·∇ ψ(~x)
~ ψ(~x) + O(δ ϕ
= 1 + (δ ϕ
~ × ~x) · ∇
~ 2)
= ψ(~x + δ ϕ
~ × ~x) + O(δ ϕ
~ 2)
⇒
Uδϕ~ ψ(~x) = ψ(~x0 )
;
~x0 = ~x + δ ϕ
~ × ~x
(V.4)
79
V Der Drehimpuls
δϕ
~
|δ ϕ
~|
δϕ
~ × ~x
~x
Abbildung V.1: ~x → ~x0 = ~x + δ ϕ
~ × ~x ist infinitesimale Drehung.
Drehung des Vektors ~x um infinitesimalen Winkel |δ ϕ
~ |.
Frage: Wie sehen die Operatoren im gedrehten System aus? Sei  ein Operator im System Σ.
Wie lautet dann Â0 im gedrehten System Σ0 ?
Âψ(~x) = ϕ(~x)
Multiplikation mit Uδϕ~
0
Einschieben von 1 = Uδ†ϕ~ Uδϕ~
⇒
Uδϕ~ Âψ(~x) = ϕ(~x )
⇒
(Uδϕ~ ÂUδ†ϕ~ )Uδϕ~ ψ(~x) = ϕ(~x0 )
(Uδ†ϕ~ ÂUδϕ~ )ψ(~x0 ) = ϕ(~x0 )
| {z }
=:Â0
Â0 ψ(~x0 ) = ϕ(~x0 )
(V.5)
Das heißt, die Operatoren in Σ0 lauten:
 → Â0 = Uδϕ~ ÂUδ†ϕ~
(V.6)
Aus der Entwicklung von (V.6) bis linearer Ordnung in δ ϕ
~ folgt
i
~ˆ Â 1 − i δ ϕ
~ˆ
Â0 = 1 + δ ϕ
~ ·L
~ ·L
~
~
i
ˆ
~ Â]
⇒
= Â + δ ϕ
~ · [L,
~
Â0 = Â +
Beziehungsweise
i
δϕl [L̂l , Â]
~
(V.7)
Bemerkungen:
i) Ein skalarer Operator sollte drehinvariant sein, also in allen Systemen identisch. Dann ist
A0 = A und [Ll , A] = 0, zum Beispiel
A = p~ 2
(V.8)
2
[Ll , p~ ] = [Ll , pm pm ] = pm [Ll , pm ] + [Ll , pm ]pm
Nun ist [Ll , pm ] = i~lmn pn .
⇒
[Ll , p~ 2 ] = pm (i~lmn pn ) + i~lmn pn pm
= i~lmn (pm pn + pn pm )
= 2i~lmn pm pn = 0
[pi ,pj ]=0
80
(V.9)
V.3 Eigenwerte von Drehimpulsoperatoren
Beispiel 2:
~2
A=L
~ 2 ] = i~ lmn (Lm Ln + Ln Lm ) = 0
[Ll , L
|{z} |
{z
}
(V.10)
antisymmetrisch symmetrisch
in (n,m)
in (n,m)
ii) Â sei vektorwertiger Operator ~vˆ, dann transformiert sich ~vˆ bei infinitesimalen Rotationen
gemäß
~vˆ → ~vˆ0 = ~vˆ + δ ϕ
~ × ~vˆ
(V.11)
Komponentenweiser Vergleich mit (V.7) liefert:
!
v̂j + jlk δϕl v̂k = v̂j +
⇒
[Ll , v̂j ] =
i
δϕl [Ll , v̂j ]
~
~
jlk v̂k
i
(V.12)
~ ~x und p~, das wir in (V.2) beobDies ist das Transformationsverhalten der Vektoren L,
achtet haben.
V.3 Eigenwerte von Drehimpulsoperatoren
Die Eigenwerte des Drehimpulses lassen sich aus den algebraischen Relationen
[L̂i , L̂j ] = i~ijk L̂k
i, j, k = x, y, z
(V.13)
ableiten. Das Ergebnis ist deshalb für jeden Drehimpuls (Bahndrehimpuls, Spin, Gesamtdrehimpuls)
gültig.
Da die Komponenten L̂x , L̂y und L̂z nicht miteinander kommutieren existiert kein gemeinsames
Basissystem. Es gilt jedoch
~ 2 , Li ] = 0
[L
i = x, y, z
~ 2 = L2x + L2y + L2z
L
(V.14)
~ˆ 2 und eine Komponente von L
~ˆ gemeinsam diagonalisieren. Wir wählen L
~2
Demnach können wir L
und Lz mit z als Quantisierungsachse“.
”
Definition V.3.1.
L± = Lx ± iLy
(V.15)
81
V Der Drehimpuls
Eigenschaften
(L± )† = L∓
•
(V.16)
•
[Lz , L± ] = i~Ly ± ~Lx = ±~L±
(V.17)
•
[L+ , L− ] = −2i[Lx , Ly ] = 2~Lz
~ 2 , L± ] = 0
[L
(V.18)
•
~ 2 = L− L+ + ~Lz + L2z
L
•
Da
(V.19)
(V.20)
L− L+ = (Lx − iLy )(Lx + iLy )
= L2x + L2y − ~Lz
L+ L− =
L2x
+
L2y
+ ~Lz
(V.21)
(V.22)
~ 2 und Lz . Der zugehörige
Eigenwertproblem ψlm (~x) bezeichne eine gemeinsame Eigenfunktion zu L
Ket-Zustand sei mit |ψlm i bezeichnet. Dann lautet das Eigenwertproblem:
L̂z |ψlm i = ~m |ψlm i
~ˆ 2 |ψlm i = ~2 l(l + 1) |ψlm i mit l ≥ 0
L
(V.23)
wobei m, l ∈ R zunächst beliebig sind. Wir werden später sehen warum diese Parametrisierung des
Eigenwertproblems sinnvoll ist. Für den Moment wurden keine Annahmen bezüglich der Eigenwerte
~ˆ 2 gemacht. L± sind Leiteroperatoren:
von L̂z und L
Lz L± |ψlm i = (L± Lz ± ~L± )|ψlm i
= ~(m + 1)L± |ψlm i
(V.24)
Wir sehen: L± erhöht beziehungsweise erniedrigt den L̂z -Eigenwert eines Zustands um 1:
L± |ψlm i ∼ |ψl,m+1 i
(V.25)
~ 2 ] = 0 bleibt der L
~ 2 -Eigenwert l jedoch unverändert:
Wegen [L± , L
~ˆ 2 |ψlm i = ~l(l + 1)L̂± |ψlm i
~ˆ 2 L̂± |ψlm i = L̂± L
L
(V.26)
Wir wollen nun die Norm von L̂± |ψlm i bestimmen:
kL̂± |ψlm ik2 = hψlm |L†± L± |ψlm i
= hψlm | L̂∓ L̂± |ψlm i
| {z }
~ˆ 2 − L2z ∓ ~Lz
L
= ~2 l(l + 1) − m2 ∓ m hψlm |ψlm i
| {z }
=1
= ~2 l(l + 1) − m2 ∓ m
⇒
L± |ψlm i = ~
»
l(l + 1) − m(m ± 1)|ψl,m±1 i
(V.27)
(V.28)
Da kL± |ψlm ik2 ≥ 0, gilt:
l(l + 1) − m(m ± 1) ≥ 0
82
(V.29)
V.3 Eigenwerte von Drehimpulsoperatoren
Es folgen die Bedingungen an m und l:
m > 0:
l(l + 1) ≥ m(m + 1)
⇒
m < 0:
l(l + 1) ≥ −|m|(−|m| ± 1)
l≥m
(V.30)
(V.31)
hieraus folgt als schärfere Bedingung:
l(l + 1) ≥ |m|(|m| + 1)
(V.32)
|m| ≤ l
Damit:
(V.33)
Welche Werte nehmen l und m an? Sei M maximales m für gegebenes l. Dann muss L+ |ψlM i = 0
sein, denn ansonsten wäre M nicht maximal. Aus der Normierungsbedingung kL+ |ψlm ik2 = 0 folgt
dann
l(l + 1) = M (M + 1) oder
M =l
(V.34)
Analoges Argument gilt auch für minimales Element µ der m-Eigenwerte.
⇒
L− |ψlµ i = 0
⇒
l(l + 1) = |µ|(|µ| + 1)
⇒
|µ| = l
(V.35)
Somit kann man durch den Absteigeoperator L− ausgehend von |ψl,l i sämtliche Werte von m gewinnen:
L̂+ |ψl,l i = 0
L̂− |ψl,l i ∼ |ψl,l−1 i
(L̂− )2 |ψl,l i ∼ L̂− |ψl,l−1 i ∼ |ψl,l−2 i
(L̂− )3 |ψl,l i ∼ |ψl,l−3 i
..
.
(V.36)
Diese Reihe muss bei m = −l abbrechen:
(L− )k |ψl,l i ∼ |ψl,−l i
Das heißt l =
k
2
⇒
k = 2l
(V.37)
mit k ∈ N. l nimmt halbzahlige Werte an.
Drehimpulsspektrum:
~ 2 |ψlm i = ~2 l(l + 1)|ψlm i
L
(V.38)
Lz |ψlm i = ~m|ψlm i
(V.39)
1 3 5 7
, , , ,...
2 2 2 2
und m = −l, −l + 1, −l + 2, . . . , l − 2, l − 1, l
mit l = 0, 1, 2, 3, 4, . . .
oder l =
(V.40)
(V.41)
83
V Der Drehimpuls
Abbildung V.2: Vektor in Kugelkoordinaten; ~x = r~er ; d3 x = r2 sin θdr dϕ dθ
Die Quantenzahlen l und m sind diskret und halbzahlig.
Bemerkungen:
~ 2 -Eigenraum ist (2l + 1)-fach entartet.
i) Der L
ii) Die Drehimpulsvertauschungsrelationen [Li , Lj ] = ~ijk Lk werden mathematisch als
SO(3)-Algebra bezeichnet. Die Drehgruppe, die SO(3)-Gruppe, folgt aus der Algebra
i
~
durch Exponentiation: D(ϕ) = e ~ ϕ~ ·L .
iii) Wir werden sehen, dass der Bahndrehimpuls stets ganzzahlige Werte l einnimmt. Eine
berühmte Situation mit l = 1/2 ist der Spin 1/2 des Elektrons, der Eigendrehimpuls“ des
”
Elektrons.
iv) Quantenteilchen klassifiziert man unter anderem nach ihrem Spin. Ein Teilchen mit ganzzahligem Spin nennt man Boson“. Ein Teilchen mit halbzahligem Spin nennt man Fer”
”
mion“.
V.4 Bahndrehimpuls in Polarkoordinaten, Kugelflächenfunktionen
Wir wollen nun im Ortsraum die expliziten Eigenfunktionen
ψlm (~x) = h~x|l, mi
(V.42)
~ bestimmen. (Von nun an schreiben wir |l, mi := |ψlm i.) Dazu
~ = ~ ~x × ∇
des Bahndrehimpulses L
i
verwenden wir Polarkoordinaten wie in Abb. V.2.
∂
~ = ~er ∂ + ~eθ 1 ∂ + ~eϕ 1
∇
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
84
(V.43)
V.4 Bahndrehimpuls in Polarkoordinaten, Kugelflächenfunktionen
Daraus ergibt sich durch direkte Rechnung:
L̂x
L̂y
L̂z
L̂±
~ˆ 2
L
Å
ã
∂
∂
~
− sin ϕ
− cos ϕ cot θ
=
i
∂θ
∂ϕ
Å
ã
∂
~
∂
cos ϕ
=
− sin ϕ cot θ
i
∂θ
∂ϕ
~ ∂
=
i ∂ϕ
Å
ã
∂
∂
±iϕ
= ~e
±
+ i cot θ
∂θ
∂ϕ
ï
Å
ã
ò
1 ∂
∂
1 ∂2
2
= −~
sin θ
+
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂ϕ2
Die Bahndrehimpuls Eigenwertgleichungen lauten dann:
ï
Å
ãò
1 ∂2
1 ∂
∂
+
sin θ
ψl,m (ϕ, θ) = −l(l + 1)ψl,m (ϕ, θ)
sin θ ∂ϕ
∂θ
sin2 θ ∂ϕ2
∂
ψl,m (ϕ, θ) = im ψl,m (ϕ, θ)
∂ϕ
ψl,m (ϕ, θ) = A(ϕ) · B(θ)
Separationsansatz:
Lösung von (V.46):
Dann verbleibt:
A(ϕ) = e
ï
(V.44)
(V.45)
(V.46)
(V.47)
imϕ
(V.48)
Å
ã
ò
∂
m2
1 ∂
sin θ
−
+ l(l + 1) B(θ) = 0
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ
(V.49)
Die Lösung dieser Differentialgleichung ist bekannt. Es handelt sich um die assoziierten LegendreFunktionen Plm (cos θ) 1 . Als Resultat für die Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators erhalten wir
die Kugelflächenfunktionen“ Ylm (ϕ, θ).
”
ψlm (ϕ, θ) = Ylm (ϕ, θ)
(m+|m|)/2
:= (−)
Pl|m| (cos θ) · e
im ϕ
·
2l + 1 (l − |m|)!
4π (l + |m|)!
(V.50)
Wichtige Beobachtung::
Die Stetigkeit der Kugelflächenfunktionen
!
ψlm (ϕ + 2π, θ) = ψlm (ϕ, θ)
(V.51)
verlangt die Ganzzahligkeit von m und l.
l = 0, 1, 2, 3, . . .
m = −l, −l + 1, −l + 2, . . . , l − 2, l − 1, l
1 Vorsicht:
Einige Authoren (z.B. Nolting) verwenden bei der Definition der assoziierten Legendre-Funktionen eine
andere Vorzeichenkonvention. Bei Verwendeung dieser anderen Konvention werden die Funktionen dann aber meist
P m (x)“ geschrieben.
” l
85
V Der Drehimpuls
Assoziierte Legendre-Polynome
m
Plm (x) = (1 − x2 ) 2
dm
Pl (x),
dxm
m≥0
(V.52)
Legendre-Polynome
1 dl 2
(x − l)l
2l l! dxl
m
(1 − x2 ) 2 dl+m 2
(x − 1)l
Plm (x) =
2l l!
dxl+m
Pl (x) =
⇒
Polynom l-ten Grades (V.53)
Polynom l-ten Grades (V.54)
Offensichtlich gilt:
Pl,l+1 (x) = 0
(V.55)
Pl,l (x) = (2l − 1)!! (1 − x2 )
l
2
mit (n)!! = n(n − 2)(n − 4) · · · 1 (V.56)
Pl,0 (x) = Pl (x)
(V.57)
Relevantes Argument: x = cos θ
Plm (cos θ) =
dl+m
(−)l
m
sin2l θ
sin
θ
2l l!
d(cos θ)l+m
(V.58)
Rekursionsrelation:
(l + 1)Pl+1 (x) = (2l + 1) · Pl (x) − l · Pl−1 (x)
(1 − x2 )Pl0 (x) = l Pl−1 (x) − xPl (x)
(V.59)
Explizit:
1
(3x2 − 1)
2
1
P3 = (5x3 − 3x)
2
P0 = 1
P2 =
P1 = x
(V.60)
Differentialgleichung:
ï
ò
d2
d
m
(1 − x2 ) 2 − 2x
+ l(l + 1) −
Plm (x) = 0
dx
dx
1 − x2
(V.61)
Plm (−x) = (−)l+m Plm (x)
(V.62)
Parität:
Norm:
Z1
dx Plm (x)Pl0 m (x) =
2 (l + m)!
δll0
2l + 1 (l − m)!
für m ≥ 0
(V.63)
−1
Hieraus resultieren folgende Eigenschaften der Kugelflächenfunktionen Ylm (x):
Orthogonalität
Zπ
Z2π
dθ sin θ
0
86
0
dϕ Ylm (θ, ϕ)∗ Yl0 m0 (θ, ϕ) = δll0 δmm0
(V.64)
V.4 Bahndrehimpuls in Polarkoordinaten, Kugelflächenfunktionen
Abbildung V.3: Punktspiegelung am Ursprung in Kugelkoordinaten
Vollständigkeit
∞ X
l
X
Ylm (θ, ϕ)Ylm (θ0 , ϕ0 )∗ =
l=0 m=−l
1
δ(θ − θ0 )δ(ϕ − ϕ0 )
sin θ
(V.65)
↑
Maßfaktor
Additionstheorem (Summe über m)
l
X
Ylm (θ, ϕ)Ylm (θ0 , ϕ0 )∗ =
m=−l
2l + 1
Pl (cos ρ)
4π
(V.66)
mit cos ρ = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ϕ − ϕ0 )
Yl,−m (θ, ϕ) = (−)m Ylm (θ, ϕ)∗
Explizite Kugelflächenfunktionen
…
1
Y00 =
4π
…
3
cos θ
Y10 =
4π
…
5
(3 cos2 θ − 1)
Y20 =
16π
(V.67)
…
3
sin θeiϕ
8π
…
15
=−
sin θ cos θeiϕ
8π
Y11 = −
Y21
…
Y22 =
15
sin2 θe2iϕ
32π
(V.68)
Parität Eine Punktspiegelung im Raum P ~x = −~x entspricht in Kugelkoordinaten P (θ, ϕ) = (π −
θ, ϕ + π). Siehe hierzu auch Abbildung V.3
P Ylm (θ, ϕ) = Ylm (π − θ, ϕ + π) = (−)l Ylm (θ, ϕ)
(V.69)
Demnach sind Ylm Eigenfunktionen des Paritätsoperators.
87
V Der Drehimpuls
Drehimpulsoperatoren
~ 2 Ylm (θ, ϕ) = ~2 l(l + 1)Ylm (θ, ϕ)
L
(V.70)
Lz Ylm (θ, ϕ) = ~mYlm (θ, ϕ)
(V.71)
Aber Lx und Ly werden nicht durch die Ylm (θ, ϕ) diagonalisiert.
Nomenklatur
l=0
l=1
l=2
l=3
s-Orbitale“
”
p-Orbitale“
”
d-Orbitale“
”
f-Orbitale“
”
Plots Die Ylm sind komplexwertige Funktionen. Häufig plottet man |Ylm (θ, ϕ)|2 als Funktion des
Winkels θ als Polardiagramm wie in Abbildung V.4.
88
V.4 Bahndrehimpuls in Polarkoordinaten, Kugelflächenfunktionen
z
|Y00 (θ, ϕ)|
z
2
Erklärung:
ϕ0 = π
ϕ=0
θ0
θ
x
x
r=
“ |Ylm |2 , Ylm ≥ 0
r“
= |Ylm |2 , Ylm < 0
z
|Y10 (θ, ϕ)|
z
2
|Y11 (θ, ϕ)|
2
x
x
z
|Y20 (θ, ϕ)|
z
2
|Y21 (θ, ϕ)|
x
z
2
2
|Y22 (θ, ϕ)|
x
x
Abbildung V.4: Polardiagramme der des Betragsquadrats der ersten Kugelflächenfunktionen als
Funktionen von θ.
89
VI Zentralpotential und Wasserstoffatom
~ 2 , H] = 0 gilt.
In diesem Kapitel behandeln wir Zentralpotentiale V (r), r = |~x|, für die [Lz , H] = [L
~ 2 . Die Eigenfunktionen
Das heißt, ein vollständiger Satz von kommutierenden Observablen ist H, Lz , L
dieser drei Operatoren müssen dann die Form
ψ(r, θ, ϕ) = R(r) · Ylm (θ, ϕ)
(VI.1)
annehmen, wobei die Funktion R(r) aus dem Eigenwertproblem von Ĥ folgen wird.
VI.1 Kugelkoordinaten für Zentralpotentiale
Wir betrachten Hamiltonoperatoren der Form
Ĥ =
1 ˆ2
p~ + V (r)
2m
mit r = |~x|
~ 2 nun in Kugelkoordinaten, das heißt mittels L
~ 2 und
Wir wollen p~ 2 = −~2 ∇
(VI.2)
∂
∂r
ausdrücken:
~ˆ 2 = (ijk x̂j p̂k )(ilm x̂l p̂m )
L
mit ijk ilm = δjl δkm − δjm δlk folgt:
= x̂j p̂k x̂j p̂k − x̂j p̂k x̂k p̂j
ˆ2 p~ˆ 2 − i~~x
ˆ · p~ˆ − x̂j x̂k p̂k p̂j + x̂j p̂j · 3i~
= ~x
ˆ2 p~ˆ 2 − (~x
ˆ · p~ˆ)2 + i~~x
ˆ · p~ˆ
~ˆ 2 = ~x
L
⇒
(VI.3)
Nun ist gemäß (V.43) und ~x = r~er :
Einsetzen in (VI.3) liefert:
~
i
∂
∂r
(VI.4)
1 ~ˆ 2
p~ˆ 2 = p̂2r + 2 L
r
beziehungsweise
wobei p̂r :=
ˆ · p~ˆ = ~ ~x · ∇
~ = ~r ∂
~x
i
i ∂r
ñÅ
ô
ã
1 ~ˆ 2 ~2
∂ 2
∂
2
ˆ
p~ = 2 L − 2
r
+r
r
r
∂r
∂r
+
1
r
die Radialkomponente des Impulsoperators ist.
91
VI Zentralpotential und Wasserstoffatom
Nebenbemerkung:
p̂r ist ein hermitescher Operator bezüglich des Skalarprodukts
Z∞
(ψ, ϕ) =
dr r2 ψ ∗ (r)ϕ(r)
(VI.5)
0
wobei r2 hier der Maßfaktor aus dem Volumenelement d3 x = r2 sin θdϕdθdr ist.
Beweis:
Z∞
(ψ, p̂r ϕ) =
~
dr r ψ (r)
i
2
∗
Å
ã
∂
1
ϕ(r)
+
∂r r
0
Z∞
=−
~ ∂ 2 ∗
~
dr
(r ψ )ϕ(r) +
i ∂r
i
0
Z∞
=−
=
dr rψ ∗ ϕ
0
~
~
dr [2rψ ∗ ϕ + r2 ψ ∗ ϕ] +
i
i
Z∞
dr rψ ∗ ϕ
0
0
Z∞
Z∞
ãò∗
ï Å
~ ∂
1
ψ+ ψ
ϕ = (p̂r ψ, ϕ)
dr r2
i ∂r
r
(VI.6)
0
Die fundamentale Kommutatorrelation ist erfüllt:
Å
ãò
ï
1
~ ∂
+
= i~
[r̂, p̂r ] = r,
i ∂r
r
Einsetzen von (VI.4) in Ĥ =
"
~2
−
2m
Å
1
~2
2m p
(VI.7)
+ V (r) liefert die Eigenwertgleichung:
∂2
2 ∂
+
∂r2
r ∂r
ã
#
~ˆ 2
L
+
+ V (r) ψ(r, θ, ϕ) = E · ψ(r, θ, ϕ)
2mr2
(VI.8)
~ˆ ein vollständiger Satz von Observablen ist, gilt mit dem Separationsansatz
Da {L̂z , Ĥ, L}
ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Ylm (θ, ϕ)
(VI.9)
ï
Å 2
ã
ò
∂
~2
2 ∂
~2 l(l + 1)
−
+
+
+ V (r) R(r) = E · R(r)
2m ∂r2
r ∂r
2mr2
(VI.10)
die Radialgleichung
Diese Differentialgleichung lässt sich in eine effektiv eindimensionale Schrödingergleichung mit effektivem, l-abhängigem Potential umformen:
u(r)
r
Å 2
ã
∂
2 ∂
1 00
2
2
1 ∂2
+
R(r) = u − 2 u0 + 2 u0 =
u
2
∂r
r ∂r
r
r
r
r ∂r2
R(r) =
92
VI.2 Allgemeine Aussagen zu Bindungszuständen in drei Dimensionen
V
∼
1
r2 ,
Zentrifugalterm
r
Veff
∼ − 1r , anziehendes Zentralpotential
Abbildung VI.1: Anziehendes Coulomb-Potential:
Zuständen mit E < 0!
Möglichkeit
von
Bindungszuständen,
ï
ò
~2 d2
~2 l(l + 1)
−
+
+ V (r) u(r) = E · u(r)
2m dr2 | 2mr2 {z
}
⇒
also
(VI.11)
~2 l(l+1)
2mr 2
↑
Zentrifugalterm
Veff (r) = V (r)+
Beispiel: Anziehendes Coulomb-Potential, Abbildung VI.1.
Normierungs- und Randbedingungen für u(r)
i)
Z
∞>
3
2
Z∞
d x |ψ(~x)| =
dr r2
1
|u(r)|2
r2
(VI.12)
0
Das heißt für die Bindungszustände:
lim |u(r)| ≤
r→∞
a
r
(VI.13)
1
2 +
mit > 0. Demnach muss u(r) im Unendlichen stärker als
√1
r
abfallen.
~ 2 u(0) ∼ δ (3) (~x)u(0) führt u(0) 6= 0 stets
ii) Verhalten für r → 0: u(0) = 0 für V (r) 6= δ (3) (~x). Da ∇
r
zu δ-Funktion in der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung.
VI.2 Allgemeine Aussagen zu Bindungszuständen in drei
Dimensionen
In Kapitel III hatten wir gesehen, dass 1D-symmetrische Potentialprobleme stets einen symmetrischen Bindungszustand besitzen Ein ungerader Zustand existiert nur, falls das Potential eine Mindestgröße besitzt (Vergleiche Potentialtopf und Parameter ξ). (VI.11) für l = 0 entspricht einem
eindimensionalen Problem mit
®
V (x) x > 0
V1D (x) =
(VI.14)
∞
x≤0
93
VI Zentralpotential und Wasserstoffatom
V
x
Abbildung VI.2: Effektives eindimensionales Potential zum Zentralpotential
wie in Abbildung VI.2. Das fortgesetzte Referenzpotential Ṽ1D (x) := V (|~x|) besitzt gerade und
ungerade Bindungszustände. Wegen u(0) = 0 sind für das 3D Problem nur die ungeraden Bindungszustände erlaubt! Das heißt, der erste angeregte Zustand des effektiven Potentials Ṽ1D (x) entspricht
dem Grundzustand des 3D Problems V (|~x|). Insbesondere existiert dieser Grundzustand nur bei
hinreichender Potentialstärke!
Für l > 0 wird das Potential zunehmend abstoßend. Das heißt, sollte Veff (|~x|) für l = 0 keinen
Bindungszustand besitzen, so erst recht nicht für l > 0.
Diskussion der Grenzfälle
i) r → 0
Für V (r) ∼
1
r
oder r0 = const. ist der Zentrifugalterm gegenüber V (r)−E in (VI.11) dominant:
ï
ò
~2 d2
~2 l(l + 1)
−
+
u(r) = 0
2m dr2
2mr2
für r → 0 (VI.15)
u(r) = Arl+1 + Br−l (VI.16)
Lösung:
Der B-Term ist wegen der Randbedingung u(r = 0) = 0 verboten, somit folgt:
lim u(r) = rl+1 (a0 + a1 r + a2 r2 + · · · )
r→∞
ii) r → ∞
Nun ist für den Coulombfall V (r) ∼
in die freie Schrödingergleichung
1
r
−
Nun definieren wir κ :=
1
~
(VI.17)
das gesamte Veff vernachlässigbar und (VI.11) geht über
~ d2
u(r) = Eu(r)
2m dr2
(VI.18)
p
2m(−E)
u(r) = ce−κr
⇒
für r → ∞
(VI.19)
VI.3 Das Coulomb-Potenzial: Spektrum
Wir spezialisieren die Diskussion nun zum Wasserstoffatom und betrachten ein Elektron im CoulombPotenzial
V (r) = −
94
e20 Z
r
e0 :
Elementarladung
Z:
Anzahl der Protonen
(VI.20)
VI.3 Das Coulomb-Potenzial: Spektrum
Mit Einführung der Parameter
V
ρ0
=−
|E|
ρ
1»
2m|E|r
~ e2 Zκ
2m Ze20
ρ0 = 0
=
|E|
|E| ~
ρ = κr =
wird die radiale Eigenwertgleichung (VI.11) zur kompakten Gleichung
ï 2
ò
l(l + 1) ρ0
d
−
+
− 1 u(ρ) = 0
dρ2
ρ2
ρ
(VI.21)
(VI.22)
Wir machen nun einen Ansatz, der dem asymptotischen Verhalten von u(r) aus (VI.17) und (VI.19)
gerecht wird:
u(ρ) = ρl+1 e−ρ w(ρ)
(VI.23)
mit der Potenzreihe
w(ρ) =
∞
X
ak ρk
(VI.24)
k=0
Å
ã
l+1
− 1 u(ρ) + ρl+1 e−ρ w0 (ρ)
ρ
Å
ã2
Å
ã
d2
l+1
l+1
l+1
u(ρ)
=
−
u(ρ)
−
−
1
u(ρ)
+
−
1
ρl+1 e−ρ w0 (ρ)
dρ2
ρ2
ρ
ρ
d
u(ρ) =
dρ
+(l + 1)ρl e−ρ w0 (ρ) − ρl+1 e−ρ w0 (ρ) + ρl+1 e−ρ w00 (ρ)
ï
ò
d
d2
= ρl−1 e−ρ −(l + 1) + (l + 1 − ρ)2 + 2ρ(l + 1 − ρ) + 2 w(ρ)
dρ dρ
ò
ï
d2
d
= ρl−1 e−ρ (l + 1)2 + ρ2 − (ρ + 1)(l + 1) + 2ρ(l + 1 − ρ) + 2 w(ρ)
dρ dρ
ò
ï 2
l(l + 1) ρ0
d
−
+
− 1 u(ρ) = 0
dρ2
ρ2
ρ
ï
⇒
0 = ρl−1 e−ρ
ò
d2
d
2
2
+
2ρ(l
+
1
−
ρ)
−(l
+
1)
+
(l
+
1
−
ρ)
−
l(l
+
1)
+
ρρ
−
ρ
w(ρ)
0
{z
}
dρ2
dρ |
−(l+1)2 +(l+1−ρ)2 +ρ(ρ0 −ρ)
=−2ρ(l+1)+ρρ0 =ρ(ρ0 −2(l+1))
(VI.25)
Und somit folgt
ï
ò
d2
d
ρ 2 + 2(l + 1 − ρ) + ρ0 − 2(l + 1) w(ρ) = 0
dρ
dρ
(VI.26)
Einsetzen des Potenzreihenansatzes (VI.24) liefert folgende Rekursionsrelation für die unbekannten
Koeffizienten ak :
∞
X
ak k(k − 1)ρk−1 + 2k(l + 1 − ρ)ρk−1 + ρ0 − 2(l + 1) ρk = 0
(VI.27)
k=0
95
VI Zentralpotential und Wasserstoffatom
Vergleich der Terme in O(ρk ):
ak+1 k(k + 1) + 2(k + 1)(l + 1) + −2k + ρ0 − 2(l + 1) ak = 0
⇒
ak+1 =
2(k + l + 1) − ρ0
ak
(k + 1)(k + 2l + 2)
(VI.28)
(VI.29)
Konvergiert diese Reihe? Maßgeblich ist das Verhältnis aufeinanderfolgender Glieder:
lim
k→∞
ak+1
2
→ →0
ak
k
(VI.30)
Dieses asymptotische Verhalten ist das einer Exponentialfunktion:
eαρ =
∞
X
1
(αρ)k
k!
(VI.31)
k=0
α
α
αk+1 /(k + 1)!
= lim
→
k→∞ k + 1
k→∞
ak /k!
k
lim
(VI.32)
Das heißt, asymptotisch verhält sich w(ρ) wie e2ρ !
⇒
lim u(r) = lim ρl+1 e−ρ · e2ρ ∼ eρ
ρ→∞
ρ→∞
(VI.33)
Das Ergebnis
ist jedoch problematisch, da eine solche Funktion nicht normierbar ist, es sei denn die
P
Reihe k ak ρk bricht nach dem N -ten Glied ab. Die Forderung der Normierbarkeit liefert uns somit
die Abbruchbedingung aN +1 = aN +2 = . . . = 0.
aN +1 = 0
⇒
ρ0 = 2(N + l + 1)
(VI.34)
mit N = 0, 1, 2, 3, . . .
Wir haben eine neue Quantenzahl“ entdeckt! Diese liefert die diskreten Energieeigenwerte des
”
Coulomb-Potentials:
Å
ã
2mZ 2 e4
mZ 2 e40
1
E=− 2 2 0 =−
(VI.35)
~ ρ0
2~2
(N + l + 1)2
mit N : Radiale Quantenzahl“. Mit Einführung der Hauptquantenzahl“ n := N + l + 1, n =
”
”
1, 2, 3, . . . folgt
Å
ã
mZ 2 e40 1
En = −
(VI.36)
2~2
n2
Wir haben das Spektrum des H-Atoms gefunden.
Entartung von En Für festes n sind l = 0, 1, 2, . . . , n − 1 möglich. Für festes l existieren 2l + 1
verschiedene Werte von m. Somit folgt für die Entartung von En :
n−1
X
l=0
96
(2l + 1) = 2
n(n − 1)
+ n = n2
2
(VI.37)
VI.4 Das Coulomb-Potential: Eigenfunktionen
n=1
l=0
(s-Orbital)
m=0
n=2
l=0
(s)
m=0
l=1
(p)
m = −1, 0, 1
l=0
(s)
m=0
l=1
(p)
m = −1, 0, 1
n=3
n=4
E1 (1-fach)
™
E2 (4-fach)


l=2
(d)
m = −2, −1, 0, 1, 2

l=0
(s)
m=0
l=1
(p)
m = −1, 0, 1




l=2
(d)
m = −2, −1, 0, 1, 2
l=3
(f)
m = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
E3 (9-fach)
E4 (16-fach)



Tabelle VI.1: Mögliche Werte von l und m in für die ersten Werte von n
En ist n2 -fach entartet.
In Tabelle VI.1 sind für die ersten Hauptquantenzahlen die möglichen Drehimpulsquantenzahlen
explizit aufgeführt. Durch die Bestimmung von ρ0 = 2n haben wir mit der Rekursionsrelation (VI.34)
und der Normierung vollständige Information über w(ρ) erlangt.
VI.4 Das Coulomb-Potential: Eigenfunktionen
Die Polynome wn,l (ρ) lassen sich über Laguerre-Polynome Lr (x) ausdrücken.
Eigenschaften der Laguerre-Polynome
• Erzeugende Funktion:
∞
X
s
1 −x 1−s
sr
e
=
Lr (x)
1−s
r!
r=0
(VI.38)
xL00r + (1 − x)L0r + rLr = 0
(VI.39)
• Differentialgleichung:
• Assoziierte Laguerre-Polynome Lsr (x):
Lsr (x) =
ds
ds
L
(x)
=
r
dxs
dxs
Å
ã
dr
ex r e−x xr
dx
(VI.40)
Lsr (x) ist ein Polynom vom Grad (r − s) mit (r − s) verschiedenen, positiven Nullstellen.
• Explizite Form:
Lsr (x) =
r−s
X
(−)k+s
k=0
(r!)2
xk
k!(k + s)!(r − k − s)!
(VI.41)
97
VI Zentralpotential und Wasserstoffatom
• Differentialgleichung für assoziierte Laguerre-Polynome:
Differenziert man (VI.39) s-mal nach x dann ergibt sich
xLsr 00 + (s + 1 − x)Lsr 0 + (r − s)Lsr = 0
Ein Vergleich mit der Radialgleichung (VI.26) für ρ0 = 2n
ï
ò
d
d2
(2ρ)
+
(2l
+
1)
+
1
−
(2ρ)
+
(n
+
l)
−
(2l
+
1)
w(2ρ) = 0
d(2ρ)2
d(2ρ)
(VI.42)
(VI.43)
ergibt:
s = 2l + 1,
r =n+l
w(ρ) = A · L2l+1
n+l (2ρ)
⇒
ρ = κr
(VI.44)
A ist zu bestimmen aus der Normierung.
• Normierung:
Z∞
dx xs+1 e−x [Lsr (x)]2 =
(2r − s + 1)(r!)3
(r − s)!
(VI.45)
0
Zusammenhang zu w(ρ):
w(ρ) = A · L2l+1
n+l (2ρ)
ρ = κr
(VI.46)
A ist zu bestimmen aus der Normierung.
Zusammenfassung Die gebundenen stationären Zustände des Coulomb-Potenials werden durch
die Quantenzahlen n = 1, 2, 3, 4, . . . ; l = 0, 1, . . . , n − 1; m = −l, . . . , l parametrisiert. Sie lauten
i
Rnl
ψn,l,m (r, θ, ϕ, t) = e− ~ tEn Rnl (r)Ylm (θ, ϕ)
ò1/2
ï
(n − l − 1)!(2κ)3
(2κr)l e−κr L2l+1
=−
n+l (2κr)
2n[(n + l)!]3
κ=
mit a =
~2
me20
mZe20
Z
bzw. κ =
~2 n
n·a
= 0.5 · 10−8 cm, dem Bohr’schen Radius“
”
En = −
mc2 = 0.511 MeV
e20
~c
≈
(VI.47)
mc2 2 Z 2
(Ze0 )2
=−
α 2
2
2an
2
n
(VI.48)
Ruheenergie des Elektrons
1
137.037
Sommerfeld’sche Feinstrukturkonstante“
”
Die Bindungsenergie des Grundzustands entspricht der Ionisierungsenergie des H-Atoms (mit Z = 1)
α=
E1 (Z = 1) = −13.6 eV = −1 Rydberg
(VI.49)
Normierung:
Z
98
∗
d3 x ψnlm
(~x)ψn0 l0 m0 (~x) = δnn0 δll0 δmm0
(VI.50)
VI.4 Das Coulomb-Potential: Eigenfunktionen
n=1
l=0
(s)
n=2
l=0
(s)
l=1
(p)
Å ã3/2
Z
Z
R10 (r) = 2
e− a r
a
ã
Å ã3/2 Å
Zr − Z r
Z
1−
e 2a
R20 (r) = 2
2a
2a
Å ã3/2
Zr − Z r
1
Z
R21 (r) = √
e 2a
2a
a
3
Tabelle VI.2: Die niedrigsten radialen Wellenfunktionen
Bemerkungen:
i) Rnl (r) hängt nicht von der Quantenzahl m ab.
ii) |ψnlm (r, θ, ϕ, t)|2 r2 dr dΩ gibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens im Volumenelement r2 dr dΩ an. Die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist gegeben durch
|Rnl (r)|2 r2 dr.
Die niedrigsten radialen Wellenfunktionen sind in Tabelle VI.2 angegeben.
Energieniveaus Atomspektren ergeben sich aus Differenzen von Energieeigenwerten.
ã
Å
1
1
−
~ωmn = Em − En = 1 Ry
n2
m2
(VI.51)
Beweis des Ritz’schen Kombinationsprinzips“ (1905).
”
Grund der Entartung von En
Die Eigenwerte En sind in l und m hochgradig entartet!
i) Für Zentralpotentiale sind die Energieeigenwerte stets unabhängig von m. Grund: m wählt die
Quantisierungsachse“ in ~ez -Richtung, was zum Bruch der Rotationssymmetrie führt.
”
Beweis:
Für V = V (r) ist [H, Li ] = 0 ⇒ [H, L± ] = 0. Sei
ĤψElm = EψElm
⇒
Ĥ(L̂+ ψElm ) = L̂+ ĤψElm = E(L̂+ ψElm )
(VI.52)
⇒ ψElm und ψElm+1 sind entartet.
ii) Die zusätzliche Entartung bezüglich l ist jedoch eine spezifische Eigenschaft des 1/r-Potentials.
Der Grund liegt in der höheren Symmetrie!
Definition VI.4.1 (Runge-Lenz-Vektor).
2
ˆ
~ˆ − L
~ˆ × p~ˆ) − e0 ~x
~ˆ = 1 (p~ˆ × L
A
2m
r
(VI.53)
99
VI Zentralpotential und Wasserstoffatom
Der Runge-Lenz-Vektor ist eine weitere Erhaltungsgröße:
~ˆ = 0
[Ĥ, A]
(VI.54)
~ˆ · L
~ˆ = L
~ˆ · A
~ˆ = 0.
Zudem gilt A
~ = const. gleichbedeutend mit geschlossenen Bahnen
Klassisch: A
Quantenmechanisch: O(4)-Symmetrie des 1/r-Potentials. Daher lässt sich das Spektrum auch
rein algebraisch finden!
100
VII Quantenmechanische Dynamik
VII.1 Axiome der Quantenmechanik
i) Der Zustand des Systems wird durch den Zustandsvektor |ψi beschrieben.
ii) Observablen werden durch hermitesche Operatoren  dargestellt. Funktionen von Observablen
sind durch Funktionen der Operatoren darzustellen.
Nebenbemerkung:
Diese Vorschrift ist nicht eindeutig wegen des Ordnungsproblems bei nicht kommutierenden Operatoren:
klassisch: f = x · px = px · x
quantenmechanisch: fˆ = x̂p̂x 6= p̂x x̂
Quantisierungsambiguität“
”
iii) Mittelwerte der Observablen im Systemzustand |ψi sind durch hψ|Â|ψi = hÂi gegeben.
iv) Die Zeitentwicklung des Zustandsvektors folgt aus der Schrödinger-Gleichung:
i~
∂
|ψi(t) = Ĥ|ψi(t)
∂t
(VII.1)
v) Bei einer Messung von  mit Messwert an geht das System in den Zustand |ni über, wobei
Â|ni = an |ni ist.
|ψi
→
Â
→
Messung: an
|ni
Aus (ii) und (iii) folgt
|ψi =
X
cn |ni
mit cn = hn|ψi
(VII.2)
n
dann ist die Wahrscheinlichkeit an zu messen durch wn = |hn|ψi|2 gegeben.
Für Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung
Ĥ|ψn i = En |ψn i
(VII.3)
ergeben sich die stationären Zustände
i
|ψn i(t) = e− ~ En t |ψn i
(VII.4)
101
VII Quantenmechanische Dynamik
die die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung (VII.1) lösen.
i~∂t |ψn i(t) = Ĥ|ψn i(t)
(VII.5)
Sind die |ψn i und En bekannt, so lässt sich die zeitliche Entwicklung des Systems vollständig angeben:
Sei |ψi für t = 0 Zustand des Systems. Dann ist
X
i
|ψi(t) =
hψn |ψie− ~ En t |ψn i
(VII.6)
n
für alle Zeiten.
Dynamik (Hier: Schrödinger-Bild“):
”
• Der Zustandsvektor ist zeitabhängig:
|ψi(t) oder |ψ, ti
• Die Observablen (Ort, Impuls, Energie, Drehimpuls, . . . ) und ihre Eigenvektoren
sind zeitunabhängig. Ausnahme: Explizite (von außen dem System aufgeprägte)
Zeitabhängigkeit. Zum Beispiel ein äußeres zeitabhängiges Feld macht den Hamiltonoperator explizit Zeitabhängig.
∂
d
 = Â
(VII.7)
dt
∂t
Beispiel:
1 ˆ 2 e ~ ˆ 2
Ĥ =
p~ − A(~x, t)
(VII.8)
2m
c
A(x, t): Äußeres Vektorpotential mit expliziter Zeitabhängigkeit.
Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung in verschiedenen Darstellungen Basisunabhängige Form:
i~∂t |ψ, ti = Ĥ|ψ, ti
(VII.9)
i) Ortsdarstellung (eindimensional)
Ortswellenfunktion:
hx|ψ, ti = ψ(x, t)
(VII.10)
hx| · (VII.3) und ∂t |xi = 0 (Ortseigenvektor zeitunabhängig) liefert:
i~∂t hx|ψ, ti = hx|Ĥ|ψ, ti
Z
= dx0 hx|Ĥ|x0 ihx0 |ψ, ti
Z
ï
ò
~2 ∂ 2
0
0
= dx0 −
δ(x
−
x
)
+
V
(x)δ(x
−
x
)
ψ(x0 , t)
2m ∂x2
(VII.11)
Dies ist unsere wohlbekannte Schrödinger-Gleichung für die Wellenfunktion:
ï
ò
~2 ∂ 2
i~∂t ψ(x, t) = −
+ V (x) ψ(x, t)
2m ∂x2
102
(VII.12)
VII.1 Axiome der Quantenmechanik
ii) Impulsdarstellung
Nun ist
ϕ(p, t)
hp|ψ, ti = cp (t) = √
2π~
mit ϕ(p, t) : Fouriertransformierte von ψ(x, t)
(VII.13)
Aus hp| · (VII.3) und ∂t hp| = 0 ergibt sich
Z
dp0 hp|Ĥ|p0 icp0 (t)
i~∂t cp (t) =
Nun ist (da Ĥ =
p̂2
2m
(VII.14)
+ V (x̂))¿
p2
hp|Ĥ|p i =
δ(p − p0 ) +
2m
Z
p2
=
δ(p − p0 ) +
2m
Z
0
dx dx0 hp|xihx|V (x̂)|x0 ihx0 |p0 i
i
dx
0
e− ~ (p−p )·x
V (x)
2π~
Definition VII.1.1 (Fouriertransformierte des Potentials).
Z
i
Ṽ (q) := dx e− ~ q·x V (x)
(VII.15)
(VII.16)
Dann folgt die Schrödinger-Gleichung in der Impulsdarstellung:
p2
i~∂t ϕ(p, t) =
ϕ(p, t) +
2m
Z
dp0
Ṽ (p − p0 )
ϕ(p0 , t)
2π~
(VII.17)
Dies ist eine Integro-Differentialgleichung für ϕ(p, t). Diese lässt sich aber auch in eine reine
Differentialgleichung höherer Ordnung umwandeln:
Å
ã
i
i
~ ∂
e− ~ p·x
e− ~ p·x V (x) = V · −
i ∂p
Å
ã
~ ∂
Ṽ (q) = V −
δ(q) · 2π~
i ∂q
Å
ã
p2
~ ∂
⇒
i~∂t ϕ(p, t) =
ϕ(p, t) + V −
ϕ(p, t)
(VII.18)
2m
i ∂p
iii) Darstellung bezüglich eines diskreten Basissystems
Sei ein diskretes System gegeben durch {|ni}n∈I .
hn|ψ, ti = cn (t)
⇒
i~∂t hn|ψ, ti =
X
hn|Ĥ|m0 ihm0 |ψ, ti
m0
⇒
i~∂t cn (t) =
X
Hnm0 cm0 (t)
(VII.19)
m0
Die Schrödinger-Gleichung hat nun die Form eines linearen Differentialgleichungssystems!
103
VII Quantenmechanische Dynamik
VII.2 Schrödinger-, Heisenberg- und Wechselwirkungsbild
Wir wollen im Folgenden die quantenmechanische Dynamik eines Systems in drei verschiedenen
Formalismen— Bildern“—beschreiben. Die physikalischen Aussagen sind dabei unabhängig von der
”
Wahl des Bildes. Je nach Fragestellung mag das eine über das andere Bild vorteilhafter sein. Im
Folgenden setzen wir voraus, dass Ĥ nicht explizit von der Zeit abhängt.
i) Schrödingerbild
Wir hatten bisher verwendet:
i~∂t |ψ, ti = Ĥ|ψ, ti
(VII.20)
Die Formale Lösung lautet:
i
|ψ, ti = e− ~ Ĥt |ψ, t = 0i
(VII.21)
Der Zustandsvektor ist zeitabhängig. Physikalische Observablen sind allenfalls explizit zeitabhängig:
d
d ~ˆ
dˆ
~x = p~ˆ = L
=0
dt
dt
dt
d
∂
Ĥ(x̂, p̂, t) = Ĥ(x̂, p̂, t)
dt
∂t
(VII.22)
(VII.23)
Insbesondere sind dann auch die assoziierten Eigenvektoren zeitunabhängig:
∂t |~xi = ∂t |~
pi = ∂t |l, mi = 0
(VII.24)
ii) Heisenbergbild
Hier folgen die Operatoren Bewegungsgleichungen und |ψi ist konstant.
Definition VII.2.1 (Operator im Heisenbergbild).
i
i
ÂH := e ~ Ĥt Âe− ~ Ĥt
(VII.25)
Dies ist eine unitäre Transformation.
Es folgt:
i
d
i
∂ Â − i Ĥt i
ÂH = Ĥ ÂH + e ~ Ĥt
e ~ − ÂH Ĥ
dt
~
∂t
~
i
∂ ÂH
= [Ĥ, ÂH ] +
~
∂t
(VII.26)
Betrachten wir nun den letzten Term:
Å
ã
i
i
i
i
∂
∂ X
e ~ Ĥt A(~x, p~, . . . , t)e− ~ Ĥt = e ~ Ĥt
fn (~x, p~, . . . ) · |{z}
tn e− ~ Ĥt
∂t
∂t n
↑
explizite Zeitabhängigkeit
i
= e ~ Ĥt
X
i
fn (x̂, p̂, . . . ) · ntn−1 e− ~ Ĥt
n
=
X
fn (x̂H , p̂H , . . . ) · ntn−1
i
i
(einschieben von 1 = e− ~ Ĥt · e ~ Ĥt )
n
∂
= ÂH
∂t
104
(VII.27)
VII.2 Schrödinger-, Heisenberg- und Wechselwirkungsbild
Der Zustandsvektor im Heisenbergbild ist definiert durch:
i
|ψiH := e ~ Ĥt |ψ, ti
(VII.28)
Es folgt:
i
i
∂
i
|ψiH = e ~ Ĥt Ĥ |ψ, ti + e ~ Ĥt ∂t |ψ, ti = 0
| {z }
∂t
~
= − ~i Ĥ|ψ, ti
Zusammenfassung
Dynamik im Heisenbergbild
∂
|ψiH = 0
∂t
d
i
∂
ÂH (t) = [ĤH , ÂH (t)] + ÂH (t)
dt
~
∂t
ĤH = Ĥ
(VII.29)
∂
i
|ψ, ti = − Ĥ|ψ, ti
∂t
~
∂
d
 = Â
dt
∂t
(VII.30)
Dynamik im Schrödingerbild
Zuweilen schreibt man auch ÂS und |ψ, tiS um den Gegensatz zum Heisenbergbild hervorzuheben.
Wichtig:
Physikalische Resultate sind unabhängig von der Wahl des Bildes:
• Mittelwert eines Operators
hψ, t|Â|ψ, ti = H hψ|ÂH (t)|ψiH
(VII.31)
Beweis:
i
|ψiH = e ~ Ĥt |ψ, ti
H hψ|ÂH (t)|ψiH
i
i
ÂH = e ~ Ĥt Âe− ~ Ĥt
i
i
i
i
= hψ, t|e− ~ Ĥt e ~ Ĥt Âe− ~ Ĥt e ~ Ĥt |ψ, ti
= hψ, t|Â|ψ, ti
(VII.32)
Schrödingerbild und Heisenbergbild hängen über eine unitäre Transformation zusammen.
Beispiel: Bewegungsgleichungen des harmonischen Oszillators im Heisenbergbild:
1
mω 2 2
mp̂2 +
x̂
2
2
1 2
mω 2
ĤH =
p̂H +
x̂H
2m
2
Ĥ =
∂
Ĥ = 0
∂t
∂
ĤH = 0
∂t
105
VII Quantenmechanische Dynamik
ẋH =
i
1
[ĤH , x̂H ] = p̂H
~
m
ṗH =
i
[ĤH , p̂H ] = −mω 2 x̂H
~
da [p̂H , x̂H ] = −i~ = [p̂, x̂]
(VII.33)
iii) Wechselwirkungs- oder Diracbild
Als Ausgangspunkt für die zeitabhängige Störungstheorie ist eine dritte—hybride—quantenmechanische
Dynamik nach Paul Dirac von Vorteil. Nun wollen wir eine explizite Zeitabhängigkeit von Ĥ
betrachten.
Sei
Ĥ = Ĥ0 + V̂ (t)
mit
∂
Ĥ0 = 0 (VII.34)
∂t
Definition VII.2.2 (Zustände und Operatoren im Wechselwirkungsbild).
i
|ψ, tiI = e ~ Ĥ0 t |ψ, ti
i
i
ÂI (t) = e ~ Ĥ0 t Â(t)e− ~ Ĥ0 t
(VII.35)
Dann folgen die Bewegungsgleichungen:
i~
wobei
∂
|ψ, tiI = V̂I (t)|ψ, tiI
∂t
d
i
∂
ÂI (t) = [Ĥ0,I , ÂI (t)] + ÂI (t)
dt
~
∂t
i
(VII.36)
i
V̂I (t) = e ~ Ĥ0 t V̂ (t)e− ~ Ĥ0 t
Ĥ0,I = Ĥ0
Es sind also sowohl der Zustandsvektor als auch die Operatoren zeitabhängig.
VII.3 Erhaltungssätze der Quantenmechanik
Aus der klassischen Physik wissen wir, dass Symmetrien Erhaltungssätze implizieren (NoetherTheorem). Die gilt auch in der Quantentheorie: Eine Symmetrie bedeutet die Vertauschung der
Erhaltungsgröße mit dem Hamiltonoperator. Dies ist völlig transparent im Heisenbergbild:
Sei ÂH nicht explizit zeitabhängig und eine Symmetrie von Ĥ: [Ĥ, ÂH ] = 0. Dann ist ÂH erhalten:
d
ÂH = 0
dt
(VII.37)
Beispiele:
a) Energieerhaltung: ĤH
Für zeitunabhängigen Hamiltonoperator gilt:
d
i
ĤH = [ĤH , ĤH ] = 0
dt
~
Erhaltungsgröße: Ĥ
i
Erzeugende der Symmetrie der Zeittranslation: e ~ Ĥt
106
(VII.38)
VII.3 Erhaltungssätze der Quantenmechanik
~ˆ H Für ein rotationssymmetrisches System gilt:
b) Drehimpulserhaltung: L
~ˆ H ] = 0
[ĤH , L
d ~ˆ
i
~ˆ H ] = 0
LH = [ĤH , L
dt
~
⇒
i
(VII.39)
ˆ
~
Erzeugende der Rotation: e ~ ϕ~ ·L
c) Impulserhaltung: p~ˆH
Für ein translationsinvariantes System gilt:
[ĤH , p~ˆH ] = 0
i
d ~ˆ
LH = [ĤH , p~ˆH ] = 0
dt
~
⇒
i
(VII.40)
ˆ
Erzeugende der Translation: e ~ ~a·p~
107