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FH-Dornbirn, HTW-Chur, Statistik und Fehlerfortpflanzung
V2.1
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Auswertung von Messergebnissen
Statistik und Fehlerfortpflanzung
1. Weiterverarbeitung/Darstellung von Messergebnissen
2. Einführung in die Statistik
3. Fehlerfortpflanzung
4. Beispiel
5. Kombination von unterschiedlichen Fehlertypen
Unsicherheitsberechnung nach GUM
6. Kurvenanpassung
1.Weiterverarbeitung von Messergebnissen
Vorraussetzung für eine gute Weiterverarbeitbarkeit von Messergebnissen ist oft das Vorhandensein von modernen
Messgeräten:
a)
eine PC-kompatible Hardware und Betriebsystem verwenden, sodaß eine Weiterverarbeitung direkt auf dem
Messgerät durch eine PC-kompatible Anwendungssoftware erfolgen kann
Häufig verwendete Anwendungssoftwaren und Entwicklungsysteme für die online Messsignalverarbeitung sind:
Matlab-Simulink ( www.mathworks.de), LabView (www.ni.de), HPVEE,... Für die offline Messdatenverarbeitung
werden Excel, Matlab, ... angewendet.
b) Messkarten garantieren für den PC eine einfache Weiterverarbeitung auf dem PC
c) Messgeräte mit Schnittstellen zur Gerätesteuerung und zum Auslesen der Messdaten vom PC aus: RS232, CAN,
Interbus, HP-GPIB,..
Die Weiterverarbeitung beinhaltet:
- das Auslösen von Alarmen
- Auslösen von Schaltvorgängen, Steuerungen
- Regelungen
- Protokollierungen
- Beurteilung der Ergebnisse mit den Methoden der Statistik
- Analysen zur Berechnung nicht direkt messbarer Größen oder Parameter
- Extrapolationen
- Filterungen, Fehlerkorrekturen
- Interpolation
- Regression und Abgleich mit theoretischen Verläufen
- Mustererkennungen
- Transformationen und Analysen im Bildbereich
- Darstellung grafisch, in Tabellen, mit Visualisierungen
- verbale Beurteilung und Kommentierung
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Beispiel zur tabellarischen und grafischen Darstellung von Meßergebnissen anhand eines Beispiels
a)Messschaltung
Datum:
Messung:
Sign:
Norma 6n, Nr.1235
A
UDC
HP,DC1500
Nr 4411
BlattNr.:
V Fluke2000, Nr.4321
1N4148
b)Meßtabelle
U
Igem
Itheor
=1e-9*(e (U/(1,5*0,025))-1)
V
A
A
0
0
0
0,1
0 1,34E-08
0,2
0 2,06E-07
0,3 2,50E-06 2,98E-06
0,4 4,10E-05 4,29E-05
0,5 6,50E-04 0,000617
0,53 1,80E-03 0,001374
0,56 3,00E-03 0,003058
0,59 7,00E-03 0,006806
0,62 1,90E-02 0,015147
0,65 3,00E-02 0,033711
0,68 8,00E-02 0,075025
0,71 1,90E-01 0,166971
0,74 3,50E-01 0,371602
0,77 8,00E-01 0,827015
0,8 1,85E+00 1,840556
0,83 4,10E+00 4,096232
c) Diag:Diodenkennlinie c)1. gem/theor c)2. gezoomt (mit unterdrücktem Nullpunkt )
d)Interpretation und Diskussion des Meßergebnisses: Vergleich der Messdaten mit der Theorie, Erklärungen für
Abweichungen, Angabe der Meßfehler/Meßunsicherheit, Schlußfolgerungen...
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2. Einführung in die Statistik
Meßwerte yi einer Meßreihe unterliegen einer Reihe von zufälligen Einflußgrößen ( Einstreuungen, Ablesefehler, Reibung,
Speisespannungsschwankungen,.. ). Wir unterscheiden grundsätzlich zwei Fälle:
a) Messwerte gewonnen aus einer Vielzahl von Vermessungen desselben Objektes: die Messwerte schwanken aufgrund der
Schwankung /Unsicherheit des Meßprozesses
b) Messwerte gewonnen aus der ( eventuell genau angenommenen) Messung vieler ähnlicher (aber mit schwankender
Abmessung) Objekte ( z.B. Serienproduktion : der Füllgrad von Dosen schwankt von Dose zu Dose, Beurteilung des
Produktionsprozesses).
Darüber hinaus können auch Fehlergrenzen, bekannte Meßunsicherheiten von Normalen, Messgeräten, Hilfsmitteln und
Störeffekten berücksichtigt werden ( siehe GUM ). Statistische Aussagen über den Mittelwert, die Qualität des Mittelwertes
usw. werden angebracht sein.
Mit dem
y
1 n
 yi
n 1
Mittelwert erhält man eine Näherung für den wahren Wert 1

1 n 
 yi
n 1
Die Bildung des Mittelwertes ist die einfachste denkbare und naheliegende Verbesserung des Messergebnisses. Allerdings
ist die Qualität des Mittelwertes damit noch nicht bestimmt. Die meisten Meßwerte einer Messreihe zum selben Meßpunkt
werden nahe dem wahren Werte liegen, viele etwas weiter entfernt, einige noch weiter entfernt und sehr wenige werden sehr
weit vom wahren Wert entfernt liegen. Die Verteilung statistisch streuender Meßwerte folgt oft einer Gauß'schen
Glockenkurve2. Die Qualität der Messwerte und des gebildeten Mittelwertes wird in der Breite der Streuung um den wahren
Wert, also der Breite der Gauß'schen Glockenkurve ersichtlich.
Die Wahrscheinlichkeits-Dichteverteilung der Meßwerte w(y) folgt dann ( im Falle der Gaußverteilung ) folgendem
Zusammenhang :
w(μ)
2
w( y ) 
mit
y
w( y )


1
 2

( y )
2 2
e
P(μ+/-σ)=0.68
n
1
1 ( yi   ) 2
n  n
  lim
w(μ)
Meßwert
Wahrschein lichkeitsdichteverteilung
Sdandardabeichnung
wahrerWert
μ-2σ μ-σ μ
μ+σ μ+2σ
a) Erwartete Lage eines Meßwertes
Für Meßwerte, die einer Gauß'schen Glockenkurve gemäß verteilt sind gilt, sie liegen mit einer Wahrscheinlichkeit
P(     y     ) 
 
 w( y)dy  0.683
(68%)
 
innerhalb des Intervalls - bis -! Für andere Intervallbreiten gilt :
P(   /  2 )  0.95 (95%)
P(   /  2.58 )  0.99 (99%)
b) Erwartete Lage des Mittelwertes
Der Bereich indem einzelne Messwerte mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit liegen ist groß ( +/-1σ für 68%
Wahrscheinlichkeit, ..).
Der Mittelwert besitzt freilich bessere Qualität als der einzelne Messwert und er wird näher beim wahren Wert liegen. Die
Qualität des Mittelwertes steigt klarerweise mit der Anzahl der Messwerte, rückt also mit zunehmender Anzahl von
Messwerten näher an den wahren Wert heran. Das Gebiet in dem der Mittelwert mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit
liegt wird also mit zunehmender Anzahl von Messwerten kleiner.
Der Bereich   /  
n
kennzeichnet ein mit zunehmender Messwerteanzahl n kleiner werdendes Gebiet
Auf den Begriff des ‚wahren Wertes’ wird nach GUM weitestgehend verzichtet, hier soll er dennoch…
Nach GUM (guide uncertainity measurement) sind andere Verteilungen einfach zu berücksichtigen
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um den wahren Wert in dem der aus n Meßwerten gewonnenen angenäherten Mittelwert
yi, mit einer
2 ; .. ) .
n
c) Erwartete Lage des wahren Wertes ( wahren, exakten Mittelwertes )
Weil der Abstand vom wahren Wert zum Mittelwert hin gleich groß ist wie umgekehrt der Abstand vom Mittelwert zum
wahren Wert hin, können wir die Lage des wahren Wertes ausgehend von der bekannten Position des Mittelwertes angeben.
Diese umgekehrte Argumentation ist für die Praxis wesentlich wertvoller als b), weil sie ausgehend von einem
bestimmbaren Wert ( dem Mittelwert ) Aussagen über einen prinzipiell nicht berechenbaren Wert ( den wahren Wert )
erlaubt.

Der Bereich um den Mittelwert y  / 
wird als Vertrauensgrenze bezeichnet und kennzeichnet ein Gebiet
n
Wahrscheinlichkeit von 68% liegt (Wahrscheinlichkeit 95% für
um den aus n Meßwerten gewonnenen angenäherten Mittelwert
  /
yi , in dem der wahre Wert  mit einer
Wahrscheinlichkeit von 68% liegt (Wahrscheinlichkeit 95% für y  /
2
; .. ) .
n
Theoretisch könnten nun wertvolle Aussagen zur Lage des wahren Wertes gemacht werden. Allerdings stellt sich das
Problem, dass die Standardabweichung praktisch nicht berechnet werden kann, weil sie zu Ihrer exakten Berechnung
unendlich viele Messwerte und der wahre Wert nötig wären!
Praktische Anwendung : Streuung, Vertrauensfaktor, Vertrauensbereich
Weil allerdings der wahre Wert  nicht bekannt ist und die Formel für die Standardabweichung unendlich viele Messwerte
verlangt ist die Bestimmung der Standardabweichung  nicht möglich. Deshalb wird in Anlehnung an die
Standardabweichung aber unter Verwendung des berechenbaren y i und nur einer endlichen Zahl von Messwerten in
Anlehnung an die Standardabweichung die berechenbare Streuung definiert :
s
1 n
( yi  y ) 2

n 1 1
Für n >> geht die stärker fehlerbehaftete Streuung in die Standardabweichung über.
In Anlehnung an die Vertrauensgrenzen wird der Vertrauensbereich eingeführt. Dazu wird die im Vergleich zur
Standardabweichung geringere Qualität der Streuung mit dem tabellierten Vertrauensfaktor t ( DIN 1319,
Studentverteilung ) berücksichtigt. Der Vertrauensbereich ist also gegenüber den Vertrauensgrenzen aufgrund der
schlechteren Qualität der Streuung gegenüber der Standardabweichung aufgeweitet. Die Aufweitung nimmt für eine
zunehmende Anzahl von Messwerten ab( die Streuung geht über in die Standardabweichung ).
Im Vertrauensbereich y  / 
Auszug aus DIN 1319
P = 68%
+/-1
n
t
3
1.32
4
1.2
10
1.06
100
1.00
->1 für n
(+/-1σ)
t 68 * s
liegt der wahre Wert  mit einer Wahrscheinlichkeit von 68%.
n
P=95%
+/-2
t
4.3
3.2
2.3
2.0
P=99%
+/-2.58
t
9.9
5.8
3.2
2.6
->2.0 für n
(+/-2σ)
2.58-> für n
(+/-2.58σ)
Damit ist es nun möglich für jeden Mittelwert einer Meßgröße eine präzise Angabe über seine statistische Sicherheit zu
geben :
t 99 * s
).
mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% liegt der wahre Wert innerhalb y  /  (
n
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Beispiel :
Eine Spannung wird 10 mal gemessen. Bestimme den 95% Vertrauensbereich :
y[V]
i
y
6.6 6.4 6.3 6.5 6.6 6.7 6.4 6.7 6.3 6.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 n
65
yi 
 6.5V

n 1
10
1 n
0.2
( yi  y ) 2 
 0.15V

n 1 1
10  1
s
n = 10; p = 95%  t95 = 2.3
t 95 * s
y  /
n
 6.5  / 
2.3 * 0.15
10
 6.5V  /  0.108V
D.h. mit 95% Wahrscheinlichkeit liegt der wahre Wert innerhalb 6.5+/-0.108V.
3. Fehlerfortpflanzung
Eingangskanäle
Zielergebnis
y1: y1,i
Y=f(Yj)
=f(yj,i)
yj: yj,i
Y,σ, ..
Das Zielergebnis ist eine Funktion mehrerer fehlerbehafteter Eingangsgrößen. Beispiel: Es werde zur Bestimmung des
Wertes eines Widerstandes in stromrichtiger Schaltung eine Meßreihe für den Strom und eine Messreihe für die Spannung
aufgenommen.
Die Messung ist einerseits mit systematischen Fehlern ( stromrichtige Methode = spannungsfalsch ) als auch mit
statistischen Meßfehlern ( Reibung, Ablesefehler,.. ) behaftet.
Der systematische Fehler der spannungsfalschen Spannungsmessung kann und soll unmittelbar behoben werden. Mit der
Fehlerfortpflanzungsrechnung für systematische Fehler kann aber auch der Einfluß der systematische Fehler auf die
Zielgröße ( Mittelwert des Widerstandswertes ) bestimmt werden.
Die statistische Sicherheit ( Streuung ) der Strom- und der Spannungsmessung kann berechnet werden. Mit der
Fehlerfortpflanzungsrechnung für statistische Fehler kann dann der statistische Fehler der bestimmt werden. Allerdings
muss dazu für jeden Eingangskanal j eine Messreihe yj bestehend aus den Messwerten yj,i aufgenommen werden.
Schließlich dient die Fehlerfortpflanzungsrechnung für Fehlergrenzen der Bestimmung von Fehlergrenzen der
Zielgröße für Fehler unbestimmten Vorzeichens ( z.B. Fehlerangaben der Meßgeräte ).
Fehlerfortpflanzung bei systematischen Fehlern
Y  f (y j )
y j ..Messreihe für die Meßgröße j
dY  
j
 f
 yj
dy j
yj
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Fehlerfortpflanzung statistischer Fehler ( der Streuung )
a) die Messkanäle sollen völlig unabhängig voneinander sein
n
 f
 ( y
sY 
1
s j )2
yj
j
b) die Messkanäle k und j sollen abhängig voneinander3 sein (sind korreliert)
Beispiel eine schwankende Spannungsquelle versorgt den über Strom- und Spannungsmessung auszumessenden
Messwiderstand.
sY 
n
 f
 ( y
1
n 1 n
j
yj
s j ) 2  2
j 1 k  2
 f
 yj
yj
 f
 yk
cov( y k , y j )
yj
mit cov( y k , y j ) 
n
1
( y j ,i  y j )( y k ,i  y k )

(n  1) i 1
Fehlerfortpflanzung bei Fehlern unbestimmten Vorzeichens ( z.B. Meßgeräteanzeigefehler )
dY  
j
 f
 yj
dy j
yj
4. Beispiel Widerstandsmessung
Vorgehensweise:
1. Aufnahme einer Meßreihe
2. Eliminierung von systematischen Fehlern mittels Korrekturkurven oder Korrekturrechnung
3. Berechnung der Mittelwerte und der Streuungen der Meßgrößen
4. Anwendung von Rechen- und Funktionsvorschriften zur Bildung des Mittelwertes des Zielergebnisses
5. Berechnung des statistischen Fehlers des Zielergebnisses mittels der Fehlerfortpflanzungsgesetze
1. Aufnahme einer Messreihe zum selben Widerstand
R
A
V
Die Streuung der der versorgenden Spannungsquelle sei vernachlässigbar, so dass die Messwerte von Strom und Spannung
unkorreliert seien. Diese Behauptung wird nachfolgend durch Berechnung der Kovarianz überprüft.
Die Fehlerklassen der Meßgeräte seien :
Amperemeter Ri,A = 0.1 Ohm, Meßgerätefehler 2%, Meßbereich 5A
Voltmeter Ri,V =100kOhm, Meßgerätefehler 2%, Meßbereich 10V
Meßwerte :
I[A]
1.1 1.0 0.9 1.1 1.0 1.1 0.9 1.2 0.9 1.1
U[V]
6.6 6.4 6.3 6.5 6.6 6.7 6.4 6.7 6.3 6.5
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Die Messung ergibt Werte ( Meßwerte, Meßreihe für U, I ), die im 2. Schritt um die systematischen Fehler bereinigt werden
müssen :
Die Kovarianz ‚cov’ zwischen allen korrelierten Messkanälen ist zu berechnen. Der Wert der Kovarianz ist ein Maß für
die Korreliertheit, sodaß diese anhand des Wertes der Kovarianz überprüft werden kann. cov->0 bedeutet die Kanäle sind
unkorreliert.
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2. Bereinigung um die systematischen Fehler
Die Spannungsmessung ist bei der stromrichtigen Methode verfälscht und korrigierbar :
Ukorr = U-I*Ri,A für die ganze Meßreihe durchzuführen.
i
I[A]
U[V]
Ukorr[V]
1
1.1
6.6
6.49
2
1.0
6.4
6.3
3
0.9
6.3
6.21
4
1.1
6.5
6.39
5
1.0
6.6
6.5
6
1.1
6.7
6.59
7
0.9
6.4
6.31
8
1.2
6.7
6.58
9
0.9
6.3
6.21
10
1.1
6.5
6.39
Falls der Einfluß der systematischen Fehler auf die Zielgröße interessiert, kann dies mit der Fehlerfortpflanzung für
systematische Fehler mit dem
Formalismus dY  
j
dY  
j
dR 
 f
 yj
R
U
dU 
 f
 yj
untersucht werden :
dy j
yj
dy j :
yj
R
I

dI
yj
1
U
Ri I  2 dI
I
I
 Ri
yj
Wenn außerdem die Eingangsspannung nicht absolut konstant ist, entsteht durch ihre Schwankung eine weiterer
systematischer Fehler der die Streuung von Strom und Spannung und die Streuung des Zielergebnisses verschlechtert.
Deshalb soll dieser systematische Fehler behoben werden.
3. Mittelwerte und Streuung der U- und I-Meßreihen
U
sU 
1 n
U i  6.397V ;
n 1
1 n
 (U i  U ) 2  0.1402V
n 1 1
I
1 n
 I i  1.03 A
n 1
sI 
1 n
 ( I i  I ) 2  0.1059 A
n 1 1
Überprüfung der Korreliertheit der beiden Messkanäle
cov(U , I ) 
n
1
 (U i  U )( I i  I )  0.00122V
(n  1) 1
cov(U , I )  0,0349
die Korreliertheit der beiden Kanäle ist kaum vernachlässigbar! ( vergleiche cov0.5 mit su, si, bzw cov mit su*si,)
4. Berechnung des Mittelwertes des Zielergebnisses
R
U 6.397

 6.2106Ohm
I
1.03
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5. Berechnung der statistischen Sicherheit des Zielergebnisses mittels Fehlerfortpflanzung
Der Statistische Fehler des Zielergebnisses R :
sY 
 f
n
 ( y
1
s j )2
yj
j
R
U
R
I
1
U
1
6.397
sI ) 2  ( sU ) 2  ( 2 sI ) 2  (
0.14) 2  (
0.1059) 2  0.653
I
I
1.03
1.032
Berücksichtigen wir die Korreliertheit der beiden Messkanäle:
sR  (
sY 
 f
n
 ( y
1
sR  (
(
sU ) 2  (
R
R
n 1 n
yj
j
R
U
s j ) 2  2
j 1 k  2
sU ) 2  (
R
R
I
 f
 yj
yj
sI ) 2  2
R
 f
 yk
cov( yk , y j ) 
yj
R R
1
U
1 U
cov(U , I )  ( sU ) 2  ( 2 sI ) 2  ( 2 ) cov(U , I ) 
U I R
I
I
I I
1
6.397
1
6.397
0.14) 2  (
0.1059) 2  2
(
)0.00122  0.642
2
1.03
1.03
1.03 1.032
Der Unterschied ist kaum vernachlässigbar. Die beiden Messkanäle weisen korrelierte Messwerte auf!
Mit der Anzahl der Meßwerte ( Länge der Meßreihe ) n und DIN1319  t=2.3.
t9 5*s
)
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt der wahre Wert innerhalb y  /  .(
n
t
*
s
s
0.642
t95 R  2.3 *
 0.467
R  /  ( 95 )  6.2107  /  0.467Ohm
n
10
n
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% liegt der Widerstand innerhalb 6.2107+/- 0.467 Ohm.
Falls es von Interesse ist, können die Fehlergrenzen für R aufgrund der Fehlergrenzen der Messgeräte wie folgt bestimmt
werden :
Amperemeter
Voltmeter
dY  
j
dR 

 f
 yj
R
U
2% von 5 A = 0.1A
2% von 10V = 0.2V
Fehlergrenzen des Zielergebnisses =?
dy j
yj
dU 
R
I

dI
yj
1
dU 
I
U
dI
I2

yj
1
dU 
I
R
dI
I
1
6.2107
0.2 
0.1  0.79
1.03
1.03
Die Grenzen des Widerstandsfehlers aufgrund der Meßgeräte - Fehlergrenzen : 6.2107+/- 0.79 Ohm
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5. Kombination von unterschiedlichen Fehlertypen
Serienschaltung zweier Widerstände – Meßunsicherheit nach GUM4
Es soll ein Widerstand von 100,22 Ohm erstellt werden. Zur Verfügung stehen ein Widerstandsnormal und eine
Widerstandsdekade, die in 0.1Ohm Schritten verstellt werden kann.
yj
RNorm
RDec
RKonInt
RKonExt
Modellgleichung, Prozeßgleichung
R=RNorm+RDec+RKonInt+2*RKonExt
R
RNorm
RDec
RKonInt
RKonExt
f
.. Zielgröße, Ausgangsgröße
.. Normalwiderstand
.. Widerstand der Dekade
.. Übergangswiderstand zwischen den Widerständen
.. Übergangwiderstand
R=
RNorm+
RDec+RKonInt
+2*RKonExt
Y
R
.. 4 Eingangskanäle
Referenzwiderstand:
RNorm=99,92Ohm, mit einer erweiterten Messunsicherheit5 Uk=2;95%=10mOhm laut Kalibrierschein
=> sNorm=5mOhmn=50 ( wird angenommen, wenn aus dem Kalibrierschein nicht ersichtlich)6
Widerstandsdekade
Um den Wert 100,22 gut erreichen zu können werden, wird ein Wert von 300mOhm eingestellt . Der Hersteller gibt eine
maximale Meßunsicherheit (Fehlergrenzen, MPE- Maximum permissible error, Rechteckverteilung!) von +-20mOhm an.7
=> RDec =0,3 sDec=20mOhm/√3
n=∞
Interne Verbindung
Der Widerstandwert wurde durch empirische Untersuchungen ermittelt:
I
RKonInt/mOhm
1
8,5
2
12,5
3
7,3
4
6,3
5
7,4
=>RKonInt =8,4mOhm, sei normalverteilt sKonInt=4mOhm
6
7,7
7
8,8
n= 7
Externe Verbindung
Die Widerstandskombination hat zwei externe Anschlüsse . Der Widerstand sei 0Ohm mit einer Maximalfehler von
2.5mOhm (rechteckverteilt)
=> RKonExt =0mOhm, sei rechteckverteilt sKonExt=2,5mOhm/√3
4
n=∞
(ISO-Guide of expression of Uncertainty of Measurement) darin werden die Grundlagen DIN1319 zunehmend ersetzt
durch GUM und in Deutschland/Österreich/Europa DIN ENV13005
Beispiel aus/nach Pesch ‚Bestimmung der Meßunsicherheit nach GUM’, www.messunsicherheit.com
Beachten Sie: statt Fehler finden die Begriffe Meßabweichung, statt Mittelwert der Schätzwert Verwendung,.. ; der wahre
Wert wird als Begriff eher gemieden
5
Statt 95%Vertrauensbereich o.ä.wird gerne verwendet: Unsicherheit U95% oder Uk=2 , wobei k der Erweiterungsfaktor für
95% (k=2) und 99,5% (k=2,58) darstellt; überhöhte Erweiterungsfaktoren t, gemäß Tabelle Seite 4 sind bei kleiner
Anzahl von Messwerten einzusetzen
6
Nach GUM wird eigentlich die bessere Größe Freiheitsgrad eingesetzt ( siehe Pesch..)
7
Für Rechteckverteilungen gilt: σ=s=Fehlergrenze/√3, n=∞
für Dreiecksverteilungen gilt: σ=s=Fehlergrenze/√6, n=∞
für U-Verteilungen gilt: σ=s=Fehlergrenze/√2, n=∞
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FH-Dornbirn, HTW-Chur, Statistik und Fehlerfortpflanzung
V2.1
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Zielergebnis
R=RNorm+RDec+RKonInt+2*RKonExt=100,22
2
 Y 
s R   j 1 
s  
 y j 
 j 
4
2
2
2
 R
  R
  R
  R

 
s RNorm   
s RDec   
s RKonInt   
s RKonExt 
 RNorm
  RDec
  RKonInt
  RKonExt


1 * s RNorm 2  1 * s RDec 2  1 * s RKonInt 2  2 * s RKonExt 2

1 * 5mOhm 2  1 * 20mOhm 

2

2
2
 2,5mOhm 
2
 1 * 4mOhm    2 *
  13,5mOhm
3



3
Tabellarisches Meßunsicherheitsbudget
normal
rechteckig
normal
rechteckig
0.005
0.02/√3
0.004
0.0025/√3
R68%
R95%,k=2
100,22
100,22
Unsicherheitsbeitrag
99,92
0,3
0,0084
0
7
n-1
RNorm
RDec
RKonInt
RKonExt
6
Sensitivitätskoeffizient
∂Y/∂yj
5
sj
4
Verteilung
3
Schätzwert
2
Eingangskanal
Einflußgröße
1
1
1
1
2
50
∞
6
∞
0,005
0.0116
0.004
0.003
sR
Uk=2
0.0135
0.027
Abschätzung der (fiktiven) Anzahl von Messungen des Zielergebnisses8 zur Bestimmung von t:
n
4

j 1
Y
s4
x j s j 
4
nj 1

0.014 4
(1 * 0,005) 4 (1 * 0,020 / 3 ) 4 (1 * 0,004) 4 (2 * 0,0025 / 3 ) 4



50

6

 900
Für einen Freiheitsgrad n=900 > 50 reicht die Erweiterungsfaktor 2 zur Erreichung einer 95% Wahrscheinlichkeit (siehe
Tabelle Seite4, ansonsten sind die Studentfaktoren t zur Erweiterung aus der Tabelle zu entnehmen.
Messergebnis
8
R=100,22Ohm +-27mOhm incl. einer mit 2 erweiterten Meßunsicherheit (95%)
eigentlich: Freiheitsgrad des Zielergebnisses, siehe GUM/Pesch
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6. Kurvenanpassung
Es soll die Funktion f(a,b,c,..) durch optimale Anpassung der Parameter a,b,c.. an eine gegebene Messreihe angepasst
werden. Beispiel: Die Diodenkennlinie folgt theoretisch Id=Is(eU/m0.025-1). Die Parameter Is und m sind so einzustellen, dass
der theoretische Verlauf optimal in eine gegebene Messreihe (Ud, Id) passt. Dazu wird ein Gütekriterium ( meist die Summe
der Fehlerquadrate) optimiert. Dies kann auf analytischem Wege (siehe unten) oder mit geeigneten Programmen numerisch
erfolgen (z.B. Excel, siehe entsprechendes File auf dem LMS).
a)Lineare Regression
Die lineare Regression legt ein Gerade so durch die Vielzahl der Wertetuppel (xi,yi), daß die Summe der Abstandsquadrate
der einzelnen Meßpunkte zur Geradenkennlinie y = ax + b ein Minimum wird. Die lineare Regression liefert dabei
eindeutig die optimalen Koeffizienten a und b :
y  ax  b
f (a, b)   (axi  b  y i ) 2 
 Min
df (a, b)
 2 (axi  b  y i ) xi  2(a xi2  b xi  yi xi )  0
da
df (a, b)
 2 (axi  b  y i )  2(a xi  b  yi )  0
Matrixschreibweise :
db
 xi2

 xi
a   xi2
xi  a   y i xi 
   
 
1  b   y i 
b   xi
1
xi   y i xi 
 

1   yi 
b) quadratische Regression
y  ax 2  bx  c
f (a, b, c)   (axi2  bxi  c  y i ) 2 
 Min
df (a, b, c)
2
3
2
2
 2 (axi2  bxi  c  y i ) xi  2(a xi4  b xi  c xi  y i xi )  0
da
df (a, b, c)
2
1
1
 2 (axi2  bxi  c  y i ) xi  2(a xi3  b xi  c xi  y i xi )  0
db
df (a, b, c)
1
0
0
 2 (axi2  bxi  c  y i )  2(a xi2  b xi  c xi  y i xi )  0
Matrixschreibweise :
dc
 xi4
 3
 xi
x 2
 i
xi3
xi2
xi1
2
4
xi2  a   y i xi 
a   xi




xi1  b    y i xi   b    xi3
 c   xi2
xi0   c   y i 




xi3
xi2
xi1
xi2 

xi1 
xi0 

1
y x 2 
 i i 
 y i xi 
 y 
 i 
usw.
Anmerkung:
Für den Fall, dass der Funktionszusammenhang prinzipiell bekannt ist, ist es empfehlenswert diese Funktion auf der
entsprechenden Achse im Diagramm abzutragen und dann mit linearer Regression zu arbeiten. Beispiel: Diodenkennlinie;
es ist bekannt, dass es sich um eine e-Funktion handelt iD=K1*eu*K2, also wird auf der x-Achse nicht u sondern eu
dargestellt. Die Diodenkennlinie wird dadurch zur Geraden. Die lin. Regression kann angewandt werden. Somit können
die Konstanten K1 und K2 optimal gewonnen werden, sodass sich die theoretische e-Funktion optimal bezüglich der
Gütefunktion ‚min. Fehlerquadrate’ in die Messwerte einpasst.
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