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Fr,27.3.09
Integrationsmethoden: Substitution und partielle Integration
1.) Gegeben ist die Funktion y  2 x  sin 2 x
0,   , die vom Graphen, der x-Achse und der Ordinate
Berechne das Maß der Fläche in
(=Parallele zur y-Achse) in

eingeschlossenen wird.
2
Extrema, W und Zeichnung- in0,  
siehe Übungszettel zur 2.SA- Bsp 6 )
(Diskussion der Kurve:
Das Flächenstück ,das der Graph in den Ordinaten der beiden besonderen Wendepunkten bildet,
rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen des so entstandenen Rotationskörpers.
Bem.:
 sin
2
2x 
x sin 4 x

2
8
1
sin 2 x  sin x
2
Berechne das Maß der Fläche, die die Kurve in0,2  mit der x-Achse einschließt.
(Diskussion der Kurve: siehe Übungszettel zur 2.SA- Bsp 7 )
2.) Gegeben ist die Funktion y 
3.) Gegeben ist die Funktion
f : 0;2   R
y  sin 2 x  cos x 
1
.
4
Ermittle 1.) Nullstellen
2.) Extrema (H oder T)
Zeichne den Graphen.
Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph zwischen den beiden Hochpunkten
mit der x-Achse einschließt.
4.) Gegeben ist die Funktion
f : 0;2   R
y
1
 cos x
4
Das Flächenstück ,das der Graph in den Ordinaten der beiden Wendepunkte bildet, rotiert
um die x-Achse. Berechne das Volumen des so entstandenen Rotationskörpers.
(Diskussion der Kurve: siehe Übungszettel zur 2.SA- Bsp 8 )
5.) Diskutiere die Funktion
f : 0;2   R
berechne
1.) Nullstellen
2.) Extrema (H oder T)
4.) Die Gleichung der Wendetangenten
und
5.) Zeichne die Kurve
y  sin 2 x  sin x
3.) Wendepunkte
Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph und die x-Achse begrenzen
1
 
y   x  1  e 2
2

x
6.) Gegeben ist die Funktion
Berechne das Maß der Fläche im 2.Quadranten
(Diskussion der Kurve: siehe Übungszettel zur 2.SA- Bsp 9 )
7.) Gegeben ist die Kettenlinie y 

1 x
e  e x
2

Berechne das Maß der Fläche unter der Kurve in
 2;2
(Diskussion der Kurve: siehe Übungszettel zur 2.SA- Bsp 10 )
8.)
Gegeben ist die Funktion


y  x  4 e
2

x
2
Berechne das Maß der Fläche das der Graph in
 1;5
unter der Kurve bildet.
(Diskussion der Kurve: 1.) Wendepunkte 2.) Die Gleichung der Wendetangenten
siehe Übungszettel zur 2.SA- Bsp 11 )
9.) Gegeben ist die Funktion
y  e  x   x  2
berechne
1.) Nullstellen
2.) Extrema (H oder T)
4.) Die Gleichung der Wendetangenten
und
5.) Zeichne die Kurve
3.) Wendepunkte
Berechne das Maß der Fläche das der Graph von der Nullstelle bis zur Geraden x=4 unter der
Kurve bildet.
10.) Gegeben ist die Funktion
y  x2  ex
2
berechne
1.) Nullstellen
2.) Extrema (H oder T)
und
4.) Zeichne die Kurve
3.) Wendepunkte
Berechne das Maß der Fläche das der Graph im Intervall
einschließt.
 2;2 mit der x-Achse
Grundaufgaben zur WH:
Vektorwissen in
R3
Formel für die Normal(vektor)form einer Geraden in
R 2 bzw. Ebene in R 3
X  n  X1  n
11.) Gegeben ist der Punkt A einer Ebene
A1 / 2 / 3
 4
 
n   1
  3
 
Ges.: Gleichung der Ebene  in NVF
Flächeninhalt eines Dreiecks ABC
A
1
AB  AC
2
A
1
 n
2
Flächeninhalt eines Prallelogramms ABCD
A  AB  AD
A n
WH : das vektorielle Produkt zweier Vektoren im Raum wird definiert als
 a x   bx   a y bz  b y a z 

       
c  a  b   a y    b y     a x bz  bx a z 
a  b   a b  b a 
x y 
 z  z  x y
12.) Gegeben sind 3 Punkte eines Dreiecks ABC
A 3 / 1/  2
B5 / 0 / 3 C3 / 4 /  2
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit obiger Formel
  63 
  62 




13.) Geg.: Gerade g......... X    6   t    3 
  12 
 10 




Ebene
 .....2 x  3 y  4 z  1
Gesucht ist der Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene
14.) Zeige dass die beiden Geraden
  3
  2
 
 
g.........X    2   s    3 
  2
 1
 
 
 0
  1
 
 
h......... X    5   t    9 
 1
  5
 
 
einen Schnittpunkt S haben.
15.) Gegeben sind die beiden Vektoren
  5
 
a    3
  2
 
  6
 
b   2 
  4
 
 
Gesucht ist das vektorielle Produkt a  b sowie der Flächeninhalt des von den beiden
Vektoren aufgespannten Parallelogramms.
Welche Eigenschaften besitzt das vektorielle Produkt?? Gib eine komplette Übersicht mit
Skizzen!
Komplexere Aufgaben zur Vektorrechnung im Raum
Bem.: die Bspe 11 bis 15 sind Voruassetzung für 16!!!
16.) Zeige, dass die beiden Geraden
g:
  9   4

  
X    4  t   1
 1   2

  
  11
 8 




h : X    7   u   2
 5 
  3




einander schneiden.
Ihr Schnittpunkt S sei die Spitze eines Tetraeders, dessen Grundfläche
durch das Dreieck ABC A 2 / 4 / 3 B 4 / 8 / 2 C 1 / 2 / 9 bestimmt werde.
 





a ) Ermittle das Volumen des Tetraeders !
b)
Zum Lösen dieses Beispiels benötigt man ein Produkt zweier Vektoren. Wie heißt es und
welche Eigenschaften besitzt es?
17.) Die Punkte
A  1/ 2 / 3 B  2 /  2 / 0 C 4 /  2 /  2 sind die Basiseckpunkte
eines
Tetraeders ABCS mit der Spitze
S 11/  13 / 19
a) Berechne die Länge der Raumhöhe h auf 2 verschiedene Arten:
1.) mittels HNF
2.) mittels Ermittlung des Fußpunktes
b) Bestimme das Volumen V auf 2 verschiedene Arten
c) Bestimme den Neigungswinkel den die Kante AS mit der Grundfläche einschließt.
A 1/ 5 /  2 B 4 / 1/ 4 C 4 / 2 / 2 sind die Basiseckpunkte einer
dreiseitigen Pyramide ABCS mit der Spitze S 3 /  3 / 1
18.) Die Punkte
a) Berechne die Länge der Raumhöhe h auf 2 verschiedene Arten:
1.) mittels HNF
2.) mittels Ermittlung des Fußpunktes
b) Bestimme das Volumen V auf 2 verschiedene Arten
c) Bestimme den Neigungswinkel den die Kante BS mit der Grundfläche einschließt.
19.) das Dreieck ABC
A5 / 10 / 6
B 5 / 11/ 7 und C
C ist der Schnittpunkt der Geraden g und der Ebene
ist die Basis einer Pyramde mit der Spitze
  7
  4
 
 
g......... X    6   t    6 
  3
  5
 
 
1
S  2 / 0 / 11
1.....5x  2 y  6z  3
1.) die Gleichung der durch das Basisdreieck ABC festgelegten Ebene

2.) die Höhe der Pyramide
3.) die Fläche des Basisdreiecks ABC
20.) Die Basiseckpunkte einer rechteckigen Pyramide
A  1 / 2 / 3 B x2 /  2 / 0 C 4 / y3 / z3  Dx4 / y 4 / z 4  liegen in der Ebene
 .....2 x  5 y  6 z  d  0 .Die Spitze S liegt senkrecht über dem Eckpunkt D auf der Geraden
 7 
  4


 
g......... X    18   t    5 
  20 
 1


 
Zeige die Übereinstimmung mit
B  2 /  2 / 0 C 4 /  2 /  2 D5 / 2 / 1 und ermittle das
Volumen des Tetraeders !
21.) Um die Entfernung zweier Schiffsbojen A und B im Atlantik zu bestimmen, steckt man
am
Strand eine 1000m lange Standlinie PQ ab und misst folgende Winkel:
  APB  31.9 o
  APQ  55.80
  BQP  33.7 0   AQB  32.7 0
a) Berechne die Entfernung zwischen den Bojen.
Argumentiere an Hand dieses Beispiels, welchen trigonometrischen Satz man bei welchem
Dreieck anwenden muss!
b) Zeige einen 2.Lösungsweg dieses Beispiels!
22. Um die Entfernung zweier unzugänglicher Geländepunkte X und Y zu ermitteln, steckt man
AB  a  400m ab und misst die Winkel
BAX    112 0 24' BAY   '  330 36' ABX    430 06' ABY   '  1130
eine Standlinie
Berechne
XY!
  17 0 ansteigenden Straße sieht man die
0
Spitze eines in Richtung der Straße stehenden Turmes unter dem Höhenwinkel   30.5
23 Vom Punkt A einer geraden, unter dem Winkel
und von dem um 100 Meter näher beim Turm liegenden Punkt B unter dem Höhenwinkel
  40,4 0.
Wie hoch ist der Turm??
a  AB  253m , die Diagonale e  AC  187m, der
0
Winkel BAD    58,7 und die Trapezhöhe h  75m
24 In einem Trapez ABCD ist die Seite
gegeben. Berechne die Fläche des Trapezes!
25
Berechne die Entfernung PQ
AB  s
s  2748m   30,2 0
  41,4 0
  116,10   121,6 0
26 Von einem 1,8m über einem Teich liegenden Fenster eines Hauses sieht man die Spitze eines
Turmes unter dem Höhenwinkel
  29
0
  16 0
und das Spiegelbild im Teich unter dem Tiefenwinkel
. Wie hoch ist der Turm?
27 Von einem Punkt eines Flußufers aus sieht man die 10m voneinander entfernten unteren
Kanten zweier übereinanderliegender Fenster eines am anderen Ufer befindlichen Turmes unter
den Höhenwinkeln
  9 0 39'   130 7' . Wie hoch liegt das untere Fenster über dem Fluß?
Wie breit ist der Fluß?
Im rechtwinkeligen Dreieck gilt:
Gegenkathete
Ankathete
Sinus : sin  
Co sin us : cos  
Hypotenuse
Hypotenuse
Gegenkathete
Ankathete
Tangens : tan  
Co tan gens : cot  
Ankathete
Gegenkathete
mit dem Sinussatz sind zu lösen:
1.) Geg: 1 Seite und 2 Winkel
WSW
2.) Geg: 2 Seiten und der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel
SSWg
Der Sinussatz
a
b
c


sin  sin  sin 
a : b : c  sin  : sin  : sin 
mit dem Cosinussatz sind zu lösen:
1.) Geg: 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel SWS
2.) 3 Seiten gegeben
SSS
Der Cosinussatz
c 2  a 2  b 2  2ab cos 
b 2  a 2  c 2  2ac cos 
a 2  b 2  c 2  2bc cos 
a2  b2  c2
2ab
2
a  c2  b2
 cos  
2ac
 cos  
 cos  
b2  c2  a2
2bc
1.)


E1  W1 0 / 0Terrassenp unkt E 2  W2  / 2 Terrassenp unkt W3  /  
2 
E3 2 / 4   nicht im Intervall
A= 1.467401097 FE
V= 154.5527989 VE
2.)
N1 0 / 0 N 2  / 0 N 3 2 / 0
 4

 2

H
 4.1887 / 1.299  T 
 2.0943 /  1.299 
 3

 3

W1 0 / 0Sattelpunkt W2  / 0 W3 2 / 0Sattelpunkt W4 1.318 /  0.726 W5 4.965 / 0.726
wt1 ... y  0 wt 2 .... y  2 x  2
A =4 FE
 2 
 4 
/ 0 N2 
/ 0
 3

 3

3.) N 1 
wt 3 ... y  0 wt 4 .... y  1.125x  0.76 wt 4 ...... y  1.125x  6.31
 
 5 
H 1  / 1 H 2 
/ 1
3 
 3 
5
3
 3


T1  0 /  T2   /   T3  2 / 
4
4
 4


A= 0.2518405553 FE
4.)
N1 1.8234765 / 0 N 2 4.459 / 0
H 0 / 1.25 T1  /  0.75 H 2 2 / 1.25
 1
 3 1 
W1  /  W2 
/ 
 2 4
 2 4
wt1…..y = -x + 1.820796326
wt2……y = x - 4.462388980
V= 2.410059821 VE
 
 5 
N 2  / 0 N 3 2 / 0 N 4  / 0  N 2 
/ 0
3 
 3

H1 0.567 / 0.369 H 2 4.077 / 1.760
T1 5.715 /  0.369 T2 2.205 /  1.760
W1 0 / 0 W2  / 0 W3 2 / 0 W4 1.445 /  0.744 W5 4.837 / 0.744
5.) N 1 0 / 0 
A=5FE
6.) N  2 / 0 
1
3
 2

H 0 / 1 W  2 /  0.735758  wt ...... y    x   0.183x  1.103
2e
e
 e

F  2e  4  1.4365FE
7.) N existieren nicht
T 0 / 1
W existieren nicht , wt ebenso nicht


F  e 2 e 4  1  7.2537 FE
 40

 8

8.) W1  6 / 3  1.991482735  W2  2 /  2.943035529 
 e

 e

8
88
wt1 ... y   3 x  3  0.398296547 x  4.381262016
e
e
F  11.26435259FE
9.) N  2 / 0 H  1/ e W 0 / 2
F=7.260846627 FE
wt 2 ... y 
8
e
-> y=2.943035529
 1
10.) N 0 / 0  T 0 / 0  H 1 1 /  W1, 2  1.51 / 0.23 W3, 4  0.47 / 0.18
 e
A=0.8454501129FE
11.)
12.)
13.)
14.)
4 x  y  3z  11
A  45FE
S  1/ 3 /  2
S  1 /  4 / 4
  8
  1
 
 
15.) a xb    8   8    1
  8
  1
 
 
A  8 3FE
Gesetze und Egs .des Vektorprodukts:
(siehe auch Bsp.16!!)
16.) a) S 5 / 3 / 1 V 
77
VE  12.83333VE
6
b) das vektorielle Produkt oder Kreuzprodukt wird benötigt- Eigenschaften: siehe voriges
Bsp!!
17.)
a) h  24.18677324LE
 ....2x  5 y  6z  6
b) V  130 VE
c)   75.34594539°
ne  a g
cos  
  90 0    90 0  
n  a g
18.)
a) h  5LE
 ....2 x  6 y  3z  26
b) V = 5.833333333VE
c)   78.69006749°
ne  a g
cos  
n  a g
 31 9 22 
F / / 
7 7 7 
 *  90 0     *  90 0
19.) 0) DreieckABC :  ....  x  7 y  3z  93
62
1) h 
 8.0717
95
2) A=23.04FE
20.) S 11/  13 / 19 V  260VE
F 5 / 2 / 1