Aufgabenstellung_grafLoes

Lineare Gleichungssysteme - grafisches Lösungsverfahren
(Aufgabenblatt zum interaktiven GeoGebra-Arbeitsblatt)
Rätsel:
Ein Bauer hat Schweine und Hühner. Die insgesamt 30 Tiere haben 74 Beine.
Wie viele Schweine und wie viele Hühner gibt es?
 Notiere unter der Überschrift "Lineare Gleichungssyteme" gleich dieses Rätsel.
1. Der Punkt A im Koordinatensystem gibt an, wie viele Schweine (x-Koordinate) und
Hühner (y-Koordinate) es gibt. Er lässt sich frei bewegen. Deshalb sind auch
Kombinationen einstellbar, die überhaupt nicht zur Aufgabenstellung passen.
a. In der voreingestellten Position A = (3|27) gibt es zwar 30 Tiere, aber wie sieht es
mit der Anzahl der Beine aus? Berechne sie!
b. Finde eine Position für den Punkt A, bei dem zwar die Anzahl der Beine stimmt,
aber nicht die Anzahl der Tiere!
c. Aktiviere das Kontrollkästchen "Anzahl Tiere und Beine einblenden" und suche
weitere Positionen für A, bei denen entweder die Tiere oder die Beine stimmen.
Vielleicht findest du durch Probieren sogar schon die Lösung des Rätsels.
2. Bisher haben wir nur probiert. Ziel ist es, einen systematischen Lösungsweg zu finden,
bei dem man nicht probieren muss.
Dazu fassen wir die beiden Bedingungen aus dem Aufgabentext in mathematische
Sprache:
----------- Ab hier mitschreiben -----------------Wir legen Variablen für die gesuchten Größen fest:
x: Anzahl der Schweine
y: Anzahl der Hühner
Wir stellen Gleichungen mit diesen Variablen auf:
I. Anzahl der Tiere: x + y = 30
II. Anzahl der Beine: 4x + 2y = 74
Nun müssen wir eine Zahlenkombination für Schweine und
Hühner finden, die beide Gleichungen erfüllt.
Lösungen für I. sind z. B.: (1|29); (2|28); ... (Ergänze bis (8|22) !)
Lösungen für II. sind z. B.: (1|35); (2|?); ... (Ergänze bis (8|?). Du kannst dabei auch
wieder am PC mit dem Punkt A spazieren fahren.)
------------------ Ende mitschreiben ----------------------Genau eine Lösung kommt in beiden Listen vor.
 Markiere sie farbig!
Diese gemeinsame Lösung der beiden Gleichungen ist die Lösung des Rätsels.
 Formuliere einen Antwortsatz für das Rätsel und schreibe ihn auf!
3. Auch bei 2. war noch Probieren im Spiel. Nun wird es ganz systematisch:
Ist dir aufgefallen, wie sich im Koordinatensystem die Punkte verteilen, für die eine der
Bedingungen erfüllt ist? Sie sind nicht wild verstreut, sondern liegen jeweils auf einer
Geraden. Aktiviere das Kontrollkästchen "Geraden einblenden" und probier es noch mal
aus!
 Zeichne nun das Koordinatensystem auch in dein Heft!
----------- Ab hier mitschreiben -----------------Wenn man die Lösungen der einzelnen Gleichungen in einem Koordinatensystem als
Punkte darstellt, so liegen sie jeweils auf einer Geraden.
------------------ Ende mitschreiben ---------------------- Zeichne die Punkte für die beiden Gleichungen mit zwei verschiedenen Farben ein
und verbinde sie zu zwei Geraden
 Kontrolliere dein Schaubild durch Vergleichen mit dem auf dem interaktiven
Arbeitsblatt!
 Wo liegt nun die gemeinsame Lösung der beiden Gleichungen? Formuliere dazu
einen Satz und schreibe ihn ins Heft. Ergänze dann noch folgendes: "Eine solche
gemeinsame Lösung von zwei Gleichungen bezeichnet man auch als Lösung des
Gleichungssystems."
4. Und nun noch ein Trick, mit dem man sehr schnell die zugehörige Geraden zu den
beiden Gleichungen zeichnen kann:
Löse einfach die beiden Gleichungen nach y auf! So erhältst du die
Funktionsgleichungen der Geraden in der Form
y = m x + b,
wobei b der Y-Achsenabschnitt und m die Steigung ist.
Dann sollte das Zeichnen kein Problem mehr sein...
Mach auch zu diesem Trick noch einen Hefteintrag:
„Um die Geraden zeichnen zu können, ….“
 Löse die Gleichungen auf
 Kontrolliere, indem du mit den Gleichungen vergleichst, die in diesem Programm oben
angezeigt werden.
5. Formuliere eine Art "Kochrezept", wie man Gleichungssysteme grafisch löst!
Herzlichen Glückwunsch! Jetzt hast du eine Pause verdient!
Und dann bist du fit für erste Übungen aus deinem Mathebuch.