Elektrodynamik und Optik

Universität Regensburg
Fakultät Physik
Theoretische Physik II (für Lehramt)
Elektrodynamik und Optik
Prof. Dr. Tilo Wettig
Sommersemester 2009
LATEX: Frank Reinhold
Inhaltsverzeichnis
0 Einleitung
5
1 Mathematische Hilfsmittel
1.1 Diracsche Delta-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Vektorfelder und Differentialoperatoren (in karthesischen Koordinaten)
1.3 Linien-, Flächen- und Volumenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Krummlinige, aber orthogonale Koordinaten in 3 Dimensionen . . . .
1.6 Zerlegungs- und Eindeutigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
10
13
14
15
18
2 Elektrostatik (im Vakuum)
2.1 Ladung und Ladungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Coulombsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Elektrostatisches Feld und Skalarpotential . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Poisson- und Laplace-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Gaußsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Maxwell-Gleichungen der Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Elektrostatische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Feldverhalten an Grenzflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Kapazität und Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Randwertprobleme I: Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Randwertprobleme II: Greensche Funktion . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 Randwertprobleme III: Methode der Spiegelladung (Bildladung) . .
2.13 Randwertprobleme IV: Entwicklung nach orthogonalen Projektionen
2.13.1 Orthogonale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13.2 Variablenseparation in kartesischen Koordinaten . . . . . . .
2.13.3 Variablenseparation in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . .
2.13.4 Variablenseparation in Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . .
2.14 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
21
21
21
22
23
23
24
24
25
25
26
28
31
31
34
35
41
43
3 Magnetostatik
3.1 Strom und Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Biot-Savart-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Kraft und Drehmoment auf Ströme und bewegte Ladungen .
3.4 Maxwell-Gleichungen der Magentostatik und Vektorpotential
3.5 Magnetisches Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Feldverhalten an Grenzflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
47
47
47
48
49
51
54
4 Zeitabhängige elektro-magnetische Felder
4.1 Faradaysches Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . .
4.2 Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~ und B
~ . . . . . . . . . . . . .
4.3 Wellengleichungen für E
4.4 Skalar- und Vektorpotential, Eichtransformationen . .
4.5 Elektro-magnetische Wellen im Vakuum . . . . . . . .
4.5.1 Homogene Wellengleichung . . . . . . . . . . .
4.5.2 Einfluss von Quellen und retaridierte Potentiale
4.5.3 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.4 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Energie und Impuls des elektro-magnetischen Feldes .
4.7 Felder beschleunigter Ladungen . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
55
55
55
56
56
58
58
59
61
61
61
61
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
Inhaltsverzeichnis
4.7.1
4.7.2
4.7.3
4.7.4
Erzeugung von elektro-magnetischer Strahlung . . . . . . . . . .
Elektrische Monopolstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektrische Dipolstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Magnetische Dipolstrahlung und elektrische Quadrupolstrahlung
5 Elemente der Elektrodynamik in Materie
5.1 Mikroskopische Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Aufteilung der Quellen und Felder . . . . . . . . . .
5.1.2 Mikroskopische und makroskopische Felder . . . . .
5.2 Linear Response (Lineare Antwort) . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Mikroskopische Responsefunktion . . . . . . . . . . .
5.2.2 Makroskopische Responsefunktion . . . . . . . . . .
5.3 Makroskopische Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Räumliche Mittelung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Polarisation und Magnetisierung . . . . . . . . . . .
~ und H
~
5.3.3 Makroskopische Maxwell Gleichungen mit D
5.3.4 Fedlverhalten an Grenzflächen . . . . . . . . . . . .
5.4 Elektrische Suszeptibilität und molekulare Polarisierbarkeit
5.4.1 Suszeptibilität nach Clausius und Mossotti . . . . .
5.4.2 Di-, Para- und Ferroelektrika . . . . . . . . . . . . .
Literaturverzeichnis
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61
63
63
66
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
69
69
69
69
70
70
71
72
72
72
73
73
74
74
74
77
0 Einleitung
• klassische Elektrodynamik = (vereinheitlichte) Theorie über Elektrizität und Magnetismus
Ladungen und Ströme erzeugen elektrische und magnetische Felder, diese
– wirken auf die Materie zurück
– können sich als elektro-magnetische Wellen ausbreiten
• vollständig beschrieben durch die Maxwell-Gleichungen (in SI-Einheiten):
~ ·D
~ =%
∇
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ×H
~ − ∂ D = J~
∇
∂t
~
~ ×E
~ + ∂B = 0
∇
∂t
(0.1)
(0.2)
(0.3)
(0.4)
% = Ladungsdichte
J~ = Stromdichte
~ = elektrisches Feld
E
~ = magnetische Flussdichte / Induktion / Feld
B
~
~ im Vakuum)
D = dielektrische Verschiebung (= ε0 E
~
B
~ = magnetisches Feld (= )
H
µ0
~ und B
~
fundamentale Felder: E
• diese 4 Gleichungen beschreiben viele Phänomene des täglichen Lebens und technische Anwendungen
– Licht (Streuung, Beugung, ...): Regenbogen, blauer Himmel
– Blitz (-ableiter)
– Radiowellen, Mobilfunk, ...
• entwickelt im 18. und 19. Jahrhundert auf der Grundlage experimenteller Beobachtungen (Kräfte
zwischen Ladungen und Strömen, usw.)
• aus heutiger Sicht: Teil des Standartmodells der Teilchenphysik
– Quanten-Chromo-Dynamik QCD: SU (3)
– elektroschwache Wechselwirkung: SU (2) × U (1)
∗ Quanten-Elektro-Dynamik QED: U (1), ωPhoton = 0 → klassische Elektrodynamik
∗ schwache Wechselwirkung SSB (Higgs): SU (2), ω 6= 0
– Gravitation
Maxwell-Gleichungen vereinigen Elektrizität und Magnetismus
• Wann ist die klassische Beschreibung adäquat?
– Anzahl der Photonen 1
– Impuls(1 Photon) Impuls(Testkörper)
⇒ Diskretheit des Photons kann vernachlässigt werden
• klassischer Feldbegriff:
5
0 Einleitung
– einerseits: Kraft zwischen zwei Ladungen F~ = k ·
q1 q2
r 2 r̂
(Coulombgesetz)
– andereseits: Quelle (q1 ) erzeugt Feld, dieses Feld erzeugt Kraft auf Testkörper (q2 ).
~
Feld = Kraft pro Ladungseinheit: F~ (auf q2 ) = q2 E(bei
q2 ) im Limes q2 → 0.
⇒ Quelle wird vom Testkörper entkoppelt bei gleichem Feld ist Kraft auf Testkörper gleich,
egal wie Feld erzeugt wurde.
Felder können auch in Raumgebieten existieren, in denen keine Quellen sind
• Ladung ist diskret (Vielfaches von e), aber Diskretheit der Ladung kann in den meisten Anwendungen
vernachlässigt werden.
Wir betrachten Ladungsverteilungen oder Punktladungen (idealisiert, δ-Funktio)
• Asymmetrie der Maxwell-Gleichungen: Es gibt keine magnetischen Ladungen und Ströme. Dies ist ein
experimenteller Befund (theoretisch könnte es sie geben)
• Coulomb-Gesetz ist erstaunlich akkurat:
1
mit |ε| < 2, 7 · 10−16
F ∼ 2
r +ε
e−µr
µ~
V ∼
mit mPhoton =
< 4 · 10−51 kg ≡ 4 · 10−21 mElektron
r
c
(0.5)
(0.6)
• lineare Superposition:
~ und B
~
Maxwell-Gleichungen im Vakuum sind linear in E
⇒ Gelten auch für lineare Überlagerungen der Felder.
Abweichungen können auftreten:
– im quantenmechanischen Bereich: bei kleinem Abstand wird das Feld sehr groß
⇒ Paarerzeugung (Vakuumpolarisation), Wechselwirkung zwischen elektro-magnetischen Feldern
auch in Abwesenheit
– in Materie (gegen Ende des Semesters)
• Einheitensysteme:
– unterscheiden sich durch 4 Konstanten (davon 2 unabhängig)
F1 = k 1
qq 0
r2
dF2
II 0
= 2k2
dL
d
I
B = 2k2 α
d
~
~ ×E
~ + k3 ∂ B = 0
∇
∂t
Kraft zwischen 2 Ladungen
(0.7)
Kraft zwischen 2 Drähten
(0.8)
magnetisches Feld eines Drahtes
(0.9)
Induktionsgesetz
(0.10)
2
aus Dimensionsgründen gilt: kk21 = const1 · c2 und α = const
und const1 = const2 = 1, experimenk3
teller Befund (1) und Herleitung von Maxwell-Gleichungen bzw. Galilei-Invarianz (2)
Einheitensystem
SI (µ0 ε0 = c12 )
Gauß (cgs)
Heanside-Lorentz
elektrostat. Einheiten (esE)
elektromag. Einheiten (emE)
6
k1
k2
1
4πε0
µ0
4π
1
c2
1
4πc2
1
c2
1
1
4π
1
c2
1
α
1
c
c
1
1
k3
1
1
c
1
c
1
1
– Maxwell-Gleichungen im Vakuum:
~ ·E
~ = 4πk1 %
∇
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ×B
~ − k2 α ∂ E = 4πk2 αJ~
∇
k1 ∂t
~
~ ×E
~ + k3 ∂ B = 0
∇
∂t
(0.11)
(0.12)
(0.13)
(0.14)
– Wir werden SI-Einheiten benutzen.
7
0 Einleitung
8
1 Mathematische Hilfsmittel
1.1 Diracsche Delta-Funktion
• wichtig zur Beschreibung von Punktladungen
• definiert durch
δ(x) = 0 für x 6= 0
Z ∞
dx δ(x) = 1
(1.1)
(1.2)
−∞
• keine Funktion, sondern Distribution (= Grenzwert einer Folge von Funktionen)
• kann als Limes einer Folge von Funktionen definiert werden:
Z ∞
lim
dx δn (x)f (x) = f (0)
n→∞
Z
∞
mit
−∞
dx δn (x) = 1
(1.3)
−∞
Beispiele:
2 2
n
δn (x) = √ · e−h x
π
n
1
δn (x) = ·
π 1 + n2 x2
(1.4)
(1.5)
Der Grenzwert lim δn (x) exisitert nicht!
n→∞
• Eigenschaften:
– Es ist:
Z
∞
dx f (x)δ(x − a) = f (a)
(1.6)
−∞
– Ableitung:
Z
∞
Z
0
∞
dx f 0 (x)δ(x − a) = −f 0 (a)
dx f (x)δ (x − a) = −
−∞
(1.7)
−∞
– wenn g(x) nur einfache Nullstellen xi hat:
δ(g(x)) =
X δ(x − xi )
i
|g 0 (xi )|
(1.8)
– Integral:
Z
x
−∞
(
1
dx δ(x ) = θ(x) =
0
0
0
x>0
Stufenfunktion
x<0
(1.9)
9
1 Mathematische Hilfsmittel
– in 3d kartesischen Koordinaten:
δ(~x) = δ(x1 )δ(x2 )δ(x3 )
(1.10)
daraus folgt:
Z
∆V
(
1 wenn ∆V den Punkt ~x enthält
d x δ(~x − ~x ) =
0 sonst
3 0
0
(1.11)
• in krummlinigen Koordinaten {ξ1 , ξ2 , ξ3 }:
d3 x = J(xi , ξi )d3 ξ
1
⇒ δ(~x) =
δ(ξ1 )δ(ξ2 )δ(ξ3 )
|J(xi , ξi )|
(1.12)
(1.13)
• Dimension der δ-Funktion = inverses Volumen
• Ladungsdichte für eine diskrete Anordnung von Punktladungen:
??? Nachtragen ???
(1.14)
1.2 Vektorfelder und Differentialoperatoren (in karthesischen
Koordinaten)
Skalarfeld
• jedem Punkt im Raum Rn wird ein Skalar ϕ zugeordnet
• invariant unter Koordinatentransformation (~x → ~x0 ):
ϕ0 (~x0 ) = ϕ(~x)
(1.15)
• Beispiel: Temperatur
Vektorfeld
• Objekte mit n Komponenten (in n Dimensionen)
• glatte Funktionen von Rn nach Rn (unendlich oft stetig partiell differenzierbar)
• Tensor erster Stufe
• definiert über Verhalten unter Koordinatentransformation (~x → ~x0 ), d.h. x0i = fi (x1 , . . . , xn )
• zwei Fälle: kontra- und kovariante Vektorfelder
Fall 1: kontravarianter Vektor
(hochgestellte Indizes) transformiert sich unter Koordinatentransformation wie d~x:
0i X ∂x0i
∂x
j
dx
≡
dxj
dx0i =
j
j
∂x
∂x
j
(1.16)
kontravarianter Vektor transformiert sich wie
0i
A =
10
∂x0i
∂xj
Aj
(1.17)
1.2 Vektorfelder und Differentialoperatoren (in karthesischen Koordinaten)
Fall 2: kovarianter Vektor
~ (ϕ = Skalarfeld):
(tiefgestellte Indizes) transformiert sich unter Koordinatentransformation wie ∇ϕ
∂ϕ
∂ϕ ∂xj
∂ϕ0
=
=
∂x0i
∂x0i
∂xj ∂x0i
kovarianter Vektor transformiert sich wie
A0i =
∂xj
Aj
∂x0i
(1.18)
(1.19)
in kartesischen Koordinaten:
Transformation ist Rotation (plus evtl. Spiegelung und/oder Translation): ~x0 = R~x mit R orthogonal, d.h.
R−1 = RT
j
x0i = Ri j xj
→
xj = R−1 i x0i = Ri j x0i
(1.20)
→
∂xj
∂x0i
=
j
∂x
∂x0i
(1.21)
⇒ kein Unterschied zwischen kontra- und kovariant
• Beispiel: Ortsvektor, Geschwindigkeit, elektrische und magnetische Felder
Vektordifferentialoperator Nabla
~ = x̂ ∂ + ŷ ∂ + ẑ ∂
∇
∂x
∂y
∂z
(1.22)
Dieser Operator kann auf Skalar- und Vektorfelder angewandt werden.
Gradient
~ angewandt auf einen Skalar ϕ(x, y, z) ergibt einen Vektor, den Gradient von ϕ
∇
~ = x̂ ∂x + ŷ ∂ϕ + ẑ ∂ϕ
∇ϕ
∂ϕ
∂y
∂z
(1.23)
• wenn Position sich um d~r ändert, ändert sich ϕ um
dϕ =
∂x
∂ϕ
∂ϕ
~
dx +
dy +
dz = (∇ϕ)
· d~r
∂ϕ
∂y
∂z
(1.24)
• auf einer Fläche mit ϕ(x, y, z) = const.: dϕ = 0
~
⇒ ∇ϕ⊥d~
r
~ senkrecht zur Fläche ϕ = const.
⇒ ∇ϕ
~ · d~r maximal, wenn ∇ϕkd~
~
• für festes |d~r| wird dϕ = ∇ϕ
r
~
⇒ Richtung von ∇ϕ = größtes Änderungsrate von ϕ
• Beispiel:
1
1
ϕ(x, y, z) = p
=
r
x2 + y 2 + z 2
~ = − 1 x x̂ + y ŷ + z ẑ = − ~r = − r̂
∇ϕ
2
r
r
r
r
r3
r2
(1.25)
(1.26)
~
~ × F~ = 0
• physikalische Bedeutung: konservative Kraft = −∇(Potential),
wobei konservativ bedeutet: ∇
11
1 Mathematische Hilfsmittel
Divergenz
~ mit einem Vektor V
~ ergibt einen Skalar, die Divergenz von V
~
Skalarprodukt von ∇
~ ·V
~ = ∂Vx + ∂Vy + ∂Vz
∇
∂x
∂y
∂z
(1.27)
• Produktregel:
~ · (f · V
~ ) = (∇f
~ )·V
~ + f · (∇
~ ·V
~)
∇
(1.28)
• Beispiel zur physikalischen Bedeutung: Betrachte kompressible Flüssigkeit mit %(x, y, z) und Geschwin~ (x, y, z). Wie viel Materie fließt pro Volumen- und Zeiteinheit aus einem Volumenelement
digkeit V
dV = dx dy dz?
Flussrate in das Volumen durch EF GH (in +x-Richtung) ist:
??? =
% dx dy dz
= (%Vx )
dy dz
dt
x=0
Flussrate aus dem Volumen durch ABCD (in +x-Richtung) ist:
h
i
??? = (%Vx )
dy dz = (%Vx )
dx + 0( dx2 ) dy dz
x= dx
(1.29)
(1.30)
x=0
⇒ Nettofluss aus dV in +x-Richtung:
∂(%Vx ) dx dy dz
∂x x=0
(1.31)
∂(%Vx ) ∂(%Vy ) ∂(%Vz )
~ · (%V
~ ) dV = − ∂m
+
+
dV = ∇
∂x
∂y
∂z
∂t
(1.32)
∂% ~
~)=0
+ ∇ · (%V
∂t
(1.33)
Nettofluss aus dV :
Kontinuitätsgleichung:
Rotation
~ mit einem Vektor V
~ ergibt einen Vektor, die Rotation von V
~
Kreuzprodukt von ∇


x̂
ŷ
ẑ ∂yVz − ∂zVy
~ ×V
~ = ∂x ∂y ∂z = ∂zVx − ∂xVz 
∇
Vx Vy Vz ∂xVy − ∂yVx
(1.34)
• Determinante muss von oben nach unten entwickelt werden
• Produktregel:
~ × (f V
~ ) = (∇f
~ )×V
~ + f (∇
~ ×V
~)
∇
~ ×V
~ , gekrümmte Finger in Drehrichtung
• Rechte-Hand-Regel: Daumen zeigt in Richtung von ∇
12
(1.35)
1.3 Linien-, Flächen- und Volumenintegrale
Laplace-Operator
Divergenz des Gradienten
2
2
2
~ × ∇ϕ
~ ≡∇
~ 2 ϕ ≡ ∆ϕ = ∂ ϕ + ∂ ϕ + ∂ ϕ
∇
∂x2
∂y 2
∂z 2
(1.36)
~
Wiederholte Anwendung von ∇
Viele Möglichkeiten, z.B.:
• Es ist:
~ × (∇
~ ×V
~ ) = ∇(
~ ∇
~ ·V
~)−∇
~ 2V
~
∇
(1.37)
~ · (∇
~ × A)
~ =0
∇
(1.38)
• Es ist:
~ ·B
~ = 0 (B
~ ist quellenfrei“), kann B
~ als ∇
~ ×A
~ geschrieben werden (Kapitel 1.6)
Falls ∇
”
• Es ist:
~ × ∇ϕ
~ =0
∇
(1.39)
~ × F~ = 0 (F~ ist rotationsfrei“ oder wirbelfrei“ oder konservativ“), kann F~ als ∇ϕ
~ geschrieFalls ∇
”
”
”
bene werden (Kapitel 1.6). Gravitations- und elektrostatische (aber nicht magnetische) Kräfte sind
rotationsfrei.
1.3 Linien-, Flächen- und Volumenintegrale
Linienintegrale
Längenelement d~r = dxx̂ + dy ŷ + dz ẑ. 3 Möglichkeiten:
Z
Z
~,
d~r ϕ,
d~r · V
c
Z
c
~
d~r × V
(1.40)
c
• c ist ein Pfad (offen oder geschlossen)
• c muss angegeben werden. Im Allgemeine hängt das Ergebnis von c ab.
• Entwicklung in x̂, ŷ, ẑ → einfach Integrale
• Beispiel:
Kraft F~ = −yx̂ + xŷ
Z
Z
Arbeit W = d~r · F~ = −
c
(1.41)
1
0
Z
Z
dx y +
1
dy x
(1.42)
0
1
W1 = 0 +
dy = 1
(1.43)
dx = −1
(1.44)
0
Z
W2 = 0 −
1
0
⇒ Arbeit hängt vom Pfad ab, da F~ nicht konservativ ist.
13
1 Mathematische Hilfsmittel
Flächenintegrale
Flächenelement d~σ = ~n dA. 3 Möglichkeiten:
Z
d~σ ϕ,
Z
S
Z
~,
d~σ · V
S
~
d~σ × V
(1.45)
S
• S ist eine offene oder geschlossene Fläche
• S geschlossen: ~n⊥ auf Fläche und zeigt nach außen.
• S offen: ~n⊥ auf Fläche + Rechte-Hand-Regel: Daumen = ~v , gekrümmte Finger = Richtung des Umfangs
• Entwicklung in Komponenten → Doppelintegrale
Z
~ = Fluss durch die Fläche S, siehe Divergenz
d~σ · V
(1.46)
S
Volumenintegrale
Volumenelement dτ = dx dy dz ist ein Skalar
Z
Z
Z
Z
~
dτ V = x̂
dτ Vx + ŷ
dτ Vy + ẑ
dτ Vz
V
V
V
(1.47)
V
1.4 Integralsätze
Gaußscher Integralsatz
I
~ =
d~σ · V
Z
S
~ ·V
~
dτ ∇
(1.48)
V
mit S = geschlossene Oberfläche des Volumens V .
Beweis: Zerlege V in kleine Quader, für diese gilt:
X
~ =∇
~ ×V
~ dτ
d~σ · V
(1.49)
6 Oberflächen
~ ).
(siehe Herleitung der Kontinuitätsgleichung mit %V
linke Seite: innere Oberflächen heben sich weg, nur äußere Oberfläche trägt bei.
rechte Seite: Teilvolumina addieren sich
Andere Formen:
I
Z
d~σ ϕ =
S
I
~
dτ ∇ϕ
(1.50)
~ × P~
dτ ∇
(1.51)
V
d~σ × P~ =
Z
S
V
Stokesscher Integralsatz
I
c
~ =
d~r · V
Z
~ ×V
~)
d~σ · (∇
S
mit c = geschlossener Umfang der Fläche S (Rechte-Hand-Regel legt Vorzeichen fest).
14
(1.52)
1.5 Krummlinige, aber orthogonale Koordinaten in 3 Dimensionen
Beweis: Zerlege S in kleine Prallelogramme, für diese gilt:
X
~ = d~σ · (∇
~ ×V
~)
d~r · V
(1.53)
4 Seiten
linke Seite: innere Seiten heben sich weg, nur Längenintegral entlang des Umfangs trägt bei.
rechte Seite: Teilflächen addieren sich.
Andere Formen:
I
Z
d~r ϕ =
c
I
~
d~σ × (∇ϕ)
(1.54)
~ × P~
(d~σ × ∇)
(1.55)
S
d~r × P~ =
c
Z
S
Greensche Identitäten
• für zwei skalare Funktionen u und v gilt:
~ · (u∇v)
~ = u∇
~ 2 v + (∇u)
~ · (∇v)
~
∇
~ · (v ∇u)
~ = v∇
~ 2 u + (∇v)
~ · (∇u)
~
∇
• 1. Greensche Identität:
Z
dτ
v
I
I
∂v
~ 2 v + (∇u)
~ · (∇v)
~
~ =
u∇
=
d~σ · u∇v
dA u
∂n
S
S
(1.56)
(1.57)
(1.58)
• 2. Greensche Identität (oder Greenscher Satz): subtrahiere die beiden Gleichungen, integriere über V
und wende Gaußschen Satz an
Z
I
I
∂v
∂u
2
2
~
~
~
~
dτ u∇ v − v ∇ u =
d~σ u∇v − v ∇u = dA u
−v
(1.59)
∂n
∂n
V
S
s
1.5 Krummlinige, aber orthogonale Koordinaten in 3 Dimensionen
• Es ist sehr wichtig, für ein gegebenes Problem das beste Koordinatensystem zu finden (z.B. Zylinderoder Kugelkoordinaten)
• allgemeines Koordinatensystem: (q1 , q2 , q3 ).
– jeder Punkt (x, y, z) kann auch als Schnittpunkt dreier Flächen qi = const. i = 1, 2, 3 beschrieben
werden:
~r = (x, y, z) = (q1 , q2 , q3 )
(1.60)
(diese Flächen sind nicht immer senkrecht zueinander, aber oft sind sie es).
Beispiel: Zylinderkoordinaten
– Einheitsvektoren êi (~r): senkrecht zur Fläche qi = const. und in Richtung von zunehmendem qi .
– quadratisches Längenelement im kartesischen Koordinatensystem:
ds2 = d~r · d~r = dx2 + dy 2 + dz 2
(1.61)
15
1 Mathematische Hilfsmittel
im krummlinigen Koordinatensystem: allgemeinster Ausdruck ist
X
ds2 =
g ij dqi dqj
(1.62)
i,j
(metrischer oder Riemannscher Raum)
– mit:
X ∂xi
∂x
∂y
∂z
dq1 +
dq2 +
dq3 =
dqi
∂q1
∂q2
∂q3
∂qi
i
X ∂xk ∂xk
dqi dqj
⇒ ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 =
∂qi ∂qj
dx =
(1.63)
(1.64)
i,j,k
⇒ g ij =
X ∂xk ∂xk
∂qi ∂qj
Metrik oder metrischer Tensor
(1.65)
k
• Wir beschränken uns auf orthogonale Koordinatensysteme: êi · êj = δij . (ab jetzt: Indizes unten).
– differentieller Abstandsvektor:
d~r =
X
hi dqi êi
mit Skalenfaktor hi
(1.66)
i
⇒ êi =
1 ∂~r
1 X ∂xj
=
·
x̂j
hi ∂qi
hi j
∂qi
(1.67)
– Es ist:
ds2 = d~r · d~r =
X
i,j
hi hj · dqi dqj · êi êj =
|{z}
δij
X
h2i dqi2
(1.68)
i
2
⇒ gij = hi δij
(1.69)
– Längenelement:
dsi = hi dqi
(1.70)
– Flächenelement:
dσij = hi hj · dqi dqj
d~σ = dσ23 ê1 + dσ31 ê2 + dσ12 ê3
(1.71)
(1.72)
– Volumenelement:
dτ = h1 h2 h3 · dq1 dq2 dq3
(1.73)
– Vektor-Algebra (Skalar- und Kreuzprodukt) ist unverändert in den qi - Koordinaten.
• Linien-, Flächen- und Volumenintegrale: benutze obige Ausdrücke für d~r, d~σ , dτ
Gradient
Gradient eines Skalarfeldes f ist ein Vektor mit Betrag und Richtung der größten Änderung von f :
X 1 ∂f
~ (q1 , q2 , q3 ) = ê1 ∂f + ê2 ∂f + ê3 ∂f =
êi
∇f
∂s1
∂s2
∂s3
hi ∂qi
i
Warum dsi und nicht dqi ?
~ d~s (dsi ist Längenelement eines Pfades)
• df = ∇f
• aus Dimensionsgründen (dsi hat Einheit Länge, dqi beliebig)
16
(1.74)
1.5 Krummlinige, aber orthogonale Koordinaten in 3 Dimensionen
Divergenz
Gaußscher Satz für ein infinitesimales Volumenelement:
H
~
d~σ · V
~
~
~ êi
∇ · V = lim R
,
mit Vi = V
dτ →0
dτ
∂
∂
∂
1
~ ·V
~ (q1 , q2 , q3 ) =
·
(V1 h2 h3 ) +
(V2 h3 h1 ) +
(V3 h1 h2 )
∇
h1 h2 h3
∂q1
∂q2
∂q3
(1.75)
(1.76)
Rotation
Stokesscher Satz für eine infinitesimale Oberfläche:
~
d~r · V
R
,
dA→0
dA
ê1 h1
1
~
~
∇ × V (q1 , q2 , q3 ) =
· ∂q1
h1 h2 h3 h1 V1
~ ×V
~ ) = lim
n̂ · (∇
H
mit n̂ = ê1 , ê2 , ê3
ê2 h2 ê3 h3 ∂q2
∂q3 h2 V2 h3 V3 (1.77)
(1.78)
Laplace-Operator
1 ∂f
=
h
i ∂qi
i
1
∂
h2 h3 ∂f
∂
h1 h3 ∂f
∂
h1 h2 ∂f
=
·
+
+
h1 h2 h3
∂q1
h1 ∂q1
∂q2
h2 ∂q2
∂q3
h3 ∂q3
~ 2f = ∇
~ · ∇f
~ =∇
~ ·
∇
X
êi
(1.79)
(1.80)
Beispiel: Kugelkoordinaten
p
x2 + y 2 + z 2
z
cos θ = p
2
x + y2 + z2
y
tan ϕ =
x
x = r sin θ cos ϕ
r=
y = r sin θ sin ϕ
z = r cos θ
0≤r≤∞
(1.81)
0≤θ≤π
(1.82)
0≤ϕ<π
(1.83)
• Skalenfaktoren:
h2i = gii =
∂x
∂qi
2
+
∂y
∂qi
2
+
∂z
∂qi
2
(1.84)
hr = 1
(1.85)
hθ = r
(1.86)
hϕ = r sin θ
(1.87)
• Längenelement:
d~r = r̂ dr + θ̂ · r · dθ + ϕ̂ · r sin θdϕ
(1.88)
r̂ = x̂ sin θ cos ϕ + ŷ sin θ sin ϕ + ẑ cos θ
(1.89)
θ̂ = x̂ cos θ cos ϕ + ŷ cos θ sin ϕ − ẑ sin θ
(1.90)
ϕ̂ = −x̂ sin ϕ + ŷ cos ϕ
(1.91)
• Einheitsvektoren:
17
1 Mathematische Hilfsmittel
• Flächenelement ⊥~r:
dA = dσθϕ = r2 sin θ dθ dϕ
(1.92)
⇒ Raumwinkelemente:
dA
= sin θ dθ dϕ
r2
(1.93)
dτ = r2 sin θ dr dθ dϕ
(1.94)
~ = r̂ ∂f + θ̂ 1 ∂f + ϕ̂ 1 ∂f
∇f
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ϕ
(1.95)
dΩ =
• Volumenelement:
• Gradient:
• Divergenz:
~ ·V
~ =
∇
1
∂ 2
∂
∂Vϕ
· sin θ (r Vr ) + r (sin θVθ ) + r
r2 sin θ
∂r
∂θ
∂ϕ
(1.96)
• Rotation:
r̂
1
~
~
· ∂r
∇×V = 2
r sin θ Vr
rθ̂
∂θ
rVθ
r sin θϕ̂ ∂ϕ r sin θVϕ (1.97)
• Laplace-Operator:
~ 2f =
∇
1
∂
∂f
∂
∂f
1 ∂2f
2
·
r
sin
θ
+
sin
θ
+
r2 sin θ
∂r
∂r
∂θ
∂θ
sin θ ∂ϕ2
(1.98)
Eine wichtige Identität
~ 2 1 = −4π · δ(~r)
∇
r
(1.99)
~ ·∇
~ 1 = −∇
~ · ~r = − ∇
~ 21 = ∇
~ 1 · ~r − 1 · ∇~
~ r = 3 ~r ~r − 3 = 0
∇
r
r
r3
r3
r3
r5
r3
(1.100)
für ~r 6= 0 gilt:
für ~r = 0 gilt:
Für eine Kugel V mit Oberfläche S gilt (Gaußscher Satz):
Z
Z
I
I 2
~r
r̂
r dΩ
21
~
~
dτ ∇ = −
∇ 3 = − d~σ 2 = −
= −4π
2
r
r
r
V
V
S
S r
(1.101)
1.6 Zerlegungs- und Eindeutigkeitssatz
~ (~x)
Betrachte ein Vektorfeld V
~ (~x) =
V
Z
V
~ (~x0 ) = −
dτ 0 f (~x − ~x0 )V
1 ~2
∇
4π
Z
V
dτ 0
~ (~x)
V
|~x − ~x0 |
~ × (∇
~ × ~a) = ∇(
~ ∇~
~ a) − ∇
~ 2~a an wobei ~a das Integral ist:
Wende die Identität ∇
!
!
Z
Z
~ x0 )
~ x0 )
1 ~
1 ~ ~
0 V (~
0 V (~
~
~
dτ
+
∇× ∇×
dτ
V (~x) = − ∇ ∇
4π
|~x − ~x0 |
4π
|~x − ~x0 |
V
V
18
(1.102)
(1.103)
1.6 Zerlegungs- und Eindeutigkeitssatz
~ (~x) kann zerlegt werden in Gradienten eines Skalarfeldes und Rotation eines Vektorfeldes:
d.h. V
~ (~x) = −∇g(~
~ x) + ∇
~ ×ω
V
~ (~x)
(1.104)
Umformungen:
Z
Z
~ (~x0 )
1 ~
V
1
1
0 ~
~ (~x0 ) =
∇
dτ 0
=
dτ
∇
V
0|
0|
4π
|~
x
−
~
x
4π
|~
x
−
~
x
V
V
Z
1
1
0 ~0
~ (~x0 ) =
=−
dτ ∇
V
4π V
|~x − ~x0 |
!
Z
~ x0 )
1
1
0
0 V (~
0~
0
~
~
=−
dτ ∇
−
∇ V (~x ) =
4π V
|~x − ~x0 | |~x − ~x0 |
Z
I
~ 0V
~ (~x0 )
~ (~x0 )
1
∇
1
V
=
dτ 0
−
d~σ 0
0
4π V
|~x − ~x |
4π S
|~x − ~x0 |
Z
~ (~x0 )
V
1 ~
= ... =
∇×
dτ 0
ω
~ (~x) =
4π
|~x − ~x0 |
V
Z
I
~ ×V
~ (~x0 )
~ (~x0 )
1
1
∇
V
=
dτ 0
−
d~σ 0 ×
0
4π V
|~x − ~x |
4π S
|~x − ~x0 |
g(~x) =
(1.105)
(1.106)
(1.107)
(1.108)
(1.109)
(1.110)
~ (~x) ist eindeutig bestimmt durch
d.h. V
~V
~ ) und Wirbel (∇
~ ×V
~ ) im Inneren von V und
1. seine Quellen (∇
~ auf der Oberfläche S von V .
2. V
19
1 Mathematische Hilfsmittel
20
2 Elektrostatik (im Vakuum)
Elektrostatik = ruhende Ladungsverteilungen und deren (elektrostatische) Felder
2.1 Ladung und Ladungsdichte
• Punktladung: mathematische Idealisierung (δ-Funktion)
• Ladungsdichte: im Volumen ∆V befindet sich eine Ladung ∆q
Z
∆q
dq
%(~x) = lim
=
∆V →0 ∆V
dV
bzw.: q =
d3 x%(~x)
(2.1)
V
• Summe von Punktladungen hat Ladungsdichte
%(~x) =
X
qi δ(~x − ~xi )
(2.2)
i
• Flächenladungsdichte:
σ(~x) =
dq
dA
(2.3)
π(~x) =
dq
dl
(2.4)
• Linienladungsdichte:
2.2 Coulombsches Gesetz
• Zwischen zwei Ladungen q1 und q2 im Vakuum wirkt eine Kraft
F =
1
~x1 − ~x2
· q1 q2 ·
4πε0
|~x1 − ~x2 |3
(2.5)
abstoßend für q1 q2 > 0 und anziehend für q1 q2 < 0
• aus dieser experimentellen Beobachtung kann alles weitere hergeleitet werden
2.3 Elektrostatisches Feld und Skalarpotential
~ als Kraft pro La• Wenn auf eine Ladung q am Ort ~x eine Kraft F~ (~x) wirkt, dann definieren wir E
dungseinheit
~
~ x) = F (~x)
E(~
q
(2.6)
und zwar im Grenzfall: q → 0, damit das Feld nicht gestört wird.
21
2 Elektrostatik (im Vakuum)
• elektrostatisches Feld am Ort ~x in Folge von
– einer Punktladung q am Ort ~x0 (folgt aus Coulomb-Gesetz):
~ x) =
E(~
1
~x − ~x0
·q·
4πε0
|~x − ~x0 |3
(2.7)
– einer Anordnung von Punktladungen (lineare Superposition):
~ x) =
E(~
X
1
~x − ~xi
·
qi ·
4πε0 i
|~x − ~xi |3
(2.8)
– einer Ladungsdichte %(~x):
~ x) =
E(~
1
·
4πε0
Z
d3 x0 %(~x0 ) ·
~x − ~x0
|~x − ~x0 |3
(2.9)
Integration über R3 : %(~x0 ) verschwinde für ~x0 → ∞ genügend schnell. Für %(~x0 ) =
ergibt sich (2.8)
• aus der Identität
~
x−~
x0
|~
x−~
x0 |3
P
x
i qi δ(~
− ~xi )
~ 1 0 folgt:
= −∇
|~
x−~
x|
~ x) = − 1 · ∇
~ ·
E(~
4πε0
Z
d3 x0
%(~x0 )
|~x − ~x0 |
(2.10)
~ kann als Gradient eines Skalarpotentials geschrieben werden:
d.h. E
~ x) = −∇Φ(~
~ x)
E(~
Φ(~x) = −
1
4πε0
Z
d3 x
%(~x0 )
|~x − ~x0 |
(2.11)
~ × (∇Φ)
~
~ ×E
~ = 0.
Wegen ∇
= 0 ist das elektrostatische Feld wirbelfrei, d.h. ∇
• physikalische Bedeutung des Skalarpotentials: zu leistende Arbeit
von A nach B:
Z B
Z B
Z B
~
~
~
~
W =−
dl · F = −q
dl · E = q
A
Z
A
A
für den Transport einer Ladung q
~ ~
d
| l ·{z∇Φ} =
(2.12)
=dΦ
B
dΦ = q · (ΦB − ΦA )
=q
(2.13)
A
d.h. qΦ = Epot der Punktladung q im elektrostatischen Potential Φ. Die Arbeit hängt nicht vom Weg
ab, sondern nur von den Endpunkten. Außerdem folgt
I
~ =0
d~l · E
(2.14)
c
~ und Φ durch Feldlinien und Äquipotentiallinien. Beispiel für eine Punkt• graphische Darstellung von E
ladung:
2.4 Poisson- und Laplace-Gleichung
~ 2 auf Φ an:
Wende ∇
~ 2 Φ(~x) =
∇
1
4πε0
Z
V
~2
d3 x0 %(~x0 ) · ∇
1
|~x − ~x0 |
~ 2 1 = −4πf (~r):
nun benutze die wichtige Identität von Kapitel 1.5: ∇
r
22
(2.15)
2.5 Gaußsches Gesetz
Poisson-Gleichung
~ 2 Φ(~x) = − %(~x)
∇
ε0
(2.16)
~ 2 Φ(~x) = 0
∇
(2.17)
bzw. in Gebieten ohne Ladungen:
Laplace-Gleichung
2.5 Gaußsches Gesetz
• betrachte: Volumen V eingeschlossen von Oberfläche S. Wende Gaußschen Integralsatz an:
I
~ =
d~σ E
S
Z
~E
~ =−
d3 x ∇
V
Z
~ 2 Φ(~x) =
d3 x ∇
V
1
ε0
Z
d3 x %(~x) =
V
Q
ε0
(2.18)
q ist die im Volumen V enthaltene Ladung
• gilt auch für Punktladungen und andere Ladungsschichten
• differentielle Form:
Z
3
d x
V
~E
~ − %(~x)
∇
ε0
=0
(2.19)
~E
~ =
für beliebiges Volumen V , d.h. Integrand muss verschwinden: ∇
%
ε0
2.6 Maxwell-Gleichungen der Elektrostatik
~ = 0, da keine Ströme fließen
B
Maxwell-Gleichungen
Differentialform
~ ·E
~ = %
∇
ε0
~ ×E
~ =0
∇
(2.20)
Integralform
I
~ =0
d~l · E
c
I
~ = 1
d~σ · E
ε0
c
Z
d3 x %(~x) =
V
q
ε0
(2.21)
Potentialform
~ = −∇Φ
~
E
~ 2Φ = − %
∇
ε0
(2.22)
23
2 Elektrostatik (im Vakuum)
2.7 Elektrostatische Energie
• wie schon in Kapitel 2.3 gezeigt: Wi = qi · Φ(~xi ) Epot einer Punktladung qi am Punkt ~xi im Feld Φ
• im Feld von n − 1 anderen Punktladungen:
n
X
qi
qj
Wi =
·
4πε0 j=1 |~xi − ~xj |
(2.23)
j6=i
• gesamte Epot der n Ladungen (bringe Ladungen nacheinander ins betrachtete Raumgebiet, dann symmetrisiere):
n X
n
X
X
1
1
qi qj
qi qj
·
=
·
W =
4πε0 i=1 j<i |~xi − ~xj |
8πε0
|~xi − ~xj |
(2.24)
i6=j
teile durch 2, um damit Doppeltzählungen in Summe auszugleichen
• für kontinuierliche Ladungsdichten:
Z
Z
Z
1
x)%(~x0 )
1
3
3 0 %(~
W =
d x
d x
=
d3 x %(~x) · Φ(~x)
8πε0
|~x − ~x0 |
2
• benutze Poisson-Gleichung, dann partielle Integration:
Z
Z
ε Z
ε0
0
~ 2 Φ Φ = ε0
~
~
~ 2
d3 x ∇
d3 x ∇Φ
· ∇Φ
=
d3 x |E|
W =−
2
2
2
(2.25)
(2.26)
⇒ Energiedichte des elektrischen Feldes:
ε0 ~ 2
|E|
2
beachte: kein expliziter Bezug auf Ladungen, Energie im Feld gespeichert
W =
(2.27)
• Beispiel: klassischer Elektronenradius (Übungen)
2.8 Feldverhalten an Grenzflächen
• betrachte eine Flächenladung mit Dichte σ(~x). Wie verhält sich das Feld beim Durchgang durch die
Fläche?
• Gaußsches Gesetz für kleine Fläche dA:
I
~ = (E
~1 − E
~ 2 )n̂dA = 1
d~σ · E
ε0
S
~2 − E
~ 1 )n̂ =
und damit (E
σ(~
x)
ε0 ,
Z
V
σ(~x)dA
ε0
(2.28)
bzw.:
(E2 )⊥ − (E1 )⊥ =
~ macht einen Sprung
d.h. die Normalkomponente von E
24
d3 x %(~x) =
σ(~x)
ε0
(2.29)
2.9 Kapazität und Kondensator
~ ist stetig
• die Tangentialkomponente von E
I
0=
~ = (E2 )k − (E1 )k ∆l
d~l · E
∀∆l
(2.30)
c
⇒ (E2 )k = (E1 )k
• das Skalarpotential Φ ist überall stetig, sogar innerhalb von Raum- und Flächenladungen. Φ ist nicht
stetig bei Linien- und Punkladungen
2.9 Kapazität und Kondensator
• betrachte ein System aus n Leitern mit Potentialen Φi und Ladungen Qi ( Kondensatorproblem“)
”
• lineare Superposition (Potential linear in der Ladung):
Φi =
n
X
(Matrix · Vektor)
pij Qj
(2.31)
j=1
Gleichungssystem lässt sich invertieren: p−1 := C
Qi =
n
X
Cij Φj
(2.32)
j=1
Die Matrixelemente Cij hängen von der Geometrie des Problems ab. Cii = Kapazität des Leiters i,
Cij = Kapazitätskoeffizienten (i 6= j), d.h. die Kapazität eines Leiters ist seine Ladung, wenn er sich
auf Einheitspotential befindet und alle anderen Leiter auf Potential 0 sind.
• potentielle Energie des Leitersystems:
n
1X
1X
Qi Φi =
Cij Φi Φj
W =
2 i=1
2 i,j
(2.33)
• Kondensator im engeren Sinne: Anordnung zweier Metallkörper mit gleich großen entgegengesetzten
Ladungen: n = 2, Q1 = −Q2 = Q, Potentialdifferenz (Spannung) V = Φ1 −Φ2 , Q = CV mit Kapazität
(Aufnahmefähigkeit) C.
• Beispiel: Kugelkondensator (Übungen)
2.10 Randwertprobleme I: Klassifikation
Randwertproblem (das typische Problem der Elektrostatik)
• gegeben seien:
– ein begrenztes Raumgebiet V mit geschlossener Oberfläche S ( Rand“)
”
– eine Ladungsverteilung %(~x) in V
– Randbedingungen für das Potential Φ auf S
• gesucht ist die Lösung der Poissongleichung in V
~ 2Φ = − %
∇
ε0
(2.34)
25
2 Elektrostatik (im Vakuum)
• Frage für diesen Abschnitt: Wie müssen die Randbedingungen auf S spezifiziert werden, damit die
Poissongleichung eine eindeutige Lösung hat?
– Dirichlet Randwertproblem
Potential Φ auf S vorgegeben
– Neumann Randwertproblem
Komponente E⊥ des elektrischen Feldes ⊥ zu S vorgegeben:
E⊥ = −
∂Φ
~ · n̂
= −∇Φ
∂n
(2.35)
• physikalischer Bezug:
– bei Metallen:
Ladungsträger sind frei beweglich, d.h. sie stellen sich so ein, dass
∗ im Inneren gar keine Kräfte auf sie wirken
∗ an der Oberfläche keine Kräfte k zur Oberfläche auf sie wirken
⇒ Ek = 0 ⇒ Φ = const. auf S: Dirichlet
im Allgemeinen E⊥ 6= 0: Neumann
– bei Isolatoren:
Ladungsträger nicht frei beweglich, d.h. Polarisationseffekte, Φ 6= const. auf S
• in beiden Fällen ist die Lösung eindeutig.
Beweis: nimm an, es gäbe zwei Lösungen Φ1 6= Φ2 und definiere U = Φ2 − Φ1 .
~ 2 U = 0 in V und U = 0 (Dirichlet) bzw. ∂U = 0 (Neumann) auf S.
⇒ ∇
∂n
1. Greensche Identität:
Z
I
∂U
~ 2 U + |∇U
~ |2 =
d3 x U ∇
dA U
∂n
S
ZV
~ |2 = 0
⇒
d3 x |∇U
(2.36)
(2.37)
V
~ = 0, bzw. U = const. in V .
und damit ∇U
für Dirichlet U = 0 auf S, damit Φ1 = Φ2
für Neumann Φ2 = Φ1 + const. wobei die Konstante physikalisch unbedeutend ist
• Lösung ist auch für gemischte Randbedingungen (Φ auf Teil von S,
Seite von (2.36)
∂Φ
∂n
auf Komplement), S rechte
• im Allgemeinen keine Lösung, wenn gleichzeitig Φ und ∂Φ
∂n auf (Teilen von) S vorgegeben sind. (Lösung
schon eindeutig durch Dirichlet, bzw. Neumann Randbedingung gegeben und im Allgemeinen nicht
miteinander verträglich)
~ = 0:
• es folgt, dass im Inneren einer beliebigen, geschlossenen Metallfläche E
~ = 0 in V , außerdem Φ = Φ0 auf S (siehe oben)
im Innere gebe es keine freien Ladungen, d.h. ∇Φ
⇒ Φ = Φ0 in V ist eine Lösung des Problems, diese ist eindeutig.
~ = −∇Φ
~ = 0 (Faradayscher Käfig)
⇒ E
d.h. beliebige äußere Felder werden durch einen Metallkäfig abgeschirmt.
2.11 Randwertprobleme II: Greensche Funktion
~ 2 Φ = − % lösen (für Φ) mit Dirchlet- oder NeumannErinnerung: wir wollen die Poissongleichung ∇
ε0
Randbedingung
Greensche Funktion = allgemeine Methode zur Lösung inhomogener Differentialgleichungen (nicht nur Elektrostatik)
D y(x) = f (x)
Prinzip (schematisch):
26
D = beliebiger Differentialoperator
(2.38)
2.11 Randwertprobleme II: Greensche Funktion
• Greensche Funktion G(x, x0 ) hängt von zwei Variablen ab
• Forderung: Differentialoperator D (Ableitung nach x) angewandt auf G gibt δ-Funktion
D G(x, x0 ) = δ(x − x0 )
(2.39)
d.h. G ist die Lösung des Punktladungsproblems“ (f (x) = Punktladung am Ort x)
”
• Lösung des allgemeinen Problems folgt durch Integration über alle Punkte“ mit Gewichtsfunktion“
”
”
f (x):
Z
y(x) = dx0 f (x0 )G(x, x0 )
(2.40)
Beweis:
Z
D y(x) =
dx0 f (x0 )D G(x, x0 ) =
Z
dx0 f (x0 )δ(x − x0 ) = f (x)
(2.41)
d.h. das Problem reduziert sich auf die Lösung der Differentialgleichung
D G(x, x0 ) = δ(x − x0 )
(2.42)
– G ist unabhängig von f
– G bestimmt durch Form von D und Geometrie des Randes
zurück zur Elektrostatik:
• betrachte wieder endliches Volumen V begrenzt von geschlossener Fläche S
~ 2 mit ∇
~ 2 1 = −4πδ(~r)
• unser Differentialoperator (Poissongleichung) ist D = ∇
r
⇒ G(~x, ~x0 ) =
1
+ F (~x, ~x0 )
|~x − ~x0 |
~ 2 F = 0 in V
mit ∇
(2.43)
(Faktoren von −1 und 4π sind Konvention)
man kann zeigen, dass G symmetrisch ist: G(~x, ~x0 ) = G(~x0 , ~x) (damit auch F )
• die Funktion F muss so gewählt werden, dass die Randbedingungen auf S erfüllt sind (die Bestimmung
von F ist das eigentliche Problem → später)
• Interpretation:
–
F
4πε0
~ 2 F = 0 in V )
ist das Potential einer Ladungsverteilung außerhalb von V (da ∇
– diese Ladungsverteilung (außerhalb von V ) wird so gewählt, dass die Randbedingungen
auf S
1
0
erfüllt werden, wenn zusätzlich am Ort ~x (in V ) eine Punktladung ist Term |~x−~x0 | .
– darauf beruht die Methode der Spiegelladung (nächstes Kapitel).
• Randbedingung für G und Lösung für Φ:
Greenscher Satz mit u = Φ und v = G, außerdem
~ 02 G(~x, ~x0 ) = −4πδ(~x − ~x0 )
∇
Z
Z
h
i
1
~ 02 G(~x − ~x0 )∇
~ 02 Φ(~x0 ) = −Φ(~x) + 1
dτ 0 Φ(~x0 )∇
dτ 0 %(~x0 )G(~x, ~x0 ) =
4π V
4πε0 V
I
1
∂G(~x, ~x0 )
x0 )
0 ∂Φ(~
=
dA0 Φ(~x0 )
−
G(~
x
,
~
x
)
4π S
∂n0
∂n0
(2.44)
(2.45)
(2.46)
dies liefert die Lösung für Φ(~x)
Forderung: das Oberflächenintegral soll nur von der gewählten Art der Randbedingung abhängen
27
2 Elektrostatik (im Vakuum)
Fall 1: Dirichlet Randbedingung
∂Φ
∂n0
soll nicht beitragen
GD (~x, ~x0 ) = 0
für ~x0 auf S
Z
I
1
1
∂GD
⇒ Φ(~x) =
dτ 0 %(~x0 )GD (~x, ~x0 ) −
dA0 Φ(~x0 )
4πε0 V
4π S
∂n0
(2.47)
(2.48)
Fall 2: Neumann Randbedingung
Φ soll nicht beitragen (etwas komplizierter)
naiv:
∂G(~x, ~x0 )
=0
∂n
für ~x0 auf S
(2.49)
~ 02 G(~x, ~x0 ) = −4πδ(~x − ~x0 ) liefert aber:
Gaußscher Satz angewandt auf ∇
I
dA0
S
∂G
= −4π
∂n0
(2.50)
d.h. (2.49) lässt sich nicht erfüllen. einfachste Alternative: 0 → const. in (2.49):
∂Gn (~x, ~x0 )
4π
=−
∂n
A
für ~x0 auf S (A Flächeninhalt von S)
(2.51)
und damit
Z
I
1
1
∂Φ
dτ 0 %(~x0 )Gn (~x, ~x0 ) +
dA0
Gn + hΦiS
4πε0 V
4π S
∂n0
I
1
hΦiS =
dA0 Φ(~x0 ) = Mittelwert von Φ auf S
A S
Φ(~x) =
(2.52)
(2.53)
Neumann-Problem ist in der Regel ein äußeres“ Problem: V begrenzt von einer geschlossenen,
”
endlichen Fläche und einer Fläche bei ∞.
⇒ A = ∞ und hΦiS = 0
• Zusammenfassung:
Randbedingungen für G sind in beiden Fällen relativ einfach, trotzdem ist es oft schwierig oder
unmöglich G zu bestimmen, wenn S kompliziert ist.
⇒ alternative Lösungsmethoden (folgende Abschnitte)
2.12 Randwertprobleme III: Methode der Spiegelladung (Bildladung)
• gegeben sei ein System von Punktladungen in einem Gebiet von V und eine Randfläche S
• Idee: unter Ausnutzung der Symmetrien kann man geeignete Ladungen (Spiegelladungen) außerhalb
von V platzieren und so die geforderten Randbedingungen auf S erfüllen (außerhalb deswegen, da ihre
Potentiale in V die Laplacegleichung erfüllen müssen)
⇒ ursprüngliches Randwertproblem ersetzt durch äquivalentes Problem
– mit erweitertem Randgebiet
– mit zusätzlichen (Spiegel-)Ladungen
– ohne Randfläche
• theoretische Basis: Greensche Funktion (die Funktion F )
28
2.12 Randwertprobleme III: Methode der Spiegelladung (Bildladung)
Beispiel 1: Punktladung vor ebener, geerdeter Metallfläche (= yz-Ebene)
auf der Metallfläche ist Φ = const. = 0, Lösung ist offensichtlich
Φ(~x0 ) =
1
q
1
(−q)
+
=0
4πε0 |~x − ax̂| 4πε0 |~x + ax̂|
(2.54)
a −a für x = 0, denn y = y z
z
Kraft auf die Punktladung q (anziehend):
|F~ | =
1
q2
4πε0 (2a)2
(2.55)
die Ladung q 0 = −q existiert in Wirklichkeit nicht, statt dessen wird auf der Oberfläche S eine Flächenladungsdichte induziert (Kapitel 2.8):
σ = ε0 · [(E2 )⊥ − (E1 )⊥ ] = ε0 (Eaußen )⊥
(2.56)
~ zeigt in x̂-Richtung (da Φ = const. auf S)
∇Φ
⇒ E⊥ = − ∂Φ
∂x
"
#
q ∂
1
1
∂Φ
p
=−
−p
=
σ = −ε0
∂x
4π ∂x
(x − a)2 + y 2 + z 2
(x + a)2 + y 2 + z 2 x=0
qa
=−
3
2
2π · (a + y 2 + z 2 ) 2
(2.57)
(2.58)
• wird betragsmäßig maximal für y = z = 0, also gegenbüber der Punktladung
• radialsymmetrisch in der yz-Ebene (hängt nur von y 2 + z 2 ab)
R
• gesamte induzierte Ladung ist S dy dz σ(y, z) = −q Spiegelladung (fließt über die Erdung auf Metallfläche)
Beispiel 2: Punktladung vor geerdeter Metallkugel (Radius a)
Punktladung q im Abstand ~y vom Zentrum der Kugel mit |~y | > a, d.h. V = R3 \ Kugel, V 0 = Kugel,
S = Oberfläche der Kugel. Oberfläche der Kugel auf konstantem Potential: Φ = const. = 0 auf S.
Annahme: eine Spiegelladung q 0 reicht aus.
Symmetrie: q 0 muss auf der Linie zwischen q und Ursprung liegen.
Potential ist:
Φ(~x) =
1
q
1
q0
+
4πε0 |~x − ~y | 4πε0 |~x − ~y 0 |
(2.59)
q 0 und |~y 0 | müssen so gewählt werden, dass Φ = 0 für |~x| = a. n̂, bzw. n̂0 seien Einheitsvektoren in Richtung
von ~x, bzw. ~y , d.h.:
~x = n̂ · x
~y = n̂0 · y
~y 0 = n̂0 · y 0
(2.60)
29
2 Elektrostatik (im Vakuum)
q
q0
+
|xn̂ − yn̂0 | |xn̂ − y 0 n̂0 |
q
q0
!
4πε0 · Φ(x = a) =
=0
y 0 + 0
a · |n̂ − a n̂ | y · | ya0 n̂ − n̂0 |
y 2
y2
y
n̂ − n̂0 = 1 + 2 − 2 n̂n̂0
a
a
a
2
2
a
n̂ − n̂0 = 1 + a − 2 a n̂n̂0
y0
02
y
y0
4πε0 · Φ(~x) =
(2.61)
(2.62)
(2.63)
(2.64)
(2.65)
⇒
y
a
=
a
y0
und
q
a
0
= − yq 0 (funktioniert für alle n̂n̂0 ), d.h.
y0 =
a2
y
a
q0 = − q
y
(2.66)
(das ist übrigens auch richtig für ~y ∈ V 0 und ~y 0 ∈ V )
Kraft auf die Punktladung q (anziehend): Abstand r = y − y 0 = y 1 −
1 |qq 0 |
q2
a
|F~ | =
=
4πε0 r2
4πε0 y 3 1 −
(
∝
=
a2
∝
2
y
a2
y2
1
r2
1
r3
für y ≈ a
für y a
(2.67)
~ zeigt auf S in n̂-Richtung (da Φ = 0 auf
induzierte Flächenladung auf S: σ = ε0 · (Eaußen )⊥ wie zuvor. ∇Φ
S), und mit ~x = xn̂
E⊥ = −
∂Φ
∂Φ
=−
∂n
∂x
(2.68)
und nach kurzer Rechnung mit n̂n̂0 = cos γ mit 0 ≤ γ ≤ π
σ = −ε0 ·
∂Φ q a
=−
·
∂x x=a
4πε0 y 1−
1+
a2
y2
−
a2
y2
2 ay
cos γ
32
(2.69)
• σ ist betragsmäig maximal für γ = 0, also gegenüber der Punktladung q
H
• gesamte induzierte Ladung ist S dA σ = − ay q = q 0 Spiegelladung
• für große r: Feld sieht aus wie das Feld einer Ladung q + q 0 = q · 1 − ay (+ höhere Terme, siehe
Multipolentwicklung)
Beispiel 3: Punktladung und isolierte, geladene Metallkugel
es sei eine Ladung Q auf der Kugel.
Lösung mit Beispiel 2 durch lineare Superposition:
• zunächst sei Kugel geerdet
⇒ induzierte Ladung q 0 = −q ay (im Gleichgewicht, keine Kräfte)
• unterbreche Erdung und bringe zusätzliche Ladung Q − q 0 auf Kugel
– Gesamtladung Q
30
2.13 Randwertprobleme IV: Entwicklung nach orthogonalen Projektionen
– Zusatzladung Q − q 0 gleichmäßig auf Oberfläche verteilt, da Kräfte aufgrund der Punktladung q
bereits durch q 0 ausgeglichen sind
– Potential (für ~x außerhalb der Kugel):
1
q
q0
Q − q0
Φ(~x) =
·
+
+
=
4πε0
|~x − ~y | |~x − ~y 0 |
|~x|
"
#
Q + ay q
1
q
aq
=
·
−
+
4πε0
|~x − ~y | y · |~x − ay22 ~y |
|~x|
(2.70)
(2.71)
• ähnlich können verwandte Probleme gelöst werden:
– Punktladung und Metallkugel auf konstantem Potential
– Metallkugel im homogenen elektrischen Feld
• Greensche Funktion GD (~x, ~x0 ) (für Dirichlet Randbedingung) der Kugel ist gerade das Potential der
Punktladung q und der Spiegelladung q 0 (~x0 ist der Ort der Punktladung):
GD (~x, ~x0 ) =
mit Einheitsladung q und ohne
1
4πε0 ,
a
1
−
2
0
a
|~x − ~x | |~x − ~x02 ~x0 | · ~x0
(2.72)
zweiter Term entspricht der Funktion F (~x, ~x0 ).
Check: GD (~x, ~x0 ) = 0 für x = a und /oder x0 = a wie gefordert
G ist unabhängig von % (bestimmt durch Differentialoperator und Geometrie des Randes)
⇒ mit Formel aus Kapitel 2.11 kann Potential Φ(~x) für beliebige Ladungsdichten % bzw. beliebig vorgegebenes Potential auf S berechnet werden.
Z
I
1
1
∂GD
Φ(~x) =
dτ 0 %(~x0 ) · GD (~x, ~x0 ) −
dA0 Φ(~x0 ) ·
=
(2.73)
4πε0 V
4πε0 S
∂n0
I
1
dΩ0 Φ(a, θ0 , ϕ0 ) =
(2.74)
= Volumenintegral +
4π S
a · (x2 − a2 )
=
(2.75)
3
(x2 + a2 − 2ax cos γ) 2
mit cos γ = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ϕ − ϕ0 ) (hierbei ist ~x ∈ V , also außerhalb der Kugel)
und für ~x ∈ V 0 ist das Vorzeichen des 2. Terms umgekehrt
⇒ wir habene eine viel allgemeinere Lösung erhalten
2.13 Randwertprobleme IV: Entwicklung nach orthogonalen
Projektionen
2.13.1 Orthogonale Funktionen
• Vektorraum V der Dimension n:
– aufgespannt durch n Einheitsvektoren êi mit êi · êj = δij
– jeder Vektor in V kann als Linearkombination der êi dargestellt werden:
~v =
n
X
Ci êi
(2.76)
i=1
– Koeffizienten eindeutig bestimmt:
Ci = hêi |~v i =
n
X
Cj · hêi |êj i
(2.77)
j=1
31
2 Elektrostatik (im Vakuum)
• analog dazu gibt es Funktionenräume (z.b. Hilbertraum)
allgemeine Eigenschaften (Sturm-Lionville Theorie):
– Funktionen definiert im Intervall [a, b] (a, b können ±∞ sein)
– reelle Gewichtsfunktion ω(x) ≥ 0 ∈ [a, b]
– Funktionen sind quadratintegrabel (∈ L2 ):
Z b
dx ω(x) · |f (x)|2
(2.78)
a
exisitert und ist endlich
⇒ f ∈ L2
– Skalarprodukt:
Z
b
dx ω · f1∗ (x)f2 (x)
hf1 |f2 i =
(2.79)
a
Symmetrie:
hf1 |f2 i = hf2 |f1 i
(2.80)
– für ein System orthogonaler Funktionen ( Einheitsvektoren“):
”
hUi |Uj i = δij
(2.81)
– beliebige Funktion (∈ L2 ) kann nach Ui entwickelt werden:
f (x) ≈
n
X
mit ai = hUi |f i
ai Ui (x)
(2.82)
i=1
diese Wahl der ai minimiert den mittleren quadratischen Fehler
2
Z b
N
X
MN =
dx ω(x) · f (x) −
ai Ui (x)
a
i=1
*
+
N
N
X
X
MN = f −
ai Ui f −
aj Uj
i=1
= hf |f i −
(2.83)
(2.84)
j=1
X
a∗i · hUi |f i −
X
i
aj · hf |Uj i +
j
X
i,j
|
a∗i aj · hUi |Uj i
| {z }
(2.85)
=δij
{z
P
= i a∗
i ai
∂MN
= − hUn |f i + an = 0
∂a∗n
}
(2.86)
– das System der Ui ist vollständig, wenn für alle ε > 0 ein N0 (ε) existiert, sodass MN < ε für
N > N0 (ε) (Konvergenz im Mittel)
Mathematik: die wichtigen Syteme orthonormaler Funktionen sind vollständig
– dann gilt:
f (x) =
∞
X
0
ai Ui (x) =
dx
a
i=1
"
b
Z
0
ω(x ) ·
∞
X
#
Ui∗ (x0 )Ui (x)
· f (x0 )
(2.87)
i=1
und damit (Vollständigkeitsrelation):
ω(x0 ) ·
∞
X
i=1
32
Ui∗ (x0 )Ui (x) = δ(x − x0 )
(2.88)
2.13 Randwertprobleme IV: Entwicklung nach orthogonalen Projektionen
• Beispiel: trigonometrische Funktionen
– [a, b] ⇒ [−π, π]
– ω(x) =
1
π
= const.
– Einheitsfunktionen sin(nx) und cos(nx)
– Fourierreihe
f (x) =
∞
X
1
Ao +
[An cos(nx) + Bn sin(nx)]
2
n=1
(2.89)
mit Koeffizienten:
Z
1 π
dx f (x) cos(nx)
π −π
Z
1 π
dx f (x) sin(nx)
Bn =
π −π
An =
(2.90)
(2.91)
• oft benutzt: orthogonale Polynome Pn (x)
!
– vollständig bestimmt durch a, b und ω(x), sowie Forderung Un = Polynom
– iterative Bestimmung: starte mit Vm (x) = xm , dann Gram-Schmidt-Verfahren
– Beispiele:
Legendre-Polynome
Hermite-Polynome
Laguerre-Polynome
a = −1,
b = 1,
a = −∞,
a = 0,
ω(x) = 1
b = ∞,
ω(x) = e−x
b = ∞,
−x
ω(x) = e
(2.92)
2
(2.93)
(2.94)
a, b und ω(x) ändern das Skalarprodukt
• wenn Intervall unendlich groß wird, kann aus dem abzählbarem Satz der Um ein kontinuum orthonormaler Funktionen werden.
Beispiel:
x
1
Um (x) = √ · ei2πm a
a
ω(x) = 1
∞
X
x
1
Am ei2πm a
f (x) = √ ·
a m=−∞
h a ai
im Intervall − ,
2 2
(2.95)
(2.96)
1
mit Am = hUm |f i = √
a
Z
a
2
x
dx f (x)e−i2πm a
(2.97)
−a
2
nun a → ∞ und definiere 2πm
a =K
Z
∞
X
a
2π
→
dK
∆D =
wird sehr klein → dK
2π −∞
a
m
r
2π
Am →
A(K)
a
1
Um (x) → UK (x) = √ eiKx
a
Z ∞
1
⇒ f (x) = √
dK A(K)e−iKx
Fourierintegral
2π −∞
R∞
mit A(K) = hUk |f i = √12π −∞ dx f (x)e−iKx
(2.98)
(2.99)
(2.100)
(2.101)
Orthogonalitätsbedingung für UK (x):
hUK 0 |UK i =
1
2π
Z
∞
dx ei(K−K
0
)x
= δ(K − K 0 )
(2.102)
−∞
33
2 Elektrostatik (im Vakuum)
Vollständigkeitsrelation:
1
2π
Z
∞
0
dK eiK(x−x ) = δ(x − x0 )
(2.103)
−∞
dies liefert eine Darstellung der δ-Funktion (oft benutzt)
• All dies kann auf mehrere Variablen verallgemeinert werden (später)
1
· einx − e−inx
2i
1
cos(mx) = · eimx + e−imx
2
Z
Z π
1
1 π
dx sin(nx) cos(mx) =
dx ei(n+m)x − e−i(n+m)x + ei(n−m)x − e−i(n−m)x
π −π
4πi −π
sin(nx) =
(2.104)
(2.105)
(2.106)
2.13.2 Variablenseparation in kartesischen Koordinaten
• Variablenseparation ist eine der wichtigsten Methoden, partielle Differentialgleichungen zu lösen
• Beispiel: Laplace-Gleichung in kartesischen Koordinaten:
2
2
2
~ 2 Φ(x, y, z) = ∂ Φ + ∂ Φ + ∂ Φ = 0
∇
2
2
∂x
∂y
∂z 2
(2.107)
Produktansatz: Φ(x, y, z) = X(x) · Y (y) · Z(z) (Annahme, wir müssen sehen, ob es funktioniert),
angewandt auf Differentialgleichung (keine partiellen Ableitungen mehr):
d2 X
d2 Y
d2 Z
·
Y
Z
+
X
·
·
Z
+
XY
·
=0
dx2
dy 2
dz 2
1 d2 Y
1 d2 Z
1 d2 X
·
+
·
+
·
=0
X dx2
Y dy 2
Z dz 2
d2 X
1
d2 Y
1
d2 Z
1
·
=
−
·
−
·
X(x) dx2
Y (y) dy 2
Z(z) dz 2
: XY Z
(2.108)
(2.109)
(2.110)
linke Seite hängt nur von x ab, rechte Seite nur von y und z
⇒ linke Seite = rechte Seite = Konstante (sonst Widerspruch)
1
d2 X !
·
= −α2
X(x) dx2
1
d2 Y !
·
= −β 2
Y (y) dy 2
1
d2 Z
· 2 = α2 + β 2
Z(z) dz
⇒ X(x) = e±iαx
(2.111)
⇒ Y (y) = e±iβy
(2.112)
⇒ Z(z) = e±
d.h. der Produktansatz hat funktioniert und eine Lösung für Φ ist:
√ 2 2
Φαβ (x, y, z) = e±iαx · e±iβy · e± α +β z
√
α2 +β 2 z
(2.113)
(2.114)
bzw. mit linearer Superposition:
Φ(x, y, z) =
X
Cαβ Φαβ (x, y, z)
(2.115)
α,β
Dies ist kein Produkt mehr, sondern eine viel allgemeinere Funktion! Die erlaubten Werte für α, β und
die Koeffizienten Cαβ sind durch die Randbedingungen betimmt.
Beispiel: Quader mit Kantenlängen a, b, c, Oberseite auf Potential V (x, y), die anderen 5 Seiten auf
Potential 0.
34
2.13 Randwertprobleme IV: Entwicklung nach orthogonalen Projektionen
Φ = 0 für x = 0, y = 0, z = 0 :
Φ = 0 bei x = a, y = b :
definiere αn =
nπ
a ,
βm =
mπ
b ,
γnm = π ·
q
n2
a2
+
X = sin(αx)
(2.116)
Y = sin(βy)
p
α2 + β 2 z
Z = sinh
(2.117)
(2.118)
αa = nπ
(2.119)
βb = mπ
(2.120)
m2
b2
Φnm (x, y, z) = sin(αn x) sin(βm y) sinh(γnm z)
X
Φ(x, y, z) =
Anm Φnm (x, y, z)
(2.121)
(2.122)
n,m
die Koeffizienten Anm müssen so bestimmt werden, dass Φ = V (x, y) auf der Oberseite:
X
V (x, y) =
Anm sin(αn x) sin(βm y) sinh(γnm c)
(2.123)
n,m
die Funktionen Unm (x, y) = √2ab sin(αn x) sin(βm y) sind ein vollständiger Satz orthonormaler
Funktionen in zwei Dimensionen mit x ∈ [0, a], y ∈ [0, b] (für Funktionen mit Randbedingungen 0 auf dem Rand“), d.h.
”
√
ab X
V (x, y) =
Anm sinh(γnm c)Unm (x, y)
(2.124)
2 n,m
dies ist eine Fourierreihe in zwei Dimensionen mit Koeffizienten:
√
Z a
Z b
ab
2
Anm sinh(γnm c) = hUnm |V i = √
dx
dy V (x, y) sin(αn x) sin(βm y)
2
ab 0
0
(2.125)
Z a
Z b
4
⇒ Anm =
dx
dy V (x, y) sin(αn x) sin(βm y)
(2.126)
ab sinh(γnm c) 0
0
Das Problem ist damit gelöst (und das Ergebnis ist kein Produkt). Die bisherige Lösung
entspricht dem Oberflächenintegral über die Greensche Funktion (siehe Kapitel 2.11).
falls im Inneren des Quaders % 6= 0 (Poissongleichung), müssen wir die Greensche Funktion konstruieren → später
2.13.3 Variablenseparation in Kugelkoordinaten
• Erinnerung: Laplacegleichung in Kugelkoordinaten:
1 ∂2
1
∂
∂Φ
1
∂2Φ
(rΦ)
+
sin
θ
+
=0
2
r ∂r2
r2 sin θ ∂θ
∂θ
r2 sin θ ∂ϕ2
(2.127)
35
2 Elektrostatik (im Vakuum)
• Produktansatz: Φ(r, θ, ϕ) =
U (r)
r P (θ)Q(ϕ)
liefert:
r3 sin2 θ
·
UPQ
UQ d
P Q d2 U
dP
U P d2 Q
+
0=
sin
θ
+
r dr2
r3 sin θ dθ
dθ
r3 sin2 θ dϕ2
1
d
dP
1 d2 Q
1 d2 U
2
2
+
0 = r sin θ
sin
θ
+
U dr2
P r2 sin θ dQ
dθ
Q dϕ2
(2.128)
(2.129)
letzten Term auf rechte Seite bringen, linke Seite hängt nicht von ϕ ab
⇒ rechte Seite muss konstant sein
1 d2 Q
= −m2
Q dϕ2
Q(ϕ) = e±imϕ mit m ∈ N s.u.
→
(2.130)
Q muss eindeutig sein, wenn sich ϕ um 2π ändert:
!
Q(ϕ + 2π) = e±im(ϕ+2π) = Q(ϕ)e±im2π = Q(ϕ)
⇒ e
±im2π !
also m ∈ N
=1
(2.131)
(2.132)
damit folgt:
1 d2 U
1
d
r
+
2
U dr
P sin θ dθ
2
dP
sin θ
dθ
−
m2
=0
sin2 θ
(2.133)
ersten Term auf rechte Seite bringen, linke Seite hängt nicht von r ab
⇒ rechte Seite muss konstant sein
1 d2 U
= l(l + 1)
U dr2
l(l + 1)
d2 U
−
U =0
⇒
dr2
r2
r2
(2.134)
(2.135)
diese Differentialgleichung hat die Lösung:
U (r) = Arl+1 + Br−l
mit l ≥ 0 s.u.
(2.136)
die Differentialgleichung für P ist somit:
1
d
P sin θ dθ
dP
sin θ
dθ
−
m2
= −l(l + 1)
sin2 θ
(2.137)
bzw.:
1 d
sin θ dθ
sin θ
dP
dθ
m2
+ l(l + 1) −
P =0
sin2 θ
(2.138)
mit x = cos θ ist:
d
dθ d
1 d
=
=−
dx
dx dθ
sin θ dθ
d
sin2 θ d
1 − x2 d
d
sin θ
=
=
= −(1 − x2 )
dθ
sin
θ
dθ
sin
θ
dθ
dx
d
dP
m2
⇒
(1 − x2 )
+ l(l + 1) −
P =0
dx
dx
1 − x2
zugeordnete Legendresche Differentialgleichung“
”
• für m = 0: gewöhnliche Legendresche Differentialgleichung“
”
diese studieren wir jetzt (für −1 ≤ x ≤ 1)
36
(2.139)
(2.140)
(2.141)
2.13 Randwertprobleme IV: Entwicklung nach orthogonalen Projektionen
– nimm an, dass sich P in eine Potenzreihe entwickeln lässt:
P (X) =
∞
X
aj xj
(2.142)
j=0
einsetzen in die Differentialgleichung liefert:
X
dP
=
jaj xj−1
dx
j
(1 − x2 )
∞
X
(2.143)
X
dP
=
jaj xj−1 − xj+1
dx
j
j(j − 1)aj xj−2 − [j(j + 1) − l(l + 1)] aj xj = 0
(2.144)
(2.145)
j=0
nun j → j + 2 in ersten Term (ersten beiden Terme für j = 0, 1 sind Null)
∞
X
{(j + 1)(j + 2)aj+2 − [j(j + 1) − l(l + 1)] aj } xj = 0
(2.146)
j=0
– alle Potenzreihen von x müssen verschwinden!
⇒ Rekursionsrelation für die Koeffizienten aj :
aj+2 =
j(j + 1) − l(l + 1)
aj
(j + 1)(j + 2)
(2.147)
d.h. a0 → a2 , a4 , a6 , . . . und a1 → a3 , a5 , a7 , . . .
Differentialgleichung ist zweiter Ordnung
⇒ zwei linear unabhängige Lösungen:
Lösung 1: a0 6= 0, a1 = 0 ⇒ nur gerade Potenzen
Lösung 2: a0 = 0, a1 6= 0 ⇒ nur ungerade Potenzen
allgemeine Lösung durch Superposition
– man kann zeigen (für alle l), dass beide Potenzreihen für |x| < 1 konvergieren und für x = ±1
(d.h. θ = 0, π) divergieren (es sei denn, sie brechen ab)
physikalisches Potential muss aber im ladungsfreien Raum endlich sein
⇒ Reihe muss abbrechen (d.h. Zähler in Rekursionsformel muss 0 werden):
!
j(j + 1) = l(l + 1)
(2.148)
quadratische Gleichung für j mit zwei Lösungen j = l und j = −l − 1
in der Differentialgleichung kommt nur l(l + 1) vor, dies ist symmetrisch bzgl. l = − 21 , d.h.
wirkönnen uns auf l ≥ − 12 beschränken
⇒ wegen j ≥ 0 bleibt nur die Lösung j = l übrig
– j ist ganzzahlig → l muss auch ganzzahlig und ≥ 0 sein. 2 Möglichkeiten:
1. l gerade → gerade Reihe bricht ab, ungerade Reihe divergiert (für |x| = 1) und muss durch
die Wahl a1 = 0 zum Verschwinden gebracht werden.
2. l ungerade → ungerade Reihe bricht ab, gerade Reihe divergiert (für |x| = 1) und muss durch
die Wahl a0 = 0 zum Verschwinden gebracht werden.
37
2 Elektrostatik (im Vakuum)
in beiden Fällen ist die höchste Potenz xl
→ Legendre-Polynome Pl (x) vom Grad l, Konvention Pl (1) = 1:
P0 (x) = 1
(2.149)
P1 (x) = x
1
P2 (x) = (3x2 − 1)
2
1
P3 (x) = (5x3 − 3x) usw.
2
(2.150)
(2.151)
(2.152)
diese bilden einen vollständigen Satz orthogonaler Funktionen auf [−1, 1] mit w(x) = 1, die
normierten Funktionen sind:
r
2l + 1
Pl (x)
(2.153)
ũl (x) =
2
• Randwertprobleme mit azimutaler Symmetrie: Lösung darf nicht von ϕ abhängen, also m = 0
allgemeine Lösung:
Φ(r, θ) =
∞ h
X
i
Al rl + Bl r−(l+1) Pl (cos θ)
(2.154)
l=0
die Al und Bl müssen aus den Randbedingungen bestimmt werden
Beispiel: Punkt im inneren einer Kugel mit Radius a, auf der Oberfläche Φ = V (θ) (vorgegeben)
da am Urpsrung keine Ladung: Φ(r = 0) endlich
→ Bl = 0 für alle l
∞
X
Φ(r = a, θ) = V (θ) =
Al al Pl (cos θ) =
(2.155)
l=0
=
∞
X
l=0
r
l
Al a
2
ũl (cos θ)
2l + 1
das ist eine Entwicklung nach Legendre-Polynomen bzgl. ũl . Koeffizienten:
r
Z π
2
Al al
= hũl |V i =
sin θ dθ V (θ)ũl (cos θ)
2l + 1
0
Z
2l + 1 π
→ Al =
sin θ dθ V (θ)Pl (cos θ)
2al 0
(2.156)
(2.157)
(2.158)
1
• Entwicklung von |~x−~
x aufgrund einer Einheitsladung
x0 | in Legendre-Polynomen = Potential am Ort ~
0
am Ort ~x
zunächst ~x0 auf der z-Achse
Potential erfüllt Laplacegleichung (für ~x 6= ~x0 )
Problem hat azimutale Symmetrie (γ = θ hängt nicht von ϕ ab), daher allgemeine:
∞
i
Xh
1
l
−(l+1)
=
A
r
+
B
r
Pl (cos γ)
l
l
|~x − ~x0 |
(2.159)
l=0
für ~x auf der z-Achse: cos γ = 1, Pl (1) = 1 ∀l:
∞
i
Xh
1
l
−(l+1)
=
A
r
+
B
r
l
l
|~x − ~x0 |
l=0
38
(2.160)
2.13 Randwertprobleme IV: Entwicklung nach orthogonalen Projektionen
gleichzeitig gilt mit r> := max(r, r0 ) und r< := min(r, r0 ) und ~x immernoch auf z-Achse:
1
1
1
1
=
=
=
|~x − ~x0 |
|r − r0 |
r> − r<
r> 1 −
r<
r>
=
l X
∞ ∞
l
r<
1 X r<
·
=
l+1
r>
r>
r>
l=0
(2.161)
l=0
d.h. die Terme in [. . .] in Gleichung 2.160 sind gegeben durch die Terme in Gleichung 2.161, damit folgt
sofort die allgemeine Lösung:
∞
X rl
1
<
P (cos γ)
=
l+1 l
|~x − ~x0 |
r>
(2.162)
l=0
dies gilt auch für ~x0 nicht auf der z-Achse (γ ist der Winkel zwischen ~x und ~x0 )
• Randwert-Probleme ohne azimutale Symmetrie, d.h. m 6= 0 in Legendregleichung:
d
dP
m2
P =0
(1 − x2 )
+ l(l + 1) −
dx
dx
1 − x2
(2.163)
Lösung ähnlich wie für m = 0. Ansatz:
m
P (x) = (1 − x2 ) 2 T (x)
mit T (x) = Potenreihe in x
(2.164)
m = 0, ±1, ±2, . . . , ±l
(2.165)
– einsetzen in Differentialgleichung
– alle Potenzen von x müssen verschwinden
– Reihe soll konvergieren
dies liefert die Bedingungen
l = 0, 1, 2, . . .
und Lösungen ( zugeordnete Legendre-Funktionen“):
”
Plm (x) =
m
(−1)m
dl+m
(1 − x2 ) 2 · l+m (x2 − 1)l
l
2 · l!
dx
für festes m sind die Plm auf [−1, 1] ein Satz orthogonaler Funktionen bezüglich l
normierte Funktionen:
s
2l + 1 (l − m)! m
P (x)
2 (l + m)! l
(2.166)
(2.167)
die Funktionen Qm (ϕ) = √12π eimϕ sind auf [0, 2π] ein Satz orthonormaler Funktionen bezüglich m
→ kombiniere die beiden Funktionen P (θ) und Q(ϕ)
s
2l + 1 (l − m)! m
Ylm (θ, ϕ) =
P (cos θ)eimϕ
Kugelflächenfunktionen
(2.168)
4π (l + m)! l
vollständiger Satz orthonormaler Funktionen bezüglich l und m auf der Oberfläche der Einheitskugel
Orthogonalitätsbedingung:
Z 2π
Z
dϕ
0
0
π
sin θdθ Yl0 m0 (θ, ϕ)Ylm (θ, ϕ) = δll0 δmm0
|
{z
}
(2.169)
=hYl0 m0 |Ylm i
Vollständigkeitsrelation:
∞ X
l
X
∗
Ylm
(θ0 , ϕ0 )Ylm (θ, ϕ) = δ(ϕ − ϕ0 )δ(cos θ − cos θ0 )
(2.170)
l=0 m=−l
39
2 Elektrostatik (im Vakuum)
d.h. jede Funktion von θ, ϕ kann in den Ylm entwickelt werden:
g(θ, ϕ) =
∞ X
l
X
Clm Ylm (θ, ϕ)
(2.171)
l=0 m=−l
mit Koeffizienten:
Z
Clm = hYlm |gi =
∗
dΩ Ylm
(θ, ϕ)g(θ, ϕ)
(2.172)
allgemeine Lösung des Randwert-Problems in Kugelkoordinaten:
Φ(r, θ, ϕ) =
∞ X
l
h
X
i
Alm rl + Blm r−(l+1) Ylm (θ, ϕ)
(2.173)
l=0 m=−l
Koeffizienten bestimmt durch Randbedingungen
1
• Entwicklung von |~x−~
x0 | und Additionstheorem für Kugelflächenfunktionen
Abstand ist Funktion von r, r0 und θ, ϕ, θ0 , ϕ0
→ Entwicklung in Ylm (θ, ϕ) und Yl∗0 m0 (θ0 , ϕ0 ):
∞
l
X
r<
1
=
=
l+1
0
|~x − ~x |
r> Pl (cos γ)
l=0
X
Alml0 m0 (r, r0 )Yl∗0 m0 (θ0 , ϕ0 )Ylm (θ, ϕ)
(2.174)
l,m,l0 ,m0
Erinnerung:
cos γ = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ϕ − ϕ0 )
(2.175)
i
~2+∇
~ 2 Ylm = − l(l + 1) Ylm
∇
θ
ϕ
r2
(2.176)
nun benutze (schematisch):
h
und wende Laplace-Operator an:
X 1 d2
l(l + 1)
1
~2
∇
=
r
−
Alml0 m0 (r, r0 )Yl∗0 m0 (θ0 , ϕ0 )Ylm (θ, ϕ) =
2
2
|~x − ~x0 |
r
dr
r
0
0
(2.177)
l,m,l ,m
δ(r − r0 )
δ(cos θ − cos θ0 )δ(ϕ − ϕ0 ) =
r2
∞ X
l
X
4π
∗
= − 2 δ(r − r0 )
Ylm
(θ0 , ϕ0 )Ylm (θ, ϕ)
r
= −4πδ(~x − ~x0 ) = −4π
(2.178)
(2.179)
l=0 m=−l
vergleiche 2.177 und 2.179:
Alml0 m0 (r, r0 )
1 d2
l(l + 1)
4π
r−
Alm (r, r0 ) = − 2 δ(r − r0 )
2
2
r dr
r
r
= δll0 δmm0 Alm (r, r0 )
(2.180)
(2.181)
r 6= r0 : Differentialgleichung hat Lösungen rl und r−(l+1)
für r < r0 nur rl , für r > r0 nur r−(l+1) (sonst → ∞ für r → 0 bzw. r → ∞)
unabhängig von m, d.h. Alm = Al
r = r0 : zweite Ableitung von Al ist δ-Funktion
→ erste Ableitung ist Stufenfunktion, Funktion selbst stetig
(
al rl
für r < r0
0
→ Al (r, r ) =
verlange Stetigkeit bei r = r0
0(2l+1)
al r rl+1
für r > r0
40
(2.182)
2.13 Randwertprobleme IV: Entwicklung nach orthogonalen Projektionen
al kann bestimmt werden durch Integrieren von 2.181 für r0 − ε < r < r0 + ε
man erhält:
al =
4π
(2l + 1)r0(l+1)
(2.183)
alles zusammen:
∞ X
l
l
X
r<
1
1
=
4π
Y ∗ (θ0 , ϕ0 )Ylm (θ, ϕ)
l+1 lm
|~x − ~x0 |
2l + 1 r>
(2.184)
l=0 m=−l
Vergleich mit der Entwicklung von
1
|~
x−~
x0 |
nach Pl gibt Additionstheorem:
l
4π X ∗ 0 0
Ylm (θ , ϕ )Ylm (θ, ϕ)
Pl (cos γ) =
2l + 1
(2.185)
m=−l
bzw. für θ = θ0 , ϕ = ϕ0 , γ = 0 die Summenregel:
l
X
|Ylm (θ, ϕ)|2 =
m=−l
2l + 1
4π
(2.186)
der Ausdruck 2.184 ist die Basis für die Entwicklung der Greenschen Funktion in Kugelkoordinaten
(allgemeines Lösungsverfahren zur Bestimmung von θ), siehe Jackson Kapitel 3.9 bzw. noch allgemeiner
Kapitel 3.12 (Entwicklung in Eigenfunktionen)
2.13.4 Variablenseparation in Zylinderkoordinaten
• Laplacegleichung in Zylinderkoordinaten:
∂2Φ 1 ∂2Φ ∂2Φ
+
+
=0
∂%2
% ∂ϕ2
∂z 2
(2.187)
Φ(%, ϕ, z) = R(%)Q(ϕ)Z(z)
(2.188)
• Separationsansatz:
wie üblich finden wir:
d2 Z
− k2 Z = 0
dz 2
d2 Q
+ v2 Q = 0
dϕ2
d2 R 1 dR
v2
2
+
+
k
−
R=0
d%2
% d%
%2
Variablentransformation x = k% liefert:
d2 R
1 dR
v2
+
+
1
−
R=0
dx2
x dx
x2
→ Z(z) = e±kz
(2.189)
→ Q(ϕ) = e±ivϕ mit v ∈ N
(2.190)
(2.191)
Besselsche-Differentialgleichung
(2.192)
Lösungen sind die Bessel-Funktionen der Ordnung r
Potenzreihenansatz (Frobenius-Methode):
R(x) = xα
∞
X
j=0
aj xj → α = ±v,
a2j = −a2j−2
1
4j(j + α)
(2.193)
41
2 Elektrostatik (im Vakuum)
ungerade Potenzen verschwinden (folgt aus Rechnung). Lösung der Rekursionsformel:
(−1)j Γ(α + 1)
22j j!Γ(j + α + 1)
1
Konvention
mit a0 = α
2 Γ(α + 1)
Z ∞
Γ(z) =
dt e−t tz−1
a2j = a0
(2.194)
(2.195)
(2.196)
0
und damit:
J±v (x) =
∞
x ±v X
2
j=0
x 2j
(−1)j
j!Γ(j ± v + 1) 2
Bessel-Funktion 1. Art
(2.197)
Eigenschaften:
– konvergieren für alle x
– unendlich viele Nullstellen xvn (zwei Indizes) mit n = 1, 2, 3, . . .
– J±v sind linear unabhängig für v ∈
/ Z → zwei Lösungen der Differentialgleichung
– für v = m ∈ Z:
J−m (x) = (−1)m Jm (x)
(2.198)
→ zweite Lösung der Differentialgleichung muss noch gefunden werden
Bessel-Funktion 2. Art:
Nv (x) =
Jv (x) cos(vπ) − J−v (x)
sin(vπ)
Neumann-Funktion
(2.199)
Eigenschaften:
– linear unabhängig von Jv (x), auch für v ∈ Z → zweite Lösung gefunden
– logarithmisch divergent für x → 0
Hankel-Funktionen:
Hv(1) = Jv (x) + iNv (x)
(2.200)
Hv(2)
(2.201)
= Jv (x) − iNv (x)
modifizierte Bessel-Funktionen (Bessel-Funktionen mit imaginärem Argument):
Iv (x) = i−v Jv (ix)
π
Kv (x) = iv+1 Hv ((1)(ix))
2
Bessel-Funktionen sind für festes v ein Satz orthogonaler Funktionen mit:
Z a
% %
a2
2
%d% Jv xvn
Jv xvn0
= δnn0 [Jv+1 (xvn )]
a beliebig
a
a
2
0
(2.202)
(2.203)
(2.204)
d.h. eine beliebige Funktion von % kann in [0, a] nach Bessel-Funktionen Jv entwickelt werden (für alle
v ≥ −1):
f (%) =
42
∞
X
%
Avn Jvn xvn
a
n=1
(2.205)
2.14 Multipolentwicklung
mit Koeffizienten:
2
hJv |f i =
a2 [Jv+1 (xvn )]2
Z a
2
%
= 2
%d% f (%)Jv xvn
2
a [Jv+1 (xvn )] 0
a
Avn =
(2.206)
(2.207)
• Randwertprobleme in Zylinderkoordinaten → Übungen
2.14 Multipolentwicklung
• betrachte lokalisierte Ladungsverteilung“: %(~x) = 0 für |~x| > R (Kugel mit Radius R teilt lediglich
”
Raum in Gebiete mit und ohne Ladungen)
• für |~x| > R ( Außenraum“) kann Potential in Kugelflächenfunktion entwickelt werden:
”
Z
1
%(~x0 )
Φ(~x) =
d3 ~x0
=
4πε0 |~x0 |<R
|~x − ~x0 |
r
∞
l
1 X X
4π
Ylm (θ, ϕ)
=
qlm
Multipolentwicklung
4πε0
2l + 1
rl+1
(2.208)
(2.209)
l=0 m=−l
l = 0: Monopol, l = 1: Dipol, l = 1: Quadrupol, ...
• Problem: bestimme die qlm aus Ladungsdichte %(~x0 ) innerhalb der Kugel
für Potential gilt:
Z
%(~x0 )
1
d3 ~x0
=
4πε0 |~x0 |<R
|~x − ~x0 |
Z
1 X 1
Ylm (θ, ϕ)
∗
=
d3 ~x0 (r0 )l %(~x0 )Ylm
(θ0 , ϕ0 )
ε0
2l + 1
rl+1
Φ(~x) =
(2.210)
(2.211)
l,m
1
0
entwickle hierbei |~x−~
x0 | in Kugelflächenfunktionen r = r> und r = r> (siehe Gleichung 2.184 am Ende
von Kapitel 2.13.3)
Koeffizientenvergleich:
Z
qlm =
∗
d3 ~x0 (r0 )l %(~x0 )Ylm
(θ0 , ϕ0 )
Multipolmomente
(2.212)
es gilt:
∗
ql,−m = (−1)m qlm
(2.213)
• um physikalische Bedeutung zu erkennen, definieren wir folgende Kenngrößen“ der Ladungsverteilung:
”
Z
q = d3 ~x0 %(~x0 )
Ladung (Skalar)
(2.214)
Z
p~ = d3 ~x0 %(~x0 )~x0
Dipolmoment (Vektor)
(2.215)
Z
Qij = d3 ~x0 %(~x0 )(3x0i x0j − (r0 )2 δij ) Quadrupolmoment (Tensor, symmetrisch, spurlos) (2.216)
43
2 Elektrostatik (im Vakuum)
einfaches Ausrechnen liefert:
1
q00 = √ q
4π
r
3
q10 = −
(px − ipy ),
8π
r
5
1
q20 =
Q33 ,
2 4π
(2.217)
r
3
pz
4π
r
1 15
=−
(Q13 − iQ23 ),
3 8π
q11 =
q21
(2.218)
q22 =
1
12
r
15
(Q11 − 2iQ12 − Q22 ) (2.219)
2π
damit wird nach kurzer Rechnung:

Φ(~x) =
1
4πε0

 q p~ · ~x 1 X

xi xj


Qij 5 + . . .
 + 3 +
r
 r | r{z } 2 i,j

| {z }
∼ r12
(2.220)
∼ r13
für großes r können die ersten Terme schon eine sehr gute Näherung liefern, für die höheren Terme ist
die Entwicklung in Kugelkoordinaten wesentlich handlicher
• die Multipolelemente hängen von der Wahl des Koordinatensystems ab (Lage des Urpsrungs und
Orientierung)
Fakt: das erste nichtverschwindende Multipolmoment ist nicht von der Wahl des Urpsrungs abhängig
Punktmultipole:
Dipol:
Abstand 2a → 0, Ladung q → ∞, sodass p = 2qa endlich
Quadrupol: a → 0 und q → ∞, sodass qa2 endlich
für das Potential im Außenraum kann die Ladungsverteilung %(~x0 ) durch Multipole erstezt werden.
• elektrisches Feld eines Dipols: wende Gradienten auf Dipolterm in Φ an:
~ p~ · ~x = 1 ∇(~
~ p · ~x) + p~ · ~x∇
~ 1 =
∇
3
3
r
r
r3 px x̂ + py ŷ + pz ẑ
3
=
+
p
~
·
~
x
−
r̂
r3
r4
Dipol sei am Ort ~x0 , definiere n̂ =
(2.221)
(2.222)
~
x−~
x0
|~
x−~
x0 |
p · n̂) − p~
~ x) = − 1 ∇
~ p~ · (~x − ~x0 ) = 3n̂(~
→ E(~
4πε0
r3
4πε0 |~x − ~x0 |3
für ~x 6= ~x0
für ~x = ~x0 kommt eine δ-Funktion hinzu (Rechnung siehe Jackson Kapitel 4.1):
3n̂(~
p · n̂) − p~ 4π
~ x) = 1
E(~
−
p
~
δ(~
x
−
~
x
)
0
4πε0
|~x − ~x0 |3
3
(2.223)
(2.224)
~ den
(die δ-Funktion ist im Fernbereich irrelevant, sorgt aber dafür, dass das Volumenintegral über E
richtigen Wert hat)
• Energie einer Ladungsverteilung im äußeren Feld: (äußeres Feld nicht durch diese Ladungsverteilung
verursacht, Feld ändert nichts an der Ladungsverteilung)
Z
W = d3 ~x %(~x)Φ(~x)
Φ = Potential des äußeren Feldes
(2.225)
44
2.14 Multipolentwicklung
nimm an, dass sich Φ im Bereich der Ladungsverteilung nur wenig ändert → Taylor-Reihe
1X
∂2Φ
~
Φ(~x) = Φ(0) + ~x · ∇Φ(0)
+
xi xj
(0) + . . .
2 i,j
∂xi ∂xj
(2.226)
∂Ej
1X
~
xi xj
(0) + . . .
= Φ(0) − ~x · E(0)
−
2 i,j
∂xi
(2.227)
~ ·E
~ = 0 für das äußere Feld (da % = 0 für äußere“ Ladung im betrachteten Raumgebiet) → füge
∇
”
1 2~
~
6 r ∇ · E(0) = 0 hinzu:
1X
∂Ej
~
Φ(~x) = Φ(0) − ~x · E(0)
−
(3xi xj − r2 δij )
(0) + . . .
6 i,j
∂xi
(2.228)
einsetzen in Ausdruck für W , benutze Definition der Multipolmomente:
~
→ W = qΦ(0) − p~ · E(0)
−
∂Ej
1X
Qij
(0) + . . .
6 i,j
∂xi
(2.229)
dies zeigt, wie die Multipolmomente mit dem Feld wechselwirken
~
z.B. Dipol: Energie minimal für~
pkE
~ zu drehen.
→ Kraft (Drehmoment) auf Dipol durch äußeres Feld versucht diesen in Richtung von E
Kernphysik: Atomkerne können elektrische Quadrupolmomente haben (messbar), diese geben Auskunft über:
– Ladungsverteilung im Kern
– Wechselwirkung zwischen Protonen und Neutronen
→ Test von Theorien
45
2 Elektrostatik (im Vakuum)
46
3 Magnetostatik
3.1 Strom und Stromdichte
• Erinnerung: es gibt keine magnetischen Ladungen (experimenteller Befund)
• Gegenstand der Magnetostatik: Kräfte zwischen elektrischen Strömen, Beschreibung der magnetischen
~
Kraft durch Magnetfeld (analog zum E-Feld):
– elektrischer Strom erzeugt Magnetfeld
– dieses Magnetfeld übt auf (anderen) stromdurchflossenen Leiter eine Kraft aus
• Magnetostatik: Ströme sind zeitunabhängig
• elektrischer Strom = Fluss von elektrischen Ladungen:
I=
dq
dt
(3.1)
Ladung dq, die pro Zeiteinheit dt durch eine Fläche S fließt.
• Stromdichte: ~v = mittlere Geschwindigkeit der Ladungsträger, n̂ = Einheitsvektor ⊥ S
d~l = ~v dt = von den Ladungen in der Zeit dt zurückgelegter Weg
(3.2)
ds = n̂ · ~v dt = Schichtdicke der durch die Fläche geflossenen Ladungen
(3.3)
dV = ds da = n̂ · ~v dt da = ~v dt · d~σ = Volumen der duch die Fläche geflossenen Ladungen
Z
Z
dq =
dV % = dt
d~σ (%~v ) = durch die Fläche geflossene Ladung
V =S ds
Z
ZS
dq
I=
=
d~σ · (%~v ) =
d~σ · J~ mit J~ = %~v = Stromdichte
dt
S
S
(3.4)
(3.5)
(3.6)
• Ladungserhaltung → Kontinuitätsgleichung für den Ladungsfluss (siehe Kapitel 1.2)
∂% ~ ~
+∇·J =0
∂t
(3.7)
• in der Magnetostatik: Ladungsdichte bleibt (zeitlich) konstant
∂%
~ · J~ = 0
=0 → ∇
∂t
stationärer Strom
(3.8)
3.2 Biot-Savart-Gesetz
• Experimente von Oested, Biot, Savart und Ampère (1819-1820) zeigen, dass Ströme ein magnetisches
Feld erzeugen
47
3 Magnetostatik
~ =
dB
µ0 d~l × ~x
I
4π |~x|3
durch Strom erzeugtes Magnetfeld
(3.9)
muss über die länge des Drahtes (bzw. des Stromkreises) integriert werden
~
mit I d~l = dq
v:
dt dl = dq ~
~ =
dB
µ0
~v × ~x
dq
4π
|~x|3
durch bewegte Ladung erzeugtes Magnetfeld
(3.10)
• magnetische Induktion eines langen Drahtes:
Z ∞
µ0
dl · |~x| · sin θ
=
I
4π −∞
|~x|3
Z ∞
µ0 I
µ0
dl R
=
I
3 =
4π −∞ (R2 + l2 ) 2
2π R
~ =
|B|
(3.11)
(3.12)
das ist das eigentliche Biot-Savart Gesetz (experimentell gefunden)
3.3 Kraft und Drehmoment auf Ströme und bewegte Ladungen
• Experiment von Ampere: Kräfte zwischen Strömen
Kraft auf Leiter 1 durch Leiter 2:
~
dF~12 = I1 (d~l1 × B)
I
d~l2 × ~x12
~ = µ0 I2
B
4π
|~x12 |3
#2
I I
µ0
d~l1 × (d~l2 × ~x12 )
F~ =
I1 I2
4π
|~x12 |3
#1 #2
(3.13)
(3.14)
(3.15)
es gilt:
d~l1 × (d~l2 × ~x12 ) = −(d~l1 · d~l2 )~x12 + d~l2 (d~l1 · ~x12 )
(3.16)
der zweite Term verschwindet durch Integration über #1, denn:
~x12
~
= −∇d
|~x12 |3
I
I
~ =
→
d~l1 · ∇f
#1
µ0
→ F~ = − I1 I2
4π
mit f =
df = 0
(3.17)
(3.18)
#1
I
#1
I
#2
(d~l1 · d~l2 )~x12
|~x12 |3
(entspricht dem Coulomb-Gesetz der Elektrostatik)
48
1
|~x12 |
Ampère-Gesetz
(3.19)
3.4 Maxwell-Gleichungen der Magentostatik und Vektorpotential
• Kraft auf eine Stromdichte im äußeren Magnetfeld
~
dF~ = I d~l × B
(3.20)
J~
J~
I d~l = dq ~v = dq = % dV
= dV J~
%
%
Z
~
~ x)
→ F~ = d3 ~x J(x)
× B(~
(3.21)
(3.22)
analog: Drehmoment
~ =
N
Z
~
d3 ~x ~x × (J~ × B)
(3.23)
Kraft auf eine bewegte Ladung im Magnetfeld
~ und I d~l = dq ~v folgt:
aus dF~ = I d~l × B
~
F~ = q ~v × B
Lorentz-Kraft
(3.24)
Coulomb- + Lorentz-Kraft
(3.25)
wenn zusätzlich noch ein elektrisches Feld existiert:
~ − q ~v × B
~
F~ = q E
3.4 Maxwell-Gleichungen der Magentostatik und Vektorpotential
~ =
• mit I d~l = J~ dV folgt aus dB
~ x) = µ0
B(~
4π
Z
µ0 d~l×~
x
4π I |~
x|3
0
~ x0 ) × ~x − ~x
d3 ~x0 J(~
0
|~x − ~x |3
von einer Stromdichte erzeugtes Magnetfeld
(3.26)
dies ist das magnetische Analogon zu
~ x) =
E(~
1
4πε0
Z
−~
x0
~
• man verwende wieder |~x~x−~
x0 |3 = −∇f mit f =
~ ) damit wird aus dem Integral für B
~
−J~ × (∇f
~ x) = µ0
B(~
4π
Z
d3 ~x0 %(~x)
1
|~
x−~
x0 | ,
~x − ~x0
|~x − ~x0 |3
(3.27)
~ x × (f J(~
~ x0 )) = (∇
~ x f × J(~
~ x0 )) =
außerdem ∇
~ x0 ) × (−∇f
~ )=
d3 ~x0 J(~
µ0 ~
∇×
4π
Z
d3 ~x0
~ x0 )
J(~
|~x − ~x0 |
(3.28)
daraus folgt sofort
~ ·B
~ =0
∇
(3.29)
magentisches Feld ist quellenfrei (kein magnetisches Monopol)
~ ×E
~ = 0 in Elektrostatik)
(analog: ∇
• Integralform dieser Gleichung: Definition
Z
~
Φm =
d~σ B
magnetischer Fluss
(3.30)
S
49
3 Magnetostatik
~ ·B
~ = 0 ist der magnetische Fluss durch eine geschlossene Fläche gleich Null
wegen ∇
I
Z
~ Gauß
~ ·B
~ =0
d~σ B
=
dV ∇
S
~ kann als Rotation eines Vektorpotentials“ A
~ geschrieben werden:
• B
”
Z
~ x0 )
J(~
~ x) = ∇
~ × A(~
~ x)
~ x) = µ0
d3 ~x0
B(~
mit A(~
~
4π
|~x − ~x0 | + ∇Φ
~ × ∇Φ
~ = 0 ändert sich B
~ nicht, wenn man eine Eichtransformation“ durchführt:
wegen ∇
”
~ → A
~ + ∇Φ
~
A
~ ·A
~ jede beliebige Form haben ( Eichung“)
wegen dieser Freiheit kann ∇
”
~
• Potential von B:
Z
~ 0
~ ×B
~ = µ0 ∇
~ ×∇
~ × d3 ~x0 J(~x )
∇
4π
|~x − ~x0 |
wieder f =
1
|~
x−~
x0 | ,
(3.31)
V
(3.32)
(3.33)
(3.34)
~ × (∇
~ × A)
~ = ∇(
~ ∇
~ A)
~ −∇
~ 2A
~ und ∇(f
~ J)
~ = J~ · ∇f
~
benutze ∇
~
~ ×B
~ = µ0 ∇
∇
4π
Z
~ x0 )∇f
~ −
d3 ~x0 J(~
µ0
4π
Z
~ x0 )∇
~ 2f
d3 ~x0 J(~
(3.35)
~ 0 1 0 = −∇
~ 1 0 und ∇
~ 2 1 0 = −4πδ(~x − ~x0 )
nun ∇
|~
x−~
x|
|~
x−~
x|
|~
x−~
x|
~ ×B
~ = − µ0 ∇
~
→ ∇
4π
Z
~ x0 )∇
~ 0 f + µ0 J(~
~ x) =
d3 ~x0 J(~
Z
i
h
~ x) + µ0 ∇
~
~ · J(~
~ x0 )
= µ0 J(~
d3 ~x0
∇
4π
| {z }
(3.36)
f
(3.37)
=0 in Magnetostatik
~ ×B
~ = µ0 J~
→ ∇
(3.38)
magnetisches Feld ist nicht wirbelfrei
~E
~ = % in der Elektrostatik)
(entspricht ∇
ε0
~ ×B
~ über offene Fläche und wende Satz von Stokes
• Integralform: integriere Normalkomponente von ∇
an:
Z
Z
~
~
d~σ (∇ × B) = µ0
d~σ J~
(3.39)
S
S
I
~ = µ0 I
→
d~l B
Ampèresches Durchflutungsgesetz
(3.40)
c
(entspricht dem Gaußschen Satz der Elektrostatik)
~
• Differentialgleichung für das Vektorpotential A:
~ × (∇
~ × A)
~ = µ0 J~
∇
~ ∇
~ A)
~ −∇
~ 2A
~ = µ0 J~
→ ∇(
~A
~ = 0 ( Coulomb-Eichung“)
wenn man Φ so wählt, dass ∇
”
~ 2A
~ = µ0 J~
∇
~
das wird die Poisson-Gleichung für die kartesischen Komponenten von A
50
(3.41)
(3.42)
(3.43)
3.5 Magnetisches Moment
• Zusammenfassung der Feldgleichungen der Magnetostatik
Differentialform
~ ·B
~ =0
∇
~ ×B
~ = µ0 J~
∇
(3.44)
Integralform
I
I
~ =0
d~σ B
s
~ = µ0
d~l B
c
Z
d~σ J~ = µ0 I
(3.45)
S
Potentialform
~ =∇
~ ×A
~
B
~ 2A
~ = −µ0 J~ + ∇(
~ ∇
~ A)
~
∇
(3.46)
3.5 Magnetisches Moment
• betrachte lokalisierte Stromverteilung im Volumen V
→ resultierendes Vektorpotential kann im Außenraum in
entwicklung in Elektrostatik)
~x0 ist innerhalb der Stromverteilung, ~x außerhalb
1
r
entwickelt werden (ähnlich wie Multipol-
• für |~x| |~x0 | gilt:
∞
X rl
1
r<
1
~x~x0
1
<
=
+ 2 cos γ + . . . =
+ 3 + ...
Pl (cos γ) =
l+1
0
|~x − ~x |
r>
r>
|~x| |~x|
r>
(3.47)
l=0
und damit:
Ai (~x) =
Z
Z
µ0 Ji (~x)
µ0 1
~x
3 0
0
3 0
0
=
d
~
x
J
(~
x
)
+
·
d
~
x
J
(~
x
)~
x
+
.
.
.
i
i
4π |~x − ~x0 |
4π |~x| V
|~x|3 V
(3.48)
• da J~ lokalisiert ist, kann S so gewählt werden, dass J~ = 0 auf S. für eine beliebige skalare Funktion j
gilt dann:
Z
I
~ 0 (j J)
~ Gauß
~ =0
d3 ~x0 ∇
=
d~σ 0 (j J)
(3.49)
V
S
da J~ = 0 auf S
• wegen: J~ = 0 ist
~ 0 · (j J)
~ = (∇
~ 0 j)J~ + j(∇
~ 0 J)
~ = (∇
~ 0 j)J~
∇
(3.50)
und damit
Z
~ 0 j)J~ = 0
d3 ~x0 (∇
(3.51)
V
nun wähle j = x0i
~ 0 j)J~ = x̂0i J~ = Ji
→ (∇
(3.52)
und damit
Z
d3 ~x0 Ji (~x) = 0
(3.53)
V
d.h. erster Term in Entwicklung ist Null (keine magentischen Monopole)
51
3 Magnetostatik
• nun wähle j = x0i x0j
~ 0 j)J~ = (x̂0i x0j + x0i x̂0j )J~ = x0j Ji + x0i Jj
→ (∇
(3.54)
und damit
Z
d3 ~x0 (x0j Ji + x0i Jj ) = 0
Z
Z
3 0 0
→
d ~x xj Ji = −
d3 ~x0 xi Jj
(3.55)
V
V
(3.56)
V
• für das zweite Integral in Ai (~x) gilt somit:
Z
~x ·
3 0
0
d ~x Ji ~x =
V
3
X
Z
xj
d3 ~x0 x0j Jj =
(3.57)
V
j=1
Z
1X
xj
d3 ~x0 (x0i Jj − x0j Ji ) =
2 j
V
Z
1
3 0 0
0
~
d ~x ~x × J(~x )
= − ~x ×
2
V
i
=−
(3.58)
(3.59)
• nun definieren wir:
~ x)
~ x) = 1 ~x × J(~
M(~
Z 2
Z
1
3 0 ~
~ x0 )
m
~ =
d ~x M(~x) =
d3 ~x0 ~x0 × J(~
2 V
V
Magnetisierung
(3.60)
magnetisches Moment
(3.61)
• damit ist das Vektorpotential eines magnetischen Dipols:
~ × ~x
~ x0 ) = µ0 m
A(~
4π |~x|3
das ist der führende Term in der Entwicklung in
(3.62)
1
r
• Magnetfeld des magnetischen Dipols:
~ −m
~
8π
µ0 3n̂(n̂m)
~
~
~
+
mδ(~
~ x)
B =∇×A=
4π
|~x|3
3
(3.63)
genau wie das elektrische Feld eines elektrischen Dipols
• für eine beliebige Stromschleife:
J~ dV = I d~l
I
I
m
~ =
~x × d~l
2 c
(3.64)
(3.65)
• für einen Strom bewegter Ladungen:
aus
J~ = %~v
folgt
~ x) =
J(~
(3.66)
X
qi~vi δ(~x − ~xi )
(3.67)
i
und damit:
m
~ =
X qi
1X
~i
qi ~xi × ~vi =
L
2 i
2M
i
i
(3.68)
mit
~ i = Mi ~xi × ~vi
L
52
Drehimpuls der i-ten Ladung
(3.69)
3.5 Magnetisches Moment
• Modellvorstellung für Elementarteilchen:
zusammengesetzt aus kleineren Ladungen qi (Ladungsdichte)
nimm an, dass im Elementarteilchen Masse und Ladung gleich verteilt sind
→ m
~ =
Q ~
L
2M
(3.70)
Verhältnis m
L heißt ”gyromagnetisches Verhältnis“
e
für ein Elektron gilt m
L = −g 2Me zusätzlicher ”g-Faktor“
klassisches Modell
: g=1
Experiment
: g = 2.002319304374(8)
relativist. QM (Dirac-Gl.): g = 2
Quantenelektrodynamik : g = 2.002319304402(54)
1. Ordnung: g = 2 + α
π = 2.002322 mit α =
1
137
• Beispiel für mangetisches Moment:
– Stromschleife
– Elementarteilchen
– Erde (Ströme im Inneren der Erde)
– Dauermagneten (Kreisströme auf atomaren Skalen)
• Kraft auf einen magnetischen Dipol im äußeren Feld:
Z
~
F~ = d3 ~x J~ × B
allgemeiner Ausdruck
(3.71)
~ sich im Bereich des Dipols nur wenig ändert → Taylornimm an, dass Dipol am Ursprung und dass B
entwicklung
~ k (0) + . . .
Bk (~x) = Bk (0)~x · ∇B
(3.72)
längere Nebenrechnung:
– erster Term liefert keinen Beitrag zur Kraft
– zweiter Term liefert (unter Benutzung von (3.60))
~ m
~ + ...
F~ = ∇(
~ · B)
• Drehmoment auf Dipol im äußeren Feld
Z
~ = d3 ~x ~x × (J~ × B)
~
N
allgemeiner Ausdruck
(3.73)
(3.74)
~
jetzt reicht es, wenn wir nur B(0)
mitnehmen
Nebenrechnung liefert:
~ =m
~
N
~ × B(0)
(3.75)
• potentielle Energie eines Dipols im äußeren Feld:
~
~
F~ = −∇U
→ U = −m
~B
(3.76)
~
Prinzip des Kompasses: m
~ stellt sich so ein, dass Energie minimiert wird, also mk
~ B
53
3 Magnetostatik
3.6 Feldverhalten an Grenzflächen
~ x)
betrachte einen Flächenstrom mit Dichte K(~
Wie verhält sich das magnetische Feld beim Durchgang durch diese Fläche?
betrachte kleine Dose“
”
• wende
H
S
~ auf Dose an:
d~σ B
I
~ ≈ (B
~2 − B
~ 1 )n̂ da = [(B2 )⊥ − (B1 )⊥ ] da = 0 ∀da
d~σ B
(3.77)
S
→ (B1 )⊥ = (B2 )⊥
(3.78)
~ sind stetig.
d.h. die Normalkomponenten von B
H
~ = µ0 I auf eine Kontur senkrecht zu K
~ an:
• wende c d~l B
I
~ ≈ (B2 )k − (B1 )k dl = µ0 I = µ0 K dl ∀dl
d~l B
(3.79)
c
→ (B2 )k − (B1 )k = µ0 K
(3.80)
~ die parallel zur Fläche, aber senkrecht zum Strom ist, ist unstetig.
d.h. die Komponenten von B,
H
~ = µ0 I auf eine Kontur parallel zu K an: I = 0, d.h. die Komponente von B,
~ die parallel
• wende c d~l B
zur Fläche und zum Strom ist, ist stetig.
• Zusammenfassung dieser drei Aussagen:
~2 − B
~ 1 = µ0 (K
~ × n̂)
B
~1 = A
~2
• das Vektorpotential ist stetig: A
54
(3.81)
4 Zeitabhängige elektro-magnetische Felder
4.1 Faradaysches Induktionsgesetz
• bisher: getrennte Betrachtung von elektrischen und magnetischen Feldern
Experimente von Faraday (1831): Zusammenhang zwischen den Feldern
• betrachte Leiterschleife:
• Faraday findet: Änderung des magnetischen Flusses durch die Schleife induziert entlang der Schleife
ein elektrisches Feld und damit einen Stromfluss
• mathematische Beschreibung:
Z
~
Φm =
da n̂ · B
S
I
~0
ε=
d~l · E
(4.1)
~ 0 = elektrisches Feld am Ort von d~l
E
(4.2)
Faraday
(4.3)
C
ε = −k
dΦm
dt
• negatives Vorzeichen: Lenzsche Regel (induzierter Strom ist so gerichtet, dass er die Änderung von Φm
hemmt.)
Anwendung: Wirbelstrombremse
• Faktor k ist keine unabhängige empirische Größe, sondern folgt aus der Forderung der Galilei-Invarianz:
physikalische Phänomene sollten für zwei Beobachter mit konstanter Relativgeschwindigkeit ~v gleich
aussehen (|~v | c)
– Verallgemeinerung des Faradayschen Induktionsgesetzes:
I
Z
~ 0 = −k d
~
d~l E
da n̂ · B
dt S
C
(4.4)
~ 0 ist das elektrische
C ist nun eine beliebige geschlossene Kurve (nicht unbedingt Leiterschleife), E
~ ist das magnetische Feld im Laborsystem
Feld am Ort d~l im Ruhesystem der Kurve C, B
– nach etwas Rechnung (Übungen) folgt k = 1 und
~
~ ×E
~ + ∂B = 0
∇
∂t
(4.5)
~ ist das elektrische Feld im Laborsystem
E
4.2 Maxwell-Gleichungen
~ = ε0 E
~ und B
~ = µ0 H
~
• bisher: im Vakuum mit D
~D
~ =%
∇
~B
~ =0
∇
~ ×H
~ = J~
∇
~
~ ×E
~ + ∂B = 0
∇
∂t
(4.6)
(4.7)
55
4 Zeitabhängige elektro-magnetische Felder
• Maxwell (1865) merkt, dass diese Gleichungen nicht symmetrisch sind
~
• außer dem Term ∂∂tB folgen alle Gleichungen aus statischen Phänomenen
~ J~ = 0, aber allgemein ∇
~ J~ + ∂% = 0 (Kontinuitätsgleichung
für stationäre Ströme (Magnetostatik) gilt ∇
∂t
siehe Kapitel 3.1)
~D
~ =%
nun benutze Coulomb Gesetz ∇
"
#
~
∂D
~
~
∇· J +
=0
(4.8)
∂t
Maxwell: substituiere diese für J~ im Ampèreschen Durchflutungsgesetz → Maxwell-Gleichungen
~D
~ =%
∇
~B
~ =0
∇
(4.9)
(4.10)
~
~ ×H
~ − ∂ D = J~
∇
∂t
~
∂
~ ×E
~ + B =0
∇
∂t
•
(4.11)
(4.12)
~
∂D
∂t :
Verscheibungsstrom“
”
→ magnetisches Feld wird auch erzeugt, wenn kein Strom fließt, aber das elektrische Feld sich ändert
(Umkehrung des Faradayschen Induktionsgesetzes)
~ und B
~
4.3 Wellengleichungen für E
• Zeitableitung von (4.12), Rotation von (4.11):
~
~
∂2B
~ × ∂E = 0
+∇
2
∂t
∂t
~
~ × J~ + ε0 ∇
~ × ∂E = 1 ∇
~ × (∇
~ × B)
~ = 1 ∇(
~ ∇
~B
~)− 1 ∇
~ 2B
~ =− 1 ∇
~ 2B
~
∇
∂t
µ0
µ0 |{z}
µ0
µ0
(4.13)
(4.14)
=0
2~
~ 2B
~ − 1 ∂ B = −µ0 ∇
~ × J~ mit c2 = 1
→ ∇
2
c ∂t2
µ0 ε0
(4.15)
• Zeitableitung von (4.11), Rotation von (4.12):
~
~
1 ~
∂B
∂ J~
∂2E
∇×
=
+ ε0 2
µ0
∂t
∂t
∂t
~
~ × ∂ B = −∇
~ × (∇
~ × E)
~ =∇
~ 2E
~ − ∇(
~ ∇
~ E)
~ =∇
~ 2E
~ − 1 ∇%
~
∇
∂t
ε0
2~
~
~ 2E
~ − 1 ∂ E = 1 ∇%
~ + µ0 ∂ J
→ ∇
2
2
c ∂t
ε0
∂t
(4.16)
(4.17)
(4.18)
d.h. die Maxwell-Gleichungen sagen elektro-magnetische Strahlung voraus
→ später durch Experimente bestätigt.
4.4 Skalar- und Vektorpotential, Eichtransformationen
~B
~ =0 → B
~ =∇
~ ×A
~ (A
~ = Vektorpotential)
• es gilt: ∇
• Faraday-Gesetz
"
#
~
~
∂B
∂A
~
~
~
~
∇×E+
=∇× E+
=0
∂t
∂t
56
(4.19)
4.4 Skalar- und Vektorpotential, Eichtransformationen
d.h. wir können schreiben (Φ = Skalakrpotential)
~
~
~ + ∂ A = −∇Φ
~
~ = −∇Φ
~ − ∂A
E
→ E
∂t
∂t
(4.20)
~ A)
~ =−%
~ 2 Φ + ∂ (∇
∇
∂t
ε0
(4.21)
"
#
~
∂
∂
A
1
~ × (∇
~ × A)
~ = µ0 J~ −
~ +
∇
∇Φ
c2 ∂t
∂t
(4.22)
• Coulomb-Gesetz wird zu
• Gleichung (4.11) wird zu
~ × (∇
~ × A)
~ = ∇(
~ ∇
~ A)
~ −∇
~ 2A
~ und damit
nun wieder ∇
2~
~ 2A
~− 1 ∂ A −∇
~ ∇
~A
~ + 1 ∂Φ = −µ0 J~
∇
c2 ∂t2
c2 ∂t
(4.23)
• wir haben wieder die Freiheit, eine Eichtransformation durchzuführen:
~→A
~0 = A
~ + ∇Λ
~
A
(4.24)
~ ändert sich nicht)
(beliebige skalare Funktion Λ, B
~ auch nicht ändert, muss sich Φ gleichzeitig transformieren
• damit sich E
~
~
~
~ = −∇Φ
~ − ∂ A − ∂(∇Λ) + ∂(∇Λ) =
E
∂t ∂t
∂t
h
i
∂
∂Λ
~ Φ−
~ + ∇Λ
~
−
= −∇
A
∂t
∂t | {z }
| {z }
=Φ0
(4.25)
(4.26)
~0
=A
d.h.
∂Λ
∂t
~0 = A
~ + ∇Λ
~
A
Φ0 = Φ −
(4.27)
komplette Eichtransformation
~ und Φ die Lorenz-Bedingung“ erfüllen:
insbesondere kann man Λ so wählen, dass A
”
1
∂Φ
~A
~+
∇
=0
c2 ∂t
(4.28)
(4.29)
damit werden (4.21) und (4.23) entkoppelt:
2
~ 2Φ − 1 ∂ Φ = − %
∇
2
c ∂t2
ε0
2~
~ 2A
~ − 1 ∂ A = −µ0 J~
∇
c2 ∂t2
Wellengleichungen für Skalar-
(4.30)
und Vektorpotential
(4.31)
~ und Φ die Lorenz-Bedinungen erfüllen, besetht noch eine Eichfreiheit: nimm an, dass
• selbst wenn A
1 ∂2Λ
2
~
∇ Λ − c2 ∂t2 = 0
~ und Φ, die durch Transformation mit solch einem Λ verknüpft sind, gehören zur sogePotentiale A
nannten Lorenz-Eichung“ und es gilt:
”
0
2
~A
~ 0 + 1 ∂Φ = ∇
~A
~+∇
~ 2 Λ + 1 ∂Φ − 1 ∂ Λ =
∇
(4.32)
c2 ∂t
c2 ∂t
c2 ∂t2
~A
~ + 1 ∂Φ
=∇
(4.33)
c2 ∂t
57
4 Zeitabhängige elektro-magnetische Felder
• Coulomb-Eichung (auch Strahlungseichung oder transversale Eichung):
~A
~=0
∇
(4.34)
damit folgt aus (4.21):
~ 2Φ = − %
∇
ε0
Poisson-Gleichung
(4.35)
mit Lösung
Φ(~x, t) =
1
4πε0
Z
d3 ~x0
%(~x, t)
|~x − ~x0 |
(4.36)
d.h. Φ ist das momentane Coulomb-Potential der Ladungsdichte %
aus (4.23) folgt:
2~
~ ∂Φ
~ 2A
~ − 1 ∂ A = −µ0 J~ + 1 ∇
∇
c2 ∂t2
c2 ∂t
(4.37)
~ × J~l = 0 und ∇
~ × J~t = 0
J~ = J~l + J~t mit ∇
(4.38)
Zerlegungssatz:
Kontinuitätsgleichung:
~ J~ +
0=∇
∂%
~ J~l − ε0 ∂ ∇
~ 2Φ
=∇
∂t
∂t
~ ∂Φ = 1 J~l = c2 µ0 J~l
→ ∇
∂t
ε0
(4.39)
(4.40)
und damit
2~
~ 2A
~ − 1 ∂ A = −µ0 J~t
∇
c2 ∂t2
(4.41)
(daher transversale“ Eichung)
”
• physikalische Größen hängen nicht von der Wahl der Eichung ab!
4.5 Elektro-magnetische Wellen im Vakuum
4.5.1 Homogene Wellengleichung
~ in Lorenz-Eichung:
• Erinnerung: Wellengleichung für Φ und A
2
~ 2Φ − 1 ∂ Φ = − %
∇
c2 ∂t2
ε0
2~
1
∂
A
~ 2A
~−
∇
= −µ0 J~
c2 ∂t2
(4.42)
(4.43)
~ hat dieselbe Struktur wie die Wellengleichung für Φ
• jede Komponente der Wellengleichung für A
→ es reicht, die Gleichung für Φ zu betrachten
• wenn % 6= 0: inhomogene Wellengleichung mit Lösung: Φ = Φhom + Φpart
Φpart kann mit Greenscher Funktion gefunden werden (Kapitel 4.5.2)
• hier: % = 0 und J~ = 0 (Vakuum) → homogene Wellengleichung
2
~ 2Φ − 1 ∂ Φ = 0
∇
2
c ∂t2
58
(4.44)
4.5 Elektro-magnetische Wellen im Vakuum
• Seperationsansatz: Φ(~x, t) = X(x)Y (y)Z(z)T (t) führt zu
X 00
Y 00
Z 00
1 T 00
+
+
− 2
=0
X
Y
Z
c T
(4.45)
die einzelnen Terme müssen jeweils konstant sein
X 00
= −kx2
X
Y 00
= −ky2
Y
Z 00
= −kz2
Z
T 00
= −ω 2
T
(4.46)
mit
 
kx
~k = ky 
kz
ω 2 = c2 (kx2 + ky2 + kz2 ) = c2~k 2
→ X(x) = e±ikx x
(4.47)
(4.48)
und ähnlich Y, Z, T
• Lösungen sollen für x, y, z, t = ±∞ nicht divergieren
→ kx , ky , kz , ω müssen reell sein
• für X, Y, Z nehmen wir nur das positive Vorzeichen im Exponenten und lassen auch negative Werte
für kx , ky , kz zu:
−∞ < ki < ∞
(4.49)
für T lassen wir beide Vorzeichen zu und fordern:
q
ω ≥ 0 bzw. ω = ω(k) = c|~k| = ck = c kx2 + ky2 + kz2
(4.50)
damit wird die Elementarlösung“
”
~
Φkx ky kz = ei(k~x±ωt)
Elementarlösung
(4.51)
diese hängt von 3 reellen Parametern ab
• allgemeine Lösung durch lineare Superposition:
Z
h i
~
Φhom (~x, t) = <
d3~k a1 ~k + ia2 ~k ei k~x−i ωt
(4.52)
Erklärungen:
– Φ soll reell sein, daher Realteil
– ~k-abhängiger Koeffizient kann komplex sein (die Funktionen a1 (~k) und a2 (~k) sind reell)
– wegen < (a1 + ia2 )e±iωt = a1 cos(ωt) ∓ a2 sin(ωt) reicht es, in (4.52) nur e−iωt mizunehmen
• die Funktionen a1 (~k) und a2 (~k) sind durch die Anfangsbedingungen bestimmt
4.5.2 Einfluss von Quellen und retaridierte Potentiale
~ heißen auch retardierte Potentiale“
• partikuläre Lösungen für Φ und A
”
• Hauptidee: Fourier-Transformation der Zeitabhängigkeit von % und Φ:
Z ∞
1
√
%(~x, t) =
dω %ω (~x)e−iωt
2π −∞
Z ∞
1
√
Φ(~x, t) =
dω Φω (~x)e−iωt
2π −∞
(4.53)
(4.54)
2
%
~ 2 Φ − 12 ∂ Φ
einsetzen in die Wellengleichung ∇
c ∂t2 = − ε0 und ω = ck:
Z ∞
Z ∞
~ 2 + k 2 Φω (~x)e−iωt = − 1
dω ∇
dω %ω (~x)e−iωt
ε
0
−∞
−∞
(4.55)
59
4 Zeitabhängige elektro-magnetische Felder
• das Fourier-Integral ist eine Entwicklung in orthogonalen Funktionen e−iωt
die orthogonalen Funktionen e−iωt sind für verschiedene ω linear unabhängig
→ die Koeffizienten müssen auf beiden Seiten von (4.) gleich sein
~ 2 + k 2 Φω (~x) = − 1 %ω (~x)
Helmholtz-Gleichung
∇
ε0
(4.56)
• Lösung mit Greenscher Funktion:
Notation: r = |~x|
wir wissen bereits:
~ 2 1 = −4πδ(~x)
∇
r
(4.57)
in Übungen:
±ikr
~ 2 + k2 e
∇
= −4πδ(~x)
r
~ 2 + k 2 ist:
d.h. die Greensche Funktion für den Operator ∇
(4.58)
0
G(~x, ~x0 ) =
e±ik|~x−~x |
|~x − ~x0 |
(4.59)
diese Funktion beschreibt eine Kugelwelle (+: vom Ursprung ausgehend, −: auf Urpsrung zulaufend)
• damit erhalten wir (zunächst nur + im Exponenten)
Z
1
Φω (~x) =
d3 ~x0 %ω (~x0 )G(~x, ~x0 ) =
4πε0
Z
0
e±ik|~x−~x |
1
d3 ~x0 %ω (~x0 )
=
4πε0
|~x − ~x0 |
einsetzen in das Fourier-Integral (mit k = ωc )
Z ∞
1
Φ(~x, t) = √
dω Φω (~x)e−iωt =
2π −∞
Z
Z ∞
|~
x−~
x0 |
1
1
1
0 −iω t− c
√
=
d3 ~x0
=
dω
%
(~
x
)e
ω
4πε0
|~x − ~x0 | 2π −∞
Z
1
%(~x0 , t0 )
|~x − ~x0 |
=
d3 ~x0
mit t0 = t −
0
4πε0
|~x − ~x |
c
(4.60)
(4.61)
(4.62)
(4.63)
(4.64)
• für statische Ladungsverteilung ist das die bekannte elektro-statische Lösung
• für eine zeitabhängige Ladungsverteilung müssen wir im Integranden % zu einer früheren Zeit t0 =
x0 |
t − |~x−~
benutzen
c
• physikalische Bedeutung:
– % ändert sich zum Zeitpunkt t0
– dadurch ändert sich das durch % erzeugte elektrische Feld
– diese Änderung des Feldes pflanzt sich mit Lichtgeschwindigkeit c fort
– in der Entfernung |~x − ~x0 | ändert sich das Feld erst zur späteren Zeit t = t0 + δt
→ Lösung für das Potential retardiert“
”
x0 |
Z
% ~x0 , t − |~x−~
c
1
d3 ~x0
Φpart = Φret (~x, t) =
4πε0
|~x − ~x0 |
x0 |
Z
J~ ~x0 , t − |~x−~
c
1
~ part = A
~ ret (~x, t) =
d3 ~x0
analog: A
4πε0
|~x − ~x0 |
– man könnte auch − im Exponenten verwenden → avancierte Lösung“
”
aber: Kausalitätsprinzip (Ursache muss vor der Wirkung kommen) verbietet dies
siehe aber: Jackson Ende von Kapitel 6.4
60
(4.65)
(4.66)
4.6 Energie und Impuls des elektro-magnetischen Feldes
4.5.3 Ebene Wellen
→ Übungen
4.5.4 Polarisation
→ Übungen
4.6 Energie und Impuls des elektro-magnetischen Feldes
→ Übungen
4.7 Felder beschleunigter Ladungen
4.7.1 Erzeugung von elektro-magnetischer Strahlung
• wir betrachten eine zeitabhängige Ladungs- und Stromverteilung in einem lokalisierten Raumgebiet V
( oszillierende Quelle“)
”
Frage: Was sind die Felder am Ort ~x zur Zeit t?
• für die Zeitabhängigkeit der Quellen und Felder kann man wieder eine Fouriertransformation vornehmen (siehe Kapitel 4.5.2) jede Fourier-Transformation kann getrennt betrachtet werden, allgemeine
Lösungen erhält man durch Superposition (Integration über ω)
→ o.B.d.A. können wir mit
0
%(~x0 , t0 ) = %(~x0 )e−iωt
~ x0 , t0 ) = J(~
~ x0 )e−iωt0
J(~
(4.67)
(4.68)
−iωt
Φ(~x, t) = Φ(~x)e
~ x, t) = A(~
~ x)e−iωt
A(~
(4.69)
(4.70)
arbeiten. %(~x), etc. sind im Allgemeinen komplex, am Ende der Rechnung wieder Realteil bilden
Wichtig: Quellen und Felder oszillieren mit der selben Frequenz ω
• In Kapitel 4.5.2 bereits gezeigt (in Lorenz-Eichung)
~ x, t) = µ0
A(~
4π
Z
V
d3 x0
J~ ~x, t −
|~
x−~
x0 |
c
|~x − ~x0 |
(4.71)
(Kausalitätsprinzip)
~ x0 , t0 ) = J(~
~ x0 )e−iωt und ω = kc
• mit J(~
Z
ik|~
x−~
x0 |
µ0
~
~ x0 ) e
A(~x, t) =
d3 x0 J(~
e−iωt
4π V
|~x − ~x0 |
Z
ik|~
x−~
x0 |
~ x) = µ0
~ x0 ) e
→ A(~
d3 x0 J(~
4π V
|~x − ~x0 |
(4.72)
(4.73)
~ und E:
~ B
~ =∇
~ ×A
~
daraus folgenden dann B
61
4 Zeitabhängige elektro-magnetische Felder
• Maxwell-Ampere-Gesetz mit J~ = 0 (im Außenbereich)
~
1 ~
~ = ε0 ∂ E = ε0 (−iω)E
~
∇×B
µ0
∂t
~ = ic ∇
~ ×B
~
→ E
k
(4.74)
(4.75)
~ x0 ) schwierig werden
→ Problem im Prinzip gelöst, aber Integral kann für kompliziertes J(~
→ versuche, einige allgemeine Eigenschaften zu finden
es gibt drei Längenskalen
d = Ausdehnung des Raumgebiets der Quelle
2πc
2π
=
= Wellenlänge der Strahlung
λ=
k
ω
r = |~x| = Abstand von Quelle
• nimm an, dass d λ (kleine Quelle)
unterscheide drei Bereiche:
Nahzone:
drλ
Zwischenzone:
dr≈λ
Fernzone:
dλr
interessanter Bereich
• wegen d r ist |~x0 | r und mit ~x = rn̂ folgt
|~x − ~x0 | = r2 + |~x0 |2 − 2rn̂~x0
12
12
2
≈ r 1 − n̂~x0
≈ r − n̂~x0
r
(4.76)
• Nahzone:
0
r λ → kr 1 und damit eik|~x−~x | ≈ 1 in (4.73)
~ x) wie in der Magnetostatik
→ selbes Ergebnis für A(~
0
−iωt
~
A(~x, t) oszilliert mit e
, aber keine zusätzliche Oszillation von eik|~x−~x |
→ Feld in der Nahzone ist quasi-stationär“
”
• Zwischenzone:
kr ≈ 1 → keine sinnvolle Näherung möglich
• Fernzone:
dort ist eikr stark oszillierend und bestimmt das Verhalten der Felder
mit |~x − ~x0 | ≈ r im Nenner von (4.73) folgt:
ikr
~ x) = µ0 e
lim A(~
kr→∞
4π r
Z
0
~ x0 )e−ikn̂~x
d3 x0 J(~
V
|
{z
}
(4.77)
hängt nur von der Richtung n̂ ab
nicht von ri
0
im folgenden entwickeln wir e−ikn̂~x
→ Multipolentwicklung“
”
• Nebenbemerkung: wir machen zwei unabhängige Näherungen
1. |~x − ~x0 | ≈ r im Nenner bzw. |~x − ~x0 | ≈ r − n̂~x0 im Exp von (4.73) (beruht auf d r und ist
unabhängig von k)
0
2. Taylorentwicklung von e−ikn̂~x (beruht auf d λ =
62
2π
k
und ist unabhängig von r)
4.7 Felder beschleunigter Ladungen
4.7.2 Elektrische Monopolstrahlung
elektrischer Monopolbeitrag: für Potentiale gilt (siehe Kapitel 4.5.2):
|~
x−~
x0 |
0
Z
%
~
x
,
t
−
c
1
Φ(~x, t) =
d3 x0
4πε0 V
|~x − ~x0 |
(4.78)
0
Monopolbeitrag ist führender Term in der Taylorentwicklung (e−ikn̂~x ≈ 1 + . . .)
Z
1 1
r
ΦMonopol (~x, t) =
d3 x0 % ~x0 , t −
4πε0 r V
c
r
1 ϕ t− c
=
4πε0
r
(4.79)
(4.80)
für lokalisierte Quelle ist die Gesamtladung ϕ = const.
→ elektrischer Monopolanteil der Felder einer lokalisierten Quelle ist statisch (zeitunabhängig)
→ elektrischer Monopolantiel von Feldern mit harmonischer Zeitabhängigkeit e−iωt verschwindet
4.7.3 Elektrische Dipolstrahlung
0
• Taylorentwicklung von e−ikn̂~x
0
X
e−ikn̂~x =
∞
m=0
(−ikn̂~x0 )m
m!
(4.81)
→ einsetzen in (4.77), Kapitel 4.7.1
erster Term (für m = 0) = 1
ikr
~ x) = µ0 e
→ A(~
4π r
Z
~ x0 )
d3 x0 J(~
(4.82)
v
Kontinuitätsgleichung mit %(~x0 , t0 ) = %(~x)e−iωt
~ J~ + ∂% = 0
∇
∂t0
~
~
→ ∇J = iω%
Partielle Integration
Z
d3 x0 J~ = −
Z
~ 0 J)
~ = iω
d3 x0 ~x0 (∇
(4.83)
(4.84)
Z
d3 x0 ~x0 %(~x0 )
{z
}
|
= −iω~
p
(4.85)
elektrisches Dipolmoment
und damit
ikr
~ x) = − iµ0 ω p~ e
A(~
4π
r
(4.86)
~ =∇
~ ×A
~ nach kurzer Rechnung:
• magnetisches Feld folgt aus B
2
ikr−iωt
~ x, t) = < µ0 ck (n̂ × p~) e
B(~
4π
r
Fernzone
(4.87)
• elektrisches Feld:
~ = ic ∇
~ ×B
~ = . . . = cB
~ × n̂
E
k
Fernzone
(4.88)
• für n̂⊥~
p:
63
4 Zeitabhängige elektro-magnetische Felder
• Bemerkungen:
~ und B
~ sind auslaufende Kugelwellen
– E
~ und B
~ stehen senkrecht aufeinander und senkrecht auf n̂
– E
~ B
~ und n̂ bilden ein rechtshändiges Koordinaten-System
– E,
nun zur Winkelabhängigkeit der Strahlung
~ = 1E
~ ×B
~ zeigt in Richtung von n̂, also von der oszillierenden Quelle radial nach
• Energiedichte S
µ0
außen.
S ist Energie pro Fläche und Zeit = Leistung pro Fläche
Fläche ist r2 dΩ (dΩ = Raumwinkel)
→ zeitlich gemittelte Leistung pro Raumwinkel dΩ ist:
D E
D E
dP
~ · n̂r2 = S
~ r2
= S
dΩ
(4.89)
~
da Skn̂
• Berechnung des zeitlichen Mittels an einem festen Ort
können alle Felder geschrieben werden als:
a(t) = <a0 e−iωt mit a0 ∈ C
1
=
a0 e−iωt + a∗0 eiωt
2
1
→ a(t)b(t) =
a0 e−iωt + a∗0 eiωt b0 e−iωt + b∗0 eiωt
4
1
1
→ ha(t), b(t)i = (a0 b∗0 + a∗0 b0 ) = <a0 b∗0
4
2
(4.90)
(4.91)
(4.92)
(4.93)
(oszillierende Terme fallen nach zeitlicher Mittelung weg)
damit folgt:
h
i
dP
r2
~ x) × B
~ ∗ (~x)
=
n̂ · < E(~
dΩ
2µ0
2 ikr −ikr
r2
µ0 ck 2
e e
=
c
<
n̂ ((n̂ × p~) × n̂) × (n̂ × p~∗ )
2µ0
4π
r
r

2
=
(4.94)
(4.95)


µ0
4

ω
(n̂
×
p̂)
×
n̂

|
{z
}
32π 2 c
(4.96)
~
Richtung von E
= Polarisation
~ B
~ ∼ 1 ist typisch für Strahlungsfelder in der Fernzone, damit ist
• das Verhalten von E,
r
von r für r → ∞
→ Strahlung wird nach außen abgegeben
für ruhende Ladungen oder stationäre Ströme sind die Felder ∼ r12
→ keine Strahlung, denn dP
dΩ → 0 für r → ∞
dP
dΩ
unabhängig
• Spezialfall alle Komponenten von p~ haben die selbe Phase:
p~ = p~r eiδ mit p~r reell
64
(4.97)
4.7 Felder beschleunigter Ladungen
θ sei der Winkel zwischen p~r und n̂:
cos θ = p̂r n̂ =
p~r n̂
pr
(4.98)
daraus folgt nach kurzer Rechnung:
2
|(n̂ × p̂) × n̂| = p2r sin2 θ
µ0
dP
2
=
ω 4 |~
p| sin2 θ
→
dΩ
32π 2 c
(4.99)
(4.100)
Abstrahlung eines oszillierenden Dipols
d.h. keine Strahlung in p~-Richtung, maximale Leisung in Richtung ⊥~
p
Integration über Raumwinkel
Z
2π
Z
dϕ
0
→ P =
π sin θ dθ sin2 θ =
0
8π
3
µ0 4 2
ω |~
p| gesamte abgestrahlte Leistung
12πc
(4.101)
(4.102)
→ Strahlungsleistung eines elektrischen Dipols ist ∼ ω 4
diese Leistung muss von der Dipolantenne aufgebracht werden
wenn in ihr der Strom I = I0 e−iωt fließt, gilt:
P =
1 2
I
2 0
RStr.
| {z }
(4.103)
Strahlungs”
widerstand
• blauer Himmel folgt aus P ∼ ω 4
Sonnenlicht wird in der Atmosphäre gestreut:
– einfaches Modell: betrachte Atom/Molekül in der Atmosphäre als Elektron in einem Oszillatorpotential
– einfache Welle von der Sonne bringt Elektron zum Schwingen
→ oszillierender Dipol, diese strahlt mit P ∼ ω 4
ωblau
λblau
=
≈ 1.8
ωrot
λrot
(4.104)
Streulicht enthält 1.84 ≈ 10-mal mehr blaues als rotes Licht
• Notation: E1“ für die Felder eines elektrischen Dipols
”
65
4 Zeitabhängige elektro-magnetische Felder
4.7.4 Magnetische Dipolstrahlung und elektrische Quadrupolstrahlung
• Notation: M1“ für die Feler eines magnetischen Dipols, E2“ für die Felder eines elektrischen Qua”
”
drupols
• weiterhin nur Fernzone (kr 1)
• Erinnerung: (4.77) im Kapitel 4.7.1:
0
e−ikn̂~x =
∞
X
(−ikn̂~x0 )m
m!
m=0
(4.105)
m = 0-Term → elektrische Dipolstrahlung
nun m = 1-Term = −ikn̂~x0
~
→ entsprechender Beitrag zu A:
ikr
~ x) = µ0 e (−ik)
A(~
4π r
Z
~ x0 ) (n̂~x0 )
d3 x0 J(~
(4.106)
V
dieses Vektorpotential kann als Summe zweier Terme geschrieben werden:
~
erster Term gibt transversales E-Feld
(Quadrupolfeld)
~
zweiter Term gibt transversales B-Feld
(Dipolfeld)
1
(n̂~x0 ) J~ = (n̂~x0 ) J~ +
2
1
= (n̂~x0 ) J~ +
2
1
= [. . .] . . .
2
1
(n̂~x0 ) J~
2
i
1 h 0 ~
~x × J × n̂ + n̂J~ ~x0
2
(4.107)
(4.108)
(4.109)
• zunächst zweiter Term:
ikr
~ x) = µ0 e (ik)n̂ ×
A(~
4π r
Z
d3 x0 ~x0 × J~
|
{z
}
(4.110)
V
magnetisches
Dipolmoment
= ik
µ0 eikr
n̂ × m
~
4π r
(4.111)
dieses Vektorpotential ist proportional zum magnetischen Feld eines elektrischen Dipols mit p~ =
m
~
c
ikr
~ E1 = ck 2 µ0 e n̂ × p~ siehe Kapitel 4.7.3
B
4π r
i
~
~M1 = B
~ E1 p~ → m
A
k
c
~ E1 =
wir hatten in Kapitel 4.7.3: E
ic ~
k∇
(4.112)
(4.113)
~ E1
×B
~ M1 = ∇
~ ×A
~M1 =
→B
1~
= EE1 p~ →
c
i~
m
~
~
∇ × BE1 p~ →
=
k
c
m
~
=
c
(4.114)
(4.115)
µ0 2 eikr
k
(n̂ × m)
~ × n̂
(4.116)
4π
r
d.h. das magnetische Feld eines magnetischen Dipols ist (bis auf Faktoren) gleich dem elektrischen Feld
eines Dipols
~
ähnlich für das elektrische Feld eines magnetischen Dipols (immer mit p~ → m
c ):
~ M 1 = ik ∇
~ ×B
~ M1 = − c ∇
~ × ∇
~ ×B
~ E1 =
E
(4.117)
2
c  
k


c
~ −∇
~ 2B
~ E1 
= − 2 ~
∇ ~
∇B
(4.118)
| {zE1}
k
=
=0
66
4.7 Felder beschleunigter Ladungen
~ aus Kapitel 4.3
man benutze Wellengleichung für B
2~
2
~ 2B
~ = −k 2 B
~ = 1 ∂ B = −ω B
~
∇
2
2
2
c ∂t
c
~
µ0 eikr
~ M 1 = −cB
~ E1 p~ → m
= −ck 2
n̂ × m
~
→ E
c
4π r
(4.119)
(4.120)
d.h. das elektrische Feld eines magnetischen Dipols ist (bis auf Faktoren) gleich dem magnetischen Feld
eines elektrischen Dipols
• Winkelabhängigkeit und Gesamtleistung der magnetischen Dipolstrahlung ist genau so wie bei elektrischer Dipolstrahlung, also:
dP
2
∼ ω 4 |(n̂ × m)
~ × n̂|
dΩ
• nun zum ersten Term von (4.109): es gilt:
Z
Z
h
i
3 0
0 ~
0
~
d x (n̂~x ) J + n̂J ~x = −ω
d3 x0 %(~x0 )~x0 (n̂ × ~x0 ) Beweis in Übungen
V
(4.121)
(4.122)
V
dies ergibt:
ikr
~ x) = µ0 e (−ik)(−iω) 1
A(~
2}
|4π r
{z
=−
Z
d3 x0 %(~x0 )~x0 (n̂~x0 )
(4.123)
V
µ0 ck2 eikr
8π
r
Magnetfeld
~ =∇
~ ×A
~ = . . . = ikn̂ × A
~
B
~ = ic ∇
~ ×B
~ ≈ ikn̂ × ic B
~ = cB
~ × n̂ siehe Kapitel 4.7.3
E
k
k
das magnetische Feld ist:
Z
iµ0 ck 2 eikr
~
n̂ ×
d3 x0 %(~x0 )~x0 (n̂~x0 )
B=−
8π
r
V
in Kapitel 2.14 hatten wir den elektrischen Quadrupoltensor definiert:
Z
Qαβ =
d3 x0 %(~x) 3x0α x0β − r02 δαβ
(4.124)
(4.125)
(4.126)
(4.127)
V
P
~
nun definieren wir einen Vektor Q(n̂)
mit Komponenten Qα = p Qαβ n̂β
damit kann man schreiben:
Z
1
~
n̂ ×
d3 x0 %(~x)~x0 (n̂~x0 ) = n̂ × Q(n̂)
Beweis durch Ausrechnen
3
V
2 ikr
~
~ =B
~ E2 = − iµ0 ck e n̂ × Q(n̂)
→ B
24π r
zeitliches Mittel der Strahlungsleistung:
dP
µ0
2
=
ω 6 |(n̂ × Q) × n̂|
dΩ
1152π 2 c3
(4.128)
(4.129)
(4.130)
• Beispiel: oszillierende kugelförmige Ladungsverteilung
→ Q ist diagonal mit Q11 = Q22 = − 21 Q33 und Q33 = Q0
→
dP
µ0 Q20 6 2
=
ω sin θ cos2 θ
dΩ
512π 2 c3
(4.131)
67
4 Zeitabhängige elektro-magnetische Felder
68
5 Elemente der Elektrodynamik in Materie
5.1 Mikroskopische Maxwell-Gleichungen
5.1.1 Aufteilung der Quellen und Felder
• wir betrachten ein System bestehend aus Materie (Festkörper, Flüssigkeit oder Gas) und zusätzliche
Quellen und Felder
• für das Gesamtsystem gelden die mikroskopischen Maxwellgleichungen
~ ·E
~ tot = %tot
∇
ε0
~ ·B
~ tot = 0
∇
~
~ ×B
~ tot − 1 ∂ Etot = µ0 J~tot
∇
2
c ∂t
~
∂
~ ×E
~ tot + Btot = 0
∇
∂t
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
• in Experimenten interessiert man sich meist für die Reaktion der Materie auf die zusätzlichen Quellen
und Felder
→ Aufteilung der Quellen und Felder in
– ungestörte Materie im Gleichgewicht (Index 0“)
”
– zusätzliche Quellen und Felder = Störung der Materie (Index ext“)
”
– induzierte Quellen und Felder = Reaktion der Materie (Index ind“)
”
%tot = %0 + %ext + %ind = %0 + %
(5.5)
• d.h. % = %ext + %ind (Änderung der Notation!)
J~tot = J~0 + J~ext + J~ind = J~0 + J~
~ tot = E
~0 + E
~ ext + E
~ ind = E
~0 + E
~
E
(5.6)
~ tot = B
~0 + B
~ ext + B
~ ind = B
~0 + B
~
B
(5.8)
(5.7)
• da die Maxwell-Gleichungen linear sind, gelden (5.1) bis (5.4) getrennt für die ungestörten, externen
und induzierten Größen
~ 0 und B
~ 0 interessieren uns hier nicht
• Gleichungen für E
~ ext und B
~ ext sind in der Regel einfach zu lösen (Randwert-Problem)
• Gleichungen für E
• Hauptproblem: Bestimmung der induzierten Quellen
~ und B
~ ab, also von E
~ ext + E
~ ind und B
~ ext + B
~ ind
%ind und J~ind hängen von E
→ Maxwell-Gleichungen für ext“ und sind“ sind gekoppelt
”
”
5.1.2 Mikroskopische und makroskopische Felder
• Festkörper haben Gitterstruktur, typische Größe einer Elementarzelle“ ∼ einige Å
”
• in einem Gas variiert die Struktur auch auf einer Skala von einigen Å
69
5 Elemente der Elektrodynamik in Materie
• makroskopische Felder“ = im Bereich einer Elementarzelle nahezu konstant (diese werden typischer”
weise im Experiment gemessen)
• mikroskopische Felder“ können auch auf der Å-Skala variieren
”
• typischerweise:
~ ext , B
~ ext
%ext , J~ext , E
~ ind , B
~ ind , E,
~ B
~
%ind , J~ind , E
makrskopisch:
mikroskopisch:
(5.9)
(5.10)
• oft ist man nicht an den mikroskopischen Details interessiert
→ können eliminiert werden durch räumliche Mittelung über viele Elementarzellen
• räumliche Mittelung = Faltung
Z
hAi(~x, t) =
d3 x0 A(~x, t)f (~x − ~x0 )
(5.11)
f = Faltungsfunktion:
– lokalisiert bei Null
– nicht negativ
R
– normiert: d3 x f (~x) = 1
z.B.: Gaußfunktion
|~x − ~x0 |2
f (~x − ~x ) = 3 exp −
b2
π 2 b3
0
1
(5.12)
mit a b λ (a = Gitterkonstante, b = Mittelungslänge, λ = Skala der gemessenen Phänomene,
z.B. Welle)
5.2 Linear Response (Lineare Antwort)
5.2.1 Mikroskopische Responsefunktion
• typischerweise sind die externen Größen viel kleiner als die ungestörten ( kleine Störungen“)
”
→ lineare Beziehung zwischen Störung und Reaktion der Materie:
~ ext
%ind ∝ E
~ ind ∝ E
~ ext
E
~ =E
~ ind + E
~ ext ∝ E
~ ext
E
(5.13)
• symbolisch:
~ = ε−1 E
~ ext
E
~ = µB
~ ext
B
(5.14)
– ε−1 und µ sind Responsefunktionen“, ε heißt Dielektrizität, µ heißt Permeabilität
”
~ 6 kE
~ ext und B
~ 6 kB
~ ext
– haben im Allgemeinen Tensortruktur, d.h. E
– wenn keine Reaktion, dann ε−1 = 1 und µ = 1
~ ext ):
• allgemeinste Form (linear in E
Z
3 Z
X
3 0
~
Ei (~x, t) =
d x
dt0 ε−1 ij (~x, ~x0 , t − t0 , T, p, . . .) Eext,j (~x0 , t0 )
j=1
– Reaktion der Materie hängt von ihrem Zustand ab (Temperatur, Druck, ...)
– wegen Homogenität der Zeit tritt nur t − t0 auf
– Kausalität: ε−1 ij = δij für t − t0 < 0
– Materie ist auf der mikroskopischen Skala nicht homogen → ε hängt von ~x und ~x0 ab
70
(5.15)
5.2 Linear Response (Lineare Antwort)
5.2.2 Makroskopische Responsefunktion
• Ortsabhängigkeit von ε im Bereich einer Elementarzelle kann sehr kompliziert sein
→ räumliche Mittelung
hEi i (~x, t) =
3 Z
X
d3 x0
Z
dt ε−1
(~x − ~x0 , t − t0 ) Eext,j (~x0 , t0 )
ij
(5.16)
j=1
• die Fouriertransformation einer Faltung
R ist ein Produkt
Beispiel im 1-Dimensionalen: h(x) = dx0 f (x0 )g(x − x0 )
Z
Z
Z
1
1
h̃(k) = √
dx eikx h(x) = dx0 f (x0 ) √
dx eikx g(x − x0 ) =
2π
2π
Z
Z
√
√
0
1
1
0 ikx0
0
= 2π · √
dx e f (x ) · √
dx eik(x−x ) g(x − x0 ) = 2π f˜(k)g̃(k)
2π
2π
|
{z
} |
{z
}
=f˜(k)
(5.17)
(5.18)
=g̃(k)
damit folgt:
hEi i (~k, ω) =
3
X
−1 εij (~k, ω)Eext,j (~k, ω)
(5.19)
j=1
• nun vernachlässige ~k-Abhängigkeit von ε: ε−1
(~k, ω) ≈ ε−1
(0, ω)
ij
ij
damit wird (5.19) 3-dimensional Rücktransformiert
hEi i (~x, ω) =
3
X
ε−1
(0, ω)Eext,j (~x, ω)
ij
(5.20)
j=1
~ und E
~ ext haben die selbe Ortsabhängigkeit
→E
• bisher: Störung rechts, Reaktion links
~ ext als Funktion von E
~ geschrieben
aus historischen Gründen wird aber E
→ inverse Matrix:
−1 ε−1 (0, ω)
εmakr
(ω) =
ij
(5.21)
ij
damit wird
Eext,i (~x, ω) =
3
X
εmakr
(ω) hEj i (~x, ω)
ij
vereinfachte
Notation
=
j=1
3
X
εij Ej (~x, ω)
(5.22)
j=1
~ E
~ ext , d.h.
• Spezialfall: isotropes Medium (Flüssigkeit, Gas) → Ek
~ ext (~x, ω) = ε(ω)E(~
~ x, ω)
εij (ω) = ε(ω)δij → E
(5.23)
(homogener, isotroper Fall)
ε(ω) dielektrische Funktion (Materialeigenschaft):
– ist im Allgemeinen komplex (wegen eiωt )
– Grenzwert ω → 0: Dielektrizitätskonstante ε = ε(0)
• für das Magnetfeld gilt analog
~ x, ω) = µ(ω)B
~ ext (~x, ω)
B(~
(5.24)
(homogener, isotroper Fall)
71
5 Elemente der Elektrodynamik in Materie
5.3 Makroskopische Maxwell-Gleichungen
5.3.1 Räumliche Mittelung
• räumliche Mittelung vertauscht mit zeitklichen Ableitungen und auch mit räumlichen Ableitungen:
Z
∂f (~x − ~x0 )
∂f (~x − ~x0 )
= − d3 x0 A(~x0 , t0 )
∂x
∂x0
Z
∂A(~x0 , t0
∂A
= d3 x0
f (~x, ~x0 ) =
0
∂x
∂x
∂hAi
=
∂x
Z
d3 x0 A(~x0 , t0 )
partielle
Integration
=
(5.25)
(5.26)
→ räumliche Mittelung der mikroskopischen Maxwell-Gleichungen ergibt makroskopische MaxwellGleichungen
D E h%i
~ · E
~ =
∇
ε0
D E
~
~
∇· B =0
(5.27)
(5.28)
D E
~
∂ E
D E
D E
~ × B
~ − 1
∇
=
µ
J~
0
c2D ∂t
E
~
D E ∂ B
~ × E
~ +
=0
∇
∂t
(5.29)
(5.30)
5.3.2 Polarisation und Magnetisierung
• Zeil: Herleitung von h%ind i
• wir denken uns MAterie in mikroskopische Einheiten aufgeteilt (jeweils elektrisch neutral)
• ~xr = Vektor zum Zentrum der r-ten Einheit
• Änderung der Ladungsverteilung in der r-ten Einheit aufgrund der Störung
%r (~x − ~xr , t) → %ind (~x, t) =
X
%r (~x − ~xr , t)
(5.31)
r
• sei a die Größe der mikroskopischen Einheit, dann
(
0
%r (~x , t) =
0
irgendetwas
für |~x0 | a
für |~x0 | ≤ a
(5.32)
• Störung kann Form der Ladungsverteilung ändern, aber nicht die Gesamtladung
Z
d3 x %r (~x, t) = 0
(5.33)
• räumliche Mittelung von %ind :
h%ind i (~x, t) =
*
X
r
=
XZ
r
72
+
%r
=
XZ
d3 x0 %r (~x − ~xr , t)f (~x − ~x0 ) =
(5.34)
r
d3 x0 %r (~x0 , t)f (~x − ~xr − ~x0 )
(5.35)
5.3 Makroskopische Maxwell-Gleichungen
nun Taylorentwicklung von f :
~ (~x0 ) · ~x0 + . . .
f (~x0 − ~x0 ) = f (~x0 ) − ∇f
Z
Z
X
X
3 0
0
~
=
f (~x − ~xr ) d x %r (~x , t) −
∇f (~x − ~xr ) d3 x0 %r (~x0 , r)~x + . . .
r
≈−
(5.36)
(5.37)
r
X
~ (~x − ~xr ) =
p~r (t) · ∇f
(5.38)
X
(5.39)
r
~ ·
= −∇
p~r (t)f (~x − ~xr ) =
r
~
= −∇
Z
d3 x
X
p~r (t)δ(~x0 − ~xr )f (~x − ~x0 ) =
(5.40)
r
*
~ ·
= −∇
+
X
p~r (t)δ(~x − ~xr )
(5.41)
r
nun definiere die Polarisation P~ :
*
+
X
elektrisches Dipolmoment
P~ (~x, t) =
p~r (t)δ(~x − ~xr ) =
Volumen
r
~ · P~ = − h%ind i
→ ∇
(5.42)
(5.43)
~:
• analog: Magnetisierung M
*
~ (~x, t) =
M
+
X
µ
~ r (t)δ(~x − ~xr (t))
r
=
magnetisches Dipolmoment
Volumen
D
E
~
~ ×M
~ = J~ind − ∂ P
→ ∇
∂t
mit µ
~ r (t) =
1
2
R
(5.44)
(5.45)
d3 x ~x × J~r
~ und H
~
5.3.3 Makroskopische Maxwell Gleichungen mit D
~ =
• Definition: E
1 ~
ε0 (D
~ = µ0 (H
~ +M
~)
− P~ ), B
~ ·D
~ = %ext
→ ∇
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ×H
~ − ∂ D = J~ext
∇
∂t
~
~ ×E
~ + ∂B = 0
∇
∂t
(5.46)
(5.47)
(5.48)
(5.49)
5.3.4 Fedlverhalten an Grenzflächen
analog zu Kapitel 2.8 folgt:
~2 −D
~ 1 · n̂ = σext
D
~2 − H
~1 = K
~ ext
n̂ × H
~2 − E
~1 = 0
n̂ × E
~2 − B
~ 1 · n̂ = 0
B
(5.50)
(5.51)
(5.52)
(5.53)
73
5 Elemente der Elektrodynamik in Materie
5.4 Elektrische Suszeptibilität und molekulare Polarisierbarkeit
5.4.1 Suszeptibilität nach Clausius und Mossotti
• Annahme: Polarisation ist parallel zum elektrischen Feld
nach Fouriertransformation der Zeitabhängigkeit:
~ x, ω)
P~ (~x, ω) = ε0 · χe (~x, ω) ·E(~
| {z }
(5.54)
elektrische
Suszeptibilität
• homogener, isotroper Fall: χe (~x, ω) → χe (ω)
~ P~ und E
~ ext haben selbe Richtung und Ortsabhängigkeit
→ E,
• Ziel: Herleitung der Suszeptibilität (Materialeigenschaft) aus den mikroskopischen Eigenschaften der
Materie
• elektrisches Feld polarisiert Moleküle:
D
E
~ lok
P~mol ≡ ε0 · γmol · E
(mit
D
P~mol
E
(5.55)
~ lok =
= mittleres Dipolmoment eines Moleküls, γmol = molekulare Polarisierbarkeit, E
lokales mikroskopisches Feld am Ort des Moleküls)
Herleitung: Nolting Kapitel 2.4.2
Ergebnis:
χe =
nγmol
1 − 13 nγmol
(5.56)
(mit n = Dichte der Dipole)
rechte Seite: mikroskopische Eigenschaft der Materie
linke Seite: makroskopische Materialeigenschaft
→ γmol =
3 ε−1
nε+2
ε = 1 + χe
Clausius-Mosotti-Beziehung
(5.57)
5.4.2 Di-, Para- und Ferroelektrika
• Materie reagiert auf ein äußeres Feld: durch Polrisation
zwei Fälle:
1. Deformationspolarisation“ = Verschiebung der Ladungsverteilung
”
→ induzierte Dipolmomente
2. Orientierungspolarisation“ = Ausrichtung von schon vorhandenen permanenten Dipolmomenten
”
• Ziel: Abschätzung von γmol
• Fall 1: Dielektrikum
~
~ lok
– zusätzliches E-Feld
verschiebt die vorhandenen Ladungen: P~mol = ε0 γmol E
2
– einfaches Modell: harmonischer Oszillator mit Rückstellkraft F~ = −mω ~x
~ lok
Gleichgewichtslage: mω 2 ~x = q E
q2 ~
~
→ induziertes Dipolmoment: Pmol = q~x = mω
2 Elok
P qi2
1
→ γmol = ε0 i mi ω2 (Summe über die verschiedenen Ladungen im Molekül)
i
• Fall 2: Paraelektrikum
– hat drehbare Moleküle mit permanentem elektrischen Dipolmoment
– Beispiel: Wasser
74
5.4 Elektrische Suszeptibilität und molekulare Polarisierbarkeit
~ lok = minimal für P~ kE
~ lok
– Energie im elektrischen Feld: ν = −P~ E
→ Dipole richten sich parallel zum Feld aus
– Temperatur wirkt dieser Tendenz entgegen
)
→ statistische Verteilung der Dipole (Bolzman-Faktor: exp − kν(θ)
BT
R
hPmol i =
dΩ P cos θ exp − kν(θ)
P2
BT
≈
Elok
R
3kb T
dΩ exp − kν(θ)
BT
für P Elok kb T
(5.58)
~ lok :
– mittleres Dipolmoment ist k zu E
~ lok
hPmol i = ε0 γmol E
mit γmol ≈
P2
3ε0 kb T
(5.59)
(hängt von T ab, gilt nur für P Elok kB T )
• im Allgemeinen: Kombination der beiden Fälle
• Ferroelektrikum = Paraelektrikum bei tiefen Temperaturen
Wechselwirkung zwischen benachbarten Dipolen kann zu einer Ausrichtung der Dipole führen
→ spontane Polarisation (ohne äußeres Feld)
75
5 Elemente der Elektrodynamik in Materie
76
Literaturverzeichnis
[1] Jackson: Klassische Elektrodynamik
[2] Griffiths: Introduction to Electrodynamics
[3] Fließbach: Elektrodynamik
[4] Honerkamp, Römer: Klassische Theoretische Physik
[5] Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik
[6] Landau, Lifschitz: Lehrbuch der Theoretischen Physik II: Klassische Feldtheorie
[7] Sommerfeld: Vorlesungen über Theoretische Physik III: Elektrodynamik
77