Theorieteil - fraengg.ch

Elektronikkurs
1
Analoge Messgeräte
1.1
Drehspul-Messwerk
Theorie
Analoge Messgeräte
Aufbau und Funktion:
Eine drehbar gelagerte Spule befindet sich im magnetischen Feld eines Dauermagneten.
Fliesst ein Gleichstrom durch die Spule, so erzeugt diese ein zweites Magnetfeld, wodurch der Weicheisenkern magnetisiert wird. Der Dauermagnet und der Elektromagnet
stossen sich gegenseitig ab; die Spule dreht sich und der Zeigerausschlag erfolgt.
Der magnetischen Kraft, wirkt die Kraft einer Spiralfeder entgegen. Sind beide Kräfte
gleich gross, so kommt der Zeiger zum Stillstand.
Das Drehspulmesswerk kann nur Gleichstrom messen. Es misst den arithmetischen
Mittelwert der zu messenden Einheit. Bei Wechselspannung würde es daher 0 V anzeigen. Um das
Messen von Wechselspannung möglich zu machen, wird eine Gleichrichterschaltung vor das Messinstrument geschaltet. Die Wechselspannung wird dadurch in eine pulsierende Gleichspannung umgewandelt und kann so angezeigt werden. Die Skala ist so geeicht, dass die Anzeige bei sinusförmiger
Wechselspannung dem Effektivwert entspricht.
Eigenschaften:
• grosse Empfindlichkeit
• linearer Skalenverlauf
• grosser Innenwiderstand
• grosse Genauigkeit
• geringer Eigenverbrauch
1.2
Dreheisen-Messwerk
Aufbau und Funktion:
Im Innern befinden sich eine Spule und zwei Eisenkerne. Der eine ist fest mit der Spule verbunden, der andere mit der beweglichen Zeigerachse. Beim Messen fliesst durch
die Spule ein Strom, der ein Magnetfeld aufbaut. Durch dieses Magnetfeld werden
beide Eisenkerne magnetisch, und stossen sich ab. Je grösser der Strom, umso stärker
das Magnetfeld, umso stärker die abstossende Kraft.
Der bewegliche Eisenkern, der mit der Spule verbunden ist, führt eine Drehbewegung
aus. Gegen diese Kraft wirkt die Kraft einer Spiralfeder. Ist die magnetische Kraft genauso gross wie die Federkraft, kommt der Zeiger zum Stillstand.
Bei Wechselstrom werden bei jeder Halbwelle die Eisenkerne gleich magnetisch, so dass bei jeder
Halbwelle eine abstossende Kraft wirkt. Deshalb ist ein Dreheisenmesswerk auch für Wechselstrommessungen geeignet.
Eigenschaften:
Bei Überlastung des Messwerks zeigt sich dieses sehr robust. Der Eigenverbrauch ist verhältnismässig
hoch, deshalb sind kleine Spannungen und Ströme nicht messbar. Die Skala hat eine nichtlineare Einteilung, und zeigt den Effektivwert an, Bei Wechselstrom sind Frequenzen von 100 bis 300 Hz möglich.
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2
Theorie
Digitale Messgeräte
Digitale Messgeräte
Digitale Messgeräte sind aus digitalen Schaltungen aufgebaut. Der Messwert wird dann durch eine
Sieben-Segment-Anzeige oder ein LCD-Display angezeigt. Ein digitales Messgerät zeichnet sich
durch einen hohen Eingangswiderstand aus. Ablesefehler sind weitgehendst ausgeschlossen. Auf den
Messbereich und die Polarität muss nicht geachtet werden.
3
Oszilloskop
Ein Oszilloskop stellt Spannung über ihren zeitlichen Verlauf dar, d.h. es werden die physikalischen
Grössen Spannung und Zeit gemessen. Ein Oszilloskop wird verwendet, wenn periodische wiederkehrende Signale bildlich dargestellt werden müssen.
Funktionsweise eines Oszilloskop
1. Anzeigemedium
Als Anzeigemedium werden Elektronen verwendet. Diese haben eine geringe Masse und sind
sehr schnell. Die Elektronenstrahlröhre (Brownsche Röhre) dient hierbei zur Erzeugung, Bündelung, Ablenkung und Beschleunigung der Elektronen.
2. Zeitablenkung
Die Zeitablenkung erfolgt durch einen Zeitablenkgenerator. Sein
Signalverlauf ist eine Sägezahnspannung. Im Zeitraum t0 - t1 wird
der Elektronenstrahl vom linken zum rechten Bildrand abgelenkt.
Im steilen Spannungsabfall bei t1 wird der Elektronenstrahl an den
linken Bildschirmrand abgelenkt. Die Zeitablenkung kann mittels
eines Schalters verändert werden.
3. Spannungsmessung
Die Spannungsmessung erfolgt durch die Eingänge YI und/oder YII. Wie bei jedem analogen
Messgerät, muss über Schalter der Messbereich eingestellt werden. Bei richtig eingestelltem
Messbereich wird der Signalverlauf auf dem Bildschirm sichtbar. Werden 2 Spannungen mit
einem Zwei-Kanal-Oszilloskop dargestellt, muss auf die richtigen Einstellungen bei der Betriebsart geachtet werden. Es wird zwischen 2 Betriebsarten unterschieden:
•
Alternated
Bei dieser Betriebsart werden die Kanäle YI und YII nacheinander dargestellt. Dies ist bei Messungen von Signalen mit
mittlerer bis hoher Frequenz notwendig.
•
Chopped
Bei dieser Betriebsart werden die Kanäle YI und YII abwechselnd dargestellt. Die ist bei Messungen von Signalen mit
niedriger Frequenz notwendig.
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3.1
Theorie
Oszilloskop
Bedienungselemente eines Oszilloskops
Ein Oszilloskop verfügt über viele Einstell- und Anschlussmöglichkeiten, die je nach Bauart und Modell unterschiedlich sind. Bestimmte Grundeinstellungen sind in der Regel bei jedem Oszilloskop vorhanden.
Intens.
Helligkeit des Schirmbildes
Focus
Schärfe des Schirmbildes
Power
Netzschalter
CAL.
Anschluss zum Abgleichen eines Tastkopfes
Illum.
Zusätzliche Belichtungsstärke des Bildschirms
Hor.Ext.
XY-Betrieb
Ext.
Schalter für die Externe Triggerung
X-Pos.
Einstellungsregler des Elektronenstrahls auf der X-Achse des Bildschirms
Y-Pos.
Einstellungsregler des Elektronenstrahls auf der Y-Achse des Bildschirms
CHI/II
Signalartumschalter (Wechselspannung/Gleichspannung/keine Darstellung
(Ground))
Inv.I
Schalter ermöglicht invertierte Darstellung des Signals auf Kanal YI.
CHI/II
Umschalter für die Darstellung der Kanäle
Dual
Zwei-Kanal-Betrieb
Alt/Chop
Betriebsartenumschalter bei Zwei-Kanal-Betrieb, Addierfunktion der beiden Kanäle bei Ein-Kanal-Betrieb.
Slope +/-
Umschalter für die Triggerung auf positive oder negative Flanke
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3.2
Theorie
Oszilloskop
Inbetriebnahme
Vor der Inbetriebnahme muss das Gerät in seine Grundeinstellungen gebracht werden.
• Alle Tasten haben sich in unbetätigtem Zustand zu befinden.
• Rot gekennzeichnete Drehknöpfe sind in ihre kalibrierte Stellung zu bringen.
Wenig später nach dem Drücken des Netzschalters erscheint eine Linie auf dem Bildschirm. Im ungünstigsten Fall ist sie unscharf und dezentriert.
• Durch das Drehen an den Knöpfen für Helligkeit (Intens.) und Schärfe (Focus), lässt sich die
Linie so verändern bis sie scharf abgebildet wird.
• Damit sich die Linie in der Bildschirmmitte befindet, sind die Drehknöpfe für horizontale (XPos.) und vertikale (Y-Pos.) Ablenkung entsprechend einzustellen. Dabei sollte der Signalartumschalter auf Ground-Stellung (GD) stehen.
Jetzt ist die Betriebsbereitschaft hergestellt. Alle weiteren Einstellungen sind von der jeweiligen Messung abhängig.
3.3
Brownsche Röhre
1. Kathode
An der Kathode liegt eine Spannung von -200 bis -800 Volt. Sie liefert die Elektronen. Durch
ein Heizelement wird der Elektronenaustritt erhöht.
2. Wehneltzylinder
Mittels dieses Zylinders lässt sich die Intensität, sprich Helligkeit des Elektronenstrahls beeinflussen.
3. Elektronen-Optik
Ablenkung der Elektronen im Elektrischen Feld. Einstellung für die Schärfe des zu darstellenden Elektronenstrahls.
4. Anode
Die Anode liegt an einer Spannung von +100 bis +200 Volt und zieht die Elektronen an.
5. Nachbeschleunigungsanode (bis 1,5 kV)
6. Leuchtschicht
7. Brennpunkt
X. X-Platten für die Zeitmessung (Horizontale Ablenkung)
Die Elektronen werden nach links oder rechts abgelenkt.
Y. Y-Platten für die Spannungsmessung (Vertikale Ablenkung)
Die Elektronen werden nach oben oder unten abgelenkt.
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3.4
Theorie
Oszilloskop
Triggerung
Um bei der Messung ein stehendes Bild zu erhalten, muss das zu messende Signal richtig getriggert
werden.
Triggern bedeutet Auslösen
Über einen Umschalter am Oszilloskop kann ausgewählt werden, auf welchem Kanal getriggert werden soll (Kanal I/Kanal II). Manche Oszilloskope haben auch einen externen Triggereingang.
Der Zeitablenkgenerator wartet nach einem Darstellungsdurchgang bis das Messsignal wieder gleichen
Pegel und gleiche Richtung hat. Erst dann wird erneut getriggert/ausgelöst und das Signal erneut dargestellt.
3.5
Spannungsmessung mit dem Oszilloskop
1. Gleichspannung DC
Man legt die zu messende Spannung zwischen der Eingangsbuchse Y und der Masse-Buchse
an. Der Messbereichsdrehknopf ist so einzustellen, dass der Strahl in vertikaler Richtung
möglichst weit ausgelenkt ist.
Die dargestellte Gleichspannung wird folgendermassen berechnet: UDC = Messbereich
(V/cm) × Vertikale Auslenkung von der Null-Linie (cm)
Die Null-Linie wird mit dem Y-Pos-Regler eingestellt, wenn sich der Umschalter AC/DC in GDStellung befindet.
2. Wechselspannung AC
Man legt die zu messende Spannung zwischen der Eingangsbuchse Y und der Masse-Buchse
an. Der Messbereichsdrehknopf ist so einzustellen, dass der Strahl in vertikaler Richtung möglichst weit ausgelenkt ist. Die gemessene Spannung ist der Spitze-Spitze-Wert der Wechselspannung.
Die dargestellte Wechselspannung wird folgendermassen berechnet: UAC/SS = Messbereich (V/cm) × Vertikale Auslenkung (cm)
Die Stelle der Null-Linie spielt hierbei keine Rolle (muss nicht berücksichtigt werden).
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3.6
Theorie
Oszilloskop
Frequenzmessung
Messen der Periodendauer T
Festlegung einer Periodendauer
Eine Periode, eines sich regelmässig wiederholenden Signals ist dann vorbei, wenn das Signal die
Ausgangsamplitude wieder erreicht hat. Die Periodendauer T ergibt sich aus dem eingestellten XMassstab (Zeit) mal der Anzahl der cm einer Periode.
Berechnung der Frequenz f
Zwischen der Periodendauer T und der Frequenz f gelten folgende Beziehungen:
An einem Oszilloskop lässt sich nur die Periodendauer messen/darstellen. Die Frequenz muss daraus
berechnet werden.
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4
Theorie
Halbleiterphysik
Halbleiterphysik
Die elektrische Leitfähigkeit der Halbleiter liegt zwischen der von Metallen und Isolatoren. Sie ist
jedoch stark abhängig von
1.
2.
3.
4.
Druck (beeinflusst die Beweglichkeit der Ladungsträger)
Temperatur (Zahl und Beweglichkeit der Ladungsträger)
Belichtung (Zahl der Ladungsträger)
zugefügten Fremdstoffen (Zahl und Art der Ladungsträger)
Die Empfindlichkeit der Halbleiter auf Druck, Temperatur und Licht macht sie zu geeigneten Sensoren.
Dotierung
Unter Dotierung versteht man das gezielte Verändern der Leitfähigkeit von Halbleitern, in dem man in
den reinen Halbleiterwerkstoff (z.B. Silizium und Germanium) Fremdatome einbaut.
N-Dotierung
Wenn in reines Silizium Phosphor (P) eingebaut wird, stehen pro Phosphoratom ein freies Elektron
zur Verfügung. Da es sich bei den freien Elektronen um negativ geladenen Ladungsträger handelt,
spricht man von einem n-Leiter. Schliesst man eine Stromquelle an den n-Leiter an, so entzieht der
Plus-Pol dem n-Leiter die Elektronen, und es entsteht ein Elektronenstrom von Minus nach Plus.
P-Dotierung
Wenn in reines Silizium Aluminium (Al) eingebaut wird, fehlen pro Aluminiumatom ein Elektron.
Es entstehen Defektelektronen oder auch Löcher genannt. Da es sich bei den Löchern um positive Ladungsträger handelt, spricht man von einem p-Leiter. Schliesst man eine Stromquelle an den p-Leiter
an, so fliessen Elektronen vom Minus-Pol in den p-Leiter und Rekombinieren mit den Löchern. Der
Plus-Pol entzieht nun dem p-Leiter die Elektronen und es fliesst ein Löcherstrom von Plus nach Minus.
Eigenleitung von Halbleitermaterialien
Durch Wärmezufuhr oder Lichteinstrahlung können auch undotierte Halbleiter freie Ladungsträger
erzeugen. Mit steigender Temperatur nimmt die Zahl der Elektronen-Loch-Paare im Quadrat zu. Dadurch ergeben sich Grenzen für die maximale Betriebstemperatur in elektronischen Geräten:
•
•
•
Germanium (90...100 °C)
Silizim (150...200 °C)
Galliumarsenid (300..350 °C)
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4.1
Theorie
Halbleiterphysik
PN-Übergang
Baut man einen p-Leiter und einen n-Leiter zusammen, so ergibt sich am Grenzbereich eine Grenzschicht, der PN-Übergang. Das dabei entstandene elektronische Bauteil wird Halbleiterdiode genannt.
PN-Übergang ohne äussere Spannung
Die Ladungsträger der beiden Schichten bewegen sich in die jeweils anders
geladene Schicht. Dabei Rekombinieren die Elektronen und Löcher miteinander.
Es entsteht eine Diffusionsspannung. Am PN-Übergang entsteht eine an
freien Ladungsträgern verarmte Sperrschicht oder Raumladungszone. Diese
Schicht ist schlecht leitend und in ihr herrscht ein sehr starkes elektrisches
Feld.
PN-Übergang an äusserer Spannung
Diode in Durchlassrichtung
Wird die Diode in Durchlassrichtung betrieben, so liegt die p-Schicht am
Plus-Pol und die n-Schicht am Minus-Pol. Die Löcher der p-Schicht werden vom Plus-Pol abgestossen, die Elektronen der n-Schicht werden vom
Minus-Pol abgestossen. Die Grenzschicht wird nun mit freien Ladungsträgern überschwemmt, und es fliesst ein Strom durch die Diode.
Diode in Sperrichtung
Wird die Diode in Sperrichtung betrieben, so liegt die p-Schicht am Minus-Pol und die n-Schicht am Plus-Pol. Die Löcher der p-Schicht werden
vom Minus-Pol angezogen, die Elektronen der n-Schicht werden vom
Plus-Pol angezogen. Dadurch vergrössert sich die Grenzschicht und es
können keine Ladungsträger durch sie hindurch.
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4.2
Theorie
Halbleiterphysik
Halbleiterdiode
Anode
Kathode
Die Diode wird mit dem Plus-Pol an der Anode in Durchlassrichtung betrieben. Die Diode wird mit
dem Plus-Pol an der Kathode in Sperrichtung betrieben. Die Kathode erkennt man an der Diode an
der Ringmarkierung.
Um das Strom - Spannungsverhalten einer Halbleiterdiode zu untersuchen wird folgender Versuch
verwendet.
Messwerte für den Durchlassbereich
UF
IF
UR
IR
UF/V
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,75
IF/mA
0
0,02
0,2
1,5
10
30
=
=
=
=
Durchlassspannung, Schwellspannung (Schwellwert)
Durchlassstrom
Sperrspannung
Sperrstrom
Bei jeder Halbleiterdiode beginnt der Strom, ab einem bestimmten Spannungswert stark anzusteigen.
Diesen Spannungswert nennt man Schwellspannung. Die Diode zeichnet sich dadurch als Spannungsabhängiger Widerstand aus.
Diodenkennlinie
Schwellspannung:
• Silizium = 0,7 V
• Germanium = 0,3 V
Es spielt keine Rolle, in welchem Spannungsbereich sich die
Diode befindet. Die Anode der Diode muss nur um die
Schwellspannung positiver sein als die Kathode.
Eigenschaften einer Halbleiterdiode:
• grosse Sperrspannung
• kleine Durchlassspannung
• kleine Baugrösse --> empfindlich gegen Überlast
• grosser Durchlassstrom
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4.2.1
Theorie
Halbleiterphysik
Fotodiode
Die Fotodiode ist eine Halbleiterdiode, bei der bei einfallendem Licht freie Löcher und Elektronen
entstehen. Die Fotodiode wird in Sperrichtung betrieben. Die freien Löcher und Elektronen erhöhen
den Sperrstrom proportional zur Lichtintensität. Fotodioden eignen sich für die Lichtmessung, Lichtschranken, Positionierung und Fernsteuerung mit Infrarotstrahlung (Fernbedienung).
4.2.2
Kapazitätsdiode
Die Kapazitätsdiode ist eine Halbleiterdiode, bei der die Raumladungszone am PN-Übergang wie ein
Kondensator wirkt. Das Dielektrikum ist das von Ladungsträgern entblösste Halbleitermaterial. Bei
Erhöhung der angelegten Spannung wird die Sperrschicht grösser, und die Kapazität wird kleiner.
Eine kleinere Spannung vergrössert die Kapazität.
Die Grössenordnung entspricht in etwa delta C = 50 pF bei delta U = 5 V. Die Kapazitätsdiode wird
bei der Schwingkreisabstimmung und der Frequenzvervielfachung verwendet. Die Kapazitätsdiode
wird wie die Z-Diode in Sperrichtung betrieben.
4.2.3
Schottky-Diode
Die Schottky-Diode ist eine Halbleiterdiode mit einem Metall-Halbleiter-Übergang. Weil Elektronen
leichter aus N-Silizium in die Metallschicht gelangen als umgekehrt, entsteht in der Silizium-Schicht
ein Elektronen verarmter Bereich, die sogenannte Schottky-Sperrschicht. Der Ladungstransport besteht
ausschliesslich aus Elektronen. Dadurch ist dieses Bauelement als schneller Schalter oder Mikrowellen-Gleichrichter geeignet.
Eigenschaften einer Schottky-Diode:
• schnelles Schalten
• geringe Durchlassspannung
• hohe Strombelastbarkeit
4.2.4
Tunneldiode
Die Tunneldiode, auch Esaki-Diode genannt, ist eine Halbleiterdiode mit einem sehr hochdotierten
PN-Übergang. Die Tunneldiode ist für Oszillatoren im GHz-Bereich und für rauscharme Verstärker
geeignet.
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4.2.5
Theorie
Halbleiterphysik
Solarzelle
Solarzellen sind photovoltaische Scheiben, die zu Solarmodulen mit Stromanschlüssen und Schutzschicht zusammengefasst werden. Als Halbleiterwerkstoff werden Silizium oder Galiumarsenid eingesetzt.
Solarzellen sind Halbleiterdioden. Eine Schicht liegt an der Oberfläche und ist sehr dünn, so dass das Sonnenlicht bis in die Grenzschicht
dringen kann. Das eindringende Sonnenlicht hat zur Folge, dass in der
Grenzschicht Paarbildung stattfindet. Durch die ortsfesten Ladungen
werden die Paare getrennt. Die n-Schicht erhält einen negativen Ladungsüberschuss, die p-Schicht erhält einen positiven Ladungsüberschuss.
Siliziumsolarzellen liefern, bei ausreichendem Lichteinfall, etwa 0,5 V und können je cm2 einen
Strom von ca. 20 mA aufrechterhalten.
4.2.6
Leuchtdiode
Die Leuchtdiode, auch LED (Light Emitting Diode) genannt, ist eine Halbleiterdiode, die
beim Betrieb in Durchlassrichtung Licht erzeugt (emittiert).
Dabei gibt ein Halbleiterkristall ein Lichtsignal ab, das durch die linsenförmige Form des
Kopfes gebündelt bzw. gestreut wird. Leuchtdioden gibt es in verschiedenen Farben, Grössen
und Bauformen. Deshalb werden sie als Signallampen und Anzeigen verwendet.
Dieses Bauteil ist je nach Farbe aus unterschiedlichen Halbleiterkristallen aufgebaut. Sie funktioniert
dabei wie jede andere Halbleiterdiode auch.
Standardtypen (IF = 10 mA)
Low-Current-Typen (IF = 2 mA)
Farbe
Halbleiter
UF
Farbe
UF
rot
GaAsP
1,6 V
rot
1,9 V
rot
GaP
2,1 V
gelb
2,4 V
orange
GaAsP
1,8 V
grün
1,9 V
grün
GaP
2,1 V
gelb
GaP
2,2 V
blau
SiC
2,9 V
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Theorie
Halbleiterphysik
Funktionsweise einer LED:
Wie bei der normalen Diode wird die Grenzschicht mit freien Ladungsträgern überschwemmt. Die
Elektronen rekombinieren mit den Löchern. Dabei geben die Elektronen ihre Energie in Form eines
Lichtblitzes frei. Leuchtdioden zeichnen sich dadurch aus, dass sie mit wenigen Milliampère Strom
sehr hell leuchten können.
Eine Leuchtdiode muss immer mit einem Vorwiderstand betrieben werden, um den Strom zu begrenzen. Für die Widerstandsbestimmung sollte die jeweilige Durchlassspannung UF berücksichtigt werden.
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4.2.7
Theorie
Halbleiterphysik
Z-Diode
Die Z-Diode ist eine Halbleiterdiode, die ab einem bestimmten Spannungswert eine konstante
Spannung liefern kann. Die Z-Diode wird im Sperrbereich betrieben, wobei der Zener-Effekt auftritt, bei dem ab einer bestimmten Spannung mit einem steilen Anstieg des Stromes zu rechnen ist.
Schaltzeichen:
Ab einer bestimmten Durchbruchspannung UZ, nimmt der Strom IZ schlagartig zu:
• Stossionisation
• Feld- (bzw. Zener-) Effekt Aufreissen der Bindungen durch hohe Feldstärke
• Thermischer Effekt (Bindungsaufbrüche)
Formeln zur Berechnung des:
• minimalen Diodenstromes IZmin
•
maximalen Diodenstromes IZmax
In Sperrichtung geschaltet, eignet sich die Z-Diode zur:
• Spannungsbegrenzung (Umax = UZ)
• Spannungsstabilisierung
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Theorie
Halbleiterphysik
Spannungsstabilisierung mit Z-Diode
Die nebenstehende Schaltung eignet sich als Spannungsstabilisierungsschaltung. Über RV wird der maximale Strom bestimmt, der
durch die Z-Diode, bei Nichtbelastung fliessen darf.
Formel zur Berechnung des Vorwiderstandes:
4.2.8
Fotowiderstand (LDR)
Ein Fotowiderstand ist ein Halbleiterwiderstand, der lichtabhängig ist. Er wird auch LDR (Light
Dependent Resistor) genannt. Sein Widerstandswert sinkt bei Lichteinfall. Durch das Licht (Photonen) werden im Bauelement freien Ladungsträger erzeugt.
An einem Versuch kann das gezeigt werden:
Ein LDR wird an eine Stromquelle angeschlossen. Sein Widerstandswert wird bei Abdunklung und bei Beleuchtung bestimmt.
Widerstandsbestimmung bei Abdunklung:
U = 5,5 V
I = 0,001 A
R = 5,5 kOhm
Widerstandsbestimmung bei Beleuchtung:
U = 5,5 V
I = 0,1 A
R = 55 Ohm
Bei einem LDR steigt die elektrische Leitfähigkeit mit zunehmender Beleuchtung, d. h. je stärker
der Lichteinfall ist, desto kleiner ist der Widerstand, desto grösser der Strom.
Aufbau
Bei einem LDR sind zwei Kupferkämme auf einer isolierten Unterlage angebracht. Dazwischen liegt
eine dünne Cadmiumsulfidschicht (CdS) in Form eines gewundenen Bandes.
Cadmiumsulfid ist ein Halbleitermaterial, bei dem die elektrische Leitfähigkeit von der einfallenden
Lichtmenge abhängt. Je mehr Licht auf die CdS fällt, desto grösser ist die Paarbildung (Rekombination
zwischen Löchern und Elektronen), desto grösser ist auch der elektrische Strom.
Weitere Halbleitermaterialien für Fotowiderstände sind z. B. CdSe, PbS, PbSe, CdTe, ZnO, Se, InSb,
InAs, Germanium (Ge) oder Silizium (Si).
Anwendung
Der Fotowiderstand befindet sich in Gleich- und Wechselstromkreisen im Einsatz. Er wird als Beleuchtungsstärkemesser und Dämmerungsschalter verwendet.
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4.2.9
Theorie
Halbleiterphysik
Heissleiter
Heissleiter sich Halbleiterwiderstände, die temperaturabhängig sind. Sie leiten bei höheren Temperaturen besser als bei niedriger Temperatur. Sie haben einen stark negativen Temperaturkoeffizienten TK. Deshalb werden sie auch NTC-Widerstände genannt. Heissleiter werden aus Eisenoxid
(Fe2O3), ZnTiO4 und Magnesiumdikromat (MgCr2O4) gefertigt.
Schaltzeichen:
NTC
Anwendungen:
• Temperaturmessung
• Arbeitspunkteinstellung
• Anzugsverzögerung (in Reihe zum Relais)
• Abfallverzögerung (parallel zum Relais)
4.2.10 Kaltleiter
Kaltleiter sind Halbleiterwiderstände, die temperaturabhängig sind. Bei dieser Art von Halbleiter
erhält man durch die Gitteranordnung der Atome je ein freies Valenzelektron pro Atom. Diese Elektronen sind leicht beweglich. An einer Stromquelle angeschlossen, bewegen sich die freien Valenzelektronen zum Pluspol und bewirken die elektrische Leitfähigkeit.
An einem Versuch kann das gezeigt werden:
Der Widerstandswert eines Drahtes wird über eine Strom- und Spannungsmessung bestimmt. Anschliessend wird der Draht erhitzt und die Widerstandsbestimmung wiederholt.
Widerstandsbestimmung vor dem Erhitzen:
U = 0,5 V
I=4A
R = 0,125 Ohm
Widerstandsbestimmung nach dem Erhitzen:
U=1V
I=3A
R = 0,33 Ohm
Das Ergebnis dieses Versuches ergibt, dass Kaltleiter im kalten Zustand einen kleinen Widerstand, also eine gute elektrische Leitfähigkeit haben. Beim Erhitzen nimmt die Leitfähigkeit ab,
der Widerstand wird grösser (vgl. Messergebnisse).
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Theorie
Halbleiterphysik
Nahezu alle Metalle sind Kaltleiter, da sie bei niedrigeren Temperaturen besser leiten. Kaltleiter haben
einen positiven Temperaturkoeffizienten und werden deshalb auch PTC-Widerstände genannt.
Schaltzeichen:
PTC
Anwendungen:
• Flüssigkeitsniveaufühler
• Temperaturregelung für eine Heizung
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Theorie
5
Transistor
5.1
Allgemeines
Transistor
Bipolare Transistoren bestehen aus einer npn- oder pnp-Schichtfolge. Sie werden überwiegend aus
Silizium gefertigt. Frühere, aus Germanium, gefertigte Transistoren werden nur noch für Sonderzwecken verwendet.
Transistoren aus Mischkristallen (z. B. Galliumarsenid) könnten in der Zukunft mehr an Bedeutung
erlangen.
Unipolare Transistoren arbeiten mit gleichgepolten pn-Übergängen. Der Stromfluss wird zwischen
Drain und Source durch die an Gate angelegte Spannung gesteuert. Je nach Spannung kann der Widerstandswert dieses Kanals vergrössert oder verkleinert werden.
Bipolare
Transistoren
Unipolare Transistoren
JFET
PNP
NPN
MOS-FET
P-Kanal
P-Kanal
N-Kanal
N-Kanal
VerVerAnAnararreicherungsreicherungsmungsmungstyp
typ
typ
typ
5.2
Bipolarer Transistor
Der Transistor besteht aus 2 gegeneinander geschalteten PN-Übergängen.
Aufbau
Dotierungsfolge
Schaltzeichen und Potentialverteilung
N
P
N
P
N
In der Praxis ist die mittlere Schicht im
Vergleich zu den äusseren Schichten sehr
dünn.
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P
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Theorie
Transistor
UCE = Kollektor-Emitter-Spannung
UBE = Basis-Emitter-Spannung (Schwellwert)
IC = Kollektorstrom
IB = Basisstrom
1. Der Kollektorstrom IC fliesst nur, wenn auch ein Basisstrom IB fliesst.
2. Wird der Basisstrom IB verändert, nimmt auch der Kollektorstrom IC einen anderen Wert an.
Der Transistor wirkt dabei wie ein elektrisch gesteuerter Widerstand.
3. Der Kollektorstrom IC ist um ein vielfaches von 20 bis 10’000 mal grösser als der Basisstrom
IB. Diesen Grössenunterschied nennt man Stromverstärkung B, und lässt sich aus dem Verhältnis IC zu IB berechnen.
4. Ein Basisstrom kann erst dann fliessen, wenn die Spannung an der Basis-Emitter-Strecke den
Schwellwert von 0,6 V erreicht hat.
5. Die Stromverstärkung bleibt bei schwankender Kollektor-Emitterspannung UCE weithin konstant, sofern diese Spannung über 4 V liegt.
6. Mittels einer Hilfsspannung kann der Schwellwert vorab eingestellt werden. Dieses Vorgehen
wird als Arbeitspunkteinstellung bezeichnet. Um die eingestellte Spannung kann nun der Basisstrom den Kollektorstrom steuern.
Funktionsweise eines Transistors:
Durch das Anlegen einer Spannung UBE von 0,7 V, ist die untere Diode in
Durchlassrichtung geschaltet. Die Elektronen gelangen in die p-Schicht und
werden von dem Plus-Pol der Spannung UBE angezogen. Da die p-Schicht
sehr klein ist, wird nur ein geringer Teil der Elektronen angezogen.
Der grösste Teil der Elektronen bewegt sich weiter in die obere Grenzschicht. Dadurch wird diese leitend und der Plus-Pol der Spannung UCE
zieht die Elektronen an. Es fliesst ein Kollektorstrom IC.
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5.3
Theorie
Transistor
Transistor-Kennlinien
Steuerkennlinienfeld IC = f (IB)
Ausgangskennlinienfeld IC = f (UCE)
Eingangskennlinienfeld IB = f (UBE)
Eingangskennlinienfeld IB = f (UBE)
Es handelt sich dabei um eine Diodenkennlinie, der PN-Schicht
zwischen Basis und Emitter. Sie bestimmt bei welcher Basisvorspannung der Transistor leitend wird.
Ausgangskennlinienfeld IC = f (UCE)
Das Ausgangskennlinienfeld gibt den Zusammenhang zwischen Kollektorstrom IC und Kollektor-Emitter-Spannung UBE bei verschiedenen Basisströmen an.
Jede Kennlinie gilt für einen bestimmten Basisstrom
Steuerkennlinienfeld IC = f (IB)
Aus der Darstellung IC = f (IB) kann die Stromverstärkung direkt aus der Steilheit der Kennlinie abgelesen werden:
• je steiler die Kennlinie, desto grösser die Stromverstärkung B und ß
• bei gekrümmten Kennlinien entstehen Verzerrungen im Ausgangssignal
• bei gekrümmten Kennlinien ist die Verstärkung nicht konstant
Die Steuerkennlinie wird auch als Übertragungskennlinie bezeichnet.
• Gleichstromverstärkung B
•
Wechselstromverstärkung ß
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5.4
Theorie
Transistor
Arbeitspunkteinstellung
Damit eine Transistorschaltung funktioniert, müssen Spannungs- und Stromwert richtig eingestellt
werden. So müssen je nach Transistortyp Kollektor- und Basistromwerte beachtet werden. Diese Werte werden als Arbeitspunkte bezeichnet. Je nach Anwendung des Transistors und Ort des Betriebs,
kann die Temperatur auf die Transistorschaltung einwirken und den Arbeitspunkt verschieben.
Das Verschieben des Arbeitspunktes bedeutet für die Ausgangsspannung der Schaltung, nichtlineare
Verzerrungen.
5.5
Arbeitspunkteinstellung durch Basis-Vorwiderstand
Eigenschaften der Schaltung:
•
•
•
Da RV in der Regel sehr hochohmig ist, wird bei Erwärmung des Transistors, der Basisstrom IB konstant
bleiben.
Der Widerstand RV hat keinen nennenswerten Einfluss
auf den Eingangswiderstand der Schaltung.
Diese Schaltung eignet sich als Mikrofonverstärker.
Wichtig sind dabei die zwei Koppelkondensatoren.
Formeln zur Berechnung des Vorwiderstandes RV:
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5.6
Theorie
Transistor
Betriebsarten der Transistor-Verstärker
A-Betrieb
Ein Transistor-Verstärker im A-Betrieb hat nur geringe Spitze-Spitze-Ausdehnung. Dies wird durch
Aufteilung der Betriebsspannung bestimmt. Dabei wird die Betriebsspannung zwischen Kollektorwiderstand und Transistor aufgeteilt. Auf diese Weise fällt die Hälfte der Leistung, die vom Verstärker
abgegeben wird, auch im Verstärker selber in Wärme an. Aus diesem Grund eignet sich ein Verstärker
im A-Betrieb nur als Kleinsignal- oder Vorverstärker.
AB-Betrieb
Der AB-Betrieb wird bei Gegentakt-Endstufen verwendet, bei denen mit vorgeschalteten Dioden durch
eine Basisvorspannung die Transistoren leitend gemacht werden.
B-Betrieb
Der B-Betrieb wird bei Gegentakt-Endstufen durch den AB-Betrieb ersetzt, da sonst durch die fehlende Basisvorspannung Übernahmeverzerrungen entstehen. Die Transistoren im B-Betrieb werden voll
gesperrt und voll leitend gemacht.
C-Betrieb
Der C-Betrieb wird nur im Impulsbetrieb bei Radar verwendet und hat sonst keine Bedeutung.
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FP
Seite 21
Elektronikkurs
5.7
Theorie
Transistor
Transistor-Schaltungen
Grundschaltungen
Schaltung
Eingangswiderstand re
Ausganswiderstand ra
Spannungsverstärkung vU
Stromverstärkung B
Phasenverschiebung
Temperaturabhängigkeit
Leistungsverstärkung vP
Anwendung
5.8
Emitter
Basis
Kollektor
100 Ohm ... 10 kOhm
10 Ohm ... 100 Ohm
10 kOhm ... 100 kOhm
1 kOhm ... 10 kOhm
10 kOhm ... 100 kOhm
10 Ohm ... 100 Ohm
20 ... 100 fach
100 ... 1000 fach
1
10 ... 50 fach
<1
10 ... 4000 fach
180°
0°
0°
gross
klein
klein
sehr gross
mittel
klein
NF- und HF-Verstärker
Leistungsverstärker
HF-Verstärker
Schalter
Anpassungsstufen
Impedanzwandler
Emitterschaltung
In dieser Schaltung ist der Emitteranschluss der Bezugspunkt für das Ein- und Ausgangssignal. Sie wird
deshalb Emitterschaltung genannt. Der Widerstand RE
wird nur zur thermischen Stabilisierung benötigt und
hat für die Funktion der Emitterschaltung keine Bedeutung.
Funktionsweise der einzelnen Bauteile:
Über den Spannungsteiler R1 und R2 erhält der Transistor die Basis-Emitterspannung UBE = 0,7 V. Der
Widerstand RC begrenzt den Kollektorstrom IC für den Transistor. Die Koppelkondensatoren CK trennen das Wechselstromsignal von der Gleichspannung.
Während des Betriebs der Schaltung bildet sich in der Schaltung
eine Mischspannung; ein Gleichspannungsanteil wird vom Wechselspannungsanteil überlagert. Es findet dabei eine Phasenverschiebung um 180° zwischen dem Eingangs- und Ausgangssignal statt.
Der Eingangswiderstand re und der Ausgangswiderstand ra sind
jeweils hochohmig.
Grundlagen.doc
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Theorie
Transistor
Berechnung des Kollektorwiderstandes
Gleichstromverstärkung
Der Transistor verstärkt den Gleichstromanteil der Eingangsspannung UE. Die Gleichstromverstärkung
beträgt 10...50.
Querstrom
Basis-Emitter-Widerstand
Anwendung:
•
•
•
5.9
NF- und HF-Verstärker
Leistungsverstärker
Schalter
Emitterschaltung mit Wechselstrom-Gegenkopplung
Da die Temperaturabhängigkeit der Emitterschaltung
gross ist, hat das eine Erwärmung des Transistors zur
Folge. Gleichzeitig steigen Basisstrom, Kollektorstrom und Emitterstrom an (IE = IC + IB). Durch den
Emitterwiderstand RE fällt an ihm eine Spannung ab,
die UBE sinken lässt. Dadurch wird der Basisstrom
weniger. Der Kollektorstrom und Emitterstrom sinken und die Emitterspannung wird weniger. Die UBE
wird wieder steigen. Diese Reglung tritt bei jeder
Stromänderung im Transistor auf, und wird als
Stromgegenkopplung bezeichnet. Durch die Stromgegenkopplung entsteht eine Rückkopplung des
Wechselstrom-Eingangssignals. Dadurch ergeben sich folgende Eigenschaften der Schaltung.
•
•
•
•
Es entsteht ein sauberes, verzerrungsfreies Ausgangssignal.
Die Spannungsverstärkung sinkt.
Die Spannungsverstärkung kann von RC und RE festgelegt werden.
Der Eingangswiderstand re der Schaltung steigt.
Grundlagen.doc
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Elektronikkurs
Theorie
Transistor
Emitterschaltung ohne Gegenkopplung:
Der Kondensator CE hat dabei keinen Einfluss auf die Gleichstromeinstellungen. Der Kondensator CE
führt zu einem wechselstrommässigen Kurzschluss am Widerstand RE, der den Ausgangswiderstand
auf wenige Ohm verringert.
5.10
Basisschaltung
In dieser Schaltung ist der Basisanschluss der Bezugspunkt für das Ein- und Ausgangssignal. Sie wird
deswegen auch Basisschaltung genannt.
•
•
•
•
5.11
Die Basisschaltung hat folgende Eigenschaften:
• Die Arbeitspunkteinstellung entspricht grundsätzlich der Emitterschaltung.
• Die Basisschaltung eignet sich für die Verstärkung von Hochfrequenzsignalen.
• Die Stromverstärkung B beträgt ungefähr 1.
Eine Phasenverschiebung zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung tritt nicht auf.
Der Eingangswiderstand re ist niederohmig.
Der Ausgangswiderstand ra ist hochohmig.
Die Spannungsverstärkung vu beträgt 100...1000.
Kollektorschaltung
In dieser Schaltung ist der Kollektoranschluss
der Bezugspunkt für das Ein- und Ausgangssignal. Sie wird deswegen Kollektorschaltung
genannt. Eine Phasenverschiebung zwischen
der Eingangsspannung UE und der Ausgangsspannung UA tritt nicht auf.
Eingangswiderstand:
Die Schaltung hat einen grossen Eingangswiderstand re.
Ausgangswiderstand:
Die Schaltung hat einen kleinen Ausgangswiderstand ra.
Spannungsverstärkung:
Die Spannungsverstärkung vu beträgt 1. Dadurch eignet sich die Kollektorschaltung
besonders als Impedanzwandler zwischen hochohmigen Signalquellen und niederohmigen Verbrauchern.
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Theorie
6
Einführung in die Digitaltechnik
6.1
Grundbegriffe
Einführung in die Digitaltechnik
In der Digitaltechnik werden Informationen, wie Meldungen, Daten, Befehle usw., zahlenmässig (lat.
numerisch) erfasst und verarbeitet. Digital ist in diesem Sinne von dem englischen Wort digit, zu
deutsch Ziffer oder Zahl, herzuleiten. Eine digitale Anzeige hat z. B. eine Uhr, bei der die Zeit in Ziffern statt durch die Zeigerstellung angezeigt wird.
Die Grundprinzipien dieser Technik sind so einfach, dass der Lernende oft zunächst aufgrund dieser
Einfachheit und wegen der ungewohnten Denkweise einige Schwierigkeiten bei der Einarbeitung zu
bewältigen hat. Man vermutet meist mehr als tatsächlich dahintersteckt. Sind die Grundprinzipien aber
erst einmal richtig erfasst, so wird alles Folgende wegen des logischen Aufbaues leicht verständlich.
6.1.1
Analoge und digitale Signale
Die Begriffe ‚analog' und ‚digital' kommen aus der Rechentechnik und wurden dann für die gesamte
Elektrotechnik übernommen. Wie Sie wissen, gibt es Analog-Rechner und Digital-Rechner. Der Analog-Rechner benötigt zur Darstellung von Zahlenwerten eine Analogiegrösse, d.h., eine
,entsprechende' Grösse. Meist verwendet man als Analogiegrösse die elektrische Spannung. Es wird
eine Entsprechung, d.h., ein Massstab, gewählt.
Beispiel:
Der Wert 1 entspricht 1 Volt. Für die Zahl 1,36 ergibt sich ein Spannungswert von 1,36 Volt.
Der altbewährte Rechenschieber ist im Prinzip auch ein Analog-Rechner. Die Analogiegrösse ist hier
die Länge. Spricht man von Analog-Rechnern, so meint man allerdings immer elektronische AnalogRechner. Die von diesen Rechnern verarbeiteten Signale werden analoge Signale genannt.
Analoge Signale sind Werte der Analogiegrösse – meistens Spannungen –, die innerhalb eines zulässigen Bereiches jeden beliebigen Wert annehmen dürfen.
Beispiel für ein analoges Signal
Grundlagen.doc
Der Begriff der analogen Darstellung hat auch in
der Messtechnik Eingang gefunden.
Zeigermessgeräte
(z.B.
Spannungsmesser,
Strommesser) zeigen mit Hilfe einer Analogiegrösse an. Die Analogiegrösse ist der Winkel oder
der Bogen auf der Skala. Jeder beliebige Wert
innerhalb der Skala ist grundsätzlich möglich.
Eine andere Frage ist es, wie genau man diesen
Wert ablesen kann.
Übliche Zeigeruhren könnte man grundsätzlich
‚Analog-Uhren' nennen.
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Elektronikkurs
Theorie
Einführung in die Digitaltechnik
Wenden wir uns nun den digitalen Signalen zu. Digital kommt von digitus (lat.: der Finger). Demnach
wäre ein Digital-Rechner jemand, der mit Fingern rechnet. Wer aber mit Fingern rechnet, kennt nur
zwei Zustände ,Finger vorhanden‘ und ‚Finger nicht vorhanden‘. Irgendwelche Zwischenwerte gibt es
nicht. Ein einfacher Rechner nach dem Digital-Prinzip ist auch der altbekannte Rechenrahmen. Hier
gibt es ebenfalls nur zwei Zustände: ‚Kugel vorhanden‘ und ‚Kugel nicht vorhanden'. Jede Zahl wird
z.B. durch die Anzahl der Kugeln dargestellt. Man sagt, die Zahl ist gequantelt.
Wenn wir aber von einem Digitalrechner sprechen, so meinen wir einen elektronischen Digitalrechner.
Und auch dieser kennt nur zwei Zustände, z.B. ‚Spannung vorhanden‘ und ‚Spannung nicht vorhanden‘. Ein digitales Signal besteht grundsätzlich aus zwei voneinander unterschiedlichen Zuständen,
z.B. aus zwei Spannungszuständen. Diese Zustände können in beliebigem Rhythmus aufeinander folgen. Das nachfolgende Bild zeigt den zeitlichen Verlauf eines digitalen Signals.
U [V]
4V
t [ms]
0V
1
2
3
Der eine Zustand des digitalen Signals des obenstehenden Signals ist 0 V, der andere Zustand ist
+4 V. Man kann statt der Spannungswerte Stromwerte verwenden oder magnetische Zustände, ja, ganz
allgemein zwei beliebige darstellbare Zustände. Mit einfachen elektronische Bauelemente wie Relais,
Dioden, Schalttransistoren, können zwei Zustände besonders einfach realisiert werden (spannungslos
oder an Spannung liegend).
Digitale Signale sind aus zwei verschiedenen Zuständen, z.B. aus zwei verschiedenen Spannungswerten, aufgebaut. Andere Zustände sind nicht erlaubt.
In der Messtechnik kennt man digitale Messgeräte. Genauer müsste man sagen ‚digital anzeigende‘
Messgeräte. Diese Messgeräte zeigen das Ergebnis mit Ziffern, also als Dezimalzahl, an. Irgendwelche
Zwischenwerte sind nicht möglich. Wird eine Stelle nach dem Komma angezeigt, so kann man über
die zweite Stelle nach dem Komma nichts aussagen bzw. muss eine Ab- oder Aufrundung annehmen.
Kernstück eines digital-anzeigenden Messgerätes ist ein Zähler. Die angezeigte Zahl ist meist die Anzahl der Impulse eines digitalen Signals, das durch die Messung gewonnen wurde.
Eine Uhr, welche die Zeit mit Hilfe von Ziffern anzeigt, wird dementsprechend Digitaluhr genannt.
Will man Zahlen mit digitalen Signalen darstellen, so benötigt man bestimmte Verabredungen, sogenannte Kodes. Sicherlich könnte man eine Zahl durch die Anzahl der Impulse darstellen (z.B. Zahl ‚10'
entspricht 10 Impulsen), dies würde jedoch bei grossen Zahlen zu Schwierigkeiten führen.
Grundlagen.doc
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6.1.2
Theorie
Einführung in die Digitaltechnik
Logische Zustände ‚0‘ und ‚1‘
Die beiden Zustände eines digitalen Signals können zwei logischen Zuständen zugeordnet werden. Die
logischen Zustände werden wie folgt gekennzeichnet:
Erster logischer Zustand: 0
Zweiter logischer Zustand: 1
Mit Hilfe der logischen Zustände kann ein Sachverhalt unabhängig von irgendwelchen Schaltungen
dargestellt werden. Die Zuordnung der logischen Zustände zu den digitalen Zuständen kann grundsätzlich beliebig erfolgen. Man kann z.B. die logische 0 der Spannung 0 V zuordnen und die logische 1 der
Spannung + 5 V, die umgekehrte Zuordnung ist ebenfalls möglich. Selbstverständlich kann man auch
Zuordnungen zu Stromwerten vornehmen.
Einige Hersteller geben in ihren Datenbüchern digitale Zustände mit L und H an. L steht für ‚Low‘
(engl.: niedrig), und H für ‚High‘ (engl.: hoch). Dies sind jedoch Pegelangaben, auf die an dieser Stelle
nicht näher eingegangen werden soll.
6.2
Logische Verknüpfungen
6.2.1
Grundfunktionen
Anhand der nachfolgenden Bilder lässt sich leicht einsehen, dass es nur 3 logische Grundoperationen
gibt und geben kann: Man kann (z.B. elektromechanische) Schalter, mit denen sich die logischen
Grundoperationen darstellen lassen, in Reihe oder parallelschalten und man kann sie schliesslich auch
als Öffner ausführen. Andere Möglichkeiten gibt es nicht. Durch Kombination dieser drei Grundschaltungen lassen sich alle Schaltnetze aufbauen.
Es gibt nur 3 logische Grundschaltungen:
a) UND (AND)
Grundlagen.doc
b) ODER (OR)
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c) NICHT (NOT)
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6.2.2
Theorie
Einführung in die Digitaltechnik
UND- Verknüpfung (AND-Verknüpfung)
Schaltzeichen:
Funktion:
Funktionsgleichung:
Nur
wenn
die
Eingänge
A UND B logisch 1 sind, ist Q = A ∩ B
auch der Ausgang Q logisch 1.
Nachbildung mit Transistoren: Wahrheitstabelle:
(Q = A ⋅ B)
Zeitdiagramm:
A
A
B
Q
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
t
B
t
Q
t
UND-Glieder können sehr verschieden aufgebaut sein. Meist werden sie heute als integrierte Halbleiterschaltungen hergestellt. Soll ein UND-Glied dargestellt werden, so ist es unzweckmässig, die vollständige Schaltung aufzuzeichnen. Man verwendet das genormte Schaltzeichen (siehe oben).
UND-Glieder können auch mit drei und mehr Eingängen gebaut werden. Durch jeden zusätzlichen
Eingang verdoppelt sich die Zahl der Fälle in der Wahrheitstabelle, da der zusätzliche Eingang wieder
0 oder 1 sein kann. Bei 3 Eingängen ergeben sich 8 Fälle, bei 4 Eingängen 16 Fälle, bei 5 Eingängen
32 Fälle und so weiter.
Zahl der Fälle = 2n (n = Anzahl Eingänge)
Bei der Aufstellung einer Wahrheitstabelle ist die Reihenfolge, in der die Fälle aufgeführt werden,
grundsätzlich beliebig. Man muss aber alle Fälle berücksichtigen und darf keinen Fall doppelt haben.
Damit man sich die Arbeit nicht unnötig schwer macht, empfiehlt sich folgendes Schema:
Ein Eingang (z.B. B) wechselt von Fall zu Fall den Zustand. Der nächste Eingang (z.B. A) wechselt
jeweils nach 2 Fällen den Zustand. Der dritte Eingang (z.B. C) wechselt nach jeweils 4 Fällen den Zustand. Der vierte Eingang (z.B. D) wechselt nach jeweils 8 Fällen den Zustand und so fort. Dieses System wurde oben angewendet.
Grundlagen.doc
FP
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6.2.3
Theorie
Einführung in die Digitaltechnik
ODER- Verknüpfung (OR-Verknüpfung)
Schaltzeichen:
Funktion:
Funktionsgleichung:
Nur
wenn
die
Eingänge
A ODER B logisch 1 sind, ist Q = A ∪ B
auch der Ausgang Q logisch 1.
Nachbildung mit Transistoren: Wahrheitstabelle:
(Q = A + B)
Zeitdiagramm:
A
A
B
Q
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
t
B
t
Q
t
Wie die UND-Glieder, so können auch die ODER-Glieder sehr verschieden aufgebaut sein. Sie werden überwiegend als integrierte Halbleiterschaltungen hergestellt. Soll ein ODER-Glied dargestellt
werden, so ist es unzweckmässig, die vollständige Schaltung aufzuzeichnen. Man verwendet das genormte Schaltzeichen (siehe oben).
ODER-Glieder werden auch mit drei und mehr Eingängen gebaut. Bezüglich Verdoppelung der Zahl
der Fälle durch einen zusätzlichen Eingang und der Reihenfolge innerhalb der Wahrheitstabelle gelten
dieselben Gesetzmässigkeiten wie bei den UND-Gliedern.
Grundlagen.doc
FP
Seite 29
Elektronikkurs
6.2.4
Theorie
Einführung in die Digitaltechnik
NICHT- Verknüpfung (NOT-Verknüpfung)
Schaltzeichen:
Funktion:
Funktionsgleichung:
Der Ausgang Q hat stets den
entgegengesetzten Zustand des Q = A
Eingangs A.
Nachbildung mit Transistor:
Wahrheitstabelle:
(
= NICHT
)
Zeitdiagramm:
A
A
Q
0
1
1
0
t
Q
t
Das NICHT-Glied hat nur einen Eingang. Somit sind nur zwei Fälle möglich. Mit diesen ergibt sich die
obenstehende Wahrheitstabelle. Am Ausgang liegt immer der entgegengesetzte Zustand des Eingangs.
Diese logische Funktion nennt man Verneinung, Negation oder Inversion (Umkehrung). Eine Schaltung,
die diese logische Funktion erzeugt, wird NICHT-Glied, NEGATIONS-Glied oder Inverter genannt.
NICHT-Glieder werden ebenfalls wie UND-Glieder und ODER-Glieder vorwiegend als integrierte
Halbleiterschaltungen hergestellt. Das genormte Schaltzeichen eines NICHT-Gliedes ist oben gezeichnet. Der Punkt an der Ausgangsseite bedeutet Verneinung.
Ab und zu steht der Verneinungspunkt auch an der Eingangsseite. Es ist gleich, ob die Verneinung nun
ausgangsseitig oder eingangsseitig erfolgt. In der Funktionsgleichung erfolgt die Angabe der Verneinung durch einen übergesetzten Strich.
Grundlagen.doc
FP
Seite 30
Elektronikkurs
6.2.5
Theorie
Einführung in die Digitaltechnik
NAND- Verknüpfung
Schaltzeichen:
Funktion:
Funktionsgleichung:
Am Ausgang Q liegt immer dann
der Zustand 1, wenn nicht an Q = A ∩ B
allen Eingängen der Zustand 1
liegt.
Nachbildung mit Grundfunktion: Wahrheitstabelle:
(Q = A ⋅ B)
Zeitdiagramm:
A
A
B
Q
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
t
B
t
Q
t
Logische Verknüpfungen, der 3 sehr häufig gebrauchten Grundfunktionen, werden zu einem einzigen
Baustein zusammengefasst und als integrierte Schaltung angeboten. Eine weitere häufig benötigte
Verknüpfung ergibt sich durch Zusammenschalten eines UND-Gliedes mit einem NICHT-Glied.
Nach dem amerikanischen Sprachgebrauch wird das UND-NICHT-Glied dann als NAND-Glied bezeichnet.
NAND-Glieder werden auch mit drei und mehr Eingängen gebaut. Bezüglich Verdoppelung der Zahl
der Fälle durch einen zusätzlichen Eingang und der Reihenfolge innerhalb der Wahrheitstabelle gelten
dieselben Gesetzmässigkeiten wie bei den obgenannten Gliedern.
Grundlagen.doc
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Seite 31
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6.2.6
Theorie
Einführung in die Digitaltechnik
NOR- Verknüpfung
Schaltzeichen:
Funktion:
Funktionsgleichung:
Am Ausgang Q liegt immer nur
dann der Zustand 1, wenn an Q = A ∪ B
keinem der Eingänge der Zustand 1 anliegt.
Nachbildung mit Grundfunktion: Wahrheitstabelle:
(Q = A + B)
Zeitdiagramm:
A
A
B
Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
t
B
t
Q
t
Die Zusammenschaltung eines ODER-Gliedes mit einem NICHT-Glied ergibt ebenfalls eine oft verwendete Verknüpfung.
Nach dem amerikanischen Sprachgebrauch wird das ODER-NICHT-Glied dann als NOR-Glied bezeichnet.
NOR-Glieder werden auch mit drei und mehr Eingängen gebaut. Bezüglich Verdoppelung der Zahl der
Fälle durch einen zusätzlichen Eingang und der Reihenfolge innerhalb der Wahrheitstabelle gelten
dieselben Gesetzmässigkeiten wie bei den obgenannten Gliedern.
Grundlagen.doc
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Seite 32
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6.3
Theorie
Einführung in die Digitaltechnik
Positive Logik bzw. negative Logik
Mit den Pegelangaben L und H wird die elektrische Arbeitsweise einer Schaltung beschrieben. Will
man nun die logische Arbeitsweise einer Schaltung beschreiben, muss man die Pegelangaben den logischen Zuständen zuordnen.
Oft wird folgende Zuordnung getroffen:
Logische 0 entspricht niedrigem Pegel (L)
Logische 1 entspricht hohem Pegel (H)
Bei dieser Zuordnung sagt man, man arbeitet mit positiver Logik.
Natürlich kann die Zuordnung auch so erfolgen:
Logische 0 entspricht hohem Pegel (H)
Logische 1 entspricht niedrigem Pegel (L)
Bei dieser Zuordnung sagt man, man arbeitet mit negativer Logik.
Ein gemischtes Arbeiten mit positiver Logik und negativer Logik verwirrt normalerweise. Deshalb
wird im weiteren Verlauf unserer Betrachtungen stets die positive Logik verwendet werden.
Grundlagen.doc
FP
Seite 33
Elektronikkurs
6.4
Schaltungsanalyse
6.4.1
Allgemeines
Theorie
Einführung in die Digitaltechnik
Logische Glieder werden selten einzeln eingesetzt. Meist besteht eine Digitalschaltung aus recht vielen
logischen Gliedern, die gemeinsam die gewünschte Verknüpfung erzeugen. Es ist also für die Praxis
ausserordentlich wichtig, Zusammenschaltungen von logischen Gliedern analysieren zu können. Das
heisst, man muss feststellen können, welche Verknüpfungen erzeugen einzelne Schaltungsteile und
welche Verknüpfung erzeugt die Gesamtschaltung. Das Feststellen dieser Verknüpfungen bezeichnet
man als Schaltungsanalyse.
6.4.2
Soll-Verknüpfung
Welche Verknüpfung erzeugt eine Schaltung? Bei der Festlegung der Sollverknüpfung geht man davon aus, dass alle Verknüpfungsglieder einwandfrei arbeiten. Am einfachsten ermittelt man die Verknüpfung mit Hilfe der Wahrheitstabelle. Dies soll an einem Beispiel gezeigt werden. Das untenstehende Bild zeigt eine einfache Digitalschaltung, die aus zwei logischen Gliedern besteht. Da zwei Eingänge vorhanden sind, enthält die Wahrheitstabelle 4 Fälle. Die Eingangszustände werden entsprechend unseren Schema eingetragen.
Digitalschaltung:
Wahrheitstabelle zur Schaltung:
A
B
Z=A
Q = B⋅Z
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
Zur Vereinfachung führen wir die Hilfsvariable Z ein. Zuerst sollen nun die Zustände des Ausganges Z
des Nicht-Gliedes festgestellt werden. Am Ausgang des Nicht-Gliedes liegt stets der entgegengesetzte
Zustand wie an seinem Eingang. Somit kann die Wahrheitstabelle für Z problemlos ausgefüllt werden.
Die Und-Verknüpfung erfolgt jetzt natürlich zwischen der Hilfsvariablen Z und dem Eingang B. Das
Resultat dieser Verknüpfung tragen wir nun in die letzte Spalte ein. Damit ist die Sollverknüpfung für
diese Schaltung ermittelt.
Grundlagen.doc
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Seite 34
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6.4.3
Theorie
Einführung in die Digitaltechnik
Bestimmung der Funktionsgleichungen einer Schaltung
Die Funktion einer digitalen Schaltung lässt sich ausser in der Wahrheitstabelle auch mit einer Funktionsgleichung beschreiben. Nachdem es nur drei verschiedene logische Grundfunktionen gibt, braucht
man für die ‚Formelsprache‘ auch nur drei Zeichen um diese Funktionen zu definieren.
Funktion
Zeichen
Anwendung
NICHT
A, A ∩ B
UND
∩ bzw. ·
A ∩ B bzw. A ⋅ B
ODER
∪ bzw. +
A ∪ B bzw. A + B
Die Verknüpfung, welche eine aus mehreren logischen Gliedern bestehende Schaltung erzeugt, kann
ebenfalls als schaltalgebraische Gleichung ausgedrückt werden. Dies soll am Beispiel der nachfolgenden Schaltung gezeigt werden.
Die Funktionsgleichung für den Ausgang Q lautet: Q = A⋅B⋅(C+D)
Eine Gleichung, die die logische Funktion einer Schaltung wiedergibt, wird Funktionsgleichung genannt
Grundlagen.doc
FP
Seite 35
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6.4.4
Theorie
Einführung in die Digitaltechnik
Darstellung der Schaltung nach der Funktionsgleichung
Kennt man die schaltalgebraische Gleichung einer Verknüpfung, so kann man nach dieser Gleichung
die Schaltung aufzeichnen.
Beispiel:
(
Q = (A ∩ B) ∪ A ∩ B
)
Lösung:
Zunächst muss eine Und-Verknüpfung von A und B gebildet werden. Dazu benötigt man ein UndGlied. Weiter müssen A und B negiert werden. Dies geschieht mit zwei Nicht-Gliedern. Die beiden
negierten Ausgänge werden ebenfalls mit einem Und-Glied verknüpft. Als letztes sind die Ausgänge
der beiden Und-Glieder durch ein Oder-Glied miteinander zu verknüpfen. Die gesuchte Schaltung
sieht folgendermassen aus:
A
A
A∩B
B
Grundlagen.doc
A∩B
(
Q = (A ∩ B) ∪ A ∩ B
)
B
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Seite 36
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6.5
Theorie
Einführung in die Digitaltechnik
Mengenoperationen
Durchschnitt zweier Mengen (Schnittmenge)
Die Schnittmenge zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B
gehören. Symbolische Schreibweise:
A ∩ B = {x x ∈ A und x ∈ B}
Vereinigung zweier Mengen (Vereinigungsmenge)
Die Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B oder
zu beiden Mengen gehören. Symbolische Schreibweise:
A ∪ B = {x x ∈ A oder x ∈ B}
6.6
Rechenregeln der Digitaltechnik
1.
Negation
Q=A⋅B → Q= A⋅B
2.
Doppelte Negation
Q = A⋅B → Q = A⋅B
3.
Vorrangigkeit und Bindungsstärke
• UND bindet stärker als ODER
• Klammern binden stärker als UND.
• Negationszeichen binden stärker als Klammern.
4.
Auflösen von Klammern
(A ⋅ B) + (C ⋅ D) = A ⋅ B + C ⋅ D
(A + B)⋅ (C + D) = A ⋅ C + A ⋅ D + B ⋅ C + B ⋅ D
(A ⋅ B) + (A ⋅ C ) = A ⋅ (B + C )
(A + B) ⋅ (A + C ) = A + (B ⋅ C)
5.
Gesetze nach De Morgan (Mathematiker)
A⋅B=A + B
A + B= A⋅B
Negationszeichen, die mehrere Variablen einer Funktionsgleichung überspannen, kann man nur
auftrennen, wenn man das Funktionszeichen nach De Morgan wechselt.
Grundlagen.doc
FP
Seite 37
Elektronikkurs
Theorie
Einführung in die Digitaltechnik
0
a
0
Verknüpfung mit Null-Element
Die UND-Verknüpfung der Variablen a mit dem Element 0 entspricht dem 0-Zustand.
a
&
a∩0 = 0
0
a
a
Die ODER-Verknüpfung der
Variablen a mit dem Element 0
ist nur von der Variablen a abhängig.
0
a
a∪0 = a
≥1
0
1
a
a
Verknüpfung mit Eins-Element
Die UND-Verknüpfung der Variablen a mit dem Element 1 ist nur
von der Variablen a abhängig.
a
&
a ∩1= a
1
a
1
Die ODER-Verknüpfung der
Variablen a mit dem Element 0
ist nur von der Variablen a abhängig.
1
a
1
Grundlagen.doc
a ∪1= 1
≥1
FP
Seite 38
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Theorie
Gleichmächtigkeit
a
Ist die Variable a mit der gleichen
Variablen a UND-verknüpft, lässt
sich diese Schaltung auf eine einzige Variable reduzieren.
a
a
a
a
Einführung in die Digitaltechnik
a
a
a∩a = a
&
a
a
Ist die Variable a mit der gleichen
Variablen a ODER-verknüpft,
lässt sich diese Schaltung ebenfalls auf eine einzige Variable
reduzieren.
a
a
a
Komplementgesetz
Da die Variablen sich entgegengesetzt verhalten, befindet sich
der Ausgang immer im 0Zustand.
a∪a = a
≥1
a
a
a
aa
a
0
&
a∩a = 0
a
1
Da a und a sich entgegengesetzt
verhalten, ist hier die ODERBedingung stets erfüllt. Der Ausgang ist immer im 1-Zustand.
a
a
≥1
a
Grundlagen.doc
FP
a∪a =1
Seite 39
Elektronikkurs
Theorie
6.7
Karnaugh-Diagramme
6.7.1
Einführung
Einführung in die Digitaltechnik
Karnaugh-Diagramme dienen der übersichtlichen Darstellung und der Vereinfachung von ODERNormalformen. Sie wurden von Karnaugh und Veitch entwickelt und werden auch als KV-Diagramme
bezeichnet.
6.7.2
Normalformen
Bestimmte vereinbarte Gleichungsformen werden in der Mathematik als Normalformen bezeichnet.
Für bestimmte Zwecke sind Gleichungen in solche Normalformen zu überführen.
6.7.2.1
ODER-Normalform
Die ODER-Normalform, auch disjunktive Normalform genannt, ist die Form einer schaltalgebraischen
Gleichung, in der sogenannte Vollkonjunktionen miteinander durch ODER verknüpft sind.
Unter einer Vollkonjunktion versteht man eine UND-Verknüpfung, in der alle vorhandenen Variablen
einmal vorkommen – entweder negiert oder nicht negiert (Konjunktion = UND-Verknüpfung).
Sind die Variablen A und B vorhanden, so ergeben sich vier mögliche Vollkonjunktionen:
A⋅B
A⋅B
A⋅B
A⋅B
Eine ODER-Normalform besteht aus mehreren Vollkonjunktionen, die durch ODER verknüpft sind.
Sie kann auch aus einer einzigen Vollkonjunktion bestehen.
Alle nur möglichen Verknüpfungsgleichungen lassen sich als ODER-Normalformen darstellen.
Jede ODER-Normalform hat eine enge Beziehung zu einer Wahrheitstabelle. Die Anzahl der 1Zustände in der Ausgangsspalte einer Wahrheitstabelle ist gleich der Anzahl der Vollkonjunktionen
der ODER-Normalform.
Grundlagen.doc
FP
Seite 40
Elektronikkurs
Theorie
Einführung in die Digitaltechnik
6.7.2.2 UND-Normalform
Die UND-Normalform wird auch konjunktive Normalform genannt (von Konjunktion = UNDVerknüpfung). Sie ist eine schaltalgebraische Gleichung, in der sogenannte Volldisjunktionen durch
UND verknüpft sind.
Unter einer Volldisjunktion versteht man eine ODER-Verknüpfung, in der alle vorhandenen Variablen einmal vorkommen – entweder negiert oder nicht negiert (Disjunktion = ODER-Verknüpfung).
Sind die Variablen A und B vorhanden, so ergeben sich vier mögliche Volldisjunktionen:
A+B
A+B
A+B
A+B
Eine UND-Normalform besteht aus mehreren Volldisjunktionen, die durch UND verknüpft sind. Sie
kann auch aus einer einzigen Volldisjunktion bestehen.
Wenn man das Arbeiten mit der ODER-Normalform beherrscht, benötigt man die UND-Normalform
nicht. Eine UND-Normalform kann leicht in eine ODER-Normalform umgerechnet werden.
Beispiel:
(
)(
)
ursprüngliche UND-Normalform
(
)(
)
doppelte Negation (auf beiden Seiten)
(
) (
(
) (
)
Gesetz von De Morgan angewendet
(
) (
)
Negation auf beiden Seiten angewendet
Z = A+B ⋅ A+B
Z = A+B ⋅ A+B
Z = A+B + A+B
Z = A⋅B + A⋅B
Z = A⋅B + A⋅B
Grundlagen.doc
)
Gesetz von De Morgan angewendet
FP
Seite 41
Elektronikkurs
6.7.3
Theorie
Einführung in die Digitaltechnik
KV-Diagramm für 2 Variable
KV-Diagramme können auch als Wahrheitstabellen für Vollkonjunktionen aufgefasst werden.
Ein KV-Diagramm hat stets so viele Plätze, wie Vollkonjunktionen möglich sind.
Bei 2 Variablen sind 4 verschiedene Vollkonjunktionen möglich. Ein KV-Diagramm für 2 Variablen
muss also 4 Plätze haben. An die Ränder des KV-Diagrammes werden die Variablen geschrieben. Jede
Variable muss in negierter und in nichtnegierter Form dargestellt sein.
A
A
A
B
B
KV-Diagramm für
2 Variable (A, B)
B
B
A
KV-Diagramm für
2 Variable (A, B) mit
Eintrag der Vollkonjunktionen
Die an den Rändern eines KV-Diagrammes stehenden Variablen haben Koordinatencharakter. Sie bestimmen, welche Vollkonjunktion in welches Feld gehört. Das Vorhandensein einer Vollkonjunktion
kann durch eine 1 auf dem entsprechenden Platz angegeben werden. Nicht vorhandene Vollkonjunktionen werden durch eine Null auf dem entsprechenden Feld oder durch ein leeres Feld angegeben.
Eine 1 auf einem Platz eines KV-Diagrammes steht für eine Vollkonjunktion. Die Zuordnung der Variablen zu den Koordinaten eines KV-Diagrammes kann beliebig erfolgen.
Beispiel 1 (Eintragen einer ODER-Normalform):
(
)
(
)
Die ODER-Normalform Z = A ⋅ B + (A ⋅ B) + A ⋅ B ist in ein KV-Diagramm einzutragen.
Z
A
A
B
1
1
Lösung für Z = (A ⋅ B) + (A ⋅ B) + (A ⋅ B)
B
1
Grundlagen.doc
FP
Seite 42
Elektronikkurs
Theorie
Einführung in die Digitaltechnik
Beispiel 2 (Ablesen einer ODER-Normalform):
Wie lautet die ODER-Normalform, die im untenstehenden KV-Diagramm dargestellt ist?
Z
A
A
1
B
Lösung: Die ODER-Normalform hat 2 Vollkonjunktionen und lautet
(
) (
Z = A⋅B + A⋅B
)
1
B
6.7.4
Vereinfachungen
Die in einem KV-Diagramm dargestellte ODER-Normalform kann bei Vorliegen bestimmter Bedingungen vereinfacht werden.
Sind Vollkonjunktionen „benachbart“, können sie in „Päckchen“ zusammengefasst werden.
Als benachbart gelten Vollkonjunktionen, deren Plätze mit einer Seite aneinanderstossen. Stossen die
Plätze nur mit einer Ecke aneinander, sind die zugehörigen Vollkonjunktionen nicht benachbart. Bei
KV-Diagrammen mit zwei Variablen dürfen 2 oder 4 benachbarte Vollkonjunktionen zusammengefasst werden.
Sind Vollkonjunktionen „benachbart“, können sie in „Päckchen“ zusammengefasst werden. Der Inhalt
eines Päckchens ergibt sich aus seinen Koordinatenbezeichnungen. Variablen, die als Koordinaten
negiert und nichtnegiert auftreten, entfallen.
Z
A
A
Z
A
B
1
1
B
1
B
1
A
Z
A
1
B
1
B
Z
A
B
Benachbarte Vollkonjunktionen
(Z = B)
A
Benachbarte Vollkonjunktionen
(Z = A)
A
Nicht benachbarte
Vollkonjunktionen
B
1
Grundlagen.doc
Nicht benachbarte
Vollkonjunktionen
B
FP
1
Seite 43
Elektronikkurs
Theorie
Einführung in die Digitaltechnik
Ein Sonderfall ist hier ein Päckchen mit 4 Vollkonjunktionen. Es hat die Koordinaten A, A, B, B . Das
bedeutet, dass die Variablen A und B entfallen. Das Päckchen hat den Inhalt 1. Die Richtigkeit dieser
Angabe lässt sich mit Hilfe der Schaltalgebra nachprüfen.
Z
A
A
B
1
1
B
1
1
KV-Diagramm mit 4
Vollkonjunktionen
(Z = 1)
Z
A
B
1
B
1
A
1
KV-Diagramm mit
mehreren Päckchen
Z = A+B
(
)
In einem KV-Diagramm können mehrere Päckchen gebildet werden. Eine Vollkonjunktion kann in
mehreren Päckchen vorhanden sein.
Bei mehreren Päckchen ergibt sich die vereinfachte Gleichung als ODER-Verknüpfung der einzelnen
Päckcheninhalte.
Um die grösste Gleichungsvereinfachung zu erreichen, sind die Päckchen stets so gross wie möglich
zu bilden.
6.7.5
KV-Diagramm für 3 Variable
Bei 3 Variablen sind 8 verschiedene Vollkonjunktionen möglich. Ein KV-Diagramm für 3 Variablen
muss also 8 Plätze haben. Die Zuordnung der Variablen zu den Koordinaten kann wie beim KVDiagramm für 2 Variable prinzipiell beliebig erfolgen.
A
A
A
A
B
KV-Diagramm für
3 Variable (A, B und C)
B
C
C
C
C
Die dritte Variable C muss so wie oben angegeben eingetragen werden. Würde man die beiden linken
Platzseiten mit C und die beiden rechten Platzseiten mit C beschriften, hätte man für einige Vollkonjunktion doppelte Plätze und für andere gar keine.
Für KV-Diagramme mit 3 Variablen gelten die Regeln, die für KV-Diagramme mit 2 Variablen aufgestellt worden sind, mit folgenden Ergänzungen:
Grundlagen.doc
FP
Seite 44
Elektronikkurs
Theorie
Einführung in die Digitaltechnik
Ein Päckchen darf 2, 4 oder 8 benachbarte Vollkonjunktionen umfassen.
Das KV-Diagramm für 3 Variable hat genaugenommen eine zylinderische Form. Daher sind die Plätze, die an gegenüberliegenden Enden derselben Zeile liegen, benachbart.
KV-Diagramme lassen sich zylindrisch sehr schlecht darstellen. Man wählt daher die oben gezeichnete
Darstellung, beachtet aber die erweiterten Nachbarschaftsbedingungen.
Z
A
B
1
A
A
A
1
Erweiterte Nachbarschaftsbedingungen Z = B ⋅ C
(
)
B
C
C
C
C
Z
A
A
A
A
B
1
1
Erweiterte Nachbarschaftsbedingungen Z = C
(
B
Z
1
)
1
C
C
C
C
A
A
A
A
1
1
1
B
KV-Diagramm mit nicht zulässigem Päckchen
1
B
C
C
Grundlagen.doc
C
C
FP
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Elektronikkurs
Theorie
Einführung in die Digitaltechnik
Beispiel 1:
(
) (
) (
) (
)
Die ODER-Normalform Z = A ⋅ B ⋅ C + A ⋅ B ⋅ C + A ⋅ B ⋅ C + A ⋅ B ⋅ C ist in ein KV-Diagramm einzutragen und möglichst weitgehend zu vereinfachen.
A
Z
A
B
A
A
1
1
KV-Diagramm zu Beispiel 1
1
B
1
C
C
C
C
Die vorhandenen Vollkonjunktionen werden durch 1-Angaben gekennzeichnet. Dann erfolgt die Päckchenbildung. Ein Viererpäckchen kann nicht gebildet werden. Es lassen sich aber 3 Zweierpäckchen
bilden. Das gestrichelte Päckchen ist nicht erforderlich, da mit den beiden roten Päckchen schon alle
„1“ erfasst sind. Würde man das gestrichelte Päckchen berücksichtigen, hätte die gefundene Gleichung
nicht die einfachstmögliche Form. Damit ergibt sich die vereinfachte Gleichung:
(
) (
Z = A ⋅ B + B⋅C
)
Beispiel 2:
Wie lautet die ODER-Normalform, die im untenstehenden KV-Diagramm eingezeichnet ist? Diese
ODER-Normalform soll möglichst weitgehend vereinfacht werden. Wie sieht die vereinfachte Gleichung aus?
Z
A
A
A
A
B
1
1
1
1
KV-Diagramm zu Beispiel 2
1
B
C
1
C
C
C
Die ODER-Normalform lautet:
(
) (
)
(
) (
) (
Z = A ⋅ B ⋅ C + A ⋅ B ⋅ C + (A ⋅ B ⋅ C ) + A ⋅ B ⋅ C + A ⋅ B ⋅ C + A ⋅ B ⋅ C
)
Da zwei Viererpäckchen gebildet werden können ergibt sich die vereinfachte Gleichung:
Z = B+C
Grundlagen.doc
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Seite 46
Elektronikkurs
6.7.6
Theorie
Einführung in die Digitaltechnik
KV-Diagramm für 4 Variable
KV-Diagramme für 4 Variable müssen 16 Plätze haben, denn 16 verschiedene Vollkonjunktionen sind
möglich. Das KV-Diagramm für 4 Variable ist unten dargestellt. Selbstverständlich können die Variablen auch anders bezeichnet werden.
A
A
A
A
B
D
B
D
KV-Diagramm für
4 Variable (A, B, C und D)
B
D
B
D
C
C
C
C
Die bisher erarbeiteten Regeln für KV-Diagramme gelten auch für KV-Diagramme mit 4 Variablen,
allerdings mit folgenden Ergänzungen:
Ein Päckchen darf 2, 4, 8 oder 16 benachbarte Vollkonjunktionen umfassen.
Das KV-Diagramm für 4 Variable hat genaugenommen eine Kugelform. Daher sind die Plätze, die an
allen Aussenseiten des Diagramms gegenüberliegen, einander benachbart.
Z
A
A
A
1
B
B
A
1
D
1
D
Erweiterte Nachbarschaftsbedingungen Z = A ⋅ C ⋅ D + B ⋅ C ⋅ D
(
) (
)
D
B
1
B
C
C
Grundlagen.doc
C
D
C
FP
Seite 47
Elektronikkurs
Z
A
B
Theorie
A
A
1
1
A
D
B
D
B
D
1
1
C
C
C
C
Z
A
A
A
A
B
1
B
1
D
D
B
D
1
C
1
C
Grundlagen.doc
C
Erweiterte Nachbarschaftsbedingungen Z = C ⋅ D
D
B
B
Einführung in die Digitaltechnik
Erweiterte Nachbarschaftsbedingungen Z = C ⋅ D
D
C
FP
Seite 48
Elektronikkurs
Theorie
Einführung in die Digitaltechnik
Beispiel:
Die untenstehende ODER-Normalform ist in ein KV-Diagramm einzutragen und möglichst weitgehend zu vereinfachen!
(
) (
) (
) (
) (
) (
Z = A ⋅ B⋅C ⋅ D + A ⋅ B⋅C ⋅ D + A ⋅ B⋅C ⋅ D + A ⋅ B⋅C ⋅ D + A ⋅ B⋅C ⋅ D + A ⋅ B⋅C ⋅ D
)
Lösung:
Z
A
B
1
B
1
A
A
A
1
D
D
(
) (
)
(
Z = C⋅ D + A ⋅C = C⋅ A + D
B
1
B
1
C
6.7.7
)
D
1
C
C
D
C
KV-Diagramm für mehr als 4 Variable
KV-Diagramme für z.B. 5 Variable benötigen bereits 32 Plätze für die 32 möglichen Vollkonjunktionen. In der Ebene lassen sich an das KV-Diagramm für 4 Variable keine Plätze mehr „anbauen“. Deshalb muss eine zweite Ebene aufgestockt werden.
In der Praxis treten ODER-Normalformen mit mehr als 5 Variablen selten auf. KV-Diagramme für
mehr als 5 Variable werden daher auch selten benötigt. Man kann aber solche Diagramme aufstellen.
KV-Diagramme für 6 Variable sind noch einigermassen übersichtlich. Bei 7 und mehr Variablen geht
die Übersichtlichkeit weitgehend verloren.
Grundlagen.doc
FP
Seite 49