Statistik II

Otto-von-Guericke-Universitat Magdeburg
Fakultat fur Mathematik
Institut fur Mathematische Stochastik
Statistik II
fur wirtschaftswissenschaftliche
Studiengange
(Vorlesungsmanuskript und U bungsaufgaben)
von
apl.Prof. Dr. Waltraud Kahle
c
Alle Rechte bei der Autorin W. Kahle
Vorwort
Mathematische Methoden und Verfahren der Statistik gewinnen in der Wirtschaftswissenschaft zunehmend an Bedeutung. Aus diesem Grunde ist das Fach "Induktive
Statistik\ ein wichtiger Bestandteil des Grundstudiums fur wirtschaftswissenschaftliche
Studiengange.
Erfahrungsgema fallt vielen Studierenden das Verstandnis des mathematischen Hintergrundes der statistischen Verfahren nicht leicht. Als kleine Hilfestellung fur die Horer
meiner Vorlesung gebe ich das Vorlesungsskript in der vorliegenden Form heraus. Es
enthalt alle wichtigen Begrie, Aussagen und Verfahren. Damit soll die Vorlesung vom
mechanischen Mitschreiben entlastet werden und es sollen Freiraume zum Mitdenken
und Verstehen geschaen werden. Naturlich kann dieses Vorlesungsskript den Besuch
der Vorlesung nicht ersetzen. In der Vorlesung werden die Begrie und Aussagen erklart und es wird erlautert, wie die statistischen Verfahren bei der Losung von Aufgaben
angewendet werden konnen.
Das Manuskript enthalt am Ende jedes Abschnittes eine Anzahl von U bungsaufgaben.
Hieraus ausgewahlte Aufgaben werden in den U bungen besprochen. Ich empfehle allen
Studierenden, auch die restlichen Aufgaben selbstandig zu losen. Das ist einerseits eine
gute Vorbereitung auf die Klausuren und hilft andererseits, den eigenen Kenntnisstand
real einzuschatzen und eventuelle Fragen in den U bungen zu klaren. Die mit einem *
gekennzeichten Aufgaben sind von einem hoheren Schwierigkeitsgrad und dienen einem
vertiefenden Verstandnis.
Fur ein erganzendes Literaturstudium ist am Ende des Skriptes aus der Fulle der
Literatur zur induktiven Statistik eine kleine Auswahl der gebrauchlichsten Lehrbucher
angegeben, die meines Erachtens nach den Sto sowohl verstandlich als auch mathematisch korrekt beschreiben. Ebenfalls am Ende des Skriptes nden sich die fur das Losen
der U bungsaufgaben notwendigen Tabellen.
Magdeburg, August 1999
W. Kahle
1
Inhaltsverzeichnis
1 Zufallsvorgange, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Zufallige Versuche (Zufallsvorgange) und Ereignisse . . . .
Die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen . . . . . . . . . . .
Rechenregeln fur Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . .
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und unabhangige Ereignisse
U bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Zufallsgroen (Zufallsvariablen) und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
2.1
2.2
2.3
2.4
Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskreter Zufallsvariablen .
Wahrscheinlichkeitsverteilungen stetiger Zufallsgroen . .
Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . .
2.4.1 Der Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Standardabweichung und Varianz . . . . . . . . . .
2.5 Die Ungleichung von Tschebyschev . . . . . . . . . . . . .
2.6 U bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen
3.1 Diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Die Null-Eins-Verteilung . . . . . .
3.1.2 Die Binomialverteilung . . . . . . .
3.1.3 Die geometrische Verteilung . . . .
3.1.4 Die Poissonverteilung . . . . . . . .
3.1.5 Die hypergeometrische Verteilung .
3.2 Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen . .
3.2.1 Die Normalverteilung . . . . . . . .
3.2.2 Die Exponentialverteilung . . . . .
3.2.3 Die gleichmaig stetige Verteilung .
3.2.4 Die logistische Verteilung . . . . . .
3.2.5 Die Paretoverteilung . . . . . . . .
3.3 U bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . .
2
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28
29
4 Approximationsmoglichkeiten, das Gesetz der groen Zahlen und der zentrale Grenzwertsatz
37
4.1
4.2
4.3
4.4
Approximationsmoglichkeiten innerhalb der diskreten Verteilungen .
Gesetz der groen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der zentrale Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Mehrdimensionale Zufallsgroen
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
Diskrete zweidimensionale Zufallsgroen
Stetige zweidimensionale Zufallsgroen .
Die Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . .
Der Korrelationskoezient . . . . . . . .
U bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . .
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45
47
6 Funktionen von Zufallsgroen und Grundverteilungen der mathematischen
Statistik
49
6.1 Funktionen von Zufallsgroen . . . . . . . . .
6.2 Funktionen zufalliger Vektoren . . . . . . . . .
6.3 Verteilungen der mathematischen Statistik . .
6.3.1 Die 2{Verteilung . . . . . . . . . . .
6.3.2 Die Student{Verteilung (t{Verteilung)
6.3.3 Die F {Verteilung . . . . . . . . . . . .
6.4 U bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . .
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7.1 Einige Auswahltechniken . . . . . . . . . . . . .
7.2 Geschichtete Stichproben . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Die proportional geschichtete Stichprobe
7.2.2 Die optimal geschichtete Stichprobe . . .
7.2.3 Bemerkungen zum Schichtungseekt . .
7.3 Klumpenstichproben . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 U bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7 Stichproben
8 Punktschatzungen
8.1
8.2
8.3
8.4
Maximum{Likelihood{Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Momentenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Methode der kleinsten Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bayessche Schatzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Die a-posteriori-Verteilung bei diskreter a-priori Verteilung
8.4.2 Die a-posteriori-Verteilung bei stetiger a-priori Verteilung .
8.4.3 Der Schatzwert eines Subjektivisten . . . . . . . . . . . . .
8.5 Eigenschaften von Schatzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 U bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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66
66
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69
70
71
71
73
3
9 Kondenzschatzungen
9.1 Kondenzschatzungen fur den Parameter der Normalverteilung bei bekanntem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Kondenzschatzungen fur den Parameter der Normalverteilung bei unbekanntem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Kondenzintervalle fur den Parameter 2 der Normalverteilung bei bekanntem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Kondenzintervalle fur den Parameter 2 der Normalverteilung bei unbekanntem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Kondenzschatzungen fur eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p . . . . .
9.6 U bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Testtheorie
10.1 Aufgabenstellung und Begrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Parametertests fur die Parameter der Normalverteilung . . . . . .
10.2.1 Der Gau{Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Der t{Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.3 Der 2-Test fur die Varianz bei bekanntem . . . . . . . .
10.2.4 Der 2-Test fur die Varianz bei unbekanntem . . . . . .
10.3 Tests zum Vergleich zweier Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Der doppelte Gautest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.2 Der doppelte t{Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.3 Der Test von Welch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.4 Der t{Dierenzentest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Der einfache Gau{Test fur eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
10.5 Der 2-Anpassungstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6 Der 2-Unabhangigkeitstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7 U bungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 Losungen zu den U bungsaufgaben
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89
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92
98
Tabellen
114
Literatur
118
4
1 Zufallsvorgange, Ereignisse und
Wahrscheinlichkeiten
1.1 Zufallige Versuche (Zufallsvorgange) und
Ereignisse
Denition 1.1 Ein zufalliger Versuch ist ein beliebig oft und gleichartig wiederhol-
barer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang
ungewi ist. Die moglichen, nicht mehr zerlegbaren, sich gegenseitig ausschlieenden
Ergebnisse heien Elementarereignisse !1 ; :::; !n:
Denition 1.2 Die Menge aller Elementarereignisse eines zufalligen Versuches heit
Ereignisraum = (!1; :::; !n).
Wir betrachten im weiteren Ereignisse, die aus Elementarereignissen zusammengesetzt
sind und sich nicht gegenseitig ausschlieen mussen.
Fur die Ereignisse A1; A2 ; :::; B; C; ::: sowie fur die Beziehungen zwischen ihnen gibt es
Sprech- und Schreibweisen, die in der Tabelle 1.1 zusammengestellt sind.
1.2 Die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen
Der klassische Wahrscheinlichkeitsbegri (Laplace'sche Denition der Wahrscheinlichkeit):
der fur A gunstigen Ausgange
P (A) = Anzahl
Anzahl der moglichen Ausgange
Dabei wird die "Gleichwahrscheinlichkeit\ der Versuchsausgange vorausgesetzt!
Die von Mises'sche Denition der Wahrscheinlichkeit (Haugkeitsinterpretation):
Bezeichnen wir mit hn(A) die absolute Haugkeit des Eintretens des Ereignisses
A in n Versuchen.
fur groe n.
P (A) hnn(A)
5
Beschreibung des zugrundeliegen- Bezeichnung (Sprech- Darstellung in den Sachverhalts
weise)
(Schreibweise als
Teilmenge)
1. A tritt sicher ein
A ist sicheres Ereignis A = 2. A tritt sicher nicht ein
A ist unmogliches A = ;
Ereignis
3. wenn A eintritt, tritt B ein
A ist Teilereignis von A B
B
4. genau dann, wenn A eintritt, tritt A und B sind aquiva- A = B
B ein
lente Ereignisse
5. wenn A eintritt, tritt B nicht ein A und B sind disjunk- A \ B = ;
te Ereignisse
6. genau dann, wenn A eintritt, tritt A und B sind komple- B = A
B nicht ein
mentare Ereignisse
S
7. genau dann, wenn mindestens A ist Vereinigung der A = Aj
j
ein Aj eintritt (auch: genau dann, Aj
wenn A1 oder A2 oder ... eintritt), tritt A ein
T
8. genau dann, wenn alle Aj eintre- A ist Durchschnitt A = Aj
j
ten (auch: genau dann, wenn A1 der Aj
und A2 und ... eintreten), tritt A
ein
Tabelle 1.1: Zusammenstellung wichtiger Sprech- und Schreibweisen bei der Bildung
von Ereignissen
Die geometrische Wahrscheinlichkeit:
che der fur A gunstigen Ausgange
P (A) = FlaFl
ache der moglichen Ausgange
Axiome der Wahrscheinlichkeiten
Die Ereignisse aus (nicht notwendig Elementarereignisse) bilden einen Boolschen
Mengenring.
Jedem Ereignis A dieser Menge wird eine Mazahl P (A) zugeordnet, so da
P (A) 0;
P (
) = 1;
P (A1 [ A2 [ ::: [ An ) = P (A1) + P (A2) + + P (An) fur Ai \ Aj = ;; i 6= j:
Im weiteren sehen wir vorerst die Wahrscheinlichkeiten als gegeben an und lernen Gesetzmaigkeiten der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennen. Spater werden Methoden zur
Ermittlung des Wahrscheinlichkeitsmaes behandelt (Statistik).
6
A1
A4
'
&
$
%
A2
A3
:::
An
B Abbildung 1.1: Eine Zerlegung
1.3 Rechenregeln fur Wahrscheinlichkeiten
1. P (A) 1
2. P (;) = 0 (jedoch nicht umgekehrt!)
3. A B ! P (A) P (B )
4. P (A) = 1 ; P (A)
5. Additionssatz:
P (A1 [ A2 [ ::: [ An) = P (A1) + P (A1 \ A2 ) + ::: + P (A1 \ ::: \ An;1 \ An)
P (A1 [ A2) = P (A1) + P (A2) ; P (A1 \ A2)
P (A1 [ A2) = P (A1) + P (A2) bei disjunkten Ereignissen
6. Zerlegung:
A1 ; A2; :::An bilden eine Zerlegung von , wenn sie paarweise disjunkt sind
(Ai \ Aj = ;; i 6= j ) und wenn A1 [ A2 ::: [ An = (siehe Abbildung 1.1).
Dann gelten
B = (B \ A1) [ (B \ A2) [ ::: [ (B \ An)
P (B ) =
n
X
i=1
und
P (B \ Ai)
1.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und unabhangige
Ereignisse
Oft ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses von Interesse, wenn man wei, da ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist. Diese Wahrscheinlichkeit wird als bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B bezeichnet. Schreibweise: P (AjB )
7
Fur die Wahrscheinlichkeit eines bedingten Ereignisses gilt
\ B ) fur P (B ) > 0 :
P (AjB ) = P (PA(B
)
Hieraus erhalt man fur den Durchschnitt von Ereignissen den Multiplikationssatz:
P (A \ B ) = P (B ) P (AjB ) = P (A) P (B jA)
Formel uber die totale Wahrscheinlichkeit:
A1; A2 ; :::An bilden eine Zerlegung von . Dann gilt
P (B ) =
=
n
X
i=1
n
X
i=1
P (B \ Ai)
P (B jAi) P (Ai)
Der Satz von Bayes:
A1; A2 ; :::An bilden eine Zerlegung von . Dann gilt
P (AijB ) = P (PA(i B\)B )
P (B jAi) P (Ai)
= P
n
P (B jAi) P (Ai)
i=1
P (Ai) heit a-priori{Wissen und P (AijB ) heit a-posteriori{Wissen.
Unabhangigkeit von Ereignissen:
Denition 1.3 Die Ereignisse A und B heien unabhangig, wenn
P (AjB ) = P (A) oder
P (AjB ) = P (AjB ):
Multiplikationssatz fur unabhangige Ereignisse:
P (A \ B ) = P (A) P (B ) :
1.5 U bungsaufgaben
Aufgabe 1.1
Beweisen Sie, da die Summe der Binomialkoezienten
betragt!
8
;n fur i = 0; : : : ; n genau 2n
i
Aufgabe 1.2
Wieviele Diagonalen besitzt ein n-Eck?
Aufgabe 1.3
Eine Munze wird funfmal geworfen. Es wird notiert, ob Zahl oder Wappen erscheint.
Wieviele verschiedene Versuchsprotokolle sind moglich?
Aufgabe 1.4
Wieviele Moglichkeiten gibt es, bei "6 aus 49\ 4 richtige Zahlen getippt zu haben?
Aufgabe 1.5
Auf wieviele Arten kann man aus zehn Personen ein Vierer-Gremium bilden?
Aufgabe 1.6
Bei einer Feier sind 13 Gaste versammelt. Jeder prostet jedem zu und stot mit dem
Weinglas an. Wie oft klingt es im Raum?
Aufgabe 1.7
Der Verursacher eines Verkehrsunfalls hat Fahrerucht begangen. U ber sein Kfz{
Kennzeichen kann ein Unfallzeuge folgende Angaben machen: Es bestand aus dem Ortskennzeichen MD, der Buchstabengruppe EU, EV oder EY sowie drei Ziern, von denen
die erste die 3 und unter denen noch mindestens eine 4 war.
Welche und wieviele Kfz{Kennzeichen sind moglich, wenn man dem Unfallzeugen Glauben schenkt?
Aufgabe 1.8
Zwei Gluhlampen, eine rote und eine weie, konnen eingeschaltet werden. Denieren Sie
sich geeignete Ereignisse und stellen Sie mit diesen die folgenden Ereignisse dar:
a) Alle Lampen brennen.
b) Keine Lampe brennt.
c) Nur die rote Lampe brennt.
d) Nur die weie Lampe brennt.
e) Genau eine Lampe brennt.
f) Mindestens eine Lampe brennt.
g) Hochstens eine Lampe brennt.
9
Aufgabe 1.9
A sei das Ereignis, da von 5 Werkstucken genau 3 normgerecht sind. B bedeute, da
wenigstens 3 normgerecht sind. Was bedeuten dann die Ereignisse
A; B ; A\B ; A[B ?
Aufgabe 1.10
Der Unfallzeuge aus Aufgabe 1.7 sieht alle aufgrund seiner Wahrnehmung (MD; EU, EV
oder EY; drei Ziern, beginnend mit 3, unter ihnen mindestens eine 4) noch moglichen
Kfz-Kennzeichen als gleichwahrscheinlich an. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da
a) die Buchstabengruppe EY vorliegt?
b) die ersten beiden Ziern 34 lauten?
c) die letzten beiden Ziern 47 lauten?
d) die letzte Zier 4 ist?
e) unter den drei Ziern die 0 vorkommt?
f) die letzte Zier groer ist als die beiden anderen?
Aufgabe 1.11
Zur Ausarbeitung eines Vortrages schreibt Herr H. an 3 aufeinanderfolgenden Tagen
auf Klarsichtfolien. Dazu nimmt er jeden Morgen aus einer Schublade, in der 5 auf den
ersten Blick gleich aussehende schwarze Folienschreiber liegen, zufallig einen heraus, den
er den ganzen Tag benutzt und
a) am Abend wieder zu den anderen zurucklegt,
b) am Abend nicht wieder zurucklegt.
Am 4. Tag entdeckt Herr H. bei der Durchsicht des Geschriebenen einige Fehler, die
er ausbessern mochte, indem er die entsprechenden Stellen abwascht und neu schreibt.
Nun waren von den 5 Stiften nur 2 abwaschbar. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit der
Ereignisse
A : am ersten Tag wurde abwaschbar geschrieben
B : an keinem der drei Tage wurde ein abwaschbarer Stift verwendet,
und zwar sowohl im Fall a) als auch im Fall b)?
Aufgabe 1.12
Von 10 Pumpen seien 4 defekt. Zwei Pumpen werden zufallig ausgewahlt; fur folgende
Ereignisse seien sowohl im Falle mit Zurucklegen als auch im Falle ohne Zurucklegen die
Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen:
10
Ai : die i{te ausgewahlte Pumpe ist defekt,
B : mindestens eine der beiden ausgewahlten Pumpen ist defekt.
Aufgabe 1.13
In einer Serie von 12 Produkten sind 4 defekte. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit dafur,
da man bei zwei aufeinanderfolgenden Zugen 2 brauchbare Produkte erhalt, wenn man
a) das zuerst gezogene Produkt beiseite legt,
b) das zuerst gezogene Produkt zurucklegt?
Aufgabe 1.14
Man zeige, da beim Wurfelspiel mit 3 Wurfeln die Wahrscheinlichkeit fur die Augensumme 11 groer als die Wahrscheinlichkeit der Augensumme 12 ist!
Aufgabe 1.15
Ein inhomogener Wurfel ist so belegt, da die Wahrscheinlichkeit dafur, da eine der
Zahlen erscheint, proportional zu dieser ist. Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafur,
da
a) eine gerade Zahl,
b) eine Primzahl geworfen wird.
Aufgabe 1.16
Drei voneinander unabhangige Relais arbeiten mit den Wahrscheinlichkeiten 0.9; 0.8 und
0.95 im Zeitintervall (0; t) ohne Ausfall. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafur,
da in (0; t)
a) kein Relais ausfallt,
b) genau ein Relais ausfallt,
c) wenigstens ein Relais nicht ausfallt!
Aufgabe 1.17
Ein Versuch gelingt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.2. Wieviele solcher Versuche mu
man durchfuhren, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.9 wenigstens einer gelingt?
Aufgabe 1.18
Man zeige: Sind die Ereignisse A und B unabhangig, so auch
1. A und B
2. A und B
11
3. A und B:
Aufgabe 1.19
Ist es wahrscheinlicher, bei vier Wurfen mit einem Wurfel mindestens eine Sechs zu
werfen oder bei 24 Wurfen mit je zwei Wurfeln mindestens eine Doppel{Sechs?
Aufgabe 1.20
Zwei Personen A und B gehen das folgende Spiel ein: Eine Munze wird wiederholt
geworfen; wenn bei einem Wurf "Wappen\ erscheint, erhalt A einen Punkt, sonst B .
Wer zuerst funf Punkte erzielt, hat gewonnen und erhalt den Einsatz (den A und B je
zur Halfte eingesetzt haben). Nach sieben Wurfen hat A vier Punkte und B drei. Das
Spiel mu abgebrochen werden. Wie lautet die gerechte Aufteilung des Einsatzes, wenn
man unter "gerecht\ eine Aufteilung im Verhaltnis der Gewinnchancen versteht?
Aufgabe 1.21
Wieviele Wurfe mit je zwei Wurfel braucht man mindestens, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 50% mindestens eine Doppel-Sechs zu erzielen?
Aufgabe 1.22
Einem Urlauber ist von seinem Ferienort bekannt, da auf einen Tag ohne Regen mit
Wahrscheinlichkeit 0.8 wieder ein niederschlagsfreier Tag und auf einen Tag mit Regen
mit Wahrscheinlichkeit 0.6 wieder ein Tag mit Niederschlag folgt. Er ist an einem Tag
ohne Regen angekommen und mochte drei Tage spater eine Tour unternehmen. Wie gro
ist die Wahrscheinlichkeit, da er dazu einen Tag ohne Niederschlag erwischt?
Aufgabe 1.23
Von drei Urnen U1; U2 und U3 wird eine zufallig ausgewahlt; jede Urne hat die gleiche
Wahrscheinlichkeit, gewahlt zu werden. Die Urnen enthalten nur schwarze und weie
Kugeln, U1 : 7 schwarze und 3 weie, U2: 5 schwarze und 5 weie, U3 : 2 schwarze und 8
weie. Aus der gewahlten Urne wird anschlieend eine Kugel zufallig gezogen.
1. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, dabei eine schwarze Kugel zu ziehen?
2. Es wurde eine schwarze Kugel gezogen: Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da
sie aus Urne U1 (bzw. U2 bzw. U3) stammt?
Aufgabe 1.24
Ein Labortest zur Erkennung einer Krankheit K, an der 5% einer bestimmten Bevolkerung leiden, besitze die folgende Wirkungsweise: Hat eine Person die Krankheit K, so
zeigt der Test diese mit Wahrscheinlichkeit 0.96 auch an; hat eine Person die Krankheit K nicht, so zeigt der Test K immerhin noch mit Wahrscheinlichkeit 0.16 an. Man
berechne die Wahrscheinlichkeit dafur, da eine zufallig aus der Bevolkerung gewahlte
Person
12
1. an der Krankheit K leidet, obwohl der Test "nicht K\ indizierte
2. an der Krankheit K nicht leidet, obwohl der Test K indizierte.
Aufgabe 1.25
Die Wahrscheinlichkeit dafur, da in einem gewissen Werk ein Erzeugnis der Norm
genugt, sei gleich 0.90. Ein Prufverfahren ist so angelegt, da es fur ein der Norm
genugendes Stuck das Resultat "normgerecht\ mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.95
anzeigt. Fur ein Stuck, das der Norm nicht genugt, zeigt das Prufverfahren das Resultat
"normgerecht\ immerhin noch mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.10 an.
1. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit dafur, da ein unter diesem Prufverfahren fur
normgerecht befundenes Stuck auch tatsachlich die Norm erfullt?
2. Wie gro ist diese Wahrscheinlichkeit, wenn das Prufverfahren fur dasselbe Stuck
zweimal unabhangig voneinander das Ergebnis "normgerecht\ angezeigt hat?
Aufgabe 1.26
Bei einem Wurfelspiel mit zwei Wurfeln betrachten wir die Ereignisse
A : erster Wurfel zeigt eine gerade Zahl
B : zweiter Wurfel zeigt eine ungerade Zahl
C : die Summe der beiden Augenzahlen ist gerade.
Man zeige, da je zwei der drei Ereignisse voneinander unabhangig, alle drei Ereignisse
aber voneinander abhangig sind.
Aufgabe 1.27
Eine Firma stellt einen Konsumartikel auf drei Maschinen unterschiedlicher Kapazitat
her.
Maschine
M1 M2 M3
gelieferter Anteil der Gesamtproduktion 60% 25% 15%
Ausschuwahrscheinlichkeit
0.09 0.12 0.04
Aus der Gesamtproduktion wird ein Stuck zufallig entnommen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist dieses Stuck Ausschu?
b) Das entnommene Stuck ist Ausschu. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt es
von Mi i = 1; 2; 3?
13
Aufgabe 1.28
In einer Firma vollzieht sich die Herstellung eines bestimmten Produkts in zwei nacheinander und unabhangig voneinander ablaufenden Arbeitsgangen. Nach seiner Fertigstellung wird jedes Stuck kontrolliert und gilt als Ausschu, wenn bei seiner Fertigung
in (mindestens) einem der beiden Arbeitsgange ein Fehler passiert ist. Die Wahrscheinlichkeit fur das Entstehen eines Ausschustucks betragt 8%; dabei geschieht im ersten
Arbeitsgang mit Wahrscheinlichkeit 1=24 ein Fehler. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit
fur einen Fehler im zweiten Arbeitsgang?
14
2 Zufallsgroen (Zufallsvariablen) und
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
2.1 Zufallsvariablen
Denition 2.1 Eine Funktion X , die jedem Elementarereignis ! 2 eine reelle Zahl
X (!) zuordnet, heit Zufallsvariable oder Zufallsgroe
X : ! ! X (!) 2 R :
Damit werden die Ergebnisse von Zufallsexperimenten durch reelle Zahlen ausgedruckt.
Bezeichnung der Zufallsgroen: X; Y; Z;
Bezeichnung der moglichen Realisierungen: x; y; z:
Denition 2.2 Eine Zufallsvariable, die
1. abzahlbar viele Werte annehmen kann, heit diskret.
2. uberabzahlbar viele Werte annehmen kann, heit stetig.
Damit gilt bei Zufallsvariablen:
Ereignisse werden durch reelle Zahlen beschrieben
Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse werden den reellen Zahlen zugeordnet.
Die geordneten Werte zur Zufallsvariablen und die dazugehorigen Wahrscheinlichkeiten
ergeben die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgroe.
2.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskreter
Zufallsvariablen
Betrachten wir eine diskrete Zufallsgroe X , die die Werte x1; x2 ; : : : mit den Wahrscheinlichkeiten P (X = xi ) = pi = fX (xi) annehmen kann.
Die Werte fX (xi ) = pi = P (X = xi ) heien Einzelwahrscheinlichkeiten. fX (xi ) wird
auch Wahrscheinlichkeitsfunktion genannt.
15
Denition 2.3 Gegeben sei eine diskrete Zufallsgroe X mit den Einzelwahrscheinlichkeiten fX (xi ) = pi = P (X = xi ). Die Funktion
FX (x) := P (X x) =
X
fX (xi ) =
i: xi x
X
i: xi x
pi
heit Verteilungsfunktion.
2.3 Wahrscheinlichkeitsverteilungen stetiger
Zufallsgroen
An die Stelle der Einzelwahrscheinlichkeiten (Wahrscheinlichkeitsfunktion) tritt die
Dichtefunktion.
Denition 2.4 Die Dichtefunktion fX (x) einer stetigen Zufallsvariablen X ist eine
intervallweise stetige Funktion, fur die gilt
Z1
;1
fX (x) dx = 1
fX (x) 0:
und
Sei fX (x) die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgroe. Dann lassen sich die Wahrscheinlichkeiten folgendermaen berechnen:
P (a < X b) =
wichtige Eigenschaft:
Zb
fX (x) dx
a
P (X = x0 ) = 0
Denition 2.5 Gegeben sei eine stetige Zufallsgroe X mit fX (x). Die Funktion
FX (x) = P (X x) =
Zx
;1
fX (t) dt
heit Verteilungsfunktion der Zufallsgroe X .
Mittels der Verteilungsfunktion lassen sich die Wahrscheinlichkeiten folgendermaen berechnen:
P (a x b) = FX (b) ; FX (a):
16
2.4 Parameter von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
2.4.1 Der Erwartungswert
Denition 2.6 Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X ist deniert als
E (X ) =
E (X ) =
X
i
Z1
;1
xifX (xi) =
X
i
xi pi fur diskrete Zufallsgroen X ,
xfX (x) dx
fur stetige Zufallsgroen X .
Bemerkung 2.1 Der Erwartungswert einer Funktion g(X ) wird folgendermaen berechnet:
E (g(X )) =
E (g(X )) =
(vgl. auch Abschnitt 6.1)
X
i
Z1
;1
g(xi)pi
fur diskrete Zufallsgroen X ,
g(x)f (x) dx fur stetige Zufallsgroen X .
2.4.2 Standardabweichung und Varianz
Denition 2.7 Die Varianz einer Zufallsgroe X ist deniert als
X
V ar(X ) = D2(X ) = E [(X ; E (X ))2] = (xi ; E (X ))2fX (xi ) = E (X 2) ; (E (X ))2
i
fur diskrete und
V ar(X ) = D2(X ) = E [(X ; E (X ))2] =
Z1
;1
(x ; E (X ))2fX (x) dx = E (X 2) ; (E (X ))2
fur stetige Zufallsgroen.
Haug werden der Erwartungswert mit dem Symbol und die Varianz mit dem Symbol
2 bezeichnet.
Denition 2.8 Die Quadratwurzel aus der Varianz heit Standardabweichung
p
x = V ar(X ):
Denition 2.9 Ist X eine beliebige Zufallsgroe, so bezeichnen wir
mk = E (X k ) bzw. k = E ((X ; )k )
als das gewohnliche bzw. zentrale Moment k{ter Ordnung.
17
Als ein Ma fur die Unsymmetrie einer Verteilung dient das sogenannte Schiefema
= E [(X;3 ) ] ;
3
dabei ist X eine Zufallsvariable mit E (X ) = und V ar(X ) = 2.
Denition 2.10 Ist X eine beliebige Zufallsgroe und p eine beliebige reelle Zahl (0 <
p < 1), so heit eine Zahl qp mit den Eigenschaften
P (X < qp) p und P (X > qp) 1 ; p
Quantil der Ordnung p. Das Quantil der Ordnung 0:5 wird als Median bezeichnet.
2.5 Die Ungleichung von Tschebyschev
Diese Ungleichung dient dazu, die Abweichungen einer Zufallsgroe von ihrem Erwartungswert abzuschatzen:
2
P (jx ; j c) c12 bzw. P (jx ; j c) c2 :
2.6 U bungsaufgaben
Aufgabe 2.1
Fur einen Betrieb werden 3 Bohrmaschinen gekauft. Diese haben unterschiedliche Qualitatseigenschaften. Die Wahrscheinlichkeiten dafur, da diese langer als 5 000 Stunden
ausfallfrei arbeiten, betragen jeweils 0.8; 0.7; 0.6 . Es ist die Zufallsgroe X : "Anzahl
der Maschinen, die langer als 5 000 h arbeiten\ zu untersuchen.
a) Welche Werte kann die Zufallsgroe X annehmen?
b) Bestimmen Sie ihre Verteilungstabelle und deren graphische Darstellung!
Aufgabe 2.2
Die Korrektur einer Klausur haben sich zwei Lehrpersonen so aufgeteilt, da L1 bei jedem abgegebenen Exemplar die beiden ersten und L2 die restlichen Aufgaben korrigiert.
Die in Minuten gemessenen Korrekturdauern X von L1 und Y von L2 bei einem zufallig
herausgegrienen Klausurexemplar seinen Zufallsvariablen, fur die folgende Wahrscheinlichkeiten bekannt seien:
Bereich B [0; 10] (10; 20] (20; 1)
P (X 2 B ) 1/3
1/3
1/3
P (Y 2 B ) 1/4
1/2
1/4
18
a) X und Y werden als unabhangig angesehen. Wie gro ist dann die Wahrscheinlichkeit, da fur ein zufallig ausgewahltes Exemplar
{ jeder der beiden hochstens 10 min bzw. hochstens 20 min braucht?
{ L1 hochstens 10 min und L2 uber 20 min benotigt?
b) Sind X und Y unabhangig, wenn die Wahrscheinlichkeit, da L2 mit der Korrektur
eines Exemplars langer als 20 min beschaftigt ist, falls fur dieses Exemplar bereits
L1 uber 20 min gebraucht hat, 1/2 betragt?
Aufgabe 2.3
Vier in Reihe geschaltete gleichartige elektrische Gerate liegen still, weil durch einen
Defekt bei (genau) einem von ihnen die Stromzufuhr unterbrochen wurde. Durch eine Einzeluberprufung eines Gerates kann eindeutig festgestellt werden, ob es defekt ist
oder nicht. Sei X die Anzahl der Gerate, die einer derartigen Einzeluberprufung unterzogen werden mussen (ohne Zurucklegen), bis feststeht, bei welchem der vier der Defekt
vorliegt. Berechnen und skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von X unter der Voraussetzung, da jedes der Gerate mit gleicher Wahrscheinlichkeit fur den Defekt in Frage
kommt.
Aufgabe 2.4
Gegeben ist eine diskrete Zufallsgroe X mit folgender Verteilungstabelle:
xi 1 2 4 5 7 .
pi 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1
Stellen Sie die Einzelwahrscheinlichkeiten und die zugehorige Verteilungsfunktion graphisch dar. Ermitteln Sie ferner den Erwartungswert und die Varianz von X und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafur, da X einen Wert aus den Intervallen
a) (-1, 4)
b) [ 2, 6]
annimmt.
Aufgabe 2.5
Bei der Abnahmekontrolle wird aus einer Serie zufallig eine Stichprobe entnommen und
gepruft. Die Serie besteht aus 10 Teilen und enthalte 2 Ausschuteile. Berechnen und
skizzieren Sie die Einzelwahrscheinlichkeiten und die Verteilungsfunktion der Zufallsgroe X : "Anzahl der defekten Teile in der Stichprobe\, wenn aus der Serie 2 Teile
a) ohne Zurucklegen
b) mit Zurucklegen
19
entnommen werden.
Aufgabe 2.6
Die Dichtefunktion fX (x) der stetigen Zufallsgroe X lautet:
8 0 fur x 0
>
< 0:25 fur 0 < x 2
fX (x) = > 0:5 fur 2 < x 3
: 0 fur 3 < x
Berechnen Sie die Verteilungsfunktion FX (t).
Aufgabe 2.7
Die Verteilung der stetigen Zufallsgroe X sei durch die Verteilungsfunktion
80
fur
t2
<
FX (t) = : a t ; 1 fur 2 < t 4
1
fur 4 < t
gegeben. Bestimmen Sie
a) die Dichtefunktion der Zufallsgroe X ,
b) die Konstante a,
c) die Wahrscheinlichkeit dafur, da X Werte kleiner als 0.2 annimmt,
d) die Wahrscheinlichkeit dafur, da X Werte groer als 3 annimmt,
e) die Wahrscheinlichkeit dafur, da X Werte zwischen 2.5 und 3 annimmt.
Aufgabe 2.8
Gegeben sei die Dichtefunktion
(
0 fur x 1
34 fur x > 1 :
x
Berechnen Sie FX (t); E (X ); D2(X ) und P (X 2)! Skizzieren Sie fX (x) und FX (t).
fX (x) =
Aufgabe 2.9
Eine Zufallsgroe X besitze folgende Verteilungsfunktion
8
>
>
< 03 t + 3 ffuurr ;1 < tt ;11
FX (t) = > 4 4
3
1
>
:1
fur 3 < t
Bestimmen Sie fX (x) und E (X )!
20
Aufgabe 2.10
X sei eine diskrete Zufallsgroe mit dem Wertebereich fx1 ; x2 g; (x1 < x2 ). Bestimmen
Sie fur den Fall x1 = 1; P (X = 1) = 0:6 und D2(X ) = 0:24
a) die Verteilungstabelle von X ,
b) P (2 X 10).
c) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion FX (t)!
Aufgabe 2.11
In einem Behalter liegen 4 Kondensatoren. Jeder einzelne ist mit einer Wahrscheinlichkeit
von 0.2 fehlerhaft. Diese Kondensatoren werden der Reihe nach gepruft. Die Prufung
wird abgebrochen, wenn der erste fehlerfreie Kondensator gefunden wird.
X sei die zufallige Anzahl der gepruften Kondensatoren.
a) Ermitteln Sie die Verteilungstabelle von X !
b) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz!
c) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit dafur, da hochstens 2 Kondensatoren gepruft
werden?
Aufgabe 2.12
Zwei Personen spielen folgendes Glucksspiel:
Der Spieler s1 leistet einen bestimmten Einsatz, wurfelt und erhalt vom Spieler s2 :
10 Pf beim Wurfeln einer 1 oder 2
20 Pf beim Wurfeln einer 3 oder 4
40 Pf beim Wurfeln einer 5
80 Pf beim Wurfeln einer 6 :
Welche durchschnittliche Einnahme pro Spiel kann der Spieler s1 erwarten?
Aufgabe 2.13
Es sei FX die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgroe X mit
FX (t) = a + b arctan(t) (;1 < t < 1)
a) Man bestimme die Konstanten a und b.
b) Wie lautet die Dichtefunktion von X ?
Aufgabe 2.14
Ein Lebensmittelhandler bezieht wochentlich von einer Molkerei Sahnejoghurt in Paletten zu einem Preis von DM 2:50 . Er verkauft diesen Joghurt, dessen Haltbarkeit bei
einer Woche liegt, palettenweise zu 10 DM. Bestimmen Sie die auf Dauer gewinnoptimale Einkaufspolitik des Handlers, wenn die Anzahl der pro Woche verkauften Paletten
X die folgende Wahrscheinlichkeitstabelle hat:
21
X =j
0
1
2
3
4
5
6
P (X = j ) 0,02 0,08 0,10 0,18 0,34 0,18 0,10
Aufgabe 2.15
Eine (diskrete) Zufallsvariable X besitzt eine diskrete Gleichverteilung mit dem Trager
D = fx1; : : : ; xng, wenn fur alle j = 1; : : : ; n gilt:
P (X = xj ) = n1 :
Beispiel: X : Augenzahl beim Werfen eines symmetrischen Wurfels, D = f1; ; 6g.
Man bestimme fur dieses Beispiel E (X ) und V ar(X ).
Aufgabe 2.16
Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X mit der Dichte
fX (x) =
2(1 ; x)
0
fur 0 x 1
sonst
a) Zeichnen Sie fX (x) und zeigen Sie, da die Flache unter der Dichte den Wert 1
hat.
b) Berechnen und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion FX (t).
c) Bestimmen Sie den Median, das 0.25{ und das 0.75{Quantil.
d) Berechnen Sie E (X ) und V ar(X ).
Aufgabe 2.17
Man zeige: Der Erwartungswert einer um den Punkt c symmetrischen Verteilung ist
gleich c.
Aufgabe 2.18
Von einer Zufallsvariablen X sind nur bekannt: E (X ) = 10 und V ar(X ) = 1. Sie sollen
eine Prognose aufstellen in der Form "X wird einen Wert zwischen a und b annehmen\,
die mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.95 zutrit. Geben Sie ein dazugehoriges Prognoseintervall (a; b) mit dem Mittelpunkt 10 an.
Aufgabe 2.19
Geben Sie ein Beispiel an, fur das in der Tschebyschevschen Ungleichung das Gleichheitszeichen steht. Dies bedeutet, da die Ungleichung im allgemeinen nicht verscharft
werden kann.
22
3 Spezielle
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
3.1 Diskrete Verteilungen
3.1.1 Die Null-Eins-Verteilung
Zufallsgroen mit einer Null{Eins{Verteilung benutzen wir zur Beschreibung zufalliger
Versuche, bei denen uns nur zwei Versuchsausgange { das Eintreten eines zufalligen
Ereignisses A oder des komplementaren Ereignisses A { interessieren.
Zur zahlenmaigen Beschreibung eines derartigen Versuchsschemas benutzen wir die
diskrete Zufallsgroe
1; falls A eintritt
X := 0; falls A eintritt
mit den Werten 0 und 1.
Denition 3.1 Eine Zufallsgroe X unterliegt einer Null{Eins{Verteilung mit dem
Parameter p, wenn sie die Einzelwahrscheinlichkeiten
P (X = 1) = p und P (X = 0) = 1 ; p:
besitzt.
Anstelle der beiden Werte 0 und 1, die in der Regel aus Zweckmaigkeitsgrunden bevorzugt werden, konnten zwei beliebige reelle Zahlen gewahlt werden. In diesem Sinne ist
die Null-Eins-Verteilung Spezialfall der sogenannten Zweipunktverteilung.
Als wichtigste Kennwerte berechnen wir Erwartungswert und Varianz:
E (X ) = 0 (1 ; p) + 1 p = p;
(3.1)
V ar(X ) = E (X 2) ; [E (X )]2 = p ; p2 = p(1 ; p):
(3.2)
23
3.1.2 Die Binomialverteilung
Ausgangspunkt: Bernoullisches Versuchsschema:
Wir fuhren n (n = 1; 2; : : : ) voneinander unabhangige Versuche durch. In jedem dieser
Versuche interessieren uns nur zwei Versuchsausgange (das Eintreten eines zufalligen
Ereignisses A bzw. des komplementaren Ereignisses A).
Wir setzen voraus, da die Wahrscheinlichkeit von A in jedem Versuch die gleiche ist:
P (A) = p (0 < p < 1).
Ausgehend von diesem Versuchsschema untersuchen wir die Zufallsgroe X : zufallige
Anzahl der Versuche (von insgesamt n Versuchen), in denen A eintritt, d.h. die absolute Haugkeit des Ereignisses A in n unabhangigen Wiederholungen eines zufalligen
Versuchs.
X besitzt die Werte 0; 1; : : : ; n. Fur n = 1 unterliegt X einer Null{Eins{Verteilung. Fur
beliebige n (n = 1; 2; : : : ) und p (0 < p < 1) erhalten wir die Einzelwahrscheinlichkeiten
n
P (X = k) = k pk (1 ; p)n;k (k = 0; 1; : : : ; n):
Denition 3.2 Eine diskrete Zufallsgroe X unterliegt einer Binomialverteilung mit
den Parametern n und p, falls sie die Einzelwahrscheinlichkeiten
n P (X = k) = k pk (1 ; p)n;k (k = 0; 1; ; n)
besitzt. Schreibweise: X Bi(n; p):
Fur Erwartungswert und Varianz erhalten wir
n X
E (X ) =
k nk pk (1 ; p)n;k
k=0
= np
V ar(X ) = E (X 2 ) ; [E (X )]2
n
n
X
2
=
k k pk (1 ; p)n;k ; n2p2
k=0
= np(1 ; p) :
3.1.3 Die geometrische Verteilung
Verteilung der Anzahl der Versuche bis zum ersten Mierfolg im unendlichen Bernoulli{
Versuchsschema.
Denition 3.3 Eine Zufallsgroe X unterliegt einer geometrischen Verteilung mit
dem Parameter 0 < p < 1, wenn sie die Einzelwahrscheinlichkeiten
P (X = k) = (1 ; p) pk;1 (k = 1; 2; : : : )
besitzt. Schreibweise: X Geo(p):
24
Erwartungswert und Varianz:
E (X ) = 1 ;1 p ;
V ar(X ) =
p
(1 ; p)2
:
3.1.4 Die Poissonverteilung
Manchmal wird die Bestimmung der Einzelwahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung
durch folgende Besonderheiten des der Binomialverteilung zugrunde liegenden Bernoullischen Versuchsschemas erschwert:
Die Anzahl n der unabhangigen Versuche ist sehr gro
Die Wahrscheinlichkeit pn = P (A) des interessierenden Ereignisses A in jedem
einzelnen Versuch (bei einer Serie von n Versuchen) ist sehr klein
Es sei X : zufallige Anzahl der Versuche, in denen das Ereignis A eintritt.
Unter den Voraussetzungen
n ! 1; pn ! 0; npn ! > 0
lassen sich fur X die Einzelwahrscheinlichkeiten
k
P (X = k) = k! e; (k = 0; 1; 2; : : : )
als Grenzwerte der Einzelwahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung herleiten.
Denition 3.4 Eine diskrete Zufallsgroe X unterliegt einer Poissonverteilung mit
dem Parameter > 0, wenn sie die Einzelwahrscheinlichkeiten
P (X = k) = k! e; (k = 0; 1; 2; : : : )
k
besitzt. Schreibweise: X Po():
Fur Erwartungswert und Varianz erhalt man:
E (X ) =
1
k
X
k k! e;
k=0
= V ar(X ) = E (X 2) ; (E (X ))2
1
2
X
=
k2 k! e; ; 2
k=0
= 25
3.1.5 Die hypergeometrische Verteilung
In einer Urne benden sich M schwarze und N ; M weie Kugeln. Ohne Zurucklegen
werden n Kugeln auf gut Gluck der Urne entnommen (Stichprobe). Zu untersuchen ist
die Zufallsgroe X : zufallige Anzahl der dabei gezogenen schwarzen Kugeln.
Die Wahrscheinlichkeit des zufalligen Ereignisses fX = kg : "Genau k schwarze (und
n ; k weie) Kugeln in der Stichprobe\ konnen wir nach der klassischen Denition der
Wahrscheinlichkeit unter Benutzung von Ergebnissen der Kombinatorik bestimmen:
;M ;N ;M P (X = k) = k ;Nn;k ;
n
k durchlauft dabei alle ganzen Zahlen, die die folgenden Ungleichungen erfullen:
0 k n; k M; n ; k N ; M:
Anmerkung: Wenden wir das gleiche Versuchsschema mit Zurucklegen an, so erhalten
wir eine binomialverteilte Zufallsgroe mit den Parametern n und p = M=N .
Denition 3.5 Eine diskrete Zufallsgroe X unterliegt einer hypergeometrischen
Verteilung, wenn ihre Einzelwahrscheinlichkeiten durch
;M ;N ;M P (X = k) = k ;Nn;k
n
gegeben sind. Schreibweise: X H (n; M; N ).
Erwartungswert und Varianz dieser Verteilung sind:
M N ;n
M
M
E (X ) = n N ; V ar(X ) = n N 1 ; N N ; 1 :
3.2 Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
3.2.1 Die Normalverteilung
Denition 3.6 Eine stetige Zufallsgroe X mit der Dichtefunktion
(x ; )2 1
f (x) = p
exp ;
X
22
22
heit normalverteilt mit den Parametern (Erwartungswert) und 2 (Varianz).
Schreibweise: X N (; 2 ) :
Denition 3.7 Die Normalverteilung mit dem Erwartungswert 0 und der Varianz 1
heit Standardnormalverteilung.
26
Ist die Zufallsvariable X normalverteilt, so ist auch jede lineare Transformation
Y = aX + b ; a; b 2 R ;
normalverteilt.
Es gilt: Wenn X N (; 2 ), so Y N (a + b; a2 2 ).
Unterliegt die Zufallsgroe X einer N (; 2){Verteilung, so ist
Z = 1 X ; = X ; N (0; 1){verteilt (standardnormalverteilt).
Fur eine N (; 2 )-verteilte Zufallsvariable X und standardnormalverteiltes Z gilt:
P (x1 X x2 ) = P ( x1 ; Z x2 ; ):
3.2.2 Die Exponentialverteilung
Fur manche Anwendungen, insbesondere in der Warteschlangentheorie, spielt die Exponentialverteilung eine wichtige Rolle.
Denition 3.8 Eine stetige Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion:
e;x fur x 0; > 0
fX (x) = 0
sonst
und der Verteilungsfunktion:
1 ; e;t fur t 0; > 0
FX (t) = 0
sonst
heit exponentialverteilt mit dem Parameter . Schreibweise: X Ex().
Erwartungswert und Varianz der Exponentialverteilung:
E (X ) = 1 und V ar(X ) = 12 :
3.2.3 Die gleichmaig stetige Verteilung
Denition 3.9 Eine stetige Zufallsgroe X mit der Dichtefunktion
( 1
fX (x) = b ; a fur a x b;
0
sonst
bezeichnen wir als gleichmaig stetig auf [a; b] verteilt oder rechteckverteilt. Schreibweise: X Gl(a; b).
27
Erwartungswert und Varianz der Rechteckverteilung:
E (X ) =
Z+1
;1
xfX (x) dx
Zb
=
x b ;1 a dx
a
= a+b
2
V ar(X ) = E (X 2) ; (E (X ))2
=
Zb
a
2
x2 b ;1 a dx ; (a +4 b)
2
= (b ; a)
12
3.2.4 Die logistische Verteilung
Denition 3.10 Eine Zufallsgroe X mit der Verteilungsdichte
e;gy
fX (y) = p (1 +
e;gy )2
3
mit y = x; ; g = p3 1:8138
bzw.
;=p3(x;)=
e
p
fX (x) = p
3 (1 + e;= 3(x;)= )2
und der Verteilungsfunktion
1
FX (t) =
1 + e;g t;
heit logistisch verteilt.
Erwartungswert und Varianz der logistischen Verteilung:
E (X ) = V ar(X ) = 2
3.2.5 Die Paretoverteilung
Denition 3.11 Eine Zufallsgroe X mit der Verteilungsdichte
+1
; x > x0 ; ; x0 > 0
fX (x) = x xx0
0
und der Verteilungsfunktion
heit pareto{verteilt.
28
FX (t) = 1 ; xt0
; t > x0 ; ; x0 > 0
Erwartungswert und Varianz der Paretoverteilung:
E (X ) = ;x01 ; > 1
2
2
V ar(X ) = ;x02 ; ((;x01)) 2
2
x
0
;
=
( ; 2)( ; 1)2
>2
3.3 U bungsaufgaben
Aufgabe 3.1
Durch Versuche ist in einem Betrieb festgestellt worden, da 5% der Relais einer groen
Serie nicht funktionstuchtig sind. Die Relais werden in Zehnerpackungen geliefert. Es
soll die Zufallsgroe X : "Anzahl der nicht funktionstuchtigen Relais in einer Packung\
untersucht werden. Bestimmen Sie:
a) die Wahrscheinlichkeit dafur, da die Zahl der unbrauchbaren Relais genau 2 betragt!
b) die Wahrscheinlichkeit dafur, da ein Garantieversprechen des Betriebes nicht eingehalten wird, wenn er garantiert, da die Anzahl der unbrauchbaren Relais maximal 1 betragt!
c) den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsgroe X .
d) Die Wahrscheinlichkeit, da X einen Wert aus dem Intervall (1.5, 4.2) annimmt!
Aufgabe 3.2
Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, mit 6 Wurfen eines Wurfels mindestens 3 Sechsen
zu erzielen?
Aufgabe 3.3
Man zeige: Besitzt X die Bi(n; p){ und Y die Bi(n; 1 ; p){Verteilung, so gilt
P (Y = y) = P (X = n ; y):
Aufgrund dieser Beziehung genugt es, die Binomialverteilung nur fur Parameterwerte
p 0:5 zu vertafeln.
Aufgabe 3.4
Jedes Mitglied eines Ausschusses von 12 Personen geht mit Wahrscheinlichkeit 0.8 zur
nachsten Sitzung. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da der Ausschu beschlufahig
ist, wenn dazu mindestens die Halfte der Mitglieder anwesend sein mussen?
29
Aufgabe 3.5
Berechnen und skizzieren Sie die Einzelwahrscheinlichkeiten (Wahrscheinlichkeitsfunktion) der Bi(5; p){Verteilung fur p = 1 ; p = 1 und p = 2 . Skizzieren Sie fur p = 1 auch
3
2
3
2
die Verteilungsfunktion.
Aufgabe 3.6
Die monatliche Durchschnittstemperatur gelte als normal, wenn sie um hochstens ein
Grad vom langjahrigen Mittelwert abweicht. In einer bestimmten Stadt sei die Wahrscheinlichkeit, da die monatliche Durchschnittstemperatur normal ist, in jedem Monat
gleich 0.9, und diesbezuglich sei Unabhangigkeit zwischen verschiedenen Monaten vorausgesetzt. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da in den kommenden zwei Jahren in
weniger als 20 Monaten die Durchschnittstemperatur normal sei?
Aufgabe 3.7
Ein Versuch im Physikunterricht gelingt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.8. Wieviele
Versuche mu die Physiklehrerin durchschnittlich durchfuhren, um den Schulern einen
erfolgreichen Versuch zu prasentieren? Dabei wird vorausgesetzt, da die einzelnen Versuche voneinander unabhangig sind.
Aufgabe 3.8
Ein Mensch{A rger{Dich{Nicht{Spieler kann sein Spiel nur starten, wenn er eine Sechs
wurfelt. Dazu darf er in jeder Runde dreimal (mit einem Wurfel) wurfeln. Wieviel Runden braucht er durchschnittlich zu einem Start?
Aufgabe 3.9
Die Zahl der Schaden an einer Turbine innerhalb eines Monats unterliege einer Poissonverteilung mit dem Parameter = 3. Auf Grund von Rekonstruktionsmanahmen ist es
gelungen, diesen Parameter auf 2 zu senken. Um wieviel verandern sich die Wahrscheinlichkeiten dafur, da innerhalb eines Monats
a) kein Schaden
b) hochstens 2 Schaden
c) mindestens 3 Schaden
auftreten? Die Kosten, die ein Schaden durchschnittlich verursacht, betragen 3 000 DM.
Nach wievielen Monaten hat sich ein Rekonstruktionsaufwand von 45 000 DM wieder
amortisiert?
Aufgabe 3.10
Eine Firma produziert Teile mit einem Ausschuanteil p = 0:001 . Wie gro ist die
Wahrscheinlichkeit dafur, da eine Lieferung von 500 Teilen nicht mehr als 2 defekte
Teile enthalt?
30
Aufgabe 3.11
An einer Tankstelle kommen zwischen 16.00 und 18.00 Uhr durchschnittlich 2.5 Fahrzeuge pro Minute an. Man bestimme die Wahrscheinlichkeit, da in einer Minute wahrend
dieser Zeit
a) kein Fahrzeug,
b) genau zwei Fahrzeuge,
c) mehr als drei Fahrzeuge,
d) weniger als 6 Fahrzeuge eintreen.
(Die Anzahl der ankommenden Fahrzeuge sei poissonverteilt.)
Aufgabe 3.12
Von den gleichartigen und unabhangig voneinander laufenden Webstuhlen einer Textilfabrik weisen "im Mittel\ vier pro Tag einen Defekt auf. Das Auftreten zweier Defekte
pro Tag und Webstuhl sei vernachlassigbar. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da pro
Tag
a) mehr als 10 Defekte auftreten,
b) genau 4 Defekte auftreten?
Wie gro ist die Standardabweichung der Anzahl der Defekte pro Tag?
Aufgabe 3.13
Eine Feuerwehrstation in einer Grostadt hat durchschnittlich pro Tag einen Einsatz.
Durch welches Verteilungsmodell lat sich die Verteilung von X :"Anzahl der Einsatze
an einem Tag\ darstellen? Bestimmen Sie damit P (X = 0); P (X 1) und P (X 3).
Aufgabe 3.14
Eine Maschine produziert Werkstucke, es sind erfahrungsgema 4% ihrer Produktion
Ausschu. Die Produktion verschiedener Stucke sei bezuglich der Frage "Ausschu oder
nicht\ als unabhangig anzusehen. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da von 100 in
einer Stunde produzierten Stucken
a) genau 4,
b) mindestens 7,
c) hochstens 8
Ausschu sind?
31
Aufgabe 3.15
Eine Sekretarin macht durchschnittlich pro Seite zwei Tippfehler. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit dafur, da sich auf einer Seite
a) kein Tippfehler bendet,
b) genau zwei Tippfehler benden,
c) hochstens zwei Tippfehler benden?
Aufgabe 3.16
Eine Glasfabrik stellt Fensterglas her, in dem sich durchschnittlich ein Luftblaschen pro
m2 bendet. In einer Groserie von je 1 m2 groen Fensterscheiben gelten als
1. Wahl: Scheiben ohne Luftblaschen,
2. Wahl: Scheiben mit einem Luftblaschen,
3. Wahl: Scheiben mit zwei oder drei Luftblaschen,
Ausschu: Scheiben mit mehr als drei Luftblaschen.
Wie gro sind die Wahrscheinlichkeiten (Anteile in der Groserie) fur diese vier Qualitatsstufen?
Aufgabe 3.17
Aufgabe 3.18
Berechnen Sie die Varianz einer Po()-verteilten Zufallsvariablen X . (Hinweis: Bestimmen Sie zunachst E (X (X ; 1)).)
An einer einsamen Stelle einer Landstrae kommen im Durchschnitt pro Stunde 6 Autos
vorbei. Mit Y bezeichnen wir die Anzahl der Autos, die wahrend irgendeiner Stunde
vorbeifahren, mit X den zeitlichen Abstand zweier Autos in Minuten. Welche Verteilungen kann man X und Y zuordnen? Wie gro ist E (X )? Man bestimme P (Y 3) und
P (X 30).
Aufgabe 3.19
Aus zehn Personen, darunter funf Manner und funf Frauen, wird ein Vierer-Gremium
ausgelost. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit dafur, da
a) hochstens zwei Frauen,
b) genauso viele Frauen wie Manner
in das Gremium gelangen?
Aufgabe 3.20
Fur eine Prufung werden Leistungen in 10 Gebieten verlangt. Ein Kandidat bereitet
sich nur auf 5 Gebiete vor. Der Professor pruft nur in 3 willkurlich herausgegrienen
Gebieten. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit dafur, da der Kandidat in mindestens
zwei seiner vorbereiteten Gebiete befragt wird?
32
Aufgabe 3.21
Beim "Samstag-Lotto\ werde bei einem Spiel sechs Zahlen in einem Feld von 49 Zahlen
angekreuzt und sieben Kugeln (sechs "normale\, die siebente als "Zusatzzahl\) aus einer
Urne mit 49 durchnumerierten Kugeln zufallig und ohne Zurucklegen gezogen. Man
berechne die Gewinnchancen fur
a) sechs "Richtige\,
b) funf "Richtige\ und Zusatzzahl richtig,
c) funf "Richtige\ und Zusatzzahl falsch,
d) vier "Richtige\,
e) hochstens zwei "Richtige\.
Aufgabe 3.22
Berechnen und skizzieren Sie fur N = 8; M = 5 und n = 4 die Einzelwahrscheinlichkeiten (Wahrscheinlichkeitsfunktion) der hypergeometrischen Verteilung.
Aufgabe 3.23
Ein Handler will zu Silvester 25 Feuerwerkskorper, die ihm aus fruheren Jahren ubriggeblieben sind, loswerden. Er verspricht einem daran Interessierten, da mindestens 60%
davon noch funktionsfahig sind. Dieser verlangt, 5 der 25 Feuerwerkskorper sofort ausprobieren zu durfen, und er ist bereit, die restlichen 20 dann zu kaufen, wenn mindestens
3 der 5 gepruften funktionieren. Der Handler ist damit einverstanden. Wie gro ist die
Wahrscheinlichkeit, da das Geschaft zustande kommt, wenn tatsachlich
a) 60%,
b) 80%,
c) 20%
der 25 Feuerwerkskorper noch funktionsfahig sind?
Aufgabe 3.24
In der Situation von Aufgabe 3.23 haben die ersten beiden gepruften Feuerwerkskorper
nicht funktioniert. Berechnen Sie die durch dieses Ergebnis bedingte Wahrscheinlichkeit,
da
a) der dritte, der ausprobiert wird, funktioniert
b) das Geschaft doch noch zustande kommt,
wenn tatsachlich 60% der angebotenen 25 Feuerwerkskorper funktionsfahig waren?
33
Aufgabe 3.25
Man zeige: Eine H (n; M ; N ){verteilte Zufallsvariable X ist darstellbar als X = X1 +
: : : + Xn, wobei jedes Xi die Null-Eins-Verteilung mit dem Parameter p = M=N besitzt,
die X1; : : : ; Xn aber nicht unabhangig sind.
Aufgabe 3.26
Die Zufallsgroe Y sei normalverteilt mit E (Y ) = 0 und V ar(Y ) = 1. Berechnen Sie
a) P (Y 2:5)
b) P (Y < ;1:5)
c) P (1:2 Y < 2:3)
d) P (;1:1 Y < 3)!
Aufgabe 3.27
Der elektrische Widerstand eines Stromkreises (in k
) wird durch eine normalverteilte
Zufallsgroe X mit = 150 und 2 = 4 beschrieben.
a) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit dafur, da der Widerstandswert zwischen 146
und 155 liegt?
b) Kann der Widerstandswert groer als 160 sein?
c) Wie gro darf sein, wenn mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.99 der Widerstandswert zwischen 147 und 153 liegen soll?
Aufgabe 3.28
Auf einer Maschine werden Einzelteile hergestellt, deren Lange eine normalverteilte Zufallsgroe mit = 25 cm und = 0.05 cm ist.
a) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit dafur, da die Lange eines Einzelteils zwischen
24.86 cm und 25.14 cm liegt?
b) Wieviel Prozent der gefertigten Teile sind langer als 25.1 cm?
c) Bestimmen Sie c derart, da P (jX ; j < c) = 0:92 gilt!
Aufgabe 3.29
Ein Drehautomat ist so eingestellt, da der mittlere Durchmesser des hergestellten
Werkstucks bei 25.00 mm liegt. Aus langer Erfahrung ist die Standardabweichung
= 0:02 mm bekannt. Die Werkstucke sind bei einer Abweichung von 0.06 mm vom
Sollwert gerade noch brauchbar.
a) Mit welcher Mindestwahrscheinlichkeit ist ein Werkstuck noch brauchbar, wenn
die Art der Verteilung der Zufallsgroe X : "Durchmesser\ unbekannt ist?
34
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Werkstuck brauchbar, wenn der Durchmesser als normalverteilt angesehen werden kann?
Aufgabe 3.30
X sei eine N (10; 25){verteilte Zufallsvariable. Man bestimme die Wahrscheinlichkeiten
P (0 X 11), P (8 X 12) und P (X 15).
Aufgabe 3.31
Eine Maschine fullt Zucker in Tuten ab, die ein Gewicht von 1 000 g haben sollen. Das
tatsachliche Gewicht X (in g) lat sich auassen als eine N (; 2){verteilte Zufallsvariable.
a) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit dafur, da das Sollgewicht um mehr als 15 g
unterschritten wird, wenn
(i) = 1 000 und 2 = 100
(ii) = 1 050 und 2 = 121 ist?
b) Wie gro darf bei = 1 000 die Standardabweichung hochstens sein, damit
P (950 X 1 050) 0:98 gilt?
c) Gegeben sei 2 = 100 (unabhangig von ). Auf welchen {Wert darf die Maschine
hochstens eingestellt werden, damit P (X 1 020) 0:05 gilt?
Aufgabe 3.32
Eine Maschine produziert Stahlstifte mit einer Soll-Lange von 35 mm. Da zufallsabhangige Ungenauigkeiten in der Herstellung nicht ausgeschlossen werden konnen, lat sich
die Lange X eines produzierten Stahlstifts als Zufallsvariable ansehen, und zwar sei X
gema N (35; 0:25) verteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, da ein zufallig aus
der laufenden Produktion entnommener Stift
a) hochstens 35.4 mm lang ist?
b) mindestens 34.6 mm lang ist?
c) zwischen 34.5 mm und 35.2 mm mit?
d) um maximal 0.7 mm von der Sollange abweicht?
Aufgabe 3.33
Ein Unternehmer, der bisher Kuchenherde eines Typs A hergestellt hat, steht vor dem
Problem, ob er die Produktion auf einen verbesserten Typ B umstellen soll (dazu ware
aus Kapazitatsgrunden die Einstellung der Produktion vom Typ A notig). Der Absatz X
von Typ A innerhalb der nachsten 3 Jahre kann nach Ansicht der Marketingabteilung als
(naherungsweise) normalverteilt mit = 15 000 angesehen werden; bei Typ B dagegen
wird fur denselben Zeitraum jede verkaufte Stuckzahl zwischen 12 000 und 24 000 fur
gleichwahrscheinlich gehalten, was (hinreichend genau) durch eine in diesem Intervall
gleichverteilte Zufallsvariable Y beschrieben werden kann.
35
a) Fur welchen der beiden Typen ist im fraglichen Zeitraum ein hoherer Absatz zu
erwarten?
b) Mit folgenden Kosten und Verkaufspreisen werde kalkuliert:
Herstellungskosten pro Stuck
Stuckpreis
Typ A DM 250
DM 350
Typ B DM 290 fur die ersten 20 000 Stuck DM 380
DM 260 fur jedes weitere Stuck
Die Umstellung von Typ A auf Typ B hatte Fixkosten von DM 100 000 zur Folge.
Skizzieren Sie den Gewinn bei Typ B in Abhangigkeit von der Stuckzahl. Welcher
der beiden Typen lat fur die kommenden 3 Jahre den groeren Gewinn erwarten?
Aufgabe 3.34
In manchen Fallen kann man annehmen, da die Suchdauer X nach einem verlorenen
Gegenstand exponentialverteilt ist (mit einem Parameter ). Wie lautet die Voraussetzung fur diese Annahme? Wie gro ist bei einer durchschnittlichen Suchdauer von 5
Minuten die Wahrscheinlichkeit, langer als 10 Minuten suchen zu mussen?
Aufgabe 3.35
Die Lebensdauer X in Zeiteinheiten eines Geratetyps kann durch die Dichtefunktion
fX (x) =
(
0:06x2 e;0:02x
0
3
fur x 0
fur x < 0
beschrieben werden.
a) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit dafur, da ein solches Gerat mindestens 2 Zeiteinheiten ausfallfrei arbeitet?
b) Welche Zeit uberleben 90% der Erzeugnisse?
c) Nach welcher Zeit sind 90% der Erzeugnisse ausgefallen?
36
4 Approximationsmoglichkeiten, das
Gesetz der groen Zahlen und der
zentrale Grenzwertsatz
4.1 Approximationsmoglichkeiten innerhalb der
diskreten Verteilungen
1. Hypergeometrische Verteilung:
;M ;N ;m
P (X = m) = m ;Nn;m
n
(a) fur 0:1 < MN < 0:9 ; n > 10 ;
n
N
< 0:05
! Binomialverteilung mit n; p = MN
(b) MN 0:1 oder 0:9 ; n > 30 ; Nn < 0:05
! Poissonverteilung mit = n MN fur MN 0:1
(c) 0:1 < MN < 0:9 ;
n > 30
q ;
! Normalverteilung mit = n MN ; = n MN 1 ; MN NN;;n1
(siehe Zentraler Grenzwertsatz)
2. Binomialverteilung
(a) np 10 und n 1 500 p
! Poissonverteilung = np
(b) np(1 ; p) > 9
p
! Normalverteilung mit = np; = np(1 ; p)
(siehe Zentraler Grenzwertsatz)
3. geometrische Verteilung p 0:9 :
! Exponentialverteilung mit = p
37
4.2 Gesetz der groen Zahlen
Satz 4.1 (Gesetz der groen Zahlen von Bernoulli) Ist fXigi=1;2;::: eine Folge unabhangiger identisch verteilter Zufallsgroen mit
P (Xi = 1) = p und P (Xi = 0) = 1 ; p (0 < p < 1);
so gilt
X
!
n
1
lim P n Xi ; p " = 0
n!1
i=1
(" > 0 bel.):
(4.1)
Dieser Satz sagt aus, da die Wahrscheinlichkeit dafur, da die relative Haugkeit und
die Wahrscheinlichkeit eines zufalligen Ereignisses A dem Betrage nach um mehr als "
voneinander abweichen, mit n ! 1 gegen Null strebt.
Satz 4.1 lat sich in folgender Weise verallgemeinern:
Satz 4.2 (Gesetz der groen Zahlen von Chintschin) Ist fXigi=1;2;::: eine Folge
von unabhangigen und identisch verteilten Zufallsgroen mit E (Xi) = mi < 1, so
gilt:
X
!
n
1
lim P (Xi ; mi ) " = 0 (" > 0 bel.):
n!1
n i=1
(4.2)
4.3 Der zentrale Grenzwertsatz
Wir untersuchen die Konvergenz der Folgen von Verteilungen bei Summen von Zufallsgroen gegen eine Grenzverteilung. Hierbei zeigt sich, da bei geeigneter Transformation
von Summen von Zufallsgroen die Folge ihrer Verteilungen in bestimmten Fallen gegen
die Normalverteilung konvergiert. Eine Aussage hieruber liefert folgender Satz:
Satz 4.3 (Zentraler Grenzwertsatz) Ist fXigi=1;2;::: eine Folge von unabhangigen
und identisch verteilten Zufallsgr
oen mit E (Xi) = m < 1 und V ar(Xi) = d2 < 1, so
P
n
gilt fur jedes t 2 R mit Sn = i=1 Xi
S ; n m t = (t; 0; 1) =
lim P np
n!1
nd
1
2
Zt
;1
2
e; x2 dx:
(4.3)
Mit anderen Worten heit dies, da die Folge der Verteilungen der standardisierten
Zufallsgroen
Snp; n m
(4.4)
nd
gegen die Normalverteilung mit den Parametern = 0 und = 1 konvergiert. Wir nennen Sn (n = 1; 2; : : : ) in diesem Fall auch asymptotisch normalverteilt mit dem
38
p
Erwartungswert n m und der Standardabweichung nd (asymptotisch N (n m; nd2 ){
verteilt).
Wir wollen nun als Spezialfall des Satzes 4.3 den Satz von Moivre{Laplace kennenlernen.
Ausgangspunkt ist das Bernoullische Versuchsschema, bei dem jeder einzelne Versuch
durch die Null{Eins{verteilten Zufallsgroen Xi (i = 1; 2; : : : ) beschrieben wird und
Sn =
n
X
i=1
Xi
einer Binomialverteilung mit den Parametern n und p unterliegt. Wir wenden den zentralen Grenzwertsatz an und erhalten den folgenden Satz:
Satz 4.4 (Satz von Moivre-Laplace) Ist Sn eine binomialverteilte Zufallsgroe mit
den Parametern n und p, so gilt fur beliebige t
!
Sn ; np t = (t; 0; 1):
p
lim
P
n!1
np(1 ; p)
(4.5)
Das heit, wenn bei dem der Binomialverteilung zugrunde liegenden Bernoullischen
Versuchsschema die Anzahl der unabhangigen Versuche gegen unendlich strebt, dann
konvergiert die Verteilungsfunktion der standardisierten binomialverteilten Zufallsgroe
gegen die Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsgroe mit den Parametern 0
und 1.
Wird eine diskrete Verteilung durch eine Normalverteilung approximiert, so verwendet
man fur relativ kleine n eine Stetigkeitskorrektur. Seien a und b ganzzahlige Realisierungen der diskreten Zufallsgroe X ; dann lautet die Stetigkeitskorrektur:
P (a X b) FX (b + 0:5) ; FX (a ; 0:5) :
Fur groe n ist diese Korrektur vernachlassigbar.
4.4 U bungsaufgaben
Aufgabe 4.1
Eine Munze wird 100 mal geworfen. Es sei X : "Anzahl der Wappenwurfe\. Berechnen
Sie P (47 X 52) ; P (X = 50).
Aufgabe 4.2
Ein Vertreter wei erfahrungsgema, da er bei jedem seiner Erstbesuche mit Wahrscheinlichkeit p = 0:05 einen Verkauf tatigen kann. Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit,
da er bei 300 Erstbesuchen wenigstens 10 Verkaufe tatigt?
39
Aufgabe 4.3
Ein Zufallsexperiment, bei dem ein Ereignis A mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt,
wird n{mal unabhangig wiederholt. Man wei, da 0:1 p 0:9 ist. Hn sei die relative
Haugkeit, mit der dabei A beobachtet wird. Man bestimme mit Hilfe der Normalverteilungsapproximation eine untere Grenze fur die Wahrscheinlichkeit, da Hn um hochstens
0.05 von p abweicht, fur n = 200; 500; 1000:
Aufgabe 4.4
Man bestimme mit Hilfe der Normalverteilungsapproximation (mit und ohne Stetigkeitskorrektur) die Wahrscheinlichkeiten P (X = 32) und P (26 X 34)
a) im Fall, da X eine Bi(64; 0:5){Verteilung besitzt
b) falls X nach Po(30) verteilt ist.
Aufgabe 4.5
X sei eine Po(49){verteilte Zufallsvariable. Bestimmen Sie mit Hilfe einer geeigneten
Approximation die Wahrscheinlichkeiten P (X 49) ; P (42 X 56) ; P (X 60).
Aufgabe 4.6
Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, da unter 400 Munzwurfen die Anzahl X der Ergebnisse "Kopf\ von ihrem Erwartungswert 200 um hochstens 15 abweicht?
Aufgabe 4.7
Ein Kunde erhalt eine sehr groe Lieferung von Transistoren. Ihm wird vom Hersteller
garantiert, da darunter hochstens 3% unbrauchbare Stucke sind. Zur U berprufung der
Lieferung werden zufallig (und ohne Zurucklegen) n Stucke ausgewahlt und gepruft. Sind
alle n funktionstuchtig, wird die ganze Lieferung angenommen, andernfalls nicht.
a) Wie gro ist bei n = 10 die Wahrscheinlichkeit fur die Annahme der Lieferung,
wenn sie in Wirklichkeit 5% unbrauchbare Stucke enthalt?
b) Wie gro mu n mindestens sein, damit eine Lieferung mit mehr als 3% unbrauchbaren Stucken mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0.99 zuruckgewiesen
wird?
Aufgabe 4.8
In Simulationsstudien werden haug standardnormalverteilte Zufallszahlen benotigt.
Primar stehen jedoch nur gleichverteilte Zufallszahlen, d.h. Realisierungen unabhangiger, uber dem Intervall [0; 1] gleichverteilter Zufallsvariablen zur Verfugung. Aus je 12
dieser gleichverteilten Zufallszahlen x1 ; x2; : : : erzeugt man eine standardnormalverteilte
Zufallszahl y folgendermaen:
y=
Begrunden Sie diese Vorgehensweise.
40
12
X
i=1
xi ; 6:
Aufgabe 4.9
Eine Vertriebsgesellschaft besitzt in einer Grostadt 200 Zigarettenautomaten. Jeder Automat hat (unabhangig von den anderen) mit der Wahrscheinlichkeit 201 eine Storung.
Fur die Entscheidung uber die Groe eines standigen Reparaturtrupps sei die Wahrscheinlichkeit von Interesse, da in einer Woche die Anzahl X der defekten Automaten
zwischen 5 und 15 liegt. Diese Wahrscheinlichkeit (der exakte Wert betragt ubrigens
0:9292 ) soll
a) mittels der Poisson{Verteilung approximiert werden,
b) mittels der Tschebyschev{Ungleichung nach unten abgeschatzt werden,
c) aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes approximativ berechnet werden.
41
5 Mehrdimensionale Zufallsgroen
Die Betrachtung mehrdimensionaler Zufallsgroen bzw. zufalliger Vektoren ist sehr aufwendig, daher betrachten wir nur einige Grundzuge. In der Regel werden k Zufallsgroen
dann gemeinsam untersucht, wenn der Zusammenhang dieser Groen von Interesse ist.
Denition 5.1 Man nennt (X1; : : : ; Xk ) k{dimensionale Zufallsgroe oder Zufallsvektor der Lange k.
Realisierungen: (x1 ; : : : ; xk )
5.1 Diskrete zweidimensionale Zufallsgroen
Wir betrachten die Zufallsgroen X und Y mit den Realisierungen
X : x1; : : : ; xm ; : : :
Y : y1; : : : ; yn; : : :
und den dazugehorigen Wahrscheinlichkeiten
pij = P (X = xi ; Y = yj )
Durch die beiden einzelnen Verteilungen von X bzw. Y (Randverteilungen) wird im allgemeinen noch nicht die gemeinsame Verteilung von X und Y festgelegt. Dazu mu man
zusatzlich wissen, ob und gegebenenfalls wie X und Y voneinander abhangen. Wenn X
und Y jeweils nur endlich viele verschiedene Werte annehmen { nennen wir sie x1 ; : : : ; xm
und y1; : : : ; yn { so werden gemeinsame Verteilung und Randverteilungen oft in Form
des folgenden Schemas dargestellt:
X n Y y1 yj yn
x1 p11 p1j p1n p1
...
...
...
...
...
xi
pi1 pij pin pi
...
...
...
...
...
xm pm1 pmj pmn pm
p1 pj pn 1
42
Darin bedeuten:
pij = P (X = xi; Y = yj ) = f (xi; yj )
pi =
pj =
n
X
j =1
m
X
i=1
pij = P (X = xi) = f1(xi )
pij = P (Y = yj ) = f2 (yj )
Die gemeinsame Verteilung steht in Form einer Matrix im Inneren des Schemas. Die
Randverteilung von X , gegeben durch die pi, steht am rechten Rand des Schemas;
dabei ist pi gerade die Summe der in der i{ten Zeile stehenden Wahrscheinlichkeiten.
Entsprechendes gilt fur die Randverteilung von Y . In dieser Darstellung gilt:
X und Y sind genau dann unabhangig, wenn fur alle i und j gilt:
pij = pipj
5.2 Stetige zweidimensionale Zufallsgroen
Der Stetigkeitsbegri fur eindimensionale Zufallsgroen wird wie folgt auf den zweidimensionalen Fall ubertragen:
Denition 5.2 (X; Y ) heit stetig, wenn es eine (reellwertige, nichtnegative, integrierbare) Funktion f (x; y ) gibt mit der Eigenschaft:
P (x1 < X x2 ; y1 < Y y2) =
Zy2 Zx2
y1 x1
f (x; y) dx dy
fur je zwei Intervalle (x1 ; x2 ] und (y1 ; y2 ]. Die Funktion f (x; y) heit die Dichte von
(X; Y ) oder die gemeinsame Dichte von X und Y . Sie bestimmt die Verteilung von
(X; Y ) bzw. die gemeinsame Verteilung von X und Y .
Dabei ist
P (x1 < X x2 ; y1 < Y y2) = P (x1 < X x2 und y1 < Y y2)
die Wahrscheinlichkeit, da (X,Y) Werte in dem Rechteck mit den Eckpunkten
(x1 ; y1); (x2; y1); (x2; y2) und (x1 ; y2) annimmt.
Wir gehen nun von einer stetigen Zufallsgroe (X; Y ) mit der Dichte f (x; y) aus. Dann
sind auch die beiden eindimensionalen Zufallsgroen X und Y stetig. Wir bezeichnen
mit f1 (x) die Dichte von X und mit f2(y) diejenige von Y .
Auf die Frage nach dem Zusammenhang zwischen der gemeinsamen Verteilung und den
beiden einzelnen Verteilungen lauten die Antworten wie im diskreten Fall:
43
Aus der gemeinsamen Dichte f (x; y) lassen sich die beiden einzelnen Dichten f1 (x) und
f2(y) bestimmen; zum Beispiel gilt fur f1(x) die Beziehung
f1(x) =
Z1
;1
f (x; y) dy:
Die beiden einzelnen Dichten legen jedoch im allgemeinen noch nicht die gemeinsame
Dichte fest.
Man kann zeigen, da X und Y genau dann unabhangig sind, wenn ihre gemeinsame
Dichte mit dem Produkt der einzelnen Dichten ubereinstimmt, d.h., wenn gilt:
f (x; y) = f1(x)f2 (y):
(5.1)
Im Fall der Unabhangigkeit von X und Y lat sich auf diese Weise die gemeinsame
Dichte aus den beiden einzelnen Dichten bestimmen.
5.3 Die Kovarianz
Wir betrachten eine diskrete oder stetige zweidimensionale Zufallsgroe (X; Y ) mit der
Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. Dichte f (x; y).
Die bereits bekannten Parameter der eindimensionalen Zufallsgroen X und Y bezeichnen wir mit
1 = E (X ) und 12 = V ar(X )
(5.2)
2 = E (Y ) und 22 = V ar(Y )
(5.3)
E (X ) und V ar(X ) hangen allein von der Verteilung von X ab, E (Y ) und V ar(Y ) nur
von der Verteilung von Y .
Der erste Parameter von (X; Y ), der von der gemeinsamen Verteilung von X und Y
abhangt, ist die Kovarianz.
Denition 5.3 : Unter der Kovarianz von X und Y , die mit Cov(X; Y ) bezeichnet
wird, versteht man die reelle Zahl
Cov(X; Y ) = E ((X ; 1)(Y ; 2))
(5.4)
Im Fall X = Y ist Cov(X; X ) = V ar(X ). Die rechte Seite lat sich wegen der Linearitat
des Erwartungswertes umformen in
Cov(X; Y ) = E (XY ) ; E (X )E (Y )
(5.5)
Der Erwartungswert E(XY) wird folgendermaen bestimmt:
8 R1 R1
>
<
xyf (x; y) dxdy
;1
E (XY ) = > ;1
: Pi Pj xiyj f (xi; yj )
44
im stetigen Fall
im diskreten Fall
(5.6)
Eigenschaften der Kovarianz:
Cov(X; Y )
Cov(X + a; Y + b)
Cov(aX; bY )
Cov(X; Y + Z )
Additionssatz fur die Varianz:
Cov(Y; X )
Cov(X; Y )
abCov(X; Y )
Cov(X; Y ) + Cov(X; Z )
(5.7)
V ar(X Y ) = V ar(X ) + V ar(Y ) 2Cov(X; Y )
Aus (5.6) folgt: Sind X und Y unabhangig, so gilt
(5.10)
E (XY ) = E (X )E (Y ) :
Damit erhalt man fur unabhangige X und Y :
(5.11)
=
=
=
=
(5.8)
(5.9)
V ar(X + Y ) = V ar(X ) + V ar(Y ) bzw. Cov(X; Y ) = 0 :
Additionssatz fur die Varianz einer Summe von n (beliebigen) Zufallsvariablen X1; :::; Xn:
V ar(
X
i
Xi) =
=
X
X
i
i
V ar(Xi) + 2 V ar(Xi) +
X
X
i6=j
i<j
Cov(Xi; Xj )
Cov(Xi; Xj )
(5.12)
5.4 Der Korrelationskoezient
Man kann versuchen, eine bestehende Abhangigkeit zwischen zwei Zufallsvariablen X
und Y durch eine Funktion wiederzugeben. Lat sich die Abhangigkeit wenigstens zu
einem gewissen Teil durch eine lineare Funktion beschreiben, so nennt man X und Y
korreliert. In diesem Fall gilt mit mehr oder weniger groen Abweichungen
Y b X + a oder X b0 Y + a0
(5.13)
Wie gut man die Abhangigkeit zwischen X und Y durch eine lineare Funktion (durch
eine Gerade) erfassen kann, sagt uns der Korrelationskoezient % von X und Y . Er
ist deniert als
% = %(X; Y ) = p Cov(X; Y )
(5.14)
V ar(X ) V ar(Y )
Wir setzen voraus, da V ar(X ) und V ar(Y ) ungleich Null sind; die Falle V ar(X ) = 0
oder V ar(Y ) = 0 sind hier bedeutungslos. An den folgenden drei Eigenschaften erkennt
man, da der Korrelationskoezient ein Ma fur den linearen Zusammenhang zwischen
X und Y ist:
45
1.
; 1 % +1
(5.15)
2. Zwischen X und Y besteht genau dann eine lineare Beziehung Y = b X + a (und
X = b0 Y + a0), wenn % den Wert +1 oder ;1 hat. Die Vorzeichen von % und b
stimmen dabei uberein.
3. Je naher %2 bei 1 liegt, desto besser lat sich die Abhangigkeit zwischen X und Y
durch eine Gerade beschreiben; je naher %2 bei 0 liegt, um so schlechter ist dies
der Fall.
Dabei wird die folgende Erklarung fur "besser beschreiben\ unterstellt: Betrachtet man
Y in Abhangigkeit von X , so lat sich der Einu auf Y um so besser durch eine lineare
Funktion (Gerade) der Form b X + a erfassen, desto genauer die Beziehung Y b X + a
erfullt ist, das heit: desto geringer die Abweichungen zwischen Y und b X + a sind;
dafur dient als Ma die sogenannte mittlere quadratische Abweichung
E ([Y ; (b X + a)]2 ) = E ([Y ; b X ; a]2)
(5.16)
Entsprechend dient im umgekehrten Fall, in dem X in Abhangigkeit von Y betrachtet
wird, die mittlere quadratische Abweichung E ([X ; b0 Y ; a0]2 ) als ein Ma dafur, wie
genau die Beziehung X b0 Y + a0 gilt. Auf diesen Fall lassen sich alle Aussagen wortlich
ubertragen, wenn man darin nur die Rollen von X und Y vertauscht. Der Korrelationskoezient %(X; Y ) gibt uber beide Formen linearer Abhangigkeiten zwischen X und Y
stets dieselbe Auskunft. Er ist symmetrisch in X und Y .
Wir gehen nun von (5.16) aus. In Abschnitt 8.3 (Methode der kleinsten Quadrate oder
lineare Regression) werden wir zeigen, da diejenige Gerade y = x + , fur die (5.16)
minimal wird, die Koezienten
(X; Y ) und = E (Y ; X )
= Cov
(5.17)
V ar(X )
besitzt. Da sich die mittlere quadratische Abweichung mit Hilfe von (5.17) folgendermaen umformen lat:
E ([Y ; X ; ]2 ) = (1 ; %2 )V ar(Y ) ;
(5.18)
erhalt man die Interpretation des Korrelationskoezienten als Ma des linearen Zusammenhanges: Je naher %2 bei 1 liegt, desto kleiner ist nach (5.18) die mittlere quadratische
Abweichung E ([Y ; X ; ]2 ), umso besser lat sich nach der oben gegebenen Erklarung
die Abhangigkeit zwischen X und Y durch eine Gerade (namlich die Gerade y = x + )
beschreiben. Je naher %2 bei 0 liegt, desto groer ist nach (5.18) E ([Y ; X ; ]2) und
umso schlechter lat sich daher eine bestehende Abhangigkeit zwischen X und Y durch
eine Gerade beschreiben.
Ist %(X; Y ) = 0, so nennt man X und Y unkorreliert.
46
5.5 U bungsaufgaben
Aufgabe 5.1
Erganzen Sie fur den Zufallsvektor (X; Y ) die folgende Verteilungstabelle
X nY
2 4 5 P (X = xi )
-1
0.1
0.3
0.6
1
P (Y = yk ) 0.1 0.4
a) Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz fur X und Y !
b) Sind X und Y stochastisch unabhangig? (Begrundung)
c) Berechnen Sie die Kovarianz und den Korrelationskoezienten!
d) Erganzen Sie die folgende Verteilungstabelle, wenn X und Y stochastisch unabhangig sein sollen.
X nY
y1 y2 P (X = xi)
x1
0.06
0.1
0.9
x2
P (Y = yk )
e) Untersuchen Sie die Zufallsgroen der folgenden Verteilungstabelle auf Korreliertheit und Unabhangigkeit!
X nY
0
1
2
P (Y = yk )
1 2 5 P (X = xi )
0.1 0.1 0
0.2 0.3 0.1
0.1 0.1 0
Aufgabe 5.2
Die zweidimensionale Zufallsgroe (X; Y ) besitze eine diskrete Verteilung, bei der die
Werte (1,3), (2,4), (3,7), (5,6), (7,5), (8,1) und (9,2) jeweils mit der Wahrscheinlichkeit
1/7 angenommen werden. Man bestimme den Korrelationskoezienten und die beiden
Regressionsgeraden.
Aufgabe 5.3
Die Zufallsvariable X nehme die drei Werte ;1; 0; 1 jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/3
an; die Zufallsvariable Y sei gleich X 2. Wegen Y = X 2 sind X und Y voneinander
abhangig. Man bestimme die gemeinsame Verteilung von X und Y und zeige: X und Y
sind unkorreliert.
47
Aufgabe 5.4
Aufgabe 5.5
Man zeige, da zwei Null-Eins-verteilte Zufallsvariablen X und Y genau dann unabhangig sind, wenn sie unkorreliert sind.
In der Praxis geht man zur Beschreibung eines Zusammenhanges zwischen X und Y oft
von dem folgenden Modell aus: Zwischen X und Y herrscht eine lineare Beziehung, die
durch eine Storgroe (Fehlervariable) Z uberlagert wird: Y = c X + d + Z . Dabei unterstellt man, da X und Z voneinander unabhangig sind und Z eine N (0; Z2 )-Verteilung
besitzt. Wir betrachten = E (X ), 2 = V ar(X ), Z2 = V ar(Z ) sowie c und d als gegeben. In Abhangigkeit davon bestimme man % = %(X; Y ) und interpretiere seinen Wert
fur Z2 ! 0 bzw. Z2 ! 1. Man zeige weiterhin, da y = c x + d die Regressionsgerade
von Y bzgl. X ist.
Aufgabe 5.6
Fur die in Aufgabe 3.25 gegebenen Zufallsvariablen X1; ; Xn bestimme man % =
%(Xi; Xj ). Man interpretiere das Ergebnis { auch mit Hilfe von Aufgabe 5.4 { und
zeige damit, wie man fur groe N die hypergeometrische durch die Binomialverteilung
ersetzen kann. (Jedes Xi besitzt eine Null-Eins-Verteilung mit dem Parameter p = M=N ,
die X1; ; Xn sind nicht unabhangig.)
48
6 Funktionen von Zufallsgroen und
Grundverteilungen der
mathematischen Statistik
6.1 Funktionen von Zufallsgroen
In vielen Anwendungsfallen sind Zufallsvariable Argumente von Funktionen; z.B. kann
man den Absatz eines Produktes als Zufallsgroe und den erzielten Gewinn als Funktion
dieser Zufallsgroe auassen. Wir betrachten eine Funktion
Y = f (X ) ;
wobei X und Y Zufallsgroen sind. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X wird als
bekannt angesehen. Dann lat sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y uber die
Beziehung
P (Y t) = P (f (X ) t)
durch Berechnung der Umkehrfunktion bestimmen, falls diese existiert.
Ein wichtiger Spezialfall ist die lineare Transformation:
t ; b
P (aX + b t) = P X a
t ; b
FY (t) = FX a
Ist X eine stetige Zufallsgroe, so erhalt man fur die Dichte
t ; b 1
fY (t) = fX a a :
Dieser Zusammenhang wurde mit a = ; b = schon bei der Standardisierung der Normalverteilung benutzt.
Bei diskreten Zufallsgroen werden mittels der Funktion f die moglichen Realisierungen
von Y berechnet und die zugehorigen Wahrscheinlichkeiten werden auf die neuen Werte
ubertragen. Dann sortiert man die Realisierungen von Y der Groe nach und fat gegebenenfalls Wahrscheinlichkeiten zusammen.
49
Erwartungswert und Varianz der Funktion einer Zufallsgroe:
E (g(X )) =
=
V ar(g(X )) =
=
Z1
g(x)fX (x) dx fur stetige Zufallsgroen
X
;1
g(xi) pi fur diskrete Zufallsgroen
i
Z1
(g(x) ; E (g(X )))2fX (x) dx fur stetige Zufallsgroen
X
;1
i
(g(xi) ; E (g(X )))2 pi fur diskrete Zufallsgroen
Im Spezialfall der linearen Transformation Y = aX + b erhalt man:
E (Y ) = aE (X ) + b
V ar(Y ) = a2 V ar(X )
6.2 Funktionen zufalliger Vektoren
Wir betrachten hier nur den Spezialfall einer Summe von unabhangigen Zufallsgroen.
Seien X; Y unabhangig. Dann ist die Verteilung der Summe gegeben durch
P (X + Y = k) =
fur diskrete X; Y bzw.
fX +Y (t) =
X
l
Z1
;1
P (X = l)P (Y = k ; l) (Faltungssumme)
fX (u)fY (t ; u) du (Faltungsintegral)
fur stetige X; Y .
Die Berechnung der Faltungen ist sehr schwierig und lat sich nur fur wenige Verteilungen ausfuhren. Im allgemeinen unterliegt die Verteilung einer Summe einem anderen
Verteilungsgesetz als das der Summanden. Allerdings gibt es zwei wichtige Ausnahmen:
Die Summe zweier unabhangiger poissonverteilter Zufallsgroen mit den Parametern 1 und 2 ist poissonverteilt mit dem Parameter 1 + 2.
Die Summe zweier unabhangiger normalverteilter Zufallsgroen mit den Parametern (1; 12) und (2; 22) ist normalverteilt mit den Parametern (1 + 2 ; 12 + 22 ).
50
Momente einer Summe:
!
n
X
E
Xi
i=1 !
n
X
V ar
i=1
Xi
n
X
=
i=1
n
X
=
i=1
E (Xi)
V ar(Xi)
bei Unabhangigkeit
(vgl. auch Abschnitt 5.3)
6.3 Verteilungen der mathematischen Statistik
Die folgenden Verteilungen spielen eine wesentliche Rolle fur die spater behandelten
Schatz- und Testverfahren.
6.3.1 Die {Verteilung
2
Denition 6.1 Eine Zufallsvariable Y mit der Dichtefunktion
fY (y) =
1
( ;2)=2
2=2 ;(=2)
y
0
e;y=2 fur y > 0
sonst
heit 2 {verteilt (Chi-Quadrat-verteilt) mit Freiheitsgraden.
Hierbei ist ;(x) die sogenannte Gammafunktion, fur die gilt:
;(x) =
Z1
tx;1 e;tdt;
x > 0:
0
Es gilt:
Satz 6.1 Sind X1 ; X2; :::; X standardnormalverteilte unabhangige Zufallsvariablen,
dann ist
Y=
X
i=1
Xi2
mit Freiheitsgraden.
Eine 2{verteilte Zufallsvariable ergibt sich also als Summe von Quadraten unabhangiger
standardnormalverteilter Zufallsgroen.
Erwartungswert und Varianz der 2 {Verteilung:
2 {verteilt
E (Y ) = und V ar(Y ) = 2:
51
Approximationsmoglichkeiten fur die 2 -Verteilung:
Fur 100 ist eine 2( ){verteilte Zufallsvariable naherungsweise N (; 2 ){
verteilt.
p
p
Fur 30 ist Z = 2Y ; 2 ; 1 naherungsweise standardnormalverteilt.
Am Ende des Skriptes bendet sich eine Tabelle der 2-Verteilung. Tabelliert sind zu den
angegebenen Freiheitsgraden die y{Werte, bei denen FY (y) die im Kopf angegebenen
p{Werte erreicht. Sie werden spater mit 2;p bezeichnet: P (Y 2;p) = p und heien
Quantile der Ordnung p der 2-Verteilung mit Freiheitsgraden.
6.3.2 Die Student{Verteilung (t{Verteilung)
Denition 6.2 Eine Zufallsvariable T mit der Dichtefunktion
;(( + 1)=2)
fT (t) = p ;(=
2)(1 + t2 = )(+1)=2
heit student{verteilt mit Freiheitsgraden.
Satz 6.2 Seien Z eine N (0; 1){verteilte und Y eine 2 ( ){verteilte Zufallsvariable. Z
und Y seien unabhangig. Dann ist T = pZ student{verteilt mit Freiheitsgraden
Y=
bzw. t( )-verteilt.
Erwartungswert und Varianz der Student{Verteilung:
E (T ) = 0 fur 2 und V ar(T ) = ; 2 fur 3 :
Approximationsmoglichkeiten fur die Student-Verteilung:
Fur > 30 ist eine student{verteilte Zufallsvariable naherungsweise standardnormalverteilt.
t;p : P (T t;p) = p heit Quantil der Ordnung p der Student{Verteilung mit Freiheitsgraden.
Fur verschiedene Freiheitsgrade sind am Ende des Skriptes die Quantile der Student{
Verteilung tabelliert. Bei Benutzung der Tabelle ist zu beachten, da die Student{
Verteilung symmetrisch um ihren Erwartungswert ist.
6.3.3 Die F {Verteilung
Denition 6.3 Eine stetige Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion
;
r
;; r21 + ;r22 x( 21 ;1)
; r21 ; r22 (r1x + r2) r1+2 r2
heit F{verteilt mit r1 und r2 Freiheitsgraden bzw. F (r1; r2 ){verteilt.
fX (x; r1; r2) = (r1)r1=2 (r2)r2 =2
52
Satz 6.3 Sind Y1 und Y2 zwei 2{verteilte unabhangige Zufallsvariablen mit r1 und r2
Freiheitsgraden, so ist
1
X = YY1=r
=r
2
F{verteilt mit r1 und r2 Freiheitsgraden.
2
Die F{Verteilung entsteht also als Quotient zweier 2 {verteilter Zufallsvariablen.
Erwartungswert und Varianz der F-Verteilung:
2 r + r ; 2)
1
2
E (X ) = r r;2 2 ; r2 > 2 und V ar(X ) = r 2(rr2 (;
2
2) (r ; 4) ; r2 > 4 :
2
1 2
2
Approximationsmoglichkeiten fur die F-Verteilung:
Fur r1 = 1 und r2 30 ist X naherungsweise standardnormalverteilt.
Fur r1 = und r2 200 ist X naherungsweise 2 ( ){verteilt.
Fur r1 = 1 und r2 = ist X student{verteilt mit Freiheitsgraden. (Diese Beziehung gilt exakt!)
Satz 6.4 Ist X F (r1; r2){verteilt, so unterliegt X1 einer F (r2; r1){Verteilung.
6.4 U bungsaufgaben
Aufgabe 6.1
Die Hohe der Nachfrage nach einem bestimmten Artikel eines Versandhauses ist eine
Zufallsgroe X , deren Dichtefunktion gegeben ist durch
1=12 0 < x < 12
fX (x) =
0
sonst
Die Kosten K sind gegeben durch K = 2X + 10. Berechnen Sie Erwartungswert und
Varianz von K !
Aufgabe 6.2
Die Summe Z = X + Y von zwei unabhangigen, stetigen Zufallsgroen X und Y ist eine
stetige Zufallsgroe, deren Dichtefunktion durch das Integral
fZ (z) =
Zz
fX (x) fY (z ; x) dx
0
berechnet werden kann.
53
a) Bei einer Ampelanlage sind fur das Rotlichtsignal zwei Lampen eingebaut. Fallt die
erste Lampe wegen Defekts aus, wird automatisch auf die zweite Lampe umgeschaltet. Die Lebensdauern X und Y (in Tagen) der beiden Lampen seien unabhangig
und exponentialverteilt mit E (X ) = E (Y ) = 50. Wie gro sind Erwartungswert
und Varianz der Gesamtlebensdauer? Berechnen Sie P (X + Y > 100).
b) Die Reparaturzeit Z fur ein elektronisches Gerat setzt sich aus der Zeit X fur die
Fehlersuche und der Zeit Y fur die Behebung des Defektes zusammen. X und Y
sind exponentialverteilte Zufallsgroen. Die mittlere Suchzeit betragt 2 Stunden,
die mittlere eigentliche Reparaturzeit 8 Stunden.
1. Wie lange dauert im Mittel eine Reparatur eines solchen Gerates?
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit dauert eine Reparatur nur hochstens 8 Stunden?
Aufgabe 6.3
Aufgrund der technischen Gegebenheiten und der einschlagigen Vorschriften errechnete
man fur eine projektierte Skiseilbahn eine zulassige Zuladung von 2 700 kg pro Gondel.
Fur die Umsetzung in eine zulassige Personenanzahl gehe man davon aus, da fur das
Personengewicht X und das Gewicht Y der Skiausrustung gelte
E (X ) = 75; V ar(X ) = 80; E (Y ) = 15; V ar(Y ) = 4 :
Die zulassige Personenanzahl n mu die Eigenschaft haben, da die Wahrscheinlichkeit
fur eine U berschreitung der zulassigen Zuladung hochstens 1% betragt.
Bestimmen Sie n unter den Pramissen, da X und Y unabhangig und normalverteilt
sind.
Aufgabe 6.4
Sei X eine stetige Zufallsvariable mit der Dichte
fX (x) =
2(1 ; x)
0
fur 0 x 1
sonst
und Y = 1 ; X . Man zeichne die Dichte von Y und bestimme E (Y ) und V ar(Y ).
Aufgabe 6.5
X und Y seien zwei unabhangige, im Intervall [0,2] gleichverteilte Zufallsvariablen. Man
bestimme:
E (X + Y ); E (X ; Y ); V ar(X + Y ); V ar(X ; Y ); V ar(2X ; 3Y ):
Aufgabe 6.6
Berechnen Sie die Varianz der Zufallsvariablen
54
X : "Summe der erzielten Augen beim Werfen zweier Wurfel\!
Aufgabe 6.7
Man zeige: Ist X eine Zufallsvariable mit E (X ) = und V ar(X ) = 2 , so gilt fur die
standardisierte Zufallsvariable Z (d.h. Z = X; ):
E (Z ) = 0; V ar(Z ) = 1 :
Aufgabe 6.8
Als Ma fur die Unsymmetrie einer Verteilung dient das Schiefema
) ) :
= E ((X;
3
3
Dabei ist X eine Zufallsvariable mit E (X ) = und V ar(X ) = 2. Man zeige:
1. X und seine Standardisierung X; besitzen das selbe Schiefema, d.h., ist unabhangig von und 2 .
2. Eine symmetrische Verteilung besitzt das Schiefema 0.
Aufgabe 6.9
Man berechne das Schiefema der Null{Eins{Verteilung mit dem Parameter p (vgl.
Aufgabe 6.8) und diskutiere den Wert von in den Fallen
p = 12 ; p ! 0 und p ! 1:
Aufgabe 6.10
Wie gro ist die durchschnittliche Anzahl der Wurfe, die man braucht, um mit einem
Wurfel jede der sechs Augenzahlen mindestens einmal geworfen zu haben? (Durchschnittliche Wartezeit bis zu einem vollstandigen Satz.)
Aufgabe 6.11
Der Anhalteweg X eines mit 60 km/h fahrenden Autos setzt sich additiv zusammen
aus dem Reaktionsweg X1 und dem Bremsweg X2, wobei X1 und X2 (stochastisch)
unabhangige naherungsweise N (14; 9) bzw. N (36; 25) verteilte Zufallsvariable sind.
a) Wie ist die Zufallsvariable X1 + X2 naherungsweise verteilt?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Anhalteweg eines mit 60 km/h fahrenden
Autos uber 55 m?
55
7 Stichproben
Inhalt der induktiven Statistik ist es, Methoden zu erarbeiten, mittels derer Schlusse von
einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit bzw. Schlusse von einzelnen Beobachtungen
auf dahinterstehende Gesetzmaigkeiten moglich sind.
Die zu untersuchenden Merkmale werden als Zufallsgroen aufgefat. Man nimmt an,
da sie nicht oder nicht vollstandig bekannt sind.
Von einer Stichprobe (X1; : : : ; Xn) nimmt man im allgemeinen an, da die Xi; i =
1; : : : ; n unabhangige und identisch wie die Grundgesamtheit verteilte Zufallsgroen
sind. Stichproben dieser Art heien Zufallsstichproben. Bei zufalligen Stichproben ist
die Wahrscheinlichkeit, mit der jedes Element der Grundgesamtheit in die Stichprobe
gelangt, gleich gro. Diese Annahme ist haug nur annaherungsweise erfullt, fuhrt jedoch
zu "relativ einfachen\ statistischen Verfahren.
Wir betrachten im folgenden Methoden der Stichprobenerhebung, wie sie in der Praxis
angewandt werden.
7.1 Einige Auswahltechniken
Die hier aufgefuhrten Auswahltechniken fuhren zu Stichproben, die i.allg. keine Zufallsstichproben sind, jedoch annaherungsweise so behandelt werden konnen. Wir denken
uns die Elemente der Grundgesamtheit durchnumeriert.
1. Auswahl mit Zufallszahlen, die man einer Tabelle entnimmt oder mittels Rechner
simuliert (aufwendig!)
2. Systematische (periodische) Auswahl:
Die Grundgesamtheit enthalte N Elemente, von denen als Stichprobe n Elemente ausgewahlt werden sollen. Jedes k{te Element wird gezogen, wobei das erste
gelost wird. Dabei erfolgt die Auswahl so, da k=N=n bzw. k < N=n und k soll
grotmoglich sein.
(keine reine Zufallsauswahl, da z.B. benachbarte Elemente nicht in die Stichprobe
gelangen konnen)
3. Das Schluziernverfahren
Man wahlt Anzahl und Stellen der Schluziern der durchnumerierten Grundgesamtheit so, da n moglichst genau realisiert wird. Das Verhaltnis n=N heit
Auswahlsatz.
56
Im folgenden betrachten wir Stichproben, bei denen die bekannte Struktur einer Grundgesamtheit ausgenutzt wird.
7.2 Geschichtete Stichproben
Die Grundgesamtheit wird in Teilmengen zerlegt, die in sich homogen, untereinander
heterogen sind. Dann wird aus jeder Schicht eine Zufallsauswahl getroen, dabei sind
die Schichten voneinander unabhangig.
Diese Stichprobenerhebung ist teurer als eine reine Zufallsauswahl, liefert jedoch "genauere\ Stichproben, da die Kenntnisse uber die Struktur der Grundgesamtheit genutzt
werden.
Die Fragen
a) wie man die Grundgesamtheit in Schichten zerlegen soll und
b) wie sich die Stichprobe auf die Schichten aufteilt,
damit der Genauigkeitsgewinn gegenuber der ungeschichteten reinen Zufallsauswahl
moglichst gro wird, sind das eigentliche Problem bei der Planung einer geschichteten Stichprobe.
Die Beantwortung von a) besteht in der Festlegung der Schichtungsvariablen, der Anzahl
der zu bildenden Schichten und der Abgrenzung der Schichten untereinander.
Als Schichtungsvariable werden qualitative Merkmale (Geschlecht, Familienstand, Konfession, Beruf usw.) bevorzugt, weil bei ihnen die Anzahl und Abgrenzung der Schichten
oft auf naturliche Weise gegeben ist.
Dann bleibt die Festlegung der Umfange der Teilstichproben in den Schichten.
Wir wollen diese Vorgehensweise am Beispiel der Ermittlung des Mittelwertes verdeutlichen. Dabei gehen wir im folgenden davon aus, da die Grundgesamtheit auf geeignete
Weise in k Schichten zerlegt wurde, und fuhren fur jede Schicht j = 1; : : : ; k die folgenden Groen ein:
Nj : Anzahl der Elemente der j {ten Schicht in der Grundgesamtheit (Umfang der
Schicht j )
ij : Wert von X , den das i{te Element in der j {ten Schicht besitzt
Nj
X
1
j = N
ij
j i=1
Mittelwert der j {ten Schicht
Nj
X
1
j = N (ij ; j )2 Varianz der j {ten Schicht
j i=1
2
nj : Umfang der aus der j {ten Schicht gezogenen reinen Zufallsstichprobe
57
Unmittelbar klar sind die Beziehungen N = N1 + +Nk und n = n1 + +nk . Weiterhin
gilt fur den Mittelwert der Grundgesamtheit (das sogenannte Gesamtmittel):
Nj
k X
k
X
X
1
= N
ij = N1 Nj j
j =1 i=1
j =1
(7.1)
Innerhalb der Gesamtstichprobe bezeichnen wir mit Xj1; : : : ; Xjnj die aus der j {ten
Schicht gezogene Teilstichprobe. Das dazu gehorige ungewogene Stichprobenmittel
nj
X
1
Xj = n
Xji
j i=1
(7.2)
dient als Schatzung fur j . Wegen (7.1) benutzt man als Schatzung fur das gewogene
Stichprobenmittel
k
X
1
X = N Nj X j
j =1
(7.3)
Liegt die Schichtung der Grundgesamtheit fest, so bleibt noch die Frage oen, wie man
die Gesamtstichprobe auf die Schichten aufteilen soll, mit anderen Worten: wie die
n1; : : : ; nk unter der Nebenbedingung n1 + + nk = n festgelegt werden sollen (n
betrachten wir als vorgegeben). Dafur haben sich im wesentlichen zwei Arten durchgesetzt: die proportionale Aufteilung und die optimale Aufteilung; entsprechend spricht
man von einer proportional und einer optimal geschichteten Stichprobe. Man beachte
dabei, da sich diese Attribute nicht auf die Schichtung, sondern auf die Aufteilung der
Stichprobe auf bereits vorhandene Schichten beziehen.
7.2.1 Die proportional geschichtete Stichprobe
Eine proportional geschichtete Stichprobe liegt vor, wenn fur jede Schicht j der Auswahlsatz nj =Nj gleich gro ist:
n1 = n2 = = nk
(7.4)
N1 N2
Nk
Man kann leicht zeigen, da sich daraus fur j = 1; : : : ; k die beiden folgenden Beziehungen ergeben:
(7.5)
nj = Nn Nj
nj = Nj
(7.6)
n
N
Nach (7.5) ist der Umfang nj der aus der j {ten Schicht gezogenen Teilstichprobe proportional zum Schichtumfang Nj . (7.6) besagt, da der Anteil der j {ten Schicht in der
Stichprobe genauso gro ist wie der Anteil der j {ten Schicht in der Grundgesamtheit.
58
In einer proportional geschichteten Stichprobe bezeichnen wir die Schatzung X fur den
Mittelwert mit X prop. Aus (7.2), (7.3) und (7.5) folgt:
X prop = N1
k
X
Nj X j = N1
j =1
k
X
Nj n1
j
j =1
nj
X
Xji = n1
i=1
nj
k X
X
j =1 i=1
Xji
Das bedeutet: X prop ist ein ungewogenes Stichprobenmittel.
7.2.2 Die optimal geschichtete Stichprobe
Eine optimal geschichtete Stichprobe liegt vor, wenn zu vorgegebenem n die n1 ; : : : ; nk so
gewahlt werden, da V ar(X ) minimal wird. Die in diesem Sinne gunstigsten n1 ; : : : ; nk
bezeichnen wir mit n1 ; : : : ; nk : Dafur gilt in sehr guter Naherung:
n Nj j n (j = 1; : : : ; k)
(7.7)
j
Pk N i=1
i i
(Da in dieser Formel die rechte Seite im allgemeinen nicht ganzzahlig ist, mu man
zur nachstgelegenen ganzen Zahl auf- oder abrunden, um nj zu erhalten; dabei ist die
Nebenbedingung n1 + + nk = n zu berucksichtigen. Weiterhin mu beachtet werden,
da keines der nj gleich Null oder groer als Nj wird.
In einer optimal geschichteten Stichprobe bezeichnen wir die Schatzung fur den Mittelwert der Grundgesamtheit mit X opt . Diese Groe ergibt sich, wenn man (7.7) in (7.2)
und (7.3) einsetzt.
In einer optimal geschichteten Stichprobe sind die Stichprobenumfange nj proportional
zu Nj j ; die Auswahlsatze nj =Nj sind proportional zu j und damit fur in sich homogene
Schichten kleiner als fur heterogene.
Im Gegensatz dazu sind in einer proportional geschichteten Stichprobe die geschichteten
Stichprobenumfange proportional zu Nj und die Auswahlsatze fur jede Schicht gleich
gro; die Varianzen j2 innerhalb der einzelnen Schichten bleiben unberucksichtigt.
Bei der Durchfuhrung einer optimal geschichteten Stichprobe treten in der Praxis die
beiden folgenden Probleme auf:
1. Die Varianzen 12; : : : ; k2 sind in der Regel unbekannt. Sie mussen aus fruheren
Erhebungen oder aus einer eigens dafur durchzufuhrenden Vorstichprobe geschatzt
werden. Dabei konnen Ungenauigkeiten auftreten, welche die Vorzuge der optimal
geschichteten Stichprobe wieder aufheben. Sogar eine Verschlechterung gegenuber
der proportionalen Aufteilung ist moglich.
2. Die optimale Aufteilung der Stichprobe hangt von den Varianzen j2 der Zufallsvariablen X in den einzelnen Schichten ab und ist damit auf ein bestimmtes Untersuchungsmerkmal X zugeschnitten. Oft sollen aber durch eine Stichprobe mehrere
Merkmale X , Y usw. untersucht werden. Eine Stichprobe, die bezuglich X optimal
geschichtet ist, kann bezuglich Y eine sehr ungunstige Aufteilung darstellen.
59
Diese Probleme treten bei einer proportional geschichteten Stichprobe nicht auf; sie wird
deswegen der optimalen Aufteilung haug vorgezogen.
7.2.3 Bemerkungen zum Schichtungseekt
Wir bezeichnen mit X reiZ das ungewogene Stichprobenmittel in einer reinen Zufallsauswahl. Fur die Varianz von X reiZ und die Varianzen von X prop und X opt sind im
allgemeinen die folgenden Ungleichungen erfullt:
V ar(X opt) V ar(X prop) V ar(X reiZ )
(7.8)
Nahere Untersuchungen zeigen:
1. Der Schichtungsgewinn der proportional geschichteten Stichprobe gegenuber der
reinen Zufallsauswahl ist um so groer, je starker die Mittelwerte 1; : : : ; k der
einzelnen Schichten voneinander abweichen. Bei der Planung einer proportional
geschichteten Stichprobe sollte man deswegen die Schichtung der Grundgesamtheit
so vornehmen, da sich die Schichten bezuglich ihrer Mittelwerte moglichst stark
voneinander unterscheiden und in diesem Sinne untereinander moglichst heterogen
sind.
2. Der Schichtungsgewinn der optimal geschichteten Stichprobe gegenuber der proportional geschichteten ist um so groer, je starker die Standardabweichungen
1 ; : : : ; k der einzelnen Schichten voneinander abweichen. Bei der Planung einer optimal geschichteten Stichprobe sollte man daher dafur sorgen, da sich die
Schichten sowohl in ihren Mittelwerten als auch in ihren Streuungen moglichst
stark unterscheiden und in dieser zweifachen Hinsicht untereinander moglichst heterogen sind.
Zusammenfassend konnen wir feststellen: Der U bergang von der reinen Zufallsauswahl
zur proportional geschichteten Stichprobe tragt dem Unterschied zwischen den Mittelwerten der Schichten Rechnung; der U bergang von der proportional zur optimal geschichteten Stichprobe berucksichtigt daruber hinaus den Unterschied zwischen den Streuungen innerhalb der einzelnen Schichten.
7.3 Klumpenstichproben
Die Klumpenstichprobe bildet in gewissem Sinne das Gegenstuck zur geschichteten Stichprobe: Zugunsten eines einfacheren und billigeren Erhebungsverfahrens nimmt man bei
der Klumpenauswahl haug eine groere Ungenauigkeit gegenuber der reinen Zufallsauswahl in Kauf.
Zur Durchfuhrung einer Klumpenstichprobe wird die Grundgesamtheit in Teilgesamtheiten, sogenannte Klumpen, zerlegt; im Gegensatz zu den Schichten bei einer geschichteten Auswahl sollen die Klumpen in sich moglichst heterogen und untereinander moglichst
homogen sein, jeder Klumpen soll moglichst reprasentativ fur die Grundgesamtheit sein.
60
Aus diesen Klumpen, ihre Anzahl sei M , werden dann m Stuck durch eine reine Zufallsauswahl ausgewahlt. Die Stichprobe besteht aus allen Elementen der m gewahlten
Klumpen.
In der Praxis fuhrt man eine Klumpenstichprobe meistens dann durch, wenn die Elemente der Grundgesamtheit von vornherein in Gruppen zusammengefat vorliegen, die
vorhandenen Gruppen werden als Klumpen benutzt.
In diesen Fallen ist die Klumpenstichprobe gegenuber der reinen Zufallsauswahl (und
erst recht gegenuber der geschichteten Stichprobe) ein besonders einfaches und kostengunstiges Erhebungsverfahren. Dabei hat man allerdings keinen Einu darauf, wie
reprasentativ jeder Klumpen fur die Grundgesamtheit ist.
Wir betrachten wieder die Schatzung eines unbekannten Mittelwertes der Grundgesamtheit mittels einer Klumpenstichprobe. Dazu betrachten wir fur jeden Klumpen
i = 1; : : : ; m der Stichprobe die Zufallsvariable
Yi : Summe der X {Werte aller Elemente des i{ten Klumpens.
(Mit X bezeichnen wir wie stets die Untersuchungvariable.) Dann ist
m
1X
m i=1 Yi
der Durchschnittswert der Summe der X {Werte pro Klumpen in der Stichprobe. Wir
erhalten daraus:
X
Yb = M Yi
m
m
(7.9)
i=1
ist eine Schatzung fur die Gesamtsumme der X {Werte in der Grundgesamtheit. Daher
benutzt man in einer Klumpenstichprobe
m
X
X klu = N1 Yb = N1 M
m Yi
i=1
(7.10)
als Schatzung fur . Entsprechend dient V ar(X klu) als Ma fur die Genauigkeit der
Klumpenstichprobe. Um diese mit V ar(X reiZ ), dem Ma fur die Genauigkeit einer reinen Zufallsstichprobe, vergleichen zu konnen, hat man zu beachten, da der Umfang
einer Klumpenstichprobe zufallig ist: In der Regel sind namlich die M Klumpen der
Grundgesamtheit nicht gleich gro; wahlt man m von ihnen zufallig aus, so hangt auch
die Anzahl der damit erfaten Elemente vom Zufall ab. Im Durchschnitt besitzt jeder
der M Klumpen N=M Elemente. Daher gilt fur den durchschnittlichen Umfang n der
Klumpenstichprobe:
N
(7.11)
n=m M
61
Beim Vergleich von V ar(X klu) und V ar(X reiZ ) legt man daher der reinen Zufallsauswahl
den Stichprobenumfang (7.11) zugrunde. Davon ausgehend versteht man unter dem
Klumpungseekt den Unterschied zwischen V ar(X klu) und V ar(X reiZ ). Ist V ar(X klu)
groer als V ar(X reiZ ), so spricht man von einem Klumpungsverlust, im umgekehrten
Fall von einem Klumpungsgewinn.
Die Berechnung von V ar(X reiZ ), V ar(X klu) und der Vergleich dieser beiden Groen
liefert folgende Ergebnisse:
1. Je homogener die Klumpen untereinander (je heterogener sie in sich) sind, desto
kleiner ist V ar(X klu). Mit anderen Worten: Die Klumpenstichprobe ist um so
genauer, desto besser jeder Klumpen die Grundgesamtheit reprasentiert.
2. Sind alle Klumpen gleich gro (in diesem Fall besitzt die Klumpenstichprobe denselben festen Stichprobenumfang n wie die zum Vergleich herangezogene reine
Zufallsauswahl), so lassen sich die folgenden, auch heuristisch naheliegenden Aussagen nachweisen:
(a) Erfolgt die Klumpenbildung in der Grundgesamtheit selbst rein zufallig, so
ist die Klumpenstichprobe der reinen Zufallsauswahl in punkto Genauigkeit
ebenburtig; der mittlere (zu erwartende) Klumpungseekt ist in diesem Fall
gleich Null.
(b) Sind die Klumpen untereinander heterogener und in sich homogener, als man
bei rein zufalliger Klumpung erwarten wurde, so entsteht ein Klumpungsverlust, anderenfalls ein Klumpungsgewinn.
3. Fur verschieden groe Klumpen ist die Aussage (2b) tendenziell ebenfalls gultig.
Die Aussage (2a) lat sich in ihrer exakten Form nicht mehr aufrechterhalten; sie
ist naherungsweise erfullt, wenn die Klumpenumfange nicht zu stark variieren.
Eine systematische Klumpenbildung kann also zu einem positiven oder negativen Klumpungseekt fuhren.
7.4 U bungsaufgaben
Aufgabe 7.1
Aus einer durchnummerierten Grundgesamtheit G = f1; : : : ; N g mit N = 10 000 Elementen soll eine gleichgewichtete Zufallsauswahl vom Umfang n = 120 gezogen werden.
a) Es wird eine periodische Auswahl vorgenommen (jedes k{te Element wird gezogen).
Man bestimme k derart, da das vorgeschriebene n moglichst gut eingehalten, aber
nicht unterschritten wird. Wie gro ist der durchschnittliche Stichprobenumfang
dieser Auswahl?
b) Die Stichprobe wird mit Hilfe des Schluziernverfahrens gezogen. Man gebe eine
Schluziernkombination an, die den vorgegebenen Auswahlsatz einhalt.
62
Aufgabe 7.2
Die Grundgesamtheit G besteht aus N = 4 Elementen mit den X {Werten 1; 2; 3; 4: Es
wird eine reine Zufallsstichprobe vom Umfang n = 2 gezogen. Man gebe alle moglichen
Stichproben mit den dazugehorigen X {Werten an und bestimme daraus V ar(X ).
Aufgabe 7.3
Eine Grundgesamtheit G, die aus N = 4 Elementen mit den X {Werten 1; 2; 3; 4 besteht,
wird rein zufallig in M = 2 Klumpen mit N1 bzw. N2 Elementen zerlegt; dabei sind N1
und N2 fest vorgegeben. Anschlieend werden m = 1 Klumpen zufallig ausgewahlt. Man
zeige mit Hilfe des Ergebnisses von Aufgabe 7.2:
a) Fur N1 = N2 = 2 ist der mittlere Klumpungseekt gleich Null.
b) Fur N1 = 1 und N2 = 3 entsteht im Mittel ein Klumpungsverlust.
Hinweis: Man berechne in beiden Fallen zu jeder moglichen (gleichwahrscheinlichen)
Klumpung V ar(X klu) und daraus die mittlere Varianz von X klu.
Aufgabe 7.4
Aus einer Urne U mit N Kugeln, darunter M weie, werden n Kugeln vermoge einer
reinen Zufallsauswahl
a) mit Zurucklegen,
b) ohne Zurucklegen
gezogen. Als Stichprobenvariable betrachten wir die Null{Eins{verteilte Zufallsvariable
Xi , die den Wert 0 oder 1 annimmt, je nachdem, ob die gezogene Kugel wei ist oder
nicht (i = 1; : : : ; n). Welche Verteilung besitzt X1 + : : : + Xn unter a), welche unter b)?
Man bestimme in beiden Fallen die Varianz von X (= X reiZ ).
Aufgabe 7.5
Fur die Urne U aus Aufgabe 7.4 (Urne U mit N Kugeln, darunter M weie) legen wir
die Parameter N = 12 und M = 6 fest und teilen sie in zwei Urnen U1 und U2 auf:
U1 enthalte 6 Kugeln, darunter 3 weie, U2 ebenfalls. U1 und U2 sind in sich auerst
heterogen und untereinander vollig homogen. Diese Zerlegung von U stellt eine extrem
ungunstige Schichtung, aber eine extrem gunstige Klumpung dar. Es wird
a) eine geschichtete Stichprobe vom Umfang n = 6 gezogen, indem aus U1 und U2
jeweils 3 Kugeln ohne Zurucklegen gezogen werden,
b) eine Klumpenstichprobe gleichen Umfanges gezogen, indem eine der beiden Urnen,
U1 oder U2 , zufallig gewahlt wird.
Man bestimme die Varianzen von X prop, X opt und X klu und zeige mit Hilfe des Ergebnisses von Aufgabe 7.4, da hier gilt:
0 = V ar(X klu) < V ar(X reiz ) < V ar(X prop) = V ar(X opt )
63
Aufgabe 7.6
Die Urne U aus Aufgabe 7.5 (Urne U mit N Kugeln, darunter M weie; N = 12; M =
6) wird in die beiden folgenden Urnen aufgeteilt: Urne U1 enthalte die sechs weien
und Urne U2 die ubrigen sechs Kugeln (extrem gunstige Schichtung, extrem ungunstige
Klumpung). Es werden die gleichen Stichproben a) und b) wie in Aufgabe 7.5 gezogen.
Es wird
a) eine geschichtete Stichprobe vom Umfang n = 6 gezogen, indem aus U1 und U2
jeweils 3 Kugeln ohne Zurucklegen gezogen werden,
b) eine Klumpenstichprobe gleichen Umfanges gezogen, indem eine der beiden Urnen,
U1 oder U2 , zufallig gewahlt wird.
Man bestimme die Varianzen von X prop und X klu (wegen 1 = 2 = 0 kommt eine
optimal geschichtete Stichprobe nicht in Betracht) und zeige, da hier gilt:
0 = V ar(X prop) < V ar(X reiz ) < V ar(X klu):
64
8 Punktschatzungen
Wir nehmen an, da von der Grundgesamtheit X
der Verteilungstyp als bekannt vorausgesetzt wird,
wenigstens ein Parameter dieser Verteilung unbekannt ist.
Wir charakterisieren den Verteilungstyp einer stetigen bzw. diskreten Zufallsgroe X
durch ihre Dichtefunktion f (t; #) (1 < t < +1), bzw. ihre Einzelwahrscheinlichkeiten
P (X = xi ; #) = p(xi ; #) (i = 1; 2; : : : ) mit dem ein- oder mehrdimensionalen Parameter
#. Die statistischen Schatzverfahren dienen dazu, den Parameter #, von dem wir annehmen, da er unbekannt ist, auf der Basis einer aus der Grundgesamtheit gezogenen Stichprobe zu schatzen. Diese Schatzungen, die Stichprobenfunktionen und dementsprechend
Zufallsgroen sind, werden Schatzfunktionen genannt. Diese bezeichnen wir fur eine
mathematische Stichprobe (X1; X2; : : : ; Xn) vom Umfang n mit #b = g(X1; X2; : : : ; Xn).
Ihre Realisierung, wird mittels einer konkreten Stichprobe x1 ; x2 ; : : : ; xn { einer Realisierung von (X1 ; X2; : : : ; Xn) { gewonnen und heit Schatzwert.
8.1 Maximum{Likelihood{Methode
Denition 8.1 Ist x1; x2 ; : : : ; xn eine aus einer Grundgesamtheit X gezogene konkrete
Stichprobe vom Umfang n und ist X eine diskrete bzw. stetige Zufallsgroe mit den
Einzelwahrscheinlichkeiten P (X = xi ; #); (i = 1; 2; : : : ) bzw. der Dichte fX (t; #), wobei
der Parameter # unbekannt ist, dann wird die Funktion
L(x1 ; x2 ; : : : xn; #) =
L(x1 ; x2; : : : ; xn; #) =
Yn
i=1
Yn
i=1
P (X = xi ; #)
bzw.
fX (xi ; #)
als Likelihood-Funktion bezeichnet. Ein Schatzwert #b des Parameters #, fur den die
Likelihood-Funktion an der Stelle # = #b ein eindeutig bestimmtes Maximum besitzt, wird
Maximum-Likelihood-Schatzung (MLS) fur # genannt.
Ist #b die Maximum{Likelihood{Schatzung des Parameters # und soll eine Funktion g(#)
geschatzt werden, so ist die Maximum{Likelihood{Schatzung gd
(#) dieser Funktion gleich
b
der Funktion g(#) der Schatzung von #.
65
8.2 Momentenmethode
Bei der Momentenmethode wird von einer mathematischen Stichprobe (X1; : : : ; Xn)
ausgegangen, die aus einer Grundgesamtheit X gezogen wurde. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X soll von dem Parameter # abhangen. Der Parameter # sei eine
k{dimensionale Groe, d.h., # besteht aus k Komponenten, fur die Punktschatzfunktionen gesucht sind. Weiterhin sollen die im allgemeinen vom Parameter # abhangenden
Momente mr von X mindestens bis zur k{ten Ordnung existieren:
mr = E (X r ) = gr (#)
(r = 1; 2; : : : ; k):
Zur Schatzung der unbekannten Komponenten des Parameters # wird das Moment mr
durch die Stichprobenfunktion
n
X
mb r = n1 Xjr
j =1
(r = 1; 2; : : : ; k)
ersetzt. Damit ist ein Gleichungssystem gegeben, in dem die Komponenten des Parameters die Unbekannten sind. Die Losungen dieses Gleichungssystems werden als Momentenschatzungen bezeichnet.
8.3 Methode der kleinsten Quadrate
Wir betrachten das folgende Modell:
Y (x) = h(x) + Z (x)
(8.1)
mit E (Z (x)) = 0 und V ar(Z (x)) = 2 fur alle x. Die Funktion h(x) ist unbekannt.
Um h(x) zu schatzen, gibt man sich n Werte x1 ; : : : ; xn vor und beobachtet zu jedem
xi{Wert eine Realisierung y(xi) von Y (xi). Wir setzen
yi = y(xi);
i = 1; : : : ; n:
Die Schatzung bh(x) fur h(x) stutzt sich auf die beobachteten Wertepaare
(xi ; yi); i = 1; ; n:
Als Ma fur die Anpassung von bh(x) an die Beobachtungspunkte (xi ; yi) dient die Summe
der quadratischen Abweichung
X b 2
Q(bh) =
yi ; h(xi)
n
i=1
(8.2)
Die Anpassung ist um so besser, desto kleiner Q(bh) ausfallt. Die Methode der kleinsten
Quadrate besteht darin, innerhalb einer vorgegebenen Klasse von Funktionen bh(x) so zu
66
bestimmen, da Q(bh) minimal wird.
Um diese Vorgehensweise mit einer Schatzung unbekannter Parameter identizieren zu
konnen, mu man unterstellen, da der gleiche Funktionstyp, den man fur bh(x) festgelegt
hat, auch fur die unbekannte Funktion h(x) zutrit. Damit kommt man zu der folgenden
Spezizierung des Modells (8.1):
Y (x) = h(x; 0; : : : ; r ) + Z (x) ;
(8.3)
wobei der Funktionstyp h als bekannt gilt, die Parameter 0; ; r von h unbekannt
sind, z.B. h(x) = 0 + 1x + + r xr . Die gewonnenen Schatzungen fur 0; ; r
werden Kleinste{Quadrate{Schatzungen (KQ{Schatzungen) genannt. Als Beispiel nehmen wir an, da sich der Einu der x{Werte auf den Erwartungswert von Y durch eine
lineare Funktion h(x) = + x darstellen lat; und sind unbekannt. In diesem Fall
geht 8.2 uber in
n
X
Q = Q(; ) = (yi ; ; xi)2
i=1
Q besitzt als Funktion von und ein eindeutig bestimmtes Minimum. Die partiellen
Ableitungen von Q nach und lauten:
n
@Q = ;2 X
(yi ; ; xi)
@
i=1
n
@Q = ;2 X
xi (yi ; ; xi )
@
i=1
Setzt man diese gleich Null, so erhalt man fur die KQ{Schatzungen von b und b die
Bestimmungsgleichungen
n
X
i=1
n
X
i=1
Ihre Losungen lauten:
yi =
xi yi =
X
b n + b xi
i=1
n
n
X bX
b xi + x2i
n
i=1
i=1
b = y ; b x
Pn x y ; nx y
i i
b = i=1P
n
x2i ; nx2
(8.4)
(8.5)
i=1
mit
n
n
X
X
1
1
x = n xi und y = n yi:
i=1
i=1
67
Wir fuhren die Groen
1
n
X
sx = n ; 1 (xi ; x)2
i=1
n
X
sxy = n ;1 1 (xi ; x)(yi ; y)
i=1
2
ein. Rein formal lassen sich s2x als Stichprobenvarianz der Werte x1 ; : : : ; xn und sxy als
die Stichprobenkovarianz der Wertepaare (x1; y1); : : : ; (xn; yn) auassen. Man rechnet
leicht nach, da die Beziehungen
n
X
i=1
n
X
i=1
(xi ; x
)2
=
(xi ; x)(yi ; y) =
n
X
i=1
n
X
i=1
x2i ; n x2
und
xi yi ; nx y
gelten. Damit geht die Schatzformel fur b uber in
b = ssxy2
(8.6)
x
Vergleicht man diese Ergebnisse mit Abschnitt 5.4, so fallt die formale Analogie zwischen
den Schatzformeln fur b und b und den Formeln fur die Koezienten und der Regressionsgeraden von Y bzgl. X auf. Diese Analogie hat ihren Grund: Fat man namlich
die x{Werte als Realisationen einer Zufallsvariablen X auf, so ist h(X ) = + X die
Regressionsgerade von Y bzgl. X und b und b sind Schatzungen der Regressionskoezienten und . Man nennt h(X ) die Regressionsgerade der Grundgesamtheit X (die
theoretische Regressionsgerade) und bh(x) = b +b x die Regressionsgerade der Stichprobe
(die beobachtete Regressionsgerade).
8.4 Bayessche Schatzungen
Ein "Bayessianer\(Subjektivist) geht davon aus, da Wahrscheinlichkeiten vom Kenntnisstand des jeweiligen Betrachters abhangen. Fur ihn gibt es keine strikte Trennung zwischen zufalligen Groen (Zufallsvariablen) und nichtzufalligen Groen (Parametern). So
kann auch ein unbekannter Paramter als Zufallsvariable aufgefat und ihm eine (subjektive) Wahrscheinlichkeitsverteilung zugeordnet werden. Das bedeutet, da wir zwischen
dem Parameter als Zufallsvariable und dem Parameterwert z als Realisierung dieser
Zufallsvariablen unterscheiden mussen. Die Zufallsvariable "Parameter\ bezeichnen wir
mit Z . Sie beschreibt die moglichen Zustande der Grundgesamtheit. Die Realisationen
von Z sind die moglichen Parameterwerte z. Wie jeder Zufallsvariablen wird auch Z
eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zugeordnet. Damit wird auch eine Aussage z.B. der
Form P (Z = z) = p sinnvoll; sie besagt: Die Wahrscheinlichkeit, da der unbekannte
68
Parameter den Wert z besitzt, ist gleich p.
Vor der Beobachtung der Stichprobe entspricht die Verteilung von Z den Vorkenntnissen
des Betrachters uber den Parameter. Diese von der Person des Betrachters abhangige
Verteilung heit die a-priori-Verteilung des Parameters. Sie ist vom Betrachter anzugeben. Verschiedene Personen konnen dem Paramter verschiedene a-priori-Verteilungen
zuordnen. In der a-priori Verteilung steckt das eigentliche subjektive Element bei der
Auswertung einer Stichprobe.
Nach der Beobachtung der Stichprobe stellt die Verteilung von Z den neuen, durch die
Vorkenntnisse und Beobachtungen bestimmten Kenntnisstand des Betrachters uber den
Parameter dar. Diese Verteilung heit die a posteriori-Verteilung des Parameters. Diese Art der Auswertung entspricht einem Lernen aus Beobachtungen: Man lernt durch
die Beobachtungen hinzu (vermehrt sein Wissen durch die Beobachtung), indem man
von der a-priori-Verteilung zur a-posteriori Verteilung ubergeht. Auch fur Subjektivisten ist die Stichprobe und deren Beobachtung objektiv gegeben. Der U bergang von der
a-priori zur a-posteriori-Verteilung darf deswegen keine subjektiven Elemente enthalten.
Anders ausgedruckt: Liegen zum einen das Auswahlverfahren und damit die Verteilung
der Stichprobe und zum anderen die beobachteten Stichprobenwerte fest, so mussen
gleiche a-priori-Verteilungen auch zu gleichen a-posteriori-Verteilungen fuhren.
Wir veranschaulichen Bayessche Verfahren am Beispiel der Ermittlung einer unbekannten Wahrscheinlichkeit.
8.4.1 Die a-posteriori-Verteilung bei diskreter a-priori Verteilung
Es sei die a-priori-Verteilung durch
f (zi) = P (Z = zi) = pi fur alle i
(8.7)
gegeben.
Als Auswahlverfahren legen wir eine reine Zufallsauswahl mit Zurucklegen zugrunde. Die
Stichprobenvariablen X1; : : : ; Xn sind dann voneinander unabhangig. Jedes Xi besitzt
dieselbe Null{Eins{Verteilung mit dem Paramter z, falls Z den Wert z hat. Mit anderen
Worten: Die bedingten Wahrscheinlichkeiten der Xi unter der Bedingung Z = z lauten
P (Xi = 1jZ = z) = z und P (Xi = 0 j Z = z) = 1 ; z :
Sie lassen sich zusammenfassen zu
P (Xi = xi jZ = z) = zxi (1 ; z)1;xi fur xi = 1 oder 0
Wegen der Unabhangigkeit der X1 ; : : : ; Xn erhalten wir daraus:
P (X1 = x1 ; : : : ; Xn = xn jZ = z) = PP(X1 = x1 jZ =P z) P (Xn = xn jZ = z)
= z xi (1 ; z)n; xi
(8.8)
Die a-priori-Verteilung (8.7) und die bedingte Stichprobenverteilung (8.8) beschreiben
die Situation vor der Ziehung der Stichprobe. Nach der Durchfuhrung der Stichprobe
69
mogen die Stichprobenwerte x1 ; : : : ; xn beobachtet worden sein, ein Ereignis, das wir
mit B bezeichnen:
B : "X1 = x1 und X2 = x2 und : : : und Xn = xn\
Wir erhalten nun nach dem Satz von Bayes (vgl. Abschnitt 1.4):
P (Z = zj jB ) = PP P(B(BjZjZ==zjz) P) P(Z(Z==zjz) ) = PP P(B(BjZjZ==zjz) f) (fz(jz) )
i
i
i
i
i
i
(8.9)
fur alle zj . Diese bedingten Wahrscheinlichkeiten legen nach der Beobachtung B die
Verteilung von Z fest. Man nennt diese Verteilung die bedingte Verteilung von Z unter
der Bedingung B (bzw. nach der Beobachtung x1 ; : : : ; xn ). Sie wird als die a-posterioriVerteilung des Parameters nach der Beobachtung x1; ; xn erklart; ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion, die wir mit
fpost(zjx1 ; : : : ; xn) = P (Z = zjB )
(8.10)
bezeichnen, ist durch (8.9) gegeben. Setzen wir darin (8.8) und (8.7) ein, so erhalten wir:
zjy (1 ; zj )n;y f (zj )
fpost(zj j B ) = P zy (1 ; z )n;y f (z )
i
i
i
i
mit y =
n
X
k=1
xk fur alle zj
(8.11)
Die a-posteriori-Verteilung des Parameters stellt den Informationsstand uber den Parameter nach der Beobachtung der Stichprobe dar. Die Formel (8.11) gibt an, wie die
a-posteriori-Verteilung aus der a-priori Verteilung und den bedingten Stichprobenverteilungen bestimmt wird. Wir bemerken, da die Reihenfolge der Beobachtungen keine
Rolle spielt, sondern nur die Summe der Beobachtungswerte.
8.4.2 Die a-posteriori-Verteilung bei stetiger a-priori Verteilung
In den meisten Fallen ist der Umfang N der Grundgesamtheit sehr gro oder unbekannt. Man geht dann davon aus, da fur den unbekannten Parameter p jede reelle Zahl
zwischen 0 und 1 moglich ist. Die Vorkenntnisse des Betrachters werden in diesem Fall
durch eine stetige a-priori-Verteilung von Z beschrieben und als Dichte angegeben:
f (z) = Dichte der a-priori-Verteilung
(8.12)
Als Auswahlverfahren legen wir wieder eine reine Zufallsauswahl mit Zurucklegen zugrunde. Die bedingte gemeinsame Verteilung der Stichprobenvariablen X1; : : : ; Xn unter
der Bedingung Z = z ist dann dieselbe diskrete Verteilung wie unter 8.4.1; ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x1; : : : ; xn j z) ist durch (8.8) gegeben.
Nach Durchfuhrung der Stichprobe mogen die Stichprobenwerte x1 ; : : : ; xn beobachtet
70
worden sein. Eine Verallgemeinerung des Satzes von Bayes besagt, da die bedingte Verteilung von Z unter der Bedingung X1 = x1 ; : : : ; Xn = xn eine stetige Verteilung mit
der Dichte
fpost(z j x1 ; : : : ; xn) = R1 f (x1 ; : : : ; xn j z) f (z)
f (x1 ; : : : ; xn j t) f (t) dt
(8.13)
0
ist. Nach dem verallgemeinerten Satz von Bayes ist die bedingte Verteilung von Z nach
der Beobachtung (x1 ; : : : ; xn) eine stetige Verteilung mit der Dichte
fpost(z j x1; : : : ; xn) =
P
zy (1 ; z)n;y f (z)
R1 ty (1 ; t)n;y f (t) dt
(8.14)
0
mit y = xi. Die durch fpost(z j x1; : : : ; xn ) festgelegte bedingte Verteilung von Z stellt
die a-posteriori-Verteilung des Parameters nach der Beobachtung dar.
8.4.3 Der Schatzwert eines Subjektivisten
Der Subjektivist wertet die Stichprobe aus, indem er aus der Beobachtung dazulernt.
Dieser Lernvorgang ist mit dem U bergang von der a-priori auf die a-posteriori-Verteilung
abgeschlossen. Einen aus der Stichprobe gewonnenen Schatzwert zb fur den Parameter z
anzugeben, pat nicht so ohne weiteres zu dieser Vorgehensweise. Oft ist aber auch fur
einen Subjektivisten die Situation gegeben, in der er mit einem bestimmten Schatzwert
zb an Stelle des unbekannten z weiterarbeiten mu.
Bester Schatzwert zb ist derjenige z{Wert, fur den die Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw.
Dichte fpost(z j y) der a-posteriori Verteilung am groten ist, d.h.: zb ist der Modalwert
der a posteriori-Verteilung.
8.5 Eigenschaften von Schatzungen
In den vorhergehenden Abschnitten haben wir gesehen, da zur Schatzung von Parametern einer Grundgesamtheit verschiedene Methoden verwendet werden konnen. Dies
kann zu verschiedenen Punktschatzfunktionen fuhren. Es erhebt sich die Frage, welche
dieser Schatzfunktionen uns die beste Information uber den unbekannten Parameter liefert, mit anderen Worten, welche dieser Schatzfunktionen wir wahlen. Es ist zu klaren,
nach welchen Kriterien die entsprechenden Schatzfunktionen ausgewahlt werden konnen.
Als Ma fur den Schatzfehler verwenden wir die mittlere quadratische Abweichung (Mean
square error, MSE):
MSE(#; #b) = E (#b ; #)2
71
Der MSE einer Schatzung setzt sich aus einem systematischen Fehler und einem zufalligen Fehler zusammen:
E ((#b ; #)2 ) = E ((#b ; E (#b) + E (#b) ; #)2 )
= E (#b ; E (#b))2 + 2E (#b ; E (#b))(E (#b) ; #) + E (E (#b) ; #)2
= V ar(#b) + (E (#b) ; #)2
E (#b) ; # : Bias, Verzerrung, systematischer Fehler
V ar(#b) : zufalliger Fehler.
Damit fordern wir folgende Eigenschaften:
1. Erwartungstreue Schatzungen:
Denition 8.2 Eine Punktschatzfunktion #b(X1 ; : : : ; Xn) eines Parameters #
nennen wir erwartungstreu (unverzerrt), wenn der Erwartungswert von #b
gleich dem Parameter # ist, d.h., wenn gilt: E (#b) = #. Eine Punktschatzfunktion #b eines Paramerters # bezeichnen wir als asymptotisch erwartungstreu,
falls fur wachsenden Stichprobenumfang der Grenzwert des Erwartungswertes von
#b gleich dem Parameter # ist, d.h., wenn gilt:
lim E (#b(X1; : : : ; Xn)) = # :
n!1
2. Eziente Schatzungen
Denition 8.3 Die erwartungstreue Punktschatzfunktion #b1 des Parameters #
der Grundgesamtheit nennen wir ezienter (wirksamer) als eine erwartungs-
treue Punktschatzfunktion #b2 desselben Parameters, wenn fur ihre Varianzen
V ar(#b1 ) = E ((#b1 ; #)2 ) und V ar(#b2) = E ((#b2 ; #)2 ) gilt:
V ar(#b1 ) < V ar(#b2 ) :
3. Konsistenz
Denition 8.4 Eine Punktschatzfunktion #b(X1; : : : ; Xn) eines Parameters # bezeichnen wir als (schwach) konsistent, wenn #b mit wachsendem n in Wahrscheinlichkeit gegen # konvergiert, d.h. , wenn fur jedes beliebige > 0 gilt:
lim P (j #b(X1; : : : ; Xn) ; # j < ) = 1 :
n!1
Anmerkung: Zum Nachweis der (schwachen) Konsistenz einer Punktschatzfunktion
kann man die Aussage benutzen, da bei einer asymptotisch erwartungstreuen
Punktschatzfunktion #b = #b(X1; X2; : : : ; Xn) eines Parameters #, d.h. nlim
E (#b) =
!1
#, die Beziehung nlim
V ar(#b) = 0 eine hinreichende Bedingung fur ihre Konsistenz
!1
ist.
72
Eigenschaften der einzelnen Schatzmethoden:
Maximum{Likelihood{Schatzungen sind i.allg. asymptotisch erwartungstreu, konsistent, asymptotisch normalverteilt und besitzen asymptotisch minimale Varianz.
Momentenschatzungen: konsistente Schatzungen der Momente, unabhangig vom
Verteilungstyp
8.6 U bungsaufgaben
Aufgabe 8.1
a) Die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl der bis zum erstmaligen Eintreten
des Ereignisses A mit p = P (A) > 0 notwendigen Versuche in einem Bernoulli{
Experiment. Eine einfache Zufallsstichprobe vom Umfang n=6 ergab die Werte 8,
4, 0, 10, 6, 2. Berechnen Sie den Maximum{Likelihood{Schatzwert fur p.
b) In einer Urne benden sich grune, weie und rote Kugeln, und zwar viermal so viele
weie wie rote. Zur Schatzung des Anteils p der roten Kugeln werden 6 Kugeln mit
Zurucklegen gezogen. Ergebnis: 3 grune, 2 weie, 1 rote. Berechnen Sie den Schatzwert p nach der Maximum{Likelihood{Methode und dann die Wahrscheinlichkeit
fur das erzielte Ergebnis.
Aufgabe 8.2
Aus einer exponentialverteilten Grundgesamtheit (Parameter unbekannt) wurde eine
Stichprobe vom Umfang n entnommen. Man gebe die Likelihood{Funktion dieser Stichprobe an und bestimme die Maximum{Likelihood-Schatzung fur .
Beispiel: Stichprobe vom Umfang n = 10: 1.1, 4.7, 1.2, 5.2, 3.5, 2.9, 8.2, 1.5, 4.4, 7.3
Aufgabe 8.3
Von einer Poisson{verteilten Zufallsvariablen X wird eine unabhangige, identisch verteilte Stichprobe X1; : : : ; Xn gezogen. Man zeige, da X die Maximum{Likelihood{
Schatzung fur den Parameter der Poisson{Verteilung ist.
Aufgabe 8.4
X1 ; : : : ; Xn sei eine Zufallsstichprobe einer auf dem Intervall [0; #] gleichverteilten Zufallsvariablen X . Man bestimme die Maximum{Likelihood{Schatzung fur = E (X ) =
#=2.
Aufgabe 8.5
Die Verteilung der Zufallsgroe X sei durch die Dichtefunktion
80
fur x 0
>
< 4x=a2
ur 0 < x a=2
fX (x) = > 4(a ; x)=a2 f
fur a=2 < x a
:0
fur x > a
73
gegeben. Berechnen Sie die Momentenschatzung fur den Parameter a!
Aufgabe 8.6
Ein Filialunternehmen will den Zusammenhang zwischen Jahresumsatz und Ladenverkaufsache uberprufen. In einem bestimmten Jahr lieferten die n = 5 Filialen folgende
Daten:
Filiale Flache in 103 m2 Jahresumsatz in 106 DM
i
xi
yi
1
0.3
3
2
0.7
4
3
1.0
5
1.2
7
4
5
1.8
11
Berechnen Sie mittels der Methode der kleinsten Quadrate die Regressionsgerade.
Aufgabe 8.7
Bei der Messung des reinen Bremsweges s [in m] (ohne Reaktionsweg) eines bestimmten
PKW{Typs in Abhangigkeit von der Geschwindigkeit v [km/h] erhielt man folgende
Mewerte:
vi 10 20 40 50 60 70 80 100 120
si 1 3 8 13 18 23 31 47 63
a) Berechnen Sie den Koezienten c der empirischen Regressionsparabel s = c v2 .
b) Geben Sie einen Schatzwert fur den Bremsweg bei einer Geschwindigkeit von 75
km/h an.
Aufgabe 8.8
Die Selbstkosten y (in DM) eines Buchexemplares in Abhangigkeit von der Auflage x (in
103) Exemplaren werden durch Daten charakterisiert, die von einem Verlag im Verlaufe
von einigen Jahren gesammelt worden sind. Bestimmen Sie die Koezienten fur eine
hyperbolische Abhangigkeit der Gestalt y = a + b=x fur folgende Daten:
Auflage x 1
2
5 10 20
Kosten y 10.15 5.52 2.85 2.11 1.62
Aufgabe 8.9
Aus einer Grundgesamtheit mit N Elementen wird eine reine Zufallsstichprobe vom
Umfang n ohne Zurucklegen gezogen. Mittelwert und Varianz 2 der Grundgesamtheit
sind unbekannt. Man zeige, da fur die Stichprobenvarianz s2, mit der 2 geschatzt
werden soll, E (s2) = NN;1 2 gilt.
74
Aufgabe 8.10
X1 ; : : : ; Xn sei eine unabhangige, identisch verteilte Stichprobe einer Zufallsvariablen X
mit = E (X ) und 2 = V ar(X ).
a) Man zeige mit Hilfe der Tschebyschevschen Ungleichung, da X eine konsistente
Schatzung fur ist.
b) Man zeige direkt mit Hilfe des Gesetzes der groen Zahlen, da
X
S2 = n1 (Xi ; )2
eine konsistente Schatzung fur 2 ist.
75
9 Kondenzschatzungen
Punktschatzungen liefern (fast) immer einen Wert, der vom wahren Wert des Parameters
abweicht. Daher ist es fur viele Aufgabenstellungen wichtig, vom Schatzwert ausgehend
ein Intervall
#|b ;{zd}1 # #|b +{zd}2
c1
c2
zu ermitteln, in dem der wahre Parameter mit groer Wahrscheinlichkeit 1 ; liegt. d1
und d2 bzw. c1 und c2 sind Zufallsgroen!
Zur Bestimmung von Kondenzschatzungen geht man von einer Pivotgroe aus. Diese
Pivotgroe mu folgende Eigenschaften besitzen:
1. Sie hangt vom unbekannten Parameter der Verteilung ab.
2. Sie hangt von der Stichprobe ab.
3. Ihre Verteilung ist vollstandig bekannt.
Mittels der bekannten Verteilung der Pivotgroe kann dann ein Kondenzintervall fur
den unbekannten Parameter der Verteilung ermittelt werden. Wir behandeln diese Vorgehensweise ausfuhrlich am Beispiel des Parameters der Normalverteilung bei bekanntem 2. Kondenzintervalle fur andere Aufgabenstellungen werden analog nach den hier
angegebenen Punkten ermittelt.
9.1 Kondenzschatzungen fur den Parameter der
Normalverteilung bei bekanntem 2
1. Die Irrtumswahrscheinlichkeit wird festgelegt, z.B. = 0:1; 0:05; 0:01 .
2. Es wird eine Verteilungsannahme getroen: Die Grundgesamtheit X unterliegt
einer N (; 2){Verteilung mit bekanntem 2 .
3. Es wird eine Pivotgroe mit den oben genannten Eigenschaften bestimmt:
p
T2 = X ; n N (0; 1) :
76
4. Aus der bekannten Verteilung der Pivotgroe werden Quantile so bestimmt, da
die Irrtumswahrscheinlichkeit eingehalten wird:
P (;z1;=2 < T2 < z1;=2 ) = 1 ; :
zp ist dabei das Quantil der Ordnung p der Standardnormalverteilung.
5. Die Ungleichung wird so umgestellt, da untere und obere Grenzen fur den unbekannten Parameter festgelegt werden:
z1p;=2
z1p;=2 P b ; n < < b + n = 1 ; :
6. Zum Abschlu wird aus der konkreten Stichprobe ein konkretes Kondenzintervall
berechnet.
Bemerkung 9.1 Manchmal erfordert die Aufgabenstellung die Berechnung eines einseitigen Kondenzintervalls. Analog zur obigen Vorgehensweise erhalt man
P ;1 < < b + zp1;n = 1 ; bzw.
z
1;
P b ; pn < < 1 = 1 ; :
9.2 Kondenzschatzungen fur den Parameter der
Normalverteilung bei unbekanntem 2
1. Die Irrtumswahrscheinlichkeit wird festgelegt.
2. Verteilungsannahme: Die Grundgesamtheit X unterliegt einer N (; 2){
Verteilung.
3. Pivotgroe:
p
T = X s; n t(n ; 1) :
4. Bestimmung der Quantile:
;
P ;tn;1; 1;=2 < T < tn;1; 1;=2 = 1 ; 5. Umstellen der Ungleichung:
tn;1p; 1;=2 tn;1p; 1;=2
P b ;
n s < < b +
n s = 1; :
77
6. Zum Abschlu wird aus der konkreten Stichprobe ein konkretes Kondenzintervall
berechnet.
Einseitige Kondenzintervalle:
P ;1 < < b + tn;p1;n1; s = 1 ; bzw.
t
n;p1; 1;
P b ;
n s < < 1 = 1; :
Bemerkung 9.2 Die Groen
X ; pn fur n 30 und X ; pn fur n 40
s
sind wegen des zentralen Grenzwertsatzes annahernd normalverteilt. Damit hat man die
Moglichkeit, verteilungsunabhangige Kondenzschatzungen fur den Mittelwert anzugeben.
9.3 Kondenzintervalle fur den Parameter 2 der
Normalverteilung bei bekanntem 1. Die Irrtumswahrscheinlichkeit wird festgelegt.
2. Verteilungsannahme: Die Grundgesamtheit X unterliegt einer N (; 2 ){Verteilung
mit bekanntem .
3. Pivotgroe:
n
X
n
Xi ; 2
V = 2 s =
i=1
n
X
s2 = n1 (Xi ; )2 :
i=1
2
2 (n) mit
4. Bestimmung der Quantile:
P (2n; =2 < V < 2n; 1;=2 ) = 1 ; :
5. Umstellen der Ungleichung:
n s2
P 2
n;1;=2
78
!
n s2
< 2 < 2 = 1 ; :
n;=2
6. Zum Abschlu wird aus der konkreten Stichprobe ein konkretes Kondenzintervall
berechnet.
Einseitige Kondenzintervalle:
n s2 P 0 < < 2
= 1 ; bzw.
n;
n s2
2
P 2 < < 1 = 1 ; :
n;1;
2
9.4 Kondenzintervalle fur den Parameter 2 der
Normalverteilung bei unbekanntem 1. Die Irrtumswahrscheinlichkeit wird festgelegt.
2. Verteilungsannahme: Die Grundgesamtheit X unterliegt einer N (; 2){
Verteilung.
3. Pivotgroe:
n
X
n
;
1
Xi ; X
2
V = 2 s =
i=1
n ;
X
1
2
s = n;1
Xi ; X 2 :
i=1
2
2 (n ; 1) mit
4. Bestimmung der Quantile:
;
P 2n;1; =2 < V < 2n;1; 1;=2 = 1 ; :
5. Umstellen der Ungleichung:
P (n2 ; 1) s < 2 < (n2; 1) s
n;1;1;=2
n;1;=2
2
2
!
= 1;:
6. Zum Abschlu wird aus der konkreten Stichprobe ein konkretes Kondenzintervall
berechnet.
Einseitige Kondenzintervalle:
2
P 0 < < (n;2 1) s = 1 ; bzw.
(n ; 1) s2 n;1; P 2
< 2 < 1 = 1 ; :
n;1;1;
2
79
Bemerkung 9.3 Wie im Abschnitt 6.3.1 bemerkt, lat sich fur n 30 die 2{
Verteilung durch eine Normalverteilung approximieren. Es gilt
p
p
2V ; 2n ; 1 N (0; 1); wobei
V = n ;2 1 s2 oder V = n2 s2
eingesetzt werden kann. Im Falle von V erhalt man
p
p
;z1;=2 2V ; 2n ; 1 z1;=2
und damit das Kondenzintervall
2
2
1 ;p2n ; 1 ; z
1 ;p2n ; 1 + z
1;=2 V 1;=2 :
2
2
Verwendet man dagegen die Pivotgroe V , so mu in der Approximation n durch n ; 1
ersetzt werden und man erhalt
2
2
1 ;p2n ; 3 ; z
1 ;p2n ; 3 + z
1;=2 V 1;=2 :
2
2
9.5 Kondenzschatzungen fur eine unbekannte
Wahrscheinlichkeit p
Wir gehen vom Bernoullischen Versuchsschema aus und denieren eine Zufallsgroe X :
X=
0
: bei Nichteintreten des Ereignisses
1 : bei Eintreten des Ereignisses
Fur Erwartungswert und Varianz dieser Zufallsgroe gilt
= E (X ) = p
2 = V ar(X ) = p (1 ; p)
Wenn die Anzahl der Versuche hinreichend gro ist, so kann man nach der obigen Bep
merkung die asymptotische Normalverteilung von Xs; n zur Bestimmung eines Kondenzintervalles benutzen. Die Varianz wird dabei folgendermaen approximiert:
1 s2 = X (1 ; X ) ; da X 2 = X :
s2 n ;
i
i
n
Nun werden die Quantile aus
0
1
p
(X ; p) n z
P @;z1;=2 q
1;=2 A = 1 ; X (1 ; X )
80
bestimmt und man erhalt das Kondenzintervall
0
1
s
s
P @X ; z1;=2 X (1 ; X ) < p < X + z1;=2 X (1 ; X ) A = 1 ; n
n
Eine zweite Moglichkeit besteht in der Approximation der Binomialverteilung durch die
Normalverteilung. Aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes von Bernoulli ist dann die
bestimmende Ungleichung fur ein Kondenzintervall
pn
(
X
;
p
)
;z1;=2 p
z :
p (1 ; p) 1;=2
Stellt man diese Ungleichung nach p um, so erhalt man das Kondenzintervall
q
0
2n X + z12;=2 ; z1;=2 4n X (1 ; X ) + z12;=2
P@
<p<
2(n + z12;=2 )
2n X + z
2
1;=2
q
1
+ z1;=2 4n X (1 ; X ) + z12;=2
A = 1;
2(n + z12;=2 )
9.6 U bungsaufgaben
Aufgabe 9.1
Die Lebensdauer von Schlauchen einer Hydraulikanlage ist annahernd normalverteilt
mit einer Standardabweichung von = 600 h. Eine Zufallsstichprobe vom Umfang
n = 36 ergibt eine durchschnittliche Lebensdauer von 3 000 h. Bestimmen Sie ein 95%{
Kondenzintervall fur den unbekannten Parameter der Normalverteilung.
Aufgabe 9.2
Aus n = 20 Messungen der Dichte von Aluminium ergab sich ein Mittelwert x =
2:705 g/cm3 bei einer Standardabweichung s = 0:03 g/cm3 . Man bestimme ein Intervall,
welches mit einem Vertrauen 1 ; = 0:99 den wahren Wert der Dichte von Aluminium
enthalt.
Aufgabe 9.3
Aus der Produktion von Zylinderschrauben wird eine Stichprobe vom Umfang n = 25
entnommen und an jeder Schraube die Schaftlange gemessen. Die Stichprobe ergibt
x = 16 mm und s2 = 484 m2. Bestimmen Sie ein Kondenzintervall fur 2 unter der
Voraussetzung, da das Kondenzniveau 0.99 betragt.
Aufgabe 9.4
Eine Stichprobe vom Umfang n = 200 aus der Lieferung eines Massenartikels lieferte
10 Ausschuteile. Gesucht ist ein Kondenzintervall fur den Ausschuprozentsatz p der
zugehorigen Grundgesamtheit ( = 0:05).
81
Aufgabe 9.5
Geben Sie ein Kondenzintervall zum Kondenzniveau 1 ; fur den Parameter einer
exponentialverteilten Grundgesamtheit X an.
(Hinweis: Die Zufallsgroe L = 2nX unterliegt einer 2{Verteilung mit k = 2n Freiheitsgraden.)
Als Beispiel wahlen Sie die Zahlenwerte aus Aufgabe 8.2, = 0:05.
Aufgabe 9.6
Bei der Stichprobeninventur eines Lagers mit N = 22974 Lagerpositionen werden
n = 164 Positionen in Form einer reinen Zufallsauswahl mit Zurucklegen entnommen.
Zu jeder Position i der Stichprobe wird ihr Wert x [in DM] festgestellt. Aus den Stichprobenwerten x1 ; : : : ; xn ergibt sich x = 1411 und s = 2812. Man bestimme daraus ein
Kondenzintervall fur den Lagergesamtwert (Kondenzniveau 1 ; = 0:95).
Aufgabe 9.7
X1; : : : ; Xn sei eine unabhangige, identisch verteilte Stichprobe einer normalverteilten
Zufallsvariablen X , von der und 2 unbekannt sind. Man bestimme ein Kondenzintervall fur zum Vertrauensgrad 1 ; = 0:95 aus den Stichprobenwerten 104, 115, 112,
89, 94, 106, 119, 99, 102 und 90.
Aufgabe 9.8
Der Kopfumfang X neugeborener Knaben sei normalverteilt mit unbekannten und 2.
Eine unabhangige, identisch verteilte Stichprobe X mit dem Umfang n = 12 ergab die
Werte [in cm]: 37, 39, 40, 41, 38, 39, 40, 39, 38, 36, 40, 41. Man bestimme daraus ein
Kondenzintervall fur 2 zu 1 ; = 0:90 :
Aufgabe 9.9
Unter 3000 Lebendgeburten wurden 1578 Knaben gezahlt. Bestimmen Sie daraus ein
Kondenzintervall fur die Wahrscheinlichkeit p einer Knabengeburt zu 1 ; = 0:99 :
Aufgabe 9.10
Acht Messungen des Durchmessers einer Linse ergaben die Werte (in cm): 3.54, 3.48,
3.51, 3.53, 3.50, 3.49, 3.46 und 3.49. Man wei, da das verwendete Megerat normalverteilte Messungen liefert. Bestimmen Sie ein Kondenzintervall fur den Durchmesser
der Linse zum Vertrauensgrad 1 ; = 0:95 :
82
10 Testtheorie
10.1 Aufgabenstellung und Begrie
Grundanliegen der Testtheorie ist es, eine Hypothese, die sogenannte Nullhypothese H0,
anhand einer Stichprobe zu prufen und im Ergebnis der Prufung entweder abzulehnen
(man trit eine statistisch gesicherte Entscheidung) oder nicht abzulehnen. Die Nichtablehnung einer Hypothese bedeutet keinesfalls, da die Hypothese "wahr\ ist, sondern
lediglich, da die Daten der Stichprobe der Hypothese nicht signikant widersprechen.
Bei einem statistischen Test konnen zwei Arten von Fehlern begangen werden:
1. Fehler erster Art :
Die Nullhypothese wird abgelehnt, obwohl sie richtig ist.
2. Fehler zweiter Art :
Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt, obwohl eine Alternativhypothese H1 richtig ist.
Wir werden im weiteren sehen, da ein Test aus der Wahl einer Testgroe und der
Festlegung eines kritischen Bereiches besteht. Liegt die aus der Stichprobe berechnete
Realisierung der Testgroe im kritischen Bereich, so wird die Nullhypothese abgelehnt.
Dabei wird der kritische Bereich so gewahlt, da ein vorgegebener Fehler erster Art eingehalten wird. Auf den Fehler zweiter Art hat man keinen Einu. Es gilt im allgemeinen, da der Fehler zweiter Art umso groer ist, je kleiner gewahlt wurde. Ebenso
spielt die Alternativhypothese nur fur die Entscheidung zwischen ein- und zweiseitiger
Fragestellung eine Rolle. Ein Test besteht im allgemeinen aus folgenden Schritten:
1. Verteilungsannahme
2. Hypothesen H0 und H1 werden festgelegt
3. Festlegung des Signikanzniveaus , = 0:1; 0:05 ; 0:01
4. Wahl einer Prufgroe T , deren Verteilung unter der Nullhypothese vollstandig
bekannt ist
5. Bestimmung des Ablehungsbereiches K
6. Berechnung einer Realisierung der Testgroe und Entscheidung
Im folgenden werden die gebrauchlichsten Tests nach diesen Punkten aufgelistet.
83
10.2 Parametertests fur die Parameter der
Normalverteilung
10.2.1 Der Gau{Test
1. Verteilungsannahme: X N (; 2); 2 bekannt
2. H0 : = 0,
8 6= 9
< =
H1 : : < ; 0
>
3. Festlegung des Signikanzniveaus p
4. Prufgroe: T = X ; 0 n N (0; 1)
5. Kritischer Bereich: K = x : jx ; 0j > z1;=2 p
n
K = x : x ; 0 < ;z1; pn
K = x : x ; 0 > z1; pn
H1 : 6= 0
H1 : < 0
H1 : > 0
10.2.2 Der t{Test
1. Verteilungsannahme: X N (; 2)
2. H0 : = 0,
8 6= 9
< =
H1 : : < ; 0
>
3. Festlegung des Signikanzniveaus p
4. Prufgroe: T = X ; 0 n t(n ; 1)
s
5. Kritischer Bereich: K = x : jx ; 0j > tn;1;1;=2 ps
n
K = x : x ; 0 < ;tn;1;1; psn
s
K = x : x ; 0 > tn;1;1; pn
84
H1 : 6= 0
H1 : < 0
H1 : > 0
10.2.3 Der -Test fur die Varianz bei bekanntem 2
1. Verteilungsannahme:X N (; 2); bekannt
2. H0 : 2 = 02 ,
8 6= 9
< =
H1 : 2 : < ; 02
>
3. Festlegung des Signikanzniveaus n s2
4. Prufgroe: T = 2 2 (n)
0
5. Kritischer Bereich:
2
2
0
0
2
2
2
2
2
K = s : s < n n;=2 [ s > n n;1;=2
H1 : 2 6= 02
2
0
2
H1 : 2 < 02
K = s2 : s2 < n n;
2
0
2
H1 : 2 > 02
K = s2 : s2 > n n;1;
10.2.4 Der -Test fur die Varianz bei unbekanntem 2
1. Verteilungsannahme: X N (; 2); unbekannt
2. H0 : 2 = 02 ,
8 6= 9
< =
H1 : 2 : < ; 02
>
3. Festlegung des Signikanzniveaus 2
4. Prufgroe: T = (n ;21) s 2(n ; 1)
0
5. Kritischer Bereich:
2
2
0
0
2
2
2
2
2
K = s : s < n ; 1 n;1;=2 [ s > n ; 1 n;1;1;=2
H1 : 2 6= 02
2
0
2
2
2
K = s : s < n ; 1 n;1;
H1 : 2 < 02
2
0
2
2
2
K = s : s > n ; 1 n;1;1;
H1 : 2 > 02
85
10.3 Tests zum Vergleich zweier Mittelwerte
10.3.1 Der doppelte Gautest
1. Verteilungsannahme:
X N (1 ; 12); Y N (2 ; 22) 12 ; 22 bekannt
2. H0 : 1 ; 2 = 0 (= 0),
8 6= 9
< =
H1 : 1 ; 2 : < ; 0
>
3. Festlegung des Signikanzniveaus 4. Prufgroe: Wir setzen voraus, da (X1; : : : ; Xn1 ) und (Y1; : : : ; Yn2 ) iid und
unabhangig voneinander sind (unverbundene Stichproben)
2
2
T = X ; Y N (1 ; 2; n1 + n2 )
|21 {z 2}
(n1; n2 )
5. Kritischer Bereich:
K = fx; y : jx ; y ; 0j > z1;=2 (n1 ; n2)g H1 : 1 ; 2 6= 0
Die Kritischen Bereiche fur die einseitigen Fragestellungen ergeben sich nach dem
Gautest analog.
10.3.2 Der doppelte t{Test
1. Verteilungsannahme:
X N (1 ; 2); Y N (2 ; 2) 2 unbekannt, jedoch gleich
2. H0 : 1 ; 2 = 0 (= 0),
8 6= 9
< =
H1 : 1 ; 2 : < ; 0
>
3. Festlegung des Signikanzniveaus 4. Prufgroe: Wir setzen voraus, da (X1 ; : : : ; Xn1 ) und (Y1; : : : ; Yn2 ) iid und unabhangig voneinander sind (unverbundene Stichproben)
2
n2 ; 1)s22
T = pX2 ; Y ; 20 t(n1 + n2 ; 2); s2 = (n1 ; n1)s+1 +n (;
s =n1 + s =n2
1
2 2
86
5. Kritischer Bereich:
K=
rn + n x; y : jx ; y ; 0j > tn1 +n2;2;1;=2 s 1n n 2
H1 : 1 ; 2 6= 0
1 2
Die Kritischen Bereiche fur die einseitigen Fragestellungen ergeben sich nach dem
t{Test analog.
10.3.3 Der Test von Welch
1. Verteilungsannahme:
X N (1 ; 12); Y N (2 ; 22) 12 ; 22 unbekannt
2. H0 : 1 ; 2 = 0 (= 0),
8 6= 9
< =
H1 : 1 ; 2 : < ; 0
>
3. Festlegung des Signikanzniveaus 4. Prufgroe: Wir setzen voraus, da (X1; : : : ; Xn1 ) und (Y1; : : : ; Yn2 ) iid und unabhangig voneinander sind (unverbundene Stichproben)
Die Frage, ob es uberhaupt einen Test zum Signikanzniveau gibt, ist unter dem
Namen "Behrens{Fisher{Problem\ bekannt. Der Test von Welch halt das vorgegebene nur naherungsweise ein.
T = pX2 ; Y ; 20 t( );
s1=n1 + s2=n2
wobei
u2
=
2 ;1
(1
;
u
)
s21=n1 :
+
;
u
=
n1 ; 1 n2 ; 1
s21=n1 + s22=n2
In der Regel ist keine ganze Zahl, als Freiheitsgrad wird dann die grote ganze
Zahl, die kleiner als ist, gewahlt.
5. Kritischer Bereich:
8
s 2 29
<
=
s
s
1
2
K = : x; y : jx ; y ; 0 j > t;1;=2 n + n ; H1 : 1 ; 2 6= 0 :
1
2
Die Kritischen Bereiche fur die einseitigen Fragestellungen ergeben sich nach dem
t{Test analog.
87
10.3.4 Der t{Dierenzentest
1. Verteilungsannahme: Im Unterschied zum doppelten t{Test und zum Test von
Welch baut der t{Dierenzentest auf verbundene Stichproben auf. Ausgangspunkt
sind zwei Zufallsvariablen X und Y mit 1 = E (X ) und 2 = E (Y ) sowie 12 =
V ar(X ), 22 = V ar(Y ). Man beobachtet nun die Realisierungen von X und Y
nicht unabhangig voneinander, sondern stellt jeweils an einem Merkmalstrager die
Auspragungen von X und Y fest. Wegen der dabei auftretenden Abhangigkeit
betrachten wir die zweidimensionale Zufallsgroe (X; Y ) mit 122 = Cov(X; Y ).
Z = X ; Y N (; Z2 ) mit = 1 ; 2; Z2 = 12 + 22 ; 2122 :
Die beobachteten Wertepaare bezeichnen wir mit (x1 ; y1); : : : ; (xn; yn).
2. H0 : = 0 ,
8 6= 9
< =
H1 : : < ; 0
>
3. Festlegung des Signikanzniveaus 4. Prufgroe:
p
0 n t(n ; 1) mit
T = Z;
s
z
n
X
X
1
1
2
sz = n ; 1 (Zi ; Z ) = n ; 1 (Xi ; X ; (Yi ; Y ))2
i=1
i=1
n
2
5. Kritischer Bereich:
K = z : jz ; 0j > tn;1;1;=2 psZn
s
Z
K = z : z ; 0 < ;tn;1;1; pn
s
Z
K = z : z ; 0 > tn;1;1; pn
H1 : 6= 0
H1 : < 0
H1 : > 0
10.4 Der einfache Gau{Test fur eine unbekannte
Wahrscheinlichkeit p
1. Verteilungsannahme: Wir gehen vom Bernoullischen Versuchsschema aus und denieren eine Zufallsgroe X :
X=
88
0
: bei Nichteintreten des Ereignisses
1 : bei Eintreten des Ereignisses
Fur Erwartungswert und Varianz dieser Zufallsgroe gilt
= E (X ) = p
2 = V ar(X ) = p(1 ; p)
2. H0 : p = p0 ;
8 6= 9
< =
H1 : p : < ; p0
>
3. Festlegung des Signikanzniveaus 4. Prufgroe:
p
(x ; p0) n N (0; 1) fur n p (1 ; p ) > 9
T=p
0
0
p0 (1 ; p0)
5. Kritischer Bereich:
(
r
)
K = x : jx ; p0j > z1;=2 p0 (1n; p0)
(
)
r
p
(1
;
p
)
K = x : x ; p0 < ;z1; 0 n 0
(
)
r
p
0 (1 ; p0 )
K = x : x ; p0 > z1;
n
H1 : p 6= p0
H1 : p < p0
H1 : p > p0
Bemerkung 10.1 Hypothesen uber die Dierenz zweier Wahrscheinlichkeiten (Anteilwerte) konnen analog zu dieser Vorgehensweise nach dem doppelten Gau{Test bzw.
dem doppelten t{Test gepruft werden.
10.5 Der 2-Anpassungstest
1. Verteilungsannahme: Bisher wurden Hypothesen uber unbekannte Verteilungsparameter betrachtet; nun sollen Hypothesen uber die unbekannte Verteilung
selbst gepruft werden. U ber die Verteilung von X werden keine Annahmen zugrunde gelegt. Mit F = F (x) bezeichnen wir die unbekannte Verteilungsfunktion der
Grundgesamtheit.
2. H0 : F = F0 ,
H1 : F =
6 F0
3. Festlegung des Signikanzniveaus 89
4. Prufgroe: Zur Konstruktion einer Prufgroe wird die reelle Zahlengerade in k
Intervalle (Klassen) Gj = (aj;1; aj ]:
(;1; a1 ]; (a1 ; a2]; ; (ak;1; 1)
zerlegt. Die Realisierungen von X unterscheidet man nur danach, in welches der
Intervalle sie fallen; man spricht von einer Gruppierung (Klasseneinteilung) der
Werte von X . Wenn H0 zutrit, ist
pj = P (X 2 Gj j F0) = F0(aj ) ; F0(aj;1)
die Wahrscheinlichkeit, da X einen Wert in Gj (j = 1; : : : ) annimmt. Mit Nj
bezeichnen wir die Besetzungszahl der Klasse Gj und mit nj die aus der konkreten
Stichprobe gewonnene Realisierung der Besetzungszahl der Klasse Gj . Wenn H0
zutrit, gilt E (Nj ) = n pj . Als Prufgroe verwenden wir den 2 {Abstand
T=
k
X
(Nj ; n pj )2
j =1
n pj
2 (k ; 1) fur groe n:
Die die aus der konkreten Stichprobe gewonnene Realisierung von T bezeichnen
wir mit t.
5. Kritischer Bereich: K = ft : t > 2k;1;1;g:
Bemerkungen:
1. Besteht die Hypothese H0 nur im Typ der Verteilungsfunktion, so mussen die
Parameter der Verteilung aus der Stichprobe geschatzt werden (mit MaximumLikelihood- oder Minimum-2-Methode). Der Test wird dann analog durchgefuhrt,
jedoch verwendet man zum Berechnen der Groen pj die Verteilung der Nullhypothese mit den geschatzten Parametern. Bei der Bestimmung des kritischen Bereiches verringert sich die Anzahl der Freiheitsgrade der 2{Verteilung zusatzlich
um die Anzahl der geschatzten Parameter (2 (k ; 1 ; Anz. gesch. Par.)).
2. Der 2{Anpassungstest darf verwendet werden, wenn n pj 5 fur alle j gilt.
Anderenfalls mussen Klassen zusammengefat werden.
10.6 Der 2-Unabhangigkeitstest
1. Verteilungsannahme: Wir wollen uberprufen, ob X und Y unabhangige Zufallsgroen sind. Ausgangspunkt ist eine verbundene Stichprobe (X1; Y1); : : : ; (Xn; Yn),
bei der wir Unabhangigkeit zwischen den Paaren voraussetzen. Es wird weiter vorausgesetzt, da nur endlich viele Auspragungen fur X und Y unterschieden werden.
2. H0 : X und Y sind unabhangige Zufallsgroen.
90
3. Festlegung des Signikanzniveaus 4. Prufgroe: Die gemeinsame (unbekannte) Verteilung lat sich in folgender Tabelle
darstellen:
X nY 1 2 m
1 p11 p12 p1m p1
2 p21 p22 p2m p2
...
... ...
... ...
l pl1 pl2 plm pl
p1 p2 pm n
Bei Unabhangigkeit von X und Y gilt pij = pj pi :
Zur Durchfuhrung des Testes stellt man die in der Stichprobe beobachteten Haugkeiten (Besetzungszahlen) in einer sogenannten Kontingenztafel oder l m{
Feldertafel zusammen:
xny 1 2 m
1 n11 n12 n1m n1
2 n21 n22 n2m n2
...
...
...
...
...
l nl1 nl2 nlm nl
n1 n2 nm n
Der dazugehorige 2-Abstand lautet:
X
n pi pj )2 2((l ; 1) (m ; 1))
T = (nij ;
n pi pj
i;j
Die unbekannten Parameter pi und pj werden durch
pbi = nni bzw. pbj = nnj
geschatzt. Damit erhalt man die Realisierung der Prufgroe
2
X
t = (nij u; uij )
ij
i;j
mit den Unabhangigkeitszahlen
uij = n pbi pbj = ninnj :
5. Kritischer Bereich: K = ft : t > 2(l;1) (m;1);1; g
Bemerkung: Eine besondere Rolle unter den Kontingenztafeln spielt die Vierfeldertafel mit m = l = 2. In diesem Fall vereinfacht sich die realisierte Testgroe zu
2
t = n (n11n nn22 ;n n12n n21 )
1 2 1 2
und der kritische Bereich ist K = ft : t > 21;1;g:
91
10.7 U bungsaufgaben
Aufgabe 10.1
Der durchschnittliche Preis eines bestimmten Produktes lag im letzten Jahr bei 120.00
DM (2 = 100).
a) Lat sich diese Angabe auch fur dieses Jahr aufrechterhalten, wenn Normalverteilung der Preise unterstellt wird und eine Testkaufserie von 100 Stuck dieser Ware
in diesem Jahr einen Durchschnittspreis von 121.50 DM ergab ( = 0:05)?
b) Wurde sich die Testentscheidung in a) andern, wenn der Stichprobenumfang 400
bei gleichem Stichprobenergebnis gewesen ware?
c) Welchen Einu hat eine Veranderung von auf die Testentscheidung?
Aufgabe 10.2
Eine Fabrik stellt ein Garn mit einer mittleren Reifestigkeit 0 = 300N bei einer
Standardabweichung = 24N her. Man vermutet, durch einen neuen Herstellungsproze
die Reifestigkeit erhohen zu konnen. Es sei = 0:01 .
a) Geplant ist eine Stichprobe vom Umfang n = 100 aus der Produktion des neuen
Garns. Fur welche Stichprobenmittel x wird die Nullhypothese H0 : = 300N
gegen die Alternative H1 : > 300N beibehalten?
b) Wie gro ist die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen, wenn der
Mittelwert der neuen Garnsorte bei 310N liegt und = 24N weiterhin gilt?
Aufgabe 10.3
Fur eine Stahllieferung garantiert der Hersteller einen mittleren Kohlenstogehalt von
0; 5%. Eine Untersuchung von 25 Proben ergab x = 0:45% und s = 0:06%. Prufen Sie
mit = 0:05, ob die Angabe des Herstellers glaubhaft ist.
Aufgabe 10.4
In der Vergangenheit betrug die Varianz der normalverteilten Lebensdauer einer bestimmten Batteriesorte 2 = 1:1 Jahre2 . Es soll nun auf Stichprobenbasis gepruft werden,
ob sich durch Einfuhrung eines kostengunstigeren Produktionsverfahrens die Varianz der
Lebensdauer erhoht. Eine Stichprobe von n = 25 nach dem neuen Verfahren gefertigter
Batterien liefert eine Varianz von s2 = 1:6 Jahre2 (Signikanzniveau = 0:01) .
Aufgabe 10.5
Bei einer Qualitatskontrolle wurden 21 fehlerhafte Teile in einer Stichprobe vom Umfang
n = 500 festgestellt. Prufen Sie bei einem Signikanzniveau = 0:05 die Angabe des
Herstellers, in seiner Gesamtproduktion sei der Ausschuanteil nicht groer als 3%.
92
Aufgabe 10.6
Die Maschinen 1 und 2 verrichten die gleiche Arbeit. Eine Untersuchung des Merkmals
X : "Energieverbrauch pro Arbeitsstunde\ lieferte folgende Ergebnisse:
Maschine 1: n1 = 10; x1 = 15:3 kWh, s1 = 0:92 kWh
Maschine 2: n2 = 15; x2 = 13:9 kWh, s2 = 1:04 kWh.
Kann mit einem Signikanzniveau = 0:05 behauptet werden, da die Maschine 2
zur Verrichtung der gleichen Arbeit weniger Energie verbraucht? (Normalverteilung des
Merkmals X und Varianzhomogenitat in den Grundgesamtheiten kann vorausgesetzt
werden.)
Aufgabe 10.7
Es wird vermutet, da Bauteile der Sorte A eine groere Lebensdauer haben, als entsprechende Bauteile der Sorte B . Zufallige Stichproben von nA = 100 und nB = 120
Bauteilen der Sorten A und B ergaben fur das Merkmal "X : Lebensdauer in Betriebsstunden\:
xA = 1310 Stunden, sA = 142 Stunden,
xB = 1240 Stunden, sB = 127 Stunden
Kann die Vermutung bei einem Signikanzniveau = 0:05 durch die Stichprobenergebnisse bestatigt werden?
Aufgabe 10.8
Von 100 gekauften Losen sind 40 Gewinne. Bestatigt dies die Behauptung der Lotteriewerbung, da jedes zweite Los gewinnt? ( = 0:05)
Aufgabe 10.9
Ein Spieler vermutet, da von den 4 Munzen, mit denen er spielt, mindestens eine
gefalscht ist. Um das zu prufen, wirft er 160 mal seine 4 Munzen und erhalt folgende
Verteilung fur "Zahl\:
Anzahl "Zahl\
0 1 2 3 4
Beobachtete Anzahl 15 54 55 30 6
a) Welche Verteilung mu sich fur die Zufallsvariable Anzahl "Zahl\ bei einem Wurf
mit 4 Munzen ergeben, wenn es sich um ideale Munzen handelt?
b) Prufen Sie mit Hilfe des 2{Testes, ob die Munzen des Spielers ideal sind und
interpretieren Sie das Ergebnis. (Signikanzniveau 5 %)
Aufgabe 10.10
Unter Nichtberucksichtigung mut- und boswilliger Feuermeldungen werden in einer Stadt
wahrend der 52 Wochen eines Jahres gezahlt:
in
19 20 8 4 1 Wochen
gab es 0 1 2 3 4 Feuermeldungen.
93
a) Bestimmen Sie das arithmetische Mittel und die Varianz fur die Feuermeldungen
pro Woche.
b) U berprufen Sie mittels des 2 {Anpassungstestes, ob die Annahme der Poissonverteilung mit dem geschatzten Parameter bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit
1 ; = 0:95 gerechtfertigt ist.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fur 5 und mehr Feuermeldungen in einer
Woche. Alle wieviel Jahre ist dieser Fall zu erwarten?
Aufgabe 10.11
350 Studenten nahmen an der Statistik- und an der Mathematikklausur teil. Dabei kam
folgendes Ergebnis heraus:
Mathematik Mathematik nicht
bestanden
bestanden
Statistik
191
78
bestanden
Statistik
41
40
nicht bestanden
Testen Sie mit = 0:01, ob zwischen dem Bestehen der beiden Klausuren ein Zusammenhang existiert.
Aufgabe 10.12
Fur die Studenten einer Fakultat, unterteilt hinsichtlich des Merkmals X : Geschlecht,
sind die nichtbesuchten Lehrveranstaltungen in einer Stundenplanwoche (= Merkmal
Y ) in der folgenden U bersicht zusammengestellt.
X Y 0 1 2 >2
mannl. 63 24 8 5 100
weibl. 82 35 21 12 150
145 59 29 17 250
Kann auf einem Signikanzniveau = 0:05 behauptet werden , da die Merkmale X
und Y unabhangig sind?
Aufgabe 10.13
Um zu uberprufen, ob die Wagungen mit einer Federwaage einen systematischen Fehler
aufweisen, wird ein 10{Gramm{Gewicht n = 9 mal nachgewogen. Es ergaben sich die
folgenden Werte [in g]:
9:7; 10:2; 10:0; 9:9; 9:5; 9:6; 9:4; 10:1; 9:8
Testen Sie bei einem = 0:05 die Hypothese, da kein systematischer Fehler vorliegt,
unter der Voraussetzung, da die Meergebnisse der Waage normalverteilt sind
94
a) mit einer Standardabweichung von =0.3 g
b) mit einer unbekannten Standardabweichung.
Aufgabe 10.14 Die Zugfestigkeit [in kg] einer bestimmten Drahtsorte sei N (; 2){
verteilt. Bei einer Prufung von n = 12 Proben ergaben sich die folgenden Werte:
84; 83; 79; 83; 79; 80; 85; 78; 83; 82; 76; 86:
Ist aufgrund dieser Stichprobe die Aussage " > 80\ signikant (=0.05)?
Aufgabe 10.15
Die Motoren eines Typs A laufen durchschnittlich um 5 000 km langer als die eines
Typs B . Nach Verwendung eines anderen Kolbenfabrikates sollen die durchschnittlichen
Laufzeiten A und B der beiden Motorentypen erneut verglichen werden. Von Typ A
werden 74, von Typ B 67 Motoren ausgewahlt und auf ihre Laufdauer hin untersucht.
Dabei ergaben sich folgende Werte fur Stichprobenmittel und -standardabweichung [in
km]:
Typ A : x = 76487 und s1 = 421
Typ B : y = 71329 und s2 = 332
Ist aufgrund dieser Beobachtung die Aussage signikant, da A immer noch um mindestens 5 000 km groer ist als B ? (=0.01)
Aufgabe 10.16
Ein Futtermittel A wird an 15, ein Futtermittel B an 17 Ferkel verfuttert; Stichprobenmittel und -varianz der wahrend einer bestimmten Mastzeit erzielten Gewichtszunahmen
[in kg] lauten:
bei den "A{Ferkeln\: x = 45 und s21 = 41
bei den "B {Ferkeln\: y = 54 und s22 = 39
Kann man aus dieser Beobachtung mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von hochstens
0.05 schlieen, da Futtermittel B im Durchschnitt zu einer um mehr als 5 kg hoheren
Gewichtszunahme fuhrt als Futtermittel A? Gehen Sie davon aus, da die Gewichtszunahmen unter A bzw. B normalverteilte Zufallsvariablen
a) mit ubereinstimmenden Varianzen
b) mit verschiedenen Varianzen sind.
Aufgabe 10.17
Man kann annehmen, da die Korperlange X bzw. Y neugeborener Knaben bzw.
Madchen normalverteilte Zufallsvariablen sind. Auch X ; Y , beobachtet an Zwillingsparchen, kann als normalverteilt angesehen werden. Fur n = 17 Zwillingsparchen
ergaben sich die folgenden Werte:
95
Geburt i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
xi
50 55 51 49 54 52 47 47 50 51 52
yi
49 53 51 47 54 51 47 45 51 49 51
Geburt i 12 13 14 15 16 17
xi
49 55 52 49 50 54
yi
50 53 51 48 46 54
Ist aufgrund dieser Beobachtung signikant, da Knaben bei ihrer Geburt im Mittel
groer sind als Madchen? (=0.01)
Aufgabe 10.18
Man uberprufe die Fragestellung von Aufgabe 10.17 ohne zu berucksichtigen, da die
Erhebung aus Zwillingsgeburten resultiert, indem man die dort gegebenen Beobachtungswerte wie zwei unverbundene Stichproben behandelt.
Aufgabe 10.19
Unter 3000 Lebendgeburten wurden 1578 Knaben gezahlt. U berprufen Sie damit die
Hypothese, da die Wahrscheinlichkeit fur eine Knabengeburt gleich 0.5 ist. ( = 0:01)
Aufgabe 10.20
Die Fullmenge X [in cm3] maschinell abgefullter Bieraschen sei normalverteilt mit dem
bekannten Mittelwert = E (X ) = 500. Bei n = 25 Nachprufungen ergab sich
25
X
i=1
(xi ; 500)2 = 44:
Prufen Sie damit die Hypothese H0 : = 1 gegen die Alternative H1 : > 1 zum Niveau
= 0:01.
Aufgabe 10.21
Die Reifestigkeit X [in g] einer bestimmten Garnsorte sei N (; 2 ){verteilt. Bei
einer Prufung von n = 26 Garnproben ergaben sich fur Stichprobenmittel und
-standardabweichung die Werte x = 2120 und s = 160. Man teste mit = 0:05 die
Hypothese = 250 gegen die Alternative 6= 250.
Aufgabe 10.22
Bei der letzten Wahl in einem Bundesland erhielt Partei A 45%, Partei B 40%, Partei
C 10% und Partei D 5%. Bei einer spateren Befragung von 2500 zufallig ausgewahlten
Wahlern bevorzugten 1050 die Partei A, 1000 die Partei B , 350 die Partei C und 100 die
Partei D. Prufen Sie, ob sich die Stimmenverteilung seit der Wahl signikant geandert
hat. ( = 0:01)
96
Aufgabe 10.23
Bei einer Erhebung des Untersuchungsmerkmals X : "Anzahl der Kinder pro Familie\
ergab sich fur n = 120 zufallig ausgewahlte Familien die folgende Haugkeitstabelle:
Anzahl der Kinder 0 1 2 3 4 5
Anzahl der Familien 41 50 19 8 2 0
U berprufen Sie zu = 0:05 die Hypothese, da X poissonverteilt ist.
Aufgabe 10.24
Eine Untersuchung der Lebensdauer [in Jahren] von n = 200 Transistoren ergab die
folgende Haugkeitstabelle:
Lebensdauer [0; 1] (1; 2] (2; 3] (3; 4] (4; 6] > 6
in Jahren
Anzahl der
20
20
20 10
Transistoren 70 60
U berprufen Sie, ob die Lebensdauer eine Ex(0:5){Verteilung sein kann ( = 0:05).
Aufgabe 10.25
Man will prufen, ob eine signikante Abhangigkeit zwischen Geschlecht und Freizeitinteresse unter den Jugendlichen besteht. Dazu hat man n = 200 zufallig ausgewahlten
Jugendlichen die Frage gestellt: "Womit verbringst Du Deine Freizeit am liebsten, mit
Tanz, Sport oder Literatur?\ Es ergab sich:
Jungen Madchen
Tanz
32
46
Sport
73
22
Literatur 15
12
Fuhren Sie den entsprechenden Test zum Niveau =0.01 durch.
Aufgabe 10.26 Eine Befragung von n = 1500 zufallig ausgewahlten Wahlberechtigten
nach religiosem Bekenntnis und Wahlabsicht ergab die folgende Kontingenztafel:
katholisch evangelisch sonstige
Partei A
222
141
94
Partei B
208
221
98
Partei C
96
95
77
Sonstige
64
73
111
Besteht eine signikante Abhangigkeit zwischen Bekenntnis und Wahlabsicht? ( = 0:05)
97
11 Losungen zu den U bungsaufgaben
Pn ;n Aufgabe 1.2 n(n ; 3)
(1 + 1)n = 2n =
k
2
k=0
32 Protokolle
Aufgabe 1.4 13545
210
Aufgabe 1.6 78
Als dreistellige Zahlen kommen in Frage: 304, 314, 324, 334; 340, 341,...,
349; 354, 364,..., 394, also 4+10+5=19 Moglichkeiten. Vor jeder von ihnen kann EU,
EV oder EY stehen, so da insgesamt 3 19 = 57 "Zustande\ moglich sind.
Aufgabe 1.8 A: rote Lampe brennt, B : weie Lampe brennt
a) Ea = A \ B b) Eb = A \ B
c) Ec = A \ B
d) Ed = A \ B e) Ee = Ec [ Ed
f) Ef = A [ B
g) Eg = Eb [ Ec [ Ed = A [ B = A \ B
Aufgabe 1.1
Aufgabe 1.3
Aufgabe 1.5
Aufgabe 1.7
Aufgabe 1.9
A : von 5 Werkstucken sind nicht genau 3, d.h. 0, 1, 2, 4 oder 5, normgerecht.
B : von 5 Werkstucken sind weniger als 3, d.h. 0, 1, 2, normgerecht.
A \ B = A A [ B = B:
10 , c) 1 , d) 10 , e) 2 , f) 9
Aufgabe 1.10 a) 31 , b) 19
19
19
19
19
Aufgabe 1.11
a) mit Zurucklegen: P (A) = 25 = 0:4;
b) ohne Zurucklegen: P (A) = 25 = 0:4;
Aufgabe 1.12
27 = 0:216
P (B ) = 53 53 53 = 125
1 = 0:1
P (B ) = 53 42 31 = 10
16
4;
P (B ) = 25
P (A1) = P (A2) = 10
Ohne Zurucklegen: P (A1) = 4 ; P (A2) = 4 ; P (B ) = 2
10
10
3
Aufgabe 1.13 a) 0.424 b) 0:4
Aufgabe 1.14 A : Es wird eine 11 gewurfelt
B : Es wird eine 12 gewurfelt
Mit Zurucklegen:
98
Anzahl der mogl. Wurfe mit 3 Wurfeln ist 63 = 216.
Wurfeln einer 11:
Wurfeln einer 12:
6 4 1 = 3!
= 6 Mogl.
6 5 1 = 3!
6 3 2 3!
=
6
M
o
gl.
6
4
2
=
= 3!
5 5 1 = 3!/2! = 3 Mogl.
6 3 3 = 3!/2!
5 4 2 = 3!
= 6 Mogl.
5 5 2 = 3!/2!
5 3 3 = 3!/2! = 3 Mogl.
5 4 3 = 3!
4 4 3 = 3!/2! = 3 Mogl.
4 4 4 = 3!/3!
;! 27 gunstig
;! 25 gunstig
P (A) = 27=216 = 0:125 P (B ) = 25=216 = 0:115
Also P (A) > P (B ).
Aufgabe 1.15 a) 4/7 b) 10/21
Aufgabe 1.16 a) 0.684 b) 0.283 c) 0.999
Aufgabe 1.17 n 11
= 6 Mogl.
= 6 Mogl.
= 3 Mogl.
= 3 Mogl.
= 6 Mogl.
= 1 Mogl.
Aufgabe 1.18
1. P (B jA) = 1 ; P (B jA) = 1 ; P (B ) = P (B)
2. P (AjB ) = 1 ; P (AjB ) = 1 ; P (A) = P (A)
3. P (B jA) = 1 ; P (B jA) = 1 ; P (B ) = P (B)
Aufgabe 1.19
A : Mindestens eine Sechs bei vier Wurfen mit einem Wurfel
B : Mindestens eine Doppel-Sechs bei 24 Wurfen mit zwei Wurfeln
P (A) = 0:5177; P (B ) = 0:4914
Aufgabe 1.20
Wi = Wappen im i{ten Wurf
Gewinnchance fur A: P (W8) + P (W 8 \ W9) = 12 + 41 = 34
Gewinnchance fur B : P (W 8 \ W 9 ) = 14
Der Einsatz ist im Verhaltnis 3:1 aufzuteilen.
Aufgabe 1.21 n 25 Aufgabe 1.22 0.688
Aufgabe 1.23 1. 157 2. 147 ; 145 ; 142
Aufgabe 1.24
K : Krankheit liegt vor
B : Test erkennt auf Krankheit
1. P (K jB) = 0:0025 2. P (K jB ) = 0:76
99
Aufgabe 1.25
1. N : Erzeugnis ist normgerecht
G : Prufverfahren zeigt "normgerecht\ an
P (N jG) = 0:9884
2. GG : Prufverfahren zeigt zweimal unabhangig voneinander "normgerecht\ an
P (N jGG) = 0:9988
Aufgabe 1.27
A : entnommenes Stuck ist Ausschu
B : entnommenes Stuck stammt von Mi
a) P (A) = 0:09
8 0:60 fur i = 1
>
>
<
b) P (MijA) = > 0:33 fur i = 2
>
: 0:07 fur i = 3
Aufgabe 1.28 0.04
Aufgabe 2.1
P (X = 0) = 0:024 P (X = 1) = 0:188 P (X = 2) = 0:452 P (X = 3) = 0:336
Aufgabe 2.2
1
a) P (X 10; Y 10) = 12 ;
P (X 20; Y 20) = 12 ;
1.
P (X 10; Y > 20) = 12
b) Nein.
Aufgabe 2.3
F (x) = P (X x) =
80
>
< 0:25
>
: 01:5 = 0:25 + 0:25
Aufgabe 2.4 E (X ) = 3:8 ; D2(X ) = 3:36
a) P (;1 < X < 4) = 0:3 b) P (2 X 6) = 0:7
100
falls
x<1
falls 1 x < 2
falls 2 x < 3
falls 3 x
Aufgabe 2.5
k
0
1
2
a) P(X=k)
0.62222 0.35555 0.022222
k
0
1
2
b) P(X=k)
0.64 0.32 0.04
Aufgabe
8 2.6
>
< 0(1=4) t
FX (t) > 1=2 t ; 1=2
:
1
Aufgabe 2.7
fur
t0
fur 0 < t 2
fur 2 < t 3
fur 3 < t
a fur 2 x 4;
0 sonst.
c) P (X < 0:2) = 0
e) P (2:5 X < 3) = 1=4
a) fX (x) =
Aufgabe 2.8
FX (t) =
D2 (X ) = 43
0
fur t 1;
;
3
1 ; t fur t > 1:
b) a = 1=2
d) P (X > 3) = 1=2
E (X ) = 1:5
P (X 2) = 81
3 fur ; 1 < x 1
3
E (X ) = ; 13
Aufgabe 2.9 fX (x) = 04 sonst
b) P (2 X 10) = 0:4
Aufgabe 2.10 a) xpii 10.6 20.4
Aufgabe 2.11 a) xpii 10.8 20.16 30.032 40.008
b) E (X ) = 1:248; D2 (X ) = 0:298 c) P (X 2) = 0:96
Aufgabe 2.12 E (X ) = 30 Pf.
Aufgabe 2.13 a) a = 12 b = 1 b) fX (t) = 1 1 +1 t2
Aufgabe 2.14 5 Paletten sind optimal.
Aufgabe 2.15 E (X ) = 3:5 V ar(X ) = 2:92
Aufgabe 2.16
b) FX (x) = x (2 ; x) fur 0 x 1, FX (x) = 0 fur x < 0, FX (x) = 1 fur x > 1
c) m : Median m = 0:293 q0:25 = 0:134 q0:75 = 0:5
101
d) E (X ) = 1 V ar(X ) = 1
3
18
Aufgabe 2.18 (a; b) = (10 ; 4:47; 10 + 4:47) = (5:53; 14:47)
Aufgabe 3.1
X : Anzahl der nicht funktionsfahigen Relais in einer 10er-Packung
X Bi(10; 0:05)
a) P (X = 2) = 0:07463
b) P (X > 1) = 0:08614
c) E (X ) = 0:5 V ar(X ) = 0:475 d) P (1:5 < X < 4:2) = 0:08608
Aufgabe 3.2 X : Anzahl der Sechsen unter n = 6 Wurfen X Bi(6; 16 )
P (X 3) = 0:0623
; ;
Aufgabe 3.3 P (X = n ; y) = n;n y pn;y (1 ; p)n;(n;y) = ny (1 ; p)y pn;y = P (Y = y)
Aufgabe 3.4 X : Anzahl der Sitzungsteilnehmer, X Bi(12; 0:8)
P (X 6) = 0:9961
Aufgabe 3.5
Vert. i =
B (5; 31 ) pi =
B (5; 21 ) pi =
B (5; 32 ) pi =
0
32
243 = 0:132
1
32 = 0:031
1
243 = 0:004
1
80
243 = 0:329
5
32 = 0:156
10
243 = 0:041
2
80
243 = 0:329
10 = 0:313
32
40
243 = 0:165
Vert. i =
B (5; 31 ) pi =
B (5; 21 ) pi =
B (5; 32 ) pi =
3
40
243 = 0:165
10 = 0:313
32
80
243 = 0:329
4
10
243 = 0:041
5
32 = 0:156
80
243 = 0:329
5
1
243 = 0:004
1
32 = 0:031
32
243 = 0:132
Aufgabe 3.6 X : Anzahl der Monate, in denen die Durchschnittstemperatur normal
sein wird, X Bi(24; 0:9); P (X < 20) = 0:0851
Aufgabe 3.7 X : Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg; X Geo(0:8)
E (X ) = p1 = 1:25
Aufgabe 3.8 X : Anzahl der Runden bis zum ersten Start, X Geo(p) mit p =
91 .
1 ; ( 65 )3 = 216
E (X ) = 1p = 216
= 2:37
91
Aufgabe 3.9 X : Anzahl der Schaden, X Po()
a) P (X = 0) =
102
0:049787
fur = 3
0:1353352 fur = 2
0:42319
fur = 3
0:6766764 fur = 2
0:5768099 fur = 3
c) P (X 3) = 0:3233235 fur = 2
) Amortisierung nach 15 Monaten.
Aufgabe 3.10 X Po( = 0:5) P (X 2) = 0:9856
Aufgabe 3.11 X : Anzahl der ankommenden Autos X Po(); = 2:5
a) P (X = 0) = 0:0821 b) P (X = 2) = 0:2565
c) P (X > 3) = 0:2424 d) P (X < 6) = 0:958
b) P (X 2) =
Aufgabe 3.12 X : Anzahl der Defekte pro Tag, X Po(4)
a) P (X > 10) = 0:0028;
b) P (X = 4) = 0:1953
p
p
V ar(X ) = = 2
Aufgabe 3.13 X : Anzahl der Einsatze pro Tag, X Po() mit = 1.
P (X = 0) = e;1 = 0:3679
P (X 1) = 1 ; P (X = 0) = 0:6321
P (X 3) = (1 + 1 + 12 + 16 )e;1 = 0:9810
Aufgabe 3.14
X : Anzahl der Ausschustucke pro Stunde. X ist approximativ Po(4){verteilt.
a) P (X = 4) = 0:1953 b) P (X 7) = 0:1107 c) P (X 8) = 0:9786
Aufgabe 3.15 X : Anzahl der Tippfehler pro Seite, X Po() mit = 2
a) P (X = 0) = 0:1353 b) P (X = 2) = 0:2707 c) P (X 2) = 0:6767
Aufgabe 3.16 X : Anzahl der Luftblaschen pro m2, X Po() mit = 1
P ("1.Wahl\)=0.3679,
P ("2.Wahl\)=0.3679
P ("3.Wahl\)=0.2453,
P ("Ausschu\)=0.0189
Aufgabe 3.17
1
x
X
x;2 e;
;
2
E (X (X ; 1)) =
x(x ; 1) x! e = x=2 (x ; 2)!
x=0
1 x
X
= 2 x! e;
x=0
= 2
d.h.: E (X 2) ; E (X ) = 2 . Daraus folgt wegen E (X ) = :
V ar(X ) = E (X 2) ; (EX )2 = 2 + ; 2 = :
; Aufgabe 3.18 Y Po(6) und X Ex 101
1
X
103
E (X ) = 10 [Min]; P (Y 3) = 0:1512; P (X 30) = 1 ; e;3 = 0:9502
Aufgabe 3.19
X : Anzahl der Frauen im Vierer-Gremium, X H (n; M ; N ; ) = H (4; 5; 10)
a) P (X 2) = 0:738
b) P (X = 2) = 0:476
Aufgabe 3.20 X : Anzahl der vorbereiteten unter den drei herausgegrienen Gebieten,
X H (n; M ; N ) = H (3; 5; 10)
P (X 2) = 21
Aufgabe 3.21
a) 0:000000072 b) 0:00000043 c) 0:000018 d) 0:00097 e) 0:9814
Aufgabe 3.22
maxf0; n ; (N ; M )g = maxf0; 4 ; (8 ; 5)g = 1; minfn; M g = minf4; 5g = 4
xi
1
2
3
4
5
3
5
3
5
3
5
3
pi = f (xi) (1()8()3) = 141 (2()8()2) = 37 (4()8()1) = 73 (4()8()0) = 141
4
4
4
4
Aufgabe 3.23 X : Anzahl der funktionierenden Feuerwerkskorper in der Stichprobe
a) P (X 3) = 0:6988 b) P (X 3) = 0:9623 c) P (X 3) = 0:0377
Aufgabe 3.24 a) 0:6522 b) 0:2569
Aufgabe 3.26
a) P (X 2:5) = 0:0062
b) P (X < ;1:5) = 0:0668
c) P (1:2 X 2:3) = 0:1044
d) P (;1:1 X < 3) = 0:8635
Aufgabe 3.27
a) P (146 X < 155) = 0:97104
b) Ja, aber P (X 160) 0
c) = 1:163
Aufgabe 3.28
a) P (24:86 X 25:14) = 0:9948
c) c = 0:0875
b) P (X 25:1) = 0:0228
Aufgabe 3.29
a) P (jX ; j 3) 0:8889 b) P (jX ; j 3) = 0:9973
Aufgabe 3.30
P (0 X 11) = 0:5565 ; P (8 X 12) = 0:3108 ; P (X 15) = 0:8413 ;
104
Aufgabe 3.31
a) (i) P (X 985) = 0:0668
(ii) P (X 985) = 0:0000
b)
21:46
c) 1003:55
Aufgabe 3.32
a) P (X 35:4) = 0:7881
b) P (X 34:6) = 0:7881
c) P (34:5 X 35:2) = 0:4967
d) P (34:3 X 35:7) = 0:8384
Aufgabe 3.33
a)
E (X ) = 15 000;
E (Y ) = 18 000 > E (X )
b) E (g1(X )) = 1 500 000
E (g2(Y )) = 1 520 000 > E (g1(X ))
Aufgabe 3.34 P (X > 10) = 0:1353
Aufgabe 3.35
a) P (X 2) = 0:8521437
b) 90% der Erzeugnisse uberleben 1.74 Zeiteinheiten.
c) Nach 4.86 Zeiteinheiten sind 90% der Erzeugnisse ausgefallen.
Aufgabe 4.1 P (47 X 52) 0:4495 P (X = 50) 0:0796
Aufgabe 4.2 P (X 10) 0:9279 8
< 0:8414 : fur n = 200
Aufgabe 4.3 P (jHn ; pj 0:05) : 0:9750 : fur n = 500
0:9984 : fur n = 1000
Aufgabe 4.4
a)
b)
Normalappr. Normalappr.
Exakter Wert o. Stet.-Korr. m. Stet.-Korr.
P (X = 32)
0.0993
0
0.100
P (26 X 34)
0.6821
0.625
0.682
Normalappr. Normalappr.
Exakter Wert o. Stet.-Korr. m. Stet.-Korr.
P (X = 32)
0.0659
0
0.071
P (26 X 34)
0.5889
0.535
0.588
Aufgabe 4.5
ohne Stet.-Korr. mit Stet.-Korr. exakter Wert
P (X 49)
0.500
0.528
0.5379
P (42 X 56)
0.683
0.715
0.7166
P (X 60)
0.058
0.067
0.0703
105
Aufgabe 4.6 P (185 X 215) 0:866 (ohne Stet.-Korr.)
P (185 X 215) 0:879 (mit Stet.-Korr.)
Aufgabe 4.7
a) P (X = 0) = 0:9510 = 0:5987
b) P (X 1) = 1 ; (0:97)n 0:99 gilt ab n = 152
Aufgabe 4.9 a) 0:9220 b) 0:74 c) 0:922:
Aufgabe 5.1
X nY
2 4 5 P (X = xi)
-1
0.1 0.2 0.3
0.6
1
0 0.2 0.2
0.4
P (Y = yk ) 0.1 0.4 0.5
1
a) E (X ) = ;0:2 ; E (Y ) = 4:3 ; V ar(X ) = 0:96 ; V ar(Y ) = 0:81
b) X und Y sind nicht stochastisch unabhangig.
c) Cov(X; Y ) = 0:16 ; %(X; Y ) 0:18
d) X nY
y1 y2 P (X = xi )
x1
0.06 0.04
0.1
0.54 0.36
0.9
x2
P (Y = yk ) 0.60 0.40
1.0
e) X und Y sind nicht stochastisch unabhangig, jedoch %(X; Y ) = 0
Aufgabe 5.2 %(X; Y ) = ;0:422
Regressionsgerade von Y bzgl. X : y = ;0:29x + 5:47
Regressionsgerade von X bzgl. Y : x = ;0:61y + 7:43
Aufgabe 5.3
X nY 0 1
;1 0 1=3 1=3
0
1=3 0 1=3
1
0 1=3 1=3
1=3 2=3
Cov(X; Y ) = E (XY ) ; (EX )(EY ) = 0 ; 0 23 = 0
Aufgabe 6.1 E (K ) = 22 ; V ar(K ) = 48
Aufgabe 6.2 fX (x) = exp(;x) ; fY (y) = exp(;y) Sei Z = X + Y :
1. Fall = fZ (z)=2 z exp(;z)
FZ (z) = 1 ; exp(;z) (1 + z)
V ar(Z ) = 22
E (Z )= 2
106
2. Fall 6= .
fz (z) = ; (exp(;z) ; exp(;z))
Fz (z) = 1 ; ;1 ( exp(;z) ; exp(;z))
E (Z ) = 1 + 1 V ar(Z ) = 12 + 12
a) E (Z ) = 100 ; V ar(Z ) = 5000 ; P (Z > 100) = 0:406
b) E (Z ) = 10 ; P (Z 8) = 0:5156
Aufgabe 6.3 Die zulassige Personenanzahl n ist 28.
Aufgabe 6.4 E (Y ) = 23 ; V ar(Y ) = 181
Aufgabe 6.5 E (X + Y ) = 2;
E (X ; Y ) = 0;
2
V ar(X + Y ) = V ar(X ; Y ) = 3 ; V ar(2X ; 3Y ) = 13
3
Aufgabe 6.6 V ar(X ) 5:83
Aufgabe 6.7 E (Z ) = 1 (E (X ) ; ) = 0
Aufgabe 6.9 = p1 ; 2p
p(1 ; p)
V ar(Z ) = 12 V ar(X ) = 1
Fur p = 21 liegt eine symmetrische Verteilung vor; = 0
Fur p ! 0 geht ! +1 extrem schiefe Verteilung
Fur p ! 1 geht ! ;1
Aufgabe 6.10
X : Anzahl der Wurfe, bis jede Augenzahl einmal gewurfelt ist
Xk : Anzahl der Wurfe, bis zum Erscheinen der k{ten neuen Augenzahl, nachdem k ; 1
verschiedene Augenzahlen bereits gewurfelt worden sind; k = 1; 2; ; 6.
Es gilt: X = X1 + X2 + + X6
Xk ist geometrisch verteilt mit dem Parameter pk = 6;(k6;1) .
E (X ) = E (X1) + E (X2) + E (X3) + E (X4) + E (X5 ) + E (X6)
= 14:7
Aufgabe 6.11
a) Sei X = X1 + X2
p
X ist dann naherungsweise N (14 + 36; 9 + 25) = N (50; ( 34)2 ) verteilt.
b) P (X 55) = 0:1969
107
Aufgabe 7.1
a) k = 83; n = 120:48
b) Auswahlsatz Nn = 0:012:
Eine zweistellige und zwei dreistellige Schluziern mussen (ohne U berschneidungen) zufallig gewahlt werden, z.B. 73; 255 und 623:
Aufgabe 7.2
Stichprobe Wert von X Wert von (X ; EX )2
f1,2g
1.5
1.00
f1,3g
2.0
0.25
f1,4g
2.5
0.00
f2,3g
2.5
0.00
f2,4g
3.0
0.25
f3,4g
3.5
1.00
Summe
15.0
2.50
Jede Stichprobe tritt mit der Wahrscheinlichkeit 61 auf. Also sind
5:
E (X ) = 61 15 = 2:5 und V ar(X ) = 16 2:5 = 12
m
X
1
M
Aufgabe 7.3 X klu = N m Yi = 12
i=1
a)
Klumpung Klumpung Wert von Wert von
X klu bei
X klu bei
Wahl von Wahl von
Klumpen 1 Klumpen 2 Klumpen 1 Klumpen 2 V ar(X klu)
f1; 2g
f3; 4g
1.5
3.5
1.00
f1; 3g
f2; 4g
2.0
3.0
0.25
f1; 4g
f2; 3g
2.5
2.5
0.00
Mittlere Varianz von X klu = 31 1:25 =
Klumpungseekt gleich Null.
b)
108
Klumpung Klumpung
5
12
= V ar(X reiZ ); also ist der mittlere
Wert von Wert von
X klu bei
X klu bei
Wahl von Wahl von
Klumpen 1 Klumpen 2 Klumpen 1 Klumpen 2 V ar(X klu)
f1g
f2; 3; 4g
0.5
4.5
4.00
f2g
f1; 3; 4g
1.0
4.0
2.25
f3g
f1; 2; 4g
1.5
3.5
1.00
f4g
f1; 2; 3g
2.0
3.0
0.25
Mittlere Varianz von X klu = 14 7:5 =
ein negativer Klumpungseekt.
22:5
12
> V ar(X reiZ ); also entsteht im Mittel
Aufgabe 7.4
a)
b)
PX
i
ist Bi(n; p){verteilt mit p = M=N . Daraus folgt:
PX
V ar(X ) = n12 np (1 ; p) = M (nNN;2 M )
i
ist H (n; M; N ){verteilt. Daraus folgt:
M N ; n = M (N ; M ) (N ; n)
V ar(X ) = n12 n M
1
;
N
N N ;1
n N 2 (N ; 1)
Aufgabe 7.5
a) Es liegen k = 2 Schichten vor mit N1 = N2 = 6 und n1 = n2 = 3. Die Stichprobe
ist proportional und, da die Varianzen innerhalb der beiden Schichten gleich gro
sind, auch optimal geschichtet. Fur die Stichprobenmittel X 1 und X 2 der beiden
Teilstichproben erhalten wir aus Aufgabe 7.4b:
; 3) = 1
V ar(X 1 ) = V ar(X 2) = 3 3(6 6;2(63)(6
; 1)
20
Wegen der Unabhangigkeit von X 1 und X 2 folgt daraus fur
2
X
1
X = X prop = X opt = N Nj X j = 12 (X 1 + X 2) :
j =1
1 + 1 = 1
V ar(X prop) = V ar(X opt) = 41 20
20
40
b) Es liegen zwei Klumpen vor, von denen einer zufallig gewahlt wird. Es gilt:
X klu = 16 [Summe der Stichprobenwerte] (vgl. (7.10))
Bei Wahl von Klumpen U1 ist X klu = 21 , bei Wahl von Klumpen U2 ebenfalls.
Daraus folgt:
V ar(X klu) = 0
Nach Aufgabe 7.4 ist
; 6)(12 ; 6) = 1
V ar(X reiz ) = 6 6 (12
122 (12 ; 1) 44
109
Also gilt in diesem Fall:
0 = V ar(X klu) < V ar(X reiz ) < V ar(X prop) = V ar(X opt)
Aufgabe 7.6 Auf gleiche Weise wie in der Losung von Aufgabe 7.5 erhalt man hier:
V ar(X 1) = V ar(X 2) = 0;
also auch
V ar(X prop) = 0 und V ar(X klu) = 41
Wie oben ist V ar(X reiZ ) = 441 . Zusammen folgt daraus die Behauptung.
Aufgabe 8.1
a) pb = x1 Aus x = 5 folgt pb = 51 : Man beachte hier die andere Bezeichnung in
der geometrischen Verteilung. In der Bezeichnung von Abschnitt 3.1.3. wurde hier
(1 ; p) geschatzt!
b) pb = 101 ; P (X = 3; Y = 2; Z = 1) = 0:12
Aufgabe 8.2 b = Pnnx : Fur das angegebene Beispiel mit n = 10 ist P xi = 40 und
i
i=1
somit b = 0:25 :
Aufgabe 8.4 Die Stichprobenwerte x1 ; : : : ; xn sind samtlich nichtnegativ;
maxfx1 ; : : : ; xn g bezeichne den groten Wert unter ihnen. Aus
f (x1 ; : : : ; xn; #) =
; 1 n
#
0
: falls alle xi #; d.h. maxfx1 ; ; xng #
: falls mindestens ein xi > #
erhalt man die Likelihood{Funktion
L(#; x1 ; : : : ; xn) =
; 1 n
#
0
: fur alle # maxfx1 ; : : : ; xng
: fur alle # < maxfx1; : : : ; xng
Sie nimmt ihr Maximum an der Stelle #b = maxfx1 ; : : : ; xng an. Fur = 21 # ergibt sich
damit die Maximum{Likelihood{Schatzung b = 12 maxfx1 ; : : : ; xng.
n
X
b
a
2
Aufgabe 8.5 mb 1 = 2 ; ba = n xi
i=1
Aufgabe 8.6 y = 0:52 + 5:48 x
Aufgabe 8.7
a) s = 0:00456 v2
b) Ein Schatzwert fur den Bremsweg bei einer Geschwindigkeit von 75 km/h ist:
s(75) = 25:7 m.
110
Aufgabe 8.8
Aufgabe 9.1
Aufgabe 9.2
Aufgabe 9.3
Aufgabe 9.4
Aufgabe 9.5
Aufgabe 9.6
y = 1:13 + 8:x96
P ( 2 [2804; 3196]) = 0:95
P ( 2 [2:686; 2:724]) = 0:99
P (2 2 [254:7; 1174:5]) = 0:99
P (p 2 [0:02; 0:08]) = 0:95
2
22n;1;=2
2nX
= 1 ; ) P ( 2 [0:12; 0:43]) = 0:95
X 0.95{Kondenzintervall fur eine Lagerposition: [980:62; 1841:38]. Fur den
Lagergesamtwert N erhalt man daraus das 0.95{Kondenzintervall
[N 980:62; N 1841:38] = [22528763; 42303804] :
Aufgabe 9.7 0.95{Kondenzintervall [95:64; 110:36].
Aufgabe 9.8 0.9{Kondenzintervall: [1:32; 5:69]
Aufgabe 9.9 0.99{Kondenzintervall [0:5025; 0:5495]
Aufgabe 9.10 0.95{Kondenzintervall [3:478; 3:522]
P
2n;=2
2n
Aufgabe 10.1
a) 121:5 2 (118:04; 121:96) ) H0 beibehalten.
b) 121:5 62 (119:02; 120:98) ) H0 ablehnen.
c) ": z1;=2 # ) Fur wachsende wird der kritische Bereich groer, d.h. der
Nichtablehnungsbereich kleiner.
Aufgabe 10.2 a) x 305:6 b) = 0:0329
Aufgabe 10.3 Kritischer Bereich: K = fx : jx ; 0:5j > 0:02472g
jx ; 0j = j0:45 ; 0:5j = 0:05, d.h. x 2 K , d.h. H0 ablehnen.
Aufgabe 10.4 Kritischer Bereich: K = [1:97 s2 < 1]
s2 = 1:6 ) H0 nicht ablehnen.
Aufgabe 10.5 einfacher Gautest; Kritischer Bereich fur T : K = [1:645; 1] ;
t = 1:573 ; t 62 K ) H0 nicht ablehnen.
Aufgabe 10.6 doppelter t{Test; t = 3:447 > t23;0:95 = 1:714 ) H0 verwerfen.
Aufgabe 10.7 Test von Welch; t = 3:819 > 1:645 ) Die Vermutung kann bei einem
Signikanzniveau = 0:05 durch die Stichprobenergebnisse bestatigt werden.
Aufgabe 10.8 einfacher Gautest fur eine unbekannte Wahrscheinlichkeit;
K = fx : jx ; 0:5j > 0:0825g ; 0:1 > 0:0825 ) H0 verwerfen
Aufgabe 10.9
a) Es handelt sich um eine Bi(4; 21 ){Verteilung.
111
b) 2 = 11:92 > 24;0:95 = 9:49 ) H0 ablehnen.
Aufgabe 10.10
52 = 1 ;
a) x = 52
52
s2 = 51
b) 2 = 0:0723 < 21;0:95 = 3:84 ) H0 nicht ablehnen.
c) P (X 5) = 0:0037 : Alle 5:2 Jahre ist der Fall, da 5 und mehr Feuermelder in
einer Woche ausfallen, zu erwarten.
Aufgabe 10.11 H0 : Unabhangigkeit, 2 = 11:6 > 21;0:99 = 6:63 ) H0 wird
abgelehnt.
Aufgabe 10.12 H0 : Unabhangigkeit, 2 = 3:39 < 23;0:95 = 7:81 ) H0 nicht
ablehnen. Aufgabe 10.13
a) Einfacher Gau{Test fur H0 : = 0 = 10 gegen H1 : 6= 0.
0:2 > 0:196 ) H0 wird abgelehnt.
b) Einfacher t{Test fur H0 : = 0 = 10 gegen H1 : 6= 0 (bei unbekanntem 2).
0:2 < 0:211 ) H0 nicht abgelehnt.
Aufgabe 10.14 Einfacher t{Test fur H0 : = 80 gegen H1 : > 80. H0 wird abgelehnt,
wenn x > 81:59 : Wegen x = 81:5 ist H1 nicht signikant.
Aufgabe 10.15 Test von H0 : A = B + 5000 gegen H1 : A > B + 5000 : H0 wird
genau dann abgelehnt, wenn x ; y > 5148:1 : Die beobachtete Dierenz x ; y = 5158
fuhrt daher zur Signikanz von H1.
Aufgabe 10.16
a) Doppelter t{Test fur H0 : B = A + 5 gegen H1 : B > A + 5. H0 wird genau
dann abgelehnt, wenn y ; x ; 5 > 3:81 : Die beobachtete Dierenz y ; x ; 5 = 4
fuhrt daher zur Ablehnung von H0.
b) Test von Welch fur H0 und H1 wie unter a). H0 wird genau dann abgelehnt, wenn
gilt:
s2 2
y ; x ; 5 > t;1; s ns1 + ns2
1
2
= 29:3 ; t29;0:95 = 1:70 : H0 wird ebenfalls abgelehnt. (Da sich weder n1 und n2
noch s21 und s22 stark unterscheiden, besitzt der Test von Welch fast den gleichen
Ablehnbereich wie der doppelte t{Test.)
Aufgabe 10.17 t{Dierenzentest fur H0 : 1 = 2 gegen H1 : 1 > 2. H0 wird genau
dann abgelehnt, wenn z = x ; y > 0:798 : Das beobachtete z = 1 fuhrt zur Ablehnung
von H0.
Aufgabe 10.18 Aus den beiden Stichproben (mit n1 = n2 = 17) erhalt man x = 51,
112
s2x = 6:25, y = 50 und s2y = 7:50. Da sich s2x und s2y nicht stark unterscheiden und
n1 = n2 gilt, besitzt der Test von Welch ungefahr den gleichen Ablehnbereich wie der
doppelte t-Test; wir wenden letzteren an. (H0 und H1 wie in Aufgabe 10.17.) H0 wird
genau dann abgelehnt, wenn
r1
x ; y > t32;1; s n + n1 = 2:45 2:62 0:34 = 2:18
1
2
Das beobachtete x ; y = 1 fuhrt nicht zur Ablehnung von H0. (Durch den Test von
Welch wurde H0 genau dann abgelehnt, wenn x ; y > 2:20. Er liefert hier dasselbe
Ergebnis.)
Aufgabe 10.19 Hypothesen: H0 : p = p0 = 0:5 gegen H1 : p 6= p0. Da n hinreichend
gro ist (n p0 (1 ; p0 ) > 9), darf der einfache Gau{Test fur p benutzt werden. Kritischer
Bereich: jx ; p0j > 0:0236 : x = 0:526, also wird H0 abgelehnt.
Aufgabe 10.20 2 {Test fur die Varianz bei bekanntem .
H0 : 2 = 02 = 1 gegen H1 : 2 > 02 .
H0 wird genau dann abgelehnt, wenn s2 > 1:77 Aus der beobachteten Stichprobe ergab
sich s2 = 1:76 : ) H0 wird nicht abgelehnt.
Aufgabe 10.21 2 {Test fur die Varianz bei unbekanntem .
H0 : = 0 = 250 gegen H1 : 6= 250.
Der kritische Bereich K des Tests besteht aus allen s2{Werten, die kleiner als 32750 und
groer als 101500 sind. Das beobachtete s2 = 1602 = 25600 fuhrt daher zur Ablehnung
von H0.
Aufgabe 10.22 2{Anpassungstest fur eine einfache Nullhypothese. H0 : Die aktuelle
Verteilung ist die gleiche wie bei der letzten Wahl. H1 : Die aktuelle Verteilung ist ungleich der Verteilung der letzten Wahl. 2 {Abstand t = 50. Dieser Wert ist groer als
das Quantil 23;0:99 = 11:3. H0 wird abgelehnt.
Aufgabe 10.23 2 {Anpassungstest mit geschatztem Parameter b = 1: H0: X ist
Po(b){verteilt. 2 {Abstand t = 1:44. Dieser Wert ist kleiner als das Quantil 22;0:95 =
5:99 : ) H0 wird nicht abgelehnt.
Aufgabe 10.24 2{Anpassungstest. H0: Die Lebensdauer ist Ex(){verteilt mit
= 0:5 : 2{Abstand t = 7:70 : Dieser Wert ist kleiner als das Quantil 25;0:95 = 11:1. H0
wird nicht abgelehnt.
Aufgabe 10.25 2 {Unabhangigkeittest. 2{Abstand: 23:15 : Dieser Wert ist groer als
das Quantil 22;0:99 = 9:21 : H0 wird abgelehnt. Die Abhangigkeit der Freizeitinteressen
vom Geschlecht ist signikant.
Aufgabe 10.26 2 {Unabhangigkeitstest. 2{Abstand: 85:6 : Er ist groer als das Quantil 26;0:95 = 12:6. Damit wird H0 verworfen: Eine Abhangigkeit zwischen Wahlabsicht
und Bekenntnis ist signikant.
113
Tabelle 1: Poisson{Verteilungen
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Verteilungsfunktion
P
f (xi ) = P (X = xi ) = pi
F (x) = P (X x) =
i: xi
xi
= 0:1
f (xi )
F (x)
= 0 :2
f (xi )
F (x)
x
f (xi ) =
= 0:3
f (xi )
F (x)
P
i: xi
x
pi
= 0:4
f (xi )
F (x)
0
0.9048
0.9048
0.8187
0.8187
0.7408
0.7408
0.6703
0.6703
0.6065
0.6065
1
0.0905
0.9953
0.1637
0.9825
0.2222
0.9631
0.2681
0.9384
0.3033
0.9098
2
0.0045
0.9998
0.0164
0.9989
0.0333
0.9964
0.0536
0.9921
0.0758
0.9856
3
0.0002
1.0000
0.0011
0.9999
0.0033
0.9997
0.0072
0.9992
0.0126
0.9982
4
0.0000
1.0000
0.0001
1.0000
0.0003
1.0000
0.0007
0.9999
0.0016
0.9998
0.0001
1.0000
0.0002
1.0000
xi
= 0:6
f (xi )
F (x)
= 0 :7
f (xi )
F (x)
= 0:8
f (xi )
F (x)
= 0:9
f (xi )
F (x)
=1
f (xi )
F (x)
0
0.5488
0.5488
0.4966
0.4966
0.4493
0.4493
0.4066
0.4066
0.3679
0.3679
1
0.3293
0.8781
0.3476
0.8442
0.3595
0.8088
0.3659
0.7725
0.3679
0.7358
2
0.0988
0.9769
0.1217
0.9659
0.1438
0.9526
0.1647
0.9371
0.1839
0.9197
3
0.0198
0.9966
0.0284
0.9942
0.0383
0.9909
0.0494
0.9865
0.0613
0.9810
4
0.0030
0.9996
0.0050
0.9992
0.0077
0.9986
0.0111
0.9977
0.0153
0.9963
5
0.0004
1.0000
0.0007
0.9999
0.0012
0.9998
0.0020
0.9997
0.0031
0.9994
0.0001
1.0000
0.0002
1.0000
0.0003
1.0000
0.0005
0.9999
0.0001
1.0000
6
7
xi
= 1:5
f (xi )
F (x)
=2
f (xi )
F (x)
=3
f (xi )
F (x)
=4
f (xi )
F (x)
=5
f (xi )
F (x)
0
0.2231
0.2231
0.1353
0.1353
0.0498
0.0498
0.0183
0.0183
0.0067
0.0067
1
0.3347
0.5578
0.2707
0.4060
0.1494
0.1991
0.0733
0.0916
0.0337
0.0404
2
0.2510
0.8088
0.2707
0.6767
0.2240
0.4232
0.1465
0.2381
0.0842
0.1247
3
0.1255
0.9344
0.1804
0.8571
0.2240
0.6472
0.1954
0.4335
0.1404
0.2650
4
0.0471
0.9814
0.0902
0.9473
0.1680
0.8153
0.1954
0.6288
0.1755
0.4405
5
0.0141
0.9955
0.0361
0.9834
0.1008
0.9161
0.1563
0.7851
0.1755
0.6160
6
0.0035
0.9991
0.0120
0.9955
0.0504
0.9665
0.1042
0.8893
0.1462
0.7622
7
0.0008
0.9998
0.0034
0.9989
0.0216
0.9881
0.0595
0.9489
0.1044
0.8666
8
0.0002
1.0000
0.0009
0.9998
0.0081
0.9962
0.0298
0.9786
0.0653
0.9319
0.0002
1.0000
0.0027
0.9989
0.0132
0.9919
0.0363
0.9682
10
0.0008
0.9997
0.0053
0.9972
0.0181
0.9863
11
0.0002
0.9999
0.0019
0.9991
0.0082
0.9945
12
0.0001
1.0000
0.0006
0.9997
0.0034
0.9980
13
0.0002
0.9999
0.0013
0.9993
14
0.0001
1.0000
0.0005
0.9998
15
0.0002
0.9999
16
0.0001
1.0000
9
114
= 0:5
f (xi )
F (x)
Tabelle 2: Wahrscheinlichkeiten der Standardnormalverteilung
z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.5000
0.5040
0.5080
0.5120
0.5160
0.5199
0.5239
0.5279
0.5319
0.5359
0.1
0.5398
0.5438
0.5478
0.5517
0.5557
0.5596
0.5636
0.5675
0.5714
0.5753
0.2
0.5793
0.5832
0.5871
0.5910
0.5948
0.5987
0.6026
0.6064
0.6103
0.6141
0.3
0.6179
0.6217
0.6255
0.6293
0.6331
0.6368
0.6406
0.6443
0.6480
0.6517
0.4
0.6554
0.6591
0.6628
0.6664
0.6700
0.6736
0.6772
0.6808
0.6844
0.6879
0.5
0.6915
0.6950
0.6985
0.7019
0.7054
0.7088
0.7123
0.7157
0.7190
0.7224
0.6
0.7257
0.7291
0.7324
0.7357
0.7389
0.7422
0.7454
0.7486
0.7517
0.7549
0.7
0.7580
0.7611
0.7642
0.7673
0.7704
0.7734
0.7764
0.7794
0.7823
0.7852
0.8
0.7881
0.7910
0.7939
0.7967
0.7995
0.8023
0.8051
0.8078
0.8106
0.8133
0.9
0.8159
0.8186
0.8212
0.8238
0.8264
0.8289
0.8315
0.8340
0.8365
0.8389
1.0
0.8413
0.8438
0.8461
0.8485
0.8508
0.8531
0.8554
0.8577
0.8599
0.8621
1.1
0.8643
0.8665
0.8686
0.8708
0.8729
0.8749
0.8770
0.8790
0.8810
0.8830
1.2
0.8849
0.8869
0.8888
0.8907
0.8925
0.8944
0.8962
0.8980
0.8997
0.9015
1.3
0.9032
0.9049
0.9066
0.9082
0.9099
0.9115
0.9131
0.9147
0.9162
0.9177
1.4
0.9192
0.9207
0.9222
0.9236
0.9251
0.9265
0.9279
0.9292
0.9306
0.9319
1.5
0.9332
0.9345
0.9357
0.9370
0.9382
0.9394
0.9406
0.9418
0.9429
0.9441
1.6
0.9452
0.9463
0.9474
0.9484
0.9495
0.9505
0.9515
0.9525
0.9535
0.9545
1.7
0.9554
0.9564
0.9573
0.9582
0.9591
0.9599
0.9608
0.9616
0.9625
0.9633
1.8
0.9641
0.9649
0.9656
0.9664
0.9671
0.9678
0.9686
0.9693
0.9699
0.9706
1.9
0.9713
0.9719
0.9726
0.9732
0.9738
0.9744
0.9750
0.9756
0.9761
0.9767
2.0
0.9772
0.9778
0.9783
0.9788
0.9793
0.9798
0.9803
0.9808
0.9812
0.9817
2.1
0.9821
0.9826
0.9830
0.9834
0.9838
0.9842
0.9846
0.9850
0.9854
0.9857
2.2
0.9861
0.9864
0.9868
0.9871
0.9875
0.9878
0.9881
0.9884
0.9887
0.9890
2.3
0.9893
0.9896
0.9898
0.9901
0.9904
0.9906
0.9909
0.9911
0.9913
0.9916
2.4
0.9918
0.9920
0.9922
0.9925
0.9927
0.9929
0.9931
0.9932
0.9934
0.9936
2.5
0.9938
0.9940
0.9941
0.9943
0.9945
0.9946
0.9948
0.9949
0.9951
0.9952
2.6
0.9953
0.9955
0.9956
0.9957
0.9959
0.9960
0.9661
0.9962
0.9963
0.9964
2.7
0.9965
0.9966
0.9967
0.9968
0.9969
0.9970
0.9971
0.9972
0.9973
0.9974
2.8
0.9974
0.9975
0.9979
0.9977
0.9977
0.9978
0.9979
0.9979
0.9980
0.9981
2.9
0.9981
0.9982
0.9982
0.9983
0.9984
0.9984
0.9985
0.9985
0.9986
0.9986
3.0
0.9987
0.9987
0.9987
0.9988
0.9988
0.9989
0.9989
0.9989
0.9990
0.9990
3.1
0.9990
0.9991
0.9991
0.9991
0.9992
0.9992
0.9992
0.9992
0.9993
0.9993
3.2
0.9993
0.9993
0.9994
0.9994
0.9994
0.9994
0.9994
0.9995
0.9995
0.9995
115
Tabelle 3: Quantile der t{Verteilung mit Freiheitsgraden
116
np
0.995
0.99
0.975
0.95
0.90
np
0.995
0.99
0.975
0.95
0.90
1
63.66
31.82
12.71
6.31
3.08
20
2.84
2.53
2.09
1.72
1.32
2
9.92
6.96
4.30
2.92
1.89
21
2.83
2.52
2.08
1.72
1.32
3
5.84
4.54
3.18
2.35
1.64
22
2.82
2.51
2.07
1.72
1.32
4
4.60
3.75
2.78
2.13
1.53
23
2.81
2.50
2.07
1.71
1.32
24
2.80
2.49
2.06
1.71
1.32
5
4.03
3.36
2.57
2.02
1.48
6
3.71
3.14
2.45
1.94
1.44
25
2.79
2.48
2.06
1.71
1.32
7
3.50
3.00
2.36
1.90
1.42
26
2.78
2.48
2.06
1.71
1.32
8
3.36
2.90
2.31
1.86
1.40
27
2.77
2.47
2.05
1.70
1.31
9
3.25
2.82
2.26
1.83
1.38
28
2.76
2.47
2.05
1.70
1.31
29
2.76
2.46
2.04
1.70
1.31
10
3.17
2.76
2.23
1.81
1.37
11
3.11
2.72
2.20
1.80
1.36
30
2.75
2.46
2.04
1.70
1.31
12
3.06
2.68
2.18
1.78
1.36
40
2.70
2.42
2.02
1.68
1.30
13
3.01
2.65
2.16
1.77
1.35
60
2.66
2.39
2.00
1.67
1.30
14
2.98
2.62
2.14
1.76
1.34
120
2.62
2.36
1.98
1.66
1.29
2.58
2.33
1.96
1.645
1.28
15
2.95
2.60
2.13
1.75
1.34
16
2.92
2.58
2.12
1.75
1.34
17
2.90
2.57
2.11
1.74
1.33
18
2.88
2.55
2.10
1.73
1.33
19
2.86
2.54
2.09
1.73
1.33
1
Tabelle 4: Quantile der 2 {Verteilung mit Freiheitsgraden
np
0.005
0.01
0.025
0.05
0.95
0.975
0.99
0.995
1
0.0000
0.0002
0.0010
0.0039
3.84
5.02
6.63
7.88
2
0.0100
0.0201
0.0506
0.103
5.99
7.38
9.21
10.6
3
0.072
0.115
0.216
0.352
7.81
9.35
11.3
12.8
4
0.207
0.297
0.484
0.711
9.49
11.1
13.3
14.9
5
0.412
0.554
0.831
1.15
11.1
12.8
15.1
16.7
6
0.676
0.872
1.24
1.64
12.6
14.4
16.8
18.5
7
0.989
1.24
1.69
2.17
14.1
16.0
18.5
20.3
8
1.34
1.65
2.18
2.73
15.5
17.5
20.1
22.0
9
1.73
2.09
2.70
3.33
16.9
19.0
21.7
23.6
10
2.16
2.56
3.25
3.94
18.3
20.5
23.2
25.2
11
2.60
3.05
3.82
4.57
19.7
21.9
24.7
26.8
12
3.07
3.57
4.40
5.23
21.0
23.3
26.2
28.3
13
3.57
4.11
5.01
5.89
22.4
24.7
27.7
29.8
14
4.07
4.66
5.63
6.57
23.7
26.1
29.1
31.3
15
4.60
5.23
6.26
7.26
25.0
27.5
30.6
32.8
16
5.14
5.81
6.91
7.96
26.3
28.8
32.0
34.3
17
5.70
6.41
7.56
8.67
27.6
30.2
33.4
35.7
18
6.26
7.01
8.23
9.39
28.9
31.5
34.8
37.2
19
6.84
7.63
8.91
10.1
30.1
32.9
36.2
38.6
20
7.43
8.26
9.59
10.9
31.4
34.2
37.6
40.0
21
8.03
8.90
10.3
11.6
32.7
35.5
38.9
41.4
22
8.64
9.54
11.0
12.3
33.9
36.8
40.3
42.8
23
9.26
10.2
11.7
13.1
35.2
38.1
41.6
44.2
24
9.89
10.9
12.4
13.8
36.4
39.4
43.0
45.6
25
10.5
11.5
13.1
14.6
37.7
40.6
44.3
46.9
26
11.2
12.2
13.8
15.4
38.9
41.9
45.6
48.3
27
11.8
12.9
14.6
16.2
40.1
43.2
47.0
49.6
28
12.5
13.6
15.3
16.9
41.3
44.5
48.3
51.0
29
13.1
14.3
16.0
17.7
42.6
45.7
49.6
52.3
30
13.8
15.0
16.8
18.5
43.8
47.0
50.9
53.7
40
20.7
22.2
24.4
26.5
55.8
59.3
63.7
66.8
50
28.0
29.7
32.4
34.8
67.5
71.4
76.2
79.5
60
35.5
37.5
40.5
43.2
79.1
83.3
88.4
92.0
70
43.3
45.4
48.8
51.7
90.5
95.0
100.4
104.2
80
51.2
53.5
57.2
60.4
101.9
106.6
112.3
116.3
90
59.2
61.8
65.6
69.1
113.1
118.1
124.1
128.3
100
67.3
70.1
74.2
77.9
124.3
129.6
135.8
140.2
117
Literaturverzeichnis
[1] Bamberg/Bauer: Statistik, Oldenbourg-Verlag
[2] Beyer/Hackel/Pieper/Tiedge: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische
Statistik (Reihe: Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler), TeubnerVerlag
[3] Hochstadter: Statistische Methodenlehre, Verlag H. Deutsch
[4] Ruger: Induktive Statistik, Oldenbourg-Verlag
[5] Schwarze: Grundlagen der Statistik | Teil 2, NWB Studienbucher
118