Übung, diverse Aufgaben, auch Vermessung, mit Lösungen

Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck – Textaufgaben 1 –
Lösungen
1. Die Seiten eines Rechtecks sind 48 m und 72 m lang.
Berechne die Länge der Diagonalen sowie die Winkel, unter denen sich die
Diagonalen schneiden.
d = 86,53 cm
Die Diagonalen schneiden sich unter den Winkeln 67,4° bzw. 112,6°
2. Die Ecken eines Quadrates mit der Seitenlänge a = 8,4 cm werden so
abgestumpft, dass ein regelmäßiges Achteck entsteht.
Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Achtecks.
Kantenlänge des Achtecks: 3,48 cm
Umfang des Achtecks: 27,84 cm
Fläche des Achtecks: 58,46 cm²
3. Die Seite eines regelmäßigen Fünfecks ist 15 cm lang. Berechne
a) den Radius des einbeschriebenen Kreises,
b) den Radius des umschriebenen Kreises,
c) den Flächeninhalt des Fünfecks.
Innenradius: 10,32 cm
Außenradius: 12,76 cm
Fläche: 387 cm²
4. Ein Würfel hat die Grundkante a = 10 cm. Wie groß ist der Winkel, den die
Raumdiagonale e mit einer Flächendiagonalen einschließt? Wie groß ist der
Winkel zwischen Flächen- und Raumdiagonale bei einem beliebigen Würfel?
Flächendiagonale e: 14,14 cm
Raumdiagonale f: 17,32 cm
Winkel zwischen Flächen- und Raumdiagonale: 35,27°
Für einen beliebigen Würfel gilt:
e  2a² und f  3a²
Dadurch ergibt sich:
2a²
cos  
3a²
 = 35,27°
5. Ein Quader hat die Kanten a = 8 cm, b = 9 cm und c = 11 cm. Wie groß sind
die Winkel zwischen den Flächendiagonalen und der Raumdiagonalen?
Die Flächendiagonalen sind 12,04 cm, 13,6 cm und 14,2 cm lang.
Die Raumdiagonale ist 16,3 cm lang.
Die Winkel betragen: 42,38°, 33,45° und 29,4°.
6. Bei einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche ist a die Grundkante, h die
Höhe, s die Seitenkante,  der Neigungswinkel der Seitenkante und ß der
Neigungswinkel der Seitenfläche. Berechne die gesuchte Größe.
a) h = 12 cm; s = 13 cm
 = 67,4°
b) a = 8 cm; h = 10 cm
ß = 68,2°
c) s = 20 m;  = 71,8°
h = 19 cm; a = 8,83 cm
Gesucht: 
Gesucht: ß
Gesucht: h und a
Aus der Vermessung
7. Zwei Bäume A und B stehen sich an den Ufern eines Flusses genau
gegenüber. Um die Breite des Flusses zu bestimmen, ist von A aus eine auf
der Verbindungslinie der beiden Bäume senkrecht stehende Standlinie
AC = 120 m abgesteckt und von C aus der Sehwinkel ACB =  = 32° gemessen
worden.
Der Abstand der Bäume ist ca. 75 m.
8. Das kegelförmige Dach eines runden Turmes hat einen Umfang von 10 m und
eine Seitenlinie (Sparrenlänge) von 7,60 m.
Berechne den Neigungswinkel, die Höhe und die Oberfläche des Daches.
Höhe des Dachraumes: 7,43 m
Radius: 1,59 m
Dachfläche (= Mantel des Kegels): 37,96 m²
9. Wie hoch reicht eine Feuerwehrleiter, die vollständig ausgezogen 60 m lang
ist? Der Steigungswinkel beträgt 70°.
Die Leiter reicht 56,38 m hoch.
10. Die Holme einer Stehleiter sind bis zum Gelenk 4,20 m lang. Die Leiter soll
3,50 m hoch sein.
a) Wie groß ist der Winkel an der Spitze?
b) Wie weit müssen die unteren Holmenden auseinander gezogen werden?
a) 67,1°
b) 4,64 m
11. Ein Ballon wird von zwei 275 m auseinander liegenden Standorten unten den
Höhenwinkeln 42° und 53° angepeilt. Welche Höhe hat die Gondel über dem
Erdboden?
I.
tan53 
II.
tan 42 
h
x
I.
h
275  x
h  x  tan53
II.
h  (275  x)  tan 42
III.
x  tan53  (275  x)  tan 42
x  tan53  275  tan 42  x  tan 42
x(tan53  tan 42)  275  tan 42
x  111,16 m
h
x
h  147,5 m
tan53 
12. In einem rechtwinkligen Dreieck ( = 90°) ist  = 65°. Der
Hypotenusenabschnitt p ist 10 cm länger als der Hypotenusenabschnitt q.
Berechne die Länge der Hypotenusenabschnitte sowie die Höhe hc.
a = 4,18 cm; b = 5,98 cm; c = 7,3 cm; q = 4,9 cm; h = 3,43 cm
13. In einem rechtwinkligen Dreieck ( = 90°) ist  = 35°, der Hypotenusenabschnitt
p ist 2,4 cm lang. Berechne a, b, c, hc und q.
a = 4,18 cm; b = 5,98 cm; c = 7,3 cm; hc = 3,43 cm; q = 4,9 cm
14. Die Spitze eines direkt am Ufer eines Flusses stehenden 18 m hohen Baumes
erscheint dem Beobachter am gegenüberliegenden Ufer unter einem Winkel
von 48°. Wie breit ist an dieser Stelle der Fluss?
16,21 m