Lösungen

Statistik III WS 2004/2005; 2. Übungsblatt; Lösungen
Prof. Dr. Fred Böker
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26.10.2004
Lösungen1 zum Übungsblatt Nr. 2
Aufgabe 1 Graphische Darstellung der Dichte- und Verteilungsfunktion der Normalverteilung:
a) Definieren Sie sich mit dem Befehl seq eine Folge x von length=1000 Zahlen von
5
bis +5.
Lösung: x<-seq(-5,5,length=1000)
b) Plotten Sie mit plot für diese x-Folge die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung, die Sie
mit dnorm berechnen.
Lösung: y<-dnorm(x)
plot(x,y,type="l")
c) Plotten Sie mit plot für diese x-Folge die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, die
Sie mit pnorm berechnen.
Lösung: plot(x,pnorm(x),type="l")
d) Zeichnen Sie Dichte- und Verteilungsfunktion in einer Graphik. Verwenden Sie dabei den Befehl
lines.
Lösung: plot(x,pnorm(x),type="l")
lines(x,y)
e) Verändern Sie die Parameter der Normalverteilung und zeichnen Sie mehrere Dichtefunktionen
in einem Bild. Verwenden Sie im Befehl plot das Argument ylim, um die Skala der y -Achse
festzulegen. Beachten Sie, daß R die Standardabweichung und nicht die Varianz als Parameter der
Normalverteilung verwendet.
Lösung: plot(x,y, ylim=c(0,1)) Dann können mit lines weitere Dichtefunktionen gezeichnet werden, z.B. lines(x,dnorm(x,mean=1,sd=0.9), um die Dichtefunktion der
Normalverteilung mit = 1 und 2 = 0:92 = 0:81 zu zeichnen.
Aufgabe 2 Die Zufallsvariable X sei standardnormalverteilt. Führen Sie die folgenden Berechnungen
mit R durch.
a) Berechnen Sie
i) P (fX < 1g)
Lösung: pnorm(-1)
ii) P (fX > 1g)
Lösung: 1-pnorm(1) oder pnorm(1, lower.tail = F)
iii) P (f 1 < X < 1g)
Lösung: pnorm(1) - pnorm(-1)
b) Bestimmen Sie q , so dass
i) P (fX < q g) = 0:05
Lösung: qnorm(0.05)
ii) P (fX > q g) = 0:05
Lösung: qnorm(0.95) oder qnorm(0.05,lower.tail = F)
iii) P (f q < X < q g) = 0:68
Lösung: qnorm(0.84)
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Die Lösung zu Aufgabe 3 stammt von Andreas Stadie
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2. Übungsblatt Statistik III WS 2004/2005; Lösungen
iv) P (f q < X < q g) = 0:95
Lösung: qnorm(0.975)
Aufgabe 3 Wenn die Zeit zwischen zwei Ereignissen (beispielsweise zwischen zwei Ankünften an einem Bankschalter) betrachtet wird, stellt die Exponentialverteilung häufig ein geeignetes Modell dar. Sei
X exponentialverteilt mit Parameter . Es gilt:
(
e
fX (x) =
x0
x
0
sonst
a) Bestimmen Sie
i) Den Erwartungswert und die Varianz von X .
Lösung: Erwartungswert:
E (X ) =
Z1
1
x fX (x) dx =
Z1
x e
x dx
0
Um das Integral zu lösen, wird die Regel der partiellen Integration benötigt:
Zb
Zb
v(x) w0 (x) dx = [v(x) w(x)℄b
a
a
v0 (x) w(x) dx
a
Durch Anwendung der Regel ergibt sich:
Z1
0
x |e{z } dx
|{z}
x
v(x)
h
=
xe
w0 (x)
=
Z1
i
1
x
0+
0
Z1
1
e
x dx
0
e
|
x dx = 1=
{z
0
}
=1
Varianz:
Es gilt V ar (X ) = E (X 2 ) (EX )2 . Den Erwartungswert von X 2 erhält man durch zweima1
lige Anwendung der partiellen Integration auf das Integral 0 x2 e x dx = 2=2 . Somit
ergibt sich für die Varianz:
R
V ar(X ) = 2=2
1= = 1=
2
2
ii) Die Verteilungsfunktion von X .
Lösung: Verteilungsfunktion: Für t > 0 gilt:
FX (t)
Zt
=
=
h1
fX (x) dx =
e
i
x t
0
Zt
FX (t) =
e
=
0
1
x dx
0
(
Also gilt:
e
e
t
t + 1 = 1
t0
t>0
e
t
Statistik III WS 2004/2005; 2. Übungsblatt; Lösungen
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b) In einer Untersuchung zu den Ankünften an einem Bankschalter wurde die Ankunftsrate (= Ankünf^ = 2 geschätzt.
te je Zeiteinheit = ) auf i) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen zwei Ankünften mehr als eine Zeiteinheit vergeht.
Lösung:
P (fX > 1g) = 1
P (fX
1g) = 1
FX (1) = 1
(1
e 21 ) = e
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ii) Zeigen Sie exemplarisch, wie man in dieser Situation exponentialverteilte Zufallszahlen für
ein mögliches Simulationsexperiment erzeugen kann, indem Sie die U (0; 1)–verteilte Zufallszahl u = 0:47 entsprechend transformieren.
Lösung: Man erhält eine exponentialverteilte Zufallszahl, indem man u in die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion (der Exponentialverteilung) einsetzt, d.h. FX 1 (u) berechnet.
Praktisch kann dies hier erfolgen, indem man u gleich der Verteilungsfunktion setzt und
^ = 2 verwendet):
nach t auflöst (für den Parameter wird der Schätzer u
e
e
u
=
1
=
1
2t
=
log(1
t
=
2t
1
2
2t
u)
log(0:53) 0:32
c) Betrachten Sie die Zeit Y bis zum übernächsten Ereignis (diese ist gammaverteilt mit den Parame^ = 2.)
tern und ) und geben Sie E (Y ) und V ar (Y ) an. (Verwenden Sie weiterhin für Lösung: Die Zeit bis zum übernächsten Ereignis ist gammaverteilt mit den Parametern = 2. Es ergibt sich somit:
E (Y ) = = = 1
und
=2
und
V ar(Y ) = =2 = 1=2
d) Betrachten Sie nun den Mittelwert von 100 Realisationen exponentialverteilter Zeitintervalle zwischen zwei Ankünften. Welche asymptotische Verteilung besitzt der Mittelwert dieser Realisatio^ = 2.)
nen? (Verwenden Sie weiterhin für Lösung: Die Zufallsvariablen X1 ; X2 ; : : : ; X100 sind unabhängig und identisch exponentialverteilt mit E (X ) = 1= = 1=2 und V ar (X ) = 1=2 = 1=4. Als Folge des zentralen Grenzwertsatzes ist der Mittelwert asymptotisch normalverteilt mit Erwartungswert 1=2 und Varianz
2 =n = 1=400.