Kapitel 1 Elektrodynamik

Kapitel 1
Elektrodynamik
1.1
Faradaysches Induktionsgesetz
Das Biot-Savart Gesetz enthält die fundamentale Aussage, dass eine Strom~ erzeugt. Michael Faraday machte im Jahre 1831
dichte ~j ein Magnetfeld B
die fundamentale Entdeckung, dass in einer geschlossenen Leiterschleife elektrischer Strom fliesst, wenn diese Schleife derart in einem Magnetfeld bewegt
wird, dass sich der magnetische Fluss durch die Schleife ändert. Wir wollen
die Faradaysche Betrachtung jetzt mathematisch formulieren. Hierzu definieren wir die sogenannte elektromotorische Kraft
.
EMK =
I
C
~ · d~l
E
Ferner definieren wir den magnetischen Fluss F durch die Fläche SC als
F=
Z
SC
~ · dS
~
B
Die Faradayschen Experimente lassen sich durch die Integralform
C = ∂S
dS
~
B
S
d~l
Abbildung 1.1: Zur Herleitung des Faradayschen Gesetzes
~ · d~l = − ∂ F
E
∂t
C
I
1
2
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
beschreiben. Das Minuszeichen wurde von Lenz durch seine Regel begründet:
Die induzierte EMK erzeugt einen Induktionsstrom der stets so gerichtet ist,
dass er den ihn erzeugenden Vorgang zu hemmen versucht (Lenzsche Regel).
Mit Hilfe des Stokesschen Satzes bekommen wir
Z
SC
~ ∇
~ ×E
~ + B)
~˙ = 0
dS(
Dies gilt für beliebige Flächen SC . Demnach können wir schliessen
~ =−
rotE
~
∂B
∂t
(Faradaysches Gesetz oder Induktionsgesetz). Diese Gleichung verallgemei~ = 0.
nert die für die Elektrostatik gültige Gleichung rotE
Erzeugung von Wechselstrom
Die technischen Wechselspannungen unserer Verteilernetze werden ausnahmslos durch Induktion erzeugt. Wir wollen diesen Induktionsvorgang am einfachen Beispiel einer rotierenden Leiterschleife in einem homogenen Magnetfeld
nach der Abbildung illustrieren. F durch die Schleife beträgt S · B · cos ϕ.
B
S
B
S
j
Rotationsachse
Drehwinkel = w t = j
S: Fläche der Schleife
dS
Abbildung 1.2: Rotierende Schleife in einem Magnetfeld
Da die Schleife rotiert, ist ϕ = ω · t. Somit ensteht eine Wechselspannung:
EMK = −S · B · ω · sin ωt.
Transformatoren
Da das Stromnetz 220 V Wechslspannung liefert, aber jedes Gerät mit einer
anderen Spannung arbeitet, muss man zwischen Netz und elektrischem Gerät
einen Transformator einsetzen. Der Transformator wandelt nahezu ohne Ver-
3
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
U1
N1
N2
U2
B
Abbildung 1.3: Transformator
luste niedrigere Spannungen in höhere und umgekehrt. Die umzuwandelnde
Spannung wird der Primärwicklung mit N1 Windungen zugeführt und ist
dort gleich dem induktiven Spannungsabfall U1 = −N1 dF1/dt. Die gewünschte Spannung wird der Sekundärwicklung entnommen (N2 Windungen): sie
beträgt U2 = −N2 dF2 /dt. Nun sind sowohl F1 als F2 durch das Magnetfeld
mal die Fläche des Eisenkernes bestimmt, sodass F1 = F2 . Daraus ergibt
sich die Transformatorgleichung U1 /U2 = N1 /N2 .
Selbstinduktion
Eine Spule ist ein wichtiges Element der Elektrotechnik. Sie wird in Schaltkreisen mit dem Parameter L (L: Selbstinduktion) berücksichtigt. Die Selbstinduktion ist wie folgt zu verstehen. Wir betrachten eine Spule der Länge l
mit n Windungen pro Längeneinheit. Fliesst in der Spule der Strom I(t),
dann ensteht in der Spule ein Magnetfeld µ0 · n · I. Dieses Feld verursacht
einen Fluss F = n · l · S · B = µ0 · n2 l · I. Nach Faraday ist die induzierte
.
Gegenspannung EMK = −µ0 Sn2 l · dI/dt = −L · dI/dt. Sollte die Spule
mit einem magnetischen Material gefüllt sein, dann ist Lm = L(1 + χ) eine
geometrie- und materialabhängige Konstante.
Die Wirkung von L kann in einem einfachen Schaltkreis abgeschätzt werden. Zur Zeit t = 0 wird eine Spannung U0 angelegt. Das Einschalten der
R
L
I
U0
Abbildung 1.4: Schaltkreis mit Spule und Widerstand
Spannung führt zum Fliessen eines Stromes I(t). An der Spule bildet sich
4
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
I
U0/R
L/R
t
Abbildung 1.5: Stromverlauf
die Gegenspannung −L · dI/dt, die selbst I(t) beeinflusst. Anwendung des
Ohmschen Gesetzes führt zu einer DG für I(t), R · I = U0 − L · dI/dt, deren Lösung zu der gegebenen Anfangsbedingung U0 /R · (1 − e−R/L·t ) lautet.
Diese Lösung zeigt, dass die Stromstärke nicht sofort den Endwert I = U0 /R
erreicht, sondern von Null an mit einer endlichen Anstiegszeit L/R den Endwert erreicht.
1.2
Die Maxwell-Gleichungen
Bisher haben wir die Maxwell-Gleichungen Stück für Stück untersucht, jetzt
ist es an der Zeit, ein letztes Stück hinzuzufügen und ein Ganzes daraus zu
machen. Wir verfügen dann über die vollständige und korrekte Beschreibung
der elektromagnetischen Felder, die sich auf irgendeine Wiese mit der Zeit
und dem Ort ändern können. Die bis jetzt ausgearbeiten ”Stücke” sind hier
zusammengefasst. In diesem Kapitel betrachten wir nur freie Ladungen und
Ströme, d.h. es sind weder ρpol noch ~jm vorhanden:
~ ·E
~ = ρ/ǫ0
∇
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~ ·B
~ = 0
∇
~ ×B
~ = µ0 J~
∇
Maxwell fand heraus, dass die letzte Gleichung unvollständig ist, und schlug
~
vor, den Term c12 ∂∂tE an der rechten Seite zu addieren (sog. Verschiebungsstrom). Er stellte am Amperschen Gesetz fest, dass etwas seltsam war. Bildet man die Divergenz dieser Gleichung, so wird die linke Seite Null, weil die
Divergenz eines Rotors immer Null ist. Die Gleichung verlangt daher, dass
auch die Divergenz von ~j Null ist. Wenn aber die Divergenz von ~j Null ist, so
ist der gesamte aus einer geschlossenen Oberfläche fliessende Strom ebenfalls
Null. Der Stromfluss aus einer geschlossenen Oberfläche ist aber gleich der
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
5
Abnahme der Ladung im Innern der Oberfläche. Diese Abnahme kann bestimmt nicht allgemein Null sein, denn wir wissen, dass Ladungen von einem
Ort an einen anderen transportiert werden können, d.h. Ladungen einen Ort
verlassen können. Für Ladungen gilt nämlich die Kontinuitätsgleichung
~ · J~ = − ∂ρ
∇
∂t
Diese Gleichung drückt das sehr fundamentale Gesetz aus, dass elektrische
Ladung erhalten bleibt – jeder Fluss von Ladung muss aus einer Quelle
kommen. Maxwell schätzte diese Schwierigkeit richtig ein und schlug, um
sie zu vermeiden, die Ergänzung der 4.Gleichung vor. Zeigen wir, dass der
Ergänzungsterm genau das ist, was fehlte, um die von Maxwell entdeckte
Schwierigkeit zu überwinden. Bilden wir die Divergenz seiner Gleichung, so
stellen wir fest, dass die Divergenz der rechten Seite Null sein muss. Die Di~
vergenz von c12 ∂∂tE ergibt, wenn man die Reihenfolge der Ableitungen nach Ort
und Zeit vertauscht und die erste MG (Maxwell Gleichung) anwendet, ∂ρ/∂t.
Somit folgt aus der vierten MG die gewünschte Kontinuitätsgleichung.
~ einen neuen Term hinzufügten, stellten
Als wir zu der Gleichung für rotE
wir fest, dass eine ganze Klasse neuer Phänomene beschrieben wurde. Max~ hat ebenfalls weitreichende
wells kleine Ergänzung der Gleichung für rotB
Konsequenzen: die Existenz elektromagnetischer Wellen.
Die inhomogene Wellengleichung
Wir wollen zeigen, dass die Anwesenheit des Maxwell Verschiebungsstroms
zur Existenz elektromagnetischer Wellen führt. Dazu führen wir das skalare
~ Aus ∇
~ ·B
~ folgt, dass wir B
~ als
Potential Φ und das Vektorpotential A.
~ =∇
~ ×A
~
B
parametrisiern können. Die Faradaysche Induktionsgleichung hingegen schreiben wir als
~
~ × (E
~ + ∂A ) = 0
∇
∂t
oder
~
~ = −∇Φ
~ − ∂A
E
∂t
Die Wahl dieser Parametrisierung erlaubt, die homogene Maxwell Gleichun~ und Φ sind durch die inhomogenen
gen identisch zu erfüllen. Die DG für A
6
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
~ lauten die inhomogeMG bestimmt. Umgeschrieben in den Feldern Φ and A
nen MG
∂ ~ ~ −ρ
∇·A=
∂t
ǫ0
2~
~ − 1 ∂ A −∇
~ ∇
~ ·A
~ + 1 ∂Φ = −µ0~j
∇2 A
2
2
c ∂t
c2 ∂t
∇2 Φ +
Um diese Gleichungen zu schreiben, haben wir die Identität
~ × (∇
~ × A)
~ = ∇(
~ ∇
~ · A)
~ − ∇2 A
~
∇
benutzt. Wir haben also die vier MG auf die zwei DG zweiter ordnung für die
~ und Φ reduziert. Die DG sind immer noch gekoppelt und zeiPotentiale A
gen noch nicht explizit die Existenz EM-Wellen. Wir können die DG günstig
~ durch eine Transtransformieren, indem wir das Prinzip benutzen, dass B
formation
~′ = A
~ + ∇Λ
~
A
~ unverändert bleibt, muss offensichtlich Φ
unverändert bleibt. Damit auch E
zu
∂Λ
Φ′ = Φ −
∂t
~
~ invariant lassen, heissen Eichtranswerden. Diese Transformationen, die B und E
fromationen. Es lässt sich zeigen, dass wir stets Potentiale durch eine geeignete Umeichung finden können, welche die sogenannte Lorentz-Eichung
erfüllen:
~ ·A
~ + 1 ∂Φ = 0
∇
c2 ∂t
Diese Bedingung entkoppelt die beiden Bestimmungsgleichungen für Φ und
~ durch Einführung des d’Alembert -Operators
A:
⋄≡△−
1 ∂2
c2 ∂t2
~ und Φ genau die gleiche Gestalt an, und zwar die der
nehmen die DG für A
inhomogenen Wellengleichungen
ρ
⋄Φ = −
ǫ0
~ = −µ0~j
⋄A
1.. Diese DG legen fest, dass elektromagnetische Felder wie Wellen propagieren: ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit ist notwendigerweise c, die Lichtgeschwindigkeit. Darüberhinaus sind die homogenen Wellengleichungen (ρ =
7
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
~j = 0) ein Beweis für die Existenz eines völlig neuen Systems, das freie elektromagnetische Feld (Licht), was auch notwendigerweise die Ausbreitungsgeschwindigkeit c besitzt. Die Optik ist fortan ein Teilgebiet der Elektrodynamik.
2. Die endliche Fortpflanzungsgeschwindigkeit besagt, dass keine instantane Fernwirkung zwischen zwei geladenen Teilchen im Abstand r existieren
kann: Die Wirkung ist gegenüber der Ursache um die Laufzeit (r/c) des Lichtes verzögert.
3. Die Existenz EM-Wellen führt dazu, dass Energie durch diese Wellen
übertragen wird. Dies zeigt folgende Überlegung: Aus der Identität
~ · (E
~ × B)
~ =B
~ ·∇
~ ×E
~ −E
~ ·∇
~ ×B
~
∇
und den MG folgt
~
~
1 ~ ~
~ = 1 B(−
~ ∂ B ) − E(
~ ~j + ǫ0 ∂ E ) ⇐⇒
∇ · (E × B)
µ0
µ0
∂t
∂t
∂ 1 ~2
~ 2 ) = −ǫ0 c2 ∇
~ · (E
~ × B)
~ − ~j · E
~
(ǫ0 E + ǫ0 c2 B
∂t 2
Die Integralform dieser Gleichung
d
dt
Z
V
1 ~2
~ 2) = −
+ ǫ0 c2 B
dV (ǫ0 E
2
Z
S(V )
~ 0 c2 (E
~ × B)
~ −
dSǫ
Z
V
~
dV ~j · E
besitzt eine einfache Deutung: Der letzte Term rechts ist die im Gebiet pro
Zeiteinheit auf die Ladungsträger übetragene Energie, denn für eine Punktladung ist die Leistung der Lorentz-Kraft
~ + ~v × B)
~ = e~vE
~
~v (q E
.
~ 2 + ǫ0 c2 B
~ 2 ) als die Energiedichte des Feldes
Wir definieren deshalb u = 21 (ǫ0 E
.
~=
~ B)
~ als die Energiestromdichte des Feldes (Poynting Vektor).
und S
ǫ0 c2 (E×
Die obige Gleichung besagt, dass sich die Feldenergie im Gebiet V ändern
kann, weil Energie durch die Oberfläche S als EM Welle strömt, oder auf
Ladungen in V übertragen wird.
1.3
Ebene Wellen
Wir suchen nach den Fundamentallösungen der MG in Abwesenheit von Ladungen und Ströme. Dann lauten die MG
~ ·E
~ = 0
∇
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
8
~ ·B
~ = 0
∇
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~
~ ×B
~ = 1 ∂E
∇
c2 ∂t
~ und B
~ lassen sich, in diesem Spezialfall, entkoppeln
Die Gleichungen für E
und auf Wellengleichungen reduzieren: Einsetzen von
~ × E)
~
~ × (∇
~ × B)
~ = 1 ∂ (∇
∇
c2 ∂t
in die Faraday Gleichung mit Berücksichtigung der Identität
~ × (∇
~ × B)
~ = ∇(
~ ∇
~ · B)
~ − ∇2 B
~
∇
liefert
~−
△B
~
1 ∂2B
=0
c2 ∂t2
~−
△E
~
1 ∂2E
=0
c2 ∂t2
Analog erhalten wir
~ und B
~ erfüllen die selbe homogene Wellengleichung.
Die beide Vektoren E
Wir suchen ein Fundamentallösungssystem durch den Ansatz
~ =E
~ 0 · ei(~k·~r−ωt)
E
~ =B
~ 0 · ei(~k′ ·~r−ω′ t)
B
~ 0, B
~ 0 , ~k, ~k ′ und ω, ω ′ zu bestimmenden Parameter sind. Das Rechnen
wobei E
mit komplexen Feldern ist legitim: da die linearen Feldgleichungen reelle Koeffizienten haben, sind Real- und Imaginärteil einer Lösung auch Lösungen.
Wir fassen den Realteil als das physikalische Feld auf. Durch diesen Ansatz
werden die MG zu algebraischen Gleichungen, welche die zu bestimmenden
Paramer verknüpfen. Einsetzen in die Wellengleichungen ergibt die Dispersionsrelationen
ω = ±c | ~k |; ω ′ = ±c | ~k ′ |
Einsetzen in die Faradaygleichung ergibt
~ 0 )ei(~k·~r−ωt) = iω ′ B
~ 0 · ei(~k′ ·~r−ω′ t)
i(~k × E
9
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
Dies soll für alle Raum-Zeit-Punkte gültig sein. Um diese Bedingungen zu
erfüllen fordern wir
ω = ω′
~k = ~k ′
~ 0 = ωB
~ 0 sein. Aus div E
~ =
Um die Faraday-Gleichung zu erfüllen muss ~k × E
~ folgt ~k · E
~ 0 = ~k · B
~ 0 = 0. Aus dem Maxwell Gesetz folgt weiter
0 = div B
ω
~k × B
~0 = − 2 E
~ 0 . Das ergibt folgendes Bild: ein Funfamentallösungssystem
c
der MG für das freie Feld besteht aus monochromatischen Wellen, welche
die Frequenzen ω = ± | ~k | besitzen. Die Vektoren E0 , B0 , ~k bilden ein
~ 0 und B
~ 0 dürfen auch nicht
orthogonales Rechtssystem. Die Beträge von E
~
E
~
B
~k
Abbildung 1.6:
~ 0 |= c | B
~0 |
frei gewählt werden, sondern sind durch die Gleichung | E
verknüpft. Betrachten wir eine Momentanaufnahme bei t = t0 , so sind die
Flächen konstanter Phasen durch die Bedingung ~k · ~r = Konst. bestimmt.
Das ist die Gleichung einer Ebene senkrecht zu ~k. Diese Ebene kann als
Wellenfront betrachtet werden. Für alle Punkte ~r mit gleicher Projektion
auf die Richtung von ~k hat die Welle die gleiche Phase. Man spricht von
transversalen ebenen Wellen für dieses Fundamentalsystem von Lösungen.
Der Abstand | △~r | zwischen nächst benachbarten Wellenfronten mit der
gleichen Phase ist aus der Gleichung
| ~k || △~r |= 2π
herauszulesen, und wird als Wellenlänge λ = 2π
bezeichnet. Halten wir statt
|~k|
die Zeit den Ort fest, d.h. betrachten wir von einem festen Raumpunkt ~r0
aus, so ändern sich die Werte der Welle periodisch, mit der Periode τ = 2π
.
ω
Die Kombination mit der Dispersionsrelation liefert λ = τ · c.
Die Polarisation ebener Wellen
Die Lösungen der MG für das freies Feld lauten (o.E.d.A. ist ~k in Richtung
z)
~ = (E0x~ex + E0y ~ey )ei(kz−ωt)
E
10
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
~ = 1 (−E0y ~ex + E0x~ey )ei(kz−ωt)
B
c
Im Allgemeinen dürfen wir annehmen, dass E0x und E0y komplexe Grössen
sind,
E0x = | E0x | eiϕ
E0y = | E0y | eiϕ+δ
~
Daraus folgt für E
~ =| E0x | ei(kz−ωt+ϕ)~ex + | E0y | ei(kz−ωt+ϕ+δ)~ey
E
Für das physikalischen Realteil folgt
~ =| E0x | cos(kz − ωt + ϕ)~ex + | E0y | cos(kz − ωt + ϕ + δ)~ey
Re(E)
~
Der E-Feldvektor
ist die Summe zweier Vektoren mit unterschiedlichen Amplituden in den ~ex und ~ey Richtungen. Bezüglich der relativen Phase δ können
wir mehrere Fälle unterscheiden: die wichtigste Zwei sind hier beschrieben.
1. δ = 0 oder δ = ±π. Dann gilt
~ = (| E0x | ~ex ± | E0y | ~ey ) cos(kz − ωt + ϕ)
E
Der Koeffizient vor der Kosinusfunktion ist ein orts-und zeitunabhängiger
Vektor, d.h. das el.-Feld schwingt entlang einer festen Richtung. Man nennt
y
E
|E0Y|
|E0X|
x
Abbildung 1.7:
~ die Polarisationsrichdiese Welle linear polarisiert und die Richtung von E
tung.
2. δ = ± π2 , | E0x |=| E0y |= E. In diesem Fall folgt
~ = E[cos(kz − ωt + ϕ)~ex ∓ sin(kz − ωt + ϕ)~ey ]
E
Für einen festen Raumpunkt z stellt die Klammer die Parameterdarstellung
~
des Einheitkreises dar. Der E-Vektor
durchläuft als Funktion der Zeit einen
11
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
Kreis mit Radius E mit der Winkelgeschwindikteit ω in der Ebene senkrecht
zur Ausbreitungsrichtung. Man nennt diese Welle demnach zirkularpolari~
siert. Für δ = +1/2 dreht sich das E-Feld
in Antiuhrzeigersinn, wenn man in
die Welle von vorne hineinschaut (links-zirkular polarisiertem Licht). Im Fall
~ in Uhrzeigersinn: man spricht von rechts-zirkularer
δ = −1/2 dreht sich E
Polarisation. Zur Illustration betrahcte wir eine ”Lichtfalle”.
y
y
x
x
δ = +π/2
δ = −π/2
Spiegel
Abbildung 1.8: der ~k-Vektor zeigt senkrecht aus der zeichenebene heraus
Zirk
ular
l/4
Polarisation
Line
ar
Abbildung 1.9:
Oft benutzt man als Basisvektoren in der x − y-Ebene die komplexen
Vektoren ~e± = √12 (~ex ± i · ~ey ). Damit gilt
1
(E0x~ex + E0y~ey ) = √ [(E0x − iE0y )~e+ + (E0x + iE0y )~e− ]
2
Mit E0x ± iE0y = E± eiγ± (E± reelle Parameter), lässt sich die Ebene Welle
auch als
~ = √1 [E− ei(kz−ωt+γ− )~e+ + E+ ei(kz−ωt+γ+ )~e− ]
E
2
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
12
darstellen. Für den physikalischen Realteil resultiert daraus
1
E− [cos(kz − ωt + γ− )~ex − sin(kz − ωt + γ− )~ey ]
2
1
E+ [cos(kz − ωt + γ+ )~ex + sin(kz − ωt + γ+ )~ey ]
+
2
~ =
Re(E)
Dies ist die Summe zweier entgegengesetzer zirkularpolarisierter Wellen mit
unterschiedlichen Amplituden.
Die vom freien Feld übertragene Energiestromdichte zeigt in Richtung
~k. Wir sind am zeitlichen Mittelwert des Betrages von S
~ interessiert (der
Intensität einer EM Welle), d.h.
Z
. 1 t+τ
S̄ =
S(t)dt
τ t
Da S nicht linear in den Feldern ist, muss man den Ausdruck für reelle Felder
einsetzen:
ǫ0 · c
· (| E0x |2 + | E0y |2 )
S̄ =
2
( ǫ01·c = 377Ω).
1.4
Wellenoptik
Wir wollen hier die Wechselwirkung zwischen Licht und Materie untersuchen.
Dafür brauchen wir die Maxwell Gleichung in einem Medium. Es liegt die
Vermutung nahe, dass die Maxwell Geichungen wie folgt aussehen:
~ ·E
~ = (ρf rei + ρpol )
∇
ǫ0
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~
~
∇·B = 0
~
~ ×B
~ = µ0 (J~f rei + J~m ) + 1 ∂ E
∇
c2 ∂t
Auch hier fehlt aber ein wichtiger Term. Bildet man die Divergenz der letzten
~ ·E
~ = (ρf rei +ρpol ) , so erhalten wir
Gleichung, und benutzen wir ∇
ǫ0
∂
~ · J~f rei = 0
(ρf rei + ρpol ) + ∇
∂t
13
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
ρpol muss aber von der Kontinuitätsgleichung verschwinden, und das können
. ~
wir durch die Einführung von ~jpol = ∂∂tP in der 4. MG erreichen. Somit lauten
die MG in Materie mit effektiven, zeitabhängigen Polarisationsladungen
~ ~
~ ·E
~ = (ρf rei − ∇ · P )
∇
ǫ0
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~
~
∇·B = 0
~+
1 ∂(E
~
~
~
~
∇ × B = µ0 (Jf rei + Jm ) + 2
c
∂t
~
P
)
ǫ0
Wir können diesen Term mit einem mikroskopischen Atommodell begründen, in welchem ein gebundenes Elektron durch die klassische BG
~
m~¨r + mω02~r = q E
~ stellt das elektrische Feld am Ort des Atoms dar. Im Unterschied
beschrieben ist. E
~ zeitabhängig. Dies verursacht, in einem Medium, eine ebenso
zum statischen Fall ist E
zeitabhängige Polarisationsdichte P~ , mit
dP~
= ρ · p~˙ = qρ · ~r˙ = J~pol
dt
~ und
Diese Gleichungen enthalten, zusätzlich zu den gesuchten Feldern E
~
~
~
B, die Felder M und P , welche die Einzelheiten des Materials beschreiben.
~ und B
~ und
Diese Felder sind, im Allgemeinen, eine Funktion der Felder E
solange diese Abhängigkheit nicht spezifiziert ist, kann man die MG nicht
lösen. Wir betrachten in dieser Vorlesung, einfache Spezialfälle.
Reflektion und Brechung
~ =0
Ein wichtiger Spezialfall ist ein homogen isotropisches Medium mit M
das keine Grenzflächen hat. Wir setzen sowohl ρf rei als auch J~f rei zu Null
~ χ reell und positiv.
und wählen P~ = ǫ0 χE,
In unserem Atommodell können wir diese Wahl begünden. Wir lassen das Atom mit einem
~ =E
~ 0 · cos(ωt) wechselwirken. Eine mögliche Lösung der BG ist
elektrischen Feldvektor E
~r =
Für Frequenzen ω < ω0 ist χ(ω) =
q · E0
cos ωt
m(ω02 − ω 2 )
ρ·q2
ǫ0 m(ω02 −ω 2 )
≥ 0.
Dies ergibt einen Satz von MG, welche formell identisch ist mit den MG für
14
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
das freie Feld:
~ ·E
~ = 0
∇
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~ ·B
~ = 0
∇
~
∂E
1
~ ×B
~ =
∇
c
)2 ∂t
(√
κ(ω)
Die vierte Gleichung ergibt als mögliches Fundamentallösungssystem ebene
. c
austransversale EM-Wellen, die sich mit der Geschwindigkeit √ c = n(ω)
κ(ω)
breiten. n(ω) ist der Brechungsindex. In unserem einfachen Atommodell
ρ·q 2
ist n2 (ω) = 1 + ǫ0 m(ω
2
2 . Unter den getroffenen Voraussetzungen für χ(ω)
0 −ω )
ist n(ω) ≥ 1. In allen anderen Eigenschaften sind die Wellen identisch mit
den Lösungen für das freie Feld.
Wir betrachen jetzt die Reflektion und Brechung einer ebene Welle an
der ebene Grenzfläche F (die y − z Ebene) zwischen zwei homogenen Dielektrika mit n1 und n2 , welche in der halbebenen x < 0 und x > 0 residieren.
Wir indizieren die einfallende Welle mit ”i”, die reflektierte mit ”r” und die
y
Er
k’
k’’
Et
x
k
Ei
n1
n2
Abbildung 1.10:
transmittierte mit ”t”. Somit können wir schreiben
~i = E
~ 0 ei(ωt−kx ·x−ky ·y)
E
~r = E
~ 0 ei(ω′ t−kx′ ·x−ky′ ·y)
E
~t = E
~ 0 ei(ω′′ t−kx′′ ·x−ky′′·y)
E
~ ~
~ i = k × Ei
B
ω
15
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
~′ ~
~ r = k × Er
B
ω′
~ ′′ ~
~ t = k × Et
B
ω ′′
2
mit ω 2 = k 2 · nc 2 (k ist der Betrag des Wellenvektors). Das Resultat dieser
Rechnung hängt von der Lichtpolarisation ab. Wir berechnen den einfachsten
~ 0 senkrecht zur Einfallebene), siehe Figur.
Fall von s-polarisiertem Licht (E
An den Genzflächen zwischen zwei Medien sind die Felder im Allgemeinen
unstetig. Mit k und ⊥ bezeichnen wir die Komponenten parallel und senkrecht zur Grenzfläche F . Wegen
~ ·B
~ = 0
∇
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~ ⊥ und E
~ k stetig. Wegen
sind B
~ ~
~ ·E
~ = (ρf rei − ∇ · P )
∇
ǫ0
~+
∂(E
~ ×B
~ = µ0 (J~f rei + J~m ) + 1
∇
c2
∂t
~
P
)
ǫ0
~ + P~ )⊥ und (B
~ − µ0 M
~ )k stetig, falls F keine Leitungsladungen und
sind (E
ǫ0
~ k am Ort x = 0 folgt in diesem SpeStröme trägt. Aus der Stetigkeit von E
zialfall die Gleichung
′
′
E0 ei(ωt−ky ·y) + E0′ ei(ω t−ky ·y) = E0′′ ei(ω
′′ t−k ′′ ·y)
y
Damit diese Gleichung für alle t und y gilt, muss
ω = ω ′ = ω ′′
ky = ky′ = ky′′
Daraus folgt kx2 + ky2 = kx′2 + ky′2 , d.h. kx = ±kx′ . Das positive Vorzeichen
würde wieder eine einfallende Welle geben, keine reflektierte. Somit folgt aus
den Randbedingungen, dass der Reflektionswinkel mit dem Einfallswinkel
übereinstimmt d.h.
θi = θr
Aus
k2
k ′′2
=
n21
n22
16
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
ky
= sin θi
k
ky′′
= sin θt
k ′′
ky = ky′′
ergibt sich das berühmte Snellius Gesetz der Brechung
n1 · sin θi = n2 · sin θt
Für die Amplitude der Wellen haben wir die Gleichung
E0 + E0′ = E0′′
E0 stellen wir uns als bekannt vor, und wir suchen nach den Verhältnissen
E0′
E ′′
~ um eine
und E00 . Wir nutzen die Stetigheit der y-Komponente von B
E0
zusätzliche Gleichung zwischen den Amplituden der elektrischen Felder zu
schreiben:
k′
k ′′
kx
E0 ei(ωt−ky ·y) + x E0′ ei(ωt−ky ·y) = x E0′′ ei(ωt−ky ·y)
ω
ω
ω
Diese Gleichung vereinfacht sich zu
kx · E0 + kx′ · E0′ = kx′′ · E0′′
Das Geichungssystem hat die eindeutige Lösung
E0′
kx − kx′′
=
E0
kx + kx′′
E0′′
2 · kx
=
E0
kx + kx′′
oder (kx = k · cos θi und kx′′ = k ′′ · cos θt )
q
n1 cos θi − n22 − n21 sin2 θi
E0′
q
=
E0
n1 cos θi + n22 − n21 sin2 θi
2n1 cos θi
E0′′
q
=
E0
n1 cos θi + n2 − n2 sin2 θi
2
1
Diese sind die Fresnelschen Formeln. Für senkrechten Einfall bekommen wir
die besonders einfache Beziehung
′2
n − n . E
1
2
R = 02 =
E0
n1 + n2
17
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
(R: Reflektionskoeffizient), welche für alle Polarisationszustände gilt.
Die quantenmechanische Rechnung zeigt, wie man Metalle, welche freie Elektronen enthalten, behandeln muss: man setzt ω0 = 0 in den Ausdruck für n2 . Diese Wahl bedeutet,
dass die Elektronen keine rücktreibende Kraft in Metallen erfahren, was Sinn macht. Das
ergibt
ω 2
ρ · q2
.
p
n2met = 1 −
=
1
−
m · ǫ0 · ω 2
ω
ωp ist eine kritische Frequenz, genannt ”Plasma” Frequenz, für welche n2 genau Null ist.
Unterhalb dieser Frequenz ist n2 negativ. Für ω < ωp ist n eine rein imaginäre Zahl.
Eingesetzt in
| 1 − nmet |2
R=
| 1 + nmet |2
ergibt sich, dass R = 1 unterhalb der Plasma Frequenz. Metalle, die aus freien Elektronen
bestehen, reflektieren über einen grossen Frequenzbereich das meiste Licht. Das ist der
physikalische Ursprung für den Glanz von Alkali Metallen wie Li, und N a.
R1
n= 0
1
wp
w
Abbildung 1.11:
Absorption
Reflektion und Brechung sind nicht die einzigen Phänomene, die aus der
Wechselwirkung zwischen Licht und Materie entstehen. Reflektion und Brechung, wie wir sie kennen, sind nämlich nur im Bereich der Frequenzen üblich,
die entfernt von der Resonanzfrequenz ω0 liegen. Diesen Bereich bezeichnet
man als normale Dispersion. Das Wort ’Dispersion’ benutzt man in Verbindung mit der Tatsache, dass die Dispersionsrelation ω = ω(~k) aufgrund
der ω-Abhängigkeit von n nicht mehr linear in ~k ist. ’Normal’ bezeichnet das
langsame, monotone Variieren von κ(ω). Wie ist die Physik in der Nähe von
ω0 (anomale Dispersion)? Die Lösung im Resonanzfall kennen wir: Strahlt
man mit E ∝ cos(ω0 t) ein, so bewegt sich das Elektron wie sin(ω0 t). Der
Strom, als Ableitung des sin, ist deshalb, im Resonanzfall, in Takt mit E.
~ (= dem Atomsystem übertraSomit ist der zeitliche Mittelwert von J~ · E
gene Leistung), im Gebiet der anomalen Dispersion, von Null verschieden
18
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
~ genau 0). Mit anderen Wor(im Gebiet der normalen Dispersion ist J~ · E
ten: entfernt von der Resonanz kann das EM Feld dem System keine Energie
übertragen, anders als bei der Resonanz. Quantenmechanisch erfolgt diese
Energieübertragung dadurch, dass das Elektron einen optischen Übergang
in einem angeregten Zustand durchführt. Dieses Phänomen, das nur bei bestimmten Frequenzen stattfindet, heisst Absorption: die EM-Welle wird
sozusagen ’verschluckt’. Bestrahlt man ein Objekt mit weissem Licht und
wird eine Farbe stark absorbiert, so ergibt die Vereinigung aller restlichen
Farben nicht mehr weiss, sondern eine andere Farbe, welche komplementäre
Farbe genannt wird. Somit ist Absorption – streng genommen ein reines
quantenmechnisches Phänomen – verantwortlich für die Verfärbung der Materie (siehe auch Farbenlehre). Im Gebiet der Absorption betrachtet man eine
anomale Dispersion von κ(ω): knapp oberhalb der charakteristischen Absorptionsfrequenz wird κ(ω) negativ. Ein negativer Wert für κ(ω) bedeutet aber
k
1
w
R
1
wO
w
Abbildung 1.12: Anomale Dispersion
n = i· | n |, d.h. n ist eine rein imaginäre Zahl. Einsetzen einer imaginären
Zahl in der Formel für die Reflektivität ergibt R = 1, d.h. starke Reflektion für einen Frequenzbereich in unmittelbarer Nahe des Absorptionsmaximums, und zwar befindet sich das Reflexionsmaximum an der kurzwelligen
Seite des entsprechenden Absorptionsmaximums. Somit wird bei glatte Objekte mit Absorptionszentren eine bestimmte Farbe aus dem transmittierten
19
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
Strahl herausgefiltert und erscheint als Verfärbung des reflektierten Strahls.
1.5
Allgemeine Lösung der inhomogenen Wellengleichung
Unser Ziel ist die Konstruktion einer allgemeinen Lösung der MG in Anwesenheit einer lokalisierten Ladungsdichte ρ(~r, t) und einer lokalisierten Strom~ r, t). Dafür müssen wir die inhomogenen Wellengleichungen
dichte J(~
ρ
ǫ0
~
⋄A = −µ0 J~
⋄Φ = −
lösen. Wir verwenden die Methode der Greenschen Funktion. Die inhomogene
Wellengleichung hat die Form
1 ∂2
△Ψ − 2 2 Ψ = f (~r, t)
c ∂t
und die dazugehörige Greensche Funktion ist die Lösung des Problems
△G(P, Q, t, s) −
1 ∂2
G(P, Q, t, s) = δ(P − Q)δ(t − s)
c2 ∂t
Somit betrachten wir eine Punktquelle, die am Ort Q zur Zeit s erscheint,
und fragen uns, welches Potential sie am Ort P zur Zeit t erzeugt. Bei einer
solchen Quelle, die nur von relativen Koordinaten in Zeit und Raum abhängt,
ist ein Ansatz G = G(R, τ ) mit R = P − Q und τ = t − s gerechtfertigt.
Darüberhinaus erwarten wir, dass für eine Punktquelle nur der Abstand |
P − Q | massgebend ist. Durch die Fourier-Darstellung
1
G(τ, R) =
2π
Z
∞
−∞
δ(τ ) =
G(ω, R)e−iωτ dω
1
2π
Z
∞
−∞
e−iωτ dω
und nach Vergleich der Koeffizienten für e−iωτ erreichen wir die inhomogene
Helmoltz Wellengleichung
△G(R, ω) +
ω2
G(R, ω) = δ(R)
c2
Physikalisch bedeutet diese Fourier Transformation, dass wir einen Oszillator als anregende Punktquelle betrachten. Die gesuchte Greensche Funktion
20
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
ist dann die Summe von unendlich vielen harmonischen Oszillatoren. Die
Kugelsymmetrie des Problems erlaubt, △ in Kugelkoordinaten zu schreiben,
1 d2
ω2
(R
·
G(R,
ω))
+
G(R, ω) = δ(R)
R dR2
c2
Für R 6= 0 gilt die Gleichung
ω2
d2
(R · G(R, ω)) + 2 R · G(R, ω) = 0
dR2
c
mit Fundamentallösungen
R · G± (R, ω) = A± e±iω/c·R
Die Delta-Funktion hat nur bei R → 0 einen Einfluss, wo aber der zweite
Term an der linke Seite der DG vernachlässigt werden kann. Somit wird die
DG zur Poissongleichung. Wir erwarten deshalb
limR→0 G(R) =
−1
4πR
Somit ist die allgemeinste Lösung der Helmoltzgleichung
G± (R, ω) =
−1 ±iω/c·R
e
4πR
Die Greenschen Funktionen G± (R, τ ) erreicht man durch
1
G± (R, τ ) =
2π
Z
∞
−∞
G(R, ω)e−iωτ dω = −
R
1
δ τ∓
4π · R
c
Von den beiden Funktionen ist nur eine physikalisch relevant. Wir verlangen
nämlich, dass τ positiv ist. D.h: der Einfluss einer Quelle, welche zur Zeit
”0” wirkt, soll zu einer späteren Zeit τ spürbar sein. Das ist das Prinzip der
Kausalität und die Wahl τ > 0 beschreibt eben ein kausales Verhalten. Somit
ist die einzige physikalisch relevante Lösung
G(R, τ ) = −
1
R
δ τ−
4π · R
c
Die ”physikalische” Greensche Funktion heisst auch retardierte Greensche
Funktion.
Durch Verwendung des Superpositionsprinzip sind wir jetzt im Stande, die
21
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
allgemeine Lösung für die retardierten Potentiale zu geben:
1
4πǫ0
1
=
4πǫ0
Φ(~r, t) =
~ r , t) = µ0
A(~
4π
Z
δ t − t′ − Rc
′ ′
dV dt
ρ(~r′ , t′ )
R
r′ |
Z
′
r , t − |~r−~
)
′ ρ(~
c
dV
′
| ~r − ~r |
~ r ′ , t − |~r−~r′ | )
′ j(~
c
dV
| ~r − ~r′ |
Z
Die Potentiale zur Zeit t sind durch die Geschichte der Quelle zu einer früherr′ |
en Zeit t − |~r−~
bestimmt. Dies beweist die Existenz von EM Wellen, welche
c
sich mit Lichtgeschwindigkeit verbreiten und besagt, dass die Felder, die von
einer Quelle erzeugt werden, nicht instantan übertragen werden.
1.5.1
Beugung
Als Anwendung dieser Lösung untersuchen wir das Verhalten einer ebenen
Welle, die auf einem ebenen Schirm S mit Öffnung Ω trifft. Wir beschränken
Abbildung 1.13: Zur Berechnung des Beugungsfeldes
uns auf ein skalares Feld u, welches aus dem oberen Halbraum auf den Schirm
fällt. Wir betrachten eine Lösung u(~y) der homogenen Helmoltzschen Wellengleichung △u(~y) + k 2 u(~y ) = 0, die sich im unteren Halbraum für y → ∞
wie eine auslaufende Kugelwelle verhält. D.h.
u(y)y→∞ → f (θ, ϕ)
∂u
1
− iku = O( 2 )
∂y
y
eiky
⇔
y
22
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
Darüberhinaus verlangen wir die Randbedingung u = 0 auf S. Die Ausstrahlungsbedingung verlangt, dass das Feld, in genügend grossen Abständen, (viel
grösser als die lineare Dimension der Öffnung Ω) wie eine Kugelwelle abklingt.
Die Amplitude darf aber vom Winkel abhängen, unter welchem die gebeugte
Welle betrachtet wird.
Eine mögliche Strategie, die homogene Helmoltz Gleichung mit vorgegebenen
Randbedingungen auf einer Grenzfläche zu lösen, ist die Greensche Funktion der zugehörigen inhomogenen DG zu finden. Für die Konstruktion der
Greenschen Funktion stellen wir uns eine Ladung im unteren Halbraum am
Ort ~x vor, setzen wir den Schirm S auf Potential 0 und suchen wir nach
dem von der Ladung hervorrgerufenen Coulomb Potential. Wir verlangen
von der Greenschen Funktion, dass sie die Bedingungen erfüllt, die die allgemeine Lösung erfüllen muss. Mit der Methode der Spiegelladung am Ort ~x′
im oberen Halbraum finden wir
′
eikr
eikr
G(~y , ~x) =
−
4πr 4πr ′
mit der Eigenschaft
(△y + k 2 )G(~y , ~x) = −δ(~y − ~x)
− ikG =
mit r =| ~y − ~x | und r ′ =| ~y − ~x′ |. Eine weitere Eigenschaft ist ∂G
∂y
−2
O(y ) für y → ∞. Diese Greensche Funktion verschwindet sowohl auf S
als ins Unendliche, wie von den Randbedingungen verlangt. Die Kenntniss
dieser Greenschen Funktion benutzen wir, um die homogene DG in eine Integralgleichung umzuformen. In den Gleichungen
△G + k 2 G = −δ
△u + k 2 u = 0
multiplizieren wir die erste mit u, die zweite mit G, subtrahieren wir danach
die beiden und integrieren über ein Volumen V in der unteren Halbebene.
Somit erhalten wir
−u(~x) =
Z
V
dVy (u△G − G△u)
Diese Integralgleichung enthält ein Volumenintegral. Dieses Integral können
wir in ein Oberflächenintegral transformieren, und zwar durch die Anwendung der Greenschen Identität:
Z
∂u
∂G
− G )do = (u△G − G△u)dV
(u
∂n
∂n
∂V
V
Z
23
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
Die partielle Ableitung nach n ist die Richtungsableitung entlang der Normalen zur Oberfäche des Volumens V . Wählen wir als Volumen eine Halbkugel,
dann verschwindet wegen
u
∂G
∂u
∂G
∂u
−G
= u(
− ikG) − G(
− iku)
∂n
∂n
∂y
∂y
der Beitrag der Halbkugelfläche für grosse Radien der Kugel. Die Integralgleichung enthält nur ein Integral über die Schirmebene, welches selbst nur
einen Beitrag von der Öffnung Ω entält. Es gilt somit die Kirchoffsche
Integralgleichung für die gesuchte Welle u(~x)
u(~x) = −
Z
Ω
doy
∂G
· u(~y )
∂n
Somit wird das Beugungsfeld unterhalb des Schirmes durch die Werte des
Feldes in der Schirmöffnung bestimmt. Unter Benutzung von
∂G
2 ∂ eikr
=
cos α
∂n
4π ∂r r
und
eikr
∂ eikr
≈ ik
∂r r
r
vereinfacht sich die Integralgleichung für grosse Werte von r zu
1
u(~x) =
iλ
Z
Ω
doy
eikr
· u(~y ) cos α
r
Diese Formel zeigt, dass sich das gebeugte Wellenfeld aus Kugelwellen zusammensetz. Die Quelle der Kugelwellen sind die einzelnen geometrischen
Punkte in der Öffnung. Die Amplitude jeder Kugelwelle ist der Wert des
Wellenfeldes am Ort der Quelle. Das ist das Beugungsprinzip, das von Huygens empirisch gefunden wurde. Konkrete Rechnungen werden durch eine
zusätzliche Näherung vereinfacht, die von Kirchoff eingeführt wurde. Diese
Näherung besteht darin, in der rechten Seite der Integralgleichung u(~y) durch
das einfallende Feld u0 (~y ) (z. Bp. eine ebene Welle) zu ersetzen. Die so berechnete Lösung verletzt die Randbedingung u = 0 auf S, ist aber trotzdem
eine gute Beschreibung der Realität. Als konkretes Beispiel betrachten wir
die Fraunhofersche Beugung an einer kleinen Öffnung mit rundem Profil für
senkrechten Einfall. Für grosse Abstände haben wir
| ~x − ~y |≈| ~x | −~y · ~n
24
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
~n = |~~xx| ist die Richtung, unter welcher die Welle beobachtet wird. Für eine
einfallende Welle mit der Richtung ~n0 (u0 (~y ) = eik~n0 ·~y ) beträgt das gebeugte
Wellenfeld
eik|~x| Z
1
cos α
doy eik(~n0 −~n)·~y
u(r, ~n0 , ~n) =
iλ
| ~x | Für senkrechten Einfall hat das Problem zylindrische Symmetrie und wir
erhalten das Integral
2π
eikr d
1
ρdρ
dϕe−i·k·ρ sin α cos ϕ
cos α
u(r, α) =
iλ
r 0
0
Z
1
eikr d
=
ρdρ2πJ0 (kρ sin α)
cos α
iλ
r 0
eikr J1 (k · d sin α)
2πd2
cos α
=
iλ
r
k · d sin α
Z
Z
Ein Gitter (eng. grating) besteht aus einer periodischen Anordnung von
J12(x)
2
x
x
Abbildung 1.14:
Öffnungen, welche auf der Schirmebene S verteilt sind. Wir betrachten den
eindimensionalen Fall einer periodischen Anordnung von N Spalten, welche
parallel zur y-Koordinate in der Ebene S laufen und unedlich lang sind.
Entlang x wiederholen sie sich mit einer Periode d. Ihre Spaltbreite beträgt
s0 . Die totale gebeugte Welle beträgt
N Z
1
eik·r X
u(r, ~n0 , ~n) =
cos α
doy eik(~n0 −~n)·(~y−~yl )
iλ
r l=1 Mit dem Index l wird der l-te Spalt bezeichnet. Definieren wir als u0 (r, α)
die von einem einzelnen Spalt gebeugte Welle, dann ist die totale Welle (für
de Fall ~n0 entlang z und yl = (l · d, 0, 0))
u(r, α) = u0 (r, α) ·
N
X
l=1
(eik·d·sin α )l
25
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
Abbildung 1.15: Beugung an kreisförmigen (links) und rechteckigen (rechts)
Öffnung
Fr N → ∞ ist die Summe nur dann von Null verschieden, falls
k · d · sin α = p · 2π, p = 0, ±1, ±2, ....
Diese Gleichung bestimmt einen Satz von Beobachtungswinkeln αp , unter
welchen eine konstruktive Interferenz der gebeugten Wellen stattfindet. Diese
Winkel sind durch die Gleichung
sin α =
λ
·p
d
gegeben. Die endliche Spaltbreite liefert eine Einhüllende, welche die Intensität der scharfen Intensitätsmaxima moduliert, und zwar durch den Faktor
| u0 (rα) |2 . Somit beträgt die Intensität der Maxima
Ip ≈ N
2 sin
2
(p · π · s0 /d)
(p · π · s0 /d)2
Die Interferenz der Wellen aus verschiedenen Spalten sorgt dafür, dass die
gebeugte Welle nur unter bestimmten Winkeln vorkommt. Unter den meisten
Winkel ist keine Intensität vorhanden. Dafür ist die Intensität in den Maxima
proportional zu N 2 . Das Beugungsmuster einer periodischen Anordnung von
kreisförmigen Öffnungen in der Ebene S zeigt ähnliche Interferenzeffekte.
26
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
400
s0= 0,5 d
300
200
100
0
400
s0= 0,33 d
300
200
100
0
-3 -2 -1 0
1
2
3
Abbildung 1.16:
1.5.2
Eine weitere Anwendung: elektrische Dipolstrahlung (nicht obligatorisch)
Wir betrachten eine Ladungs-und Stromverteilung im Gebiet | ~y |< d. Im
~ und B
~ für r → ∞ mindenstens wie r −2
statischen Fall fallen die Felder E
−3
bzw. r ab. Im zeitabhängigen Fall bewirkt die Retardierung, dass sie nur
mit r −1 abfallen. Der Energiefluss in einem festen Raumwinkelelement wird
deshalb konstant für r → ∞ (Ausstrahlung). Diese wichtige Resultate wollen
wir jetzt herleiten. Wir beschränken uns auf eine harmonische Zeitabhängikeit für ρ und ~j. Das stellt, mathematisch betrachtet, eine einzelne FourierKomponente dar. Wegen der Linearität der MG genügt es, wenn wir jede
einzelne Fourier-Komponente separat behandeln, um die Lösung für eine allgemeine Zeitabhängigkeit zu finden.
ρ(~r, t) = ρ(~r)e−iωt
~j(~r, t) = ~j(~r)e−iωt
Nach den Resultaten des vorigen Paragraphen besitzen wir eine vollständige
~ r , t). Setzen wir ~j(~y , t − |~r−~y| ) in den
und exakte Lösung für Φ(~r, t) und A(~
c
Integranden ein, so erhalten wir
~ r, t) = µ0 e−iωt
A(~
4π
Z
ik|~
r−~
y|
~j(~y ) e
dVy
| ~r − ~y |
~ kann als ∇
~ ×A
~ berechnet werden. Für | ~r |> d gilt ∇
~ ×B
~ =
(k ≡ ωc ). B
und somit
~ = ic∇
~ ×B
~
E
k
~
1 ∂E
,
c2 ∂t
27
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
~ als auch E
~ vollständig aus A
~ herleiten. A
~ ist
Damit kann man sowohl B
wiederum eindeutig vom Stromdichtevektor bestimmt. Um | ~r − ~y | zu vereinfachen, setzen wir sowohl d << λ = 2π
und d <<| ~r |. Somit ist
k
q
r 2 + y 2 − 2~r · ~y
| ~r − ~y | =
s
2
≈ r 1 − ~n · ~y
r
~n · ~y
≈ r(1 −
)
r
und
eik|~r−~y| ≈ eikr · (1 − ik~n · ~y )
Wir betrachten nur die niedrigste Ordnung (sogenannte elektrische Dipolstrahlung)
eikr
eik|~r−~y|
≈
| ~r − ~y |
r
Die weiterenTerme stellen elektrische Quadrupolstrahlung und magnetische
Dipolstrahlung dar. Für die elektrische Dipolstrahlung gilt
ikr Z
~ r ) = µ0 e
~j(~y )dVy
A(~
4π r
Das Integral bekommt nach partiellerIntegration eine klare physikalische
Deutung:
Z
~j(~y )dVy = −
Z
~ y · J)dV
~ y = −iω
~y (∇
Z
~y ρ(~y )dVy
~ · ~j). Somit
(die Kontinuitätsgleichung liefert iωρ = ∇
ikr
~ = − iµ0 ω e p~
A
4π r
mit
~p =
Z
~y ρ(~y )dVy
das elektrische Dipolmoment der Elektrostatik. Um die Felder zu ermitteln
nutzen wir die Identität
~ × (~pϕ) = ϕ∇
~ × ~p + ~p × ∇ϕ
~
∇
Somit bekommen wir
2
ikr
~ = µ0 ck (~n × ~p) e (1 − 1 )
B
4π
r
ikr
28
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
Das Magnetfeld ist transversal zum Radiusvektor. In der sogenannten Strahlungszone (oder Fernzone) gilt d << λ << r. Da ist
2
ikr
~ f ern = µ0 ck (~n × ~p) e
B
4π
r
Nach einer längeren Rechnung erhalten wir
~ =
E
eikr
1
ik
1 2
k (~n × ~p) × ~n
+ [3~n(~n · ~p) − p~]( 3 − 2 eikr
4πǫ0
r
r
r
~ f ern = cB
~ × ~n.
und E
z
E
j
p
j
n
B
x
y
Abbildung 1.17:
~ transversal zur Ausbreitungsrichtung. Wie im
In der Fernzone ist auch E
~ B
~ lokal ein orthogonales Vektorsystem. Die
Fall des freien Feldes bilden ~n, E,
Orts- und Zeitabhängikeit sind durch den Faktor
ei(k·r−ωt)
r
gegeben. Diese Welle stellt eine Kugelwelle dar. Kugelwellen sind ein Fundamentallösungssystem der homogenen Wellengleichung. Ihr Wellenfront ist
kugelförmig . In der Fernzone fallen die Felder wie Kugelwellen mit r −1 ab.
~ ×~n) × B
~ = ~n(B
~ · B)
~ zeigt die von der EM Strahlung transportierte
Wegen (B
~ = ǫ0 c2 E
~ ×B
~ in Richtung ~n. Über die Zeit gemittelt ist
Energiestromdichte S
~
der Betrag von S
c
· k 4 · | p~ |2 · sin2 ϑ
ǫ0 32π 2 r 2
wobei ϑ der Winkel zwischen ~p und ~n ist. Die abgestrahlte Leistung pro
Raumwinkel dΩ = sin ϑdϑdϕ beträgt
c
dP
¯~
= r2S
· k 4 · | p~ |2 · sin2 ϑ
· ~n =
2
dΩ
ǫ0 32π
29
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
z
y
Dipol in z-Richtung
x
Abbildung 1.18:
Die totale abgestrahlte Intensität ist
P =
Z
dΩ
c
c
· k 4 · | ~p |2
· k 4 · | p~ |2 · sin2 ϑ =
2
ǫ0 32π
12πǫ0
Die Strahlungsleistung ist proportional zur vierten Potenz der Frequenz und
zum Quadrat des Dipolmomentes.
Wir betrachten, als konkrete Anwendung, eine Dipolantenne der Länge
d, wobei d klein verglichen mit der Wellenlänge sein soll. Die Antenne liegt
Z
d/2
0
-d/2
Abbildung 1.19:
zwischen z = −d/2 und z = d/2 und hat einen kleinen Spalt am Ursprung.
Am Spalt wird die Ladung ±q cos ωt angebracht. ρ = 2q/d cos ωt ist die
Ladung pro Längeneinheit. Es entsteht ein Dipol
pz =
Z
d/2
−d/2
zρdz =
q·d
cos ωt
2
KAPITEL 1. ELEKTRODYNAMIK
30
Die gesamte abgestrahlte Leistung beträgt somit
c
(q · d)2
· k4 ·
12πǫ0
4
Die Kontinuitätsgleichung besagt, dass eine zeitabhängige Ladungsverteilung
einen Strom produziert. Wir können P mit I0 = q · ω parametrisieren: I0 ist
der im Stab fliessende maximale Strom, welcher am Spalt erreicht wird. Somit
ist
k 2 · d2
P = I02 ·
48πǫ0 · c
Der Koeffizient von I02 hat die Dimension eines Widerstandes und wird Strahlungswiderstand Rrad genannt. Rrad ≈ 5(kd)2 Ohm.