Piezo-Element - home.hs

Prof. Dr. R. Kessler, FH-Karlsruhe, Sensorsystemtechnik, D:\Si040306\dgln\piezo\piezo4.doc, Seite 1/7
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Simulation der Dynamik eines Piezoelements,
Frequenzbereich, Zeitbereich,
Aufstellen des Ersatzschaltbildes
i
u0
i1
C1
ip
Mechanik
Gesamtes
Piezoelement
Das gesamte Piezoelement denken wir uns aufgebaut aus einer Kapazität C1 und parallel dazu eine noch
unbekannte „Mechanik“, die vom elektrischen Strom ip durchflossen wird.
C1 ist die „rein elektrische“ Kapazität des Piezoelementes, die also auch dann wirkt, wenn die mechanische
Bewegung des Piezoelementes „behindert“ wird. Der Strom durch C1 ist i1 = C1* du0/dt
Die Mechanik modellieren wir als Feder-Masse-System mit Masse m, Feder D, Reibung r und erregender Kraft
F, Auslenkung x, Geschwindigkeit v = dx/dt :
D
F
m
r
x
Nach Newton gilt m* dv/dt = Summe der Kräfte auf m
= externe Kraft F + Federkraft + Reibungskraft , also
m * dv/dt =
F
- D * x - r *v
( DGL für v )
Ein Piezoelement hat zwei „elektro-mechanische“ Effekte:
1) Die Elektrik wirkt auf die Mechanik:
Die am Piezoelement anliegende elektrische Spannung u0 erzeugt die
mechanische Kraft F = km * u0 (mit km = „Motorkonstante“)
2) Die Mechanik wirkt auf die Elektrik:
Die mechanische Auslenkung x erzeugt die
elektrische Ladung q = kg * x
==> Strom ip = dq/dt = kg * v (mit kg = „Generatorkonstante“)
Behauptung: kg = km
Beweis mit Energieerhaltungssatz:
mechanische Leistung Pmech (= F * v) = elektrische Leistung Pel (= u0 * ip).
Eingesetzt: F = km * u0, ip = kg*v ==> Pmech = F*v = km*u0 * v = Pel = u0*ip = u0*kg*v,
also km * u0 * v = u0 * kg * v ==> km = kg
Tephyszeilen Geschwindigkeit v = dx/dt ==> x = x + v * dt
(Zeile 3 )
Aus obiger DGL dv/dt folgt
v = v + ( km*u0 – D*x – r*v ) *dt/m (Zeile 4)
Für u0 = Glockenimpuls zur Zeit t1, Breite det, Amplitude a0: u0= a0 * exp ( -sqr( (t-t1) / det ) )
wird die zeitliche Ableitung du0/dt = -2*(t-t1)/(det*det) * u0. Folglich Formel für i1 = du0/dt * C1:
i1 = -C1*2*u0*(t-t1) / sqr(det) ( Zeile 2)
Tephys-Datei ------- D:\DGLN\PIEZO\PIEZOY12.TXT –
1¦ u0 = a0*exp(-sqr((t-t1)/det)) { Spannungsquelle u0 =Glockenimpuls}
2¦ i1 = -C1*2*u0*(t-t1)/sqr(det) { i1 = C1 * du0/dt = Strom durch C1 }
3¦ x = x+v*dt { x= Auslenkung der Masse m des Piezoelementes }
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4¦ v = v+(kg*u0-D*x-r*v)*dt/m { v= dx/dt = Geschwindigkeit der Masse m }
5¦ i = i1+kg*v { i = Gesamtstrom = Summe aus Kondensatorstrom i1 und Piezostrom ip }
6¦ t = t+dt
---------------- Kommentar zum File D:\DGLN\PIEZO\PIEZOY12.TXT---------Leitwert eines Piezo-Elementes, Heft 58, S.74, 15.5.92
C1= ParallelKapazitaet, m=Masse, D=Feder, r=Reibung, kg=Generatorkonstante: elektr. Kraft = km*u0,
Strom durch die Piezomechanik ist ip = kg * v, i1=Strom durch ParallelKapazitaet. = C1*du0/dt
u0 = Eingepraegte Spannung= Glockenimpuls. Werte s. Heft 62,S. 143
Die benutzten Parameter sind so, dass der Verlauf der berechneten Übertragungsfunktion Y= i/u0
übereinstimmt mit dem experimentell ermittelten Leitwert Y. Insbesondere sind dafür wichtig die beiden
charakteristischen Frequenzen f1 (entspricht der Frequenz des Maximums von Y) und f2 (entspricht der
Frequenz des Minimums von Y) und dem Wert Y weitab von f1 und f2 ( das entspricht der Kapazität C1) und
dem Betrag des Maximums von Y (dem entspricht die mechanische Reibung r ).
Tephysbild 1: Zeitbereich. u0= glockenförmige Spannung, i1 = Strom durch C1, v= Geschwindigkeit der
Masse m, i = Gesamtstrom i1 + kg*v (vgl. obige Schaltung).
Tephysbild 4: Frequenzbereich zum obigen Tephysbild 1: u0 = Betrag des Spektrums der Spannung u0, i/u0
= Betrag der komplexen Übertragungsfunktion i/u0, Wi1-Wiu0 = Winkel (in Grad) dieser komplexen
Übertragungsfunktion. Ortskurve = Ortskurve (Nyquist-Diagramm) dieser komplexen Übertragungsfunktion
i/u0, d.h. xy -Auftragung: Realteil in x-Richtung, Imaginärteil in y-Richtung) Diese komplexe
Übertragungsfunktion i/u0 ist der komplexe elektrische Leitwert Y. Man beachte die Tabelle im Bild: Das
sind die Werte beim Maximum und beim Minimum der Übertragungsfunktion i/u0.
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Tephysbild 5: Frequenzbereich zum obigen Tephysbild 1. u0= Betrag des Spektrums von u0,
v/u0 = Betrag der komplexen Übertragungsfunktion v/u0, Ortkurve =komplexe Ortskurve von v/u0.
Man erkennt, dass das Maximum von v/u0 bei der Frequenz f1= 30273.43 Hz liegt. Das ist die gleiche
Frequenz, bei der auch der elektrische Leitwert Y sein Maximum hat (vgl. obiges Tephysbild 4). Bei dieser
Frequenz hast also das mechanische Feder-Masse-System ebenfalls seine Resonanzfrequenz..
Hingegen zeigt sich bei der Frequenz f2 = 31494 Hz.des Minimums des elektrischen Leitwerts Y (vgl.
Tephysbild 4) keinerlei Auffälligkeit im Verlauf der mechanischen Übertragungsfunktion v/u0.
Elektrisches Ersatz-Schaltbild des Piezoelements
Um das elektrische Ersatzschaltbild zu finden, ersetzen wir in den bisherigen Gleichungen den Operator d/dt
durch die Abkürzung s, also d/dt = s.
Wenn man unbedingt will, kann man diesen Ersatz von d/dt durch s als „Laplace-Tranformation mit
verschwindenden Anfangsbedingungen“ bezeichnen. Aber es ist total unnötig, diese abschreckend
kompliziert klingende Bezeichnung zu verwenden.
Später werden wir das gefundene Ersatzschaltbild für sinusförmige Zeitverläufe anwenden. Dann wird s ersetzt
durch das Produkt s = j * w mit j = Wurzel aus –1 und w = Kreisfrequenz (w gelesen als omega).
Strom i1 durch Kondensator C1: i1= C1*du0/dt ==> i1 = s*C1*u0
Newton: m*dv/dt + D*x + r*v = km*u0: Aus dv/dt = s*v, aus x= Integral (v*dt) wird x= v/s,
also
m*s*v + D*v/s + r*v = km*u0 oder v ausgeklammert:
(m*s + D/s +r )*v = km*u0
Wird darin die mechanische Größe v ersetzt durch die elektrische Größe v = ip/kg (s.o.), so wird daraus
(m*s + D/s +r )*ip/kg = km*u0
Bringen wir km auf die linke Seite und fügen das Produkt kg*km in die Klammer ein, so haben wir die
„Impedanz“ u0/ip = Zp= s* m/(kg*km) + 1/s * D/(kg*km) + r/(kg*km)
Diese Impedanz entspricht der Reihenschaltung (Index m soll heißen „mechanisch“)
Zp = s*Lm
+ 1/(s*Cm)
+ Rm aus
mechanischer Induktivität
Lm = m/(kg*km),
mechanischer Kapazät
Cm = kg*km/D,
mechanischem Widerstand Rm = r/(kg*km)
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Parallel zu diesem “mechanischen” Teil des Piezoelementes liegt noch der “rein elektrisch” wirkende
Kondensator C1. Somit haben wir das elektrische Ersatzschaltbild des Piezoelementes gefunden. In der
nachfolgenden Schaltung ist es dargestellt:
i
ip
i1
u0
Lm = m/(kg*km)
Lm
C1
Cm
Cm = kg*km/D
Rm
Rm = r/(kg*km)
Elektrisches Ersatzschaltbild des Piezoelementes
Die Auswertung der experimentell gemessenen Übertragungsfunktion i/u0 (=elektrischer Leitwert Y)
ergab folgende Werte der Bauteile:
„elektrische“ Kapazität
„mechanische“ Induktivität
„mechanische“ Kapazität
„mechanischer“ Widerstand
C1 = 2.2 nanoFarad (=2.2E-9 A*s/V)
Lm = 0.149 V*s/A
Cm = 0.186 nanoFarad (= 0.186E-9 A*s/V)
Rm = 510 Ohm
Hinweis: Die Methode der Auswertung wird später erklärt.
Verwendung des Ersatzschaltbildes
Wir wollen den Betrag und Winkel des komplexen Leitwertes Y =i / u0 der obigen Ersatzschaltung mit
Tephys berechnen.
Für Sinus-Zeitverläufe wird der Operator s ersetzt durch j*w (j = Wurzel aus –1, w = Kreisfrequenz).
Der komplexe Leitwert Y = i/u0 des Piezoelementes gemäß obiger Ersatzschaltung ist
Y = j * w * C1 +
1
1
Rm + j * ( w * Lm −
)
w * Cm
=
1 + j * w * C1 * ( Rm + j * ( w * Lm −
Rm + j * ( w * Lm −
1
)
w * Cm
1
)
w * Cm
Der Zähler wird ausmultipliziert und nach Realteil und Imaginärteil geordnet:
Y =
1
) + j * w * C1 * Rm
w * Cm
1
Rm + j * ( w * Lm −
)
w * Cm
1 − w * C1 * ( w * Lm −
Daraus ergibt sich
Realteil des Zählers
RZ = 1- w*C1*(w*Lm – 1/(w*Cm) )
Imaginärteil des Zählers IZ = w*C1*Rm
Realteil des Nenners
RN = Rm
Imaginärteil des Nenners IN = w*Lm - 1/(w*Cm)
Der Betrag des komplexen Leitwertes Y ergibt sich zu
BeY = Betrag des Zählers geteilt durch Betrag des Nenners , also als Formel
BeY = sqrt( RZ*RZ + IZ*IZ) / sqrt( RN*RN + IN*IN )
Der Phasenwinkel (=Wi) von Y
Wi = Winkel des Zählers minus Winkel des Nenners.
Allerdings gibt es hier ein Problem, weil der Realteil des Zählers negativ werden kann, während der
Imaginärteil positiv ist. In diesem Fall würde die bekannte Formel Winkel = arctan (Imaginärteil/ Realteil) bei
negativem Realteil einen Winkel im 2. Quadranten ( also im Bereich 0 bis –90 Grad) liefern, während er in
Wirklichkeit im 3. Quadranten liegt (also im Bereich 180 bis 270 Grad).
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Um den Winkel korrekt zu berechnen, wird 180 Grad dazu addiert, wenn der Realteil negativ ist.
Mit Tephys geht das so: Winkel des Zählers ist arctan( IZ/RZ)+ 180 * nein(RZ)
(Hinweis: A= nein(x): if x <= 0 then A = 1 else A= 0 )
Diese Formeln zur Berechnung des Leitwertes Y sind im nachfolgenden Tephys-Programm eingegeben (fett
geschrieben). Die nicht fetten Zeilen beziehen sich auf die Berechnung von Y durch FFT-Auswertung der
Impulsantwort (also aus dem Zeitbereich). Sie sind die gleichen wie die in der oben schon behandelten Datei
piezo12Y.txt
------------------------- D:\DGLN\PIEZO\PIEZOYC2.TXT -------1¦ u0 = a0*exp(-sqr((t-t1)/det))
2¦ i1 = -C1*2*u0*(t-t1)/sqr(det)
3¦ x = x+v*dt
4¦ v = v+(kg*u0-D*x-r*v)*dt/m
5¦ i = i1+kg*v
6¦ f = kf*(t+off) { f = Frequenz in Hz. off >0, um Division durch Null in Zeilen 8 u. 11 zu vermeiden}
7¦ w = 2*pi*f { w = Kreisfrequenz }
8¦ RZ = 1-w*C1*(w*Lm-1/(w*Cm)) { RZ = Realteil Zählers des Leitwerts Y ( = i/u0) }
9¦ IZ = w*C1*Rm
{ IZ = Imaginärteil Zähler }
10¦ RN = Rm
{ RN = Realteil Nenner }
11¦ IN = w*Lm-1/(w*Cm) { IN = Realteil Nenner }
12¦ BeY = sqrt(RZ*RZ+IZ*IZ)/sqrt(RN*RN+IN*IN) { BeY = Betrag des Leitwerts Y }
13¦ Wi = (arctan(IZ/RZ)-arctan(IN/RN))*180/pi+180*nein(RZ) { Wi = Winkel des Leitwerts Y
(im Gradmaß) mit Korrektur für negativen Realteil RZ }
14¦ t = t+dt
Tephysbild F1: Verlauf von des Betrags BeY und des Winkels Wi des komplexen Leitwerts Ydes
Piezoelementes, berechnet aus dem Ersatzschaltbild des Piezoelementes, als Funktion der Frequenz f.
Vergleiche den Text im Bild. Die Tabelle zeigt die Cursorwerte beim Maximum und beim Minimum von
BeY. Diese Frequenzwerte stimmen mit den experimentellen Werten überein!
Zum Vergleich mit der folgenden Figur: dort f1= 30273 Hz, f2= 31494 Hz
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Fig. F2: Der Frequenzbereich der gleichen Simulation wie in obiger Fig. F1. Hier wurden die gleichen
Verläufe gerechnet, nämlich der Betrag des komplexen Leitwerts (Y = i/u0) und sein Winkel. Aber diese
Kurven wurden mit der Fourier-Analyse der Impulsantwort berechnet: Die obere Kurve zeigt den Betrag
des Spektrums von u0, also der Eingangsspannung (Glockenimpuls). Die mittlere Kurve zeigt den Betrag des
Spektrums der „Übertragungsfunktion“ i/u0, also des Leitwertes Y und die untere Kurve zeigt den Winkel
dieser Übertragungsfunktion.
Die Übertragungsfunktion wird von Tephys wie folgt berechnet: komplexes Spektrum von i (also des Stromes)
dividiert durch komplexes Spektrum von u0 (also der Spannung). Aufgetragen sind Betrag und Winkel dieser
Übertragungsfunktion (in diesem Falle also des Leitwertes Y).
Zusätzlich ist noch die komplexe Ortskurve aufgetragen: Imaginärteil von Y als Funktion des Realteils von Y
von Y. Die punktierte Kurve ist die Kreisnäherung der Ortskurve in der Nähe der Resonanzfrequenz.
Experimentelle Bestimmung
der charakteristischen Daten eines Piezoelementes
Das verwendete Piezoelement war ein handelsüblicher „Ultraschall-Piezo“.
Nimmt als Piezoelement einen Schwingquarz, so findet man die experimentellen Werte in ähnlicher Weise.
Allerdings sind beim Schwingquarz die Resonanzfrequenzen meist sehr viel höher ( Megahertz-Bereich).
Dadurch wird die experimentelle Bestimmu ng etwas komplizierter.
Als Formel für den komplexen Leitwert Y hatte sich ergeben (s.o)
Y =
1
) + j * w * C1 * Rm
w * Cm
1
Rm + j * ( w * Lm −
)
w * Cm
1 − w * C1 * ( w * Lm −
Wir wollen diese Formel benutzen, um die Werte C1, Lm, Cm, Rm experimentell zu bestimmen
Die charakteristischen Frequenzen bekommen wir mit der Näherung Rm = 0 heraus.
Mit der Näherung Rm = 0 wird aus der Formel
Y=
1
)
w * Cm
1
j * ( w * Lm −
)
w * Cm
1 − w * C1* ( w * Lm −
Das Maximum des Leitwertes ergibt sich für Nenner gleich null gesetzt, Kreisfrequenz w1, also
w1*Lm = 1/(w1*Cm) oder w1*w1*Lm*Cm=1 oder w1=1/sqrt(Cm*Lm). Man erkennt an dieser Formel, dass
w1 die Resonanzkreisfrequenz der Reihenschaltung von Cm und Lm ist.
Experiment: Frequenz beim Maximum von Y1 ist f1=30.25 kHz
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Das Minimum des Leitwertes Y ergibt sich für Zähler gleich Null gesetzt, Kreisfrequenz w2 :
0=1-w2*C1*(w2*Lm-1/(w2*Cm) ) oder ausmultipliziert: 0=1+ C1/Cm- w2*w2*C1*Lm, oder durch C1
dividiert 0=1/C1+1/Cm-w2*w2*Lm. Daraus folgt w2= sqrt( ( 1/C1+1/Cm ) / Lm )
Man erkennt an dieser Formal, dass w2 die Resonanzkreisfrequenz der Reihenschaltung von Lm und C1
und Cm ist Experiment: Frequenz beim Minimum von Y ist f2=31.5 kHz
Division der Quadrate von w2 und w1 ergibt sqr(w2/w1) = (1/C1+1/Cm)/Lm * Cm*Lm = 1+Cm/C1.
Daraus Cm/C1 = sqr(w2/w1) – 1. Da w2 nur wenig größer als w1 ist, folgt zunächst, dass Cm << C1 ist.
Aus den gemessenen Kreisfrequenzen w1 (entspricht Maximum des Leitwerts Y) und w2 (entspricht Minimum
von Y) kann man also das Verhältnis der „mechanischen Kapazität“ Cm zur „elektrischen Kapazität“ C1
berechnen.
Aus den gemessenen Frequenzen f1 und f2 ergibt sich Cm/C1= sqr(f2/f1) – 1 = sqr (31.5/30.25) – 1 = 1.08435-1
= 0.08435, also Cm/C1= 0.08435
Wie kann man C1 messen? Bei Frequenzen weit unterhalb der Resonanzfrequenzen w1 und w2 wirkt
überwiegend C1 allein. Das erkennt man an der Formel für Y: bei kleinen Werten w bleibt im Nenner das Glied
–j/(w*Cm). Entsprechend bleibt im Zähler 1 + C1/Cm. Also für kleine w wird Y=j*w*Cm*(1+C1/Cm)
oder Y = j*w*(Cm+C1). Diese Formel kann man auch unmittelbar aus der Schaltung des elektrischen
Ersatzschaltbildes ablesen: Im Parallelzweig spielt für kleine w die Impedanz von Lm (und von Rm) keine Rolle
gegenüber der Impedanz von Cm. Also ist für kleine w der Leitwert Y = j*w*(C1+Cm).
Eine entsprechende Überlegung ergibt sich für hohe Frequenzen. Direkt aus dem Ersatzschaltbild abgelesen:
Impedanz von Lm groß gegen Impedanz von Cm (und von Rm). Also wird der gesamte Leitwert Y der Leitwert
der Parallel-Schaltung von C1 und Lm, also Y = j*w*C1 + 1/(j*w*Lm) oder der Y = j*( w*C1- 1/(w*Lm) ).
Aus diesen Überlegungen ergab sich der experimentelle Wert C1= 2.2 nF.
Da jetzt C1 bekannt ist, ergibt sich auch Cm: Mit Hilfe der obigen Formel Cm/C1 = sqr(w2/w1) – 1 folgt
Cm= C1*( sqr(f2/f1) – 1) = 2.2 nF* (1.08435-1) = 2.2 nF*0.08435 = 0.1856 nF. Also Cm=0.1856 nF.
Jetzt kann man auch Lm berechnen: Aus der obigen Überlegung für das Maximum von Y hatte sich die
Kreisfrequenz w1=1/sqrt(Cm*Lm) ergeben. Daraus ergibt sich
Lm = 1/(Cm * w1 * w1 ) = 1/(Cm * sqr(2*pi*f1) )= 1/(0.1856 nF* 4*pi*pi*30250 Hz*30250 Hz) =0.14885
V*sec/A, also Lm = 0.14885 V*sec/A
Jetzt Berechnung des Widerstandes Rm. Dazu betrachten wir die Formel für Y, aber Rm nicht =0 gesetzt!
Bei der Kreisfrequenz w1 (entspricht Maximum von Y) ist w1*Lm =1/(w1*Cm), also wird der Nenner Rm. Im
Zähler bleibt 1+j*w1*C1*Rm.
Also wird für w=w1 Y = 1/Rm + j*w1*C1. Da sich experimentell ergibt, dass bei w1 der Verlauf von Y1 ein
deutliches Maximum hat und außerdem Y reell ist, ist für diesen Maximalwert der Wert Rm ausschlaggebend,
also gilt näherungsweise für den Betrag von Y beim Maximum Ymax = 1/Rm , also Rm = 1/Ymax
Aus der Messung ergibt sich Rm= 510 Ohm.