Skript zum Ferienkurs Physik für Elektroingenieure Wellenlehre und
Werbung
Skript zum Ferienkurs Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015 / 16 __________________________________________________________________________________ Daniel Hutzler Nr. 3 Wellenlehre und Optik 1 Geometrische Optik 1.1 Reflexion und Brechung 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 Fermat’sches Prinzip Reflexion Brechungsgesetz Totalreflexion 1.2 Dispersion 1.2.1 Elektrische Suszeptibilität 1.3 Abbildung 1.3.1 1.3.2 1.3.3 Spiegel Linsen Abbildungsfehler 2 Wellenoptik 2.1 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6 2.1.7 2.1.8 2.1.9 2.1.10 Permittivität und Permeabilität Optische Weglänge Energiedichte Poynting-Vektor Darstellung elektromagnetischer Wellen Superpositionsprinzip und Interferenz Kohärenz Polarisation Fresnelsche Formeln Dopplereffekt 2.2 Beugung 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 Huygensches Prinzip Einfachspalt Doppelspalt Optische Gitter Röntgenbeugung 16.03.2016 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 1 Geometrische Optik Was ist Licht? Geschichte: Korpuskel (Newton, 1672) Welle (Huygens, 1678) Transversale Welle (Fresnel, 1815) Elektromagnetische Welle (Maxwell, 1865) Lichtquantenhypothese (Einstein, 1905) Welle-Teilchen-Dualismus: Teilchennatur (z.B. photoelektrischer Effekt, Compton-Effekt) ↔ Wellennatur (z.B. Interferenz) Im Vakuum breitet sich Licht mit der Geschwindigkeit c0 = 2,9979… · 108 m/s aus 𝑐 Es gilt: 𝜆 = 𝑓 Licht führt als elektromagnetische Strahlung ein elektrische Feld E sowie ein magnetisches Feld B mit sich. Im freien Raum stehen Ausbreitungsrichtung k, E und B paarweise senkrecht aufeinander (Transversalität) Anders als z.B. Schallwellen brauchen elektromagnetische Wellen kein Medium um sich auszubreiten Quelle: ScienceBlogs Die geometrische Optik ist eine Näherung in der Optik, in der die Welleneigenschaften des Lichts vernachlässigt werden. Dies ist möglich, weil die Wellenlänge des Lichts klein im Vergleich zu den mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen ist und Beugungseffekte daher vernachlässigt werden können. 1.1 Reflexion und Brechung 1.1.1 Fermat’sches Prinzip Licht folgt auf seinem Weg von A nach B dem kürzesten optischen Weg, d.h. dem Weg mit der kürzesten Laufzeit. Quelle: Universität Bayreuth 1 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 1.1.2 Reflexion Ein Lichtstrahl wird an einer ebenen Fläche teilweise oder vollständig reflektiert, wobei gilt Normalvektor, einfallender und ausfallender Strahl liegen in einer Ebene Einfallswinkel = Ausfallswinkel Quelle: Giancolli 1.1.3 Brechungsgesetz Im Vakuum breitet sich Licht mit der Lichtgeschwindigkeit c0 = 2,9979… · 108 m/s aus. Im Medium propagiert Licht langsamer und es gilt daher cMedium < c0. Medien unterscheiden sich durch 𝑐0 verschiedene Brechungsindizes 𝑛 = bzw. Dielektrizitätskonstanten 𝜀 = 𝑛2 . 𝑐𝑀𝑒𝑑𝑖𝑢𝑚 Quelle: Giancoli Ein Teil des einfallenden Lichtstrahls wird am Medium reflektiert und ein Teil transmittiert. Für den transmittierten Teil gilt das Snelliussche Brechungsgesetz: Einfallender, reflektierter und transmittierter Strahl liegen mit der Normalen in einer Ebene sin 𝛩1 sin 𝛩2 = 𝑐1 𝑐2 = 𝑛2 𝑛1 Merke: Beim Übergang vom optisch dünneren (kleinerer Brechungsindex) zum optisch dichteren Medium (größerer Brechungsindex) wird der Lichtstrahl zum Lot hin gebrochen und beim Übergang vom optisch dichteren zum optisch dünneren Medium vom Lot weg. Beispiel 1: Parallelverschiebung Quelle: Wikipedia 2 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 Beispiel 2: Prisma In einem Prisma wird der Lichtstrahl an zwei Flächen, die nicht parallel sind, gebrochen. Der Ablenkwinkel δ ist minimal, wenn man den Einfallswinkel so wählt, dass der Lichtstrahl im inneren parallel zur Basis verläuft Quelle: Giancoli 1.1.4 Totalreflexion Beim Übergang von einem optisch dichteren zu einem optisch dünneren Medium kann es zu Totalreflexion kommen. Dies geschieht wenn der Einfallswinkel größer als der sog. Grenzwinkel der Totalreflexion (auch kritischer Winkel) Θc ist. Hierbei gilt sin 𝛩𝑐 = 𝑛2 𝑛1 . Quelle: Wikipedia Beispiel: Lichtleiter Quelle: Universität Wien Licht, das unter einem Winkel Θ0, kleiner Θmax, in einen Lichtleiter eingekoppelt wird, kann sich aufgrund von Totalreflexion verlustfrei in ihm fortpflanzen. Θmax ist durch die sog. Numerische Apertur festgelegt: 𝑁𝐴 = 𝑛0 sin 𝛩𝑚𝑎𝑥 = √𝑛12 − 𝑛22 , wobei n0 = 1 für Luft gilt. Auch möglich: gekrümmter Strahlenverlauf durch Brechungsindexgradient in einer Gradientenfaser. 3 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 1.2 Dispersion Unter Dispersion versteht man allgemein die Abhängikeit einer Größe von der Frequenz bzw. Wellenlänge. Speziell in der Optik handelt es sich hierbei um die Abhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes und daher des Brechungsindexes von seiner Frequenz. 𝑐 = 𝑐(𝜔), 𝑛 = 𝑛(𝜔) Unterschiedliche Frequenzen werden also unterschiedlich stark gebrochen und es ergeben sich verschiedene Ablenkwinkel 𝛩 = 𝛩(𝜔) beim Übergang in ein Medium. Beispiel 1: Prisma Somit kann weißes Licht, das aus vielen verschiedenen Frequenzen besteht, beispielsweise mit Hilfe eines Prismas in seine spektralen Bestandteile zerlegt werden. Die einzelnen Farben werden hierbei unterschiedlich stark gebrochen. Quelle: Giancoli Beispiel 2: Regenbogen Ein Regenbogen entsteht durch Brechung und Totalreflexion des Sonnenlichts an Wassertröpfchen. Hierbei wird das Licht in seine Spektralfarben zerlegt. 1.2.1 Elektrische Suszeptibilität Die Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Medium wird beschrieben durch 𝑐= 𝑐0 𝑛 = 𝑐0 √𝜀𝑟 ·µ𝑟 (Vakuumlichtgeschwindigkeit: 𝑐0 = 1 √𝜀0 ·µ0 ) mit der Permittivitätszahl εr und der Permeabilitätszahl µr (siehe 2.1.1). Für lichtdurchlässige Medien gilt in guter Näherung µr ≈ 1 und daher 𝑛 = √𝜀𝑟 . Die elektrische Suszeptibilität ist eine Materialeigenschaft, die die Fähigkeit der elektrischen Polarisierung in einem externen elektrischen Feld angibt. Sie ist definiert als 𝜀𝑟 = 𝜒𝑒 + 1. Wir erhalten somit die Maxwell Relation 𝑛 = √𝜀𝑟 = √1 + 𝜒𝑒 . 4 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 Die Polarisation kennzeichnet die Stärke des Dipolmoments in einem dielektrischen Material. In der linearen Optik besteht ein linearer Zusammenhang zwischen dem elektrischen Feld und der dadurch im Medium induzierten Polarisation (gilt nicht mehr für sehr hohe Felder, siehe nichtlineare Optik): 𝑃⃗ = 𝜀0 𝜒𝑒 𝐸⃗ Wir wollen nun die Frequenzabhängigkeit der elektrischen Suszeptibilität bestimmen. Hierzu betrachten wir zunächst die Bewegungsgleichung für die erzwungene Schwingung der negativen Ladungen bzw. des Schwerpunkts der negativen Ladung q um den Atomkern: 𝑚𝑥̈ = −𝜔02 𝑚𝑥 + 𝑞𝐸0 sin(𝜔𝑡) 𝑘 Wobei 𝜔0 = √𝑚 die Eigenfrequenz und 𝑞𝐸 = 𝑞𝐸0 sin(𝜔𝑡) die Kraft, die das Elektrische Feld der Welle auf die negativen Ladungen ausübt, ist. Als Lösung setzen wir 𝑥(𝑡) = 𝑥0 sin(𝜔𝑡) an und erhalten die Amplitude 𝑥0 = 𝑞𝐸0 𝑚(𝜔02 − 𝜔 2 ) Das Dipolmoment errechnet sich zu 𝑝(𝑡) = 𝑞 𝑥(𝑡) = 𝑞 2 𝐸0 sin(𝜔𝑡) 𝑚(𝜔02 − 𝜔 2 ) 𝑍 Multipliziert man dieses Dipolmoment mit der Teilchendichte 𝑁 = 𝑉 erhält man die Polarisation 𝑃(𝑡) = 𝑁 𝑝(𝑡) = 𝜀0 𝜒𝑒 𝐸(𝑡) Suszeptibilität und Brechungsindex in Abhängigkeit von der Frequenz schreiben sich somit als 𝜒𝑒 (𝜔) = 𝑁 𝑞2 𝜀0 𝑚(𝜔02 − 𝜔 2 ) 𝑛(𝜔) = √1 + 𝑁 𝑞2 𝜀0 𝑚(𝜔02 − 𝜔 2 ) Tatsächlich treten in Atomen verschiedene Eigenfrequenzen auf und man erhält 𝑛(𝜔) = √1 + 𝑞2 𝑁𝑖 ·∑ 2 𝜀0 𝑚 (𝜔𝑖 − 𝜔 2 ) 𝑖 Bei den meisten transparenten Stoffen steigt im Sichtbaren der Brechungsindex mit der Frequenz an und man spricht von normaler Dispersion. Im Umgekehrten Fall liegt eine sog. anomale Dispersion vor. 5 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 1.3 Abbildung Man unterscheidet zwischen reellem und virtuellem Bild: Quelle: Wikipedia Von einem reellen Bild gehen tatsächlich Lichtstrahlen aus. Es kann, im Gegensatz zu einem virtuellen Bild, auf einem Schirm abgebildet werden. 1.3.1 Spiegel Strahlenkonstruktion: Hohlspiegel Bei der Strahlenkonstruktion für verschiedene Spiegel ist, unabhängig von der Form des Spiegels, stets Einfalls- gleich Ausfallswinkel zu beachten und man kann sich an der Oberflächennormale, die senkrecht auf dem jeweiligen Punkt des Spiegels steht, orientieren. Quelle: TU Dortmund Parallelstrahlen gehen nach Reflexion durch den Brennpunkt F, Brennpunktstrahlen laufen nach Reflexion parallel zur optischen Achse und Strahlen, die normal auf die Spiegeloberfläche treffen, werden in sich zurückreflektiert Befindet sich der Gegenstand zwischen Fokus F und der Hauptebene V entsteht ein virtuelles Bild. Die Gegenstandsweite g, Bildweite b und fokale Länge f lassen sich über die folgende Formel berechnen (Vorzeichen beachten!): 6 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 1 1 1 + = 𝑔 𝑏 𝑓 Beachte: Bei Holspiegeln ist die Brennweite positiv, wogegen sie bei Konvexspiegeln negativ ist. Beispiel 1: Parabolspiegel Eine Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte, deren Abstand zum Brennpunk F gleich dem zu einer speziellen Geraden, der sog. Leitgeraden l, ist. Sie ist daher die ideale Form für einen Spiegel, der paralleles Licht in einen Punkt fokussieren soll. Quelle: Wikipedia Beispiel 2: Sphärischer Spiegel Eine Annäherung an den Parabolspiegel ist der sphärische Spiegel. Für achsennahe Strahlen gilt 𝑅 𝑓 = 2 . Für achsenferne Strahlen wandert die Brennweite jedoch immer mehr Richtung Kugelfläche. Beispiel 3: Konvexspiegel Konvexspiegel oder Zerstreuungsspiegel bilden verkleinernd ab und vergrößern dadurch den Blickwinkel. 7 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 1.3.2 Linsen Man unterscheidet zwischen Konvexen Linsen (Sammellinsen; positive Brennweite), Konkaven Linsen (Zerstreuungslinsen; negative Brennweite) und Meniskuslinsen. Qulle: Wikipedia Das Zustandekommen eines Brennpunktes lässt sich sowohl mit Strahlenoptik als auch mit Wellenoptik erklären. Quelle: Optical Technology Guide Strahlenkonstruktion: Maßstab: 𝑉= Linsengleichung: 𝐵 𝐺 𝑏 =− ; 1 𝑔 𝑔 1 1 𝑏 𝑓 + = Quelle: Wikipedia Beachte: Trifft paralleles Licht unter einem kleinen Winkel auf die Linse, so wandert der Brennpunkt auf der sog. Brennebene nach oben bzw. unten. Die Brennebene ist parallel zur Mittelebene der Linse im Abstand der Brennweite. 8 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 Berechnung der Brennweite: Quelle: Wikipedia Für relative Dünne Linsen (d << r1,r2) gilt 1 𝑛′ − 𝑛 1 1 = ( − ) 𝑓 𝑛 𝑟1 𝑟2 Hier ist n der Brechungsindex der Umgebung (n = 1 für Luft) und n‘ der des Linsenmaterials. Hierbei ist zu beachten, dass die beiden Radien dann gleiche Vorzeichen haben, wenn die Mittelpunkte auf derselben Seite der Linse liegen (konvex-konkave Linse), jedoch unterschiedliche Vorzeichen, wenn die Linse bikonvex oder bikonkav ist. Konvexe Flächen (nach außen gewölbt): R1 > 0, R2 < 0 Konkave Flächen (nach innen gewölbt) gilt: R1 < 0, R2 > 0 Plane Flächen: R = ± ∞ Beispiel 1: Korrektur von Kurz- und Weitsichtigkeit Quelle: Wikipedia 9 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 Beispiel 2: Lupe Quelle: Wikipedia Beispiel 3: Fernrohr Quelle: Giancoli Durch das Objektiv entsteht ein reelles Bild in der Brennebene. Im Kepler’schen Fernrohr funktioniert das Okular wie eine Lupe, die das reelle Bild I1 auf ein virtuelles I2 abbildet, welches jedoch auf dem Kopf steht. Qulle: Giancoli Im Galilei’schen Fernrohr wird eine Streulinse als Okular verwendet und der Betrachter erhält ein aufrechtes Bild. 10 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 Beispiel 4: Fresnel-Linse Um leistungsstarken Lichtquellen (Leuchttürme, Scheinwerfer, …) gerecht zu werden und einen hohen Wirkungsgrad zu erzielen, müssten sehr dickbäuchige Linsen verwendet werden. Dies würde Nachteile wie hohes Gewicht und ungleichmäßige Erwärmung mit sich bringen. Abhilfe schafft hier die Fresnel-Linse. Es gibt viele weitere Beispiele für solche Speziallinsen, wie z.B. Grin-Linsen, bei denen der Brechungsindex in radialer Richtung abnimmt. Weitere Beispiele sind Konvex-Konkav- bzw. KonkavKonvex-Linsen oder elektrische und magnetische Linsen. 1.3.3 Abbildungsfehler In den bisherigen Betrachtungen wurde stets von achsennahen Strahlen ausgegangen für die, die sog. Kleinwinkelnäherung gilt: Quelle:Wikipedia Allegemein gilt α‘ = δ, γ‘ = α‘ - β‘. Zusätzlich gilt für achsennahe Strahlen α‘ und β‘ sind sehr klein und es gilt sin(𝛼 ′ − 𝛽 ′ ) = sin 𝛼′ cos 𝛽′ − cos 𝛼 ′ sin 𝛽 ′ ≈ sin 𝛼 ′ − sin 𝛽′ x << f2 tan γ‘ ≈ sin γ‘ 11 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 Man erhält somit 𝑓2 = ℎ ℎ ℎ sin α’ sin α’ ≈ = = 𝑅 ≈ 𝑅 . tan 𝛾 ′ sin 𝛾 ′ sin(𝛼 ′ − 𝛽 ′ ) sin (α‘ − β‘) sin 𝛼 ′ − sin 𝛽 ′ Das Snelliusche Brechungsgesetz liefert 𝑛1 sin 𝛼′ = 𝑛2 sin 𝛽′ und wir erhalten 𝑛2 𝑛1 sin 𝛽′ 𝑛2 𝑓2 = 𝑅 𝑛 =𝑅 . 2 𝑛2 − 𝑛1 sin 𝛽′ − sin 𝛽′ 𝑛1 Die bildseitige Brennweite hängt also für achsennahe Strahlen nur von der Krümmung der Fläche und vom Brechungsindex ab. Leider ist das nur eine Näherung bzw. ein idealisiertes Bild. In der Praxis treten Abbildungsfehler auf. Beispiel 1: Sphärische Aberration Quelle: Wikipedia Achsenferne Strahlen weisen geringere Brennweite auf. Die Strahlen treffen sich nicht in einem Punkt. Der Fehler kann durch Blenden, die die achsenfernen Strahlen entfernen (Intensitätsverlust!), eine Kombination aus Sammel- und Zerstreuungslinsen oder durch das verwenden nicht-sphärischer Linsen korrigiert werden. Beispiel 2: Astigmatismus Quelle: Wikipedia Bei der Abbildung entstehen zwei Brennlinien in den Punkten T1 und S1. Der Fehler kann durch die Verwendung von Zylinderlinsen korrigiert werden. 12 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 Beispiel 3: Verzeichnung Quelle: Wikipedia Die Verzeichnung ist ein geometrischer Abbildungsfehler, der zu einer lokalen Veränderung des Abbildungsmaßstabes führt. Sphärische Aberration und Astigmatismus sowie die Koma sind sog. Schärfefehler. Verzeichnung und Bildfeldwölbung gehören zu den sog. Lagefehler. Die chromatische Aberration ist ein sog. Farbfehler, der dadurch entsteht, dass Licht unterschiedlicher Wellenlänge verschieden stark gebrochen wird. Hier wird zwischen dem Farblängsfehler, bei dem die Brennweite wellenlängenabhängig ist, und dem Farbquerfehler, bei dem einzelne Farbbilder unterschiedlich vergrößert werden, unterschieden. 13 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 2 Wellenoptik Effekte wie Superposition, Interferenz und die Beugung von Licht können nicht mit geometrischer Optik erklärt werden. Um diese Effekte verstehen zu können, muss Licht als elektromagnetische Welle behandelt werden. 2.1 Eigenschaften elektromagnetischer Wellen 2.1.1 Permittivität und magnetische Permeabilität Die Permittivität ε gibt die Durchlässigkeit eines Materials für elektrische Felder an. Hierbei ist die relative Permittivität εr eines Mediums (auch Permittivitäts- oder Dielektrizitätszahl) das Verhältnis 𝜀 seiner Permittivität zu der des Vakuums ε0 (elektrische Feldkonstante): 𝜀𝑟 = 𝜀 0 Die Durchlässigkeit eines Materials für magnetische Felder wird durch die magnetische Permeabilität µ beschrieben. Die magnetische Feldkonstante µ0 gibt die magnetische Permeabilität des Vakuums µ an. Die Permeabilitätzahl µr (relative Permeabilität) bezeichnet das Verhältnis: µ𝑟 = µ 0 Der Brechungsindex eines Materials ist gegeben durch 𝑛 = √𝜀𝑟 µ𝑟 . Für die Lichtgeschwindigkeit c0 im Vakuum gilt 𝑐0 = 1 , 𝜀 √ 0 µ0 für die im Medium 𝑐 = 𝑐0 𝜀 √ 𝑟 µ𝑟 = 𝑐0 . 𝑛 2.1.2 Optische Weglänge und Gangunterschied Die optische Weglänge L ist in der Wellenoptik die Streckenlänge, für die Licht im Vakuum die gleiche Zeit wie für einen gegebenen Weg in einem Medium braucht. Da das Verhältnis zwischen Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und im Medium durch den Brechungsindex gegeben ist, berechnet sich die optische Weglänge L in einem Medium als das Produkt der geometrischen Länge s, die ein Lichtstrahl durch das Medium nimmt, mit dessen Brechungsindex n zu 𝐿 = 𝑛 · 𝑠. So ist die gesamte optische Weglänge gegeben durch die Summe über alle Teilstrecken, multipliziert mit dem jeweiligen Brechungsindex 𝐿 = ∑𝑖 𝑛𝑖 𝑠𝑖 oder ∫ 𝑛(𝑠) 𝑑𝑠 falls der Brechungsindex von Ort zu Ort variiert. Einen Unterschied in den optischen Weglängen zweier Wege bezeichnet man als Gangunterschied. 2.1.3 Energiedichte Die elektromagnetische Welle transportiert Energie mit Lichtgeschwindigkeit. Die Energiedichten von magnetischem und elektrischem Feld sind hierbei gegeben als 1 𝑊𝑒𝑙 = 2 𝜀0 𝐸 2 und 1 𝑊𝑚𝑎𝑔 = 2 µ0 𝐵 2 mit der Dielektrizitätszahl ε0 und der Permeabilitätskonstante µ0. Die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes ist 14 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure 𝑊= Wintersemester 2015/16 1 1 𝜀0 𝐸 2 + µ0 𝐵 2 . 2 2 Mit Hilfe der Maxwellgleichungen kann man zeigen, dass elektrisches und magnetisches Feld über die Beziehung E = c · B miteinander verknüpft sind und dass 𝑐 = 1 𝜀 √ 0 µ0 gilt und wir erhalten somit 𝐵2 𝑊 = 𝜀0 𝐸 = µ0 2 2.1.4 Poynting-Vektor Der sog. Poynting-Vektor S kennzeichnet die Dichte und Richtung des Energietransportes eines elektromagnetischen Feldes. Sein Betrag entspricht der Leistungsdichte (oder Intensität). Wir setzen daher an S= Energie Energie · Geschwindigkeit = = Energiedichte · Geschwindigkeit Zeit · Fläche Volumen und erhalten 𝑆 = 𝜀0 𝐸 2 𝑐 = 𝜀0 𝑐 2 𝐸 𝐵 = 1 𝐸𝐵 µ0 oder als Vektor 𝑆= 1 ⃗ = 𝐸⃗ × 𝐻 ⃗ 𝐸⃗ × 𝐵 µ0 ⃗ . 𝑆 zeigt uns somit die Ausbreitungsrichtung und sein Betrag gibt mit der magnetischen Feldstärke 𝐻 ⃗ stehen paarweise senkrecht aufeinander. uns die Intensität der Strahlung. Beachte: 𝑆, 𝐸⃗ und 𝐵 Quelle: Wikipedia Beispiel: Sonne Für die Sonne gilt S ≈ 1,35 kW/m2. Mit modernen Silicium-Solarzellen können Wirkungsgrade von 20% erreicht werden und somit ca. 250 W pro Quadratmeter gewonnen werden. 2.1.5 Darstellung elektromagnetischer Welle Lichtwellen sind transversale Wellen, 𝐸⃗,⃗⃗⃗𝐵 und 𝑘⃗ stehen im freien Raum paarweise senkrecht ⃗ verknüpft ist, genügt es im Folgenden 𝐸⃗ zu betrachten. Wir aufeinander. Da 𝐸⃗ direkt mit 𝐵 beschreiben eine ebene elektromagnetische Welle (Wellenfronten eben und senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) durch ⃗ · 𝑟 − 𝜔 𝑡 − 𝜙) 𝐸⃗ = 𝐸⃗0 cos(𝑘 15 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 Mit der Frequnez ω und einer zusätzlichen Phase 𝜙. Der Vektor 𝑘⃗ steht senkrecht auf der 2𝜋 Wellenfront und deutet in Ausbreitungsrichtung. Der Betrag von 𝑘⃗ ist durch gegeben und es gilt 𝜆= 𝑐 𝑓 = 2𝜋 𝑐 . 𝜔 𝜆 Betrachten wir eine Welle, die sich in z-Richtung ausbreitet, können wir daher 2𝜋 𝐸⃗ = 𝐸⃗0 cos ( (𝑧 − 𝑐 𝑡) − 𝜙) 𝜆 schreiben. 2.1.6 Superposition und Interferenz Das Superpositionsprinzip besagt, dass sich zwei Wellen ungestört überlagern können, d.h. an einem beliebigen Punkt P werden die Amplituden phasenrichtig addiert. Diese ungestörte Überlagerung von zwei Wellen führt zu Interferenzeffekten. Betrachten wir die Überlagerung zweier Wellen: 𝐸⃗1 = 𝐸⃗10 cos ( 2𝜋 𝑡 𝑟1 (𝑟1 − 𝑐 𝑡) − 𝜙1 ) = 𝐸⃗10 cos (2𝜋 ( − ) − 𝜙1 ) 𝜆 𝑇 𝜆 𝑡 𝑟2 𝐸⃗2 = 𝐸⃗20 cos (2𝜋 ( − ) − 𝜙2 ). 𝑇 𝜆 r1 und r2 beschreiben den Abstand des Punktes P von der jeweiligen Lichtquelle. Die Schwingungsperiode T sei für beide Wellen identisch, wobei 𝑇 = 2𝜋 𝜔 𝜆 = 𝑐 gilt. Die Intensität ist das zeitliche Mittel des Betrages des Poynting-Vektors 𝜀0 𝜀0 𝑡 𝑟1 1 𝜀0 𝐼 = 𝑆 = 𝜀0 𝐸 2 𝑐 = √ 𝐸 2 = √ 𝐸02 cos 2 (2𝜋 ( − ) − 𝜙1 ) = √ 𝐸02 µ0 µ0 𝑇 𝜆 2 µ0 Beachte: 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) = 1 2 Für die Superposition zweier Wellen erhält man nach Addition der elektrischen Felder 𝐼𝑔𝑒𝑠 = √ 𝜀0 (𝐸 + 𝐸2 )2 , µ0 1 und man erhält nach Einsetzen unter Beachtung der Additionstheoreme 𝑟2 − 𝑟1 + 𝜙2 − 𝜙1 )]. 𝜆 𝐼𝑔𝑒𝑠 = 𝐼1 + 𝐼2 + 2√𝐼1 𝐼2 cos [2𝜋 ( Es gilt also 𝐼𝑔𝑒𝑠 ≠ 𝐼1 + 𝐼2 , das zusätzliche Interferenzglied lässt Iges als Funktion des Ortes schwanken. Die Intensität wird maximal für 𝑟2 − 𝑟1 + 𝜙2 − 𝜙1 )] = 1. 𝜆 cos [2𝜋 ( Also wenn 2𝜋 ( 𝑟2 −𝑟1 𝜆 + 𝜙2 − 𝜙1 ) = 𝑁 2𝜋 16 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 Somit erhalten wir unter der Annahme, dass 𝜙1 = 𝜙2 ist, Maxima der Intensität bei einem Gangunterschied von 𝛥 = 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑁 · 𝜆. Minima der Intensität treten auf, wenn der Kosinus im obigen Ausdruck -1 wird und eine analoge Rechnung zeigt, dass das bei einem Gangunterschied von 𝛥 = (2𝑁 + 1) · 𝜆 2 geschieht. Beachte: Bei Interferenzen geht keine Energie verloren. Die Energie wird im Raum umverteilt. Bei Interferenzen in einem Medium muss λ durch λ/n ersetzt werden. 2.1.7 Kohärenz Zwei Lichtsender sind kohärent, wenn sie bei gleicher Frequenz mit einer zeitlich konstanten, festen Phasendifferenz Lichtwellen aussenden. Bei „normalen“ Lichtquellen schwingen die lichtaussendenden Atome zumeist inkohärent, d.h. unabhängig voneinander. Das hat zur Folge, dass sich der Interferenzterm über die Zeit rausmittelt und 𝐼𝑔𝑒𝑠 = 𝐼1 + 𝐼2 gilt. Eine Ausnahme stellt hier der Laser da, dessen Licht kohärent ist. Der maximale Weglängen- oder Laufzeitunterschied, den zwei Lichtstrahlen aus derselben Quelle haben dürfen, damit bei ihrer Überlagerung noch ein stabiles Interferenzmuster entsteht, wird als Kohärenzlänge bezeichnet. Beispiel 1: Atomare Schwingung Atomar schwingende Dipole senden elektromagnetische Wellen aus. Solche Schwingungen haben eine Lebensdauer von ca. 1 ns bis 10 ns. Die in 1 ns zurückgelegte Weglänge des Lichts beläuft sich auf 30 cm und entspricht der Kohärenzlänge Beispiel 2: Fresnelscher Doppelspiegel Die beiden Spiegel M1 und M2 führen zu zwei virtuellen Lichtquellen S1 und S2. Die beiden Wellensysteme sind kohärent und können daher miteinander interferieren. Quelle: Wikipedia 17 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 Beispiel 3: Michelson-Interferometer Quelle: Georg-August-Universität Göttingen In einem Interferometer wird eine Lichtwelle in zwei Teile aufgeteilt. Die beiden Wellen durchlaufen dann unterschiedlich lange Strecken oder Medien, in denen die Laufzeit verschieden ist. Dadurch ergibt sich eine Phasenverschiebung zwischen den beiden Wellen. Werden die Wellen anschließend wieder zusammengeführt, kommt es zu Interferenz. Beim Michelson-Interferometer passiert die Aufteilung und das Wiederzusammenführen des Lichtstrahls mittels eines halbdurchlässigen Spiegels. Verändert man nun die optische Weglänge eines Armes, z. B. durch verschieben eines der beiden Spiegels oder durch das Einbringen eines Mediums mit abweichendem Brechungsindex, so verschieben sich die Phasen der beiden Wellen gegeneinander. Sind sie in Phase, so addiert sich die Amplitude (𝛥 = 𝑛 · 𝜆, konstruktive Interferenz), sind sie gegenphasig, so löschen sie sich gegenseitig aus (𝛥 = (2𝑛+1) 2 · 𝜆, destruktive Interferenz). Über eine Intensitätsmessung am Detektor kann man so bereits kleinste Änderungen im Gangunterschied der beiden Wellen messen. So kann z.B. die Wellenlänge oder der Brechungsindex des eingebrachten Mediums bestimmt werden. Ist das Licht aus der Quelle leicht divergent oder wird z.B. durch ein Linsensystem künstlich aufgeweitet, so kann man auf dem Schirm Interferenzringe beobachten. 18 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 Beispiel 4: Interferenz an dünnen Schichten Die Farben, die man in Seifenblasen und dünnen Ölschichten auf dem Wasser beobachten kann, werden von Interferenzeffekten verursacht. Ein Teil des Lichts wird an der Oberfläche der Schicht reflektiert. Ein anderer Teil durchdringt die Schicht und wird an ihrer Unterseite reflektiert, passiert die Schicht ein weiteres mal um an ihrer Oberfläche wieder auszutreten. Die Wegdifferenz der beiden Strahlen führt zu einem Phasenunterschied. Ist dieser ein Vielfaches der Wellenlänge, tritt 1 konstruktive Interferenz auf, bei einem Phasenunterschied von 𝑛 + 2 destruktive Interferenz. Beachte: Bei der Reflexion einer elektromagnetischen Welle am optisch dichteren Medium tritt ein Phasensprung um π auf. Beispiel 5: Newtonsche Ringe Quelle: Wikipedia Hell-dunkel-Zonen oder Interferenzfarben, die durch Interferenz am Luftspalt zwischen zwei refklektierenden, nahezu parallelen Oberflächen entstehen, nennt man Newtonsche Ringe. In Reflexion interferieren die beim Übergang Linse-Luft reflektierte mit der hier transmittierten und 𝜆 beim Übergang Luft-Glasplatte reflektierten Welle. Ist 𝑠 = 2𝑑 + 2 ein ungerades vielfaches der halben Wellenlänge löschen sich diese Wellenlängen aus. Man kann zeigen, dass für den Radius des k-ten Rings 𝑟 = √𝑘 λ R gilt. 2.1.8 Polarisation von Licht ⃗ ⊥ 𝑘⃗ . Ist das elektrische Feld Elektromagneitsche Wellen sind Transversalwellen, d.h. 𝐸⃗ ⊥ 𝑘⃗ bzw. 𝐵 stets nur in eine Richtung polarisiert, so spricht man von linear-polarisiertem Licht. Die Richtung von 𝐸⃗ heißt Polarisationrichtung und die von 𝑘⃗ und 𝐸⃗ aufgespannte Ebene heißt Polarisationsebene. 19 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 Quelle: www.ipf.uni-stuttgart.de Zum Interferieren lassen sich nur Wellen bzw. deren Anteile mit gleicher Polarisation bringen. Polarisation kann linear, elliptisch oder zirkular sein. Die verschiedenen Arten der Polarisation erhält man durch Überlagerung verschiedener Polarisationen. So ist zirkulare Polarisation die Summe einer in x- und einer in y-Richtung polarisierten Welle, die sich in z-Richtung ausbreiten, die gleiche Amplitude und einen Phasenwinkel von π/2 haben. Bei unterschiedlichen Amplituden ergibt sich elliptisch polarisiertes Licht. Beispiel 1: Brewster-Winkel Quelle: TU Dortmund Eine unpolarisierte Welle lässt sich in zwei senkrecht zueinander polarisierte Anteile zerlegen. Die Vektoren der elektrischen Feldstärke seien hierbei senkrecht und parallel zur Einfallsebene. Die Welle regt die Elektronen des Materials zum Schwingen an, wodurch ein Ensemble von atomaren Dipolen entsteht. Diese können nur in Richtung des reflektierten und des gebrochenen Strahls konstruktiv interferieren. Vom Hertzschen Dipol ist bekannt, dass die Intensität des parallel zur Dipolachse abgestrahlten Lichts 0 ist. Beim Brewsterwinkel bilden reflektierte und transmittierte Welle einen 90° Winkel und das reflektierte Licht ist somit vollständig parallel zur Oberfläche bzw. senkrecht zur Einfallsebene polarisiert. Aus dem Snelliuschen Brechungsgesetz folgt, dass 𝛩𝐵 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ( 𝑛2 ) 𝑛1 Beispiel 2: Hertzsches Gitter Mit einem Hertzschen Gitter kann man elektromagnetische Wellen polarisieren. Es besteht aus gut leitenden Metalldrähten und ist für Wellen durchlässig, deren elektrisches Feld senkrecht zu den Drähten schwingt, wogegen parallel polarisiertes Licht reflektiert wird. Schräg oder zirkular polarisierte Wellen werden in eine senkrechte und eine parallele Komponente getrennt. Der Drahtgitterpolarisator absorbiert keine Energie. 20 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 Beispiel 3: 3D-Brille im Kino Zwei separate Bilder (Perspektiven) für das linke und das rechte Auge haben werden an die Leinwand projiziert. Die Bilder sind unterschiedlich polarisiert. Mit Polarisationsfiltern in einer 3D Brille wird sichergestellt, dass das jeweilige Auge nur das für es vorgesehene Bild sehen kann. Unser Gehirn erzeugt daraus einen räumlichen Eindruck. 2.1.9 Fresnelsche Formeln Die fresnelschen Formeln beschreiben quantitativ die Reflexion und Transmission einer ebenen, elektromagnetischen Welle an einer Grenzfläche. Hierbei geben Reflexions- und Transmissionsfaktor das Verhältnis der reflektierten Amplitude Er bzw. der transmittierten Amplitude Et zu jener der einfallenden Welle Ee an. Die Winkel α und β sind über das Brechungsgesetz (𝑛1 sin 𝛼 = 𝑛2 sin 𝛽) miteinander verknüpft. Für den häufig auftretenden Spezialfall, dass µr1 = µr2 (z.B. µr1 = µr2 = 1), erhält man folgende vereinfachte fresnelsche Formeln. Parallel zur Einfallsebene (Ebene die von einfallendem Strahl und Flächennormale aufgespannt wird) polarisiertes Licht: 𝐸𝑟 𝑛2 cos 𝛼 − 𝑛1 cos 𝛽 𝑅|| = ( ) = 𝐸𝑒 || 𝑛2 cos 𝛼 + 𝑛1 cos 𝛽 𝑇|| = ( 𝐸𝑡 2 𝑛1 cos 𝛼 ) = 𝐸𝑒 || 𝑛2 cos 𝛼 + 𝑛1 cos 𝛽 Senkrecht zur Einfallsebene polarisiertes Licht: 𝑅⊥ = ( 𝐸𝑟 𝑛1 cos 𝛼 − 𝑛2 cos 𝛽 ) = 𝐸𝑒 ⊥| 𝑛1 cos 𝛼 + 𝑛2 cos 𝛽 𝑇⊥ = ( 𝐸𝑡 2 𝑛1 cos 𝛼 ) = 𝐸𝑒 ⊥ 𝑛1 cos 𝛼 + 𝑛2 cos 𝛽 2.1.10 Dopplereffekt Der Dopplereffekt ist die zeitliche Stauchung bzw. Dehnung eines Signals bei Veränderung des Abstands zwischen Sender und Empfänger während der Dauer des Signals. Für eine bewegte Quelle und einen ruhenden Beobachter, wie in obiger Darstellung des akustische Dopplereffekts, gilt: 𝜆𝐸 = 𝜆𝑠 − 21 𝑣𝑠 𝑓𝑠 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 Im Falle einer elektromagnetischen Welle müssen relativistische Effekte berücksichtigt werden und man erhält 𝑓𝐵 = 𝑓𝑠 √ 𝑐+𝑣 𝑐−𝑣 Beachte: v > 0 bei Verringerungen des Abstands zwischen Quelle und Beobachter. 2.2 Beugung 2.2.1 Huygensches Prinzip Das Huygensche Prinzip besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront der Ausgangspunkt einer neuen Welle, der sog. Elementarwelle, ist. Aus der Überlagerung sämtlicher Wellen ergibt sich die neue Wellenfront. Durch die Kugelform der Elementarwelle ergibt sich auch eine rücklaufende Welle. Quelle: Wikipedia 2.2.2 Beugung am Einfachspalt Von einem Spalt, der schmaler ist als die Wellenlänge, geht eine ziemlich einheitliche Kugelwelle aus, wogegen sich bei einem breiteren Spalt die einzelnen Wellen zu Beugungsmaxima und –minima überlagern. Je breiter der Spalt ist, umso mehr Maxima und Minima erscheinen. Zur Berechnung der Intensitätsverteilung werden viele parallele Strahlen betrachtet und es gibt für verschieden Winkel konstruktive und destruktive Interferenz. Quelle: web.physik.rwth-aachen.de 22 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 Bedingung für Minima: 𝑎 sin 𝛩 = 𝑛 · 𝜆 1 Bedingung für Maxima: 𝑎 sin 𝛩 = (𝑛 + ) · 𝜆 2 Quelle: Giancoli 2.2.3 Beugung am Doppelspalt Quelle: Wikipedia Beim Doppelspaltversuch lässt man Licht aus einer Quelle mit sich selbst interferieren. Die beiden interferierenden Strahlen müssen eine ausreichende räumliche Kohärenz zueinander haben. Beide Spalte sind der Ausgangspunkt einer Kugelwelle. Für den Gangunterschied 𝛥 gilt bei ausreichend großem Abstand zum Schirm: 𝛥 = 𝑎 sin 𝛼 Bedingung für Maxima: 𝛥 = 𝑛 · 𝜆 1 Bedingung für Minima: 𝛥 = (𝑛 + ) · 𝜆 2 2.2.4 Beugung am Gitter Periodische Strukturen zur Beugung von Licht werden optische Gitter (auch Mehrfachspalt, Beugungsgitter) genannt. Die sog. Gitterkonstante gibt die Periode des Gitters vor. Bei Bestrahlung mit Licht ausreichender Kohärenz erzeugt das Gitter eine Serie von Linien konstruktiver Interferenz. 23 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 Quelle: Wikipedia Für Transmissionsgitter gilt in Analogie zum Doppelspalt: 𝛥 = 𝑛 · 𝜆 = 𝑔 sin 𝜑𝑛 Hierbei treten die Hauptmaxima bei Gittern mit dem gleichen Spaltabstand (gleicher Gitterkonsante), unabhängig von der Spaltzahl (also auch beim Doppelspalt) unter den selben Winkeln auf. Sind an der Beugung N Gitterelemente beteiligt, so ergeben sich zwischen zwei Hauptmaxima N-1 Minima, daher werden die Hauptmaxima mit zunehmendem N schärfer. Quelle: lp.uni-goettingen.de Nach dem Rayleigh-Kriterium gilt für das Auflösungsvermögen eines Gitters 𝜆 = 𝑛𝑁 𝛥𝜆 Wobei n die Ordnung des Maximums und N die Anzahl der ausgeleuchteten Linien ist. 24 Ferienkurs zu Physik für Elektroingenieure Wintersemester 2015/16 Hinweis: Das Rayleigh Kriterum besagt, dass zwei Lichtquellen voneinander getrennt wahrgenommen werden können, wenn ihr Abstand größer dem Absand des ersten Minimums vom Zentrum des Beugungsmusters ist Quelle: Wikipedia Das Bild zeigt die Überlagerung zweier nach Rayleigh gerade noch auflösbarer Beugungsbilder. 2.2.5 Röntgenbeugung Quelle: Wikipedia Röntgenbeugung wird in der Materialphysik, der Kristallographie, der Chemie und der Biochemie eingesetzt, um die Struktur von Kristallen zu untersuchen. Konstruktive Interferenz tritt auf, wenn die Bragg-Bedingung erfüllt ist: 𝑚 · 𝜆 = 2𝑑 sin 𝛩 25
