Wechselstrom und Netzwerke

Institut für Nachrichtentechnik
Grundlagen der Elektrotechnik für Maschinenbauingenieure
Versuch V4
Wechselstrom und Netzwerke
Inhaltsverzeichnis
1 Elektrische Netzwerke
1
1.1
Netzwerkelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Kirchhoffsche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Zweipolige Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4
Netzwerkfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Komplexe Wechselstromrechnung
12
2.1
Rechenregeln und Darstellungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2
Harmonische Schwingung und komplexe Schwingung . . . . . . . . . . . . . 13
2.3
Darstellung einer komplexen Netzwerkfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Elektrische Leistungsberechnung
18
3.1
Leistung bei Wechselgrößen
3.2
Komplexe Leistungsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3
Leistung bei Gleichgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Geräte-Kurzbeschreibung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
22
4.1
Signalgenerator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2
Multimeter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3
Versuchsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Versuchsdurchführung
25
Versuch 1: Messungen an Spannungs- und Stromquelle . . . . . . . . . . . . . . . 26
Versuch 2: Messungen an einem RC-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Versuch 3: Messungen an einem RLC-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Literaturverzeichnis
29
1
KAPITEL 1. ELEKTRISCHE NETZWERKE
Kapitel 1
Elektrische Netzwerke
1.1
Netzwerkelemente
Zur Beschreibung von Bausteinen realer elektrischer Schaltungen werden sogenannte
Netzwerkelemente eingeführt. Dies sind idealisierte Modelle, die einfachen mathematischen Beziehungen zwischen den auftretenden Größen (Spannungen, Ströme, magnetische
Flüsse) gehorchen. Sofern sich die elektromagnetischen Feldgrößen zeitlich hinreichend
langsam ändern, spricht man auch von konzentrierten Netzwerkelementen, da in diesem
Fall die Ortsvariable zur mathematischen Beschreibung nicht benötigt wird.
Es folgen die Definitionen der wichtigsten konzentrierten Netzwerkelemente, wobei die in
Bild 1.1 dargestellten Bezugsrichtungen für die Spannung u(t) und den Strom i(t) gewählt
werden.
Z
i(t)
u(t)
Abbildung 1.1: Netzwerkelement mit Strom i(t) und Klemmenspannung u(t)
u(t) und i(t) sind in Pfeilrichtung stets positiv zu zählen. Diese Zählpfeile sind bei der
Analyse von Netzwerken willkürlich anzusetzen; man vereinbart jedoch, Zählpfeile für
Spannungen stets vom höheren zum niedrigeren Potential gerichtet anzusetzen (Flußrichtung der positiven Ladungsträger). Die Richtung des Strompfeiles folgt aus der dem
Netzwerkelement zugehörigen mathematischen Beschreibung.
1.1.1
Ohmscher Widerstand
Bild 1.2 zeigt das Symbol des ohmschen Widerstandes R zusammen mit den Bezugsrichtungen der elektrischen Größen.
2
KAPITEL 1. ELEKTRISCHE NETZWERKE
R
iR(t)
uR(t)
Abbildung 1.2: Ohmscher Widerstand
Die mathematische Beziehung zwischen uR (t) und iR (t) an einem ohmschen Widerstand
ist durch das ohmsche Gesetz gegeben:
uR (t) = R · iR (t)
(1.1)
Die Einheit des ohmschen Widerstandes ist V/A = Ω [Ohm]. Eine gleichwertige Definition
stellt die Gleichung (1.2) dar, in der G für den ohmschen Leitwert mit der Einheit
A/V = Ω−1 = S [Siemens] steht.
iR (t) = G · uR (t)
(1.2)
Hieraus folgt die Beziehung R = 1/G.
1.1.2
Kapazität
Bild 1.3 zeigt das Symbol der Kapazität C zusammen mit den Bezugsrichtungen der
elektrischen Größen.
C
iC(t)
uC(t)
Abbildung 1.3: Kapazität
Definiert wird die Kapazität C (Einheit As/V = F [Farad]) durch folgende Gleichung:
iC (t) = C ·
1.1.3
duC (t)
dt
(1.3)
Induktivität
Bild 1.4 zeigt das Symbol der Induktivität L zusammen mit den Bezugsrichtungen der
elektrischen Größen.
Die Induktivität L (Einheit Vs/A = H [Henry]) wird folgendermaßen definiert:
uL (t) = L ·
diL (t)
dt
(1.4)
3
KAPITEL 1. ELEKTRISCHE NETZWERKE
L
iL(t)
uL(t)
Abbildung 1.4: Induktivität
1.1.4
Quellen
Die Quellen (Spannungsquelle bzw. Stromquelle) zählen gegenüber den bisher behandelten
passiven zu den aktiven Netzwerkelementen.
Spannungsquelle
Bild 1.5 zeigt das Ersatzschaltbild einer Spannungsquelle mit Innenwiderstand Ri und
angeschlossenem Verbraucherwiderstand RV .
Ri
uq
i
i
u
u
Rv
i
Abbildung 1.5: Spannungsquelle mit Verbraucher
Folgende Größen einer Spannungsquelle können definiert werden:
a) Urspannung uq der Spannungsquelle
uq ist die sogenannte Urspannung der Spannungsquelle, die lastunabhängig ist.
uq = constLast
b) Leerlaufspannung uL der Spannungsquelle
Bei unbelasteter Quelle (RV → ∞) gilt:
i = 0 → Ri · i = 0 → uL = u|i=0 = uq
In Rechnungen kann die Urspannung uq der Spannungsquelle stets durch deren
Leerlaufspannung uL ersetzt werden.
4
KAPITEL 1. ELEKTRISCHE NETZWERKE
c) Klemmenspannung u der Spannungsquelle
Mit uq = uL gilt:
u = uL − Ri · i
(1.5)
Die Klemmenspannung u ist demnach die Spannung, die an den äußeren Klemmen
der Spannungsquelle meßbar ist.
d) Klemmenstrom i der Spannungsquelle
i=
uL − u
Ri
(1.6)
e) Kurzschlußstrom iK der Spannungsquelle
Bei kurzgeschlossener Quelle gilt:
RV
iK
= 0 → u = 0
uL
= i|u=0 =
Ri
(1.7)
f) Innerer Widerstand (Innenwiderstand) Ri der Spannungsquelle
Aus Gleichung 1.7 folgt:
Ri =
uL
Leerlaufspannung
=
iK
Kurzschlußstrom
g) Innerer Widerstand (Innenwiderstand) Ri der idealen Spannungsquelle
Bei kurzgeschlossener idealer Spannungsquelle gilt:
iK = lim i → ∞
Rv →0
Damit folgt für den Innenwiderstand Ri der idealen Spannungsquelle:
uL
=0
iK →∞ iK
Ri = lim
Stromquelle
Bild 1.6 zeigt das Ersatzschaltbild einer Stromquelle mit Innenwiderstand Ri und angeschlossenem Verbraucherwiderstand RV .
Analog zu den Erläuterungen bei der Spannungsquelle gilt:
a) Urstrom iq der Stromquelle
iq = constLast (lastunabhängig)
5
KAPITEL 1. ELEKTRISCHE NETZWERKE
iq
i
Ri
u
Rv
Abbildung 1.6: Stromquelle mit Verbraucher
b) Kurzschlußstrom iK der Stromquelle
Bei kurzgeschlossener Quelle gilt:
RV
= 0 → u = 0
Ri
(Stromteilerformel siehe Gleichung (1.12))
i = iq ·
Ri + RV
→ iK = i|RV =0 = iq
c) Klemmenstrom i der Stromquelle
Mit iq = iK gilt:
u
i = iK −
Ri
(1.8)
d) Klemmenspannung u der Stromquelle
u = Ri · (iK − i)
e) Leerlaufspannung uL der Stromquelle
Mit RV → ∞ gilt i = 0
uL = u|i=0 = Ri · iK
(1.9)
(1.10)
f) Innenwiderstand Ri der Stromquelle
Aus Gleichung (1.10) folgt
Ri =
Leerlaufspannung
uL
=
iK
Kurzschlußstrom
g) Innenwiderstand Ri der idealen Stromquelle
Mit RV → ∞, i = constLast gilt für die Leerlaufspannung der idealen Stromquelle:
uL = lim u → ∞
RV →∞
Damit folgt für den Innenwiderstand Ri der idealen Stromquelle:
Ri = u lim
→∞
L
uL
=∞
iK
6
KAPITEL 1. ELEKTRISCHE NETZWERKE
1.2
Kirchhoffsche Gesetze
Ein elektrisches Netzwerk besteht aus einer beliebigen Zusammenschaltung der beschriebenen Elemente. Die Verbindungsstelle der Klemmen zweier oder mehrerer Netzwerkelemente wird als Knoten bezeichnet. Ein geschlossener Weg (topologisch betrachtet) in
einem solchen Netzwerk heißt Masche.
1.2.1
Erstes Kirchhoffsches Gesetz (Knotenregel)
In einem beliebigen Knoten mit den Strömen i1 (t), i2 (t), . . . , in (t) gilt für jeden Zeitpunkt:
n
X
(±iµ (t)) = 0
µ=1
Dabei ist in der Klammer das Pluszeichen zu wählen, falls der betreffende Strom auf den
Knoten hingezählt wird, andernfalls das Minuszeichen (Vereinbarung!). Bild 1.7 soll diesen
Sachverhalt verdeutlichen.
Die Anwendung des Gesetzes liefert die Gleichung: i1 (t) − i2 (t) + i3 (t) − i4 (t) − i5 (t) = 0
2
1
3
5
4
Abbildung 1.7: Netzwerkknoten mit 5 Strömen
1.2.2
Zweites Kirchhoffsches Gesetz (Maschenregel)
In einer beliebigen Masche mit den Spannungen u1 (t), u2 (t), . . . , un (t) gilt für jeden
Zeitpunkt:
n
X
(±uµ (t)) = 0
µ=1
Dabei ist in der Klammer das Pluszeichen zu wählen, falls die Zählrichtung der betreffenden Spannung mit dem Uhrzeigersinn übereinstimmt, andernfalls das Minuszeichen
(Vereinbarung!). Bild 1.8 soll diesen Sachverhalt verdeutlichen.
7
KAPITEL 1. ELEKTRISCHE NETZWERKE
Die Anwendung der Maschenregel liefert die Gleichung: −u1 (t) + u2 (t) − u3 (t) − u4 (t) = 0
Bei der Analyse von Netzwerken zeichnet man zunächst die Zählpfeile unter Berücksichtigung des Quellen-Verbrauchersystems für jede Quelle und für jeden Verbraucher ein
und berechnet mit dieser Bepfeilung die Schaltung. Ergeben sich dabei Spannungen oder
Ströme mit umgekehrtem Vorzeichen, so sind die entsprechenden Pfeile umzukehren.
u 1 (t)
L
u 4 (t)
C
C
u 2(t)
R
u 3(t)
Abbildung 1.8: Netzwerkmasche mit 4 Spannungen
1.3
Zweipolige Netzwerke
Von besonderer Bedeutung sind Netzwerke, die ausschließlich über 1 Klemmenpaar von
außen betrieben werden. Derartige Netzwerke heißen Zweipole (Bild 1.9).
i(t)
u(t)
i(t)
Abbildung 1.9: Zweipoliges Netzwerk
Zwischen den Größen u = u(t) und i = i(t) besteht i.a. ein komplizierterer Zusammenhang
als zwischen Strom und Spannung bei den Netzwerkelementen. Die Analyse spezieller zweipoliger Netzwerke mittels der Kirchhoffschen Gesetze führt im folgenden auf die wichtigen
8
KAPITEL 1. ELEKTRISCHE NETZWERKE
R1
i1
u1
R2
Rm
i2
im
um
u2
u0
Abbildung 1.10: Serienschaltung ohmscher Widerstaände
Begriffe Serien- und Parallelschaltung sowie auf die Spannungs- und Stromteilerschaltung.
Der Einfachheit wegen findet als Netzwerkelement des zweipoligen Netzwerkes ausschließlich der ohmsche Widerstand R bzw. der ohmsche Leitwert G Verwendung.
1.3.1
Serienschaltung
Die Maschenregel liefert nach Bild 1.10 u0 = u1 + u2 + u3 + . . . + um .
Die Knotenregel liefert i1 = i2 = i3 = . . . = im = i.
Einsetzen in Gleichung (1.1) ergibt:
u0 = R1 · i + R2 · i + R3 · i + . . . + Rm · i = (R1 + R2 + R3 + . . . + Rm ) · i
= Rres · i
mit
Rres =
m
X
Rk .
k=1
Die Serienschaltung von Widerständen läßt sich demnach durch einen einzigen Widerstand
ersetzen, dessen Wert der Summe aller in Serie geschalteten Widerstände entspricht.
1.3.2
Parallelschaltung
Die Maschenregel liefert nach Bild 1.11 u1 = u2 = u3 = . . . = um = u0 .
Die Knotenregel liefert i = i1 + i2 + i3 + . . . + im .
Einsetzen in Gleichung (1.1) ergibt:
i=
wobei
u0
u0
u0
u0
1
1
1
1
1
+
+
+ ...+
= u0 (
+
+
+ ...+
) = u0
,
R1 R2 R3
Rm
R1 R2 R3
Rm
Rres
m
m
X
X
1
1
=
oder Gres =
Gk .
Rres k=1 Rk
k=1
9
KAPITEL 1. ELEKTRISCHE NETZWERKE
i
i1
u0
u1
im
i2
R1
u2
um
R2
Rm
Abbildung 1.11: Parallelschaltung von Impedanzen
Die Parallelschaltung ohmscher Widerstände läßt sich demnach durch einen einzigen
Widerstand ersetzen, dessen Kehrwert durch die Summe der Kehrwerte aller parallel
geschalteten Widerstände gegeben ist, bzw. durch einen Leitwert, dessen Wert der Summe
aller parallel geschalteten Leitwerte entspricht.
1.3.3
Spannungsteilerschaltung
i
i1
R1
u1
u0
i2
R2
u2
Abbildung 1.12: Spannungsteilerschaltung
Die Anwendung der Knotenregel ergibt nach Bild 1.12: i = i1 = i2 .
Die Anwendung der Maschenregel ergibt: u0 = u1 + u2 .
wegen u1 = R1 · i und u2 = R2 · i folgt daraus:
u0 = R1 · i + R2 · i = (R1 + R2 ) · i
Schließlich folgt hieraus die Beziehung:
R2
u2
=
u0
R1 + R2
(1.11)
KAPITEL 1. ELEKTRISCHE NETZWERKE
10
Gleichung (1.11) wird als Spannungsteilerformel bezeichnet.
1.3.4
Stromteilerschaltung
Die Anwendung der Knotenregel ergibt nach Bild 1.13: i = i1 + i2
Die Anwendung der Maschenregel ergibt: u0 = u1 = u2
Mit i1 = G1 · u1 und i2 = G2 · u2 folgt daraus:
i = G1 · u1 + G2 · u2 = (G1 + G2 )u0
Hieraus leitet man die Stromteilerformel ab:
i2
R1
G2
=
=
i
G1 + G2
R1 + R2
i1
(1.12)
u1
G1
i
i2
u0
u2
G2
Abbildung 1.13: Stromteilerschaltung
1.4
Netzwerkfunktionen
In der Regel interessiert bei elektrischen Netzwerken das Übertragungsverhalten, d.h.
die Reaktion des Netzwerkes auf Erregung mit elektrischen Größen. Als Reaktion oder
Antwort auf solch eine Erregung kommen beispielsweise Ströme durch Netzwerkelemente
oder Spannungen zwischen Netzwerkknoten in Frage.
Eine Netzwerkfunktion H ist definiert als der Quotient einer Antwortgröße Xa und einer
Erregungsgröße Xe unter Festlegung des beiderseitigen Abschlusses:
H=
Ze - Abschluß am Eingangstor
Za - Abschluß am Ausgangstor
Xa
|Z ,Z
Xe e a
KAPITEL 1. ELEKTRISCHE NETZWERKE
11
Ist das Ausgangstor mit dem Eingangstor identisch, wird die Netzwerkfunktion Immitanz
genannt, im anderen Fall Übertragungsfunktion. Die Immitanzen lassen sich noch unterteilen in Impedanzen Z und Admittanzen Y , je nachdem, ob die erregende Größe ein
Strom oder eine Spannung ist.
Z(jω) =
U(jω)
I(jω)
, Y (jω) =
I(jω)
U(jω)
Hier sind U(jω) und I(jω) die komplexen Amplituden, die in Abschnitt 2.2 definiert
werden. Gleichung (1.1) beispielsweise definiert am ohmschen Widerstand die Impedanz
R = u/i, wobei i der erregende Strom und u die daraus resultierende Spannung bedeutet.
In diesem speziellen (reellen) Fall ist die Impedanz Z mit dem ohmschen Widerstand R
identisch.
Gleichung (1.2) definiert am ohmschen Widerstand die Admittanz G = i/u, wobei u die
erregende Spannung und i der daraus resultierende Strom bedeutet. In diesem Fall ist die
Admittanz Y mit dem ohmschen Leitwert G identisch.
Als Beispiel zur Definition einer Übertragungsfunktion soll die Spannungsteilerschaltung
aus Kapitel 1.3.3 dienen. Dort wurde der Quotient aus der Spannung u2 , die am Widerstand R2 abfällt und der Eingangsspannung u0 gebildet. Es handelt sich somit um eine
Spannungsübertragungsfunktion:
H=
R2
U2 (jω)
=
U0 (jω)
R1 + R2
(1.13)
KAPITEL 2. KOMPLEXE WECHSELSTROMRECHNUNG
12
Kapitel 2
Komplexe Wechselstromrechnung
Elektrische Schaltungen bei Wechselstrombetrieb werden fast ausschließlich mit der komplexen Wechselstromrechnung behandelt. Dabei wird angenommen, daß die Erregung des
Netzwerkes rein sinusförmig verläuft. Ermittelt wird das Verhalten des Netzwerkes im
stationären Zustand, d.h. nach Abklingen der Einschwingvorgänge. Um Verwechslungen
√
mit dem Symbol des elektrischen Stromes i zu vermeiden, steht für die Zahl −1 statt des
in der Mathematik üblichen ’i’ das ’j’.
2.1
2.1.1
Rechenregeln und Darstellungsformen
Komplexe Ebene
Bild 2.1 zeigt die Darstellung einer komplexen Zahl z in der komplexen Ebene. Komplexe
Im{ z},y
z
y
| z|
Re{z},x
x
Abbildung 2.1: Komplexe Zahlenebene
Größen werden im folgenden durch Unterstreichen gekennzeichnet. In Bild 2.1 lassen sich
13
KAPITEL 2. KOMPLEXE WECHSELSTROMRECHNUNG
unmittelbar die Größen für die kartesische Darstellung komplexer Zahlen ablesen.
Komplexe Größe:
Betrag:
Konjugiert komplexe Größe:
Realteil:
Imaginärteil:
z = x + jy
√
|z| = x2 + y 2
z ∗ = x − jy
Re{z} = x = |z| · cos α
Im{z} = y = |z| · sin α
Im{z}
Winkel: α = arctan(y/x) = arctan
Re{z}
2.1.2
(2.1)
Polardarstellung
Mittels der Eulerschen Formel
ejα = cos α + j sin α
folgt aus Gleichung (2.1):
jα
z = |z| · e
z
∗
=
−jα
= |z| · e
q
=
x2
q
+
x2
y2
+
y
j arctan( )
x
·e
y2
y
−j arctan( )
x
·e
Mit den folgenden Umrechnungsformeln lassen sich für eine gegebene komplexe Zahl leicht
Betrag und Winkel (Phase) ableiten:
z=
z=
2.2
1
,
C + jD
|z| = √
A + jB
,
C + jD
s
|z| =
1
,
C 2 + D2
α = − arctan(
D
)
C
(2.2)
A2
C2
B2
+
,
+ D2
α = arctan(
BC − AD
)
AC + BD
Harmonische Schwingung und komplexe Schwingung
Eine harmonische Schwingung ist als Projektion eines mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω umlaufenden Punktes auf die x-Achse (Kosinusschwingung) bzw. auf die y-Achse
(Sinusschwingung) darstellbar:
√
x = x(t) = x̂ cos(ωt + ϕ) = Xef f · 2 · cos(ωt + ϕ)
√
y = y(t) = ŷ sin(ωt + ϕ) = Yef f · 2 · sin(ωt + ϕ)
(2.3)
KAPITEL 2. KOMPLEXE WECHSELSTROMRECHNUNG
2.2.1
14
Kenngrößen der harmonischen Schwingung
x(t):
x̂:
t:
ω:
f:
T = 1/f :
ϕ:
Xef f :
Momentanwert der Schwingung
Scheitelwert oder Amplitude
Zeit in [sec]
Kreisfrequenz in [1/sec], wobei gilt: ω = 2π · f = 2π
T
Frequenz in [Hz]
Periodendauer in [sec]
Nullphasenwinkel
Effektivwert der Schwingung
Eine komplexe Schwingung ergibt sich, wenn der komplexe Zeiger z in Bild 2.1 mit
konstanter Winkelgeschwindigkeit ω im mathematisch positiven Sinn um den Nullpunkt
rotiert.
Es ist
z(t) = |z| · (cos[ωt + ϕ] + j sin[ωt + ϕ])
und mit ẑ = |z|
2.2.2
z(t) = ẑ · ej(ωt+ϕ) = ẑ · ejϕ · ejωt = ẑ · ejωt
(2.4)
Kenngrößen der komplexen Schwingung
z(t) = ẑ · ejωt :
ẑ:
ẑ = ẑ · ejϕ√
:
Z ef f = ẑ/ 2:
Momentanwert der komplexen Schwingung
Reelle Amplitude, Betrag
Komplexe Amplitude
Komplexer Effektivwert
Mit ω = 2π/T folgt auf Gleichung (2.4): z(t = 0; T ; 2T ; 3T ; . . .) = ẑ.
Die komplexe Amplitude ist also die Lage des Zeigers z in der komplexen Ebene zu den
Zeitpunkten t = 0, T, 2T, . . .
Ein Vergleich von Gleichung (2.3) und Gleichung (2.4) ergibt:
x(t) = Re{z(t)},
y(t) = Im{z(t)},
z(t) = x(t) + jy(t)
Die komplexe Schwingung ist demnach die Addition der senkrecht aufeinanderstehenden
harmonischen Schwingungen in der komplexen Ebene.
Falls als Erregungsgröße eines elektrischen Netzwerkes eine Sinusfunktion [Cosinusfunktion] mit entsprechendem ϕ dient, läßt sich die Antwortgröße demnach im Imaginärteil
[Realteil] der komplexen Antwortfunktion finden.
Ein großer Vorteil der komplexen Wechselstromrechnung liegt darin, daß sich die Exponentialfunktion bei Differential- und Integraloperationen selbst reproduziert. Dies soll an
dem folgenden Beispiel verdeutlicht werden.
Beispiel: Serienschaltung einer Induktivität mit ohmschen Widerstand
15
KAPITEL 2. KOMPLEXE WECHSELSTROMRECHNUNG
i(t)
Z?
L
uL(t)
R
uR(t)
u(t)
Abbildung 2.2: Serienschaltung einer Induktivität mit ohmschem Widerstand
Gesucht sei die Impedanz Z des zweipoligen Netzwerkes, das in Bild 2.2 gegeben ist.
Außerdem sei die Phasenlage der einzelnen Spannungen zu untersuchen.
Die Analyse der Schaltung ergibt (Gleichung (1.1), (1.4)):
u(t) = uR (t) + uL (t) = R · i(t) + L ·
di(t)
dt
i(t) = ı̂ · ej(ωt+ϕi )
u(t) = û · ej(ωt+ϕu ) = R · ı̂ej(ωt+ϕi ) + L · ı̂ ·
dej(ωt+ϕi )
dt
û · ejϕu · ejωt = R · ı̂ · ejϕi · ejωt + L · ı̂ · jω · ejϕi · ejωt
û · ejϕu = (R + jωL) · ı̂ · ejϕi
û = (RjωL) · ı̂
û
Z =
= R + jωL
ı̂
(2.5)
Allgemein läßt sich zeigen: Falls ein elektrisches Netzwerk mit einer harmonischen Schwingung erregt wird, ist die Antwortgröße wiederum eine harmonische Schwingung derselben
Frequenz. Man beschränkt daher die Rechnung auf die Verknüpfung der komplexen Amplituden.
Das Ergebnis (2.5) läßt sich anschaulich als Zeigerdiagramm in der komplexen Ebene
darstellen (Bild 2.3).
Ausgangspunkt bei der Konstruktion des Zeigerdiagramms ist die Spannung u(t) am
gesamten Zweipol, die dem Strom i(t) um den Winkel ϕ = ϕu − ϕi vorauseilt. Der Zeiger
dieser Spannung kann als Bezugszeiger benutzt werden (ϕu = 0◦ ). Die Spannung am
ohmschen Widerstand uR (t) ist in Phase mit dem Strom i(t), während die Spannung an
der Induktivität uL (t) dem Strom i(t) um ϕ = 90◦ vorauseilt. Die Zeiger der Spannungen
uR (t) und uL (t) können geometrisch mit Hilfe des Satzes von Thales konstruiert werden.
Es gilt allgemein das ohmsche Gesetz in komplexer Form:
Z=
û
= |Z| · ej(ϕu −ϕi ) ,
ı̂
Y =
ı̂
= |Y | · ej(ϕi −ϕu )
û
(2.6)
KAPITEL 2. KOMPLEXE WECHSELSTROMRECHNUNG
16
u
i
u
uL
uR
i
Abbildung 2.3: Zeigerdiagramm
wobei
die Impedanz des ohmschen Widerstandes durch Z R = R,
die Admittanz des ohmschen Widerstandes durch Y R = G,
die Impedanz einer Induktivität durch Z L = jωL,
die Admittanz einer Induktivität durch Y L = 1/jωL,
die Impedanz einer Kapazität durch Z C = 1/jωC,
die Admittanz einer Kapazität durch Y C = jωC
gegeben ist.
Alle in Kapitel 1 für den ohmschen Widerstand hergeleiteten Beziehungen sind somit
ebenfalls für beliebige Kombinationen von Impedanzen oder Admittanzen der genannten
Art gültig.
Die in Kapitel 1.4 gegebenen Angaben über Netzwerkfunktionen sollen daher an dieser
Stelle etwas erweitert werden.
2.3
Darstellung einer komplexen Netzwerkfunktion
Wurde bei einer gegebenen Problemstellung die gesuchte Netzwerkfunktion gefunden, so
ist es wünschenswert, die Wirkung des Netzwerkes auf die Erregung anschaulich darstellen
zu können. Hierzu wird die im allgemeinen komplexe Netzwerkfunktion in Betrag und
Phase zerlegt:
H(ω) = |H(ω)| · ej arg{H(jω)}
Der Betragsverlauf, auch Amplitudenfrequenzgang genannt, und der Phasenfrequenzgang
lassen sich in einem Diagramm über der Frequenz skizzieren.
Beispiel: RLC-Serienschwingkreis
Die Serienschaltung aus R, L und C wird von einer eingeprägten Sinusspannung variabler
Frequenz (ω = 2π · f ) gespeist. Es interessiert der Strom durch diesen Schwingkreis als
17
KAPITEL 2. KOMPLEXE WECHSELSTROMRECHNUNG
i
C
R
uR
u
L
uL
uC
Abbildung 2.4: RLC-Serienschwingkreis
Wirkung auf die angelegte Spannung. Dieser wird bestimmt durch die Admittanz Y des
Zweipols:
1
ı̂
1
1
Y = = =
1 =
1
û
Z
)
R + jωL + jωC
R + j(ωL − ωC
Gleichung (2.2) ermöglicht leicht die Aufspaltung der Admittanz Y in Betrag und Phase:
1
Y =q
R2 + (ωL −
1 2
)
ωC
−j arctan(
·e
ωL −
R
1
ωC
)
Die Amplitude erreicht demnach ihr Maximum, wenn gilt:
ωL −
1
1
= 0 oder ω = ω0 = √
ωC
LC
(Resonanzfrequenz)
Bild 2.5 zeigt den Amplituden- und Phasenfrequenzgang im Diagramm. Es zeigt sich, daß
|ı̂| bei niedrigen und sehr hohen Frequenzen sehr stark, in der Nähe der Frequenz ω0 nur
schwach gedämpft wird. Der RLC-Kreis weist also Bandpaßverhalten auf.
|Y |
1
R
(a)
ϕ = ϕi − ϕu
π
2
6
(b)
6
π
4
0
-
ω0
− π4
− π2
-
ω0
Abbildung 2.5: Amplituden- (a) und Phasenfrequenzgang (b) der Admittanz Y des RLCKreises
18
KAPITEL 3. ELEKTRISCHE LEISTUNGSBERECHNUNG
Kapitel 3
Elektrische Leistungsberechnung
In der Elektrotechnik werden verschiedene Arten von Leistungen unterschieden. Im folgenden sollen die Begriffe Wirk-, Blind- und Scheinleistung erläutert werden. Bei der Angabe
von Gleichungen soll wiederum stets der eingeschwungene Zustand vorausgesetzt sein.
Elektrische Leistung ist das Produkt aus Spannung U und Strom I an einem Zweipol.
P = U ·I
3.1
Leistung bei Wechselgrößen
Da Strom und Spannung im allgemeinen zeitabhängig sind, schreibt man
P (t) = u(t) · i(t)
(3.1)
und bezeichnet P (t) als Momentanwert der elektrischen Leistung.
Es gilt dabei die Vereinbarung:
P (t) > 0 :
P (t) < 0 :
Energiefluß zum Verbraucher
Energierückfluß zum Generator
Es sei
û
u(t) = û · sin(ωt + ϕu ), Uef f = √ ,
2
ı̂
i(t) = ı̂ · sin(ωt + ϕi ), Ief f = √ ,
2
wobei gilt:
ϕu , ϕi
ϕ = ϕu − ϕi
0◦ < ϕ < 180◦
−180◦ < ϕ < 0◦
:
:
:
:
Nullphasenwinkel von u(t), i(t)
Phasenverschiebungswinkel zwischen u(t) und i(t)
Spannung eilt Strom um ϕ voraus
Strom eilt Spannung um |ϕ| voraus
(3.2)
19
KAPITEL 3. ELEKTRISCHE LEISTUNGSBERECHNUNG
Mittels der Beziehungen
1
[cos(x − y) − cos(x + y)]
2
cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y
sin x sin y =
(3.3)
(3.4)
ergibt sich aus den Gleichungen (3.1) und (3.2) der Momentanwert der Leistung zu
P (t)
=
Gl. (3.3)
=
=
Gl. (3.4)
=
=
u(t) · i(t) = û · sin(ωt + ϕu ) · ı̂ · sin(ωt + ϕi )
ûı̂
{ cos(ϕu − ϕi ) − cos(2ωt + ϕu + ϕi )}
2
ûı̂
cos(ϕu − ϕi ) − cos [2(ωt + ϕu ) − (ϕu − ϕi )]
2
ûı̂
[1 − cos (2(ωt + ϕu )) ] cos(ϕu − ϕi ) − [ sin (2(ωt + ϕu )) ] sin(ϕu − ϕi )
2
Uef f · Ief f [1 − cos (2(ωt + ϕu )) ] cos ϕ − [ sin (2(ωt + ϕu )) ] sin ϕ .
(3.5)
Die Wirkleistung PW ist als der zeitliche (arithmetische) Mittelwert der Momentanwerte
der elektrischen Leistung definiert. Aus Gleichung (3.5) folgt
PW = Uef f · Ief f · cos ϕ,
(3.6)
wobei cos ϕ als Leistungsfaktor bezeichnet wird. Die Wirkleistung gibt die im zeitlichen Mittel tatsächlich von der Quelle abgegebene oder vom Verbraucher aufgenommene
Leistung an. Ihre Einheit ist 1 W [Watt] = 1 J/s = 1 Nm/s.
Die Scheinleistung PS ist das Produkt aus Effektivspannung Uef f und Effektivstrom
Ief f :
PS = Uef f · Ief f .
(3.7)
Ihre Einheit ist 1 VA [Volt-Ampère].
Die Blindleistung PB ist als
PB = Uef f · Ief f · sin ϕ
(3.8)
definiert. Wie aus einem Vergleich mit Gleichung (3.5) zu ersehen ist, steht die Blindleistung
für die Größe eines Terms, der im zeitlichen Mittel verschwindet. Dies kann so verstanden
werden, daß in periodischer Folge Energie in den Verbraucher fließt und wieder an die
Quelle zurückgegeben wird. Die Blindleistung wird zur Unterscheidung von Wirk- und
Scheinleistung mit der Einheit 1 var angegeben.
Aus den Gleichungen (3.6), (3.7) und (3.8) folgen die wichtigen Beziehungen:
2
PS2 = PW
+ PB2
PS ≥ PW
PS ≥ PB .
(3.9)
(3.10)
(3.11)
20
KAPITEL 3. ELEKTRISCHE LEISTUNGSBERECHNUNG
3.2
Komplexe Leistungsberechnung
Für die Leistungsberechnung in linearen, mit harmonischen Schwingungen erregten und
eingeschwungenen Netzwerken bietet sich die komplexe Rechnung aus Kapitel 2 als elegante
Lösung an.
Die komplexe Leistung ist als
1
û · ı̂ jϕ
û · ı̂∗
= (ûejϕu · ı̂e−jϕi ) =
· e = Uef f · Ief f · ejϕ
2
2
2
= Uef f · Ief f · (cos ϕ + j sin ϕ) = PS · (cos ϕ + j sin ϕ) = PW + jPB
P =
definiert. Der Realteil der komplexen Leistung ist demnach die Wirkleistung PW , der
Imaginärteil die Blindleistung PB . Die Scheinleistung ergibt sich aus dem Betrag der
komplexen Leistung.
Beispiele
a) Ohmscher Widerstand R
Am ohmschen Widerstand sind Spannung und Strom in Phase, d.h. ϕu = ϕi . Hieraus
folgt:
û · ı̂
P =
[cos(0) + j sin(0)]
2
û · ı̂
cos(0) = Uef f · Ief f , PB = 0, PS = PW
→ PW =
2
b) Ideale Kapazität C
Aus Gleichung (2.6) folgt
π
−j
û
1
jϕ
= |Z| · e =
ı̂ = jωC · û,
·e 2
ı̂
ωC
→ ı̂ eilt gegenüber û um 90◦ voraus: ϕu − ϕi = ϕ = −90◦
P =
û · ı̂
π
π
cos(− ) + j sin(− )
2
2
2
π
û · ı̂
π
û · ı̂
cos(− ) = 0, PB =
sin(− ) = −Uef f · Ief f
2
2
2
2
Die kapazitive Blindleistung PB ist demnach negativ und dem Betrag nach gleich
der Scheinleistung PS
PB = −|PS | = −Uef f · Ief f
PW =
c) Ideale Induktivität L
Analog zu b) ergibt sich für eine ideale Induktivität L
PW = 0, PB = Uef f · Ief f , PS = PB
Die induktive Blindleistung ist demnach positiv
21
KAPITEL 3. ELEKTRISCHE LEISTUNGSBERECHNUNG
d) Serienschaltung von ohmschem Widerstand und Kapazität C (Bild 3.1)
i
C
uC
R
uR
u
Abbildung 3.1: RC-Serienschaltung
1. Möglichkeit: Aus a) und b) folgt:
Ohmscher Widerstand R nimmt reine Wirkleistung auf:
2
PW = URef f · Ief f = Ief
f ·R =
2
URef
f
R
Kapazität C nimmt reine (negative) Blindleistung auf:
PB = −UCef f · Ief f = −
2
Ief
f
2
= −UCef
f · ωC
ωC
2. Möglichkeit:
Z =
û
1
1
=R+
= R − j(
)
ı̂
jωC
ωC
Z =
s
1
−j arctan(
)
1
ωRC
)2 · e
R2 + (
ωC
1
)}
ωRC
1
· sin{arctan(−
)}
ωRC
→ PW = PS · cos ϕ = Uef f · Ief f · cos{arctan(−
→ PB = PS · sin ϕ = Uef f · Ief f
û
1
wobei Uef f = √ = √ · |Z| · ı̂
2
2
3.3
Leistung bei Gleichgrößen
Da Gleichgrößen zeitunabhängig sind, vereinfacht sich Gleichung (3.5) mit Uef f = U und
Ief f = I zu
P = PW = U · I.
KAPITEL 4. GERÄTE-KURZBESCHREIBUNG
22
Kapitel 4
Geräte-Kurzbeschreibung
4.1
Signalgenerator
Der Tonfrequenzgenerator liefert im Frequenzbereich 20 Hz - 20 kHz eine variable Spannung
(Effektivwert) zwischen 0 V und 1 V. Hierbei ist der Frequenzbereich in die drei Bereiche
I.
II.
III.
20 Hz - 199,8 Hz
200 Hz - 1998 Hz
2000 Hz - 19980 Hz
Auflösung 0,2 Hz
Auflösung 2 Hz
Auflösung 20 Hz
und der Spannungsbereich in die vier Bereiche
I.
II.
III.
IV.
eingeteilt.
0,1 mV - 0,999 mV
1 mV - 9,99 mV
10 mV - 99,9 mV
100 mV - 999 mV ≈ 1 V
Auflösung 1 µV
Auflösung 10 µV
Auflösung 100 µV
Auflösung 1 mV
Die genauen Werte von Frequenz und Spannung werden jeweils durch einen dreistelligen Dezimalschalter eingestellt, wobei die einzustellenden Zahlen im Bereich zwischen
1.00 - 9.99 liegen müssen. Bei den Versuchen ist die Signalspannung am 600Ω-Ausgang
abzugreifen.
4.2
Multimeter
Das hochempfindliche elektronische Multimeter wird bei den Messungen als reines Wechselspannungsmeßinstrument benutzt, wobei der Effektivwert angezeigt wird. Da das Instrument einen sehr hohen Innenwiderstand bezüglich der Meßobjekte besitzt, kann dieser
vernachlässigt werden. Wählen Sie bei den Messungen stets den Meßbereich, der den
kleinsten Ablesefehler zur Folge hat. Übersteuerung des Meßinstrumentes sind in jedem
Falle zu vermeiden!
KAPITEL 4. GERÄTE-KURZBESCHREIBUNG
4.3
23
Versuchsfeld
Bild 4.1 zeigt die Frontansicht des Versuchsfeldes. Die acht Netzwerkelemente (C1 , C2,
L/RL , R1 , R2 , R3 , R4 ) lassen sich über die Anschlußbuchsen zu verschiedenen Netzwerken
zusammenschalten. Da der Tonfrequenzgenerator einen Innenwiderstand von 600 Ω besitzt, ist die Signalspannung vom Eingang des Netzwerkes durch den Spannungsfolger
(Operationsverstärker mit Spannungsverstärkung 1) zu entkoppeln.
24
KAPITEL 4. GERÄTE-KURZBESCHREIBUNG
Werte der Netzwerkelemente des Versuchsfeldes
C1
C2
L
RL
R1
R2
R3
R4
=
=
=
=
=
=
=
=
?
(Wird während des Versuchs bestimmt)
500 nF
1, 5 mH
20 Ω
(Verlustwiderstand der Induktivität)
90 Ω
30 Ω
100 Ω
160 Ω
+ 5V
+15V
- 15V
+5V
L
C1
C2
RL
1
R1
R2
R3
RLC aktiv/passive
Versuchsschaltung
Abbildung 4.1: Versuchsfeld
R4
KAPITEL 5. VERSUCHSDURCHFÜHRUNG
25
Kapitel 5
Versuchsdurchführung
Zu den Versuchen ist ein übersichtliches Protokoll anzufertigen! Die Aufgabenteile 2a),
3a) sowie die Ableitung der benötigten Formeln in 2e), 2f) und 3c) (iv) sollen vor dem
Versuchstermin bearbeitet werden!
Zur Versuchsdurchführung sind mitzubringen:
• Taschenrechner
• 5 Bogen Millimeterpapier
• Geo-Dreieck
• Zirkel
26
KAPITEL 5. VERSUCHSDURCHFÜHRUNG
Versuch 1: Messungen an Spannungs- und Stromquelle
Als Quelle dient der 5 V-Anschluß eines Netzgerätes.
a) Bauen Sie die Schaltung gemäß Bild 5.1 a) auf.
Messen Sie die Klemmenspannung und den Klemmenstrom.
b) Bauen Sie die Schaltung gemäß Bild 5.1 b) auf.
Messen Sie die Klemmenspannung und den Klemmenstrom.
Um welchen Quellentyp handelt es sich?
IQ
UQ
Quelle
IQ
R4
Quelle
R4
UQ
a)
R3
b)
Abbildung 5.1:
c) Bauen Sie die Schaltung gemäß Bild 5.2 a) auf.
Messen Sie die Klemmenspannung und den Klemmenstrom.
d) Bauen Sie die Schaltung gemäß Bild 5.2 b) auf.
Messen Sie die Klemmenspannung und den Klemmenstrom.
Um welchen Quellentyp handelt es sich jetzt?
IQ
UQ
Quelle
IQ
R2
Quelle
a)
R2
UQ
b)
Abbildung 5.2:
R3
27
KAPITEL 5. VERSUCHSDURCHFÜHRUNG
Versuch 2: Messungen an einem RC-Glied
Auf dem Versuchsfeld ist die Schaltung gemäß Bild 5.3 aufzubauen!
i
C1
uC
R3
uR
u
Abbildung 5.3:
a) Bestimmen Sie die qualitativen Verläufe der Übertragungsfunktionen (Betrag und
Phase als Funktion der Frequenz)
H R (f ) =
U R (f )
U (f )
,
H C (f ) =
U C (f )
U (f )
b) Eine Wechselspannung mit dem Effektivwert U = 1 V ist mit Hilfe des Signalgenerators an das Netzwerk zu legen. Messen Sie im Frequenzbereich von 1 kHz bis 10 kHz
die Spannungen UR und UC mit dem Multimeter!
c) Zeichnen Sie die Spannungsverläufe UC und UR als Funktionen der Frequenz auf
Millimeterpapier! Bei einer bestimmten Frequenz fg gilt UC = UR . Wie groß ist diese
Frequenz?
d) Zeichnen Sie die zu den Frequenzen f1 = 1 kHz, f2 = 10 kHz und fg gehörigen Zeiger
für U R in einem Zeigerdiagramm. Benutzen Sie U als Bezugszeiger!
e) Bestimmen Sie den Wert der Kapazität C1 !
f) Berechnen Sie Wirk-, Blind- und Scheinleistungen, die das Netzwerk bei den Frequenzen f1 und fg aufnimmt!
28
KAPITEL 5. VERSUCHSDURCHFÜHRUNG
Versuch 3: Messungen an einem RLC-Glied
Auf dem Versuchsfeld ist die Schaltung gemäß Bild 5.4 aufzubauen!
i
C1
u
C2
L
uL
RL
uRL
R1
uR
uC
Abbildung 5.4:
a) Bestimmen Sie formelmäßig die Admittanz Y des gesamten Zweipols.
b) Eine Wechselspannung mit dem Effektivwert U = 1 V ist mit Hilfe des Signalgenerators an das Netzwerk zu legen. Messen Sie im Frequenzbereich von 1 kHz bis
10 kHz die Spannung UR mit dem Multimeter. Berechnen Sie daraus die Beträge Y1
der Admittanz am Eingang!
c) Ersetzen Sie den Widerstand R1 durch R2 !
(i) Messen Sie die neuen Werte der Spannung UR und berechnen Sie daraus die
Beträge Y2 der Admittanz.
(ii) Zeichnen Sie die Verläufe von Y1 und Y2 als Funktion der Frequenz auf Millimeterpapier!
Bei einer bestimmten Frequenz fr erreichen Y1 und Y2 zugleich ihre Maximalwerte. Wie groß ist die Frequenz fr ?
(iii) Zeichnen Sie die zu den Frequenzen f1 = 1 kHz, f2 = 10 kHz und fr gehörigen
Zeiger für U R in ein Zeigerdiagramm. Benutzen Sie U als Bezugszeiger!
(iv) Berechnen Sie die Wirk-, Blind- und Scheinleistungen, die das Netzwerk bei
den Frequenzen f1 und fr aufnimmt!
Literatur
(1) R. Unbehauen: Elektrische Netzwerke, Berlin: Springer, 1981
(2) K. Steinbuch, W. Rupprecht: Nachrichtentechnik, Band 1,
29