Raumgeometrie - schiefe Pyramide - mathe-physik

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Raumgeometrie - schiefe Pyramide
Bei allen Aufgaben: Ergebnisse auf 2 Stellen nach dem Komma runden !
1.0
Berechne das Volumen der beiden dargestellten Pyramiden 1 und 2.
2.1
Die Spitze S einer dreiseitigen Pyramide ABCS liegt senkrecht über dem Eckpunkt C
der Grundfläche ABC. Die Seitenkante [CS] ist 12 cm lang und schließt mit der
Seitenkante [AS] einen Winkel von 40° und mit [BS] einen Winkel von 30° ein. Der
Winkel zwischen den Seitenkanten [AS] und [BS] misst 50°.
Berechne Volumen und Oberfläche der Pyramide.
2.2
M ist der Mittelpunkt der Seitenkante [CS]. Wie lang ist der kürzeste Weg von A nach
M, der über die Seitenflächen ABS und BCS führt ?
3.0
Es wird jeweils ein sich bewegender Punkt (z.B. P) betrachtet.
Die verschiedenen Lagen werden mit P1, P2 ... (allgemein Pn) bezeichnet.
Bei einer quadratischen Pyramide ABCDS mit der Grundkantenlänge a = 6 cm liegt
die Spitze S über A. Die Pyramidenhöhe ist h = 6 2 cm .
Ein Punkt P bewege sich auf der Seitenkante [CS]. Das Maß des Winkels )CMPn
sei εn. Dabei ist M der Mittelpunkt der Grundfläche.
3.1
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ( q = 0,5 ; ω = 45°).
3.2
Wähle einen beliebigen Punkt P1 ∈ [CS] und zeige, dass ∆BPD
gleichschenklig ist.
1
3.3
Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks BDP2 für ε2 = 70°.
3.4
Für welches Winkelmaß ε3 ist der Flächeninhalt von ∆BDP minimal ?
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Raumgeometrie - schiefe Pyramide
4.1
Eine schiefe Pyramide ABCDS mit dem Quadrat ABCD als Grundfläche und
AB = 6 cm ist gegeben. Die Pyramidenspitze S liegt senkrecht über A, dabei gilt
AS = 6 2 cm . Zeichne mit q = 1 : 2 und ω = 45° ein Schrägbild der Pyramide.
4.2
Ein Punkt P bewegt sich auf der Seitenkante [CS] von C nach S. Die Dreiecke DBP
schließen mit der Grundfläche die Winkel CMP mit dem Maß ϕ ein, wobei M der
Schnittpunkt der Diagonalen [AC] und [BD] ist.
Zeichne ein Dreieck DBP in das Schrägbild ein, und berechne den Flächeninhalt A(ϕ)
der Dreiecke DBP in Abhängigkeit von ϕ.
4.3
Ermittle das Winkelmaß ϕ0 für das flächenkleinste Dreieck DBP.
4.4
Die Winkel MBP haben das Maß α. Stelle α in Abhängigkeit von ϕ dar, und zeichne
den zugehörigen Graphen. Für welchen Wert von ϕ nimmt α einen Extremwert an ?
5.0
Eine Pyramide PQRS hat als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck PQR mit der
Seitenlänge s = 8 cm. Der Mittelpunkt M der Grundkante [QR] ist der Fußpunkt der
Pyramidenhöhe (Spitze: S). MS = h = 12 cm . Ein Punkt T bewegt sich auf [PS]. Durch
[QR] und Tn ∈ [PS] sind Ebenen festgelegt. Es sei )TnMP = ε .
5.1
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit q = 21 und ω = 60°.
Trage ein Dreieck T1QP in das Schrägbild ein.
5.2
Berechne das Maß α des Neigungswinkels der Seitenkante [PS] gegen die
Grundfläche.
5.3
Berechne den Flächeninhalt der Schnittfläche QRT2 für ε2 = 55°.
5.4
Berechne das Winkelmaß ε3, für welches die Schnittfläche den kleinsten
Flächeninhalt hat.
6.0
Die Diagonalen [AC] mit AC = 12 cm und [BD] mit BD = 10 cm einer Raute ABCD
schneiden sich im Punkt M. Die Raute ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide
ABCDS. Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht über dem Eckpunkt C der
Grundfläche mit CS = 12 cm.
6.1
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. Die Diagonale [AC] soll auf der
Schrägbildachse liegen.
Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45°
6.2
Die Punkte F auf der Seitenkante [AS] der Pyramide ABCDS mit FA = x cm sowie
die Punkte B und D der Pyramidengrundfläche sind jeweils die Eckpunkte von
Dreiecken BDF.
Zeichne für x = 6 das zugehörige Dreieck BDF1 in das Schrägbild ein.
6.3
Berechne das Maß ϕ des Winkels DBF1.
6.4
Berechne die Länge MF (x) der Strecken [MF] in Abhängigkeit von x.
Gib die Definitionsmenge lD(x) für die Maßzahl x der Seitenlänge FA an.
6.5
Berechne x, so dass der Winkel DBF das Maß 65° hat.
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Raumgeometrie - schiefe Pyramide
7.0
Das bei C rechtwinklige Dreieck ABC mit AC = 8 cm und BC = 6 cm ist Grundfläche
von Pyramiden ABCSn. Die Seitenflächen ACSn stehen senkrecht auf der Grundfläche ABC, wobei die Seitenkanten [SnA] mit [AC] einen Winkel mit dem Maß
α = 60° einschließen. Die Punkte Fn ∈ [AC] sind die Fußpunkte der Pyramidenhöhen.
7.1
Zeichne das Schrägbild der Pyramide ABCS1 für CF1 = 3 cm
Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45°. [AC] liegt auf der Schrägbildachse.
7.2
Berechne die Maße der Innenwinkel des Dreiecks ACS1.
7.3
Die Pyramide ABCS2 besitzt das Volumen V2 = 48 cm3. Berechne CF2 für diese
Pyramide.
7.4
In der Pyramide ABCS3 besitzt der Winkel S3CA das Maß α 3 = 38°.
Berechne das Volumen V3 der Pyramide ABCS3.
7.5
Die Seitenflächen BCSn besitzen bei C einen rechten Winkel. Berechne für
CF4 = 2 cm die Länge der Seitenkante [BS4].
Ermittle das Maß ϕ des Winkels BAS4 durch Rechnung.
8.0
Im Drachenviereck ABCD hat die Diagonale [AC] die Länge 12 cm und die
Diagonale [BD] die Länge 10 cm. AC ist Symmetrieachse des Drachenvierecks.
Die Diagonalen schneiden sich im Punkt M mit AM = 8 cm. Das Drachenviereck
ABCD ist Grundfläche einer Pyramide ABCDS. Die Pyramidenspitze S liegt
senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M mit MS = 10 cm.
8.1
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. [AC] soll auf der Schrägbildachse
liegen.
Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45°
8.2
Berechne das Maß γ des Winkels SCA und die Länge der Strecke [CS].
[Ergebnis: γ = 68,2°; [CS] = 10,77 cm]
8.3
Die Punkte Pn auf der Seitenkante [CS] sind jeweils zusammen mit den Punkten B
und D die Eckpunkte von gleichschenkligen Dreiecken BDPn.
Es gilt: SPn = x cm. Zeichne das Dreieck BDP1 mit ) CMP1 = 75° in das
Schrägbild ein und berechne den zugehörigen Wert für x.
[Teilergebnis: x = 4,32]
8.4
Berechne das Volumen der Pyramide BCDP1.
[Ergebnis: V1 = 39,93 cm3]
8.5
Der Flächeninhalt des Dreieck BDP2 beträgt 35 cm2.
Berechne den zugehörigen Wert für x.
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Raumgeometrie - schiefe Pyramide
9.0
Das gleichschenklige ∆ ABC mit der Basis AB = 10 cm und AC = BC = 8 cm ist
Grundfläche einer Pyramide ABCS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Punkt C
mit CS = 9 cm. M ist Mittelpunkt von [AB].
9.1
Zeichne das Schrägbild der Pyramide ABCS.
CM soll auf der Schrägbildachse liegen (links C, rechts M).
Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45° Hinweis: Berechne vorher [CM].
9.2
Berechne die Länge von [MS] und das Maß ε des Winkels SMC.
[Ergebnis: MS = 12,04 cm; ε = 48,37°]
9.3
Ein Punkt P auf CS mit [CP] = 2 cm bildet zusammen mit Q auf AS und R auf BS
das Dreieck PQR. Die Mitte von [QR] = T liegt auf MS mit [MT] ist 4 cm.
Die Seite QR ist parallel zu AB .
Zeichne das ∆ PQR, sowie T in das Schrägbild ein.
9.4
Berechne den Winkel TPS = ϕ .
[Ergebnis: ϕ = 79,62° mit gerundeten Zwischenwerten]
9.5
Berechne den Winkel QPR = δ .
[Ergebnis: δ = 72,75° mit gerundeten Zwischenwerten]
9.6
Berechne die Streckenlänge [CT].
[Ergebnis: CT = 6,12 cm]
9.7
Berechne den Flächeninhalt des Deiecks CMT.
[Ergebnis: A = 11,96 cm2]
10.0
Das Rechteck ABCD mit AB = 9 cm und BC = 7 cm ist Grundfläche einer Pyramide
ABCDS. Ihre Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt F der Seite [BC].
Der Punkt F ist Mittelpunkt der Seite [BC].
Der Winkel FES hat das Maß 48°. Auf der Strecke [ES] liegt ein Punkt P, wobei
EP = 4,5 cm gilt.
10.1
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. [AB] liegt auf der Schrägbildachse.
Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45°
10.2
Berechne die Höhe FS der Pyramide.
10.3
Zeichne den Punkt P in das Schrägbild ein. Berechne das Maß ε des Winkels CPB
und das Maß ϕ des Winkels FPS.
10.4
Das Dreieck BCS ist Grundfläche der Pyramide BCSP mit der Spitze P.
Berechne das Volumen V dieser Pyramide.
10.5
Berechne das Maß δ des Winkels SBP.
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Raumgeometrie - schiefe Pyramide
11.0
Das Rechteck ABCD mit AB = 9 cm und BC = 12 cm ist Grundfläche einer
Pyramide ABCDS, deren Spitze S senkrecht über dem Mittelpunkt E der Seite [BC]
liegt. Es gilt: ES = 6 cm. Der Punkt F ist Mittelpunkt der Seite [AD].
11.1
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. [FE] liegt auf der Schrägbildachse.
Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45°
Berechne δ = ) EDS.
[Teilergebnis: DE = 10,82 cm]
11.2
Berechne ϕ = ) BFS.
[Teilergebnis: ϕ = 46,19°]
11.3
Die Punkte Pn auf der Strecke [ES] mit EPn = x cm sowie die Punkte A und B sind
jeweils die Eckpunkte von Dreiecken ABPn.
Zeichne das Dreieck ABP1 für x = 2 in das Schrägbild ein.
11.4
Berechne das Maß α1 des Winkels BAP1.
11.5
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABP1.
12.0
Das Rechteck ABCD mit AB = 9 cm und BC = 12 cm ist Grundfläche einer
Pyramide ABCDS. Der Mittelpunkt F der Seite [AD] ist Fußpunkt der Pyramidenhöhe [FS] mit FS = 8 cm. Der Punkt E ist der Mittelpunkt der Seite [BC].
12.1
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS.
[EF] soll auf der Schrägbildachse liegen.
Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45°
12.2
Berechne das Maß ε des Winkels SEF und die Länge der Strecke [SE].
[Teilergebnis: γ = 41,63°]
12.3
Auf [SE] liegen Punkte Pn mit SPn = x cm. Sie sind die Spitzen neuer Pyramiden
ABCDPn. Zeichne die Pyramide ABCDP1 für x = 7 in das Schrägbild ein und
berechne das Volumen der Pyramide ABCDP1.
12.4
Für den Punkt P2 hat der Winkel EFP2 das Maß 80°. Berechne den zugehörigen
Wert für x und den Flächeninhalt des Dreiecks DAP2.
[Teilergebnis: x = 1,63]
12.5
Gib jeweils die Streckenlängen CPn (x), APn (x) und EPn (x) in Abhängigkeit von x an.
Die Pyramide ABCDP3 hat ein Längenverhältnis von 3:1 für die Seitenkanten
APn : BPn .
Welchen zugehörigen Wert hat x ?
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Raumgeometrie - schiefe Pyramide
13.0
Das Rechteck ABCD mit AB = 9 cm und BC = 12 cm ist Grundfläche der Pyramide
ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt E der Strecke [AD] und
es gilt ES = 10 cm. Der Punkt F ist Mittelpunkt der Strecke [BC].
13.1
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. [DC] soll auf der Schrägbildachse
liegen.
Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45°
13.2
Berechne das Maß ϕ des Winkels SFE und die Länge der Strecke [FS].
[Ergebnis: ϕ = 48,01°; FS = 13,45 cm]
13.3
Der Punkt P liegt auf [EF] mit EP = 1,5 cm. Für die Punkte Mn auf [FS] gilt
SMn = x cm. Die Punkte Mn sind die Mittelpunkte von Strecken [QnRn] mit Qn auf
[BS], Rn auf [CS] und [QnRn] ll [BC].
Die Punkte P, Qn und Rn sind die Eckpunkte von Dreiecken PQnRn.
Zeichne das Dreieck PQ1R1 für x = 10 in das Schrägbild ein.
13.4
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks PQ1R1.
13.5
Für das Dreieck PQ2R2 gilt ) FPM2 = 38°. Berechne den zugehörigen Wert für x.
13.6
Im Dreieck PQ3R3 hat die Höhe PM3 den kleinstmöglichen Wert. Berechne PM3 .
Gib an, in welchen Grenzen sich die Höhen PMn der Dreiecke PQnRn bewegen
(Intervall).
14.0
Das gleichseitige Dreieck ABC mit der Seitenlänge a = 14 cm ist Grundfläche einer
Pyramide ABCS mit der Höhe h = MS = 10 cm. M ist Mittelpunkt der Strecke [BC].
14.1
Berechne AM und zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCS. [AM] soll auf der
Schrägbildachse liegen.
Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45°
[Teilergebnis: AM = 12,12 cm]
14.2
Zur Grundfläche ABC der Pyramide ABCS parallele Ebenen schneiden die Pyramide
ABCS in gleichseitigen Dreiecken PnQnRn mit Pn ∈ [AS], Qn ∈ [BS] und Rn ∈ [CS].
Der Punkt D auf [AM] mit DM = 3 cm ist die gemeinsame Spitze von Pyramiden
PnQnRnD. Die Punkte En sind die Mittelpunkte der Strecken [QnRn].
Zeichne die Pyramide P1Q1R1D für ME1 = 6 cm in das Schrägbild ein.
14.3
Bestimme rechnerisch das Maß ϕ des Winkels MDE1 und die Länge der Strecke
[DE1].
[Ergebnis: ϕ = 63,43°; DE1 = 6,71 cm]
14.4
Berechne das Volumen der Pyramide P1Q1R1D.
[Teilergebnis: Q1R1 = 5,6 cm]
14.5
Ermittle die Länge der Seitenkante [P1D] der Pyramide P1Q1R1D durch Rechnung.
[Ergebnis: P1D = 6,28 cm]
14.6
Berechne die Streckenlänge DQ1 und das Maß ε des Winkels P1Q1D.
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