Differentialgleichungen für Ingenieure WS 06/07

Differentialgleichungen für Ingenieure
WS 06/07
14. Vorlesung
Michael Karow
Überarbeitete Fassung
Thema heute:
• Separation in Kugelkoordinaten, Kugelfunktionen
Kugelkoordinaten
z
Beziehung zwischen kartesischen
und Kugelkoordinaten:
X = (x,y,z)
x = ρ sin(θ) cos(φ)
y = ρ sin(θ) sin(φ)
z = ρ cos(θ)
p
ρ = x2 + y 2 + z 2
θ
ρ
y
φ
x
Kugelkoordinaten
z
Beziehung zwischen kartesischen
und Kugelkoordinaten:
x = ρ sin(θ) cos(φ)
y = ρ sin(θ) sin(φ)
z = ρ cos(θ)
p
ρ = x2 + y 2 + z 2
X = (x,y,z)
ρ cos( θ )
θ
ρ
y
φ
x
Kugelkoordinaten
z
ρ sin( θ )
Beziehung zwischen kartesischen
und Kugelkoordinaten:
X = (x,y,z)
x = ρ sin(θ) cos(φ)
y = ρ sin(θ) sin(φ)
z = ρ cos(θ)
p
ρ = x2 + y 2 + z 2
θ
ρ
y
φ
x
Kugelkoordinaten
z
ρ sin( θ )
Beziehung zwischen kartesischen
und Kugelkoordinaten:
X = (x,y,z)
x = ρ sin(θ) cos(φ)
y = ρ sin(θ) sin(φ)
ρ sin( θ ) sin( φ )
z = ρ cos(θ)
p
ρ = x2 + y 2 + z 2
θ
ρ
y
φ
ρ sin( θ ) cos( φ )
x
Laplace-Operator in Kugelkoordinaten
Sei u : R3 → C eine beliebige Funktion. Wir setzen
wobei
u
e(ρ, φ, θ) := u(x, y, z),
x = ρ cos(φ) sin(θ), y = ρ sin(φ) sin(θ), z = ρ cos(θ).
u
e ist die Darstellung der Funktion u bezüglich Kugelkoordinaten.
Sei u zweimal stetig diff’bar. Wie eine mühselige Rechnung zeigt, gilt dann
2
∂
∂2
∂2
∆u(x, y, z) =
+ 2 + 2 u(x, y, z)
∂x2
∂y
∂z
2
1
2 ∂
∂
+ 2 ∆S u
+
e(ρ, φ, θ),
(∗)
=
∂ρ2
ρ ∂ρ
ρ
wobei
∂
∂
1
∂2
1
sin(θ)
+
.
∆S =
sin(θ) ∂θ
∂θ
sin(θ)2 ∂φ2
Der Differentialoperator in (∗) ist der Laplace-Operator bezüglich Kugelkoordinaten.
Der Differentialoperator ∆S ist der Laplace-Operator auf der Einheitssphäre
(=Oberfläche der Kugel mit Radius ρ = 1).
Wärmeleitung auf ein einer dünnen Kugelschale
Die Wärmeleitungsgleichung für eine dünne Kugelschale vom Radius 1 lautet
u̇(φ, θ, t)−∆S u(φ, θ, t) = f (φ, θ, t).
Dabei sind alle Materialkonstanten =1 gesetzt. Macht man für die homogene Gleichung
u̇(φ, θ, t)−∆S u(φ, θ, t) = 0
einen Separationsansatz u(θ, φ, t) = T (t) Y (θ, φ), dann bekommt man
Ṫ (t) Y (θ, φ)−T (t) ∆S Y (θ, φ) = 0.
Teilen durch T (t) Y (θ, φ) ergibt
Ṫ (t)
−∆S Y (φ, θ)
+
= 0.
T (t)
Y (φ, θ)
Damit diese Gleichung immer gilt, muessen beide Quotienten konstant sein:
Ṫ (t)
= −λ,
T (t)
−∆S Y (θ, φ)
=λ
Y (θ, φ)
Die linke Gleichung hat die Lösungen T (t) = c e−λ t .
Die Rechte Gleichung ist ein Eigenwertproblem für −∆S :
−∆S Y (θ, φ) = λ Y (θ, φ).
Selbstadjungiertheit von −∆S
p
Das Skalarprodukt für zwei auf der Einheitssphäre S = { (x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 = 1 }
definierte komplexwertige Funktionen u, v : S → C ist definiert durch
Z
Z 2π Z π
hu, viS :=
u v do =
u(θ, φ) v(φ, θ) sin(θ) dθ dφ
|
{z
}
0
0
S
=do
Der Operator
−∆S = −
1
∂
∂
1
∂2
sin(θ)
+
sin(θ) ∂θ
∂θ
sin(θ)2 ∂φ2
ist selbstadjungiert bzgl. dieses Skalarprodukts, denn mit part. Integration beweist man
Z 2π Z π 1 ∂u ∂v
∂u ∂v
(θ, φ) +
(θ, φ) dθ dφ.
h−∆S u, viS = hu, −∆S viS =
sin(θ)
∂θ ∂θ
sin(θ) ∂φ ∂φ
0
0
Der Operator −∆S ist auch positiv definit, denn für u 6≡ 0 ist
h−∆S u, uiS =
Z
2π
0
Z
0
π
2
∂u
1
sin(θ) (θ, φ) +
∂θ
sin(θ)
2!
∂u
(θ, φ)
dθ dφ > 0.
∂φ
Folgerungen: Die Eigenwerte von −∆S sind alle positiv. Eigenfunktionen zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal zueinander. Weil es sich bei der Sphäre um ein
endliches ’Gebiet’ handelt, erwarten wir, dass ein vollständiges Orthonormalsystem von
Eigenfunktionen existiert, so dass man jede ’vernünftige’ Funktion auf der Sphäre nach
diesen Eigenfunktionen in eine unendliche Reihe entwickeln kann.
Auf der nächsten Seite wird diskutiert, wie man ein solches Orthonormalsystem bekommt. Auf die Darstellung der langwierigen Rechnung wird verzichtet.
Das Eigenwertproblem −∆S Y = λ Y
(∗)
Separationsansatz: Y (θ, φ) = Θ(θ) Φ(φ), wobei Θ(θ) = P (cos(θ)). Einsetzen
des Ansatzes in (∗) liefert für die gesuchten Funktionen Φ und P die DGL
(1)
(2)
Φ′′ (φ) + m2 Φ(φ) = 0
(1 − z 2 ) P ′′ (z) − 2 z P ′(z) + λ −
Allgemeine Lösung von (1):
m2
1 − z2
P (z) = 0,
z = cos(θ) ∈ (−1, 1)
falls m = 0:
Φ(φ) = c1 φ + c2 ,
falls m 6= 0:
Φ(φ) = A cos(m φ − φ0 ) = c1 cos(m φ) + c2 sin(m φ) = e
c 1 ei m φ + e
c2 e−i m φ,
wobei A, φ0 , c1 , c2 , e
c1 , e
c2 ∈ C beliebige Konstanten sind.
Damit Y (θ, φ) 2π-periodisch ist, muss m ganzzahlig sein.
Längere Rechnungen mit einem verallgemeinerten Potenzreihenansatz zeigen,
dass die DGL (2) nur für den Fall
λ = ℓ(ℓ + 1), ℓ ∈ N0 , |m| ≤ ℓ
Lösungen besitzt, für die Y (θ, φ) = P (cos(θ)) Φ(φ) eine differenzierbare Funktion
auf der Sphäre ist. Diese Lösungen von (2) sind die Vielfachen der Funktionen
ℓ+|m|
1
ℓ
2
2 |m|/2 d
(z
−
1)
.
Pℓ,|m|(z) = ℓ (1 − z )
2 ℓ!
dz ℓ+|m|
Die Funktionen Pℓ,0 sind Polynome vom Grad ℓ (Legendre-Polynome).
Die Funktionen Pℓ,|m|, m 6= 0, heissen assoziierte Legendre-Funktionen.
Kugelfunktionen I
Die Kugel(flächen)funktionen (engl.: spherical harmonics) sind folgendermaßen
definiert:
Yℓ,m(θ, φ) := cℓ,m Pℓ,|m|(cos(θ)) ei m φ,
wobei ℓ ∈ N0 , m = −ℓ, −ℓ + 1, . . . , 0, . . . , ℓ − 1, ℓ und cℓ,m = (−1)(m+|m|)/2
Die Kugelfunktionen erfüllen die Eigenwertgleichungen:
−∆S Yℓ,m = ℓ(ℓ + 1) Yℓ,m,
−i
q
(2ℓ+1) (ℓ−|m|)!
.
4 π (ℓ+|m|)!
∂
Yℓ,m = m Yℓ,m.
∂φ
∂
Die Operatoren −∆S und −i ∂φ
sind beide selbstadjungiert bzgl. des Skalarprodukts auf
der Einheitssphäre. Eigenfunktionen eines selbstadjungierten Operators zu verschiedenen
Eigenwerten sind orthogonal zueinander. Daraus folgt, dass
Z 2π Z π
hYℓ,m, Yℓ′,m′ iS =
Yℓ,m (θ, φ) Yℓ′ ,m′ (θ, φ) sin(θ) dθ dφ = 0
wenn (ℓ, m) 6= (ℓ′, m′).
0
0
Die Vorfaktoren cℓ,m sind so gewählt, dass
Z 2π Z
p
kYℓ,mkS = hYℓ,m, Yℓ,miS =
0
0
π
|Yℓ,m(θ, φ)|2 sin(θ) dθ dφ = 1.
Die Kugelfunktionen bilden also ein Orthonormalsystem.
Dieses ist vollständig (siehe übernächste Seite).
Kugelfunktionen II
Das Bild unten links zeigt den Realteil der Kugelfunktion
Y10,4(θ, φ) = c10,4 P10,4(cos(θ)) ei 4 φ.
Die Farbe stellt den Funktionswert dar. Die schwarzen Kurven (Knotenlinien) bilden
die Menge der Punkte, an denen der Realteil von Y10,4(θ, φ) den Wert 0 hat.
Die Funktion P
(cos(θ)) = P
10,4
(z)
10,4
1.5
1
0.5
-
z=cos(θ)
0
−0.5
−1
−1.5
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
assoziierte Legendre-Funktion:
P10,4(z) =
1
10
2 10!
(1 − z 2 )2
d14
2
(z
14
dz
− 1)10
Die Höhen (z-Koordinaten) der horizontalen schwarzen Kreislinien sind die Nullstellen
der Funktion z 7→ P10,4(z), z = cos(θ).
Beispiele: Realteile der Kugelfunktionen Y5,m(θ, φ) = c5,m P5,m(cos(θ)) ei m φ
m=0
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
Kugelfunktionen III
Die Kugelfunktionen Yℓ,m bilden ein vollständiges Orthonormalsystem auf der Einheitssphäre. Dies heisst genau folgendes: Jede komplexwertige Funktion u = u(θ, φ), für die
das Integral
Z
Z 2π Z π
kuk2S = hu, uiS =
|u|2 do =
|u(φ, θ)|2 sin(θ) dθ dφ
0
S
0
existiert und endlich ist (quadratintegrierbare Funktion) hat eine Darstellung als unendliche Reihe
ℓ
∞ X
X
aℓ,m Yℓ,m
mit aℓ,m = hYℓ,m , uiS .
u=
ℓ=0 m=−ℓ
Die Konvergenz der Reihe gegen u ist im quadratischen Mittel, d.h. es ist
l
ℓ
X X
aℓ,m Yℓ,m − u = 0.
lim l→∞ ℓ=0 m=−ℓ
S
Wenn u diff’bar ist, dann hat man punktweise Konvergenz, d.h.
u(θ, φ) = lim
l→∞
für jedes (θ, φ).
ℓ
l
X
X
ℓ=0 m=−ℓ
aℓ,m Yℓ,m(θ, φ)
Anwendung der Kugelfunktionen I
Das Anfangswertproblem für die Wärmeleitung auf der Einheitssphäre S
u̇(θ, φ, t)−∆S u(θ, φ, t) = f (θ, φ, t),
u(θ, φ, 0) = u0 (θ, φ)
lässt sich mit Hilfe von Kugelfunktionen folgendermaßen lösen:
Stelle alle vorkommenden Funktionen als Linearkombinationen von Kugelfunktionen dar:
u=
ℓ
∞ X
X
uℓ,m (t) Yℓ,m,
ℓ=0 m=−ℓ
f =
ℓ
∞ X
X
fℓ,m(t) Yℓ,m ,
0
u =
ℓ=0 m=−ℓ
ℓ
∞ X
X
u0ℓ,m Yℓ,m
ℓ=0 m=−ℓ
Einsetzen in die DGL ergibt wegen −∆S Yℓ,m = ℓ(ℓ + 1) Yℓ,m :
∞ X
ℓ
X
( u̇ℓ,m (t) + ℓ(ℓ + 1) uℓ,m (t) ) Yℓ,m =
ℓ=0 m=−ℓ
∞ X
ℓ
X
fℓ,m(t) Yℓ,m
ℓ=0 m=−ℓ
Durch Koeffizientenvergleich bekommt man die gewöhnlichen AWP 1. Ordnung
u̇ℓ,m (t) + ℓ(ℓ + 1) uℓ,m (t) = fℓ,m(t),
uℓ,m (0) = u0ℓ,m ,
mit den Lösungen (Variation-der-Konstanten-Formel):
Z t
uℓ,m (t) = u0ℓ,m e−ℓ(ℓ+1) t +
e−ℓ(ℓ+1)(t−τ )fℓ,m (τ ) dτ.
0
Bemerkung: Die ganze Prozedur sieht auf den ersten Blick kompliziert aus, ist aber die
gleiche, die wir schon im räumlich 1-dimensionalen Fall besprochen haben.
Anwendung der Kugelfunktionen II (Quantenmechanik)
Die Schrödinger-Gleichung für ein (spinloses) Teilchen in einem Potential V lautet
~2
∂
∆ + V (x) ψ(x, t),
i ~ ψ(x, t) = −
x ∈ R3,
ψ(x, t) ∈ C.
∂t
2µ
Dabei ist µ die Masse und ~ = h/(2π), h=Plancksches Wirkungsquantum. Die Funktion
x 7→ ψ(x, t) ist der quantenmechanische Zustand des Teilchens zur Zeit t. U.a. gilt:
Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen zur Zeit t im Gebiet G ⊆ R3 befindet, ist
Z
|ψ(x, t)|2 dx.
G
Ein Separationsansatz der Form ψ(x, t) = T (t) Ψ(x) ergibt
2
~
T(t) = e−(i/~) E t ,
−
∆ + V(x) Ψ(x) = E Ψ(x).
2µ
Man hat also wieder ein Eigenwertproblem zu lösen.
Interpretation des Eigenwerts E: Energie des Teilchens.
Wenn das Potential zentralsymmetrisch ist, V (x) = V (ρ), dann lohnt sich ein Separationsansatz in Kugelkoordinaten
Ψ(x) = R(ρ) Y (θ, φ)
Eine Durchrechnung des Ansatzes ergibt für Y die Kugelfunktionen Y = Yℓ,m und für R
ein weiteres Eigenwertproblem mit einem gewöhnlichen Differentialoperator 2. Ordnung,
der von V und ℓ, m abhängt.
Für den Fall V (ρ) = −const/ρ bekommt man so die Elektronenorbitale eines Atoms.
(Siehe Animation in der VL)
Weitere Anwendungsbeispiele für die homogene Wellengleichung
1. Linearisierte Gleichung für den Druck in einem Gas (Schall)
Druck: P (x, t) = p0 + p(x, t). Es ist näherungsweise
p̈(x, t) − c2 ∆p(x, t) = 0,
wobei c=Schallgeschwindigkeit (hängt von p0 und der Temperatur ab).
2. Gleichungen für Elektromagnetische Wellen in einem
isotropen ungeladenen Nichtleiter:
Ë(x, t) − c2 ∆E(x, t) = 0,
B̈(x, t) − c2 ∆B(x, t) = 0,
wobei E= elektrische Feldstärke, B=magnetische Induktion,
c=Lichtgeschwindigkeit.
Erinnerung:
Die homogene Wellengleichung
ü(x, t) − c2 ∆u(x, t) = 0,
hat die stehenden Wellen
x ∈ Rn,
u(x, t) = A cos(ω t − φ) U (x),
als Lösungen. Dabei sind A, φ ∈ R beliebige Konstanten (Amplitude, Phasenverschiebung), ω = c k, und U ist eine Lösung der Helmholtz’schen Schwingungsgleichung
−∆U (x) = k2 U (x),
k∈R
(∗)
(∗) ist die Eigenwertgleichung für den Operator −∆: k2 =Eigenwert, U (x)=Eigenfunktion.
In der Literatur findet man (∗) meist in der Form
(∆ + k2 ) U (x) = 0.
Terminologie: k heisst Wellenzahl.
Bemerkungen:
1. Wenn keine Randbedingungen vorgegeben sind, dann ist jeder Wert von k ∈ R
möglich, denn (∗) hat zumindest die Lösungen
U (x) = f (k · x),
k ∈ Rn, kkk = |k|,
wobei f : R → C eine 2mal diff’bare Funktion ist.
Es gibt aber noch viele andere Lösungen (siehe nächste Seite).
2. Wenn die Eigenfunktion U Randbedingungen erfüllen muss, dann sind nur bestimmte
Wellenzahlen k möglich. Diese bestimmen dann die Eigenkeisfrequenzen ω = c k.
(Siehe schwingende Seite, schwingende Membran)
Anwendung der Kugelfunktionen III
Macht man für die Lösungen der Schwingungsgleichung in R3
−∆U (x) = k2 U (x),
k ∈ R,
einen Separationsansatz in Kugelkoordinaten
x ∈ R3
(∗)
U (x) = R(ρ) Θ(θ) Φ(φ),
dann bekommt man für k > 0 die komplexen Lösungen
Jλ (k ρ)
U (x) = A √
Yℓ,m(θ, φ),
kρ
A∈C
mit den Kugelfunktionen Yℓ,m und den Besselfunktionen 1. Art, Jλ, zum
halbzahligen Index
1
λ=± ℓ+
.
2
Es ist
Z ∞
∞
x 2m+λ
X
(−1)m
Jλ (x) =
mit Γ(x) =
e−t tx−1 dt.
m! Γ(m + λ + 1) 2
0
m=0
Die Funktion Jλ ist eine spezielle Lösung der Besselgleichung
x2 y ′′ (x) + x y ′(x) + (x2 − λ2 ) y(x) = 0.
Die Γ-Funktion interpoliert die Fakultät. Genauer ist
n! = Γ(n + 1),
Details siehe Skript.
n = 0, 1, 2 . . .
Die Γ-Funktion
Definition der Γ-Funktion für x > 0:
Γ(x) =
Z
∞
e−t tx−1 dt
0
Es ist limxց0 Γ(x) = ∞. Mit partieller Integration beweist man, dass für alle x > 0:
Γ(x + 1) = x Γ(x).
(∗)
Daraus folgt z.B.:
Γ(x + 3) = (x + 2) Γ(x + 2)=(x + 2) (x + 1) Γ(x + 1)
Allgemein:
Γ(x + n) = (x + n − 1) (x + n − 2) . . . (x + 1) Γ(x + 1).
(∗∗)
für n ∈ N, n ≥ 2. Man hat Γ(1) = 1 = 0!. Setzt man in (∗∗) x = 0, so folgt insgesamt,
Γ(n) = (n − 1)!,
n = 1, 2, 3, . . .
Graph der Γ − Funktion
Für negative x 6= −1, −2, −3, . . .
definiert man Γ(x) so, dass (∗) und
damit auch (∗∗) immer gilt.
√
Beispiel: Es ist Γ(1/2) = π.
Mit (∗) für x = −1/2 folgt:
√
π=Γ(1/2)=(−1/2) Γ(−1/2)
√
Also: Γ(−1/2)= − 2 π.
6
3!
4
2
2!
0!
0
1!
−2
−4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4