Berechnung der Stromdichten - KIT

Mikroskopische Berechnung von Stromdichten:
Die Stromdichte in einem Halbleiter berechnet sich gemäß
j = qn µ E ,
wobei q die Ladung der Ladungsträger (Einheit C), n die Ladungsträgerdichte
(Einheiten cm-3 oder m-3), µ deren Beweglichkeit und E das elektrische Feld ist. q
ist als Elementarladung mit +e oder –e vorgegeben und die Beweglichkeit µ ist
eine Materialkonstante. Damit hängt die Stromdichte im Material bei
vorgegebenem elektrischen Feld entscheidend von der Ladungsträgerdichte ab.
ρ(W),
Ganz allgemein kann die Elektronendichte bei bekannter Zustandsdichte ρL(W) im
Leitungsband bzw. ρV(W) im Valenzband und bei bekannter Verteilungsfunktion
∞
fe(W) wie folgt berechnet werden: n =
∫ ρ (W )f (W )dW .
L
WL
Ganz analog kann die Dichte der Defektelektronen („Löcher“) bestimmt werden.
Eine „Besetzung“ eines Zustandes mit einem Loch liegt immer genau dann vor,
wenn der Zustand nicht mit einem Elektron besetzt. Dementsprechend gilt
fh(W)=1-fe(W).
Für die Lochdichte gilt damit: p =
WV
∫ρ
V
(W )(1 − f (W ))dW .
−∞
Die Verteilung der Elektronen auf die vorhandenen Zustände erfolgt gemäß der
1
Fermi-Dirac-Verteilung fFD (W ) =
,
 W − WF 
1 + exp 

 kBT 
wobei E die Energie des Zustandes angibt und die Referenzenergie WF als FermiEnergie bezeichnet wird.
In der Näherung parabolischer Bänder ergibt sich ein relativ einfacher Ausdruck
für die Zustandsdichten von Leitungs- bzw. Valenzband:
ρL (W ) =
3
* 2
e
2 3
(2m )
2π =
W − WL
3
(2mh* ) 2
WV − W
ρV (W ) =
2π 2 =3
Näherung der FD-Funktion:
Die Verwendung der Fermi-Dirac-Funktion führt bei der Berechnung dieser
Integrale zu analytisch nicht mehr behandelbaren Ausdrücken. Daher liegt es
nahe, an dieser Stelle möglichst Näherungslösungen zu verwenden.
Schauen wir uns hierzu einmal für den Nenner der FD-Funktion einen typischen
Zahlenwert an:
Bei einer Temperatur von 300 K gilt für kBT:
k BT = 1.38 ⋅10−23 JK −1 ⋅ 300 K =
1.38 ⋅10−23 JeV −1
K ⋅ 300 K = 0.0258 ≈ 25meV
1.602 ⋅10−19 J
Zur Abschätzung eines typischen Abstandes der Energie des Zustandes von der
Fermi-Energie gehen wir von einer Bandlücke von ca. 1 eV (z.B. Silizium 1.1 eV)
aus. Liegt die Fermi-Energie genau in der Bandlückenmitte, so ergibt sich als
typischer Wert
W − WF
W − WF = 0.5eV ⇒
≈ 20 und damit exp(20) = 0.285 ⋅ 109 >> 1 .
kBT
Die 1 im Nenner der FD-Funktion kann bei dieser Lage der Dinge also getrost
vernachlässigt werden und die Fermi-Dirac-Funktion kann durch die aus der
klassischen Statistik bekannte Maxwell-Boltzmann-Verteilung ersetzt werden.
Diese ist mathematisch nichts anderes als eine einfache Exponentialfunktion und
damit viel einfacher zu handhaben.
f (W ) = fFD (W ) =
 W − WF 
1
1
≈ fMB (W ) =
= exp  −

kBT 
 W − WF 
 W − WF 

exp 
1 + exp 


 kBT 
 kBT 
Das Ganze wird dann als “Boltzmann’scher Grenzfall“ der FD-Verteilung
bezeichnet. (Es deutet sich also an, dass es weitere Grenzfälle der FD-Verteilung
gibt.)
Die Elektronenkonzentration berechnet sich damit näherungsweise gemäß:
3
∞
(2me* ) 2
 WF 
 −WL 
 W − WL 
n=
exp
exp
W − WL exp  −
dW




2 3
∫
2π =
kT 
 kT 
 kT  WL

Dieses Integral kann analytisch gelöst werden. Hierzu wird die Substitution
 W − WL 
x =
 verwendet. Mit dieser Substitution müssen die anderen Größen wie
 kBT 
folgt ersetzt werden:
untere Integrationsgrenze:WL → 0 ; obere Integrationsgrenze: ∞ → ∞ .
Weiterhin gilt dW = kBTdx und
W − WL = kBT x . Insgesamt ergibt sich mit
diesen Substitutionen dann der folgende Ausdruck:
3
* 2
e
2 3
3
 WL − W  ∞
(2m )
2
n=
(kBT ) exp  −
 x exp( − x )dx . Hierbei ist das uneigentliche
kBT  ∫0
2π =

π
2
Integral einem mathematischen Nachschlagewerk (will sagen dem „Bronstein“)
entnommen worden. In einer kompakteren Schreibweise können die zahlreichen
Parameter in einen Vorfaktor zusammengefasst werden:
 W − WF 
n = NLeff exp  − L

kBT 

Hierbei ist NLeff die sogenannte effektive Zustandsdichte des Leitungsbandes:
NLeff
3
 2π me* kBT  2
= (kT ) = 2 
 .
h2


3
2
Gleichermassen ergibt sich für das Valenzband
3
die effektive Zustandsdichte des Valenzbandes NVeff
 2π mh* kBT  2
= 2
 und die
2
h


Löcherdichte zu
3
 WV − WF
 2π mh* kBT  2
p = 2
 exp 
2
h


 kBT

.

Formal kann dies so interpretiert werden, dass die beiden Bänder jeweils durch
ein einziges effektives Niveau bei einer einzigen Energie beschrieben werden. Die
vielen Niveaus werden also auf ein einziges Niveau mit einer entsprechend
grossen Zustandsdichte „zusammengezogen“. Die Besetzung dieses Niveaus
erfolgt dann genauso wie in der klassischen statistischen Wärmelehre gemäß
einem Boltzmann-Faktor. Allerdings ist zu beachten, dass die effektive
Zustandsdichte
selbst
temperaturabhängig
und
damit
kein
reiner
Materialparameter ist.
Applets zu dieser Vorlesung:
1. Ladungsträgerkonzentration:
http://jas.eng.buffalo.edu/education/semicon/fermi/levelAndDOS/index.html
2. Temperaturabhängige Fermiverteilung
http://jas.eng.buffalo.edu/education/semicon/fermi/functionAndStates/