Funktionen von Zufallsvariablen und mehrere Zufallsvariablen

In den vorigen Kapiteln wurden eindimensionale (diskrete bzw. stetige) Zufallsvariablen und
deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen behandelt. In vielen Problemstellungen der Statistik
benötigen wir aber die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Funktionen einer oder mehreren
Zufallsvariablen.
Liegt z.B. eine Zufallsvariable X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion f ( x ) vor, so erhält
man durch eine Transformationsfunktion g eine neue Zufallsvariable V = g ( X ) sowie
eine Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Wenn mehrere Zufallsvariablen vorliegen, so sind Zusammenhänge zwischen diesen beiden
Zufallsvariablen vom Interesse. Die gemeinsame Verteilung von zweidimensionalen
Zufallsvariablen ( X ; Y ) heißt bivariate Verteilung und deren Wahrscheinlichkeitsfunktion
ist dann eine Funktion f ( x ; y ) von zwei Variablen.
In manchen Problemstellungen ist aber die Verteilung für den Quotienten aus zwei
Zufallsvariablen oder die Verteilung für die Summe bzw. Differenz oder das Produkt
mehrerer Zufallsvariablen vom Interesse. So könnte z.B. die Summe W zweier
Zufallsvariablen X und Y (W = X ± Y ) eine ähnliche oder eine andere Verteilung wie die für
X und Y besitzen.
Von großer Bedeutung sind ferner die Parameter der Verteilungen für die o.g. Fälle, wie z.B.
der Erwartungswert und die Varianz.
Satz
Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion P ( X = x j ) und sei
V = g ( X ) die transformierte Zufallsvariable. Falls für die Funktion g in ihrem
Definitionsbereich eine Umkehrfunktion u existiert, d.h. wenn für jeden x-Wert nur ein
einziger v-Wert und für jeden v-Wert nur ein einziger x-Wert existiert, wobei u (v ) = x bzw.
v = g ( x ) sind, so ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Zufallsvariable V
P(V=v)= P(X=u(v))
1
Sei X eine geometrischverteilte Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
P ( X = k ) = f (k ) = q
k − 1
⋅p ,
wobei X = k = 1 ; 2 ; 3 ; …. ist.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion der transformierten Zufallsvariable V = X 2 .
Da die Werte, die X annehmen kann alle positiv sind, so hat v = g ( x ) = x 2 in ihrem
v . Daher ergibt sich für die
Definitionsbereich die Umkehrfunktion u (v ) = x =
Zufallsvariable folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion:
P (V = v
) = f (v ) = q
v − 1
⋅ p , wobei V = v = 1 ; 4 ; 9 ;…. Ist
Satz
Sei X eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion f ( x ) und sei V = g ( X ) die
transformierte Zufallsvariable. Falls für die Funktion g in ihrem Definitionsbereich eine
Umkehrfunktion u existiert, d.h. wenn für jeden x-Wert nur ein einziger v-Wert und für jeden
v-Wert nur ein einziger x-Wert existiert, wobei u (v ) = x bzw. v = g ( x ) sind, so ist die
Dichtefunktion für die Zufallsvariable V
h ( v ) = f ( u ( v ) ) | J |,
wobei J = u ( v ) die erste Ableitung der Funktion u nach v ist.
Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit der Dichtefunktion
f (x) =
1
2π σ
exp
2
−
1
x − µ
2
σ
2
,
wobei – ∞ < x < ∞ ist .
Bestimmen Sie die Dichtefunktion ϕ ( z ) der transformierten Zufallsvariable Z =
X − µ
σ
.
(s. auch voriges Kapitel).
X kann alle Werte aus den reellen Zahlen annehmen, da g ( X
)=Z =
X − µ
σ
eine
lineare Funktion von X ist, so existiert für z eine Umkehrfunktion u(z ):
2
u(z ) = x = σ · z + µ
Daher ist
J = u (z ) = σ
Somit ergibt sich für die Zufallsvariable die Dichtefunktion der Standard-Normal-Verteilung:
ϕ(z
)
1
=
exp
2π
−
1 2
z
2
wobei – ∞ < z < ∞ ist
Satz
Sei X eine Zufallsvariable und seien a und b beliebige reelle Zahlen und g( X ) = a X + b
eine Zufallsvariable. Dann gilt
für den Erwartungswert :
E [ g( X ) ] = E [ a X + b ] = a · E [ X ] + b
=
µ g(X)
a·µX
+ b
und für die Varianz :
Var [ g( X ) ] = Var [ a X + b ] = a ² · Var [ X ]
σ ² g(X)
=
a ²·σ²X
!
Sei E [ X ] = µ der Erwartungswert der Normal-Verteilung. Geben Sie den Erwartungswert
X − µ
für die Standard-Normal-Verteilung an.
der transformierten Zufallsvariable Z =
σ
(s. auch voriges Kapitel).
Die Transformationsfunktion lautet:
g(X ) = Z =
X − µ
σ
=
1
σ
⋅X +
−µ
σ
Somit ist der Erwartungswert der Zufallsvariable Z der Standard-Normal-Verteilung:
3
E [g ( X )] = E [Z ] =
µZ
"
Sei Var [ X ] = σ
=
1
σ
1
σ
⋅E[X
⋅ µ
]
+
+
−µ
σ
−µ
σ
= 0
2
die Varianz der Normal-Verteilung. Zeigen Sie, dass für Varianz der
X − µ
transformierten Zufallsvariable Z =
der Standard-Normal-Verteilung, gilt:
σ
Var [ Z ] = 1.
"
Sei X eine (eindimensionale) Zufallsvariable, die die Anzahl von Autos beschreibt, die an
einem Vormittag die Waschanlage C&W passieren. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser
Zufallsvariable ist in der folgenden Tabelle gegeben.
j
X=xj
P ( X = x j) = f (x j)
1
4
1 12
2
5
1 12
3
6
1 4
4
7
1 4
5
8
1 6
6
9
1 6
# Bestimmen Sie die mittlere Anzahl von Autos, die an einem Vormittag die Waschanlage
C&W benutzen.
# Sei g( X ) = 10 X – 5 das Einkommen in € des Betreibers für die Waschanlage.
Geben Sie das mittlere Einkommen für einen Vormittag an.
#
E[X] =
#
E [ g( X ) ] =
4
!
$
%&
'
Es lässt sich leicht zeigen, falls X eine normalverteilte Zufallsvariable ist, so ist die linear
transformierte Zufallsvariable g( X ) = a X + b mit zwei beliebigen reellen Zahlen a und b
ebenfalls normalverteilt.
Aus den Sätzen für den Erwartungswert und die Varianz der linear transformierten
Zufallsvariable g( X ) = a X + b einer beliebigen Zufallsvariable X ist bekannt, dass
µ g(X) = a · µ X + b
bzw. σ ² g(X) = a ² · σ ² X
ist. Somit kann der folgende Satz formuliert werden.
Linearitätssatz der Normalverteilung
Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem Erwartungswert µ X und der Varianz
σ ² X sowie der Dichtefunktion:
1
f (x) =
2π σ
exp
−
2
x
1
x − µx
2
σx
2
Und seien a und b beliebige reelle Zahlen. Dann ist die linear transformierte Zufallsvariable
V = a X + b ebenfalls normalverteilt mit der Dichtefunktion
f (v
)=
1
2π
exp
σ v2
wobei der Erwartungswert µ
v
−
1
v − µv
2
σv
2
,
= a · µ X + b und die Varianz σ ² v = a ² · σ ² X sind.
5
(
)
Zweidimensionale (2D-) Zufallsvariable
Für Zufallsexperimente, in denen gleichzeitig zwei Merkmale beobachtet werden, werden
die beiden Zufallsvariablen X und Y zu einer 2-dimensionalen Zufallsvariable ( X ; Y )
zusammengefasst.
Die Zufallsvariable heißt diskret, wenn sie endlich viele oder abzählbar unendlich viele
reelle Werte (x j ; y k ) eines 2D-Bereich annehmen kann.
Die Zufallsvariable heißt stetig, wenn sie jeden beliebigen reellen Wert (x ; y ) in einem
endlichen oder unendlichen 2D-Bereich annehmen kann.
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Diskreten Zweidimensionalen Zufallsvariable
Seien X und Y diskrete Zufallsvariablen mit den Werten x 1 , x 2 , . . . bzw. y 1 , y 2 , . . .
Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung einer 2-dimensionalen diskreten
Zufallsvariable (X ; Y ) lässt sich wie folgt durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion
beschreiben.
f (x j ; y k ) = p j k = P ( X = x j ; Y = y k ) = P ( [ X = x j ] ∩ [ Y = y k ] )
Dabei ist p j k die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ( X ; Y ) den Wert (x j ; y k) annimmt.
Die Verteilungsfunktion einer 2-dimensionalen diskreten Zufallsvariable ( X ; Y ) ist die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass ( X ; Y ) einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich eines
vorgegebenen reellen Werts ( x ; y ) ist.
F ( x ;y
(
) = P(X ≤ x ; Y ≤y ) =
f x
xj ≤ x
j
;y k
)
yk ≤ y
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion erfüllt folgende Eigenschaften:
f (x j ; y k )
(
f xj ; y
j
0
k
)=
1
k
6
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Stetigen Zweidimensionalen Zufallsvariable
Seien X und Y stetige Zufallsvariablen. Dann lässt sich die gemeinsame
Wahrscheinlichkeitsverteilung einer 2-dimensionalen stetigen Zufallsvariable ( X ; Y )
durch die Dichtefunktion (Wahrscheinlichkeitsdichte) f (x ; y) oder durch die
dazugehörige Verteilungsfunktion:
y
x
F(x; y
) = P(X ≤ x ; Y ≤y ) =
f ( u ; v ) dv du
− ∞ − ∞
beschreiben.
Die Dichtefunktion erfüllt folgende Eigenschaften:
f (x ; y )
0
f ist stetig bis auf endliche Punkte
∞
∞
f ( x ; y ) dy dx = 1
− ∞ − ∞
*
Eine Packung enthält insgesamt 8 Speicherchips. Dabei sind 3 Chips von Hersteller A, 2
von Hersteller B und 3 Chips von Hersteller C. Es werden zufällig 2 Chips (ohne
Zurücklegen) entnommen. Sei X die Anzahl der Chips von Hersteller A bei der Entnahme.
Und sei Y die Anzahl der Chips von Hersteller B bei der Entnahme.
# Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion der zweidimensionalen Zufallsvariable
( X ; Y ) an.
# Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei den 2 entnommen Chips einer von
Hersteller A und einer von Hersteller B ist
# n=2;
X= xj=j = 0;1;2
Y= yk=k = 0;1;2
3
(
f x
j
)
; y k = P ( X = j ;Y = k
j
)=
2
⋅
k
3
⋅
2 − j − k
8
2
#
3
f ( 1; 1 ) = P ( X = 1 ; Y = 1
)=
1
⋅
2
1
3
⋅
2 −1 − 1
8
2
7
+
Ein elektronisches System besteht aus zwei voneinander unabhängigen Komponenten,
wobei X bzw. Y Zufallsvariablen für die Lebensdauer (in Jahren) der 1. bzw. 2.
Komponenten sind. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Lebensdauer des Systems ist
durch folgende Dichtefunktion gegeben.
f (x ; y
0
)=
8e
sonst
(2x+ 4y )
−
x > 0 ; y > 0
für
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lebensdauer der 1. Komponente
weniger als 1 [Jahr] und die der 2.Komponente weniger als 3 [Jahre] beträgt.
P(X ≤ 1 ; Y ≤ 3) =
=
1
3
−∞
0
−∞
0
−∞
−∞
f ( x ; y ) dy dx
0 ⋅ dy dx
0
=
=
=
1
0
8e
[1
−2x
− e
⋅
− 12
+
4
[1
]⋅ [ 1
3
0
0
1
+
1
1
0
− e
− 12
− e
−2
]
8 e
]dx
8 e−(2x
−2x
−
[
1
4
+ 4y
) dy dx
3
⋅e
= 2 1 − e
−4y
dx
0
− 12
]⋅
−
1
2
1
e
−2x
0
= 0 , 9599 ⋅ 0 , 8646 ≈ 0 , 8299
"
!
Die Verteilungsfunktion für das obige Bsp. lautet:
F(x ; y
)=
0
[1
− e −2x
]⋅[1
für
− e−4y
]
für
x ≤ 0 ; y ≤ 0
x > 0 ; y > 0
Lösen Sie das obige Beispiel mit Hilfe der Verteilungsfunktion
8
,
&
)
Randverteilungen zweier diskreten Zufallsvariablen
Sei (X ; Y ) eine 2-dimensionale diskrete Zufallsvariable mit der
Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x j ; y k ) Dann ist
die Randverteilung für X die Summe über alle Werte von Y:
fX
(x j )
(
= P X=x
j
)
(
f x
=
j
;y k
)
k
die Randverteilung für Y die Summe über alle Werte von X:
fY
(y k )
= P (Y = y k
)
(
f x
=
j
;y k
)
j
Randverteilungen einer Stetigen Zweidimensionalen Zufallsvariable
Sei (X ; Y ) eine 2-dimensionale stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion f (x ; y )
Dann ist
die Randverteilung von X gegeben durch:
∞
fX
(x) =
f (x ; y
) dy
−∞
die Randverteilung von Y gegeben durch:
∞
fY ( y ) =
f (x ; y
) dx
−∞
9
"
*
In der folgenden Tabelle sind die einige Werte der gemeinsamen
Wahrscheinlichkeitsfunktion aus Bsp. 4) sowie die Randwahrscheinlichkeiten eingetragen
ergänzen Sie diese Tabelle.
0
Y=yk
1
2
f(0;1)
f(0;2)
Randverteilung
X= xj
2
0
f(0;0)
fX
f (0 ; y k
(0) =
)
k =0
= 3 28
= 6 28
= 1 28
= 10
1
f(1;0)
f(1;1)
f(1;2)
= 9 28
= 6 28
=0
28
fX(1) =
2
Randverteilung
2
fY
(0 ) =
(
f x
j
;0
)
j =0
!
&
-
)
Wenn wir bei der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse A und B
P(B | A
)
=
P ( B A)
P(A)
die Ereignisse durch zwei Zufallsvariablen X bzw. Y ersetzten, erhalten wir die bedingte
Verteilung der einer Variable unter der Nebenbedingung, dass die andere Variable einen
bestimmten Wert annimmt.
P
[X = x j ]
[Y = y k ]
P
=
( [ X = x j ] [Y = y k ] )
P (Y = y k
)
P
=
( X=xj
; Y =yk
P (Y = y k
)
)
10
Bedingte Verteilung zweier diskreten Zufallsvariablen
Sei (X ; Y ) eine 2-dimensionale diskrete Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x j ; y k ) . Dann ist
.#
die bedingte Verteilung von X unter der Bedingung, dass Y den Wert y k
annimmt, gegeben durch:
f x j ;y k
f x j | yk
=
fY ( y k )
(
)
(
)
wobei f Y (y k ) die Randverteilung für Y ist
..#
die bedingte Verteilung von Y unter der Bedingung, dass X den Wert x j
annimmt, gegeben durch:
f x j ;y k
f yk | x j
=
fX x j
(
)
(
)
(
)
wobei f X (x j ) die Randverteilung für X ist
Bedingte Verteilung zweier stetigen Zufallsvariablen
Sei (X ; Y ) eine 2-dimensionale stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion f (x ; y ).
Dann ist
.#
die bedingte Verteilung von X unter der Bedingung, dass Y den Wert y
annimmt, gegeben durch:
f (x ; y )
f (x | y ) =
,
fY ( y )
wobei f Y (y ) die Randverteilung für Y ist
..#
die bedingte Verteilung von Y unter der Bedingung, dass X den Wert x
annimmt, gegeben durch:
f (x ; y )
f (y | x ) =
,
fX (x )
wobei f X (x ) die Randverteilung für X ist
11
/
Aus der Packung aus Bsp. 4) werden nacheinander zufällig zwei Chips gezogen, der erste
Chip ist von Hersteller A. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Chip von
Hersteller B ist?
Randverteilung für X = x j = 1 :
2
fX
f ( 1; y k
( 1) =
)
= f (1 ; 0) + f (1 ; 1) + f (1 ; 2) = 15
28
k =0
Bedingte Wahrscheinlichkeit für Y unter der Bedingung, dass X = x j = 1 ist:
(
f yk | x
j
)
(
j
fX
(x j )
f x
=
;y k
)
f ( y k | 1) =
f (1 ; y k
15
)
28
Bedingte Wahrscheinlichkeit für Y = y k = 1 unter der Bedingung, dass X = x j = 1 ist:
f ( 1 | 1) =
f ( 1 ;1)
15
28
6
=
15
28
28
=
6
15
= 0,4
"
+
Aus der Packung aus Bsp. 4) werden nacheinander zufällig zwei Chips gezogen, der erste
Chip ist von Hersteller B. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der zweite Chip von
Hersteller A ist?
12
*
0
1
$
%)
Unabhängigkeit Zweier Zufallsvariablen
Seien X und Y Zufallsvariablen (diskrete oder stetige). Dann heißen X und Y unabhängig,
wenn die Ereignisse X x und Y y für beliebige Zahlen x und y unabhängig sind, also
falls gilt:
P(X x ; Y y) = P(X x ) · P(Y y)
Wenn dies auch nur für ein Wert (x ; y ) nicht erfüllt ist, dann heißen X und Y abhängig.
Sei (X ; Y ) eine 2-dimensionale diskrete Zufallsvariable ist, dann muss für eine
Unabhängigkeit von X und Y für alle Wert (x j ; x j ) gelten :
.#
f (x j ; y k )
=
fX(xj ) · fY(yk) ,
wobei f X (x j ) die Randverteilung für X , f Y (y k ) die Randverteilung für Y und
f (x j ; y k ) die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist.
..#
Sei (X ; Y ) eine 2-dimensionale stetige Zufallsvariable ist, muss für eine
Unabhängigkeit von X und Y gelten :
f(x ; y)
=
fX(x ) · fY(y)
wobei f X (x) die Randverteilung für X , f Y (y ) die Randverteilung für Y und
f (x ; y ) die Dichtefunktion ist.
"
/
Sind die Zufallsvariablen X und Y aus Bsp. 4 unabhängig oder abhängig voneinander?
Randverteilungen:
2
fX
f (0 ; y k
(0 ) =
)
=
;
f X (1 ) =
;
f X (2 ) =
)
=
;
f Y (1 ) =
;
f Y (2 ) =
k=0
2
fY
(0 ) =
(
f x
j
; 0
j=0
Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
f (0 ; 0 ) = 3 28
;
f (0 ; 1 ) =
f (1 ; 0 ) =
;
f (1 ; 1 ) =
f (2 ; 0 ) =
;
f (2 ; 1 ) =
Bedingung für die Unabhängigkeit von X und Y :
f (x j ; y k ) =
fX(xj ) · fY(yk)
; f (0 ; 2 ) =
; f (1 ; 2 ) =
; f (2 ; 2 ) =
13
"
Zeigen Sie, dass die Zufallsvariablen X und Y aus Bsp. 5 unabhängig sind.
Randverteilungen:
∞
fX
(x) =
f (x ; y
) dy
−∞
=
∞
0
= 8e
8 e −(2x
−2x
−
1
4
+ 4y
∞
) dy =
0
8 e − 2 x ⋅ e − 4 y dy
∞
⋅e
−4y
= 8e −2x ⋅
0
1
4
[1
− 0] = 2e −2 x
∞
fY
(y ) =
f (x ; y
) dx
−∞
=
∞
0
= 8e
8 e −(2x
−4y
−
1
2
+ 4y
∞
) dx =
0
8 e − 4 y ⋅ e − 2 x dx
∞
⋅e
−2x
= 8e −4y ⋅
0
1
2
[1
− 0] = 4e −4y
Bedingung für die Unabhängigkeit von X und Y :
f(x ; y)
=
fX(x ) · fY(y)
In einer Lieferung befinden sich 12 Kugeln, von denen 4 blau sind. Es werden 2 Kugeln mit
Zurücklegen gezogen. Dabei sind folgende Ereignisse definiert:
A: Blaue Kugel bei der 1. Ziehung,
A : Keine blaue Kugel bei der 1. Ziehung,
B: Blaue Kugel bei der 2. Ziehung,
B : Keine blaue Kugel bei der 2. Ziehung
Die Zufallsvariablen für die obigen Ereignisse lauten dann:
X: Ziehen einer Kugel bei der 1. Ziehung
Dabei nimmt X die Werte 0 für eine nicht-blaue Kugel und 1 für eine blaue Kugel an.
Y: Ziehen einer Kugel bei der 2. Ziehung
Dabei nimmt Y die Werte 0 für eine nicht-blaue Kugel und 1 für eine blaue Kugel an.
Zeigen Sie, dass die Zufallsvariablen X und Y unabhängig sind.
14
A
P(A
B
B
B) = 16/144
4/12
A
A
8/12
4/12
P(A
B
B) = 32/144
A
B
8/12
4/12
P(A
A
B
B
B) = 32/144
8/12
A
B
B
P(A
B)) = 64/144
Da (X ; Y ) eine diskrete 2-dimensionale Zufallsvariable ist gilt:
P ( X = x j ; Y = y k ) = f (x j ; y k )
fX
f (x ;y k
(x) = P(X = x) =
)
k
fY
(
( y ) = P (Y = y ) =
f x
j
;y
)
j
0
Y
1
X
0
f ( 0 ; 0 )=
64
f ( 0 ; 1 )=
144
f X ( 0 ) = f (0 ; 0) + f (0 ; 1)
32
144
=
1
f ( 1 ; 0 )=
32
f ( 1 ; 1 )=
144
144
+
32
144
=
8
12
f X ( 1 ) = f (1 ; 0) + f (1 ; 1)
16
144
=
f Y( 0 ) = f (0 ; 0) + f (1 ; 0)
64
32
144
+
16
144
=
4
12
f Y( 1 ) = f (0 ; 1) + f (1 ; 1)
12
=
64
144
+
32
144
=
8
12
=
32
144
+
16
144
=
4
12
12
Für alle Wertepaare ( x ; y ) muss gelten: P ( X = x ; Y = y ) = P ( X = x ) · P ( Y = y )
f ( 0 ; 0 )=
f ( 0 ; 1 )=
f ( 1 ; 0 )=
f ( 1 ; 1 )=
64
144
32
144
32
144
16
144
f X ( 0 ) · f Y( 0 ) =
8
·
8
=
64
12 12
144
8 4
32
f X ( 0 ) · f Y( 1 ) =
·
=
12 12
144
4 8
32
f X ( 1 ) · f Y( 0 ) =
·
=
12 12
144
4 4
16
f X ( 1 ) · f Y( 1 ) =
·
=
12 12
144
Da die Bedingung erfüllt ist, sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig.
15
+
&
Erwartungswert (Mittelwert)
.#
Sei (X ; Y ) eine 2-dimensionale diskrete Zufallsvariable mit der
Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x j ; y k ).
Dann ist der Erwartungswert von X :
µX = E[X ] =
x
j
j
(
⋅f x
j
; yk
)=
k
⋅ fX
(x j )
y k ⋅ fY
(y k )
x
j
j
, wobei f X (x j ) die Randverteilung für X ist.
Dann ist der Erwartungswert von Y :
(
µ Y = E [Y ] =
yk ⋅f x
j
j
; yk
)=
k
k
, wobei f Y (y k ) die Randverteilung für Y ist.
..#
Sei (X ; Y ) eine 2-dimensionale stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion
f (x ; y ) .
Dann ist der Erwartungswert von X :
∞
∞
µX = E[X ] =
∞
x ⋅ f ( x ; y ) dy dx =
−∞ −∞
x ⋅ fX
( x ) dy dx
−∞
, wobei f X (x ) die Randverteilung für X ist.
Dann ist der Erwartungswert von Y :
∞
∞
µ Y = E [Y ] =
∞
y⋅f (x ; y
−∞ −∞
)=
y ⋅ fY
( y ) dy dx
−∞
, wobei f Y (y ) die Randverteilung für Y ist.
"
2
Berechnen Sie die beiden Mittelwerte (Erwartungswerte) für das Bsp. 4).
16
Varianz
Sei (X ; Y ) eine 2-dimensionale diskrete Zufallsvariable mit der
Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x j ; y k ).
.#
2
Dann ist die Varianz von X : Var [ X ] = E [ ( X – E [ X ] ) ]
σ
2
X
(x j
=
j
)2
−µX
(
⋅f x
j
; yk
)=
(x j
k
−µX
)2
⋅ fX
(x j )
j
, wobei µ X der Erwartungswert und f X (x j ) die Randverteilung für X ist.
2
Dann ist die Varianz von Y : Var [ Y ] = E [ ( Y – E [ Y ] ) ]
σ Y2 =
(y k
j
− µY
)2
(
⋅f x
; yk
j
)=
k
(y k
− µY
)2
⋅ fY
(y k )
k
, wobei µ Y der Erwartungswert und f Y (y k ) die Randverteilung für Y ist.
Sei (X ; Y ) eine 2-dimensionale stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion
f (x ; y ) .
..#
2
Dann ist die Varianz von X : Var [ X ] = E [ ( X – E [ X ] ) ]
:
∞
σ
2
X
∞
∞
(x − µX )
=
2
( x − µ X )2
⋅ f ( x ; y ) dy dx =
−∞ −∞
( x ) dx
⋅ fX
−∞
, wobei µ X der Erwartungswert und f X (x ) die Randverteilung für X ist.
2
Dann ist die Varianz von Y : Var [ Y ] = E [ ( Y – E [ Y ] ) ]
∞
σ Y2
∞
∞
( y − µY )
=
2
( y − µY )2
⋅ f ( x ; y ) dy dx =
−∞ −∞
⋅ fY
( y ) dy
−∞
, wobei µ Y der Erwartungswert und f Y (y ) die Randverteilung für Y ist.
Die Varinazen Var [ X ] bzw. Var [ Y ] lassen sich leichter mit den folgenden bequemeren
Formeln berechnen.
2
2
2
2
Var [ X ] = E [ X ] – ( E [ X ] )
;
Var [ Y ] = E [ Y ] – ( E [ Y ] )
.#
Falls X und Y diskret sind, dann sind die Varianzen:
σ
2
X
x 2j ⋅ f X
=
(x j )
− µ X2
σ Y2 =
;
y k2 ⋅ f Y
j
..#
(y k )
− µ Y2
k
Falls X und Y stetig sind, dann ist die Kovarianz:
∞
σ
2
X
∞
x
=
−∞
2
⋅ fX
( x ) dx
−
µ X2
;
σ Y2
y
=
2
⋅ fY
( y ) dy
− µ Y2
−∞
17
Kovarianz
...#
Sei (X ; Y ) eine 2-dimensionale diskrete Zufallsvariable mit der
Wahrscheinlichkeitsfunktion f (x j ; y k ). Dann ist die Kovarianz Cov [ X ; Y ]
von X und Y :
σ
XY
= E [( X − µ X
(x j
=
j
) ⋅ (Y
− µY
− µX
)⋅(y k
)]
− µY
)⋅ f ( x j
; yk
)
k
, wobei E [ X ] = µ X und E [ Y ] = µ Y die Erwartungswerte von X bzw. Y sind.
.-#
Sei (X ; Y ) eine 2-dimensionale stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion
f (x ; y ) . Dann ist die Kovarianz Cov [ X ; Y ] von X und Y :
σ
XY
= E [( X − µ X
∞
) ⋅ (Y
− µY
)]
∞
(x
=
)⋅(y
− µX
− µY
)⋅ f ( x
; y ) dy dx
−∞ −∞
, wobei E [ X ] = µ X und E [ Y ] = µ Y die Erwartungswerte von X bzw. Y sind.
Die Kovarianz Cov [ X ; Y ] lässt sich leichter mit den folgenden bequemeren Formeln
berechnen.
Cov [ X ; Y ] = E [ X · Y ] – E [ X ] · E [ Y ]
...#
Falls X und Y diskret sind, dann ist die Kovarianz:
σ
XY
x
=
j
.-#
j
(
⋅yk ⋅f x
j
; yk
)
− µ X ⋅ µY
k
Falls X und Y stetig sind, dann ist die Kovarianz:
∞
σ
XY
∞
x ⋅ y ⋅ f ( x ; y ) dy dx
=
− µ X ⋅ µY
−∞ −∞
Sind X und Y unabhängig, dann ist die Kovarianz Cov [ X ; Y ] = 0.
Ist die Kovarianz Cov [ X ; Y ] 0 , so sind X und Y abhängig.
18
"
3
Berechnen Sie die Kovarianz für das Bsp. 4).
!
!
&
&
%)
Satz
Für den Erwartungswert (Mittelwert) der Summe bzw. Differenz von zwei Zufallsvariablen
X und Y gilt:
E[X±Y] = E[X] ± E[Y]
µ X±Y
=
µX
±
µY
Dabei ist egal , ob X und Y unabhängig oder abhängig sind.
Satz
Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen. Dann gilt für die Varianz der Summe bzw.
Differenz von zwei Zufallsvariablen X und Y :
Var [ X ± Y ] = Var [ X ] + Var [ Y ]
σ ² X±Y
=
σ²X
+
Für die Standardabweichung gilt: σ
!
"&&
%&
σ²Y
X± Y
=
( Var [ X ] + Var [ Y ] )
'
Es lässt sich zeigen, falls X und Y zwei normalverteilte Zufallsvariablen sind, so ist ihre
Summe X + Y ebenfalls normalverteilt.
Aus den Sätzen für den Erwartungswert und die Varianz der Summe zweier beliebigen
Zufallsvariablen X und Y ist bekannt, dass
µ X+Y = µ X + µ Y
bzw.
σ ² X+Y = σ ² X + σ ² Y
ist. Somit kann der folgende Satz formuliert werden.
19
Additionssatz der Normalverteilung
Seien X und Y unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit den Erwartungswerten
µ X bzw. µ Y sowie den Varianzen σ ² X bzw. σ ² Y und den Dichtefunktionen:
f (x
1
) = fX (x ) =
exp
2π σ
−
2
x
2
1 x − µx
2
σx
bzw.
f (y
1
) = fY ( y ) =
2π σ
exp
2
y
−
1 y − µy
2
2
σy
Dann ist die Summe der beiden Zufallsvariablen W = X + Y ebenfalls normalverteilt mit
der Dichtefunktion
f (w
1
)=
2π
exp
−
σ w2
1
w − µw
2
σw
2
,
wobei der Erwartungswert µ w = µ X + µ Y und die Varianz σ ² W = σ ² X + σ ² Y sind.
Die folgenden Abbildungen zeigen graphisch die Vorgehensweise bei der Beweisführung
des obigen Satzes:
fX ( x )
fY ( y )
σY
σX
0
f ( x ; y ) = fX ( x ) · f
0
x
µX
Y
(y)
f( w )
y
µY
y
σW = σ ²X + σ ²Y
W=X+Y
w
µY
µX
x
0
µW = µX + µY
20
Die Differenz W = Y – X zweier normalverteilter Zufallsvariablen X und Y ist ebenfalls
normalverteilt. Der Erwartungswert von W ist dann µ W = µ Y − µ X und die Varianz
2
ist σ W
= σ Y2 + σ
2
X
.
"
4
Eine Maschine produziert Bolzen, deren Durchmesser normalverteilt ist mit dem Mittelwert
µ X = 9,8 [mm] und der Standardabweichung σ X = 0,1 [mm]. Eine andere Maschine stellt
Buchsen her, deren Durchmesser normalverteilt sind mit dem Mittelwert µ Y = 10,0 [mm]
und der Standardabweichung σ Y = 0,08 [mm].
5 )
Die beiden Durchmessern dürfen als unabhängig
voneinander betrachtet werden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bolzen in eine beliebig
ausgewählte Buchse passt?
σW = σ ²X + σ ²Y
f(w)
w0 = 0
µW = 0,2
µW = µY – µX
w
Der Durchmesser X der Bolzen ist
normalverteilt und der Innendurchmesser Y
der Buchsen ist ebenfalls normalverteilt.
Somit sind nach dem Additionssatz der
Normalverteilung die Summe oder die
Differenz der Durchmessern der beiden
auch normalverteilt. Ein Bolzen passt dann,
wenn Y > X ist, d.h., es muss gelten:
W= Y – X >0
21