10. Theoretische Verteilungen

Skript zum Modul 141 - Statistik
10. Theoretische Verteilungen
10.1. Diskrete theoretische Verteilungen
In der deskriptiven Statistik wurden die einfachen Häufigkeiten und die Summenhäufigkeiten von Merkmalsausprägungen ermittelt um ein visuelles Bild der Verteilung zu
erhalten. Hierbei wurde davon ausgegangen, dass die Verteilung der Stichprobe
auch der der Grundgesamtheit entspricht.
Für die Beschreibung einer Verteilung durch eine Verteilungsfunktion, dem Ziel der
schließenden Statistik, gibt es je nach Ausprägung der Variablen unendlich viele
Möglichkeiten.
Um tatsächlich von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit zu schließen müssen
hierfür aus dieser unendlichen Menge von möglichen Verteilungsfunktionen diejenige
identifiziert werden, die die Verteilung der Grundgesamtheit möglichst gut erfassen
oder zumindest approximieren.
Je nach Ausprägung der Zufallsvariablen (stetig oder diskret) existieren eine Anzahl
von theoretischen Verteilungsfunktionen, mit denen sich eine Vielzahl von Zufallsexperimenten gut beschreiben lassen.
Jede dieser theoretischen Verteilungen ist von bestimmten Randbedingungen abhängig die ihre Gültigkeit beschreiben. In der Praxis gilt es dann auf Grund der Ausprägung des Zufallsexperimentes die geeignetste Funktion zu wählen um mit ihr von
der Stichprobe auf die Grundgesamtheit zu schließen.
10.1.1. Bernoulli Verteilung
Grundlage für die Bernoulli Verteilung ist das Bernoulli Experiment. Als Bernoulli Experiment gilt ein Experiment, wenn ein Zufallsvorgang die folgenden Kriterien erfüllt:
1. Für jeden Versuch gibt es nur zwei mögliche Ausgänge
2. Die Wahrscheinlichkeiten bleiben bei jedem Durchgang gleich
3. Die einzelnen Durchführungen sind unabhängig voneinander
Beispiele für Bernoulli Experimente sind:
•
Münzwurf
•
Ziehen einer roten oder schwarzen Karte aus einem Kartenspiel
Generell ist die Bernoulli Verteilung dann geeignet, wenn lediglich die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens (ob oder ob nicht) eines bestimmten Ereignisses untersucht
werden soll.
Für die Ableitungen der Wahrscheinlichkeiten können die Komponenten eines Bernoulli Experimentes folgendermaßen beschrieben werden:
•
Für die Ausprägung der Zufallsvariable X gibt es genau zwei mögliche Ausgänge (0,1).
•
p : Ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen: Ausgang = 1
•
q = (1-p) : Ist die Wahrscheinlichkeit des Nichteintreffens: Ausgang = 0
10-1
Skript zum Modul 141 - Statistik
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ergibt sich somit nach:
für
⎧p
⎪
f ( x) = ⎨ q
für
⎪ 0 sonst
⎩
X =1
X =0
Der Erwartungswert der Bernoulli Verteilung ergibt sich nach:
n
µ = E( X ) = ∑ X i ⋅ p = p
i =1
Die Varianz der Bernoulli Verteilung ergibt sich nach:
n
σ = ∑ ( xi − µ )2 ⋅ f ( xi ) = (1 − p ) ⋅ p = p ⋅ q
2
i =1
Beispiele:
•
Bei einem Münzwurfexperiment soll der Ausgang Kopf als Erfolg gewertet
werden.
•
Aus einem Kartenspiel (32 Blatt) soll ein König gezogen werden.
Die Parameter ergeben sich dann wie folgt:
Münzwurf
Kartenspiel
p
0.5
0.125
q
0.5
0.875
µ
0.5
0.125
σ²
0.25
0.109375
10.1.2. Binominal Verteilung
Die Binominalverteilung (von lat. „ex binis nominibus“ bed. „aus zwei Ausdrücken“)
kann als eine Serie von Bernoulli-Verteilungen aufgefasst werden.
Bei der Bernoulli Verteilung war nur von Interesse wie hoch die Wahrscheinlichkeit
bei einem einmaligen Versuch war.
Die Binominalverteilung dagegen untersucht:
„Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Ausgang bei mehrmaliger Wiederholung des Experimentes, wenn nach jedem Versuch das gezogene Element zurückgelegt wird“
Die klassische Beschreibung dieser Experimente ist das Ziehen einer Kugel aus einer Urne mit Zurücklegen der gezogenen Kugel nach jedem Experiment. Oder kurz
ausgedrückt: Ziehen mit Zurücklegen
10-2
Skript zum Modul 141 - Statistik
Beispiele für Binominalverteilungen:
•
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei fünfmaligen Ziehen und anschließendem Zurücklegen aus einem Kartenstapel genau einen König zu erhalten.
•
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei fünfmaligem Ziehen ein Pik oder mehr
zu erhalten.
•
Geburten in einer Stadt, wobei der Ausgang A die Geburt eines Mädchens sei.
•
Qualitätskontrolle bei der Serienproduktion mit dem Ausgang A als defektes
Produkt.
Da bei der Binominalverteilung das Ziehen mit Zurücklegen betrachtet wird, folgt
daraus, dass die einzelnen Ausgänge und damit ihre Wahrscheinlichkeiten stochastisch unabhängig sind (vgl. Sitzung 10). Daraus lässt sich die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binominalverteilung ableiten:
1) Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen von A sei p und
2) Die Wahrscheinlichkeit für das Nichteintreffen sei q = 1 - p
3) Die Anzahl der Versuche sei n
4) Die Anzahl der Realisierungen (= Erfolge) von A sei x
Das erste Beispiel lässt sich damit folgendermaßen ausdrücken:
p = König = 4/32 = 0.125
q = nicht K = 0.875
n = 5 und x = 1
Die fünf Versuche können dabei unterschiedliche Ausprägungen annehmen um als
Erfolg gewertet zu werden. Sie unterscheiden sich in der Frage in welchem Zug der
König gezogen wurde. Im Einzelnen sind folgende Versuchsausgänge möglich (K =
König; nK = kein König):
K, nK, nK, nK, nK oder
nK, K, nK, nK, nK oder
nK, nK, K, nK, nK oder
nK, nK, nK, K, nK oder
nK, nK, nK, nK, K
Daraus ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten:
K, nK, nK, nK, nK = 0.125, 0.875, 0.875, 0.875, 0.875
Bei stochastischer Unabhängigkeit ergibt sich somit für die Wahrscheinlichkeit eines
Ausgangs der fünf möglichen:
W1 = 0.125 ⋅ 0.875 ⋅ 0.875 ⋅ 0.875 ⋅ 0.875
= 0.125 ⋅ 0.875 4
= 0.07328
10-3
Skript zum Modul 141 - Statistik
Da alle fünf Ausgänge gleichwahrscheinlich sind ergibt sich als Gesamtwahrscheinlichkeit:
Wges = 0.07328 · 5 = 0.366
Bei fünfmaligem Ziehen einer Karte aus einem Kartenspiel und Zurücklegen nach
jedem Zug ist die Wahrscheinlichkeit genau einen König zu ziehen 0.366 oder 37%.
Für das zweite Beispiel, bei fünfmaligem Ziehen mindestens 1 Pik oder mehr zu erhalten, ergibt sich:
p = Pik = 1/4 = 0.25 und
q = nicht Pik = 0.75
n = 5 und x = 1
Für ein Pik:
5 · 0.25 · 0.754 = 0.396
Für zwei Pik:
10 · 0.25² · 0.753 = 0.264
Für drei Pik:
10 · 0.253 · 0.75² = 0.088
Für vier Pik:
5 · 0.254 · 0.75 = 0.015
Für fünf Pik:
1 ·0.255 = 0.001
Damit sind die Funktionswerte f(x) der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binominalverteilung für dieses Experiment gefunden.
Die mathematische Abstraktion dieser Funktionswerte ergibt für die Binominalverteilungsfunktion folgende Gleichung:
f ( x | n; p ) =
⎛n⎞
n!
p x ⋅ q n − x = ⎜⎜ ⎟⎟ p x ⋅ q n − x
x!(n − x)!
⎝ x⎠
Die Wahrscheinlichkeit 3 Pik bei 5 Zügen mit Zurücklegen zu erhalten ergibt sich
damit nach:
f (3 | 5;0.25) =
5!
0.253 ⋅ 0.755−3
3!(5 − 3)!
120
⋅ 0.015625 ⋅ 0.5625
6⋅2
= 0.08784
=
Die Wahrscheinlichkeit genau 3 Pik zu ziehen beträgt also 0.08784 oder 8.8%.
Durch Kumulieren der Einzelwahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausprägungen, ergibt sich die Verteilungsfunktion F(x) der Binominalverteilung des Beispieles.
10-4
Skript zum Modul 141 - Statistik
Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x):
0.5
0.4
f(x)
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
4
5
Anzahl der günstigen Ausgänge
Verteilungsfunktion F(x):
1.0
0.8
F(x)
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
Anzahl der günstigen Ausgänge
Der Erwartungswert µ der Binominalverteilung berechnet sich nach:
n
n
x =0
x =0
⎛n⎞
⎝ x⎠
µ = ∑ x ⋅ f ( x) = ∑ x ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ p x q n − x
Da die Einzelausprägungen der Binominalverteilung als Bernoulli Experiment
(E(x) = p) betrachtet werden können, kann E(x) auch einfacher berechnet werden
als:
n
µ = ∑ p = np
x =0
Die Varianz σ² der Binominalverteilung ergibt sich nach:
n
σ = ∑ p⋅q = n⋅ p⋅q
2
x =0
10-5
Skript zum Modul 141 - Statistik
10.1.3. Hypergeometrische Verteilung
Im Gegensatz zur Binominalverteilung, die den mehrmaligen Versuch mit Zurücklegen beschreibt, wird durch die Hypergeometrische Verteilung die Wahrscheinlichkeit für die mehrmalige Wiederholung des Versuches ohne Zurücklegen der gezogenen Elemente betrachtet.
„Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für einen positiven Ausgang bei mehrmaliger Wiederholung des Experimentes ohne Zurücklegen der Elemente“
Die klassische Beschreibung dieser Experimente ist das Ziehen einer Kugel aus einer Urne ohne Zurücklegen der gezogenen Kugel nach jedem Experiment. Oder kurz
ausgedrückt: Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiele:
•
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen von fünf Karten aus einem
Kartenstapel einen König zu erhalten.
•
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit beim Ziehen von fünf Karten ein Pik oder
mehr zu erhalten.
•
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit 6 Richtige im Lotto zu haben.
Im Gegensatz zur Binominalverteilung, die von zwei Parametern (n, p) abhängig war,
ist die Hypergeometrische Verteilung von 3 Parametern abhängig:
N
:
Gesamtzahl aller Elemente
M
:
Anzahl der Günstigen in N
n
:
Anzahl der Versuche
Für das erste Beispiel ergeben sich folgende Parameter:
N = 32; M = 4; n = 5
Die Wahrscheinlichkeit einen König zu ziehen (x = 1) berechnet sich mit diesen Parametern nach:
⎛ M ⎞⎛ N − M ⎞ ⎛ 4 ⎞⎛ 32 − 4 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜
⎟⎟
x
n
x
−
−
1
5
1
⎠ = ⎝ ⎠⎝
⎠ = 0.407
f ( x = 1) = ⎝ ⎠⎝
⎛N⎞
⎛ 32 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
n
⎝ ⎠
⎝5⎠
Die allgemeine Form der Wahrscheinlichkeitsfunktion ist somit:
⎧ ⎛ M ⎞⎛ N − M ⎞
⎟⎟
⎪ ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜
x
n
x
−
⎠
⎪⎪ ⎝ ⎠⎝
f ( x) = ⎨
⎛N⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎪
⎝n⎠
⎪
⎪⎩
0
für max(0, n − M − N ) ≤ x ≤ min(n, M )
sonst
10-6
Skript zum Modul 141 - Statistik
Daraus ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten keinen, einen, zwei, drei oder vier Könige ohne Zurücklegen zu ziehen:
f(0) = 0.488
f(1) = 0.407
f(2) = 0.098
f(3) = 0.008
f(4) = 0.00014
Das ist die gleiche Wahrscheinlichkeit die beim Ziehen von fünf Karten auf einmal
resultieren würde.
Der Erwartungswert E(x) ist gleich dem Erwartungswert der Binominalverteilung,
obwohl unterschiedliche Voraussetzungen vorliegen. Er berechnet sich nach:
n
µ = ∑ p = np = n
x =0
M
N
Die Varianz σ² dagegen berechnet sich unterschiedlich nach:
σ 2 = n ⋅ p ⋅ (1 − p ) ⋅
M ⎛ M ⎞ N −n
N −n
= n ⋅ ⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅
N −1
n ⎝
N ⎠ N −1
Für das Beispiel ergibt sich µ und σ² nach:
µ =n
M
4
= 5 = 0.625
N
32
σ 2 = 5⋅
4 ⎛
4 ⎞ 32 − 5
⋅ ⎜1 − ⎟ ⋅
= 0.476
32 ⎝ 32 ⎠ 32 − 1
Die Verteilungsfunktion F(x) ergibt sich wieder aus den kumulierten Wahrscheinlichkeiten der Einzelwahrscheinlichkeiten:
Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x)
0.6
0.5
f(x)
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
Anzahl der Günstigen
10-7
3
4
Skript zum Modul 141 - Statistik
Verteilungsfunktion F(x)
1.0
0.8
F(x)
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
Anzahl der Günstigen
10.2. Stetige theoretische Verteilungen
Im Gegensatz zu den diskreten Verteilungen können bei stetigen Verteilungen die
Wahrscheinlichkeiten unendlich viele Realisationen innerhalb des Wertebereiches
annehmen.
Je nach Ausprägung der Zufallsvariablen existieren eine Anzahl von theoretischen
Verteilungsfunktionen, mit denen sich eine Vielzahl von Zufallsexperimenten gut
beschreiben lassen.
Jede dieser theoretischen Verteilungen ist von bestimmten Randbedingungen abhängig, die ihre Gültigkeit beschreiben. In der Praxis gilt es dann auf Grund der Ausprägung des Zufallsexperimentes die geeignetste Funktion zu wählen um mit ihr von
der Stichprobe auf die Grundgesamtheit zu schließen.
10.2.1. Normalverteilung
Die wohl wichtigste Verteilung der Statistik ist die Normalverteilung, die von Moivre,
Laplace und Gauß entwickelt wurde. Sie wird häufig auch Gaußsche Glockenkurve
genannt.
Sie eignet sich als Verteilungsmodell immer dann, wenn Abweichungen von einem
Norm-, Soll- oder Durchschnittswert betrachtet werden.
Außerdem sind sehr viele in der Natur vorkommende Ausprägungen von Merkmalen
normalverteilt.
Beispiele:
•
Größe der Blätter eines Baumes
•
Abweichung der Korngrößen einer Bodenprobe von der mittleren Korngröße
•
Abweichung der Tagestemperatur vom langjährigen Mittelwert.
10-8
Skript zum Modul 141 - Statistik
Die Dichtefunktion der Normalverteilung berechnet sich anhand von zwei Parametern
a und b nach:
1 ⎛ x−a ⎞
⎟
b ⎠
2
− ⎜
1
f ( x) =
⋅ e 2⎝
b ⋅ 2π
Die beiden Parameter a und b besitzen eine besondere Eigenschaft, die sich bei der
Berechnung des Erwartungswertes und der Standardabweichung aus den Funktionswerten zeigt. Hier ergibt sich:
µ = E( X ) = a
und
σ =b
Damit kann die Dichtefunktion auch folgendermaßen geschrieben werden:
f ( x) =
1
σ ⋅ 2π
⋅e
1 ⎛ x−µ ⎞
− ⎜
⎟
2⎝ σ ⎠
2
Dadurch kann die Wahrscheinlichkeit für jeden beliebigen Wert leicht aus dem Mittelwert und der Standardabweichung, wenn diese bekannt sind, berechnet werden.
Die Normalverteilung besitzt folgende Kennzeichen, die auch in der folgenden Abbildung graphisch dargestellt sind:
1.
Median, Modus und Mittelwert fallen zusammen
2.
Die steilsten Kurvenverläufe liegen bei µ-σ und µ+σ
3.
Die Tangenten an diesen Punkten schneiden die X-Achse bei µ+2σ und µ2σ
4.
68% aller Fälle liegen im Bereich von µ-σ und µ+σ; 95.5% der Fälle zwischen µ-2σ und µ+2σund 99.7% zwischen µ-3σ und µ+3σ
µ-σ µ+σ
1
µ = 2; σ = 0.5
0.9
f(x)
F(x)
0.8
0.7
0.6
68% der Fälle
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
10-9
3
3.5
4
Skript zum Modul 141 - Statistik
Form und Lage der NV werden durch µ und σ eindeutig beschrieben. Wobei µ die
Lage bezüglich der X-Achse und σ die Breite der Kurve bestimmt.
0.9
µ = 2; s = 0.5
µ = 2; s = 1
µ = 2; s = 2
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4
-2
0
2
4
6
Beispiel für die Anwendung der Normalverteilung:
Für eine Klimastation sind über einen Zeitraum von 50 Jahren jährliche Niederschlagsmengen bestimmt worden. Die empirische Verteilung der Niederschlagsmengen entsprach einer Normalverteilung. Die mittlere Niederschlagsmenge lag bei 400
mm, die Standardabweichung der Messungen wurde mit 100 mm berechnet.
1.
In wie viel % der Jahre fällt ein Niederschlag von weniger als 300 mm?
2.
In wie viel % der Jahre fällt ein Niederschlag von mehr als 425 mm?
3.
Welche Niederschlagsmenge wird in 95% der Jahre übertroffen?
Zur Lösung der Aufgaben 1 und 2
müssen also die Flächen unter der
Dichtefunktion bestimmt werden.
Hierzu muss die Verteilungsfunktion F(x) für x = 300 bzw. x = 425
bestimmt werden, nach:
F ( x) =
1
σ ⋅ 2π
x
∫e
1 ⎛ x−µ ⎞
− ⎜
⎟
2⎝ σ ⎠
0.0045
0.004
0.0035
0.003
0.0025
0.002
2
dx
−∞
Das Problem dabei ist, dass sich
das Integral nicht analytisch lösen
lässt, weil hierfür keine elementare
Stammfunktion existiert.
0.0015
0.001
0.0005
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
Die Fläche müsste also durch numerische Integration bestimmt werden. Alternativ
können für die Lösung die Funktionswerte der Standardnormalverteilung, die in
Tabellen vorliegen, eingesetzt werden. Hierzu muss die Normalverteilung in eine
Standardnormalverteilung überführt werden.
10-10
Skript zum Modul 141 - Statistik
10.2.2. Standard Normal Verteilung
Für die Standardnormalverteilung gelten folgende Kennwerte:
1.
Ihr Erwartungswert µ ist gleich 0 und
2.
Ihre Standardabweichung σ ist gleich 1
0.45
1.0
0.40
0.9
f(x)
F(x)
0.35
0.8
0.7
0.30
0.6
0.25
0.5
0.20
0.4
0.15
0.3
0.10
0.2
0.05
0.1
0.00
0.0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Die Funktionswerte f(x) und F(x) der Standardnormalverteilung liegen in tabellierter
Form vor, so dass die aufwändige Berechnung entfällt. Zu ihrer Nutzung muss also
lediglich eine beliebige Normalverteilung in die Standardnormalverteilung überführt
werden, dann können die Wahrscheinlichkeiten einfach bestimmt werden.
Die Überführung einer beliebigen Normalverteilung in die Standardnormalverteilung
erfolgt durch die Transformation der normalverteilten Zufallsvariablen X in eine
standardnormalverteilte Zufallsvariable Z nach:
Z=
X −µ
σ
Die Dichte- und Verteilungsfunktion der standardnormalverteilten Variable Z haben
die einfache Form:
x2
f ( x) =
−
1
⋅e 2
2π
F ( z) =
10-11
1
2π
x
∫e
−∞
−
x2
2
dx
Skript zum Modul 141 - Statistik
Die Werte von F(z) [=Φ(z)] können direkt aus Tabellen entnommen werden:
Beispiel für die Anwendung:
Für eine Klimastation sind über einen Zeitraum von 50 Jahren jährliche Niederschlagsmengen bestimmt worden. Die empirische Verteilung der Niederschlagsmengen entsprach einer Normalverteilung. Die mittlere Niederschlagsmenge lag bei 400
mm, die Standardabweichung der Messungen wurde mit 100 mm berechnet.
1. In wie viel % der Jahre fällt ein Niederschlag von weniger als 300 mm?
2. In wie viel % der Jahre fällt ein Niederschlag von mehr als 425 mm?
3. Welche Niederschlagsmenge wird in 95% der Jahre übertroffen?
Zur Berechnung muss die Normalverteilung zunächst in eine Standardnormalverteilung transformiert werden, dann die Wahrscheinlichkeiten bzw. Anteile berechnet
werden und dann die Werte gegebenenfalls rücktransformiert werden.
Gegeben ist: µ = 400 (der Mittelwert); σ = 100 (die Standardabweichung) und der
Niederschlag ist normalverteilt.
Zu 1.) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit P (x ≤ 300):
•
Standardisierung von X:
Z=
X −µ
σ
=
300 − 400
= −1
100
10-12
Skript zum Modul 141 - Statistik
•
Bestimmung von F(-1) aus der Tabelle der SNV
Da in den Tabellen meist nur die positive Hälfte der SNV gelistet ist müssen
negative Werte als 1 – F(positiv) abgelesen werden.
Für das Beispiel also:
= 1 – F(1)
= 1 – 0.8413 = 0.1587
In 15.87% der Jahre ist
N kleiner 300 mm/a
Zu 2.) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit P (x > 425)
•
Standardisierung von X:
Z=
•
X −µ
σ
=
425 − 400
= 0.25
100
Bestimmung von F(0.25) aus
der Tabelle der SNV
F(0.25) = 0.5987
Da ja der Wert größer als gesucht war folgt: in 40.13% (1 0.5987) der Jahre war der
Niederschlag größer als 425
mm/a.
zu 3.) Gesucht ist x für eine Wahrscheinlichkeit von P = 0.05. Da ja die Menge die in
95% übertroffen wird gesucht ist.
Da in den Tabellen nur die
Wert größer 0.5 gelistet
sind muss aber der Wert Z
von F(0.95) abgelesen und
dann negiert werden.
Außerdem finden wir in
manchen Tabellen 95 nicht
direkt sondern nur Werte in
der Nähe. Der Wert wird
dann durch Mittelwertbildung bestimmt.
Für das Beispiel finden wir
Z für F(0.95) als Mitte zwischen 0.9495 und 0.9505 also 1.645. Daraus folgt für F(0.05) Z = -1.645
10-13
Skript zum Modul 141 - Statistik
Das bedeutet 95% der Werte der SNV sind größer als -1.645. Zur Bestimmung der Niederschlagsmenge muss dieser Wert nur noch retransformiert
werden nach:
X = Z ⋅ σ + µ = −1.645 ⋅ 100 + 400 = 235.5
In 95% aller Jahre liegt der Niederschlag über 235.5 mm/a.
10.3. Übungsaufgaben
Aufgabe 1:
Gegeben sei eine Familie mit vier Kindern, wobei die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Jungen ½ sei:
a) Welche theoretische Verteilung liegt dem Sachverhalt zugrunde? Begründen
Sie Ihre Antwort.
b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es darin wenigstens einen Jungen.
c) und wenigstens einen Jungen und ein Mädchen gibt.
Aufgabe 2:
Bei einem Herstellungsprozess für Bolzen wird festgestellt, dass eine Maschine 20%
Ausschuss produziert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von vier zufällig
ausgewählten Bolzen:
a) 1
b) 2
c) höchstens 2 unbrauchbar sind.
Bestimmen Sie (plus kurze Beschreibung):
d) den Mittelwert (µ) und
e) die Standardabweichung bei einer Gesamtmenge von 400 Bolzen.
Aufgabe 3:
Ein Kraftfahrzeughändler weiß aus jahrelanger Erfahrung, dass von den in Zahlung
genommenen Wagen 15% geringe, 60% mittelschwere und 25% sehr schwere
Schäden aufweisen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von den nächsten
20 Wagen, die er in Zahlung nehmen wird:
b) höchstens 8 sehr schwere
c) höchstens 8 mittelschwere
d) genau 10 geringe
e) genau 10 mittelschwere
f) mindestens 12 geringe
g) mindestens 12 sehr schwere Schäden vorliegen.
10-14
Skript zum Modul 141 - Statistik
Aufgabe 4:
Bei einer Abschlussklausur in Mathematik ergab sich eine mittlere Punktzahl von 72
und eine Standardabweichung von 15. Bestimmen Sie die Standardwerte (d.h. die
Punktzahlen in Einheiten der Standardnormalverteilung) der Studenten, die folgende
Punktzahlen erreichten:
a) 60
b) 93
c) 72
Aufgabe 5:
Bestimmen und skizzieren Sie die Fläche unter der Normalverteilung, mit Hilfe der
Tabelle 1 für die Fälle:
a) zwischen z = 0 und z = 1.2
b) zwischen z = -0.68 und z = 0
c) zwischen z = -0.46 und z = 2.21
d) rechts von z = -1.28
e) links von z = -0.6
Aufgabe 6:
Ein Händler will zu Sylvester 25 Feuerwerkskörper, die ihm aus früheren Jahren übrig geblieben sind, loswerden. Er verspricht einem daran interessierten Kunden, dass
mindestens 60% davon noch funktionieren. Dieser verlangt, 5 der 25 Feuerwerkskörper sofort ausprobieren zu dürfen, und er ist bereit, die restlichen 20 dann zu kaufen,
wenn mindestens 3 der fünf geprüften funktionieren. Der Händler ist damit einverstanden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Geschäft zustande kommt,
wenn tatsächlich:
a) 60%
b) 80%
c) 20% der 25 Feuerwerkskörper noch funktionieren.
Aufgabe 7:
Die mittlere Länge von 500 Lorbeerblättern ist 151 mm und die Standardabweichung
ist 15 mm. Wenn sie die Länge als normalverteilt annehmen, dann bestimmen Sie,
wie viele Lorbeerblätter:
a) Welche Verteilungsfunktion legen Sie zugrunde.
b) zwischen 115 und 145 mm lang sind
c) über 183 mm lang sind.
10-15
Skript zum Modul 141 - Statistik
10.4. Musterlösung zu den Übungsaufgaben
Aufgabe 1:
Gegeben sei eine Familie mit vier Kindern, wobei die Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Jungen ½ sei. (PS: Übrigens die gleiche Aufgabe wie die Pegel vom letzten Mal)
b) Welche theoretische Verteilung liegt dem Sachverhalt zugrunde? Begründen
Sie Ihre Antwort.
Lösung: Man geht von einer unabhängigen Verteilung aus. D.h. die Wahrscheinlichkeit
für das Geschlecht des zweiten oder dritten Kindes ist nicht abhängig vom Geschlecht seiner älteren Geschwister. Da die Variable Geschlecht eine typische 0,1 Ausprägung besitzt
kann von einer Binominalverteilung mit vier Versuchen (n) ausgegangen werden.
c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es darin wenigstens einen Jungen.
Lösung:
p = 0.5; q = 0.5, x = 1, n = 4
⎛ 4⎞
4!
24
f (1) = ⎜ ⎟ 0.51 ⋅ 0.53 =
⋅ 0.5 ⋅ 0.125 = ⋅ 0.0625 = 0.25
1!⋅ 3!
6
⎝1⎠
Die Wahrscheinlichkeit, dass es genau einen Jungen gibt beträgt also 25%.
Da aber nach wenigstens einem Jungen gefragt war sind auch die Wahrscheinlichkeiten
für f(2), f(3) oder f(4) gültig. Diese Berechnen sich analog. Die Gesamtwahrscheinlichkeit
beträgt also f(1) + f(2) + f(3) + f(4). Um den Rechenaufwand zu minimieren kann auch
vereinfacht 1 – f(0) berechnet werden.
Daraus ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Jungen als
1 -0.0625 = 0.9375, also 93.75%
d) und wenigstens einen Jungen und ein Mädchen gibt.
Lösung: Die möglichen Familienzusammensetzungen sind: (J, M, J, J) oder (J, M, M,
M) oder (J, M, J, M). Im Sinne der BNV (wenn die Geburt eines Jungen als Erfolg angenommen wird ☺) ist dies also: f(1) = 0.25 oder f(2) = 0.375 oder f(3) = 0.25. Da die Ereignisse unabhängig sind ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit nach p = f(1) + f(2) +
f(3) = 0.875. Die Wahrscheinlichkeit, dass es wenigsten einen Jungen und ein Mädchen
gibt beträgt also 87.5%.
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Skript zum Modul 141 - Statistik
Aufgabe 2:
Bei einem Herstellungsprozess für Bolzen wird festgestellt, dass eine Maschine 20%
Ausschuss produziert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von vier zufällig
ausgewählten Bolzen 1, 2 oder höchstens 2 unbrauchbar sind.
Lösung:
Auch hier kann wieder von einer Binominalverteilung ausgegangen werden, da bei einem
Herstellungsprozess von einer sehr große Stückzahl ausgegangen werden kann und sich dadurch die Wahrscheinlichkeiten bei den einzelnen Versuchen nicht ändern. Die Parameter
ergeben sich danach als: p = 0.2, q = 0.8, n = 4
a)
⎛ 4⎞
4!
24
f (1) = ⎜ ⎟ 0.21 ⋅ 0.83 =
⋅ 0.2 ⋅ 0.512 = ⋅ 0.1024 = 0.4096
1!⋅ 3!
6
⎝1⎠
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bolzen defekt ist beträgt 40.96%
b)
⎛ 4⎞
4!
24
f (2) = ⎜ ⎟ 0.22 ⋅ 0.82 =
⋅ 0.04 ⋅ 0.64 = ⋅ 0.0256 = 0.1536
2!⋅ 2!
4
⎝ 2⎠
Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Bolzen defekt sind beträgt 15.36%
c) f(0) + f(1) + f(2) = 0.4096 + 0.4096 + 0.1536 = 0.9728
Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens zwei Bolzen defekt sind beträgt 97.28%
Bestimmen Sie (plus kurze Beschreibung):
d) den Mittelwert (µ) und
Der Mittelwert µ der Binominalverteilung berechnet sich nach:
µ = n * p = 400 * 0.2 = 80
Bei einer Entnahme von 400 Bolzen aus der Produktion kann davon ausgegangen
werden, dass 80 defekt sind.
e) die Standardabweichung bei einer Gesamtmenge von 400 Bolzen.
Die Varianz der BNV berechnet sich nach:
σ² = n * p * q = 400 * 0.2 * 0.8 = 64
Die Standardabweichung beträgt also 8.
Bei einer Entnahme von 400 Bolzen aus der Produktion kann davon ausgegangen
werden, dass 80 ± 8 defekt sind.
Aufgabe 3:
Ein Kraftfahrzeughändler weiß aus jahrelanger Erfahrung, dass von den in Zahlung
genommenen Wagen 15% geringe, 60% mittelschwere und 25% sehr schwere
Schäden aufweisen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von den nächsten
20 Wagen, die er in Zahlung nehmen wird:
Lösung: Auch hier kann die BNV genutzt werden, allerdings in verschiedener Ausprägung,
nämlich mit BNV(0.15, 20) für geringe Schäden, BNV(0.6, 20) für mittelschwere und
BNV(0.25, 20) für sehr schwere Schäden. Hiermit ist dann die Berechnung der einzelnen
Teilaufgaben einfach:
a) höchstens 8 sehr schwere
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Skript zum Modul 141 - Statistik
Lösung: F(8) (Summe der Wahrscheinlichkeiten von 0..8) der BNV(0.25, 20) also f(0) +
f(1) + f(2) + ... + f(8) = 0.9591
Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 95.91%
b) höchstens 8 mittelschwere
Lösung:
F(8) (Summe der Wahrscheinlichkeiten von 0..8) der BNV(0.6, 20) also f(0) + f(1) + f(2)
+ ... + f(8) = 0.0565
Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 5.65%
c) genau 10 geringe
Lösung: f(10) für BNV(0.15,20) = 0.0002 also 0.02%
d) genau 10 mittelschwere
Lösung: f(10) für BNV(0.6,20) = 0.1171 also 11.71%
e) mindestens 12 geringe
Lösung: 1 – F(12) für BNV(0.15,20) = 0.00000053
f) mindestens 12 sehr schwere Schäden vorliegen.
Lösung: 1 – F(12) für BNV(0.25,20) = 0.00018370
Aufgabe 4:
Bei einer Abschlussklausur in Mathematik ergab sich eine mittlere Punktzahl von 72
und eine Standardabweichung von 15. Bestimmen Sie die Standardwerte (d.h. die
Punktzahlen in Einheiten der Standardnormalverteilung) der Studenten, die folgende
Punktzahlen erreichten:
Lösung: Gegeben ist ein Normalverteilung mit den Parametern µ = 72 und σ = 15. In Kurzform NV(72,15). Gesucht sind Werte der Standardnormalverteilung, mit anderen Worten eine
einfache Variablentransformation.
a) 60 Z =
b) 93
c) 72
X − µ 60 − 72
=
= −0.8
σ
15
Z = 1.4
Z = 0 (=Mittelwert der NV und der SNV)
Aufgabe 5:
Bestimmen und skizzieren Sie die Fläche unter der Normalverteilung, mit Hilfe der
Tabelle 1 für die Fälle:
a) zwischen z = 0 und z = 1.2
Lösung: 0.8849 – 0.5 = 0.3849
b) zwischen z = -0.68 und z = 0
Lösung: (0.5 – (1 – f(0.68)) = 0.5 – (1 - 0.7517) = 0.2517
c) zwischen z = -0.46 und z = 2.21
Lösung: (0.9864 – (1 – f(0.46))) = 0.9864 – 0.3228 = 0.6636
d) rechts von z = -1.28
Lösung: (1 – (1 - f(1.28)) = 1 – 0.1003 = 0.8997
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Skript zum Modul 141 - Statistik
e) links von z = -0.6
Lösung: (1 – f(0.6)) = 0.2743
Aufgabe 6:
Ein Händler will zu Sylvester 25 Feuerwerkskörper, die ihm aus früheren Jahren übrig geblieben sind, loswerden. Er verspricht einem daran interessierten Kunden, dass
mindestens 60% davon noch funktionieren. Dieser verlangt, 5 der 25 Feuerwerkskörper sofort ausprobieren zu dürfen, und er ist bereit, die restlichen 20 dann zu kaufen,
wenn mindestens 3 der fünf geprüften funktionieren. Der Händler ist damit einverstanden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Geschäft zustande kommt,
wenn tatsächlich 60%, 80%, 20% der 25 Feuerwerkskörper noch funktionieren.
Lösung: Hier handelt es sich ganz klar um „Ziehen ohne Zurücklegen“ es ist ja nach testen
der Feuerwerkskörper nichts mehr da zum Zurücklegen. Gegeben sind also die Parameter: N
= 25, n = 5, x = 3. M variiert je nach Teilaufgabe.
a) 60%: M = 25 * 0.6 = 15
Gesucht: p(x ≥ 3)
⎛15 ⎞⎛10 ⎞ ⎛ 15 ⎞⎛10 ⎞ ⎛ 15 ⎞⎛ 10 ⎞
⎜ 3 ⎟⎜ 2 ⎟ + ⎜ 4 ⎟⎜ 1 ⎟ + ⎜ 5 ⎟⎜ 0 ⎟
f (3) + f (4) + f (5) = ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ 25 ⎞
⎜5⎟
⎝ ⎠
455 ⋅ 45 + 1365 ⋅ 10 + 3003 ⋅ 1 37128
=
=
= 0.6988
53130
53130
Hier wäre der Kunde zufrieden, da mit einer Wahrscheinlichkeit von 69.88 % 3 der fünf
Feuerwerkskörper funktionieren würden.
b) 80%: M = 25 * 0.8 = 20
Gesucht: p(x ≥ 3)
⎛ 20 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎛ 20 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎛ 20 ⎞⎛ 5 ⎞
⎜ 3 ⎟⎜ 2 ⎟ + ⎜ 4 ⎟⎜ 1 ⎟ + ⎜ 5 ⎟⎜ 0 ⎟
f (3) + f (4) + f (5) = ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ 25 ⎞
⎜5⎟
⎝ ⎠
=
1140 ⋅ 10 + 4845 ⋅ 5 + 15504 ⋅ 1 51129
=
= 0.9623
53130
53130
Hier wäre der Kunde zufrieden, da mit einer Wahrscheinlichkeit von 96.23 % drei der
fünf Feuerwerkskörper funktionieren würden.
c) 20%: M = 25 * 0.2 = 5
Gesucht: p(x ≥ 3)
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Skript zum Modul 141 - Statistik
⎛ 5 ⎞⎛ 20 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎛ 20 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎛ 20 ⎞
⎜ 3 ⎟⎜ 2 ⎟ + ⎜ 4 ⎟⎜ 1 ⎟ + ⎜ 5 ⎟⎜ 0 ⎟
f (3) + f (4) + f (5) = ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ 25 ⎞
⎜5⎟
⎝ ⎠
=
10 ⋅ 190 + 5 ⋅ 20 + 1 ⋅ 1 2001
=
= 0.0377
53130
53130
Hier wäre der Kunde mit Sicherheit nicht zufrieden, da nur mit einer Wahrscheinlichkeit
von 3.77 % drei der fünf Feuerwerkskörper funktionieren würden.
Aufgabe 7:
Die mittlere Länge von 500 Lorbeerblättern ist 151 mm und die Standardabweichung
ist 15 mm. Wenn sie die Länge als normalverteilt annehmen, dann bestimmen Sie,
wie viele Lorbeerblätter:
a) Welche Verteilungsfunktion legen Sie zugrunde.
Es liegt eine Normalverteilung mit µ = 151 und σ = 15 vor.
b) zwischen 115 und 145 mm lang sind.
Lösung: Zunächst Transformation der Werte der NV(151,15) in eine SNV
Z=
X − µ 115 − 151
=
= −2.4
σ
15
Z=
X − µ 145 − 151
=
= −0.4
15
σ
Dann wird mit diesen Werten die Fläche unter der SNV mit der Tabelle bestimmt nach
F(-2.4 ≤ Z ≤ -0.4) = F(-0.4) – F(-2.4) = 0.3446 – 0.0082 = 0.3364
Das bedeutet 33.64% der Werte liegen zwischen den Grenzen. Da die Stichprobe 500
betrug haben also 168 Lorbeerblätter eine Größe zwischen 115 und 145 mm.
c)
über 183 mm lang sind.
Lösung: Gesucht die Fläche unter der Verteilung rechts von 183 mm.
Die Transformation ergibt: Z =
X − µ 184 − 151
=
= 2.2
σ
15
Damit kann der Wert der SNV an dieser Stelle aus der Tabelle abgelesen werden:
F(2.2) = 0.9861 da aber der Bereich rechts davon gesucht war muss noch von 1 abgezogen werden 1 – 0.9861 = 0.0139. Es sind also 1.39 % der Lorbeerblätter größer als
183 mm, das sind insgesamt 7 Blätter.
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