Induktion - Michael Balke
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Induktion Die elektromagnetische Induktion ist der Umkehrprozess zu dem stromdurchflossenen Leiter, der ein Magnetfeld erzeugt. Bei der Induktion wird in einem Leiter, der sich in einem Magnetfeld bewegt, eine Spannung erzeugt, die zu einem Stromfluss führt. Bewegen sich Elektronen in einem Magnetfeld, erfahren sie eine Kraft, die Lorentzkraft, die sie in Richtung der Kraft beschleunigt. Bis jetzt war es so, dass die Lorentzkraft entsteht, weil eine außen anliegende Spannung die Ladungen in einem Leiter antreiben, die sich daraufhin bewegen und einen Stromfluss darstellen. Diese Bewegung erzeugt nach der Linken-Hand-Regel eine Kraft, die senkrecht zu der Bewegungsrichtung der Elektronen und senkrecht zum Magnetfeld orientiert ist. Zur Verdeutlichung noch einmal eine zur Lorentzkraft gehörenden Skizze: Die in Rot eingezeichnete Größe Lorentzkraft ist die Folge des Stromflusses im Magnetfeld. Die Linke-Hand-Regel für die Lorentzkraft: • der Daumen zeigt in die Bewegungsrichtung der Elektronen (also der negativen Ladungsträger) • der Zeigefinger zeigt in die Richtung des Magnetfeldes • der Mittelfinger zeigt in die Richtung der wirkenden Lorentzkraft Durch die Kraftwirkung bewegt sich der Leiter relativ zum Magnetfeld. Wenn der Leiter nun aber ohne Spannung und damit stromlos ist, und der Leiter wird im Magnetfeld bewegt, entsteht die sogenannte Induktionsspannung. Widerum in Rot eingezeichnet ist die Folge des Effektes, nämlich die Bewegung der Elektronen. Wie an den Darstellungen auf der rechten Seite zu sehen ist, führt der Effekt der Induktion dazu, die Ursache der Induktion, die Bewegung, zu minimieen. Was soll das heißen? Wenn man den Ablauf schematisch aufschreibt, erhält man die Abfolge: • ein Leiter wird in einem Magnetfeld bewegt • es entsteht eine Induktionsspannung • dadurch folgt ein Elektronenfluss • durch den Elektronenfluss entsteht eine Lorentzkraft entgegen der Bewegungsrichtung Wenn die Lorentzkraft entgegen der Bewegungsrichtung wirkt, hemmt sie die Bewegung. In einer anderen Reihenfolge, d.h. ein anderer Beginn des Ablaufs: • in einem Leiter in einem Magnetfeld fließt ein Strom • durch den Strom wirkt eine Lorentzkraft • diese Kraft führt zu einer Bewegung des Leiters in dem Magnetfeld • durch diese Bewegung wird eine Induktionsspannung erzeugt dadurch wird ein Stromfluss erzeugt, der dem ursprünglichen Stromfluss entgegengesetzt ist Für diesen zweiten Ablauf muss der Leiter frei beweglich sein. • Der Induktionsstrom ist stets so gerichtet, dass er die Ursache seiner Entstehung zu hemmen sucht. (Lenz'sche Regel) Wenn die Lenz'sche Regel nicht gültig wäre, würde sich z.B. eine Leiterbewegung immer weiter verstärken, was dem Energieerhaltungssatz widersprechen würde. Die aufgrund der Bewegung eines geraden Leiters in einem Magnetfeld erzeugte Induktionsspannung hängt ab von der Stärke des Magnetfelds, also von der Größe der magnetischen Flussdichte, der Länge des Leiters im Magnetfeld (der Anteil des Leiters, der senkrecht zum Magnetfeld steht = wirksame Länge) und der Bewegungsgeschwindigkeit des Leiters (ebenfalls senkrecht zum Magnetfeld). Es ergibt sich: U Ind = B⋅d⋅v Der gerade Leiter wird durch eine rechteckige Leiterschleife ersetzt. Diese wird senkrecht zu den Feldlinien in ein Magnetfeld eingetaucht. Durch die Bewegungsgeschwindigkeit v wird die sich im Magnetfeld befindliche Schleifenfläche A in der Zeit ∆t um dv∆t vergrößert. Es gilt also: Δ A = d⋅Δ s = d⋅v⋅Δ t ΔA = d⋅v Δt Für die Induktionsspannung folgt damit: ΔA U Ind = B⋅ Δt Die Induktionsspannung entsteht im Allgemeinen, wenn sich der magnetische Fluss, der durch eine Leiterschleife tritt, ändert. Der magnetische Fluss ist die Flussdichte B multipliziert mit der Fläche A, durch die der Fluss tritt. In physikalischen Größen ausgedrückt: magn. Fluss = magn. Flussdichte⋅Fläche Φ = B⋅A ⊥ Bei der Fläche wird der Flächenanteil betrachtet, der senkrecht zum Feld steht, A⊥,bzw. An = Anormal. Dazu eine Skizze: Die Fläche normal zu dem Magnetfeld lässt sich also mit dem Cosinus des Winkels zwischen Fläche und Magnetfeld bestimmen: An = A⋅cos α Das Szenario mit der Leiterschleife ist in der nächsten Skizze gezeigt. Dort ist ein konstantes Magnetfeld zu sehen, das durch eine konstante Fläche tritt. Daraus folgt, dass der magnetische Fluss Φ auch konstant ist. In diesem Fall ist auch keine Induktionsspannung vorhanden. Wenn sich nun entweder die Flussdichte verändert oder wenn sich die Fläche ändert, durch die das Magnetfeld tritt, wird eine Spannung induziert. Der magnetische Fluss muss sich also ändern, damit eine Induktionsspannung erzeugt wird: ΔΦ U Ind = N⋅ Δt N ist die Anzahl der Windungen. Die Spannung wird in jeder der Spulenflächen erzeugt. Wenn also N Flächen vorhanden sind, wird auch die N-fache Spannung erzeugt. Mathematischer Exkurs: Die zeitliche Veränderung des Flusses ist gleich der Ableitung nach der Zeit: Δ Φ Δ ( B⋅A n) Φ' = = Δt Δt Im Allgemeinen sind die magnetische Flussdichte und die Durchtrittsfläche zeitlich nicht konstant. Wenn nun der Fluss nach der Zeit t abgeleitet wird ( was der Geschwindigkeit der Änderung entspricht), müssen beide Änderungsmöglichkeiten beachtet werden. Es muss also heißen: Φ' = Δ ( B(t )⋅A n (t) ) Δt Das Produkt wird nach der Produktregel abgeleitet (f = u∙v; f' = u'∙v + v'∙u): (B (t)⋅An (t)) ' = B (t )'⋅A n + B⋅An (t) ' Δ A n( t) Δ B(t) ⋅A n + B⋅ Δt Δt Daraus folgt, dass eine Spannung induziert wird, wenn sich entweder die Flussdichte ändert bei konstanter Fläche, oder wenn sich die Fläche ändert bei konstanter Flussdichte. Natürlich wird auch eine Spannung induziert, wenn sich beides ändert. Was kann jeweils die Ursache für die einzelnen Änderungen sein? • Wenn sich die Flussdichte verändert, kann sich das Magnetfeld selbst ändern, oder die Spule wird aus dem Feld herausgezogen oder hineinbefördert. • Die Änderung der Fläche kann heißen, dass sich die Spule im Magnetfeld dreht, oder dass die Spule aus dem Feld herausgezogen bzw. in das Feld hineinbefördert wird. Dazu sollen einige Beispiele vorgestellt werden. Ein ein Meter langer Metallstab wird mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s senkrecht zu den Feldlinien durch das Magnetfeld der Erde bewegt. Wie groß ist die an den Enden des Stabes entstehende Induktionsspannung, wenn das Erdmagnetfeld eine Stärke von 40 µT hat? Mit der Formel U Ind = B⋅d⋅v und den gegebenen Werten erhalten wir: U Ind = B⋅d⋅v m −6 U Ind = 40⋅10 T⋅1m⋅1 = 40 µV s A: Es wird eine Spannung von 40 µV erzeugt. In einer langen zylindrischen Spule (Feldspule) der Länge 0,3 m, dem Querschnitt 6 cm 2 und 600 Windungen befinde sich eine deutlich kürzere Spule (Induktionsspule) mit 2000 Windungen und einer Querschnittsfläche 5 cm2. Die Spulenachsen seien parallel zueinander. Durch die Feldspule fließe ein Strom I, der in 1/40 s gleichmäßig von null auf 5 A anwächst. Welche Induktionsspannung wird an den Enden der Induktionsspule erzeugt? Das Medium in den Spulen sei Luft. Δ ( B(t)⋅An (t )) Mit U Ind = − N⋅ ergibt sich die Induktionsspannung in der Δt Induktionsspule. Zunächst aber wird die Flussdichte benötigt, die in der Feldspule I B = µ0 µr N erzeugt wird. Hier gilt: l Dabei ist die einzige Größe, die sich mit der Zeit verändert, die Stromstärke I. Damit erhalten wir: ΔI Δ B = µ0 µr N l Vs mit: µ0 = 4 π⋅10−7 Am µr = 1 N = 600 l = 0,3 m Δ I = 5A − 0A = 5A Δ B = 12,57 mT Jetzt ergibt sich die Induktionsspannung: U Ind = − N⋅An⋅ ΔB Δt mit : N = 2000 −4 2 An = 5⋅10 m Δ t = 1 /40 s U Ind = − 0,5 V A: Es wird eine Induktionsspannung von 0,5 V erzeugt. Zusammenfassung Induktion: • Wenn ein Leiter in einem Magnetfeld bewegt wird, entsteht eine Induktionsspannung. U Ind = B⋅d⋅v • Wenn sich in einer Leiterschleife / Spule ein magnetischer Fluss verändert, entsteht eine Induktionsspannung. ΔΦ U Ind = − N⋅ Δt Der zweite Punkt gilt auch, wenn die Spule auch gleichzeitig der Erzeuger des Magnetfelds ist. In diesem Fall nennt man den Induktionseffekt auch Selbstinduktion.
