Geometrische Wahrscheinlichkeit Aufgaben 1. x und y seien zwei

Geometrische Wahrscheinlichkeit
Aufgaben
1. x und y seien zwei uniform (gleichförmig) verteilte und unabhängige Zufallszahlen
im Intervall I = [0, 1). Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
(a) x = y
(b) y ≤ x
(c) y < x
(d) y > x2
(e) x + y ≤ 1
(f)
1
2
≤x·y
2. Jemand begibt sich auf eine mehrere Monate dauernde Reise und lässt in einem
unbewohnten Zimmer eine aufgezogene Wanduhr zurück, die nun während der Dauer
der Reise nicht mehr aufgezogen wird und unbeobachtet stillsteht. Wie gross ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die Uhr, wenn er von der Reise zurückkommt, eine Zeit
angibt, die von der richtigen Zeit um höchstens 6 Minuten abweicht?
3. Auf der innern Seite des Bodens einer Kiste ist ein Kreis K, dessen Radius 7.5 cm
misst, gezeichnet; der Kistenboden misst 30 cm auf 60 cm. Man legt ein Fünffrankenstück (Durchmesser 3 cm) in die Kiste und schüttelt die Kiste längere Zeit so,
dass sich das Geldstück auf dem Kistenboden hin und her bewegt. Wie gross ist die
Wahrscheinlichkeit, dass sich das Geldstück ganz im Innern des Kreises befindet,
wenn man mit Schütteln aufhört?
4. Man wirft ein Geldstück von 2 cm Durchmesser zufällig auf ein Schachbrett, dessen
Felder eine Seitenlänge von 4 cm haben. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass
es ganz in einem schwarzen Feld liegt? (Dabei betrachten wir nur die Würfe, bei
denen das Geldstück ganz innerhalb des Schachbrettes von 32 cm Seitenlänge liegt.)
Geometrische Wahrscheinlichkeit
Lösungen+
1. (a) P (x = y) = 0
1
y
0
(b) P (y ≤ x) =
1
2
0
x
1
0
x
1
0
x
1
0
x
1
0
x
1
1
y
0
(c) P (y < x) =
1
2
1
y
0
(d) P (y > x2 ) = 1 −
Z
1
x2 dx
1
1
y
0
1
= 1 − x3
3
=1−
0
1
2
=
3
3
0
(e) P (x + y ≤ 1) ⇔ P (y ≤ 1 − x) =
1
2
1
y
0
1
(f) P
1
x·y ≤
2
⇔
1
P y≤
+ P (x = 0)
| {z }
2x
1
0
Z 1
1
1
= 0.5 +
dx
P y≤
2x
0.5 2x
y
1
1
ln x 0.5
2
1
= 0.5 + 0 − ln 0.5) = 0.847
2
= 0.5 +
x
0
d
1
d
12h
d
Heimkehr
2. Geht man von einer Uhr aus, welche die Zeit
von 0 Uhr bis 12 Uhr anzeigt, so liegen die
günstigen“ Zeitpunkt-Paare auf einem Strei”
fen um die Diagonale, der wegen der 12-UhrGrenze an beiden Enden um zwei Dreiecke
ergänzt werden muss. Somit:
12 min · 720 min
P (Abweichung ≤ 6 min) =
720 min · 720 min
1
=
60
0
d
0h
0h
Stillstand
12h
3.
Das Geldstück wird mit seinen Mittelpunkt M identifizert.
Flächeninhalt der günstigen Landeorte für M: g = π · (7.5 − 1.5)2 ≈ 113.10 cm2
Flächeninhalt der möglichen Landeorte für M: m = (30 − 3)(60 − 3) = 1539 cm2
g
p=
≈ 0.073
m
4. Das Geldstück wird mit seinen Mittelpunkt M identifizert.
Flächeninhalt der günstigen Landeorte für M: g = 32(4 − 2)(4 − 2) = 128 cm2
Flächeninhalt der möglichen Landeorte für M: m = (32 − 2)(32 − 2) = 900 cm2
g
≈ 0.142
p=
m
2